26.5.直线与圆的位置关系1
直线与圆的位置关系知识点及例题
直线与圆的位置关系知识点及例题Prepared on 22 November 2020直线与圆的位置关系一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系：图形名称相离相切相交判定d>r d=r d<r交点个数无1个2个例1、下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③ B．①② C．②③ D．③例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．例4、下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线例5．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切2、切线的判定：（1）根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线.（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切线时常用的辅助线作法：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例6、判断下列命题是否正确（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．3、切线的性质：1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论4、切线长定理：切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。
直线与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外⇔d ＞r ．点在圆上⇔d=r ．点在圆内⇔d ＜r ．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔d ＜r ，直线与圆相切⇔d=r ，直线与圆相离⇔d ＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R 和r ，则①两圆外离⇔d ＞R+r ；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R ＋r ；有3条公切线；③两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r （R ＞r ）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R －r （R ＞r ）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d ＜R —r （R ＞r ）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d 为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）例题2图A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；• 当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15 B. 30 C. 45 D.604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长. OD C B Ax y M B A O C l B A 例题3图 例题8图 例题9图 •A B P C EF •O 例题10图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图OO2O16. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC ＝1，，则⊙O的半径等于（）A.45B.54C.43D.657.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定8.如图，在ABC△中，12023AB AC A BC=∠==，°，，A⊙与BC相切于点D，且交AB AC、于M N、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30º，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长．中考题型一、选择题1.（2009年·宁德中考）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（）A．43 B．4 C．23 D．2（第1题图）（第2题图）2.（2009年·潍坊中考）已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A．2R B．3R C．R D．32RBPAOC第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图第13题图3.（2009年·襄樊中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C,若∠A=25°则∠D 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60° D．70°（第3题图） （第4题图）4．（2009年湖南省邵阳市）如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝450,则下列结论正确的是（ ） A.AD ＝21BC B.AD ＝21AC C.AC ＞AB D.AD ＞DC二、填空题5.（2009年·綦江县中考）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交O ⊙于点C ，连结BC ，若34A ∠=°，则C ∠= ．（第5题图） （第6题图）6.（2009年·庆阳市中考）如图直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．三、解答题7.（2009桂林百色）如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 点作直线MN ，若∠MAC＝∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线； （2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE⊥AB 于E ，交AC 于F ．求证：FD ＝FG ．（3）若△DFG 的面积为4.5，且DG ＝3，GC ＝4，试求△BCG 的面积．课后练习题一、填空题：1、在直角坐标系中，以点（1,2）为圆心，1为半径的圆必与y轴，与x轴2、直线m上一点P与O点的距离是3，⊙O的半径是3，则直线m与⊙O的位置关系是3、R T⊿ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，则以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是4、如图1，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，且∠A=30°，⊙O半径为2cm，则CD=5、如图2，AB切⊙O于C，点D在⊙O上，∠EDC=30°，弦EF∥AB，CF=2，则EF=6、如图3，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm,小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则AB=7、如图4，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=30°，点P在射线OA上，且OP=6cm，以P为圆心，1cm为半径的⊙P以1cm/s的速度沿射线PB方向运动。
直线与圆的位置关系(复习讲义)01(教师版)
