石家庄市一模理科数学试题及答案

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河北省石家庄市2019届高三数学一模考试试题理(扫描版)

令 h(x) x sin x ， h(x) 1 cos x 0 ，所以 h(x) 在 (0, ) 单调递增，
故 h(x) h(0) 0 ，即 x sin x .，故 a sin x x ；
……9 分
只需证 q(x) x ln x x 1 0 ， q(x)= ln x ，当 x (0,1), q(x) 0 ， q(x) 在 (0,1) 单调递减，
……6 分 ……7 分
当 x (0,1), q(x) 0 ， q(x) 在 (0,1) 单调递减； x (1, ), q(x) 0 ， q(x) 在 (1, )
单调递增，故 q(x) q(1) 0 ，即 x ln x x 1 .当且仅当 x 1时取等号
又 0 a 1， x ln x x 1 ax 1（）
综上①②③可知，当 1 a 1 时， f (x) g(x) .
……12 分
法 2：当 1 a 1 时，下证 x ln x a sin x 1 0 ，即证 x ln x a sin x 1 . ……5 分 ① 当 x 1 时，易知 x ln x 0 ， a sin x 1 0 ，故 x ln x a sin x 1 0 ；……6 分 ②当 x 1 时， 0 a sin11 0 显然成立，故 x ln x a sin x 1 0 ； ……7 分 ③当 0 x 1时， sin x 0 ，故 sin x a sin x sin x ，
程为
y k1( x 1) 2 ，则圆心
M到切线
PA 的距离
d

2k1 2 r ，整理得， k12 1
(r2 4)k12 8k1 r2 4 0 .

