2013届高考文科数学一轮复习课时作业(25)平面向量的数量积B
高考数学一轮复习讲义平面向量数量积
变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|
＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.
(1)如图所示，由已知，作O→A＝a， O→B＝b，O→A、O→B的方向分别是正南、正东方 向，且|a|＝|b|＝1，则O→C＝－3a 的方向是正北 方向，|O→C|＝|－3a|＝3|a|＝3，O→D＝O→A＋O→B＝ a＋b 的方向是东南方向，|a＋b|＝ 2(四边形 OADB 是正方形)， 且O→C与O→D的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3× 2 ×cos 135°＝3 2×－ 22＝－3.
探究提高
方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的 方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cos θ＝ 2cos θ 来表示即可．方法二的难点是如何建立 c 坐标的关系式，要突 破这一难点就要先设向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由 条件建立 c 的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的 难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向 量 c 是向量 a，b，a－c，b－c 构成的圆内接四边形的对角线．
答案 (1)－3 (2) 3
向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积．
运用数量积的定义和|a|＝ a·a. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12.
平面向量的数量积(一轮复习)
＝________；特殊地|，a|a|·ba|＝|a|2 或|a|＝ a·a.
C D (4)cos θ＝________．
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
B
A 3．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)分配律：(a＋b)·c＝________．
(3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
2、（2016 年浙江高考）已知向量 a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量
1
题型五：平面向量的范围问题 e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ 6 ,则 a·b 的最大值是
．【答案】 2
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是
曲线 y 1 x2 上一个动点，则 BP BA 的取值范围是
01
平面向课量堂总向结量：的模
02
、转化为坐标
向量的夹角 cos 0 3 a b
ab
转化思想、数形结合
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
2 cos2
A B cos B sin( A B)sin B cos( A C) 2
（2）已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13.若向量
a＝3e1－2e2，则题|a|＝型__二___：___平． 面向量的[答模案] 3
变式练习 (1) [2014·全国卷] 若向量 a, b 满足：| a | 1， (a b) a ，
(2a b) b ，则 | b | （ ）
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2013届人教A版文科数学课时试题及解析(25)平面向量的数量积B.pptx
π)，所以 sinx＝cosx，即 x＝4π，故 tanx＝1.故选 A.
7．C [解析] 依题意，由|a＋b|＝|a－b|＝2|a|得 a⊥b，b2＝3a2，cos〈a＋b，a－b〉＝
|a＋a2b－||ab－2 b|＝－12，所以向量a＋b与来自a－b的夹角是
2π 3.
8．C [解析] 因为|a＋b|＝|b|，所以 a·(a＋2b)＝0，即 a⊥(a＋2b)，因此|a|、|a＋2b|、|2b| 构成直角三角形的三边，|2b|为斜边，所以|2b|>|a＋2b|.
【能力提升】 5．D [解析] 因为∠C＝90°，所以→A·C→C＝B0，所以→A→B·A＝C →(A＋C→CB)·A→C＝|A→C|2＋ A→C·C→B＝A→C2＝16. 6．A [解析] 由|a·b|＝|a||b|知 a∥b.所以 sin2x＝2sin2x，即 2sinxcosx＝2sin2x，而 x∈(0，
为等边三角形．
|AB||AC|
12．[解答] 建立如图所示的坐标系，设 DC＝h，则 A(2,0)，B(1，h)．设 P(0，y)(0≤y≤h)，
则P→A＝(2，－y)，P→B＝(1，h－y)，∴|P→A＋3P→B|＝ 25＋3h－4y ≥2 25＝5.
【难点突破】
13．[解答]
如图，以
A
为原点，→为 AB
A．－16 B．－8
C．8 D．16
6．已知 a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中 x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则 tanx 的值等
于 ()
A．1
B．－1
C. 3
2 D. 2
7．若两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角是( )
高三数学一轮复习 平面向量的数量积及平面向量的应用巩固与练习
高三数学一轮复习 平面向量的数量积及平面向量的应用巩固与练习1．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且a ⊥c ，则|a ||b |的值为( )A.12B.233 C ．2 D. 3解析：选A.c ·a ＝(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos120°＝|a |2－12|a ||b |＝0，∴|a ||b |＝12.故选A.2．(2009年高考陕西卷)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49 解析：选A.M 是BC 的中点，则 PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM →＝PA →·A P →＝－(PA →)2＝－(23MA →)2＝－49.3．(2010年江苏四市调研)已知圆O 的半径为a ，A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则OA →·AB →＝( )A.32a 2 B ．－32a 2 C.32a 2 D ．－32a 2 解析：选B.结合图形易知两向量夹角为5π6，且|OA →|＝a ，|AB →|＝3a ，故OA →·AB →＝|OA→|×|AB →|×cos 5π6＝－3a 22.4．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：由a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，得a ·b ＝－2＋8＝6， ∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：8 25．(原创题)三角形ABC 中AP 为BC 边上的中线，|AB →|＝3，AP →·BC →＝－2，则|AC →|＝________.解析：AP →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝－2 ∴|AC →|＝ 5. 答案： 56．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知，a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162∴|4a －2b |＝16 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )·(k a －b )＝0，∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0. 16k －16(2k －1)－2×64＝0， ∴k ＝－7.练习1．(2009年高考全国卷Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30° 解析：选B.∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.2．共点力F 1(lg2，lg2)，F 2(lg5，lg2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg2B ．lg5C ．1D ．2解析：选D.F 1与F 2的合力F ＝(lg2＋lg5,2lg2)＝(1,2lg2) 又s ＝(2lg5,1)所以W ＝F ·s ＝2lg5＋2lg2＝2.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°或150°B ．60°或120°C ．120°D ．150°解析：选C.由题意容易得出向量a 、b 共线，且向量a 与向量a ＋b 的夹角为π，可设向量a ＋b 与向量c 的夹角为α，则(a ＋b )·c ＝|a ＋b |·|c |·cos α＝5cos α＝52，所以cos α＝12，α＝60°，则向量a 与向量c 所夹的角应为120°.答案为C.4．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·aa ·b)b ，则向量a 与c 的夹角为( )A ．0 B.π6C.π3D.π2解析：选D.∵a ·c ＝a ·[a －(a ·a a ·b )b ]＝a ·a －(a ·aa ·b)(a ·b )＝0. ∴a ⊥c ，故选D.5.设A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相等，则a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14解析：选A.由投影计算公式可得：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC→|OC →|，即：4a ＋5＝8＋5b ，即4a －5b ＝3，故选A.6．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， ∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.7．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．因此，AP →·BP →＝(x －4)(x －2)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取得最小值1，此时P (3,0)． 答案：(3,0)8．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0 ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题．因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0，所以垂直，故③假．由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题④错误．答案：②9．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．解析：如图，渡船速度为OB →，水流速度为OA →，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知，|OA →|＝12.5，|OB →|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，则|BD →|＝|OA →|，又OD ⊥BD ，∴在Rt△OBD 中，∠BOD ＝30°， ∴航向为北偏西30°. 答案：北偏西30°10．已知|a |＝3，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为150°，求|a ＋2b |； (2)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角大小．解：(1)∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4|a ||b|cos150°＋4|b |2＝(3)2＋4×3×2×cos150°＋4×22＝7， ∴|a ＋2b |＝7. (2)∵(a －b )⊥a ，∴(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0.∴a·b ＝|a |2.∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝|a |2|a ||b |＝|a ||b |＝32.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°， ∴〈a ，b 〉＝30°.11.(2009年高考湖北卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．解：(1)法一：b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2， 当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2. 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即co s(α－β)＝cos α.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π2或β＝2k π，k ∈Z ，于是cos β＝0或cos β＝1.法二：若α＝π4，则a ＝(22，22)．又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)得a ·(b ＋c )＝(22，22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β，平方后化简得cos β(cos β－1)＝0， 解得cos β＝0或cos β＝1.经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求． 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A2)，n ＝(cos A 2，sin A2)，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．解：(1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2)＝3，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴b ＋c ＝3a ， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．。
高考文科数学平面向量数量积及向量应用空间直角坐标系考点讲解
高考复习讲义
平面向量的数量积与向量的应用、空间直角坐标系
考点全通关 13
考点四 平面向量应用举例
1.向量在平面几何中的应用
基于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全 等、相似、平行、垂直等都可以由向量的线性运算与数量积表示出来.