直线与圆的位置关系（复习讲义）01 重点突破知识点一直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：直线与相离直线与相切直线与相交性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．知识点三三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：【考查题型】考查题型一判断直线与圆的位置关系【典例1】已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定变式1-1．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（）A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相离C．与x轴相离，与y轴相切D．与x轴相离，与y轴相离变式1-2．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定变式1-3在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点B为圆心，5cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系（）A．相切B．相交C．相离D．都有可能考查题型二已知直线和圆的位置关系求半径的取值【典例2】直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是( )rA．r<3 B．r=3 C．r>3 D．3变式2-1．若点B(a ，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a 的取值范围为( )A ．a<－1B ．a ＞3C ．－1 <a < 3D ．a ≥－1且0a ≠考查题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离【典例3】已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，那么点O 到直线l 的距离是( )A ．2.5B ．3C ．5D ．10变式3-1．圆O 的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心O 到该直线的距离可能是（ ）A ．2.5BC ．5D ．6变式3-2．设⊙O 的直径为m,直线L 与⊙O 相离,点O 到直线L 的距离为d,则d 与m 的关系是( )A ．d=mB ．d>mC ．d>2mD ．d<2m 变式3-3．O 的圆心到直线a 的距离为3cm ，O 的半径为1cm ，将直线a 向垂直于a 的方向平移，使a 与O相切，则平移的距离是（ ） A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．2cm 或4cm 考查题型四 切线定理【典例4】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°变式4-1．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O 的半径为4，6BC =，则PA 的长为（ ）A ．4B ．C ．3D ．2.5变式4-2．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为5，CD=8，则弦AC 的长为（ ）A ．10B ．8C ．D ．变式4-3．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上,且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于( )A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°变式4-4．如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70考查题型五 证明某条直线是圆的切线【典例5】如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(异于点A ，B)，AD ⊥CD ．(1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的长；(2)若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．变式5-1．如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O 交⊙O 于点C ，∠A ＝∠B ＝30°，连接BD ．求证：BD 是⊙O 的切线．变式5-2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，∠CAD=∠ABC ．判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．考查题型六 应用切线长定理求解【典例6】如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA ＝PB B ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD变式6-1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA ＝6，则△PCD 的周长为（ ）A ．8B ．6C ．12D ．10 变式6-2．如图，O 为ABC 的内切圆，10AC =，8AB =，9BC =，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为O 的切线，则CDE 的周长为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．8变式6-3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，若∠A=25°，，若使DC 切⊙O 于点C ，则∠D 等于( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°考查题型七 应用切线长定理求证【典例7】如图，△ABC 中，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ．（1）已知∠C ＝90°．①若BD ＝6，AD ＝4，则⊙O 的半径r 为 ，△ABC 的面积为 ；②若BD ＝m ，AD ＝n ，请用含m 、n 的代数式表示△ABC 的面积；（2）若2AC BC BD AD ⋅=⋅，试判断△ABC 的形状，并说明理由。
圆与直线的位置关系与判定
圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。
本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。
一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。
直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。
2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。
在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。
例如，图中的直线AB位于圆O的内部。
3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。
直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。
例如，图中的直线AB切圆O于点C。
4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。
在这种情况下，直线与圆没有交点。
例如，图中的直线AB位于圆O的外部。
二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。
直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。
2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。
设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。
将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。
3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。
直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。
当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。
4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系直线与圆是几何学中常见的两种图形，它们之间的位置关系对于解决许多几何问题具有重要意义。
本文将探讨直线与圆的不同位置关系，并讨论应用这些关系解决实际问题的方法。
一、1. 直线在圆内部当一条直线完全位于圆内部时，我们称这条直线与圆有内部位置关系。
在这种情况下，直线与圆的交点为空集，即直线与圆不相交。
如图1所示，直线L完全位于圆C的内部，没有交点。
2. 直线与圆相切直线与圆相切是指直线与圆仅有一个交点，该交点既在直线上，也在圆上。
此时，我们可以利用该点求解其他相关问题。
如图2所示，直线L与圆C相切于点P。
3. 直线与圆相离当直线与圆没有交点时，它们被认为是相离的。
直线可能位于圆的外部或者与圆相切于一点，但不与圆的内部相交。