河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理科数学试题

河北省石家庄市2021届高中毕业班第|一次模拟考试理科数学试题(时间120分钟 ,总分值150分 )考前须知：1. 本试卷分第I 卷 (选择题 )和第II 卷 (非选择题 )两局部 ,答卷前 ,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 答复第I 卷时,选出每题答案后 ,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 答复第II 卷时 ,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4. 考试结束后 ,将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷(选择题,共60分 )一、选择题:本大题共12小题 ,每题5分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.复数z =1 -i,那么z z+1对应的点所在的象限为 A.第|一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 假设集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ,}02|{2>-∈=x x R x B ,那么)(B C A R 所含的元素个数为A. OB. 1C. 2D. 33. 设随机变量ξ服从正态分布),1(2σN .假设P(ξ ,那么p(0<ξ<1)的值为 A. B C.0.4 D.4 双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合 ,且其渐近线的方程为3x ±4y =0,那么该双曲线的标准方程为A. 116922=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-x yD. 191622=-x y5. 执行右面的程序框图 ,输出的S 值为 A. 1B. 9C. 17D. 206. 等比数列{a n } ,且dx x a a ⎰-=+22644 ,那么a 6(a 3 +2a 6 +a 10))的值为A. π2B. 4C. πD. -9π7. 现釆用随机模拟的方法估计该运发动射击4次 ,至|少击中3次的概率:先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数 ,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运发动射击4次至|少击中3次的概率为A. 0.852B. 0.8192C O.8D.8. 巳知点(x,y)在ΔABC 所包围的阴影区域内(包含边界),假设B(3,25)是使得z =ax -y 取得最|大值的最|优解,那么实数a 的取值范围为A. 21-≥a B. 0≥a C. 21-≤a D. 021≤≤-a 9. 假设函数)0)(2sin()(>+=A x A x f ϕπ满足f(1) =0,那么A.f(x -2) -定是奇函数B.f(x +1) -定是偶函数C. f(x +3)一定是偶函数D, f(x -3)一定是奇函数10. 正三棱锥P -ABC 的主视图和俯视图如图所示,那么此三棱锥的外接球的外表积为A 4π B, 12πC.316π D. 364π 11. 数列{a n },41,32,23,14,31,22,13,21,12,11… ,依它的10项的规律 ,那么a 99 +a 100 的值为A 2437B 67. C. 1511 D. 157 -12. 定义域为R 的奇函数f(x)的导函数为)(x f ' ,当0≠x 时 ,0)()(>+'xx f x f ,假设)2(ln 21ln ),2(2),21(21f c f b f a =--==,那么以下关于a,b,c 的大小关系正确的选项是 A. a>b>c B, a>c>bC. c>b>aD. b>a>c第II 卷(非选择题,共90分 )本卷包括必考题和选考题两局部,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空題,本大通共4小题,每题5分,共20分.13.过点(2,3)与圆(x -1)2+y 2=1相切的直线方程为_____.14. 如图,正方形ABCD 中,EF//AB,假设沿EF 将正方形折成一个二面角后,AE:ED:AD =1：1：2,那么AF 与CE 所成的角的余弦值为______.15.为举办校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训 ,培训工程及人数分别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个工程 ,并且舞蹈和演唱工程必须有女生参加,則不同的推荐方案的种数为_______.(用数字作答 )16.在ΔABC 中 ,B ∠ =600 ,O 为ΔA BC 的外心 ,P 为劣弧AC 上一动点 ,且OC y OA x OP += (x,y ∈R) ,那么x +y 的取值范围为 __ _____三、解答题：本大题共6小题 ,共70分.解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤. 17. (本小题总分值12分 )如图 ,有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸 (不知道它们的高度 ,且不能到达对岸 ) ,某人想测量两座建筑物尖顶A 、C 之间的距离 ,但只有卷尺和测角仪两种工具.假设此人在地面上选一条基线EF ,用卷尺测得EF 的长度为 a ,并用测角仪测量了一些角度：a AEF =∠,β=∠AFE ,θ=∠CEF ,ϕ=∠CFE ,γ=∠AEC 请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果.18.(本小题总分值12分 )为了调査某大学学生在某天上网的时间 ,随机对lOO 名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：表l:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)从这100名男生中任意选出3人 ,其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率；(II)完成下面的2X2列联表 ,并答复能否有90%的把握认为 "大学生上网时间与性别有关〞 ?表3:•附：19. (本小题总分值i2分 )如图 ,在四棱锥P -ABCD 中 ,PA 丄平面ABCD, 090=∠=∠ADC ABC ,0120=∠BAD ,AD =AB =1,AC 和 BD 交于O 点.(I)求证：平面PBD 丄平面PAC(II)当点A在平面PBD 内的射影G 恰好是ΔPBD 的重心时 ,求二面角B -PD -G 的余弦值.20. (本小题总分值12分 )椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1( -1 ,0) ,F 2(1,0) ,过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A,B 两点.(I)假设ΔABF 2为正三角形 ,求椭圆的离心率； (II)假设椭圆的离心率满足2150-<<e ,0为坐标原点 ,求证:OA 2 +OB 2<AB 221 (本小题总分值12分 ) 设函数f(x ) =x 2 +aln(x +1)(I)假设函数y =f(x)在区间[1, +∞ )上是单调递增函数 ,求实数a 的取值范围； (II)假设函数y =f(x)有两个极值点x 1,x 2且x 1<x 2求证: 2ln 21)(012+-<<x x f请考生在22〜24三题中任选一题做答 ,如果多做 ,那么按所做的第|一题记分.22. (本小题总分值10分)选修4 -l:几何证明选讲如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点A,B,C,D 弦AD 和BC 交于Q 点 ,割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F ,点M 在EF 上 ,且BMF BAD ∠=∠:(I)求证:PA·PB =PM·PQ (II)求证：BOD BMD ∠=∠23. (本小题总分值10分 )选修4 -4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系.x0y 中 ,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2=(I)求曲线l的直角坐标方程；|AB|的值24. (本小题总分值10分)选修4 -5:不等式选讲巳知函数f(x) =|x -2| +2|x -a|(a∈R). (I)当a =1时 ,解不等式f(x)>3;(II)不等式1)(≥x f 在区间 ( -∞ , +∞)上恒成立 ,求实数a 的取值范围高中毕业班第|一次模拟考试数学理科答案一、选择题 A 卷答案1 -5 DCBCC 6 -10 ADADD 11 -12 AD B 卷答案1 -5 DBCBB 6 -10 ADADD 11 -12 AD 二、填空题13 . 4310x y -+=或2x = 14 .4515 . 24 16 . []1,2三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分)17.解：第|一步：在AEF ∆中 ,利用正弦定理 ,sin sin(180)AE EFβαβ︒=-- , 解得sin sin()a AE βαβ=+；……………4分第二步：在CEF ∆中 ,同理可得sin sin()a CE ϕθϕ=+；……………8分第三步：在ACE ∆中 ,利用余弦定理,AC…………12分 (代入角的测量值即可 ,不要求整理 ,但如果学生没有代入 ,扣2分 )18．解： (Ⅰ )由男生上网时间频数分布表可知100名男生中 ,上网时间少于60分钟的有60人 ,不少于60分钟的有40人 ,………………2分故从其中任选3人 ,恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为 1260403100C C C ……………4分 156539=………………6分 (Ⅱ ) (8)22200(18002800)200 2.201001001307091K ⨯-==≈⨯⨯⨯ ,………………10分∵2 2.20 2.706K ≈<∴没有90％的把握认为 "大学生上网时间与性别有关〞.………………12分 19. 解： (Ⅰ )依题意Rt ABC Rt ADC ∆≅∆ ,BAC DAC ∠=∠ ,ABO ADO ∆≅∆ ,所以AC BD ⊥ ,……2分而PA ⊥面ABCD ,PA BD ⊥ ,又PA AC A = ,∴BD ⊥面PAC , 又BD ⊂面PBD ,∴平面PAC ⊥平面PBD …………4分 (Ⅱ ) 过A 作AD 的垂线为x 轴 ,AD 为y 轴 ,AP 为z 轴 ,建立如下图坐标系 ,那么1,0)2B - ,(0,1,0)D,0)C ,设(0,0,)P λ ,所以1,)63G λ , 31(,)22PB λ=-- ,由AG PB ⊥,得311(,),)066322AG PB λλ⋅=⋅--= 解得212λ=,λ=.………………6分 ∴P 点的坐标为(0,；面PBD 的一个法向量为6(3,1AG ==m ,……………8分设面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n,(CD =- ,(0,1,PD = 00PDCD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0z -==⎪⎩ ,∴=n ………………10分cos ,||||⋅<>==n m n m n m ,所以二面角B PD A --．……………12分 20. 解： (Ⅰ )由椭圆的定义知1212||||||||AF AF BF BF +=+ ,又22||||AF BF = ,∴11||||AF BF = ,即12F F 为边AB 上的中线 ,∴12F FAB ⊥,……………………2分在12Rt AF F △中,2cos30,43ca ︒=那么c a = ,…………………4分 (注： ,没有过程扣3分) (Ⅱ )设11(,)A x y ,22(,)B x y 因为0e <<1c = ,所以12a +>…………6分 ①当直线AB x 与轴垂直时 ,22211y a b += ,422b y a= ,4121221b OA OB x x y y a ⋅=+=-,42231a a a -+- =22235()24a a --+, 因为2532+>a ,所以0OA OB ⋅< , AOB ∴∠恒为钝角 ,∴222OA OB AB +<.………………………8分②当直线AB 不与x 轴垂直时 ,设直线AB 的方程为：(1)y k x =+ ,代入22221x y a b+= ,整理得：2222222222()20b a k x k a x a k a b +++-= ,22122222a k x x b a k -+=+ ,222212222a k ab x x b a k -=+ 1212OA OB x x y y ⋅=+212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++2221212(1)()x x k k x x k =++++22222242222222()(1)2()a k ab k a k k b a k b a k-+-++=+ 2222222222()k a b a b a b b a k +--=+ 24222222(31)k a a a b b a k -+--=+………………10分令42()31m a a a =-+- , 由 ①可知 ()0m a < ,AOB ∴∠恒为钝角. ,所以恒有222OA OB AB +<．………………12分21. 解： (Ⅰ )0122)(2/≥+++=x ax x x f 在区间),1[+∞上恒成立 , 即x x a 222--≥区间),1[+∞上恒成立 , …………………1分4-≥a .………………3分经检验 , 当a ＝ - 4时 , 1)1)(2(21422)(2/+-+=+-+=x x x x x x x f ,),1[+∞∈x 时 ,0)(/>x f ,所以满足题意的a 的取值范围为[4,)-+∞.………………4分(Ⅱ )函数的定义域),1(+∞- ,0122)(2/=+++=x ax x x f ,依题意方程0222=++a x x 在区间),1(+∞-有两个不等的实根 ,记a x x x g ++=22)(2 ,那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->->->∆1210)1(0g ,得210<<a .……………………6分 ,121-=+x x 022222=++a x x ,221212a x -+-= ,0212<<-x , 2222222121)1ln()22()(x x x x x x x f --++-=,令)0,21(,1)1ln()22()(22-∈--++-=x x x x x x x k ……………………8分)1ln(21)(2+++-=x x x x x k ,)1ln(2)1()(22/+++=x x x x k , 32//)1(262)(+++=x x x x k , 因为2)0(,1)1(////=-=-k k ,存在)0,1(0-∈x ,使得0)(0//=x k , 0)0(/=k ,02ln 21)2(/<-=-k ,0)(/<∴x k ,所以函数)(x k 在)0,2(-为减函数 ,…………………10分)21()()0(-<<k x k k 即2ln 21)(012+-<<x x f ……………………12分法二:6分段后面还有如下证法 ,可以参照酌情给分.【证法2】2x 为方程2220x x a ++=的解 ,所以22222x x a --=,∵102a <<, 120x x << ,212x =- ,∴2102x -<<,先证21()0f x x > ,即证2()0f x < (120x x << ), 在区间12(,)x x 内 ,()0f x '< ,2(,0)x 内()0f x '> ,所以2()f x 为极小值 ,2()(0)0f x f <=, 即2()0f x < ,∴21()0f x x >成立；…………………8分再证21()1ln 22f x x <-+ ,即证22211()(ln 2)(1)(ln 2)(1)22f x x x >-+--=-+, 222222211(22)ln(1)(ln 2)ln 222x x x x x -++-->-,令221()(22)ln(1)(ln 2)2g x x x x x x =-++-- , 1(,0)2x ∈-…………………10分2(1)1()2(42)ln(1)(ln 2)12x x g x x x x x +'=-++---+,12(21)ln(1)(ln 2)2x x =-++--,ln(1)0x +< ,210x +> ,1ln 202-<,∴()0g x '> ,()g x 在1(,0)2-为增函数．111111()()(21)ln (ln 2)244222g x g >-=-⨯-+-111111ln ln 2ln 2422422=++-=-．综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立．………………………12分22.证明: (Ⅰ )∵∠BAD ＝∠BMF ,所以A,Q,M,B 四点共圆 ,……………3分所以PA PB PM PQ ⋅=⋅.………………5分(Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅ ,∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ,又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆ ,……………7分 ∴PMD PCQ ∠=∠ ,那么DCB FMD ∠=∠,………………8分 ∵BAD BCD ∠=∠ ,∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠,2BOD BAD ∠=∠,所以BMD BOD ∠=∠.…………………10分23.解：(Ⅰ)依题意22sin cos ρθρθ=………………3分得：x y =2∴曲线1C 直角坐标方程为：x y =2.…………………5分(Ⅱ)把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty tx 22222代入x y =2整理得：0422=-+t t ………………7分0>∆总成立 ,221-=+t t ,421-=t t23)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB ………………10分另解：(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2 ,把x y -=2代入x y =2得： 0452=+-x x ………………7分0>∆总成立 ,521=+x x ,421=x x23)445(212212=⨯-=-+=x x k AB …………………10分 24. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞………………5分 (Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x a x a x x a x x f ,2232,222,223)(；时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩；时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x a x a x x f ； ∴)(x f 的最|小值为)()2(a f f 或；………………8分那么⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ,解得1≤a 或3≥a .………………10分。

