空间解析几何试题
第8章 空间解析几何(题库)答案
第八章 空间解析几何（题库）A 组 基础题1. 点()2,3,1M -关于原点的对称点是（ D ）.A. ()2,3,1--B. ()2,3,1---C. ()2,3,1-D. ()2,3,1--2. 设a 与b 均为非零向量，且a b ⊥，则必有（ C ）.A. a b a b +=+B. a b a b -=-C. a b a b +=-D. a b a b +=- 3. 设,,a b c均为非零向量，则与a 不垂直的向量是（ D ）.A. ()()a c b a b c ⋅-⋅B. a b b a a a⋅-⋅ C. a b ⨯ D. ()a ab a +⨯⨯4. 已知,,a b c均为单位向量且满足关系式0a b c ++= ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= （ A ）.A. 32-B. 1C. 1-D. 325. ()()a b a b +⨯-=2b a ⨯ .6. 设,,a b c两两垂直，1a =，b = 1c = ，则a b c +-= 2.7. 已知两点()10,1,2M 和()21,1,0M -，则与向量12M M同方向的单位向量为122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.8. 已知向量AB 的终点()2,1,7B -，它在,,x y z 轴上的投影依次为4,4,7-，则AB的始点坐标是()2,3,0-.9. 设()()()2,3,1,1,2,3,2,1,2a b c =-=-=，向量v 与,a b 同时垂直，且在c 上的投影为1，则v = 511,,77⎛⎫ ⎪⎝⎭.10. 设 ()4,3,,6a b a b π=== ，则以,a b 为邻边的平行四边形的面积S =6.11.已知2,a b == ，且2a b ⋅= ，则a b ⨯=2.12. 直线127:27x y z L x y z +-=⎧⎨-++=⎩与23638:20x y z L x y z +-=⎧⎨--=⎩的关系是（ C ）.A. 12L L ⊥B. 1L 与2L 相交但不一定垂直C. 12//L LD. 1L 与2L 是异面直线13. 曲线2221:1645230x y z l x z ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩在xOy 平面上的投影柱面的方程是（ C ）. A. 2220241160x y x +--= B. 22441270y z z +--=C. 22202411600x y x z ⎧+--=⎨=⎩ D.22441270y z z z ⎧+--=⎨=⎩14. 曲线222222416:44x y z l x y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩在xOy 平面上的投影的方程是（ C ）. A. 224x y += B. 22440x y z ⎧+=⎨=⎩C.2240x y z ⎧+=⎨=⎩ D. 22440x y z ⎧+=⎨=⎩15. 方程221492x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示（ B ）. A. 椭圆柱面 B. 椭圆曲线 C. 两个平行面 D. 两条平行线16. 设直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则L （ C ）.A. 平行于πB. 在π上C. 垂直于πD. 与π斜交17. 已知两条直线21221x y z +-==-和13142x y z m --+==-互相垂直，则m =（ C ）. A. 4- B. 2- C. 3 D. 518. 将xOy 坐标面上的双曲线224936x y -=绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面方程为22249936x y z --=，绕y 轴旋转一周，所生成的旋转曲面方程为22249436x y z -+=.19. 过点()1,2,1M -且与直线1331x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是340x y z --+=.20. 平行于zOx 平面且过点()2,5,3-的平面方程为50y +=.21. 通过z 轴和点()3,1,2--的平面方程为30x y +=.22. 平行于x 轴且经过两点()4,0,2-和()5,1,7的平面方程为920y z --=.23. 过点()5,7,4-，且在,,x y z 三个轴上截距相等的平面方程为20x y z ++-=.24. 过点()1,0,1-且平行于向量()2,1,1a = 与()1,1,0b =-的平面方程为340x y z +--=.25. 过点()1,2,1且垂直于两平面0x y +=和50y z +=的平面方程为540x y z -+-=.26. 过原点及过点()6,3,2-，且与平面428x y z -+=垂直的的平面方程为2230x y z +-=.27. 点()1,2,1到平面22100x y z ++-=的距离d =1.28. 设直线73:121x y z L +-==-上与点()3,2,6的距离最近的点为()3,1,0-.29. 直线124x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的对称式方程为12113x t y t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩.30. 点()1,2,0-在平面210x y z +-+=上的投影为522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.B 组 提高题1. 设,a b均为非零向量，且满足()()375a b a b +⊥- ，()()472a b a b -⊥- ，则a 与b 的夹角等于（ C ）.A. 0B. 2πC. 3π D. 23π2. 直线1158:121x y z L --+==-与直线26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为（ B ）. A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π3. 过原点且与直线213231x y z ---==垂直的直线方程为3816x y z==-.4. 设 ()4,3,,6a b a b π=== ，求以2a b + 和3a b - 为边的平行四边形的面积.解：()()235a b a b b a +⨯-=⨯，则面积()55sin ,30S b a a b a b =⨯=⋅⋅=5. 已知 ()22,5,,3a b a b π===，问λ为何值时，才能使17A a b λ=+ 与3B a b =- 垂直.解：由于A 与B垂直，则有0A B ⋅= ，即()22351170a a b b λλ+-⋅-=因此，() ()22351cos ,170a a b a b b λλ+-⋅⋅-=，代入 ()22,5,,3a b a b π=== ，整理得40λ=.6. 求经过直线1123:101x y z L ---==-且平行于直线221:211x y zL +-==的平面的方程. 解：直线1L 上有点()1,2,3P ，其方向向量()11,0,1l =- ，直线2L 的方向向量()22,1,1l =，由已知得所求平面同时垂直于直线1L 及直线2L ，其法向量()121,3,1n l l =⨯=-，由所求平面过点()1,2,3P ，得平面点法式方程为()13230x y z ---+-=，化为一般式方程为320x y z -++=.7. 求直线1250:240x y L y z ++=⎧⎨--=⎩与直线20:240y L x z =⎧⎨++=⎩的公垂线方程.解：直线1L 的方向向量()11202,1,2021i j kl ==--，直线2L 的方向向量()20102,0,1102i j kl ==-，则共垂线的方向向量()121,2,2l l l =⨯=--，设公垂线上任意一点为(),,P x y z ，与直线1L 上有点()1,3,10Q --由公垂线与直线1L 相交，即两直线共面得121,,2120122x yz PQ l l ++⎡⎤=-=⎣⎦--， 化简得22140x y z +++=， 同理直线2L 与公垂线相交，得25480x y z +++=，因此，所求公垂线方程为2214025480x y z x y z +++=⎧⎨+++=⎩.8. 求平面2260x y z +-+=和平面4880x y z -+-=的交角的平分面方程.解：设所求平面上任意一点为(),,P x y z ，由已知可得点P 到两平面的距离相等，则有22648839x y z x y z +-+-+-=化简得所求平面方程为714260x y z -+-=或752100x y z +++=.9. 求曲面2229x y z ++=与平面1x z +=的交线在xOy 面上的投影方程.解：()22219x y x z ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩化简得2222800x y x z ⎧+--=⎨=⎩.10. 一平面通过点()1,2,3，它在x 轴、y 轴上的截距相等，且该平面在三个坐标轴上的截距均为正数，则截距分别为何值时，它与三个坐标面所围成的空间几何体的体积最小？并求此时的平面方程. 解：设所求平面方程为1x y z a a c ++=，由点()1,2,3在此平面上，得出()333ac a a =>-. 此平面与三个坐标面所围成的空间几何体的体积()()313623a V a a c a a =⋅⋅=>-，计算得()()222923a a V a -'=-，因此932a <<时0V '<，92a >时0V '>，可得出当92a =，9c =时几何体的体积最小，此时平面与三个坐标轴截距分别为99,,922，平面方程为 2290x y z ++-=.。