如图3所示，直线L 和圆C相离。
4. 直线穿过圆当直线与圆有两个交点时，我们称这条直线穿过圆。
直线可能与圆相交于两个不同的点，也可能相切于一个点而穿过圆。
如图4所示，直线L穿过圆C，与圆C有两个交点。
二、应用直线与圆的位置关系在解决实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个常见问题的解决方法：1. 判断一条直线与圆是否相交要判断一条直线与圆是否相交，可以使用以下方法：（1）计算直线与圆心之间的距离，若该距离小于圆的半径，则直线与圆相交；（2）求出直线与圆的方程，计算二次方程的判别式，若判别式大于0，则直线与圆相交；（3）代入直线方程和圆的方程，求解交点，若存在交点，则直线与圆相交。
2. 求直线与圆的交点坐标若直线与圆相交，我们可以通过解方程组的方法求得交点的坐标。
具体步骤如下：（1）列出直线与圆的方程，得到方程组；（2）将直线方程代入圆的方程，消去未知数；（3）解方程组，得到交点的坐标。
3. 求直线与圆的切点坐标若直线与圆相切，我们可以通过求解方程组的方法得到切点的坐标。
具体步骤如下：（1）列出直线与圆的方程，得到方程组；（2）将直线方程代入圆的方程，消去未知数；（3）解方程组，得到切点的坐标。
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解(基础)
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．（优质试题•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC 于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．【总结升华】本题考查了切线的判定，连接OE构造全等三角形是解题的关键．举一反三：【高清ID号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切.【答案】作PF⊥OB于F，则可证明△OEP≌△OFP，所以PF=PE，即F在圆P上，故⊙P与OB相切.2．（优质试题•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．类型二、圆与圆的位置关系3．(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( )A．外切 B．内切 C．相交 D．相离(2)已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm【答案】（1）C ；（2）C.【解析】(1)由于圆心距d＝7cm，R+r＝5+3＝8(cm)，R-r＝5-3＝2(cm)．∴ R-r＜d＜R+r，故这两圆的位置关系是相交．(2)两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r；④两圆内切⇔d＝R-r；⑤两圆内含⇔d＜R-r．4．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，若⊙O1的半径r1=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长．【思路点拨】首先连接O1B，O2C，O1O2，过点O1作O1D⊥O2C于D，由直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C 点，可得四边形O1BCD是矩形，即可知CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，然后在Rt△O2DO1中，利用勾股定理即可求得O1D的长，即可得BC的长．【答案与解析】【总结升华】此题考查了相切两圆的性质、切线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相切两圆的性质．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于( )A．．【答案】因为以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，所以∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC=C．。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 【基础知识】1、直线和圆的位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时，直线叫做圆的割线，这两个公共点叫做交点。
（2）相切：直线与圆有一个公共点时，叫做直线与圆想切这时直线叫做圆的切线，唯一的（1） 切线的性质：定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
（2） 推论1：经过圆心且垂直于切线的直径必过切点。
（3） 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
3、切线的判定定理及判定方法（1）切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的判定方法： ①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
②到圆心的距离等于半径的直线是远的切线。
③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4、证明圆的切线的辅助线的方法：①连半径，证明垂直。
②做垂直，证半径。
例题1、如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，且AD=21BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，求证:以E 、F 为直径的的圆与BC 边相切。
【跟踪练习】1、已知：如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE，求证：DE与半圆O相切．2、如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线；5、三角形的内切圆（1）内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外接三角形。
三角形的内心到三边的距离相等。
例题2．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，AC的长．例题3、如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是 DEF上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．【跟踪练习】1．图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40°B．55°C．65°D．70°图1 图2 图32．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）A．70°B．110°C．120°D．130°3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）A．112.5°B．112°C．125°D．55°6、切线长定理及切线长概念（1）切线长的概念：在经过员外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点倒圆的切线长。
直线与圆的位置关系 1
观察⊙0与直线L的运动
.
.
.
（1）直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交 这时直线叫圆的 割线 (2) 直线和圆有唯一公共点时，叫做直· 线和圆 相切 这时直线叫圆的切线 ，唯一的公共点叫做切点
（3）直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离
1、看图判断直线l与⊙O的位置关系
（1） l · O l · O l · O
讨论：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。
d=2.4c m
0cm<r＜2.4cm 1、当r满足________________ 时，⊙C与直线AB相离。 r=2.4cm 2、当r满足____________ 时，⊙C与直线AB相切。
B 5
4
3、当r满足 r＞2.4cm 时， ____________ ⊙C与直线AB相交。
（2）
（3）
相离
（4）
相交
（5） · O l
相切
· O
l
相交
能确定吗? 怎么办？
新的问题：
类比于点与圆的位置关系，能否 借助于数量关系判断直线与圆的 位置关系？
直线与圆的位置关系
O d
r
l
d表示圆心O到直线l的距 离，r表示⊙O的半径 当d>r ，那么直线l与⊙O相离
d
Or l
当d=r ，那么直线l与⊙O相切
（1）r=2cm;
(2)r=4cm; (3)r=2.5cm.