高考文科数学平面向量数量积及向量应 间直角坐标系考点讲解
高考复习讲义 考情精解读 1
考纲解读
命题规律
命题趋势
平面向量的数量积与向量的应用、空间直角坐标系
1.理解平面向量数量积的含义与其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量 的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 7.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. 8.会推导空间两点间的距离公式.
1.预计高考对本讲内容的考查以向量的长度、角度与数 量积为主. 2.以向量数量积的运算为载体,综合考查三角函数、解 析几何等知识是一种新的趋势,复习时应予以关注.
高考复习讲义 考点全通关 1 1.向量的夹角
平面向量的数量积与向量的应用、空间直角坐标系 考点一 平面向量的数量积
图5-3-1
所有理想化模型均忽略对所研究问 题无影响的因素,是研究问题的一种 理想方法.在高中学习的理想模型还 有:点电荷、理想气体、弹簧振子、 点光源等.
高三数学一轮复习平面向量的数量积及应用教案
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测2017年高考：
（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
法二： · ＝ ·( ＋ )
＝ ·( ＋ ＋ )
＝2 · ＋ ·
＝2| |·| |·cos ，
＝2×| |·| |·
＝2×| |2＝2×32＝18.
(1)C (2) 18
由题悟法
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cosθ求解；
(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
以题试法
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)的一个充分不必要条件是( )
A．x＝0或2 B．x＝2
C．x＝1 D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如图所示，则( )
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直
B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60°
2．向量的应用
（1）向量在几何中的应用；
（2）向量在物理中的应用。
二．典例分析
(1)若向量a＝(1, 1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6B．5
C．4D．3
(2) (2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 · ＝________.
高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量()()1,1,2,1a b ==-，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,)55-2．已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．已知向量()1,2a =，()2,2b =，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ） A ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,2D ．22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设e →为单位向量，||2a →=，当a e →→，的夹角为3π时，a →在e →上的投影向量为（ ） A ．－12e →B ．e →C ．12e →D ．32e →5．已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A 16165+B 1685+ C ．165D ．5656．在ABC 中，已知5AB =，3BC =，4CA =，则AB BC ⋅=（ ） A ．16B ．9C ．－9D ．－167．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．22,22⎡⎤⎣⎦-C ．32,32⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若2AB =，则AC MB +的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．10⎡⎣D ．2,10⎡⎣9．已知圆M ：()()22114x y -+-=．设P 是直线l ：3480x y ++=上的动点，PA 是圆M 的切线，A 为切点，则PA PM ⋅的最小值为（ ） A 3B 5C ．3D ．510．在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥==；记直线DB 与直线AC 所成的角为α，直线DC 与平面ABD 所成的角为β，二面角D BC A --的平面角为γ，则（ ） A ．βγα<< B ．γβα<< C ．βαγ<<D ．αγβ<<11．已知2OA OB ==，点C 在线段AB 上，且OC 的最小值为3OA tOB +（t ∈R ）的最小值为（ ） A 2B 3C ．2D 512．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为23形，点P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（ ）A ．[]6,0-B ．25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]7,0-二、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．14．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______15．已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______． 16．已知,a b 是两个单位向量，2c a b =+，且b c ⊥，则()a ab ⋅+=__________． 三、解答题(17．已知()1,2a =，()2,3b =-，c a b λ=+． (1)当1λ=-时，求a c ⋅的值； (2)若()a b c +⊥，求实数λ的值．18．在①()cos2cos A B C =+，②sin 3cos a C c A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． (1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+= (1)求a b +的值； (2)求a 与2a b -的夹角.21．已知()1,2a =，(1,1)b =-． (1)若2a b +与ka b -垂直，求k 的值； (2)若θ为2a b +与a b -的夹角，求θ的值．22．已知ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若2a =，且满足2c s 2o c aB b-=． (1)求角A ；(2)求BA BC ⋅的取值范围．23．已知向量()()32,,1，=-=a b x . (1)若()()22a b a b +⊥-，求实数x 的值；(2)若()()8,1,//=--+c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.24．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.(1)若12DE DC =，求AC EF ⋅的值； (2)求EA EF ⋅的取值范围。
新高考数学文科一轮总复习课时练习8.2平面向量的数量积(含答案详析)
第2讲 平面向量的数量积1．(2011年辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝( )A ．－12B ．－6C ．6D ．122．(2011年湖北)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π43．(2013年广东东莞二模)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．24．扇形OAB 的半径为2，圆心角∠AOB ＝90°，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，则CD →·OB →的值为( )A. 2 B ．2 2C ．0D ．35．(2013年大纲)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2012年新课标)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.7．(2012年安徽)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．8．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.9．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，设AB →与BC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值．10．在△ABC 中，A (2,3)，B (4,6)，C (3，－1)，点D 满足CA →·CD →＝CB →·CD →.(1)求点D 的轨迹方程；(2)求|AD →|＋|BD →|的最小值．第2讲 平面向量的数量积1．D 解析：∵2a －b ＝(5,2－k )，∴a ·(2a －b )＝(2,1)·(5，2－k )＝10＋2－k ＝0，∴k ＝12.2．C 解析：因为2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，所以|2a ＋b |＝3 2，|a －b |＝3.设2a ＋b与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(2a ＋b )·(a －b )|2a ＋b ||a －b |＝22，又θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 3．A 解析：根据投影的定义，可得向量a 在向量b 方向上的投影是：|a|cos α＝ab |b|＝－4.故选A.4．B 解析： CD →·OB →＝(CO →＋OD →)·OB →＝CO →·OB →＋OD →·OB →＝0＋|OD →|·|OB →|cos π4＝2 2. 5．B 解析：因为(m ＋n )⊥(m －n )，则m 2＝n 2，即(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22,2λ＝－6，λ＝－3.6．3 2 解析：因为|2a －b |＝10，所以(2a －b )2＝10，即4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝10，所以4＋|b |2－4|b |cos45°＝10，整理得|b |2－2 2|b |－6＝0，解得|b |＝3 2或|b |＝－2(舍去)．7．－98解析：|2a －b |≤3⇔4a 2＋b 2≤9＋4a ·b,4a 2＋b 2≥4|a ||b |≥－4a ·b ⇒9＋4a ·b ≥－4a ·b ⇔a ·b ≥－98. 8．－14解析：由题意画出图形如图D65，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos60°＝－14.图D659．解：(1)∵AB →·BC →＝6，∴|AB →|·|BC →|·cos θ＝6.∴|AB →|·|BC →|＝6cos θ. 又∵S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝3tan θ， ∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. 又∵θ∈(0，π)，∴π6≤θ≤π4. (2)f (θ)＝1＋2cos 2θ＋sin2θ＝cos2θ＋sin2θ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋2， 由θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，得2θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2. ∴2θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤712π，34π. ∴当2θ＋π4＝34π，即θ＝π4时，f (θ)min ＝3. 10．解：(1)设D (x ，y )，则CA →＝(－1,4)，CD →＝(x －3，y ＋1)，CB →＝(1,7)．∵CA →·CD →＝CB →·CD →，∴(－1)·(x －3)＋4·(y ＋1)＝(x －3)·1＋(y ＋1)·7，整理，得点D 的轨迹方程为2x ＋3y －3＝0.(2)易得点A 关于直线2x ＋3y －3＝0的对称点的坐标为M ⎝⎛⎭⎫－1413，－2113， ∴|AD →|＋|BD →|的最小值为|BM →|＝14 15713.。