(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案
空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5’x9=45分1、平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量为______________.2、设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示______________曲面.5、方程x2+y2=z表示______________曲面.6、x2+y2=z2表示______________曲面.7、在空间解析几何中y=x2表示______________图形.二计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线x y-3z-12=1=5的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎧⎨x-2y+4z-7=0⎩3x+5y-2z+1=0垂直的平面方5、已知：OA=ϖi+3kϖ，OB=ϖj+3kϖ，求∆OAB的面积。
参考答案一填空题1、±⎨⎧67-6⎫⎩11,11,11⎬⎭2、M 11M 2=2,cos α=-2,cos β=22,cos γ=12,α=2π3,β=3ππ4,γ=33、(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=144、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、圆锥面7、抛物柱面二计算题1、3x -7y +5z -4=02、9y -z -2=03、x -1y -2z -32=1=5 4、16x -14y -11z -65=05S ∆=12OA ⨯OB =192。
空间解析几何练习题
习题一 空间解析几何一、填空题1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。
2、直线2100x y --=方向向量为 。
3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。
4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。
5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。
6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。
7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。
8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。
9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)⋅a b = 。
10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。
二、解答题1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。
2、求过点(4,2,3) 且平行与直线31215x y z --==的直线方程。
3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程。
4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。
6、求22219416x y z ++=在XOY 平面上的投影域。
7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。
8、求曲线222251x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在XOY 平面上的投影曲线。
9、求曲线 22249361x y z x z ⎧++=⎨-=⎩在XOY 平面上的投影曲线。
10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
空间解析几何练习与答案
空间解析几何与向量代数测试题一、 选择题(每小题6分，共24分 )1．点)1,3,2(-M 关于xoy 平面的对称点是（ ）（A ）)1,3,2(-- （B ）)1,3,2(--- （C ）)1,3,2(-- （D ）)1,3,2(-2．设向量,+=，则必有( )（A ）=- （B ）=+ （C ）0=⋅ （D ）=⨯3．向量{}z y x a a a ,,=，{}z y x b b b ,,=，{}z y x c c c ,,=， 则p n m a -+=34在x 轴上投影是（ ）（A ）x x x c b a -+34 （B ）()x x x c b a -+±34（C ）x x x c b a -+34 （D )y y y c b a -+344．平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=D A （C ）0,0=≠D A （D ）0==C B二、填空题 (每小题6分，共30分 )1．向量{}z y x a a a ,,=与三坐标轴正向夹角分别为γβα,,，则的方向余弦中的=αcos _____________2．平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 之间的距离等于__________3．球面2222R z y x =++与a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线的方程是______________（其中R a <<0）4．设向量a 的方向角3πα=，β为锐角，βπγ-=，且4=，则=___________.5．方程14222=+-z y x 表示的曲面是______________ 三、解答下列各题（46分 ）1．（12分） 求经过原点且垂直于两平面 0352:1=++-z y x π，073:2=--+z y x π的平面方程。
2．（12分）已知ABC ∆的顶点分别为)3,2,1(A ，)5,4,3(B 、)7,4,2(C ，求ABC ∆的面积.3．（10分）设{}1,4,1-=，{}5,4,3-=，求∧),sin(b a4．（12分）一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线 152132-=-+=-z y x ，求它的对称式方程.空间解析几何与向量代数测试题答案一、1．C 解：y x ,坐标不变，z 坐标变为相反数2．C 解：由已知条件得22)()(b a b a +=- ⋅-=⋅∴22 即0=⋅3． A解：由向量的线性运算易得)34,34,34(z z z y y y x x x c b a c b a c b a a -+-+-+=又向量a 在x 轴的投影就是直角坐标系中的坐标x a即 x x a a j =Pr =x x x c b a -+344． A 解：平面必过原点故0=D ；0,}0,0,1{,},,{=⇒⊥==A i i C B A .二、1．222z y x xa a a a ++ 2．1 解：184194221222=++-=d3．⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 解：⎩⎨⎧=+=++a z x R z y x 2222消去z 得：2222)(R x a y x =-++ 与0=z 联立得 ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 4．{}6,6,2- 解：43411)(cos cos ,21cos 22=-=-+=βπβα }6,6,2{}223,223,21{4223cos cos 83cos 2-=-⋅=⇒=-=⇒=⇒a γββ5．单叶双曲面三、解：1． 21,ππ法向量分别为{}5,1,21-=n ，{}1,3,12-=n …………….….4分 所求平面法向量为{}7,7,1421-=⨯=n n n ………………8分 又平面经过原点，故所求平面方程为 02=--z y x ……..………12分2．解：根据向量积的定义，可知三角形的面积A S ABC =∠=∆……………3分 由于{}{}421,2,2,2，，==，因此2642122+-==⨯ ………… 7分于是142)6(4216421222=+-+=+-=∆S ABC …………10分 3．()533018,cos -=-==∧ ………….5分 ()54,sin =∧ ……..…....10分 4．由直线在xoz 面上，可知此直线垂直于y 轴。