河北石家庄高三一模数学(理)试卷扫描版含答案

石家庄2019届高中毕业班模拟考试（一）理科数学答案一、选择题A 卷答案：1-5 CDACB 6-10BCCBD 11-12DA B 卷答案：1-5 CDBCA 6-10ACCAD 11-12DB 二、填空题13. 1 14. ()122y x =- 或()122y x =--三、解答题17. 解: （1） ∵△ABC 三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B=60°设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,由S ==1sin 2ac B 可得12ac =.……2分 ∵sin 3sin C A =，由正弦定理知3c a =，∴2,6a c ==. ……4分△ABC 中，由余弦定理可得2222cos 28b a c ac B =+-=，∴b=即AC 的长为……6分（2）∵BD 是AC 边上的中线，∴1()2BD BC BA =+ ……8分 ∴2221(2)4BD BC BA BC BA =++⋅=221(2cos )4a c ac B ++=221()4a c ac ++1(2)94ac ac ≥+=，当且仅当a c =时取“=” ……10分 ∴3BD ≥,即BD 长的最小值为3. ……12分18. 解：（1）证明：在PBC ∆中，60oPBC ∠=，2BC =，4PB =，由余弦定理可得PC = 222PC BC PB +=，PC BC ∴⊥，…………2分,PC AB AB BC B ⊥⋂=又，PC ABC ∴⊥平面，PC PAC ⊂平面，PAC ABC ∴⊥平面平面.…………4分（2）法1：在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以,,CA CM CP 所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系C xyz -如图所示：(0,0,0),(2,0,0),(1C P AB (1F ，…………6分设平面PBC 的一个法向量为111(,,)x y z =m则11100CB x CP ⎧∙==⎪⎨∙==⎪⎩m m解得1x 11y =-，10z =即1,0)=-m …………8分设平面BCF 的一个法向量为222(,,)x y z =n则222200CB x CF x ⎧∙=+=⎪⎨∙==⎪⎩n n解得2x =21y =-，21z =-即1,1)=--n …………10分cos ,<>===m n m n m n 由图可知二面角P BC F --为锐角，所以二面角PBC F --12分法2：由（1）可知平面PBC ⊥平面ABC ，所以二面角P BC F --的余弦值就是二面角A BC F --的正弦值，…………6分作FM AC ⊥于点M ，则FM ⊥平面ABC ，作MN BC ⊥于点N ，连接FN ，则FN BC ⊥∴FNM ∠为二面角A BC F --的平面角；…………8分点F 为PA 中点，∴点M 为AC 中点，在Rt FMN ∆中，12FM PC==MN = FN ∴=…………10分 sin FM FNM FN ∴∠==,所以二面角PBC F --12分19. 解答：根据题意可得y111(30)5525133(31)25102512331(32)2551010411327(33)2251010525312211(34)210105550212(35)251025111(36)1010100P P P P P P P ξξξξξξξ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=……..部分对给2分，全对给4分ξ的分布列如下：…………………………………5分13171121()3031323334353632.825254255025100E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……6分（2）当购进32份时，利润为()()2131324314830416107.5213.92 4.16125.6252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=++=……8分当购进33份时，利润为()()()591313343248314163042477.883012.96 3.84124.6810042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=+++=……10分 125.6>124.68可见，当购进32份时，利润更高！……12分 20. 解：（1）由抛物线定义,得02pPF x =+，由题意得：0022240p x x px p ⎧=+⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩……2分解得021p x =⎧⎨=⎩所以，抛物线的方程为24y x = ……4分（2）由题意知，过P 引圆()2223(0x y r r -+=<≤的切线斜率存在，设切线PA 的方程为1(1)2y k x =-+，则圆心M 到切线PA 的距离d r ==，整理得，22211(4)840r k k r --+-=.设切线PB 的方程为2(1)2y k x =-+,同理可得22222(4)840r k k r --+-=. 所以，12,k k 是方程222(4)840r k k r --+-=的两根，121228,14k k k k r +==-. ……6分设11(,)A x y ，22(,)B x y由12(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩得，2114480k y y k --+=，由韦达定理知，111842k y k -=，所以11211424242k y k k k -==-=-，同理可得2142y k =-. ……8分设点D 的横坐标为0x ，则222121212122()2()12()2()3k k k k k k k k =+-++=+-+- ……10分设12t k k =+，则[)284,24t r =∈---，所以，20223x t t =--，对称轴122t =>-，所以0937x <≤ ……12分21.解：（1）2211(1)(),0a x a f x x x x x---'=-=>（）当10a -≤时，即1a ≤时，()0f x '>，函数)(x f 在(0,)+∞上单调递增，无极小值；……2分当10a ->时，即1a >时，()0,01f x x a '<⇒<<-，函数)(x f 在(0,1)a -上单调递减；()0,1f x x a '>⇒>-，函数)(x f 在(1,)a -+∞上单调递增；()=(1)1ln(1)f x f a a -=+-极小综上所述，当1a ≤时，)(x f 无极小值；当1a >时，()1ln(1)f x a =+-极小 ……4分（2）令1(sin 1)2ln sin 1()()()ln ,(0)a a x x x a x F x f x g x x x x x x-+--+=-=+-=> 当11a -≤≤时，要证：)()(x g x f >，即证()0F x >,即证ln sin 10x x a x -+>，法1：要证ln sin 10x x a x -+>，即证ln sin 1x x a x >-.①当01a <≤时，令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >. ……6分∴1sin 1ax a x ->-*（） ……7分令()ln 1q x x x x =-+，()=ln q x x '，当(0,1),()0x q x '∈<，()q x 在(0,1)单调递减；(1,),()0q x x '∈+∞>，()q x 在(1,)+∞单调递增，故()(1)0q x q ≥=，即ln 1x x x ≥-.当且仅当1x =时取等号又01a <≤，∴ln 11x x x ax ≥-≥-**（）由*（）、**（）可知ln 11sin 1x x x ax a x ≥-≥->-所以当01a <≤时，ln sin 1x x a x >- ……9分 ②当=0a 时，即证ln 1x x >-. 令()=ln m x x x ，()=ln 1m x x '+，()m x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，min11()()=1m x m e e=->-，故ln 1x x >-.……10分③当10a -≤<时，当0,1]x ∈（时，sin 11a x -<-，由②知1()ln m x x x e =≥-，而11e->-，故ln sin 1x x a x >-； ……11分当1,x ∈+∞（）时，sin 10a x -≤，由②知()ln (1)0m x x x m =>=，故ln sin 1x x a x >-；所以，当0,x ∈+∞（）时，ln sin 1x x a x >-. 综上①②③可知，当11a -≤≤时，)()(x g x f >. ……12分法2：当11a -≤≤时，下证ln sin 10x x a x -+>，即证ln sin 1x x a x >-. ……5分① 当1x >时，易知ln 0x x >，sin 10a x -≤，故ln sin 10x x a x -+>； (6)分②当1x =时，0sin110a -+>显然成立，故ln sin 10x x a x -+>； ……7分 ③当01x <<时，sin 0x >，故sin sin sin x a x x -≤≤，令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >.，故sin a x x <； ……9分只需证()ln 10q x x x x =-+>，()=ln q x x '，当(0,1),()0x q x '∈<，()q x 在(0,1)单调递减，故()(1)0q x q >=，故ln sin 10x x a x -+>； ……11分综上①②③可知，当11a -≤≤时，)()(x g x f >. ……12分法3：易知1sin ()()ln xf xg x x a x x-=+- 要证()()f x g x >，即证1sin ln xx a x x+>⋅……6分令1()ln x x x ϕ=+，则'21()x x xϕ-=，故min ()(1)1x ϕϕ== ……8分令()sin h x x x =-，()cos 10h x x '=-≤，故()h x 在0+∞（，）上递减由(0)0h =，从而当0x >时sin x x <，故sin 1xx< ……10分由11a -≤≤，故sin 1xa x⋅< ……11分综上，当11a -≤≤时，()()f x g x > ……12分 22.（Ⅰ）曲线C 的普通方程为：, ……2分令，……3分化简得；……5分（Ⅱ）解法1：把……6分令，……7分方程的解分别为点A,B的极径，……8分，……10分解法2：射线的参数方程为，把参数方程代入曲线C的平面直角坐标方程中得，, ……6分令，得，……7分方程的解分别为点A,B的参数，……8分，……10分23.（Ⅰ）不等式可化为……1分或……2分或……3分解得的解集为……5分（Ⅱ）……6分，……8分当且仅当时，即时，取“=”，的最小值为．……10分方法2：……6分，……8分当时，取得最小值为．……10分。

河北省石家庄市高三数学第一次模拟考试理(扫描版)

