高中数学第三章空间向量与立体几何阶段复习课课件新人教A版选修21

(3)共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线 ，那么向量p与向量a，b共 面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得 p＝xa＋yb .
பைடு நூலகம்
(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O和 不共线 的三点A，B， → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC → (其中 C，则P，A，B，C四点共面的充要条件是OP
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
，l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv ．
⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔ a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)
(2)设直线 l， m 的方向向量分别为 a， b， 平面 α， β 的法向量分别为 u， v， 则 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； l⊥m⇔a⊥b⇔a· b＝0； l∥α⇔a⊥u⇔a· u＝0； l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R； α⊥β⇔u⊥v⇔u· v＝0.
5．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝ |cos〈m1，m2〉| . (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的 夹角θ满足sin θ＝ |cos〈m，n〉|.
(3)求二面角的大小： (ⅰ)如图 31①，AB，CD 是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 内与棱 l 垂 → ，CD →〉 直的直线，则二面角的大小 θ＝〈AB ．
[答案] ③④
[规律方法]
1.空间向量的线性运算包括加、 减及数乘运算， 选定空间不
共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决 立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量 运算法则表示所需向量．
2．空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积的定义表达式 a· b＝|a|· |b|· cos〈a，b〉及其变式 cos a· b 〈a，b〉＝ 是两个重要公式． |a| · |b| (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如 a2 a· b ＝|a| ，a 在 b 上的投影 |b| ＝|a|· cos θ 等．
图3-1 (ⅱ)如图31②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向
量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉 ．
[体系构建]
[题型探究]
空间向量的基本概念及运算
如图 32，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方 形，S 到 A、B、C、D 的距离都等于 2.给出以下结论：
2
[跟踪训练] 1.如图 33，已知 ABCDA′B′C′D′是平行六面体． 3 → 设 M 是底面 ABCD 的中心， N 是侧面 BCC′B′对角线 BC′上的4分点， 设MN → ＋βAD → ＋γAA →′，则 α＋β＋γ＝________. ＝αAB
图3-3
3 2
[连接 BD，则 M 为 BD 的中点，
3．模、夹角和距离公式 (1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
2 2 2 a ＋ a ＋ a 1 2 3 ①|a|＝ a· a＝
；
a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b ②cos〈a，b〉＝|a||b|＝ 2 2 2 2 2 2 . a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3
(2)设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
1→ 3 → 1 → → 3 → → 1 → → → → ＋AB →) MN＝MB＋BN＝2DB＋ 4BC′＝2 (DA＋AB)＋4(BC＋CC′ )＝2(－AD 3 → → 1→ 1 → 3 → ＋4(AD＋AA′)＝2AB＋4AD＋4AA′. 1 1 3 3 ∴α＝2，β＝4，γ＝4.∴α＋β＋γ＝2.]
→ ＋SB → ＋SC → ＋SD → ＝0； ①SA → ＋SB → －SC → －SD → ＝0； ②SA → －SB → ＋SC → －SD → ＝0； ③SA →· → ＝SC →· →； ④SA SB SD →· → ＝0. ⑤SA SC 其中正确结论的序号是________．
图3-2
→ －SB → ＋SC → －SD → ＝BA → ＋DC → ＝0，所以③正确；又因为 [解析] 容易推出SA →· →＝ 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， SA ＝ SB ＝ SC ＝ SD ＝ 2 ，所以 SA SB →· → ＝2· →· → ＝SC →· →， 2· 2· cos∠ASB， SC SD 2· cos∠CSD， 而∠ASB＝∠CSD， 于是SA SB SD 因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
x＋y＋z＝1
)．
(5)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c 不共面 ，那么对空间任一 向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc ，其中{a，b，c}叫 做空间的一个 基底 ．
2．空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． (1)a＋b＝( a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 )， a－b＝( a1－b1，a2－b2，a3－b3 )， λa＝( λa1，λa2，λa3 a· b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 . (2)重要结论： a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a· b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. )，
2 2 2 → a － a ＋ b － b ＋ c － c 2 1 2 1 2 1 dAB＝|AB|＝ .
4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系 (1)设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2， c2 ) ， 则l∥α⇔u⊥v⇔u· v＝0⇔
第三章
空间向量与立体几何 阶段复习课
[核心速填]
1．空间向量的有关定理和推论 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 存在实数λ，使得a＝λb. → ，OB → 不共线 ，则P，A，B三点共线的充 (2)共线向量定理的推论：若OA → ＝λOA → ＋μOB → ，且 λ＋μ＝1 要条件是OP .