大学生数学竞赛空间解析几何练习题
试题1：如果平面:0Ax By D π++=与曲面261z xy +=的交线是圆，求实数,A B 的比值。
解：不妨设0B ≠以平面π为新的''X Y 平面，以(0,/,0)D B -为原点，以'223(,,0)/e A B A B =+,'22'''1231(,,0)/,(0,0,1)e B A A B e e e =-+=⨯=为基本向量建立一个新的坐标系''''O X Y Z ，则坐标变换公式为''2222''2222'/B A x x z A B A B A By D B x z A B A B z y ⎧=+⎪++⎪⎪=--+⎨++⎪⎪=⎪⎩在新的坐标系中，平面的方程为：'0z =, 而曲线的方程为： '2''''222222226()(/)1B A ABy x z D B x z A B A B A B A B ++--+=++++所以交线的方程为：'2''''22222222'6()(/)1B A A B y x z D B x z A B A B A B A B z ⎧++--+=⎪++++⎨⎪=⎩化简得：'2''2222'6()(/)10B A y x D B x A B A B z ⎧+--=⎪++⎨⎪=⎩因为交线是圆，所以 226AB A B -=+ 解得322AB=-.试题2：求过点)0,1,0(P 并且和两条直线 ⎩⎨⎧=+=+++⎩⎨⎧=+=++02013:,0201:21y x z y x l y x y x l 均相交的直线的方程。
解：把直线的方程化为点向式方程为： ,1112:,1201:21-+==-=+=-z y x l z y x l设所求的直线为,l 记l 和i l 所确定的平面为,1,2i i π=,那么12l ππ=，试题3：在二次曲面2222360x y z xy xz z +-++-=上，求过点(1,4,1)-的所有直线的方程.解：设所求的直线的方程为:141x lty mt z nt =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩,又因为所求的直线在二次曲面上,所以对任意的,t 有2222(1)(4)(1)3(1)(4)(1)(1)6(1)l t m t n tl t m t l t n t n t ++--+++-+++-+=,化简得;2222(23)(757)0t l m n ml nl l m n t +-++-++= 由于上式对任意的,t 都成了，所以222230(1)7570l m n ml nl l m n ⎧+-++=⎨++=⎩由于n m l ,,可相差一个公共的非零常数倍，所以可分两种情况讨论 (1):,0=l 代入方程组(1)得220(1)570m n m n ⎧-=⎨+=⎩上述方程只有零解. (2): ,1=l 代入方程组(1)得22230(1)7570m n m n m n ⎧+-++=⎨++=⎩解之得07/411/4m m n n ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或者 所以所求的直线为11447/411/4x t x t y y t z t z t =+=+⎧⎧⎪⎪=-=--⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩或者试题4：求过点)1,0,1(P 平行于y 轴并与曲面182=+xz y 的交线都是圆的所有平面的方程.解：答案：0)1)(154(1=-++z x试题5：求和下面三条直线都是相交的直线所构成的曲面。
空间解析几何试题
空间解析几何一、 填空题（每小题4分，共20分）1、已知2,==a b 且2⋅=a b , 则⨯=a b ；2、已知三向量,,a b c 两两互相垂直，且1,1===a b c ，则向量=+-s a b c 的模等于 ；3、旋转曲面2z =是由曲线 绕z 轴旋转一周而得；4、空间曲线⎩⎨⎧==+x z 1y x 在yOz 面上的投影为 ； 5、当λ=____时,直线231x y z ==-平行于平面40x y z λ++=。
二、选择题（每小题4分，共20分）1、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有 ；（A ）-+a b =a b ； （B ）=a b ； （C ）0⋅a b =； （D ）⨯a b =0．2、已知{}{}2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a = ；（A ）53； （B ）5； （C ）3； （D ． 3、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 ； （A ）6π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）2π． 4、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 ；（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 5、方程222231x y z -+=表示 曲面，其对称轴在 上；(A)单叶双曲面,x 轴; (B)双叶双曲面,x 轴;(C)单叶双曲面,y 轴; (B)双叶双曲面,z 轴;三、 判断题（每题3分，共18分）１．若0≠a ，且c a b a ⋅=⋅或c a b a ⨯=⨯，则c b =。
（ ）2．与ox,oy,oz 三个坐标轴之正向有相等夹角的向量，其方向角必为3,3,3πππ。
（ ） 3．平面1432===z y z 与6x+4y+3z+12=0平行。
( ） 4．向量)()(c a b c a a ⋅-⋅与c 恒垂直。
空间解析几何习题答案解析(最新整理)
一、计算题与证明题1．已知, , , 并且． 计算．1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯解：因为, , , 并且1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a 所以与同向，且与反向a b b a +c 因此，，0=⨯b a 0=⨯c b 0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 2．已知, , 求．3||=⋅b a 4||=⨯b a ||||b a ⋅解：（1）3cos ||=⋅=⋅θb a b a（2）4sin ||=⋅=⨯θb a b a 得()222)1(+()252=⋅b a 所以5=⋅b a 4．已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标．x )2,5,1(,-a 3=⋅x ax 解：设的坐标为，又x ()z y x ,,()2,5,1-=a 则 （1）325=-+=⋅z y x x a 又与共线，则x a 0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i 所以()()()05252222=-+++--y x x z z y 即 （2）010*********22=-++++xy xz yz z y x 又与共线，与夹角为或x a x a 0π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax 整理得（3）103222=++z y x 联立解出向量的坐标为()()()321、、x ⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点, 求线段的中垂面的方程．)7,8,3(A )3,2,1(--B AB 解：因为,()7,8,3A )3,2,1(--B 中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得AB B A 、()z y x M ,,MB MA =()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x 这就是线段的中垂面的方程。
高二数学必修二：空间解析几何习题解析
高二数学必修二：空间解析几何习题解析解析题目一：已知平面α过点A(1,2,3)，且与平面x-2y+z+5=0垂直，求平面α的解析式。
解析过程：由题可知，平面α过点A(1,2,3)，设平面α的解析式为Ax+By+Cz+D=0，代入点A得到A+2B+3C+D=0。
平面α与平面x-2y+z+5=0垂直，两个平面的法向量垂直，即平面α的法向量与平面x-2y+z+5=0的法向量的点积为0。
平面x-2y+z+5=0的法向量为(1,-2,1)，则有A+B+C=0。
联立方程组得到A=-3B，C=-2B，代入A+2B+3C+D=0中得到D=5B。
平面α的解析式为-3Bx+By-2Bz+5B=0，若取B=1，则平面α的解析式为 -3x+y-2z+5=0。
解析题目二：已知直线l过A(2,1,5)且与平面x+2y-3z+4=0平行，求直线l的解析式。