2.5cm
A
解：过点M作MN⊥OA于点N ∵在Rt△OMN中， ∠AOB=30°,OM=5cm. ∴MN=2.5CM 即圆心M到直线OA的距离d=2.5cm （1）当r=2cm时， ∵d> r， ∴⊙M与直线OA相离。 O （2）当r=4cm时， ∵d< r， ∴⊙M与直线OA相交。 （3）当r=2.5cm时， ∵d = r， ∴⊙M与直线OA相切。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系直线与圆是几何学中常见的两种图形，它们之间的位置关系可以分为三种情况：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
本文将对这三种情况进行详细的论述。
1. 直线与圆相离当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称它们为相离的关系。
在平面几何中，相离意味着直线与圆之间没有任何交集。
下面是一个例子来说明这种情况。
（插入图片：直线与圆相离）如图所示，直线AB与圆O没有任何交点，因此它们是相离的。
在这种情况下，我们可以观察到直线与圆的位置关系是平行的，但是它们之间没有任何交集。
2. 直线与圆相切当一条直线与一个圆只有一个交点时，我们称它们为相切的关系。
在平面几何中，相切意味着直线与圆刚好接触，并且只有一个交点。
下面是一个例子来说明这种情况。
（插入图片：直线与圆相切）如图所示，直线AB与圆O只有一个交点C，因此它们是相切的。
在这种情况下，我们可以观察到直线与圆的位置关系是垂直的，且交点处的切线方向与直线相同。
3. 直线与圆相交当一条直线与一个圆有两个不同的交点时，我们称它们为相交的关系。
在平面几何中，相交意味着直线与圆有两个交点。
下面是一个例子来说明这种情况。
（插入图片：直线与圆相交）如图所示，直线AB与圆O有两个交点C和D，因此它们是相交的。
在这种情况下，我们可以观察到直线与圆的位置关系是斜交的，且交点处的切线方向与直线不同。
总结：直线与圆的位置关系可以归纳为相离、相切和相交三种情况。
相离表示直线与圆之间没有任何交点，相切表示直线与圆刚好接触并且只有一个交点，相交表示直线与圆有两个不同的交点。
在几何学中，我们可以通过观察直线与圆的交点个数来确定它们的位置关系。
这些位置关系对于解决实际问题和几何证明都有着重要的意义。
【字数：566】。
直线与圆的位置关系(第一节)
几何法
几何法是通过观察直线和圆心的距离与圆的半径之间的关系 来判断直线与圆的位置关系。
如果圆心到直线的距离小于半径，则表示直线与圆相交；如 果圆心到直线的距离等于半径，则表示直线与圆相切；如果 圆心到直线的距离大于半径，则表示直线与圆相离。
04
直线与圆的应用
解析几何在实际问题中的应用
解析几何是数学的一个重要分支，它通 过代数方法研究图形的性质。直线与圆 的位置关系是解析几何中的基本问题，
具有广泛的应用。
在实际生活中，直线与圆的位置关系可 以用来解决很多问题。例如，在物理学 中，行星的运动轨迹可以近似为圆或椭 圆，而天文学家可以通过观察这些轨迹
相离
总结词
当直线与圆没有交点时，它们的位置 关系被称为相离。
详细描述
相离的位置关系意味着直线和圆没有 交点，也就是说，直线在圆的外部。 在这种情况下，直线和圆之间的距离 是最大的。
03
直线与圆的位置关系的 判定
代数法
代数法是通过联立直线和圆的方程，消去一个变量后得到的方程的根的情况来判 断直线与圆的位置关系。
示。
在电磁学中，电场和磁场可以用 直线和圆来表示，而电荷和电流 的运动轨迹也可以是一个圆或椭
圆。
直线与圆在经济学中的应用
在经济学中，直线与圆的位置关系可以用来描述市场供需 关系。例如，如果需求曲线是一条直线，而供给曲线是一 个圆，那么交点就是市场均衡点。
在金融学中，直线与圆的位置关系可以用来描述股票价格 和成交量的变化趋势。例如，如果股票价格的变化趋势是 一条直线，而成交量是一个圆，那么交点就是股票的买卖 点。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系（一）一、内容综述:1、直线和圆的位置关系，以及直线和圆相切的判定和性质。
2、与圆有关的角。
3、综合运用以前所学过的知识，如垂线，角平分线，三角形和四边形，比例线段和相似三角形的知识解决问题。
二、知识讲解：1．切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
其中，以（2）、（3）在使用时最为简便，也最常用。
2、切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
注意：切线的判定与切线的性质不能混淆。
