3.3.1 第1课时 二元一次不等式表示的平面区域
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3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
配人教版 数学 必修5
y＜x， 1．不等式组x＋y≤1
y≥3
，表示的区域为 D，点 P1(0，－2)，
点 P2(0,0)，则( ) A．P1∉D，P2∉D C．P1∈D，P2∉D
B．P1∉D，P2∈D D．P1∈D，P2∈D
【答案】A
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2．在不等式x＋2y－1＞0表示的平面区域内的点是( )
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x－y≥0， 3．若满足条件x＋y－2≤0，
y≥a
的整点(x，y)恰有 9 个，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为
________．
【答案】－1 【解析】不等式组所表示的平面区域
如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点
配人教版 数学 必修5 1．不等式4x－y≥0表示的平面区域是( )
【答案】B 【 解 析 】 取 测 试 点 (2,0) ， 满 足 4x － y≥0 ， 可 排 除 A ， D．再根据直线y＝4x的斜率k＝4＞1，故可排除C．故选B．
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2．(2019 年辽宁大连双基训练)在平面直角坐标系中，不等
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二元一次不等式表示的平面区域 【例1】 画出下列不等式表示的平面区域． (1)2x＋y－10＜0； (2)y≤－2x＋3. 【解题探究】先在直角坐标系内作出二元一次不等式对应 的直线，然后取特殊点，判断不等式所表示的平面区域．
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【解析】(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)，取点 (0,0)，代入2x＋y－10，有2×0＋0－10＝－10＜0，
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【规律技巧】要想求出不等式组的解集我们要知道每一个 二元一次不等式的解集是什么，最后求出其公共部分，将公共 部分表示出来，此公共部分即为所求的不等式组的解集．
课程资料：二元一次不等式(组)表示的平面区域
图)分别为65xx＋＋32yy≥≥4300，， x，y∈N.
3.点 P（1,-1）在直线y=ax＋b的上方,则a,b满足的 关系式:（ B ） A. a＋b>-1 B. a＋b<-1 C. a＋b>1 D. a－b<-1
7.确定m的范围，使点(1，2)和点(1，1)在y 3x m 0
的异侧.
5.若不等式组
y
≥
a，
表示的平面区域是一个三角
0 ≤ x ≤ 2
形，则 a 的取值范围是（ C ）
Ａ． a 5
Ｂ． a≥7
Ｃ． 5≤a 7
Ｄ． a 5 或 a≥7
[例4] 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0表示 的区域．
[解] 原不等式等价于
①xx－＋y2＋y＋4＞1＞0.0， 或
• §3.3.1二元一次不等式（组） 表示的平面区域
那么：x – y < 6或x – y形？
问题2
一条直线
直线将平面分成两部分，这与 x y ()6
有什么关联呢？
y
x –y =6
左上方区
O
域
x
右下方 区域
二元一次不等式x－y<6表示直 线x- y=6左上方的平面区域
2.有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种 方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量 如下表：
货物 轮船运输量 飞机运输量
粮食/t 300
150
石油/t 250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石
油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和
运输数量满足的关系．
解：设需要 x 艘轮船，y 架飞机，代数关系式和几何描述(如
(3)
3.点 P（1,-1）在直线y=ax＋b的上方,则a,b满足的 关系式:（ B ） A. a＋b>-1 B. a＋b<-1 C. a＋b>1 D. a－b<-1
7.确定m的范围，使点(1，2)和点(1，1)在y 3x m 0
的异侧.
5.若不等式组
y
≥
a，
表示的平面区域是一个三角
0 ≤ x ≤ 2
形，则 a 的取值范围是（ C ）
Ａ． a 5
Ｂ． a≥7
Ｃ． 5≤a 7
Ｄ． a 5 或 a≥7
[例4] 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0表示 的区域．
[解] 原不等式等价于
①xx－＋y2＋y＋4＞1＞0.0， 或
• §3.3.1二元一次不等式（组） 表示的平面区域
那么：x – y < 6或x – y形？
问题2
一条直线
直线将平面分成两部分，这与 x y ()6
有什么关联呢？
y
x –y =6
左上方区
O
域
x
右下方 区域
二元一次不等式x－y<6表示直 线x- y=6左上方的平面区域
2.有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种 方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量 如下表：
货物 轮船运输量 飞机运输量
粮食/t 300
150
石油/t 250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石
油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和
运输数量满足的关系．
解：设需要 x 艘轮船，y 架飞机，代数关系式和几何描述(如
(3)
高中数学第三章不等式3.3.1二元一次不等式组与平面区域课件新人教A版必修5
2 + ≤ 9,
则有
该不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示
≥ 0,
≥ 0.