2010-2011年度石家庄市第一次模拟考试理科数学答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.（A 卷答案）:1-5 ADCDA 6-10 BDDAB 11-12 CD（B 卷答案）:1-5 BDCDB 6-10 ADDBA 11-12 CD二、填空题: 本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．1或2 14. 15. ( 16. 0 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：（I ）解法一：∵0cos )2(cos =++B c a C b ，由正弦定理得：B A BC C B cos sin 2cos sin cos sin -=+，即B A C B cos sin 2)sin(-=+.………………2分在ABC △中，A C B -=+π，∴B A A cos sin 2sin -=，0sin ≠A ………………3分 ∴21cos -=B ，∴3π2=B .………………5分解法二：因为0cos )2(cos =++B c a C b ，由余弦定理222222(2)022a b c a c b b a c ab ac+-+-++=，化简得222a ac c b ++=，……………2分又余弦定理2222cos a c ac B b +-=,……………3分所以1cos 2B =-,又(0,)B ∈π,有23B =π.……………5分（II ）解法一： ∵2222cos b a c ac B =+-，∴224a c ac =++，……………6分 23ac ac ac ≥+=. ∴43ac ≤，………………8分∴114sin 223ABC S ac B ∆=≤⨯=9分当且仅当a c ==10分解法二：由正弦定理知：Bb Cc sin sin =， )3πsin(3343π2sin )3πsin(2sin sin A A B C b c -=-⋅==.………………6分 ∴ABC S △==A bc sin 21)3π0(sin )3πsin(334<<-A A A , A A A sin )sin 21cos 23(334-=A A A 2sin 332cos sin 2-= )2cos 1(332sin A A --=332cos 332sin -+=A A 33)6π2sin(332-+=A ，………………8分 ∵3π0<<A ，∴6π56π26π<+<A ， ∴12πsin )6π2sin(=≤+A ，………………9分 ∴3333)6π2sin(332≤-+A ，即ABC △的面积ABC S △的最大值是33.………………10分 18．(本小题满分12分)解：方法一：（Ⅰ）取AB 中点M ,连结CM 、EM ,由ABC ∆为正三角形，得CM AB ⊥，又AE A B C ⊥面，则AE CM ⊥，可知C M A B E ⊥面，所以MEC ∠为CE 与平面ABE 所成角．……………2分tan CM EM α==，………………4分因为[,]64αππ∈，得tan [,1]3α∈，得2k ≤≤.……………6分（Ⅱ）延长AC ED 、交于点Ｓ，连BS ，可知平面BDE 平面ABC =BS .………………………7分由//CD AE ，且12C D A E =，又因为AC CS BC ===1，从而AB BS ⊥，…………………8分又AE ⊥面ABC ，由三垂线定理可知BE BS ⊥，即EBA ∠为平面BDE 与平面ABC 所成的角；……………………10分则tan AE EBA AB∠== 从而平面BDE 与面ABC所成的角的大小为arc .………………12分方法二：解：（Ⅰ）如图以C 为坐标原点，CA 、CD 为y 、z 轴，垂直于CA 、CD 的直线CT 为x 轴，建立空间直角坐标系（如图），则设(0,1,0)A ，(0,0,)2kD ，(0,1,)E k，1,0)2B .……………2分取AB 的中点M，则3,0)4M ，易知,ABE 的一个法向量为33(,0)4CM =,由题意3sin ||||CE CM CE CM α⋅===⋅.………………4分由[,]64αππ∈，则12sin 2α≤=≤，得2k ≤≤…………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知k 最大值为，则当k =时，设平面BDE 法向量为x,y,z ）n =(，则0,230.2DE y z yBE z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩n n 取n=， (8)分又平面ABC 法向量为m =(0,0,1），……………………10分所以cos(,)n m=，所以平面BDE 与平面ABC 所成角大小……………………12分 19．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0,)+∞.…………………1分21()f x x a x '=+-=221x ax x-+（0x >），设2()21g x x ax =-+，只需讨论()g x 在(0,)+∞上的符号.…………………2分（1）若04a ≤，即0a ≤，由()g x 过定点(0,1)，知()g x 在(0,)+∞上恒正，故()0f x '>，()f x 在（0，+∞）上为增函数.…………………3分（2）若04a >，当280a -≤时，即0a <≤()0g x ≥（当2x =时，取“=”），故()0f x '≥，()f x 在（0，+∞）上为增函数；……………………4分当280a ->时，由2210,x ax -+=得x = 当0x <<或x>()0g x '>，即()0f x '>， x<<时，()0g x '<，即()0f x '<．则()f x 在(44a a +上为减函数，在(0,)4a -，()4a +∞上为增函数.………………5分综上可得：当a ≤(f x ）的单调增区间（0，+∞）;当a >(f x ）的单调增区间为(0,4a ，()4a ++∞；函数(f x ）的单调减区间为(44a a -+.…………………6分（Ⅱ）由条件可得2ln 00)x x ax x --≤>（，则当0x >时，ln x a x x≥-恒成立，………………8分令ln ()(0)x h x x x x =->，则21ln (),x x h x x--'=…………………9分方法一：令2()1ln (0)k x x x x =-->，则当0x >时，1()20k x x x '=--<，所以()k x 在（0，+∞）上为减函数. 又(1)0h '=，所以在（0，1）上，()0h x '>；在（1，+∞）上，()0h x '<．………10分所以()h x 在（0,1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数.所以max ()(1)1h x h ==-，所以 1.a ≥-……………12分方法二：当01x <<时，210,ln 0,x x ->->()0h x '>；当1x >时，210,ln 0,x x -<-<()0h x '<．……………10分所以()h x 在（0,1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数.所以max ()(1)1h x h ==-，所以 1.a ≥-………………12分20．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）记总分得50分为事件D ，记A ，B 答对，C 答错为事件D 1，记A ，B 答错，C 答对为事件D 2，则D =D 1+D 2，且D 1，D 2互斥.……………1分又81)411(3121)(1=-⨯⨯=D P ，………………3分36141)311(21)(33222=⨯⨯-⨯=A A D P .…………………5分所以12121111()()()()83672P D P D D P D P D =+=+=+=. 所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为1172.……………6分（Ⅱ）ξ可能的取值是0,30,50,70,80100，.……………7分100=ξ表示A ，B ，C 三题均答对，则241413121)100(=⨯⨯==ξP ，……………8分同理，2414131)211()80(=⨯⨯-==ξP ， 12141)311(21)70(=⨯-⨯==ξP ， 81)411(3121)50(=-⨯⨯==ξP ， 81)411(31)211()30(=-⨯⨯-==ξP ， 127)311()211()411()311(21)0(=-⨯-+-⨯-⨯==ξP ，所以，ξ的分布列为所以ξ的数学期望111117010080705030242412883E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………12分 21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）方法一：设直线M A 1与N A 2的交点为),(y x P ，∵21A A ，是椭圆1322=+y x 的上、下顶点， ∴12(0A A ，，…………………1分111yA M y xx-=：，121yA N y xx++=-：，两式相乘得22121233xxyy--=-.………………………3分而),(11yxM在椭圆1322=+yx（1x≠）上，所以132121=+yx，即332121=--xy，所以2233xy=-.……………4分又当0x=时，不合题意，去掉顶点.∴直线MA1与NA2的交点的轨迹C的方程是221(0)3yx x-=≠；……………5分方法二：设直线MA1与NA2的交点为),(yxP，∵21AA，是椭圆1322=+yx的上、下顶点，∴12(0A A，，…………………1分∵PMA、、1共线，PNA、、2共线，∴xyxy3311-=-…………①xyxy3311+=-+…………②…………………3分①⨯②得22212133xyxy-=--，又∵132121=+yx即332121=--xy，∴3322=-xy，即221(0)3yx x-=≠，∴直线MA1与NA2的交点的轨迹C的方程是1322=-xy；（0x≠）……………5分（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，由已知，其斜率一定存在，设其斜率为k，设)(11y x A ，，)(22y x B ，，)0(0y E ，，由2221.3y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得)3(014)3(222≠=++-k kx x k ， 3134221221-=--=+k x x k k x x ，.…………………6分 11(2)AF x y =--，，22(2)FB x y =-，，∵AF FB λ=，∴21x x λ=-，∵02≠x ，∴21x x -=λ， ∵(02)OF =，，110()EA x y y =-，，220()EB x y y =-，，121020()EA EB x x y y y y λλλλ-=---+，，，又∵()OF EA EB λ⊥-，∴()0OF EA EB λ⋅-=，∴0)2(0020121=+--⨯+-⨯y y y y x x λλλ（），即00201=+--y y y y λλ.………………………8分将211+=kx y ，222+=kx y ，21x x -=λ代入上式并整理得0212121)()(22y x x x x x kx +=++，…………………9分当021≠+x x 时，232332222221210=+--=++=k k kx x x kx y ，当021=+x x 时，0=k ，0212121)()(22y x x x x x kx +=++恒成立，…………………11分所以，在y 轴上存在定点E ，使得()OF EA EB λ⊥-，点E 的坐标为)230(，．………12分22.(本小题满分12分)（I ）证明：方法一：∵011>=a ，由12131)11(-+++=n n n a n a 得02>a ，于是易得0>n a .………………2分又*12110()3n n n n a a a n n +--=+>∈N ，即*1()n n a a n +>∈N 又∵32=a ，∴32=≥a a n （2≥n ）.…………………4分方法二：数学归纳法（1）当2=n 时，332≥==a a n ，命题成立.………………1分（2）假设当k n =（2≥n ）时命题成立，即3≥k a ，当1+=k n 时， 12131)11(-+++=k k k a k a 33112≥>++=-k k k k a k a a ∴1+=k n 时命题成立.………………3分由（1）（2）可知，当2≥n 时，3≥n a .…………………4分（II ）证明：由（I ）知12131)11(-+++=n n n a n a 2121111(1)(1)33n n n n n a a a n n --≤++=++,……………5分两边取自然对数得：)3111ln(ln ln 121-++++≤n n n n a a .………………6分令)0()1ln()(≥-+=x x x x f ，则当0x >时，01111)(<+-=-+='xx x x f 恒成立， ∴)(x f 为)0[∞+，上的减函数，∴0)0()(=≤f x f ∴x x <+)1ln(在0>x 时恒成立，………………7分 12111111ln ln ln (1)33n n n n n a a a n n n +--<++<++-131111ln -+--+=n n n n a 即<-+n n a a ln ln 1131111-+--n n n （2≥n ），………………9分故，21311121ln ln --+---<-n n n n n a a ， 321312131ln ln ---+---<-n n n n n a a ， ……………………………31211ln ln 23+-<-a a ，以上各式相加得：2211[1()]11333ln ln 11112213n n a a n ---<-+<+=--，（3≥n ）…………10分又∵32=a ，∴33ln 23ln <+<n a ，∴3e <n a （3≥n ），………………11分又∵<=11a 3e ，<=32a 3e ， ∴3e <n a （*n ∈N ）.…………………12分。