解析过程：由题可知，直线l过点A(2,1,5)，设直线的解析式为\[\begin{cases}x=2+at \\y=1+bt \\z=5+ct \\\end{cases}\]其中a，b，c为参数。
直线l与平面x+2y-3z+4=0平行，由平行条件可知直线l的方向向量与平面的法向量平行。
平面x+2y-3z+4=0的法向量为(1,2,-3)。
设直线l的方向向量为(m,n,p)，则有\[m:1=n:2=p:-3\]。
取m=1，得到直线l的方向向量为(1,2,-3)。
直线l的解析式为\[\begin{cases}x=2+t \\y=1+2t \\z=5-3t \\\end{cases}\]解析题目三：已知点A(1,2,3)和直线l的方向向量为(2,1,-1)，求直线l的解析式。
解析过程：由题可知，直线l的方向向量为(2,1,-1)，设直线的解析式为\[\begin{cases}x=1+2t \\y=2+t \\z=3-t \\\end{cases}\]其中t为参数。
直线l的解析式为\[\begin{cases}x=1+2t \\y=2+t \\z=3-t \\\end{cases}\]解析题目四：已知平面α过点A(1,2,3)，且与直线l:x=2t,y=3-t,z=4t相交于点B，求点B的坐标。
空间解析几何(练习题参考答案)
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．39．02=+-z y3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．7．)51,1,57(．5．已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ）A ．4B ．1C ．21D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（ ）A ．5B ．61 C ．51 D ．81 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ．3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．4．设++=2，22+-=，243+-=，则)(b a p r j c += ．4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．3．34-=m ； 4．2919 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴旋转而成．1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=，则=⨯⨯)(（ ） A ．8 B ．10 C ．{}1,1,0-- D ．{}21,1,23．若==-+=，则14//236（ ） A ．)4612(-+± B ．)612(+± C ．)412(-± D ．)46(-± 4．若ϕ与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （ ） A ．6π B ．2π C ．3π D ．4π6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（ ） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（ ）A ．223 B ．553 C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （ ） A ．30o B ．60o C ．90oD ．65arcsin1．D 3．A 4．C 6．C 8．A 9．D7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点． 3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在y z 面上的投影方程______________．1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．1．不平行7．33222±=++z y x ； 8．25102-=-z x ；9．双叶双曲面； 10．⎩⎨⎧==+--++02342222x z y z yz y练习题选参考答案1．两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b；平行则有0=⨯→→b a 或→→=b a λ或两向量对应坐标成比例。
空间解析几何习题
4．设 AM MB ，证明：对任意一点 O ，有 OM 1 (OA OB) 。 2
5．已知两点 M1 (0, 1, 2) 和 M 2 (1, 1, 0) ，用坐标表示式表示向量 M1M 2 及 2M1M 2 。 6．向量 a 4i 4 j 7k 的终点 B 的坐标为（2，-1，7），求它的始点 A 的坐标，并求 a 的模及其方向余弦。 7．已知三力 F1 (1, 2, 3), F2 (2, 3, 4), F3 (3, 4, 5) 同时作用于一点，求合力 F 的 大小和方向余弦。
5．已知向量 a, b, c 满足条件 a b c O ，证明 a b b c c a 。
3．在 ABC 中，设 M ， N ， P 分别为 BC ， CA AB 的中点，试用 a BC, b CA, c AB 表示向量 AM ， BN ， CP 。
习题 0—3
（2） a b 。 |a| |b|
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
空间解析几何复习资料含答案
空间解析几何练习题1. 求点),,(c b a M 分别关于（1）xz 坐标面（2）x 轴（3）原点 对称点的坐标． 2. 设 )2,,3(x A -与)4,2,1(-B 两点间的距离为29，试求x ． 3. 证明 )3,2,1(A )5,1,3(B )3,4,2(C 是一个直角三角形的三个顶点．4. 设ABC ∆的三边=，=，=，三边的中点依次为D ，E ，F ，试用向量表示 ，，，并证明：=++ ．5. 已知：k j i a 2+-=，k j i b -+=3求b a 32+，b a 32-．6. 已知：向量与x 轴，y 轴间的夹角分别为060=α，0120=β求该向量与z 轴间的夹角γ．7. 设向量的模是5，它与x 轴的夹角为4π，求向量在x 轴上的投影． 8. 已知：空间中的三点)2,1,0(-A ，)5,3,1(-B ，)2,1,3(--C 计算：32-，4+．9. 设{}1,0,2-=a ，{}2,2,1--=b 试求b a -，b a 52+，b a +3． 10. 设：{}1,2,2-=，试求与a 同方向的单位向量．11. 设：253++=，742--=，45-+=，-+=34试求（1）在y 轴上的投影；（2）在x 轴和z 轴上的分向量；（3 ．12. 证明：22)()(-=-⋅+．13. 设：{}1,0,3-=a ，{}3,1,2--=b 求⋅，∧⋅)(． 14. 设→→→→-+=k j x i a 2，→→→→+-=k j i b 23且→→⊥b a 求x15. 设{}2,1,0-=，{}1,1,2-=求与和都垂直的单位向量．16. 已知：空间中的三点)0,1,1(A ，)3,1,2(-B ，)2,1,2(-C 求ABC ∆的面积．17. （1）设∥求⋅ （21==求⋅18. 3=5=，试确定常数k 使k +，k -相互垂直．19. 设向量与互相垂直，∧⋅)(c a 3π=，∧⋅)(c b 6π=1=2=3=+．20. 设：53+-=，32+--=求b a ⋅21. 设：k j i a --=63，k j i b 54-+=求（1）a a ⋅；（2）)3()23(-⋅+；（3）a 与b 的夹角．22. 设：∧⋅)(6π=1=3=． 23. 设：{}2,1,1-=a ，{}1,2,1--=，试求：（1）b a ⋅；（2）b a ⨯；（3）∧⋅)cos(．24. 3=26=72=，求b a ⋅．25. 设a 与b 相互垂直，3=4=，试求（1）)()(b a b a -⨯+；（2）)2()3(b a b a -⨯-．26. 设：0=++c b a 证明：a c c b b a ⨯=⨯=⨯27. 已知：-+=23，2+-=，求（1）b a ⨯；（2）)32()2(-⨯+；（3）⨯+)(（4）b i a +⨯． 28. 求与{}1,2,2=a {}6,10,8---=b 都垂直的单位向量．29. 已知：{}1,6,3--=a ，{}5,4,1-=b ，{}12,4,3-=c 求c b a b c a )()(⋅+⋅在向量上的投影．30. 设：d c b a ⨯=⨯，d b c a ⨯=⨯且c b ≠，d a ≠证明d a -与c b -必共线．31. 设：b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求非零向量a 与b 的夹角．32. 设：{}6,3,2-={}2,2,1--=向量在向量与423=，求向量的坐标．33. 4=3=，∧⋅)(b a 6π=求以2+和3-为边的平行四边形面积． 34. 求过点)1,2,7(0-P ，且以{}3,4,2-=为法向量的平面方程． 35. 过点)1,0,1(0-P 且平行于平面53=--z y x 的平面方程． 36. 过点)2,3,1(-M 且垂直于过点)1,2,2(-A 与)1,2,3(B 的平面方程． 