数学高考一轮复习同步训练(文科) 第25讲《平面向量的数量积》北师大版必修4A
课时作业(二十五)A [第25讲 平面向量的数量积][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．a ＝(2,3)，b ＝(－1，－1)，则a ·b ＝( )A ．1B ．－1C ．－5D ．52．[2011·辽宁卷] 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝( )A ．－12B ．－6C ．6D ．123．[2011·惠州三模] 已知向量|a |＝10，且|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为( )A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°4．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )A.655B.65C.135D.13能力提升5．[2011·重庆南开中学月考] 平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝( )A.12 B ．1 C.32 D. 36．[2011·三明三校联考] 半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(PA →＋PB →)·PC →的值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．无法确定，与C 点位置有关7．[2011·江门一模] 设向量a ＝(－1,2)、b ＝(1,3)，下列结论中，正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a －b )D ．a ⊥(a －b )8．已知两不共线向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则下列说法不正确．．．的是( )A ．(a ＋b )⊥(a －b )B ．a 与b 的夹角等于α－βC ．|a ＋b |＋|a －b |>2D ．a 与b 在a ＋b 方向上的投影相等9．[2011·新余二模] 已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a －3b |等于________．10．[2012·淮阴模拟] 已知a 、b 、c 都是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a ·c 的值为________．11．[2010·金华十校] △ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．12．(13分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，λ的取值范围．难点突破13．(12分)[2011·广州一模] 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )·a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值；(3)求向量a 在b 方向上的投影．课时作业(二十五)A【基础热身】1．C [解析] a ·b ＝2×(－1)＋3×(－1)＝－5.2．D [解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝0，即10－(k －2)＝0，所以k ＝12，故选D.3．B [解析] 由a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－60⇒cos θ＝－12，故θ＝120°.4．A [解析] ∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝2×(－4)＋3×74＋9·16＋49＝55，∴a 在b 方向上的投影|a |cos θ＝22＋32×55＝655.【能力提升】5．B [解析] |a |＝2，a·b ＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×12＝1.6．A [解析] (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2.7．D [解析] a －b ＝(－1,2)－(1,3)＝(－2，－1)，而a ·(a －b )＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0.8．B [解析] a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角是θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等． 9.7 [解析] ∵|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－6×cos60°＝7，∴|a －3b |＝7.10.12 [解析] b ＝c －a ，两边平方，并结合单位向量，得a ·c ＝12.11．3 [解析] ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1，∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2.∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.12．[解答] 由条件知，cos45°＝a·b |a|·|b|，∴a·b ＝3， 设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝(a ＋λb )·(λa ＋b )|a ＋λb |·|λa ＋b |<0， ∴(a ＋λb )(λa ＋b )<0.λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856. 若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反，∴存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧kλ＝1，λ＝k .∴k ＝λ＝－1，∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1.【难点突破】13．[解答] (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )·a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22.。
高考数学一轮复习课时分层训练25平面向量的数量积及其应用文北师大版
课时分层训练(二十五) 平面向量的数量积及其应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0C ．32D ．3A [依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32.] 2．(·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8D [法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.]3．(·湛江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →等于( ) 【导学号：00090138】 A ．5 B ．4 C ．3D ．2A [∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5，选A ．]4．(·安徽黄山二模)已知点A (0,1)，B (－2,3)，C (－1,2)，D (1,5)，则向量AC →在BD →方向上的投影为( ) A ．21313B ．－21313C ．1313D ．－1313D [∵AC →＝(－1,1)，BD →＝(3,2)，∴AC →在BD →方向上的投影为|AC →|cos 〈AC →，BD →〉＝AC →·BD →|BD →|＝－1×3＋1×232＋22＝－113＝－1313.故选D ．]5．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6C [∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.]二、填空题6．(·黄冈模拟)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________．23π [∵b 在a 上的投影为－3， ∴|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋32＝2，∴a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a·b ＝1×3＋3m ，∴3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，∴|b |＝32＋－332＝6，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－62×6＝－12，∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为23π.]7．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”). 【导学号：00090139】 垂心 [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线． 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心．]8．如图431，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD→的值是________．图43122 [由题意知：AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB －316×64，解得AB →·AD →＝22.] 三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )． [解] 由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. 2分(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b |＝4 3.4分②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.6分 (2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， 8分∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直.12分10．(·德州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.【导学号：00090140】[解] (1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，2分化简得cos A ＝－35.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. 4分(2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，6分 因为a ＞b ，所以A ＞B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.8分由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7(舍去)，10分 故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(·山西四校联考)向量a ，b 满足|a ＋b |＝23|a |，且(a －b )·a ＝0，则a ，b 的夹角的余弦值为( ) A ．0 B ．13 C ．12D ．32B [(a －b )·a ＝0⇒a 2＝b·a ，|a ＋b |＝23|a |⇒a 2＋b 2＋2a·b ＝12a 2⇒b 2＝9a 2，所以cos 〈a ，b 〉＝b·a |b|·|a |＝a 23|a|·|a|＝13.]2．(·武汉模拟)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.9 [因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.]3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值．【导学号：0009041】[解] (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C ．根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，2分即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. 5分 (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，7分即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)， 即ac ≤3(2＋2)，9分故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤32＋12， 即△ABC 的面积的最大值为32＋32.12分。