2023年河北省石家庄市高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2023年河北省石家庄市高考数学一模试卷1. 设全集，若集合M满足，则( )A. B. C. D.2. 已知复数，则( )A. B. C. D.3. 为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是3：1，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是( )A. 16B. 24C. 32D. 404. 函数的大致图象为( )A. B. C.D.5. 已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为( )A. B. C. D.6. 中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小球的个数为( )A. 2400B. 2401C. 2500D. 25017. 已知圆台的上、下底面圆的半径之比为，侧面积为，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为( )A. B. C. D.8. 已知在上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.9. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则x的值可以是( )A. B. C. 0 D.10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则( )A. A与B互斥B. B与C相互独立C.D.11. 已知抛物线C：的焦点为F，过点分别向抛物线C与圆F：作切线，切点为分别为P，不同于坐标原点，则下列判断正确的是( )A. B. C. P，Q，F三点共线 D.12. 定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意，恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有( )A. 函数在上满足阶李普希兹条件B. 若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为2C. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解D. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则存在满足条件的函数，存在，，使得13. 某工厂生产的一批电子元件质量指标X服从正态分布，且，若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为______ .14. 已知，则______ .15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为______ .16. 长方体中，，，平面与直线的交点为M，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线CM与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是______ .17. 已知等比数列的前n项和为求数列的通项公式；设数列满足，求数列的前n项和18. 已知内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，求B；若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.19. 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为注：比赛结果没有平局求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.20. 如图，在▱ABCD中，，，将沿BD折起，使得点A到达点P处，如图若，求证：；若，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值.21. 已知函数当时，求的极小值.若有两个零点，求实数a的取值范围.22. 已知双曲线：，F为双曲线的右焦点，过F作直线交双曲线于A，B 两点，过F点且与直线垂直的直线交直线于P点，直线OP交双曲线于M，N两点.若直线OP的斜率为，求的值；设直线AB，AP，AM，AN的斜率分别为，，，，且，，记，，，试探究v与u，w满足的方程关系，并将v用w，u表示出来.答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意可得：，显然4是M中的元素，故ABD错误，C正确．故选：根据元素与集合的关系及补集运算即可．本题考查元素与集合的关系及补集概念，属基础题．2.【答案】B【解析】解：故选：利用复数乘法的几何意义求复数的模即可．本题考查复数的运算，属基础题．3.【答案】A【解析】解：设被抽取参与调研的乙村村民有x人，则甲村被抽取参与调研的有3x人，所以，即，所以参加调研的总人数为故选：根据分层抽样的要求计算即可．本题考查分层抽样的概念，属基础题．4.【答案】A【解析】解：由，故函数为非奇非偶函数，排除B、C；由，，所以，即可排除故选：应用定义判断函数奇偶性，比较，结合排除法即可得答案．本题考查函数的图象问题，函数的奇偶性，特值点，属中档题．5.【答案】B【解析】解：，，可得，所以在方向上的投影向量为故选：由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可．本题考查向量数量积的运算，向量数量积的性质，投影向量的概念，属基础题．6.【答案】D【解析】解：不妨设第n层小球个数为，由题意，，……，即各层小球之差成以3为首项，2为公差的等差数列，所以，故有，累加可得：，故故选：依据等差数列的定义与求和公式，累加法计算即可．本题考查数列的应用，累加法的应用，属基础题．7.【答案】C【解析】解：设圆台的上底面圆半径为r，则底面圆半径为2r，母线长为l，如图所示，作出圆台与球的轴截面．由于球O与圆台的上下底面及母线均相切，故根据圆台的侧面积公式，可得，所以球的直径为，故半径为，表面积为：故选：由圆台的侧面积公式及球的表面积公式计算即可．本题考查圆台的内切球问题，球的表面积公式的应用，方程思想，属基础题．8.【答案】D【解析】解：，且，，两边取对数可得，根据题意可得与在上有两个交点，设，则，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，，且时，；时，，要使与在上有两个交点，则，，故选：根据题意可得，两边取对数可得，从而根据题意可得与在上有两个交点，设，再利用导数研究的单调性及最值，从而建立不等式，即可求解．本题考查方程的解的个数问题，利用导数研究函数的单调性，数形转化思想，属中档题．9.【答案】BC【解析】解：根据三角函数的定义可得：，解得或，故选：根据三角函数的定义，建立方程，即可求解．本题考查三角函数的定义，方程思想，属基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于A项，互斥事件指不可能同时发生的两个事件，事件A可以有以下情况：第一次掷出1，第二次掷出5或第一次掷出3，第二次掷出3等，如此与事件B有同时发生的可能，故A错误；对于B项，，，故B正确；对于C项，易知，故C错误；对于D项，点数和为6，且两次点数相同仅有都是3点一种情况，故，故D项正确．故选：对于A、B选项，根据事件的对立与互斥定义即可分辨；对于C、D选项利用概率公式计算即可．本题考查互斥事件与独立事件的概念，古典概型的概率公式的应用，属基础题．11.【答案】ABC【解析】解：由题意可知抛物线的焦点，要求P，Q不同于一点，所以切线MP，MQ的斜率存在，且直线PM的斜率不为0，设抛物线的切线方程为，设，则P在x轴上方，，圆的切线方程为，Q在x轴上方，联立，整理可得，可得，即，则，且，，即；联立，整理可得：，由题意可得，即，且，，，对于A：，，故A正确；对于B：，，故B正确；对于C：，，，，Q，F三点共线，故C正确；对于D：，，，故D不正确．故选：设抛物线的切线方程为，设，则P在x轴上方，，圆的切线方程为，Q在x轴上方，分别与抛物线联立方程组求得点P，Q的坐标，进而结合每个选项的条件进行计算可判断结论．本题考查抛物的性质，考查直线与抛物线位置关系，考查运算求解能力，属中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，假设函数在上满足阶李普希兹条件，则，设，则，，又因为，所以存在正数，对，均有成立，故A正确；B选项：不妨设，因为在上单调递增，所以，所以，即为，即对，，恒成立，即在上单调递减，所以对恒成立，所以对恒成立，即，即M的最小值为2，B选项正确；C选项：假设方程在区间上有两个解，t，则，这与矛盾，故只有唯一解，C选项正确；D选项：不妨设，当时，；当时，，故对，，，不存在，使，，D选项错误．故选：根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB选项；再利用反证法判断C选项；通过分类讨论可判断D选项．本题属于新概念题，考查了函数恒成立问题、运算能力及逻辑推理能力，理解定义是关键，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题设，故，所以故答案为：由正态分布的性质知，结合即可求概率．本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由由，则，故，所以故答案为：利用诱导公式、二倍角正弦公式找到目标式与已知函数的关系，应用同角三角函数关系求得，即可求值．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．15.【答案】【解析】解：设，则，，，，椭圆的焦距为2c，可得，解得，由，，由勾股定理可得：，可得，得故答案为：由，且，设，由椭圆的定义可得，的表达式，由勾股定理可得m，a的关系，进而可得c，a的关系，求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的性质的应用及勾股定理的应用，属中档题．16.【答案】【解析】解：由题意，为动直线CM与底面所成角，只需求旋转过程中直线CM与面所成角的最大角即可，又面面ABCD，只需求直线CM与面ABCD最大夹角正弦值，过C作，交延长线于M，连接，显然，所以，故为平行四边形，则，，，所以为等腰三角形，过M作于H，则H必在线段上，综上，绕旋转过程中，M点轨迹是以H为圆心，MH为半径的圆上，设，则，故，所以，解得，则，，绕旋转过程中，CM是为轴，圆H为底面的圆锥的母线，所以为圆锥轴截面顶角的一半，且恒定不变，又，，而直线与面ABCD夹角为，且，，令，则，而，令，则，而，综上，，故的最大值是故答案为：根据题设，将问题转化为求直线CM与面ABCD夹角最大值，利用平面的基本性质找到M点位置，并确定其轨迹为圆锥底面圆周，进而确定圆锥轴线与面ABCD的夹角、CM与圆锥轴线的夹角，利用和差角正余弦公式求它们的差、和正余弦值，即可确定的最值．本题主要考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．17.【答案】解：设的公比为q，由题知，所以，两式相除得，，所以，，；由知，，【解析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解；先求出，然后利用裂项求和即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题．18.【答案】解：由余弦定理得，即，所以，又，则法一：为锐角三角形，，则，所以，可得，又，则，故由，即，而，所以，故面积的取值范围为法二：由，画出如图所示三角形，为锐角三角形，点A落在线段端点，除外上，当时，，当时，，【解析】利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小；法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得，即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：设事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，设事件“甲队第j局获胜”，其中，2，3，4，相互独立，又甲队明星队员M前四局不出场，故，又，；设C为甲3局获得最终胜利，D为前3局甲队明星队员M上场比赛，则由全概率公式可知：，每名队员上场顺序随机，，又，，，；根据贝叶斯公式可得：【解析】根据独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解；根据条件概率公式，全概率公式，即可求解；根据贝叶斯公式，即可求解．本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，全概率公式，贝叶斯公式，属中档题．20.【答案】解：证明：平行四边形ABCD中，，可得，，，又，，，又，，平面BDC，；方法一：如图，过点D做，且，连接PF，CF，由题意可知，，，，平面PDF，，，，又平面BCFD，平面平面PDF，取DF中点O，连接PO，由，得，平面BCFD，且，过O点作OM垂直于DF，建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得，，，，，设平面PBC的法向量为，平面PDC的法向量为，，令，则，故平面PBC的一个法向量为，同理，令，则，故平面PDC的一个法向量为，所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为方法二：由，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，设其中，，，解得，，，设平面PDC的法向量为，平面PBC的法向量为，，令，则，故平面PDC的一个法向量为；同理，令，则，故平面PBC的一个法向量为，又因为两个平面的夹角范围为：，所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为，故平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为【解析】利用勾股定理可得，继而可得面BDC，如此得证；方法一、建立P点及其在底面BDC的投影连线为z轴，再构建底面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量求两面的夹角；方法二、直接分别以BD、BC方向为x、y轴，建立空间直角坐标系，利用线段长求得P点坐标，再利用空间向量求两面的夹角．本题考查线面垂直的性质，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．21.【答案】解：的定义域为R，当时，，令，解得当x变化时，，的变化情况如表：x0-0+单调递减单调递增因此，当时有极小值，极小值为，若，则，在单调递减，至多有一个零点；若，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，，即，，即且，故在有一个零点，，且，先证时：设，则，当时，当时，故在上递增，在上递减．当时取到最大值，故时，因此在有一个零点．综上，a的取值范围为【解析】利用导数研究的单调性，进而求其极小值；讨论、，结合的符号研究的单调性，根据零点存在性定理判断各情况下区间零点情况，即可得参数范围．本题主要考查函数零点个数问题及导数与单调性及极值，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题．22.【答案】解：设，，，由题意知P为，则直线斜率为，所以直线的斜率为，故直线的方程为：；联立直线和曲线：，显然，此方程的两根为，，由韦达定理得：，，所以；设，，，则，因为，故为，代入，得点，所以：，因为点在双曲线上，故，满足双曲线方程，即，所以，所以，，又，联立直线OP与双曲线C：，根据题意易知，此方程的两根即为，，所以，所以，即：，所以：，即：【解析】由已知得P为，设，，由直线垂直关系、点斜式写出直线的方程，联立曲线并应用韦达定理、弦长公式求；设，，，根据已知求得、，进而有、关于所设参数的关系，再求直线OP，联立曲线求得，结合已知确定v与u，w的关系．本题考查直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，属中档题．。