37. 过点)2,1,3(-A ，)1,1,4(--B ，)2,0,2(C 的平面方程．38. 过点)1,1,2(0P 且平行于向量{}1,1,2=和{}3,2,3-=的平面方程．39. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．40. 将平面方程 01832=+-+z y x 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距．41. 建立下列平面方程（1）过点（3-，1，2-）及z 轴；（2）过点A （3-，1，2-）和B （3，0，5）且平行于x 轴；（3）平行于x y 面，且过点A （3，1，5-）；（4）过点P 1（1，5-，1）和P 2（3，2，2-）且垂直于x z 面．42. 求下列各对平面间的夹角（1），62=+-z y x 32=++z y x ；（2）09543=--+z y x ，07662=-++z y x ．43. 求下列直线方程（1）过点（2，1-，3-）且平行于向量{}123，，--=；（2）过点M o (3，4，2-)且平行z 轴；（3）过点M 1（1，2，3）和M 2（1，0，4）；（4）过原点，且与平面0623=-+-z y x 垂直．44. 将下列直线方程化为标准方程（1）⎩⎨⎧=--+=-+-084230432z y x z y x ； （2）⎩⎨⎧-=+=422z y y x ； （3）⎩⎨⎧=+=-+00123z y z x 45. 将下列直线方程化成参数式方程（1）⎩⎨⎧-==-+-250125z y z y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-025126y z x ． 46. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面012=+-+z y x 及012=+-+z y x 的直线方程．47. 求过点（3，1，2-）且通过直线12354z y x =+=-的平面方程． 48. 求通过两直线211111-=-+=-z y x 与 112111-=+=--z y x 的平面方程． 64．求下列各对直线的夹角（1）74211+=-=-z y x ，131256--=-=+z y x ； （2）⎩⎨⎧=-+-=-+-012309335z y x z y x ，⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x ．49. 证明直线31141+=-=-z y x 与 ⎩⎨⎧=--+=++0207z y x z y x 相互平行． 50. 设直线 l 的方程为：nz y x 42311+=--=- 求n 为何值时,直线l 与平面052=+--z y x 平行？51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面0752=--+z y x 的夹角为3π． 52. 设直线l 在平面01:=+++z y x π 内，通过直线⎩⎨⎧=+=++0201:1z x z y l 与平面π的交点，且与直线l 1垂直、求直线l 的方程．53. 求过点（1，2，1）而且与直线 ⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 与 ⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x 平行的平面方程． 54. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面04=-z 的距离，求它的轨迹方程．55. 直线⎩⎨⎧=-+=-+023012:z x y x l 与平面012:=--+z y x π 是否平行？若不平行，求直线l 与平面π的交点，若平行，求直线l 与平面π的距离．56. 设直线l 经过两直线35811:1--==--z y x l ，⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+=t z t y t x l 101152143:2 的交点，而且与直线l 1与l 2都垂直，求直线l 的方程．57. 已知直线：⎩⎨⎧=-+-=+-+04201:1z y x z y x l 及点 )213(，，-p 过点p 作直线l 与直线l 1垂直相交，求直线l 的方程．58. 方程：019224222=-+--++z y x z y x 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．59. 判断方程：11462222=-+-++z y x z y x 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．60. 将曲线：⎩⎨⎧==052y x z 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．61. 将曲线：⎩⎨⎧==+0369422z y x 绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．62. 说明下列旋转曲面是怎样形成的（1）10343222=++z y x ； （2）24222=+-z y x ； （3）1222=--z y x ； （4）222)(y x a z +=-． 63. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形（1）14322=+y x ； （2）13222=-y x ； （3）x z 42=； （4）13422=+z y ．自测题 (A)(一) 选择题1．点M )5,1,4(-到 x y 坐标面的距离为 （ ）A ．5B ．4C ．1D ．422．点A )3,1,2(-关于y z 坐标面的对称点坐标 （ ）A ．)3,1,2(--B ．)3,1,2(--C ．)3,1,2(-D ．)3,1,2(--3．已知向量{}{}{}3,1,4,2,2,2,1,5,3--==-=c b a ，则=+-c b a 432（ ）A ．{}16,0,20B ．{}20,4,5-C ．{}20,0,16-D ．{}16,0,20-4．设向量424--=，236+-=，则)3)(23(+-=（ ）A ．20B ．16-C ．32D ．32-5．已知：→→-AB prjD C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ．21 D ．2 6．设=-⨯+-+=+-=)()(22，则 （ ）A ．k j i 53++-B ．k j i 1062++-C ．1062--D ．k j i 543++7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴．8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．重合9．直线37423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（ ） A ．5 B ．61 C ．51 D ．81 (二) 填空题1．设=--x B x A ，则，两点间的距离为，，与29)421()2,,3(_________．2．设23-+-=，+-=2，则=-32_______________．3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．4．设++=2，22+-=，243+-=，则)(b a p r j c += ．4． 设+-=2，32-+=，则)2()2(-⨯+=_________．5． 与)0,3,4()1,2,3(--B A 和等距离的点的轨迹方程为_______________．6． 过点），，（715，），，（204-且平行于z 轴的平面方程_______________．7． 设平面：03222,01=--+=+-+z y x z y x 与 平行，则它们之间的距离_________．8． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________．10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．(三) 解答题1．求平行于{}的单位向量2,3,6-=a ．2．已知作用于一点的三个力{}{}{}5,4,3,3,2,1,4,3,2321-==--=F F F 求合力的大小与方向．3． 如果{}1,1,2-=，{}1,2,1-=求在上的投影．4． 用向量方法，求顶点在)4,4,3(),5,3,1(),1,1,2(-----的三角形的三个内角．5． 设2+-=，-+=2，22++=，试将下列各式用,,表示．（1） c b a ⨯⨯)(； （2）)()(c a b a ⨯⨯⨯．6． 求经过点（1,2,0）且通过z 轴的平面方程．7． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．8． 求过 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 的圆的方程，并求该圆在坐标平面xoy 上的投影曲线方程．9．