《自动控制原理》辅导资料十

自动控制原理辅导资料十
主题：频域分析法的辅导文章——频域稳定性判据、控制系统的稳定裕量、控制系统的闭环频率特性、频域性能指标与瞬态性能指标之间的关系
学习时间：2012年12月3日－12月9日
内容：
我们这周主要还是学习课件第5章频域分析法的部分内容。

希望通过下面的内容能使同学们加深对频域分析法的相关知识的理解。

注意：请同学根据老师标注的侧重点选择性学习。

一、奈魁斯特稳定判据（学会用该判据判断系统的稳定性）
1.复变函数()
F s的选择
设系统的开环传递函数()()
G s H s一般为两个多项式之比，为
闭环传递函数：
()() ()
()1()()
C s G s
W s
R s G s H s
==
+
则闭环特征式
()() ()1()()
()
N s M s F s G s H s
N s
+
=+=
()
F s可改写为:
特征函数()
F s具有如下特点：
●()
F s的零点和极点分别是闭环极点和开环极点；
●()
F s的零点和极点个数相同；
●()
F s和()()
G s H s只差常数1。

因此闭环系统稳定条件：
使特征函数()
F s的零点都具有负实部，或者说()
F s的所有零点都不在s平
面的右半平面内即可。

2.封闭曲线Γs 的选择及奈氏判据 s 平面上的封闭曲线Γs 图示：
图1
闭环控制系统稳定的充分必要条件：
开环频率特性曲线()()G j H j ωω不通过(-1，j0)点，且逆时针包围（-1，j0）点的周数N 等于开环传递函数正实部根的个数P ，即N P =-。

3.关于奈魁斯特稳定判据有如下说明：
⏹ 对于开环稳定的系统（即0P =，()()G s H s 在右半s 平面无极点），当且
仅当开环频率特性曲线()()G j H j ωω不通过也不包围(-1，j0)点，即
0N =时，闭环系统稳定；
⏹ 对于开环不稳定的系统（即0P ≠，()()G s H s 在右半s 平面含有P 个极
点），当且仅当开环频率特性曲线()()G j H j ωω逆时针包围(-1，j0)点P 周，即N P =-时，闭环系统稳定；
⏹ 如果N P ≠-，则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根的个数为：
Z N P =+ ⏹ 当开环频率特性曲线()()G j H j ωω通过(-1，j0)点时，闭环系统处于临
界稳定状态。

二、控制系统的稳定裕量
（如何求解幅值裕度和相角裕度是考试必考的，故要求同学必须掌握） 稳定裕度：开环频率特性()()G j H j ωω与(-1, j0)点的远近程度，可用来表示闭环系统的稳定程度，也称稳定裕量。

控制系统的稳定裕度通常用幅值裕度和相角裕度来衡量。

1.相角裕度
在0ω≤≤∞频段内，若系统的开环频率特性()()G j H j ωω与单位圆相交，
则交点处的频率c ω称为幅值穿越频率（又称剪切频率或截止频率），它满足：
相角裕度定义为：
180()()c c G j H j γωω=+∠
相角裕度也称相角裕量或相位裕量，表示使系统达到临界稳定状态时开环频率特性的相角尚可减少或增加的数值。

在对数坐标图上，相角裕度为幅值穿越频率c ω处相角与180- 的差值。

2.幅值裕度
在0ω≤≤∞的频段内，若系统的开环频率特性()()G j H j ωω与负实轴相交，则交点处的频率g ω称为相位穿越频率，它满足：
()()180g g G j H j ωω∠=-
幅值裕度定义为相位穿越频率g ω所对应的开环频率特性幅值的倒数，用
g K 表示，即
幅值裕度也称幅值裕量或增益裕量，表示使系统达到临界稳定状态时开坏频率特性的幅值尚可增大或缩小的倍数。