2020届河北省石家庄市一模数学(理科)试卷及答案

编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
166
167
160
173
178
169
158
173
(cm) xi
体重
57
58
53
61

66
57
50
66
(kg) yi
（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程 yˆ 0.8x 75.9 ．利用已经求得的线性
回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值
①函数 f (x) 的图象关于直线 x 对称； 4
②函数 f (x) 在区间 [ , ] 上单调递增； 44
③函数 f (x) 的最小正周期为．
其中真命题的个数是 ( )
A．0
B．1
C．2
D．3
11．已知 ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板 (RtACD 与 RtBCD) 组成的三角形，
C． x R ， f ( f (x))f (x)
D． x R ， f ( f (x)) f (x)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13．函数 y x lnx 在点 (1,1) 处的切线方程为．
14．已知向量
a
，
b
满足
|
a
|
2
，
|
R2 （保留两位有效数字）；
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
166
167
160
173
178
169

(全优试卷)河北省石家庄市高三数学一模考试(理科)试题 Word版含答案

2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =( )A ．{}|13x x ≤≤B ．{}|03x x ≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( ) A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，则||a b c +-的取值范围是（）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF的面积为则准线l 的方程为( )A．x =B．x =-C ．2x =-D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p :n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ；（Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值；（Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.1024 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-，即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =．在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥, ∵BD ⊄平面SAD ,SDAD D =,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则(3,2,3)SB =-，(33,0,3)SA =-，(2,3)SC =-，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z=，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =，∴1212cos 91||||13n n n n θ⋅===-⋅.19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得221)1D n x n -=+，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+22),1m m -=+② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x af x x x x x -+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立，则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为1x =，2x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞．（Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根，即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-，同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---，令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈． []22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->，又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增，所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ=，所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =． 23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-．（Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++，当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立，所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-；当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。

2020石家庄一模理科数学参考答案

1 k2
x1x2
2k 2
x1
x2
4k 2
1 3
……………… 9 分
从而 1 k2
8k 2 2 1 2k 2
2k
2
8k 2 1 2k2
4k 2
1 3
解得 k
1 2
2, 2
2 2
，…………11
分
所以直线 l 的方程为 x 2 y 2 0 或 x 2 y 2 0 . …………………………12 分
………………………7 分
则 A1(0,0, 3 ) ，B(1,4,0) ，C(1,0,0)， E(-1,2,0) .
A1C (1,0, 3)， EA1 (1,2, 3)， EB (2,2,0).
设平面
A1BE
的法向量为
n
(x1,
y1,
z1)
，则
EA1
n
x1
2
y1
EB n 2x1 2 y1
（2）解法二：
当 l y 轴时，其方程为 y 0 ， OP OQ 2 ，不合题意，…………………6 分
当 l 与 y 轴不垂直时，设 l : x my 2 ，
将 x my 2 代入 x2 y2 1 得 2 m2 y2 4my 2 0. 2
由
题
8 m2
2 得 0 m 2
d
x
x
, d
x
x
, d
x
x
，
带
入
d d d
得
x x x x x ，即 x x x . 由 F 为 ΔPPP 的重心，则有
x x
x
,
y
y
y
，即

河北省石家庄市第二中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题及其详细解析

第1页共26页河北省石家庄二中2024届高三第一模拟测试
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知i 12i z ⋅=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（
）A.2
B. C.4 D.5【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法运算可求得2i z =-，结合共轭复数定义和乘法运算即可求得结果.
【详解】根据题意由i 12i z ⋅=+可得()212i i 12i 2i i i
z ++===-，可得2i z =+，所以()()22i 2i 4i 5z z ⋅=-+=-=.
故选：D
2.已知向量(4)a m = ，，(1)b m = ，，若a 与b 反向共线，则2a b - 的值为（
）A.0
B.
C.
D.【答案】C
【解析】【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可.
【详解】根据题意可得：24m =，解得2m =或2-；
当2m =时，a 与b 共线同向，故舍去；
当2m =-时，()()2,4,1,2a b =-=- ，()24,8a b -=- ，
2a b -=
= .故选：C.
3.已知集合{}{}22|20,lo (1|g )A x B x y x x x ===<---，则A B ⋃=（）。

2024石家庄一模数学-答案(2024-03-07 )

1 2023-2024年度质量检测（一）数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1-4 BCDB 5-8 CADD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 .BC 10.BCD 11 ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．13．5- 14． 2n n b = 27四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（解答题仅提供一种或两种解法的评分细则，其他解法请各校教研组依据本评分标准商讨进行）15. （13分）解：（1）∵222a b c +=，∴222-a b c +=，∴222-cos =2a b c C ab + ………………………………………2分22ab ==- …………………………………………………3分∵C ∈()0，π，∴3=4C π …………………………………………………5分 (2) ∵c ＝2b cos B 由正弦定理可得：sin 2sin cos C B B = …………………………………………………7分∴sin sin 2=2C B = …………………………………………………8分 ∵3=4C π ∴B ∈(0,4π)，2 B ∈(0,2π) ∴2==48B B ππ， …………………………………………………9分 ∴3=-848ππππ-=A ∴a =b =1 …………………………………………………11分 △ABC的面积为113sin 11sin =2244ab C π=⨯⨯⨯ …………………………………………………13分高中数学芝士。