求过点（1,2,1）且同时平行0132=-++z y x 和053=+-+z y x 两平面的直线方程．10．方程：12222=++z y x 表示什么图形？自测题（B ）(一) 选择题1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=，则=⨯⨯)(（ ）A ．8B ．10C ．{}1,1,0--D ．{}21,1,22．设{}{}2,2,2,2,1,1-=-=，则同时垂直于a 和b 的单位向量（ ）A ．}0,21,21{± B ．}0,21,21{± C ．}0,2,2{± D ．}0,2,2{±3．若==-+=b a b k j i a ，则，14//236（ ）A ．)4612(k j i -+±B ．)612(j i +±C ．)412(k i -±D ．)46(k j -±4．若ϕ，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （ ）A ．6πB ．2πC ．3πD ．4π 5．过)320()231(),412(321，，和，，，，M M M ---，的平面方程（ ）A ．015914=--+z y xB ．06872=--+z y xC ．015914=-+-z y xD ．015914=-++z y x6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（ ）A ．2πB ．6πC ．3πD ．4π 7．直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 各系数满足（ ）条件，使它与y 轴相交． A ．021==A A B ．2121D D B B = C ．021==C C D ．021==D D 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（ ）A ．223 B ．553 C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （ ） A ．30o B ．60o C ．90o D ．65arcsin 10．过点)5,2,1(---且和三个坐标平面都相切的球面方程（ ）A ．22225)1()1()1(=+++++z y xB ．22225)5()5()5(=+++++z y xC ．22225)2()2()2(=+++++z y xD ．22225)5()5()5(=-+-+-z y x(二) 填空题1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．2．设}8,5,3{=，}7,4,2{--=，}4,1,5{-=，则-+34在x 轴上的投影_________________．3．化简：=⨯--⨯+++⨯++)()()(__________________．4．直线 ⎩⎨⎧=---=-+-01205235:z y x z y x l 和平面 07734:=-+-z y x π的___________位置关系． 5．过直线⎩⎨⎧=+-+=-+-025014z y x z y x 且与x 轴平行的平面方程___________________． 6．原点==+-k kz y x ，则，的距离为到平面262)0,0,0(_________________．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________．9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z y x z 在y z 面上的投影方程______________． (三) 解答题1．设}0,1,1{},1,1,0{},1,1,1{===并令z y x ++=（x ,y ,z 为数量）求 （1）； （2）当z y x ,,}3,2,1{时，=．2．求平行于}2,3,6{-=a 的单位向量．3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．4．已知两个不平行的向量与，2=⋅1=4=，设)(3)(2Xa b b a c -⨯=，求（1）)(+⋅； （2； （3）的夹角余与弦．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．6．垂直平分连接)3,5,2(),1,3,4(B A -的线段的平面方程．7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点．8．在平面02=--z y x 上找一点p 使它与点)3,1,2()1,3,4(),5,1,2(---及之间的距离相等．9．方程：0448422=-+-+y x y x 表示什么曲面？9． 方程组⎩⎨⎧=-++=--++0122046222z y x y x z y x 图形是什么？若是一个圆，求出它的中心与半径．参考答案参考答案练习题1．（1）),,(c b a -； （2）),,(c b a --； （3）),,(c b a ---．2．51-==x x 或． 3．算出距离后，证明满足勾股定理 4．略5．++=+32； i 75732+--=- ．6． 13545或=γ． 7．225． 8．}13,4,11{4},18,8,11{32-=+-=-． 9．}5,2,7{3},12,10,9{52},1,2,1{--=+--=+=-． 10．单位向量为}31,32,32{-． 11．（1）7； （2）在x 轴的分向量i 13，在z 轴的分向量9-； （3）299=u ． 12．利用数量积运算法则． 13．9-=⋅； 70359arccos )(-=∧π． 14．x =4． 15．单位向量：)24(211k j i ++±． 16．1723=∆ABC S ． 17．(1)若a 与b 同向，则b a b a ⋅=⋅，若a 与b 反向，则b a b a ⋅-=⋅；（2）)cos(b a ∧．18．53±=k ． 19．3617+=++c b a ． 20．16=⋅b a ． 21．（1）46； （2）2-； （3）4838arccos )(-=∧πb a ． 22．23． 23．（1）3； （2）k j i 333--； （3）21．24．30±。
空间解析几何答案
空间解析几何复习题（答案）1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 4．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=⨯+⨯+⨯=⋅b a 则21cos rb a b a =⋅⋅=θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,则11cos 0112=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅rr r b a y x z y x c a ϑ （1） 11cos 1102=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r r r c b z y z y x c b ϑ （2） 2011222222=++==++=r z y x c所以2222=++z y x （3）联立（1）、（2）、(3)求出⎪⎩⎪⎨⎧===101z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=313431z y x所以向量c 的坐标为()1,0,1或⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,34,315．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．解：因为()103，，A ，()1,4,2-B ,()3,2,0-C ,()3,0,2--D 所以()0,10,1--=()2,8,3--=AC()4,6,5---=（1）(),,是以它们为邻边的平行六面体的体积()17612120001003465283101=+--++---------=V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥BCD A -）的体积3881766161=⨯==V V T（3）因为()222，，-=，()444--=，，k j i kj iBD BC 01616444222+--=---=⨯()()216161622=-+-=，这是平行四边形BCED 的面积因此S S BCD 21=∆□BCED 2821621=⨯= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ，由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积H S V BCD T ⋅=∆31所以22112112838833==⋅==∆BCDT S V H 6．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程． 解：与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为0=++D Cz Ax (1)把点()123，，A 和点()321--，，B 代入上式得03=++D C A (2)03=+--D C A (3)由（2），（3）得2D A -=,2DC =代入（1）得022=++-D z Dx D 消去D 得所求的平面方程为02=--z x7．