高三北师大文科数学课时作业 第讲 平面向量的数量积B 含解析
课时作业(二十六)B [第26讲 平面向量的数量积](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．在平面直角坐标系中，已知O (0，0)，A (0，1)，B (1，3)，则OA →·OB →的值为( )A ．1 B.3－1C. 3D.3＋12．已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A ．2 B ．4C ．2 5D ．63．已知a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，若|c |＝26，且a·b ＝a ·c ，则c ＝( )A ．(－4，7)B ．(－5，1)C ．(5，1)或(－1，5)D ．(2，4)4．在△ABC 中，有如下命题，其中正确的是( )①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AB →·BC →＞0，则△ABC 为锐角三角形．A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④能力提升5．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－32 B.32C ．±32D ．1 6．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值，最小值分别是( )A ．42，0B ．4，4 2C ．16，0D ．4，07．已知两个非零向量a 与b ，a ＋b ＝(－3，6)，a －b ＝(－3，2)，则a 2－b 2的值为( )A ．3B ．－24C ．21D ．128．[2012·北京朝阳区二模] 在△ABC 中，|AB →|＝2，|AC →|＝3，AB →·AC →<0，且△ABC 的面积为32，则∠BAC 等于( ) A ．60°或120° B ．120°C ．150°D ．30°或150°9．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝233|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角为________．10．[2012·太原模拟] 已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，1)，则|a －b |的最大值为________．11．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________．12．(13分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.难点突破13．(12分)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)．(1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值； (2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4？若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．课时作业(二十六)B【基础热身】1．C [解析] OA →·OB →＝(0，1)·(1，3)＝0×1＋1×3＝3，故选C.2．A [解析] |2a ＋b |＝（2a ＋b ）2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4×1×2×cos120°＋4＝2.3．C [解析] 设c ＝(x ，y )，|c |＝26，∴x 2＋y 2＝26，①∵a ·b ＝a ·c ，∴2×(－4)＋3×7＝2x ＋3y ，②联立①②，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5. 4．C [解析] 在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误；若AB →·BC →＞0，则∠B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误．【能力提升】5．B [解析] a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝12λ－18＝0.所以λ＝32. 6．D [解析] |2a －b |＝|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4（3cos θ－sin θ）＋4 ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π12，所以其最小值为0，最大值为4. 7．C [解析] 因为a ＋b ＝(－3，6)，a －b ＝(－3，2)，相加得到a ＝(－3，4)，相减得到b ＝(0，2)，∴a 2－b 2＝21，即选C.8．C [解析] 因为|AB →|＝2，|AC →|＝3，AB →·AC →<0，说明角A 为钝角，则利用三角形的面积公式，△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝32⇒sin A ＝12，∴A ＝150°，选C. 9．60° [解析] 将|a ＋b|＝|a －b |两边同时平方得a·b ＝0；将|a －b |＝233|a |两边同时平方得b 2＝13a 2. 所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b|·|a －b |＝a 2－b 243a 2＝12. 所以〈a ＋b ，a －b 〉＝60°.10．3 [解析] |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝5－4⎝⎛⎭⎫32cos θ＋12sin θ＝5－4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，所以|a －b |的最大值为3. 11．－14 [解析] 根据已知AD →＝12(AB →＋AC →)， BE →＝23AC →－AB →， 所以AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB → ＝12⎝⎛⎭⎫23－1－13AB →·AC →＝－14. 12．解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20.∵c ∥a ，a ＝(1，2)，∴2x －y ＝0，∴y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4， ∴c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.(※)∵|a |2＝5，|b |2＝⎝⎛⎭⎫522＝54，代入(※)中， ∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，∴a ·b ＝－52. ∵|a |＝5，|b |＝52，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－525×52＝－1. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.【难点突破】13．解：(1)因为α＝π4，则b ＝⎝⎛⎭⎫22，22，a ·b ＝322， 则|m |＝（a ＋t b ）2＝5＋t 2＋2t a ·b ＝t 2＋32t ＋5＝⎝⎛⎭⎫t ＋3222＋12， 所以当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22. (2)由条件得cos45°＝（a －b ）·（a ＋t b ）|a －b ||a ＋t b |， 又因为a ⊥b ，则|a －b |＝（a －b ）2＝6，|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝5＋t 2，(a －b )·(a ＋t b )＝5－t ， 则有5－t 65＋t2＝22，且t <5，整理得t 2＋5t －5＝0， 所以存在t ＝－5±352满足条件．。
高三数学一轮复习课时作业(24)平面向量的数量积及应用 江苏专版
[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝________. 2．若向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.3．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．4．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a, 则△ABC 的形状是____________．能力提升5．a ＝(2,3)，b ＝(－1，－1)，则a ·b ＝________.6．[2011·惠州三模] 已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为________．7．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．8．[2011·苏北四市一调] 设a ，b ，c 是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于________．9．[2011·镇江统考] 已知Rt △ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP →|＝________.10．平面向量a ＝(x ，y )，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(1,1)，d ＝(2,2)，若a·c ＝b·d ＝1，则这样的向量a 有________个．11．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．12．[2011·南通一模] 在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点．若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝10，则点C 的坐标是________．13．(8分)[2011·南通一模] 已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，|a －b |＝2. (1)求a ·b 的值； (2)求|a ＋b |的值．14．(8分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，λ的取值范围．15．