河北省石家庄市高三数学一模考试(理科)试题-Word版含答案

2017 届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试一试卷数学(理科)B 卷第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1.已知会合A x | 0x 5, B x N *| x 1 2 ,则 A I B( )A．x |1x 3B．x | 0x 3 C． 0,1,2,3D．1,2,32.若 z 是复数,z12i, 则z z ()1iA．10B．5C． 1D．5 2223.以下说法错误的选项是 ( )A．回归直线过样本点的中心( x, y)B．两个随机变量的线性有关性越强, 则有关系数的绝对值就越靠近于1C．对分类变量X 与 Y ,随机变量 K 2的观察值 k 越大,则判断“ X 与 Y 有关系”的掌握程度越小D．在回归直线方程$0.2x 0.8$y中, 当解说变量x每增添 1 个单位时 , 预告变量y均匀增添0.2 个单位4. 函数f ( x)e x3x 1 ( e 为自然对数的底数) 的图象大概是 ( )5. 函数f ( x) Asin(x ) (A 0,0 )的最小正周期为, 其图象对于直线x对3称,则|| 的最小值为()A．B．C．5D．51266126.r r r r rr r r已知三个向量 a ，b ，c 共面，且均为单位向量， a b，则 | a b c |的取值范围是（）A．21,21B．1, 2C．2,3D． 2 1,17.某几何体的三视图以下图（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A． 48B． 54C． 64D． 608. 已知函数 f (x) 在 ( 1,) 上单一,且函数 y f (x2) 的图象对于x 1对称,若数列a n 是公差不为0 的等差数列 , 且f (a50) f (a51 ) ,则a n的前 100 项的和为 ( )A．200B．100C．0D．509. 祖暅是南北朝时代的伟大科学家， 5 世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” ．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，假如截面面积都相等，那么这两个几何体的体积必定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则知足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④x y20,10. 已知x，y知足拘束条件x 2 y20, 若 2x y k0 恒成立,则直线 2x y k 02x y20,被圆 ( x1)2( y2) 225 截得的弦长的最大值为()A．10B．2 5C．4 5D．3 5y2 2 px( p uuur uuur11. 已知过抛物线0) 的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且 AF3FB ,抛物线的准线 l 与x轴交于点 C ,AA1l 于点 A1,若四边形 AA1CF 的面积为12 3 ,则准线l 的方程为 ( )A．x2B．x22C．x2D．x112. 已知函数f ( x)ax eln x 与 g(x)x2, 此中e为自的图象有三个不一样的公共点x eln x然对数的底数, 则实数a的取值范围为 ( )A．a e B．a1C．a e D．a3或 a1第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13.已知命题 p : n N ，n22n，则p 为．14.程序框图以下图, 若输入s0 , n10 , i0 ,则输出的s为．15.x2y21（a0 ， b0 ）的左、右焦点，点P 为双曲线右已知 F1、 F2分别为双曲线b2a2支上一点， M 为PF1F2的心里，知足 S MPF1SMPF2S MF1F2，若该双曲线的离心率为3，则（注： S MPF1、 S MPF2、S MF1F2分别为MPF1、MPF2、MF1F2的面积）．16.已知数列a n中 , a1 a , a n 13a n8n 6 ,若a n为递加数列 , 则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.在 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是a， b ，c，且sin C a b .sin A sin B a c （Ⅰ）求角 B 的大小；uuur uuur（Ⅱ）点 D 知足BD 2BC，且线段 AD 3 ，求 2a c 的最大值.18.在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DBA 60， SAD30，AD SD 2 3， BA BS 4.（Ⅰ）证明：BD平面SAD；（Ⅱ）求二面角 A SB C 的余弦值．19. 人耳的听力状况能够用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25 db（分贝），并规定测试值在区间 (0,5] 为特别优异，测试值在区间(5,10] 为优异．某班50 名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频次散布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10] 的同学中随意抽拿出 4 人，记听力特别优异的同学人数为X ，求 X 的散布列与数学希望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的 4 人中任选一人参加一个更高级其他听力测试，测试规则以下：四个音叉的发生状况不一样，由强到弱的序次分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机摆列，被测试的同学挨次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号a1， a2， a3， a4（此中 a1， a2， a3，a4为1,2,3,4的一个摆列）．若 Y 为两次排序偏离程度的一种描绘，Y |1 a1 || 2 a2| | 3a3 | | 4 a4 | ，求Y 2 的概率．20. 已知椭圆C：x2y21的左极点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的2两个动点，且MF NF ，直线 AM 和 AN 分别与椭圆 C 交于 E ， D 两点．（Ⅰ）求 MFN 的面积的最小值；（Ⅱ）证明：E，O， D三点共线.21. 已知函数 f ( x) x2 1 a ln(1x) ，a R．（Ⅰ）若函数 f (x) 为定义域上的单一函数，务实数 a 的取值范围；（Ⅱ）若函数 f (x) 存在两个极值点x1， x2，且 x1x2，证明： f ( x1 )f (x2)．请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为本来的1，得2到曲线 C2，以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，C1的极坐标方程为2 ．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点 O 且对于 y 轴对称的两条直线l1与 l2分别交曲线 C2于A、C和B、D，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l1的一般方程．23.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f ( x)| 2x 4 | | x a |．（Ⅰ）当 a2时， f ( x) 的最小值为1，务实数a的值；（Ⅱ）当 f ( x)| x a 4 |时，求 x 的取值范围．2017 届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试一试卷数学( 理科 )B 卷答案一、选择题1-5: DDCDB6-10:ADBDB11 、 12：AB二、填空题13. n0N ， n022n014.102415.116. a 73三、解答题17. 解：（Ⅰ）∵sin C a b，由正弦定理得c a b ，sin A sin B a c a b a c ∴ c(a c)(a b)(a b) ，即a2c2b2ac ，又∵ a2c2b22ac cos B ，1∴ cosB，2∵B (0,)，∴B3．（Ⅱ）在ABC 中由余弦定理知：c2(2 a)2 2 2a c cos6032，∴ (2 a c)29 3 2ac ，∵ 2ac( 2a c )2，23(2a c) 2，即(2 a3∴ (2a c)29c)236 ，当且仅当2a c ，即 a， c 3 时取等42号，因此2a c 的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD 中，AB AD，由已知DBA60， AD 2 3 ，ADB sinsin DBABA 4 ，解得sin ADB1，因此 ADB90，即 AD BD ，可求得 BD 2．在 SBD中，∵SD 2 3,BS4, BD 2,∴ DB2SD2BS2,∴SD BD ,∵ BD平面 SAD, SDI AD D ,∴ BD平面 SAD ．（Ⅱ）过 D 作直线 l 垂直于 AD ，以 D 为坐标原点，以DA 为x轴，以 DB 为 y 轴，以 l 为z 轴，成立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面 SAD平面 ABCD ，∴ S 在平面 ABCD 上的投影必定在AD 上，过 S 作 SE AD 于 E，则DE3，SE3，则S(3,0,3)，易求 A(23,0,0)， B(0,2,0)， C (23, 2,0)，uur(3, 2,uur(3 3,0,uuur(3,2, 3)，则 SB3)，SA3)，SCur( x, y, z) ，3x2y3z0,ur2) ．设平面 SBC 的法向量 n13x 2 y3z0,解得 n1 (0, 3,uur同理可求得平面SAB的法向量n2ur uur∴ cosn1n2 5 3ur uur13 7| n1 || n2 |(1, 3,3) ，5 273.9119. 解：（Ⅰ） X 的可能取值为： 0,1,2,3,4 ．P( XC 6415C 41C 6380C 42 C 62900)， P(X 1)C 104， P(X 2)C 104，C 104 210210210P( XC 43C 61 243)，C 104210 P( XC 4414)，C 104 210X 的散布列为：X 012 34P1580 90 24 1210210210 210210E(X )15180 902441210231.6．210 210 210210（Ⅱ）序号 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 的摆列总数为 A 44 24 种，当 Y0 时， a 1 1 ， a 2 2 ， a 3 3 ， a 4 4 ．当 Y |1 a 1 | | 2 a 2 | |3 a 3 | | 4a 4 | 2 时， a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 的取值为a 1 1，a 2 2 ，a 3 4 ，a 4 3 ；a 1 1，a 23 ，a 32 ，a 4 4 ；a 1 2 ，a 21，a 3 3 ，a 44 ．故 P(Y2)4 124 ．620. 解：（Ⅰ）设 M (0, m) ， N (0, n) ，∵ MF NF ，可得 mn1 ，S1 | AF ||MN | 1|MN |，AMFN2 2∵|MN |2|MF |2 |NF|22|MF | | NF |，当且仅当 |MF | | NF | 时等号成立．∴ | MN |min2，∴( S MFN )min11 ，|MN |2∴四边形 AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵ A(2,0) ， M (0, m) ，∴直线AM的方程为 y m x m ，2 y m x m,2 2m2 x 2( m2 1) 0 ，由2得 (1 m2 ) x2x2 2 y22,由 2x E2(m21)，得 x E2( m2 1) ，①1 m2m2 1同理可得 x D2( n21) ，n212(1)212(12∵ m n1，∵x Dm m )1m2, ②()211m故由①②可知：x E x D，代入椭圆方程可得 y E2y D2∵ MF NF ，故 M ， N 分别在x轴双侧，y E y D，∴yEyD，∴ E ， O ， D 三点共线．x E x D21. 解：（Ⅰ）函数f ( x)的定义域为(,1) ，由题意 f '( x) 2xa 2x22x a, x 1，1 x1 x224( 2)( a) 4 8a ．①若4 8a 0 ，即 a1 ，则 2x2 2x a 0 恒成立，2则 f ( x) 在 (,1) 上为单一减函数；②若4 8a 0 ，即 a1 ，方程 2x2 2x a0 的两根为 x 11 1 2a，221 1 2a，当 x (, x 1) 时， f '( x)0 ，因此函数 f ( x) 单一递减，当 x1x 22( x 1, ) 时，2f '(x)0 ，因此函数 f (x) 单一递加，不切合题意．1综上，若函数 f (x) 为定义域上的单一函数，则实数a 的取值范围为 ( ,) ．2（Ⅱ）由于函数 f (x) 有两个极值点，因此 f '( x)0 在 x 1上有两个不等的实根，即 2x 22xa 0 在 x 1有两个不等的实根 x 1 ， x 2 ，1x 1 x 2 1,1 1于是 0a 且知足x 1 ) ，a ，x 1x 2 (0, x 2 ( ,1) ，2 ,2 22f (x 1) x 12 1 aln(1 x 1 ) ( x 1 1)(x 11) 2x 1x 2 ln(1 x 1 )x 1) 2x 1 ln(1 x 1 ) ，x 2x 2x 2(1同理可得f (x 2 )(1 x 2 ) 2x 2 ln(1 x 2 ) ．x 1f (x 1) f ( x 2 ) x 2 x 1 2x 1 ln(1x 1) 2x 2 ln(1 x 2 )2x 2 1 2(1 x 2 )ln x 2 2x 2 ln(1 x 2 )x 2x 1，令 g(x)2x 1 2(1 x)ln x2 xln(1 x) ， x ( 1,1) ．2 2 x(1,1) ， 2g '(x)2ln x(1 x)， x1x 1 x 2∵ x(1，∴2ln x(1 x) 0 ，x)4又 x (12x0 ，∴ g '(x)0 ，则 g(x) 在 x 1,1)上单一递加，,1) 时，x 1 x(22因此 g ( x) g (1) 0 ，即 f ( x 1 )f ( x 2 )0 ，得证．2x 2x 122. 解：（Ⅰ）x 221，x 2cos （为参数）．4yy sin（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为 l ，设点 A(2cos q,sin q) ，l 8cos4sin45( 2cos 1 sin )4 5 sin() ，5 5且 cos1 ， sin2，55因此，当k（ kZ ）时， l 取最大值，2此时2k2，因此， 2cos2sin 4， sin cos1，55此时， A( 4 ,1 ) ， l 1 的一般方程为 y 1x ．5543x a 4, x a,23. 解：（Ⅰ）当 a2时，函数 f ( x) | 2x4 | | xa |x a 4, a x2,3x a 4, x2.可知，当 x 2 时， f ( x) 的最小值为 f ( 2)a2 1，解得 a3 ．（Ⅱ）由于 f ( x) | 2x 4 | | x a | | (2 x4) ( x a) | | xa 4 | ，当且仅当 (2 x 4)( x a) 0 时， f (x) | xa 4|成立，因此，当 a 2 时， x 的取值范围是x | a x2 ；当 a 2 时， x 的取值范围是 2 ；当 a2 时， x 的取值范围是x | 2 xa ．。