求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程． 解；设动点为()z y x M ,,，由点到平面的距离公式得()()()2222221025101025213623-++-+-+-=+-+-+-z y x z y z所以()10102512914623+-+-±=-+-z y x z y x8．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α 的方程．解：设截距的比例系数为k ，则该平面的截距式方程为1562=++-kz k y k x 化成一般式为0306515=-++-k z y x 又因点()0,0,0O 到平面α的距离为120，则有()120651530222=++--k求出2864±=k所以，所求平面方程为028********=±++-z y x9．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程． 解：依题意，设平面的法矢为()2,5,4-=n 代入平面的点法式方程为()()()0125524=----+z y x整理得所求平面方程为035254=+--z y x10．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．解：两平面的法矢分别为()6,1,1--=m n ，()11,3,22m n -=，由1n ⊥2n ，得066212=--m m求出1966-=m 11．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC面上的高．解：已知四点()()()()7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0D C B A --,则()()()9,1,2,4,5,0,7,0,2--=--=--=DC DB DA为邻边构成的平行六面体的体积为()912450702,,-------==V()[]80700090++--++-=()87090-+-=28=由立体几何可知，三棱锥ABC D -的体积为314286161=⨯==-V V ABC D设D 到平面ABC 的高为H则有 ABC ABC D S H V ∆-⋅=31所以 ABCABCD S V H ∆-=3又()()2,1,0,3,5,2-==k j i kj i 24721352++=--=⨯所以，692124721222=++==∆S ABC 因此，696928692869213143==⨯=H 12．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标． 解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()200，，，由点到平面的距离公式，得()()7724147222=-+-++-z所以69147±=+-z 则692±=z那么A 点的坐标为()692,0,0±A13．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标。
空间解析几何自测题一填空题
空间解析几何自测题 一,填空题1, 线段AB 被三等分,第一个分点为C(2,-5,1).第二个分点为D(-1,4,-2),则B 点为 .2, 已知向量x G 与向量a i j k =+−GG G G 平行,且9⋅=−G G a x ,则向量x G = 。
3, 同时垂直于向量22a i j k =++G G G G与453b i j k =++G G G G ,且与x 轴夹角为锐角的单位向量为 x G= 。
4, 设向量{}{}1,2,2,1,3,1a b ==−G G,则b G 在a G 方向上的投影为 。
5, 已知5,6,7a b a b ==+=G G G G ,则a b −GG = 。
6, 设A(1,0,1),B(0,2,3) , C(1,3,4), 则ABC Δ的面积为 。
7, 已知四面体顶点为A(0,0,0), B(3,4,-1), C(2,3,5), D(6,0,-3),则该四面体的体积为 .8, 已知向量,,a b c G G G 的混合积(),,1a b c =G G G,则()()()a b b c a c ⎡⎤+×+⋅+⎣⎦G G G G G G= 。
9,平面π1:2x -y+z -7=0 与平面π2：x+y +2z -11=0的夹角为 。
10，xoz 平面上的曲线22z x =绕x 轴旋转所形成的旋转面方程为 。
11，曲面z =xoz 平面上的曲线 绕z 轴旋转而成的。
12，点01(1,2,2P −关于平面:32140x y z π++−=的对称点为 。
二,选择题13, 设直线L 1:232x t y t z t =+⎧⎪=−⎨⎪=⎩, L 2:623x y y z −=⎧⎨+=⎩, 则12L L 与的夹角为 。
2(),;(),;(),;(),.6433A B C D ππππ 14，设直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨−−+=⎩，平面:4220x y z π−+−=，则直线L 与平面π的位置关系为： 。
《数学学科知识》空间解析几何常考题型
《数学学科知识》空间解析几何常考题型 5.（15年）直线l ：⎩
⎨⎧==++0z -y -x 0z 3y x 与平面x -y +2z +1=0的夹角β是（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 答案：A
6.（16年预测）求直线l:
：在平面π2
-1-z 11y 32-x =+= 2x+y- z+3=0上的投影直线0l 的方程。
解析：经过直线l ：
2-1-z 11y 32-x =+=，作平面π1与π垂直，那么平面π1与π的交线就是直线l 在π上的投影。
由已知得：直线l 的方向向量为→n =（3，1，-2），平面π的法向量为→m =（2，1，-1），点p 0（2，-1，1）是直线l ：2-1-z 11y 3
2-x =+=上的一点。
设点p （x ，y ，z ）是π1上的任意一点，则→
→→m ，n ，
p p 0共面， 即1
-122-13
1
-z 1y 2-x +=0，即x-y+z-4=0。
解得直线l 0的方程是⎩
⎨⎧=+=++04-z y -x 03z -y 2x 。
7.求过直线，⎩⎨⎧=+=++0
32z -y -x 01-z y 2x 且与曲线
6.（16年预测）求与直线L 1：⎪⎩
⎪⎨⎧+=+==t 2z t 1-y 1x 及直线L 2：11z 22y 11x +=+=+都平行且经过坐标原点的平面方程。
解析：先求出L1 及L2的方向向量，最后求得x-y+z=0。
考点：共面向量的混合积=0。
空间解析几何练习题
空间解析几何练习题问题一给定点A(1,2,3)和点B(4,5,6)，求连接点A和点B的线段的长度。
解答根据两点间的距离公式，可以得出线段AB的长度为：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)= √((4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2)= √(3^2 + 3^2 + 3^2)= √(27)= 3√3所以线段AB的长度为3√3。
问题二已知直线L1的方程为 2x - y + 3z = 4，且直线L2与L1垂直，且过点P(1,2,3)，求直线L2的方程。
解答由于直线L2与L1垂直，所以直线L2的方向向量与直线L1的法向量垂直。
直线L1的法向量为(2, -1, 3)。
设直线L2的方向向量为(a, b, c)，则有：2a - b + 3c = 0又因为直线L2过点P(1,2,3)，所以它的一般方程为：x - 1 y - 2 z - 3------ ------ ------a b c整理得到直线L2的方程为：(x-1)/a = (y-2)/b = (z-3)/c问题三已知平面α过点A(1,2,3)并且与直线L:x = 2t, y = t, z = 6-t 相交于点P，请求平面α的方程。
解答设平面α的法向量为(α, β, γ)。
由于平面α过点A(1,2,3)，所以有：α*1 + β*2 + γ*3 = d又平面α与直线L相交于点P，所以点P满足平面α的方程，即：α*2t + β*t + γ*(6-t) = d联立以上两个方程，可以求解出平面α的方程。
首先，将第一个方程乘以2，得到：2α + 4β + 6γ = 2d然后，将第二个方程转化为标准形式：(2α + β + 6γ)t = d由于t是一个变量，上式成立必须要求α, β, γ满足：2α + β + 6γ = 0所以平面α的方程可以写成：2x + y + 6z = d其中d是一个待定常数。
总结本文解答了三道关于空间解析几何的练习题。
空间解析几何练习题
。 3
x 5 y 8 0, x 15 y z 8 与直线 的夹角。 8 1 4 2 y 11z 1 0
x 4 y 4 z 1 x5 y 5 z 5 与直线 的距离。 2 1 2 4 3 5
y z x z 1, 1, 16．已知直线 L1 ： b c 和 L2 ： a c x 0 y 0.