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)、B (2,3)、C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．16．(12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝cos x4，cos 2x4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，求函数f (A )的取值范围．课时作业(二十四)【基础热身】 1．－1 [解析] λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，因为λa ＋b 与a 垂直，所以λ＋4＋9λ＋6＝0，故λ＝－1.2．7 [解析] |5a －b |＝5a －b 2＝25a 2－10a ·b ＋b 2＝25＋10×1×3×12＋9＝7.3．[0,1] [解析] ∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]．所以|b |∈[0,1]．4．等边三角形 [解析] 由a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，a ＋b ＋c ＝0，得AB ＝BC ＝CA ，所以△ABC 为等边三角形．【能力提升】5．－5 [解析] a ·b ＝2×(－1)＋3×(－1)＝－5.6．120° [解析] 由a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－60⇒cos θ＝－12，故θ＝120°.7.655 [解析] ∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝2×－4＋3×74＋9·16＋49＝55， ∴a 在b 方向上的投影|a |cos θ＝22＋32×55＝655. 8.π3[解析] 由a ，b ，c 是单位向量，模都为1，a ＝b ＋c ⇒a －b ＝c ⇒(a －b )2＝c 2⇒a 2＋b 2－2a ·b ＝c 2⇒a ·b ＝12⇒|a ||b |cos θ＝12⇒cos θ＝12⇒θ＝π3.9．1 [解析] 由OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →－OA →＝12(AB →＋AC →)⇒AP →＝12(AB →＋AC →)⇒|AP →|＝12|(AB →＋AC →)|＝12AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2.AB →⊥AC →⇒AB →·AC →＝0，AB →2＋AC →2＝BC →2，BC ＝2. 故|AP →|＝1.10．1 [解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝12，其中x 2＋y 2＝12表示以原点O 为圆心，22为半径的圆，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22，故直线与圆相切，只有一个交点，故满足条件的a 只有一个解．11. 2 [解析] 如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得．12．(－1，－3) [解析] 法一：设点的坐标是(，y )，且x <0，y <0，直线OB 方程为y ＝43x ，因点C 在∠AOB 的平分线上，所以点C 到直线OB 与y 轴的距离相等，从而|4x －3y |5＝|x |.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．法二：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，则因点C 在∠AOB 的平分线上，所以由cos 〈OC →，OA →〉＝cos 〈OC →，OB →〉得－y 1·10＝－3x －4y 510.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1， y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．13．[解答] (1)由|a －b |＝2，得|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋1－2a·b ＝4，∴a·b ＝12.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋2×12＋1＝6，∴|a ＋b |＝ 6.14．[解答] 由条件知，cos45°＝a·b|a|·|b|，∴a·b ＝3，设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝a ＋λb ·λa ＋b|a ＋λb |·|λa ＋b |<0，∴(a ＋λb )·(λa ＋b )<0. λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856. 若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反， ∴存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧kλ＝1，λ＝k .∴k ＝λ＝－1，∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1.15．[解答] (1)方法一：由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则E 为B 、C 的中点，则E (0,1)，又E (0,1)为A 、D 的中点，所以D (1,4)．故所求的两条对角线的长分别为|BC →|＝42，|AD →|＝210；(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.16．[解答] (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12.(2)∵角A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝π3.∴0<A <2π3，∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
2013高考数学第一轮复习配套课时作业 5.3 平面向量的数量积及应用 新人教B版
"备战2013高考数学第一轮复习配套课时作业 5.3 平面向量的数量积及应用 新人教B 版 "1.已知向量a 、b 满足|a |=1,|b |=4,且a ⋅b =2,则a 与b 的夹角为( ) A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】 C【解析】 cos<a ,b >21142a b a b ⋅===||||⨯. ∵<a ,b >[0∈,π],∴a 与b 的夹角为3π. 2.对于向量a 、b 、c 和实数λ,下列命题中真命题是 … ( )A.若a ⋅b =0,则a =0或b =0B.若λa =0,则0λ=或a =0C.若a 2=b 2,则a =b 或a =-bD.若a ⋅b =a ⋅c ,则b =c【答案】 B【解析】 排除法.A 中a ⋅b =0,还可能有a ⊥b ;C 中a 2=b 2⇔a 2-b 20(=⇔a +b )(⋅a -b )=0,此时若a 与b 的模相等或a +b 与a -b 互相垂直即可; D 中a ⋅b =a ⋅c ⇔a (⋅b -c )=0,a =0或b =c 或a (⊥b -c ).3.已知向量a =(-2,2),b =(5,k),若|a +b |不超过5,则k 的取值范围是( )A.[-4,6]B.[-6,4]C.[-6,2]D.[-2,6]【答案】 C【解析】 a =(-2,2),b =(5,k),故a +b =(3,2+k).∵|a +b |5≤,∴|a +b |2(=a +b 222)3(2)25k =++≤.∴62k -≤≤.4.已知向量a =(cos θ,sin )θ,b 1)=-,则|2a -b |的最大值.最小值分别是( )A.4,0B.16,0C.2,0D.16,4【答案】 A【解析】 ∵|2a -b |24=a 24-a ⋅b +b 284=-|a ||b |cos<a ,b >88=-cos <a ,b >, 又∵<a ,b >[0∈,π],∴cos<a ,b >[11]∈-,,∴8-8cos<a ,b >[016]∈,,即|2a -b |2[016]∈,,∴|2a -b |[04]∈,.5.若a 与b -c 都是非零向量,则”a ⋅b =a ⋅c ”是”a (⊥b -c )”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】 由a ⋅b =a ⋅c 得a (⋅b -c )=0,即|a ||b -c |cos 0θ=,∵a ,b -c 均为非零向量, ∴cos 0θ=,即a 与(b -c )的夹角为90circ .∴a (⊥b -c ).反之,若a (⊥b -c ),则a (⋅b -c )=0,即a ⋅b -a ⋅c =0,∴a ⋅b =a ⋅c .故”a ⋅b =a ⋅c ”是”a (⊥b -c )”的充要条件.课后作业夯基基础巩固1.已知a =(1,0),b =(1,1),(a λ+b )⊥b ,则λ等于( )A.-2B.2C.12D.12- 【答案】 D 【解析】 由(a λ+b )⋅b =0,得a ⋅b λ+|b |20=,得120λ+=.∴12λ=-,故选D. 2.(2011上海春招,15)若向量a =(2,0),b =(1,1),则下列结论正确的是( )A.a ⋅b =1B.|a |=|b |C.(a -b )⊥bD.a ∥b【答案】 C【解析】 a ⋅b =2,选项A 错误;|a |=2,|b |2=,选项B 错误;(a -b )⋅b =(11)(11)0,-⋅,=,选项C 正确,故选C.3.已知向量a ,b 的夹角为120°,|a |=1,|b |=5,则|3a -b |等于( )A.7B.6C.5D.4【答案】 A【解析】 |3a -b |222(3)96a b a b a b =-=||+||-⋅192565()4972=+-⨯⨯-==.故选A. 4.已知△ABC 中,AB AB =a , AC =b ,a ⋅b 1504ABC S ∆<,=,|a |=3,|b |=5,则BAC ∠等于( ) A.30°B.-150°C.150°D.30°或150°【答案】 C 【解析】 12ABC S ∆=|a ||b |sin 154BAC ∠=,∴sin 12BAC ∠=. 又a ⋅b <0,∴BAC ∠为钝角.∴150BAC ∠=°,选C.5.已知向量(22)(41)OA OB =,,=,,在x 轴上存在一点P 使AP ⋅BP 有最小值,则P 点的坐标是( )A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【答案】 C 【解析】 设P 点坐标为(x,0),则(22)AP x =-,-,(41)BP x =-,-.(2)(AP BP x x ⋅=--4)22(2)(1)610(3)1x x x +-⨯-=-+=-+.当x=3时AP BP ,⋅有最小值1.∴点P 的坐标为(3,0).故选C.6.已知向量a =(2cos 2α,sin )α,b =(3cos 3β,sin )β,若a 与b 的夹角为60circ ,则直线xcos y α-sin 102α+=与圆(x-cos 2)β+(y+sin 21)2β=的位置关系是( ) A.相交 B.相交且过圆心C.相切D.相离【答案】 D【解析】 ∵a =(2cos 2α,sin )α,b =(3cos 3β,sin )β,∴|a |=2,|b |=3.∴a ⋅b =6cos αcos 6β+sin αsin 6β=cos ()αβ-.而a ⋅b =|a ||b |cos60°=3,∴6cos ()3αβ-=⇒cos 1()2αβ-=. 则圆心(cos β,-sin )β到直线xcos y α-sin 102α+=的距离d=|cos αcos β+sin αsin 12β+|=|cos 1()2αβ-+|=1>22r =,∴直线与圆相离. 7.设向量a 与b 的夹角为θ,定义a 与b 的”向量积”:a ⨯b 是一个向量,它的模|a ⨯b |=|a |⋅|b |⋅sin θ,若a (31)=-,-,b (13)=,,则|a ⨯b |等于( ) A.3 B.2 C.23 D.4【答案】 B 【解析】 ∵|a |=|b |=2,a ⋅b 23=-,∴cos 233222θ-==-⨯.又[0θ∈,π],∴sin 12θ=. ∴|a ⨯b |12222=⨯⨯=.故选B. 8.已知向量a =(4,3),b =(sin α,cos )α,且a ⊥b ,那么tan 2α等于 .【答案】 247- 【解析】 由a ⊥b 得4sin 3α+cos 0α=,所以tan 34α=-⇒tan 2427α=-. 9.