河北省石家庄市高考一模考试数学（理）试题（A）含解析

石家庄市高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】，其中，解得，，故选3. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．4. 点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】故选5. ，满足约束条件：，则的最大值为（）A. -3B.C. 3D. 4【答案】C【解析】依题意可画出可行域如下：联立，可得交点(2,-1)，如图所示，当经过点(2,-1)时，z最大为3.故选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A. 82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里【答案】C【解析】由题意可得：代入：则该三角形田面积为平方里故选8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知，几何体为半圆柱挖去半球体几何体的表面积为故选9. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在上的偶函数，，即，则函数的定义域为函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选10. 在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.11. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】如图：设，则：，取中点，分别作垂直于直线，连接则有，相减可得：即故设则，解得故，解得故选12. 设，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，正方向到正方向的角度为，那么对于任意的点，在下的坐标为，那么它在坐标系下的坐标可以表示为：，.根据以上知识求得椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故可化为方程表示为椭圆化简得：代入方程得：，，，故故选点睛：本题主要考查了三角函数的计算问题，以平面直角坐标系为载体，新定义坐标系，建立两坐标之间的关系，代入化简，由题意中的椭圆求出的值，再次代入求出结果，计算量比较大，有一定的难度。

2024届石家庄一模数学试题+答案

2024年普通高中学校毕业年级教学质量检测（一）数学（时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知抛物线21:2C y x =，则C 的准线方程为（） A ．18x =B ．18x =− C ．18y =D ．18y =−2．已知复数121iz =+，复数22i z =，则12z z −=（）A ．1BCD ．103．已知命题():0,,e ln xp x x ∀∈+∞>，则（）A ．p 是假命题，():,0,ln xp x e x ¬∃∈−∞≤ B ．p 是假命题，():0,,ln xp x e x ¬∃∈+∞≤C ．p 是真命题，():,0,ln xp x e x ¬∃∈−∞≤ D ．p 是真合题，():0,,ln xp x e x ¬∃∈+∞≤4．已知圆台,O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（） A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是（） A ．66log 0.5log 0.7> B ．0.50.60.6log 0.5> C ．65log 0.6log 0.5>D ．0.6050.60.6>6．集校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：身高x （单位：cm) 167 173 175 177 178 180 181 体重y （单位：kg) 90545964677276由表格制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点()167,90对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r ．则下列选项正确的是（）A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<>B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <><C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x =′仍是x 的函数，通常把导函数()y f x =′的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x =′′，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，1n −阶导数的导数叫做n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()()n y fx =，例如e x y =的n 阶导数()()e e n xx =．若()cos2x f x xe x =+，则()()500f =（） A ．49492+B ．49C ．50D ．50502−8．已知函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于,A B 两点．若3AB π=，则ω=（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

河北省石家庄市第二中学2020届高三数学一模教学质量检测试题理(含解析)

0) ， O 为坐标原点， F1 、
F2 为其左、右焦点，点 G
在
C 的渐近线上， F2G OG ，且 6 | OG || GF1 | ，则该双曲线的渐近线方程为（）
y 2x
A.
2
y 3x
B.
2
C. y x
D.
y 2x
【答案】D 【解析】【分析】
根据 F2G OG ，先确定出 GF2 , GO 的长度，然后利用双曲线定义将 6 | OG || GF1 | 转化
ex ex
1 cos x 1
f
(x)
，
f (x) 为奇函数，排除 C，
当 x 0 时， f (x) 0 ，排除 B,D，
故只有 A 符合题意
故选：A.
【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题关键是掌握判断函数奇偶
性的方法和函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
的运算求得点 G 的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，
属于中档试题．
11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗
浮宫博物馆.该油画规格为：纵 77cm，横 53cm.油画挂在墙壁上的最低点处 B 离地面 237cm(如图所示).有一身高为 175cm 的游客从正面观赏它(该游客头顶 T 到眼睛 C 的距离为
5.下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5 名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单
位：分，每题 5 分，共 16 题）．已知两组数据的平均数相等，则 x 、 y 的值分别为（）
A. 0，0
B. 0，5
C. 5，0
D. 5，5