显然，对于稳定的最小相位系统，幅值裕度大于1，一阶和二阶系统的幅值裕度为∞。

对于最小相位系统：
当()()1g g G j H j ωω<或()0g K dB >时，闭环系统稳定； 当()()1g g G j H j ωω>或()0g K dB <时，闭环系统不稳定；
当()()1g g G j H j ωω=或()0g K dB =时，闭环系统处于临界稳定状态； 相位裕度和幅值裕度的极坐标图表示：
图2
相位裕度和幅值裕度在对数坐标图上的表示：
图3
三、控制系统的闭环频率特性（了解闭环系统频域性能指标）
本节介绍利用已有的开环频率特性来绘制闭环频率特性的方法，并介绍常用的闭环系统频域性能指标。

1.闭环频率特性曲线的绘制
单位反馈系统的闭环频率特性
图4
对于如图4所示的单位反馈闭环系统，其闭环系统的频率特性为：
如果已知开环系统的极坐标图，利用()
G jω的几何关系，可得闭环
W jω和()
系统的频率特性：
图5
在工程中，实际上比较常用的是等M圆和等N圆以及尼柯尔斯图线，直接根据开环频率特性曲线绘制单位反馈闭环系统的频率特性曲线。

2.闭环频域性能指标
用闭环频率特性来评价系统的性能，通常用以下指标： 1)谐振峰值r M ：闭环系统幅频特性的最大值。

2)谐振频率r ω：闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。

3)带宽频率b ω：闭环系统频率特性幅值由其初始值(0)M 减小到0.707(0)M 时的频率，也称频带宽度。

闭环系统的频域性能指标示于图6：
图6
四、频域性能指标与瞬态性能指标之间的关系（了解）
我们知道，在系统稳定的基础上，可以进一步考查其瞬态响应性能。

由于时间响应的性能指标最为直观、最具有实际意义，因此，系统性能的优劣最终是用时间响应性能指标来衡量。

开环频域指标主要包括剪切频率c ω、相角裕度γ以及幅值裕度g K ； 闭环频域指标主要包括谐振峰值r M ，谐振频率r ω以及带宽频率b ω； 五、典型例题解析
1.已知单位负反馈系统的开环传递函数为2
()(0.21)K
G s s s =
+，试求：
（1） 使系统幅值裕度为20dB 的K 值； （2） 使系统的相角裕度为60
的K 值。

解：(1) 系统开环频率特性为2
()(10.2)K
G j j j ωωω=
+
当()20h dB dB =时，令g ω为相角交界频率（穿越频率），于是有
()902arctan 0.2180g g G j ωω=--=-
arctan 0.245g ω=
5g ω=
20lg ()20g G j ω-= lg ()1g G j ω=-，()0.1g G j ω=
故由
20.1(0.2)1
g g K
ωω=+ 可求得1K =
（2）当60γ= 时，由定义得
180()180(902arctan 0.2)60g c G j γωω=+=+--=
arctan 0.215c ω=
得系统截止频率 1.34c ω= 由2
()1(0.2)1
c c c K
G j ωωω=
=+ 可求得 1.436K = 2.已知最小相位系统Bode 图的幅频特性如下图所示，试求当120.2,0.5ωω==时，系统的开环传递函数。

（第九周思考题答案）
dB 400
-20dB/dec
20lg|G(j ω)|ω2
ω1
ω-40dB/dec
解：由图可知，起始斜率为零，因此系统开环传递函数中应不含积分环节；
12,ωω应为两个惯性环节的转折频率。

由此可写出系统的开环传递函数为
12()1111K
G s s s ωω=
⎛⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
（1）
其中开环增益K 由图幅频特性低频起始斜率为零求得：
20lg 40()K dB =,100K = 再将120.2,0.5ωω==，100K =代入（1）式，得到系统的开环传递函数为：
()()
100
()5121G s s s =
++
六、思考题（答案解析请见第十一周辅导资料） 设单位负反馈系统的开环传递函数为210(1)
()(21)
s G s s s τ+=
+，若要求系统截止频率
4c ω=，试求相应的τ值及相角裕度γ。