7．求经过原点，且与两平面 x 2 y 3z 13 0 和 3x y z 1 0 都垂直的平面 方程。
3x 2 y z 1 0, 8．求过点 (2, 3, 1) 和直线 的平面方程。 2 x y 0
9．求过直线
x y z 1 x 1 y z 且平行于直线 的平面方程。 2 1 2 0 1 1
，使得 a b c 0 。
b 为满足 || a || 2 ， 5． 设a， 且 a 与 b 的夹角为 || b || 1 的向量，
。 求以 m 5a b ， 4
a (2, 1, 3) ， b ( x, y, z ) ，若 a c b 有解 c ，问 x ， y ， z 应满足 什么条件？ 7．证明：对任意向量 a ， b 成立 || a b || 2 || a b || 2 2(|| a || 2 || b || 2 ) ，并说明 其几何意义。 8．设三个向量 a ， b ， c 满足 (a b) c 2 ，求 [(a b) （b c)] (c a) 。 9．问向量 a (2, 3, 1) ， b (1, 1, 3) ， c (1, 9, 11) 是否共面？
a c b c, 10．已知 a ， b ， c 都不是零向量，问 a b 与 是否等价？ a c b c
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空间解析几何试卷
一、填空题（本大题共计30分，每空3分。
请把正确答案填在横线上）
1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________.
2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→
b 的坐标是 ________________.
3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→
→b a ,垂直, 那么x =_________.
4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________.
5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2
112-+=-=z y x 间的距离是_____________.
6. 若直线1
23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________.
7. 经过直线⎩⎨⎧=-+-=-+0
201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________.
8. 空间曲线⎩
⎨⎧+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的
方程分别是_____________________________.
9. 顶点在原点、准线为抛物线⎩⎨⎧==1
22z x y 的锥面方程是
________________(请用x y x ,,的一个方程表示).
10.曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-0
19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面.
二、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若=⋅-+=+-=→
→→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( )
A. 7
B. -7
C. -1
D. 0
2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( )
A. →→⨯b a
B. →→⨯a b
C. ||→→→
→⨯⨯±b a b a D. ||→→→→⨯⨯b a b a
3. 在空间右手直角坐标系下，点P(-1,2,-3)在第( )卦限.
A. II
B. III
C. V
D. VI
4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |，则一定有( )
A. →→⊥b a
B. →→b a //
C. →→b a 与同向
D. →
→b a 与反向
5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )
A. (1,3,-2)
B. (1,3,2)
C. (-1,3,-2)
D. (-1,-3,2)
6. 在空间右手直角坐标系下， Ox 轴的一般方程是( )
A. 0=x
B. ⎩⎨
⎧==00y x C. ⎩⎨⎧==00z y D. ⎩⎨⎧==00z x 7. 过点yOz z y x p o o o o 与),,(平面平行的平面方程是( )
A. 0=x
B. o y y =
C. o z z =
D. o x x =
8. 过点(2,-3,-4)且与平面3x+y-z+1=0垂直的直线方程是( )
A.
141332-+=+=-z y x B. 141332--=-=+z y x C. 141332+=-+=-z y x D. 1
41332+=--=+z y x 9. 过原点所引球面222(5)(1)16x y z -+++=的切线的轨迹方程是
( )
A. 22215910100x y z xy ---=
B. 22215910100x y z xy ++-=
C. 2221581190x y z xy ---=
D. 22291510110x y z xy -+-=
10. 方程14222
=--z y x 所表示的曲面是( ) A.单叶双曲面 B.双叶双曲面 C.椭圆抛物面 D.双曲抛物面
三、计算题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
1．已知向量{}{}→→→→-=-=b a b a ,,3,2,1,1,3,2求与都垂直，且满足如下条件之一的向量→c ：
（1）→c 为单位向量； （2）{}7,1,2,10-==⋅→→→d d c 其中
2．求通过z 轴且与平面 600752成=--+z y x 角的平面方程。
3．求通过点0123)2,0,1(=-+--z y x P 与平面平行且与直线1
2341z y x =--=- 相交的直线方程。
4. 已知单叶双曲面的一个平面截线为⎪⎩⎪⎨⎧==+,4,180452
2z y x ，且过点(-3,4,-2), 求它的标准方程。
5. 求双曲抛物面z y x 29
1622=-上过点(4,3,0)的两条直母线方程，并求其夹角。
四、证明题（本大题共10分）
用向量方法证明三角形的余弦定理。
五、作图题（本大题共10分）
六、综合题（本大题共10分）。