二、例题分析：例1、如图，AB是⊙O的直径,BC切⊙O于B,AD∥OC交⊙O于D,连结CD. 求证:CD是⊙O的切线.分析:判定一条直线是圆的切线,当直线和圆的交点确定时,则应连半径,证垂直。
证明:连结OD。
∵AD∥OC, ∴∠3=∠A,∠1=∠2。
∵OD=OA, ∴∠A=∠2。
∴∠1=∠3。
∵OD=OB,OC=OC。
∴△COB≌△COD(SAS)。
∴∠B=∠ODC。
∵BC是⊙O切线,∴∠B=90°。
∴∠ODC=90°。
∴CD是⊙O的切线。
例2.已知:如图,△ABC中,AB=AC,O是BC中点,以O为圆心的圆与AB切于D点. 求证:AC 是⊙O的切线。
分析:题目条件中没有确定⊙O与AC有无交点,则作圆心到直线距离d，证明d=r.证明:连结OD,过O点作OE⊥AC于E点,∵AB=AC, ∴∠B=∠C。
∵O是BC中点, ∴BO=CO。
∵AB是切线, ∴OD⊥AB。
∴∠BDO=90°,∵∠OEC=90°,∴∠BDO=∠CEO。
∴△DBO≌△ECO。
∴OD=OE。
∵OD是半径,∴OE是⊙O的半径,∴AC是⊙O的切线。
直线与圆的位置关系
目录
CONT 2 判断直线与圆的位置关系 3 直线与圆的相交弦定理 4 直线与圆的相切定理 5 圆心距与半径的关系 6 圆与直线的交点坐标
1
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
相交
如果直线和圆有交点 ，则称直线和圆相交 。此时，直线称为圆 的割线，交点称为割 点
3 整理得到二次方程：(A+B)x² + (B-2a)y² + (2b-2a)xy + a² + b² - r² + C = 0
由于交点是二次方程的解：设交点坐标为(x1, y1)和(x2, y2)，则可以将它们代入二次方程中，得到
4 两个方程组：(A+B)x1² + (B-2a)y1² + (2b-2a)x1y1 + a² + b² - r² + C = 0(A+B)x2² + (B-2a)y2²
此时，这条直线称为直径
5
圆心距与半径的关系
圆心距与半径的关系
若直线与圆相交或相切，则圆心到直线 的距离d与圆的半径r之间有以下关系
d≤r
其中，d是圆心到直线的距离，r是圆的 半径。当直线与圆相交时，d小于r；当 直线与圆相切时，d等于r
6
圆与直线的交点坐标
圆与直线的交点坐标
若直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，圆的方程为 (x - a)² + (y - b)² = r²，则联立这两个方程可以
+ (2b-2a)x2y2 + a² + b² - r² + C = 0
5 解这个方程组可以得到交点坐标(x1：y1)和(x2, y2)
直线和圆的位置关系1
直线和圆的位置关系、切线的性质定理
学习目标
1.理解直线与圆有相交、相切、 相离三种位置关系 2.理解切线的性质定理.
想一想
（1）观察上面的三幅图片，地平线与太阳 的位置关系是怎样的？ （2）画一个圆，将直尺的边缘看成一条直 线，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
结论
直线与圆的位置关系
切线的性质定理：圆的切线 半径.
于过切点的
当堂检测
1.已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离
为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A.相离
B.相切
C.相交 D.无法判断
2.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm， （1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与⊙C相切？ （2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为 半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位 置关系？
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
r ●O
d ┐ 相切
d < r; d = r;
d > r;
r ●活中直线与圆相交、相切、 相离的实例。 （2）图中的三个图形是轴对称图形吗？如果 是，你能画出它们的对称轴啊
（3）如下图，直线CD与⊙O相切与点A，直
径AB与直线CD有怎样的位置关系？说一说你 的理由。
劳动教养了身体，学习教养了心灵。 —— 史密斯
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
r ●O
d
┐ 相离
直线和圆有唯一公共点（即 直线和圆相切）时，这条直线叫 做圆的切线，这个唯一的公共点 叫做切点.