若平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3,|BC |=4,|CA |=5,则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于 .【答案】 -25【解析】 由AB BC CA ++=0可得2()0AB BC CA ++=,∴916252()0AB BC BC CA CA AB +++⋅+⋅+⋅=,25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=-.10.关于平面向量a ,b ,c ,有下列三个命题:①若a ⋅b =a ⋅c ,则b =c .②若a =(1,k),b =(-2,6),a ∥b ,则k=-3.③非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为60°.其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).【答案】 ②【解析】 命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得1620k k ⨯+=,=-3,故命题②正确. 由|a |=|b |=|a -b |,再结合平行四边形法则可得a 与a +b 的夹角为30°,命题③错误.11.已知OA =(2,5), OB =(3,1), OC =(6,3),在OC 上是否存在点M,使MA ⊥MB ,若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【解】设存在点M ,且OM =λOC =(6λ,3λ),∴MA = OA －OM =(2－6λ,5－3λ),MB =OB －OM =(3－6λ,1－3λ),∵MA ⊥MB ,∴(26)(36)(53)(13)0λλλλ--+--=,即24548110λλ-+=,解得13λ=或1115λ=. ∴OM =(2,1)或OM 2211()55=,.∴存在M(2,1)或2211()55M ,满足题意. 12.已知a =(sin 1)θ,,b =(1,cos )θ,c =(03)22ππθ,,-<<. (1)若(4a -c )∥b ,求θ;(2)求|a +b |的取值范围.【解】 (1)4a -c =(4sin 4)(03)(θ,-,=4sin 1)θ,,∵(4a -c )∥b ,∴4sin θcos 10θ-=.∴sin 122θ=. ∵()22ππθ∈-,,∴2(θ∈-π,π). ∴26πθ=或56π,即12πθ=或512π. (2)a +b =(sin 11θ+,+cos )θ,|a +b |=== ∵22ππθ-<<,∴3444πππθ-<+<.∴sin ()(1]4πθ+∈.∴sin ()(24πθ+∈-,.∴|a +b |(11]∈.13.(2012山东临沂模拟)已知向量m =1)4x ,,n =(cos 4x ,cos 2)4x . (1)若m ⋅n =1,求cos 2()3x π-的值; (2)记f(x)=m ⋅n ,在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.【解】 (1)∵m ⋅n =1,sin 4x cos 4x +cos 214x =,122x +cos 1122x +=, ∴sin 1()262x π+=. ∴cos 2()3x π-=cos 2()3x π-=-cos ()3x π+ =-[1-2sin 2()]26x π+ 211222()1=⋅-=-. (2)∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC,∴2sinAcosB=sin(B+C),∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且sin 0A ≠.∴cos 123B B π=,=.∴203A π<<. ∴162622A πππ<+<,<sin ()126A π+<. 又∵f(x)=m ⋅n =sin 1()262x π++, ∴f(A)=sin 1()226A π++. 故函数f(A)的取值范围是3(1)2,. 拓展延伸14.已知a =sin 1)x ω,,b =(cos 0)x ω,,其中0Ω>,又函数f(x)=b (⋅a -b )+k 是以2π为最小正周期的周期函数,当[0]4x π∈,时,函数f(x)的最小值为-2. (1)求f(x)的解析式;(2)写出函数f(x)的单调增区间.【解】 (1)a -b =sin 1)(x ω,-cos 0)x ω,=x ω-cos 1)x ω,,∴f(x)=(cos 0)x ω,⋅x ω-cos 1)x k ω,+ =sin 1(2)62x k πω--+.∴2222ππωω=⇒=. ∵[0]4x π∈,,则54[]666x πππ-∈-,. ∴f(x)的最小值为f 11(0)22k =--+ =k-1=-2.∴k=-1.∴f(x)=sin 3(4)62x π--. (2)当4[26x k π-∈π22k π-,π](2k π+∈Z ),即[](21226k k x k ππππ∈-,+∈Z )时,函数f(x)是增函数. ∴函数的单调增区间为[](21226k k k ππππ-,+∈Z ).。
辽宁省锦州市高考数学一轮复习：25 平面向量的数量积
辽宁省锦州市高考数学一轮复习：25 平面向量的数量积姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017·柳州模拟) 已知平面向量 ， 满足 夹角的余弦值为（ ），且，则向量 与A. B.C. D.2. （2 分） 已知非零向量 ， 的夹角为 ， 且| |=1，| ﹣2 |=1，则| |=（ ）A. B.1 C. D.2 3. （2 分） (2016 高一上·黄冈期末) 如图，在△ABC 中，AD⊥AB， =2 =（ ），| |=1，则 •A.2 B.第 1 页 共 10 页C. D . ﹣24. （2 分） 已知平面向量 =（1，2）， =（﹣2，m），且， 则| |=（ ）A.B.C.2D.2 5. （2 分） (2016 高二上·屯溪开学考) 已知| |=1，| |=6， •（ ﹣ ）=2，则向量 与向 量 的夹角是（ ）A.B.C.D.6. （2 分） (2018 高二上·马山期中) 已知点 A.，，，则B.C.D.第 2 页 共 10 页7. （2 分） (2016·太原模拟) 向量 则点 B 的坐标为（ ）与向量A . （﹣7，8）B . （9，﹣4）C . （﹣5，10）D . （7，﹣6）的夹角为 π，，若点 A 的坐标是（1，2），8. （ 2 分 ） 已 知 平 面 向 量 的 夹 角 为 , 且， D 为 BC 中点，则（），在中，，A.2B.4C.6D.89. （2 分） (2016 高二上·山东开学考) 下列的四个命题：①| • |=| || |；②（ • ）2= 2• 2；③若 ⊥（ ﹣ ），则 • =；④若 • =0，则| + |=| ﹣ |． 其中真命题是（ ）A . ①②B . ③④C . ①③D . ②④第 3 页 共 10 页10. （2 分） (2018 高一下·四川期末) 已知，A . -4 B . -2 C.2D.4，则 在 方向上的投影为（ ）11. （2 分） (2017·孝义模拟) 若| |= 的最大值是（ ），| |=1，| |=，且 • =0，则 • + •A.1B.C. D.3 12. （2 分） ⊿ABC 的三个顶点分别是则 AC 边上的高 BD 长为（ ）A. B.4 C.5D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)13. （1 分） 已知| |=1，| |= ，（ ﹣ ），则 与 的夹角是________．14. （1 分） (2020 高三上·兴宁期末) 已知向量 与 的夹角是 ，，与 的夹角为________．，则向量第 4 页 共 10 页15. （1 分） (2016 高二上·温州期末) 己知点 O 为坐标原点，△ABC 为圆 C1：（x﹣1）2+（y﹣内接正三角形，则 •（ ）的最小值为________．）2=1 的16. （1 分） (2016·北区模拟) 在 Rt△ABC 中，CA=CB=2，M，N 是斜边 AB 上的两个动点，且 MN= ，则•的取值范围为________．17. （1 分） (2017·福州模拟) 已知向量三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)，则=________．18. （5 分） (2019 高一下·郑州期末) 已知平面向量,（I）若,求 ；（Ⅱ）若,求 与 所成夹角的余弦值．19. （10 分） (2016 高一下·芒市期中) 已知向量 =（3，0）， =（﹣5，5）， =（2，k） （1） 求向量 与 的夹角； （2） 若 ∥ ，求 k 的值； （3） 若 ⊥（ ） ，求 k 的值．20. （10 分） (2017 高三上·成都开学考) 已知 f（x）= • ，其中 =（2cosx，﹣ （cosx，1），x∈R．sin2x）， =（1） 求 f（x）的单调递减区间；（2） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f（A）=﹣1，a= =（2，sinC）共线，求边长 b 和 c 的值．，且向量 =（3，sinB）与21. （10 分） (2017·淮安模拟) 已知 =（cosα，sinα）， =（ ，﹣1），α∈（0，π）．（1） 若 ⊥ ，求角 α 的值；（2） 求| + |的最小值．第 5 页 共 10 页22. （10 分） (2016 高三上·泰兴期中) 在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1） 若，且 α∈（0，π），求角 α 的值；（2） 若，求的值．第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页16-1、 17-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)18-1、19-1、 19-2、第 8 页 共 10 页19-3、 20-1、 20-2、 21-1、 21-2、 22-1、第 9 页 共 10 页22-2、第 10 页 共 10 页。
2013高考数学一轮同步训练(文科)43平面向量的数量积及平面向量应用举例
2013高考数学一轮强化训练 4.3平面向量的数量积及平面向量应用举例 文 新人教A 版 1.若向量a =(3,m),b =(2,-1),a ⋅b =0,则实数m 的值为( )A.32-B.32C.2D.6答案: D解析:a ⋅b =6-m=0,所以m=6.2.已知向量a =(2,1),a ⋅b =10,|a +b |52=,则|b |等于( )A.5B.10C.5D.25答案: C解析:由a +b 52=知(a +b 2)=|a +b |2=a 2+b 22+ab =50,解得|b |=5,选C.3.已知向量a 和向量b 的夹角为30°,|a |=2,|b |3=,则a ⋅b = . 答案: 3解析:考查数量积的运算.a ⋅b 32332=⨯⨯=. 4.已知向量a =(1,-3),b =(4,2),若a (⊥b λ+a ),其中λ∈R ,则λ= . 答案: 15解析:∵a =(1,-3),b =(4,2),∴b λ+a (423)λλ=+,-,∵a (⊥b λ+a ),∴(4)1(23)(3)0λλ+⨯+-⨯-=,即15λ=. 题组一 平面向量的数量积运算及向量的模1.设向量a =(1,0),b 11()22=,,则下列结论中正确的是( ) A.|a |=|b |B.a ⋅b 2=C.a ∥bD.a -b 与b 垂直答案: D解析:a -b 11()(22=,-,a -b )⋅b =0,所以a -b 与b 垂直. 2.如图,在△ABC 中AD AB BC ,⊥,3= BD ,|AD |=1,则AC AD ⋅等于( )A.23B.32 C.33D.3 答案: D解析: AC AD ⋅=|AC |⋅|AD |cos DAC ∠=|AC |⋅cos DAC ∠=|AC |sin BAC ∠=|BC |sinB=|BC |1BD ⋅||3=|BD |13BD ⋅=||. 3.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,BC 2=16,| AB +AC |=|AB -AC |,则|AM |等于… ( )A.8B.4C.2D.1答案: C解析:由BC 216=,得BC |=4,|AB +AC |=|AB -AC |=|BC |=4,而|AB +AC |=2|AM |,∴|AM |=2.4. (2011江西高考,文11)已知两个单位向量e 1,e 2的夹角为3π,若向量b 1=e 12-e 2,b 23=e 14+e 2,则b 1⋅b 2= .答案:-6解析:∵1e ⋅2e 11=⨯⨯cos 132π=. ∴b 1⋅b 2(=e 12-e 2)(3⋅e 14+e 2)=3|e 1|22-e 1⋅e 28-|e 2|2=3-1-8=-6.5.