解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等单元过关检测卷(三)带答案高中数学艺考生专用

高中数学专题复习
《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》
单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．以抛物线2
4y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．2
2
x +y +2x=0 B ．2
2
x +y +x=0 C ．
22x +y -x=0
D ．2
2
x +y -2x=0(汇编福建理）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
2．已知圆22
670x y x +--=与抛物线2
2(0)y px p =>的准线相切，则p 的值
为 .
3．设椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为e＝
1
2，右焦点为F(c,0)，方程ax
2
－bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)________．
①必在圆x2＋y2＝2上
②必在圆x2＋y2＝2外
③必在圆x2＋y2＝2内
解析：由e＝1
2＝
c
a，得a＝2c，b＝3c.
所以x1＋x2＝b
a＝
3
2，x1x2＝－
c
a＝－
1
2.
于是，点P(x1，x2)到圆心(0,0)的距离为x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝3
4＋1
＝7
4<2，
所以点P在圆x2＋y2＝2内．
评卷人得分
三、解答题
4．设A为椭圆
22
1
259
x y
+=上任一点，B为圆22
(1)1
x y
-+=上任一点，求AB的最
大值及最小值．
5．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标
原点，设圆C是△OAB的外接圆(点C为圆心)．
(1)求圆C的方程；
(2)设圆M的方程为(x－4－7cos θ)2＋(y－7sin θ)2＝1，过圆M上任意一点P分别作圆C
O A 1
A 2
B 1 B 2
x
y (第
17
的两条切线PE 、PF ，切点为E 、F ，求CE ·CF 的最大值和最小值．
6．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22
221(0)y x a b a b
+=>>的左、右顶
点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13
，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对
称．
（1）求椭圆E 的离心率；
（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．
7．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且
OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的
椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .
(1）求证：221b a -=；
(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，
求直线l 的方程；
(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．D 抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为
021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。

第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
2． 3．③ 评卷人
得分
三、解答题
4．（选修4—4：坐标系与参数方程）
解：设圆22
(1)1x y -+=的圆心C(1,0),求AB 的最大值只需求AC 的最大值．
A 在椭圆上，设A(5cos ,3sin )θθ，
2
2225135
(5cos 1)9sin 16(cos )1616
AC θθθ=-+=-
+
， ∴当5cos 16θ=
时，mi n 315
4
AC =，当cos 1θ=-时，mi n 6AC =， min 7AB ∴=，min 315
14
AB =
-．………………………………………………………10分
5．(1)解法一：设A 、B 两点坐标分别为⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，⎝⎛⎭⎫y 2
2
2，y 2， 由题设知
⎝⎛⎭⎫y 2
122＋y 21
＝⎝⎛⎭
⎫y 2
222＋y 2
2＝⎝⎛⎭
⎫y 212－y 2
222＋(y 1－y 2)2，解得y 2
1＝y 22＝12. 所以A (6,23)，B (6，－23)或A (6，－23)，B (6,23)． 设圆心C 的坐标为(r,0)，则r ＝2
3×6＝4.
因此圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝16.
解法二：设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
由题设知x 21＋y 21＝x 22＋y 2
2.
又因为y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，可得x 21＋2x 1＝x 22＋2x 2，
即(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝0.
由x 1>0，x 2>0，可知x 1＝x 2，故A 、B 两点关于x 轴对称， 所以圆心C 在x 轴上．
设C 点的坐标为(r,0)，则A 点坐标为⎝⎛⎭⎫32r ，32r ，于是有⎝⎛⎭⎫3
2r 2＝2×32r ，解得r
＝4，所
以圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝16.
(2)设∠ECF ＝2α，则CE ·CF ＝|CE |·|CF |·cos 2α＝16cos 2α＝32cos 2α－16. 在Rt △PCE 中，cos α＝
r |PC |＝4
|PC |
.由圆的几何性质得 PC ≤MC ＋1＝7＋1＝8， PC ≥MC －1＝7－1＝6.
所以12≤cos α≤23，由此可得－8≤CE ·CF ≤－169.
故CE ·CF 的最大值为－
16
9
，最小值为－8. 6．（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0）， 因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为13
，所以
2213
b a b =+， 于是228a b =，即
228()a a c =-，所以椭圆
E
的离心率
22
147.84c e a
=== …………4分 （2）由144e =可设()40a k k =>，14c k =，则2b k =， 于是11A B 的方程为：2240x y k -+=， 故2
OA 的中点
()20k ,
到
11
A B 的距离
d =
2423
k k
k +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，
所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分 （
3
）
由
圆
C
的面积为π知圆半径为1，从而
12
k =， …………………………10分
设2OA 的中点()10,
关于直线11A B ：2220x y -+=的对称点为()m n , ， 则2
1,141222022n m m n ⎧⋅=-⎪-⎨+⎪-⋅+=⎩． …………………………12分
解
得
42
133
m n ==, ．所以，圆C 的方程为
(
)(
)
2
2
42
1
13
3
x y -+=-．…………………14分
7．题设椭圆的方程为2221x y a +=.
…………………………1分 由2221,
x y a y x b
⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y 得22222(1)2(1)0a x a bx a b +-+-=. …………………………2分 由于直线l 与椭圆相切，故△＝(－2a 2b )2－4a 2(1+a 2) (b 2－1)＝0，
化简得221b a -=. ① …………………………4分
(2）由题意知A （a +1，0），B （a +1，1），C （0，1），
于是OB 的中点为(
)11,22
a +.
…………………………5分
因为l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，所以l 过点(
)
11,22
a +，
即(1)
122
a b -+=
+，亦即22b a -=. ② …………………………6分 由①②解得45,33a b ==，故直线l 的方程为5.3
y x =-+ (8)
分
(3）由（2）知()()
57,0,,033
E A . 因为圆M 与线段EA 相切，所以可设其方程为2220()()(0)x x y r r r -+-=>.………9分
因为圆M 在矩形及其内部，所以00
10,
25,37.3r x x r ⎧<⎪⎪⎪
>⎨⎪
⎪+⎪⎩≤≤ ④ (10)
分
圆M 与 l 相切，且圆M 在l 上方，所以
03()5
32x r r +-=，即03()532
x r r +=+.
………………………12分
代入④得10,
253(21)5
,
335327
,33r r r ⎧<⎪⎪⎪+->⎨⎪
⎪+⎪⎩
≤≤即20.
3
r <≤
………………………13分
所以圆M 面积最大时，23r =，这时，0723
x -=.
故圆M 面积最大时的方程为2
2
7222.339x y ⎛⎫⎛⎫
--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(15)
分。