想一想
在图中，⊙O的半径为r与圆心O到直线的距离为d 的大小有什么关系？你能根据d和r的大小关系来 确定直线和圆的位置关系吗？
直线与圆的位置关系1
宿州学院附属实验中学 张雷
直线与圆的位置关系
弦长的求法
直线l:A xB yc0与圆 O :(xa )2(y b )2r2 交于A、B两点，则
AB2 r2d2
( 其中 d AaBbc ) A2 B2
宿州学院附属实验中学 张雷
直线与圆的位置关系
例2. 已知过点M(－3, －3)的直线 l 被圆
第四章 圆与方程
4.2.1直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
复习引入
思考：直线与圆的位置关系有几种？ 在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？
直线与圆 的位置关系
公共点个数
d与r的关系
图形
相交
两个
d<r
相切
一个
d=r
相离
无
d>r
图中直线与圆的位置关系是什么？ 打开图形 宿州学院附属实验中学 张雷
当d>r时，直线与圆相离. 当△<0时，直线与圆相离.
让代数和几何中一切最好的东西互相取长补短 ——笛卡尔
宿州学院附属实验中学 张雷
直线与圆的位置关系
例题讲解
例1. 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y －4＝0，判断直线l与圆的位置关系. 求出它们交点A、B的坐标. 思考：如何求出弦长|AB|？
直线与圆的位置关系
根据直线与圆的方程判断其位置关系的方法
方法一：几何法
方法二:代数法
(1)求出圆心到直线的 距离d
(1)联立直线和圆的方程建立 方程组
(2)比较d与r的大小关系 (2)消元得到一元二次方程
当d<r时，直线与圆相交； 当△>0时，直线与圆相交；
当d=r时，直线与圆相切； 当△=0时，直线与圆相切；
直线和圆的位置关系(1)
D O
A B B O E
A
C
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。 判定定理： (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
C
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以 O为圆心，OD为半径作⊙O。 B D 求证：⊙O与AC相切。 O
A E 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。 C
小 结 证圆的切线常用的辅助线添法：
思考：圆心A到X轴、
Y轴的距离各是多少?
4 B
Y
O C 3
X
.A
两 2、判定直线 与圆的位置关系的方法有____种： （1）根据定义，由__________________的 直线 与圆的公共点 个数来判断； （2）根据性质，由_____________________ 圆心到直线的距离d 与半径r ______________的关系来判断。
1、定义法：和圆有且只有一个公共点的 直线是圆的切线。 2、距离法（d=r）：和圆心距离等于半 径的直线是圆的切线。
3、判定定理：经过半径外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
即：若直线与圆的一个公共点已指明，则连 接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的 半径；若直线与圆的公共点未指明，则过圆 心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长 等于圆的半径．
×
.B
4、 垂直于圆的半径的直线一定是这 个圆的切线。
直线与圆的位置关系
．Ｏ
．Ｏ
相交
相切
相离
在上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化之 外，还有什么量也在发生变化呢？ 认真观察上面的三个图形，想一想：圆心o到直线l的距 离d和半径r有什么样的数量关系？
．Ｏ
1、直线和圆相离
d > r
d
r ┐ l
2、直线和圆相切
d = r
．ｏ d r ┐ l
3、直线和圆相交
d < r
一船以20海里／小时的速度向正东航行， 在Ａ处测得灯塔Ｃ在北偏东60度，继续航 行１小时到达Ｂ处，再测得灯塔Ｃ在北偏 东30度．已知灯塔Ｃ四周10海里内有暗礁， 问这船继续向东航行是否安全？
如果把太阳看 成一个圆，地平线 看成一条直线，那 么你能根据直线和 圆的公共点的个数 想象一下，直线和 圆有几种位置关系？
太阳要从天边升起来了,便不转眼地望着那里. 果然过了一会儿,在那个地方出现了太阳的小 半边脸,红是真红,却没有亮光.这个太阳好像负着重荷似地一步一步,慢慢地努力上升,到了最后, 终于冲破了云霞,完全跳出了海面,颜色红得非常可爱.
解： 过C作CD⊥AB，垂足为D。 根据直线与圆的位置关系的数量
B
5
D
？
在Rt△ABC中， 特征，必须用圆心到直线的距离 d与 半径r的大小进行比较； 2 2 2 AB= = AB的距 4 关键是确定圆心 C到直线 =5（cm） 离d，这个距离是什么呢？怎么求这 根据三角形面积公式有 C 个距离？ CD· AB=AC· BC
1、当直线和圆有两个公共点，叫做直线和 圆相交，这条直线叫做圆的割线，这个公 共点叫做交点。 2、 当直线和圆有唯一个公共点，叫做直 线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个 公共点叫切点 .