平面向量a 与b 的夹角为60circ ,a =(2,0),|b |=1,则|a +2b |等于( )B.C.4D.12答案: B解析:a =(2,0),|b |=1,∴|a |=2,a ⋅b 21=⨯⨯cos60°=1.∴|a +2b |==题组二 平面向量之间的夹角问题6.若|a |=1,|b |=2,c=a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案: C解析:∵c ⊥a 且c=a +b ,∴a ⋅c=0即a (⋅a +b )=0,∴a 2+a ⋅b =0.∴|a |2+|a ||b |cos 〈a ,b 0〉=.∴cos ∠a ,b 212a a b ||〉=-=-||||.∵〈a ,b [0〉∈°,180°],∴cos 〈a ,b 120〉=°.7.已知|a |=1,|b |=6,a (⋅b -a )=2,则向量a 与向量b 的夹角α等于( ) A.6π B.4π C.3π D.2π答案: C解析:因为由条件得a ⋅b -a 22=,所以a ⋅b =2+a 23==|a |⋅|b |cos 16α=⨯⨯cos α.所以cos 12α=.所以3πα=.8.若非零向量a ,b ,满足|a |=|b |,(2a +b )⋅b =0,则a 与b 的夹角为( ) A.30° B.60°C.120°D.150°答案: C解析:∵|a |=|b |,∴(2a +b )⋅b =0.∴2a ⋅b +b 22=|a |⋅|b |⋅cos θ+|b |20=. 解得cos 12θ=-. ∵[0θ∈°,180°],∴120θ=°.题组三 平面向量间的平行与垂直的应用9.已知a =(-3,2),b =(-1,0),向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为( )A.17- B.17 C.16- D.16答案: A解析:向量λa +b (312)λλ=--,,a -2b =(-1,2),因为两个向量垂直,故有3140λλ++=,解得λ=17-,故选A.10.已知向量a =(x,-2),b =(3,6),且a 与b 共线,则|a +b |的值为( ) A.20 B.-1C.25 答案: C解析:∵a 与b 共线,∴6x (2)30--⨯=,解得x=-1.∴a +b =(2,4),|a +b |22245=+=.11.已知|a |=1,|b |=2,且a -b 与a 垂直,则a 与b 的夹角θ= . 答案: 3π 解析:∵a -b 与a 垂直,∴(a -b )⋅a =0,即a ⋅a -a ⋅b =0.|a|2-|a|⋅|b|cos0θ=.得cos12θ=,即3πθ=.。
高考数学一轮复习 平面向量的数量积课时作业24 文 北师大版
2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业24平面向量的数量积一、选择题1．如果a ＝(2x －2，－3)与b ＝(x ＋1，x ＋4)互相垂直，则实数x 等于( ) A.12 B.72 C.12或72D.72或－2 解析：由(2x －2)(x ＋1)－3(x ＋4)＝0，得x ＝72或x ＝－2.答案：D2．(2011年湖南慈利一中高三第二次月考)函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．6B ．4C ．－4D ．－6解析：如图，A (2,0)，B (3,1)，(OA →＋OB →)·AB →＝－(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6，选A.答案：A3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a ·b 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)，T ＝2π2＝π.答案：B4．在△ABC 中，有如下命题，其中正确的是( )①AB →－AC →＝BC → ②AB →＋BC →＋CA →＝0 ③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形 ④若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④解析：在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误；若AB →·BC →>0，则∠B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误． 答案：C5．(2010年山东高考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解析：对于A ，若a ，b 共线，则mq －np ＝0，所以a ⊙b ＝mq －np ＝0，故A 正确；对于B ，因为a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，故B 错误．同理可知C 、D 正确．答案：B6．(2010年全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：如图，设∠APO ＝θ，PA →·PB →＝|PA →|2·cos2θ＝|PA →|2·(1－2sin 2θ)＝(|OP |2－1)(1－2·1|OP |2)＝|OP |2＋2|OP |2－3≥22－3，当且仅当|OP |2＝2|OP |2，即|OP |＝42时，“＝”成立． 答案：D 二、填空题7．(2010年天津高考)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________.解析：∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →＝AB →＋3(BA →＋AD →)＝(1－3)AB →＋ 3 AD →. ∴AC →·AD →＝[(1－3)AB →＋ 3 AD →]·AD → ＝(1－3)AB →·AD →＋ 3 AD 2→＝ 3 AD 2→＝ 3. 答案： 38．(2010年辽宁高考)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ⇒cos θ＝a ·b|a ||b |，则S ＝12|a ||b |sin θ＝12|a ||b |1－a ·b |a ||b |2＝12|a |2|b |2－a ·b 2.答案：12|a |2|b |2－a ·b29．[2011·浙江卷] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：由题意得：|α||β|sinθ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈[π/6，5π/6]答案： [π/6，5π/6]三、解答题10．(2011年天津第七十四中学高三第二次月考数学试题)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(sin A ，cos B )，n ＝(cos A ，sin B )．(1)若m ∥n ，求角C ；(2)若m ⊥n ，B ＝15°，a ＝6＋2，求边c 的大小． 解：(1)由m ∥n ⇒sin A sin B －cos A cos B ＝0⇒cos(A ＋B )＝0， 因为0<A ＋B <180°，所以A ＋B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝90°.(2)由m ⊥n ⇒sin A cos A ＋sin B cos B ＝0⇒sin2A ＋sin2B ＝0，已知B ＝15°，所以sin2A ＋sin30°＝0，sin2A ＝－12，因为0<2A <360°－2B ＝330°，所以2A ＝210°，A ＝105°，C ＝180°－15°－105°＝60°.根据正弦定理a sin A ＝c sin C ⇒6＋2sin105°＝csin60°⇒c ＝6＋2sin60°sin105°，因为sin105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24， 所以c ＝6＋2×326＋24＝2 3.11．已知点A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)． (1)求|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin2θ的值． 解：(1)∵A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． ∵|AC →|＝|BC →|， ∴2sin θ－12＋cos 2θ＝2sin θ2＋cos θ－12.化简得2sin θ＝cos θ.∵cos θ≠0(若cos θ＝0，则sin θ＝±1，上式不成立)． ∴tan θ＝12.(2)∵OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)．∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1. ∴sin θ＋cos θ＝12.∴(sin θ＋cos θ)2＝14.∴sin2θ＝－34.12．(2011年豫南九校联考)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))．(1)若点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．解：(1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))，若点A 、B 、C 不能构成三角形，则这三点共线．∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，故知3(1－m )＝2－m ，∴实数m ＝12时，满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且①∠A 为直角，则AB →⊥AC →，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74. ②∠B 为直角，BC →＝(－1－m ，－m )，则AB →⊥BC →， ∴3(－1－m )＋(－m )＝0，解得m ＝－34.③∠C 为直角，则BC →⊥AC →，∴(2－m )(－1－m )＋(1－m )(－m )＝0，解得m ＝1±52.综上所述，m ＝74或m ＝－34或m ＝1±52.。
高三数学一轮复习课时作业2：5.3 平面向量的数量积
平面向量的数量积一、选择题1．(2012·福建高考)已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝02．(2013·潍坊模拟)已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA→＋CA →·AB →的值等于( )A ．25B ．24C ．－25D ．－243．(2013·广州模拟)若向量a, b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．04．(2012·重庆高考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．105．已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b 与向量c 的夹角θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．(2013·哈尔滨模拟)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：( )p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈『0，2π3)； p 2：|a ＋b |＞1⇔θ(2π3，π』； p 3：|a －b |＞1⇔θ∈『0，π3)； p 4：|a －b |＞1⇔θ∈(π3，π』． 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 二、填空题7．(2012·湖北高考)已知向量a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．8．(2013·合肥模拟)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 方向上的投影为________．9．(2013·青岛模拟)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．三、解答题10．已知a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．12．(2013·安阳模拟)已知点A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值； (2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值．解析及答案一、选择题1．『解析』 ∵a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x .又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.『答案』 D2．『解析』 ∵|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2 ∴AB →⊥BC →，即AB →·BC →＝0，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →(BC →＋AB →)＝CA →·AC →＝－CA →2＝－25.『答案』 C3．『解析』 ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0，又∵a ∥b ，则设b ＝λa ，∴c ·(a ＋2b )＝(1＋2λ)c ·a ＝0. 『答案』 D4．『解析』 ∵a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c 得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10. 『答案』 B5．『解析』 ∵(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ＝1×3×cos 120°＋2×3×cos 120°＝－92，|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝12＋2×1×2×cos 120°＋22＝3，∴cos θ＝（a ＋b ）·c |a ＋b |·|c |＝－923×3＝－32，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 『答案』 D6．『解析』 |a ＋b |＞1⇔(a ＋b )2＞1，而(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ＞1，∴cos θ＞－12，解得θ∈『0，2π3)，同理，由|a －b |＞1⇔(a －b )2＞1，可得θ∈(π3，π』． 『答案』 A二、填空题7．『解析』 (1)∵2a ＋b ＝(3，1)，∴|2a ＋b |＝32＋12＝10.∴与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为2a ＋b |2a ＋b |＝(31010，1010)． (2)∵b －3a ＝(－2，1)，∴|b －3a |＝5，|a |＝1，(b －3a )·a ＝(－2，1)·(1，0)＝－2，∴cos 〈b －3a ，a 〉＝（b －3a ）·a |b －3a ||a |＝－25＝－255.『答案』 (1)(31010，1010) (2)－2558．『解析』 (a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝1＋1×2×cos 60°＝2，则a ＋b 在a 方向上的投影为（a ＋b ）·a |a |＝2.『答案』 29．『解析』 由题意知OA →＝(－2，1)，OB →＝(4，3)，则|OA →|＝5，|OB →|＝5，OA →·OB →＝－2×4＋1×3＝－5，∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－555＝－55， ∴sin ∠AOB ＝255，∴S △OAB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 『答案』 5三、解答题10．『解』 ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角，∴a ·(a ＋λb )＞0，即(1，2)·(1＋λ，2＋λ)＞0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－53， 当a 与 a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝ma ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m 2＋λ＝2m ，∴λ＝0， 即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．综上可知，λ的取值范围为{λ|λ＞－53且λ≠0}． 11．『解』 (1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 12．『解』 ∵A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)，∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)．(1)|AC →|＝|BC →|，∴（2sin θ－1）2＋cos 2θ＝（2sin θ）2＋（cos θ－1）2，化简得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝12，∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5. (2)OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)，∴OA →＋2OB →＝(1，2)，∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1.∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴1＋2sin θcos θ＝14，∴sin θ·cos θ＝－38.。
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课时作业(二十五)B 第25讲 平面向量的数量积 [时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8
2．已知a ＝(1,0)，b ＝(x,1)，若a ·b ＝3，则x 的值为( ) A. 2 B ．2 2 C.3－1 D. 3 3．[2011·厦门质检] 已知|a |＝2，b 是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则a ·(a －b )等于( ) A ．1 B ．2－ 3 C ．3 D ．4－ 3 4．[2011·安徽卷] 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．
能力提升
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →
等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16
6．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )
A ．1
B ．－1 C. 3 D.2
2
7．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
8．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，则( ) A ．|2a |>|2a ＋b | B ．|2a |<|2a ＋b | C ．|2b |>|a ＋2b | D ．|2b |<|a ＋2b | 9．[2011·江西卷] 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．
10．[2011·湖南卷] 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →
＝________.
11．[2011·泉州二模] 在△ABC 中，已知AB →|AB →|＋AC →
|AC →
|
⊥BC →，且AB →·AC →＝12|AB →|·|AC →
|，则△
ABC 的形状是________．
12．(13分)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰
DC 上的动点，求|P A →＋3PB →
|的最小值．
难点突破
13．(12分)如图K25－1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝3，
P 是BC 上的一个动点，当PD →·P A →
取最小值时，求tan ∠DP A 的值．
课时作业(二十五)B
【基础热身】
1．B [解析] ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8， ∴|2a －b |＝2 2.
2．D [解析] 依题意得a ·b ＝x ＝ 3.
3．C [解析] a ·(a －b )＝a 2
－a ·b ＝4－2×1×cos60°＝3. 4.π
3
[解析] 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12.因为0≤θ≤π，故θ＝π
3
.
【能力提升】
5．D [解析] 因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0，所以AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝|AC →
|2＋AC →·CB →＝AC →2＝16.
6．A [解析] 由|a ·b |＝|a ||b |知a ∥b .所以sin2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，
π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π
4
，故tan x ＝1.故选A.
7．C [解析] 依题意，由|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |得a ⊥b ，b 2＝3a 2，cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a 2－b 2|a ＋b ||a －b |
＝－12，所以向量a ＋b 与a －b 的夹角是2π
3.
8．C [解析] 因为|a ＋b|＝|b|，所以a ·(a ＋2b )＝0，即a ⊥(a ＋2b )，因此|a |、|a ＋2b |、|2b |构成直角三角形的三边，|2b |为斜边，所以|2b |>|a ＋2b |.
9.π
3
[解析] 设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，
解得cos θ＝12，∴θ＝π
3.
10．－1
4
[解析] 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，
以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ⎝
⎛⎭⎫0，3
2，D (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，0，E ⎝⎛⎭⎫13，36，故AD →＝⎝⎛⎭⎫0，－32，BE →
＝⎝⎛⎭⎫56，36，
所以AD →·BE →
＝－32×36＝－14
.
11．等边三角形 [解析] 非零向量AB →与AC →
满足⎝ ⎛⎭
⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，即∠BAC 的平分线垂直于BC ，∴AB ＝AC ，又cos A ＝AB →·AC →|→→＝12
，∠A ＝π
3，所以△ABC 为等边三角形．
12．[解答] ，B (1，h )．设P (0，y )(0≤y ≤h )， 则P A →＝(2，－y )，PB →＝(1，h －y )，∴|P A →＋3PB →
|＝25＋(3h －4y )2≥25＝5. 【难点突破】
13．[解答] 如图，以A 为原点，AB →为x 轴，AD →
为y 轴建立平面直角坐标系xAy ，则A (0,0)，B (3,0)，C (3,2)，D (0,1)，设∠CPD ＝α，∠BP A ＝β，P (3，y )(0≤y ≤2)．
∴PD →＝(－3,1－y )，P A →
＝(－3，－y )，
∴PD →·P A →＝y 2
－y ＋9＝⎝⎛⎭⎫y －122＋354
， ∴当y ＝12
时，PD →·P A →
取最小值，此时P ⎝⎛⎫3，12. 易知|DP →|＝|AP →
|，α＝β.
在△ABP 中，tan β＝3
12
＝6，
所以tan ∠DP A ＝－tan(α＋β)＝2tan βtan 2β－1＝12
35.。