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解决问题4: 已知⊙A的直径为6，点A的坐标为
相离 Y （-3，-4），则X轴与⊙A的位置关系是_____, 相切 。 轴与⊙A的位置关系是______
思考：求圆心A到X轴、
Y轴的距离各是多少?
B
Y
O C
X
4
A.(-3,-4) 3
解决问题5: 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm。以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位 置关系？为什么？(1)r=2cm (2)r=2.4cm (3)r=3cm
复习提问：
1、点和圆的位置关系哪几种？２．怎样判定？
.A.A .C .A .A . B .A .A .A
点到圆心的距离为d，圆 的半径为r，则：
点在圆外
点在圆上
d>r;
d=r；
点在圆内
d<r.
2、直线和圆的位置关系会有哪几种情况呢？
列车的轮子与铁轨之间 的关系,给我们直线与 圆的位置关系的印象.
A
B
二、直线与圆的位置关系的性质和判定 二、直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距 离d与圆的半径r的关系来区分）
．Ｏ
1、直线和圆相离
d > r
d
r ┐ l
2、直线和圆相切
d = r
．ｏ d r ┐
l
3、直线和圆相交
d < r
．O d r ┐
l
解决问题1: 设⊙O的半径为r，直线a上一点到圆心的
2.4
C
A
小结：
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l ．ｏ d r ┐ l .
A
. B
．O d r ┐ . lC
相离
0 d>r
相切
1 d=r
相交
2 d<r
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称 直线名称
切点
切线
交点
割线
小结：
两 种： 判定直线 与圆的位置关系的方法有____ 直线 与圆的公共点 的 （1）根据定义，由__________________ 个数来判断；
距离为d，若d=r，则直线a与⊙O的位置关系是（ D ） （A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）相切或相交
解决问题2:已知圆的半径等于5,直线l与圆没有交 点,则圆心到直线的距离d的取值范围是 d>5 . 解决问题3:直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到 直线l的距离为8,则r的取值范围是 r>8 .
(1)若要使⊙A与y轴相切,则要把⊙A向右平移几个单 位?此时,⊙A与x轴、⊙A与点O分别有怎样的位置关 系?若把⊙A向左平移呢? (2)若要使⊙A与x轴、y轴都相切,则圆心A应当移到 什么位置?请写出点A所有可能位置的坐标.
.A.O. NhomakorabeaB l
.O
这时的直线叫切线，
特点： 直线和圆没有公共点， 叫做直线和圆相离。
.
切点 A
l
.O
l
运用：
1、看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（1） （2）
· O
（3） l
· O
l
· O
l 相离 （4） 相交 （5）
· O ？
相切
· O
相交
l
l
（5）
· O ？
l
· ·
如果，公共点的个数不好判断， 该怎么办？ “直线和圆的位置关系”能否像 “点和圆的位置关系”一样进行数 量分析？
请同学们在纸上画一条直线，把硬币的 边缘看作圆，并在纸上移动硬币，试设 想直线与圆的位置有哪几种可能？公共 点的个数各为多少？
一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
特点： 直线和圆有两个公共点， 叫直线和圆相交， 这时的直线叫做圆的割线。 特点： 直线和圆有唯一的公共点， 叫做直线和圆相切。
和⊙O的位置 关系是（
A．相离 B.相交
C
）：
D.相切或相交
C.相切
3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共点.( √ ) 4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.7的圆 与直线BC的位置关系是
相离 ,以A为圆心,
3
为半径的圆与直线BC相切.
课外思考题:已知点A的坐标为(1,2),⊙A的半径为3.
（2）根据性质，_____________________ 圆心到直线的距离d 与半径r ______________ 的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
随堂检测
1．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l 与⊙O没有公共点，则d为（ A）： A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =3 2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线
思考：图中线段AB的长度为多少？ 怎样求圆心C到直线AB的距离？ 解：圆心C到AB的距离d=2.4cm (1)当r=2cm时,有d>r, (2)当r=2.4cm 时,有d=r, 因此⊙C和AB相离。 因此⊙C和AB相切。 B B 5 D 4 2.4 2.4 D C A . C 3 A
(3)当r=3cm 时， 有d<r， 因此⊙C和AB相交。 B D