(含边界).
-19-
二元一次不等式(组)与
平面区域
探究一
探究二
课前篇自主预习
探究三
思维辨析
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
反思感悟用二元一次不等式组表示实际问题的步骤
1.先根据问题的需要选取起关键作用且关联较多的两个量,并用字
(1)定义:我们把含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等
式称为二元一次不等式;把由几个二元一次不等式组成的不等式组
称为二元一次不等式组.
(2)解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),
所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的
解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是,二元一次
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用二元一次不等式(组)表示实际问题
例3投资生产A产品时,每生产100 吨需要资金200 万元,需场地200
平方米;投资生产B产品时,每生产100 吨需要资金300 万元,需场地
100 平方米.现某单位可使用资金1 400 万元,场地900 平方米,用数
学关系式和图形表示上述要求.
(1,0)作为测试点.
-6-
二元一次不等式(组)与
平面区域
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
3.做一做:
(1)判断正误.
①不等式Ax+By+C>0是二元一次不等式.(
)
②点(1,3)在不等式2x-y-2<0所表示的平面区域内. (
)
则有
该不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示
≥ 0,
≥ 0.
(含边界).
-19-
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平面区域
探究一
探究二
课前篇自主预习
探究三
思维辨析
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反思感悟用二元一次不等式组表示实际问题的步骤
1.先根据问题的需要选取起关键作用且关联较多的两个量,并用字
(1)定义:我们把含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等
式称为二元一次不等式;把由几个二元一次不等式组成的不等式组
称为二元一次不等式组.
(2)解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),
所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的
解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是,二元一次
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用二元一次不等式(组)表示实际问题
例3投资生产A产品时,每生产100 吨需要资金200 万元,需场地200
平方米;投资生产B产品时,每生产100 吨需要资金300 万元,需场地
100 平方米.现某单位可使用资金1 400 万元,场地900 平方米,用数
学关系式和图形表示上述要求.
(1,0)作为测试点.
-6-
二元一次不等式(组)与
平面区域
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3.做一做:
(1)判断正误.
①不等式Ax+By+C>0是二元一次不等式.(
)
②点(1,3)在不等式2x-y-2<0所表示的平面区域内. (
)
二元一次不等式(组)与平面区域
2．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方，则一定 有Ax0＋By0＋C>0吗？
提示：不一定．与系数B的符号有关．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的 同侧或两侧应满足什么条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋ By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
典例导悟
类型一 二元一次不等式(组)表示平面区域 [例1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
变式训练1
如图所示的阴影部分表示的区域用二元一 )
x＋y－1≤0 B. x－2y＋2≤0 x＋y－1≤0 D. x－2y＋2≥0
次不等式组表示为(
x＋y－1≥0 A. x－2y＋2≥0 x＋y－1≥0 C. x－2y＋2≤0
答案：A
类型二 [例2]
(2)不等式组的解集是x＋y≤5 ①，x－2y≥3 集的交集．
②的解
①式表示的区域是直线x＋y－5＝0左下方平面区域并 且包括直线x＋y－5＝0. ②式表示的区域是直线x－2y＝3右下方平面区域并且 包括直线x－2y－3＝0. 所以不等式组表示的区域是图(2)中的阴影部分(包括直 线)．
【点评】 画直线时容易虚实不分，若含等号应画成 实线．区域容易弄反，要注意方法．
(1)2x＋y－6<0；
x＋y≤5 (2) x－2y≥3.
[分析]
解题的关键在于正确地描绘出边界直线，然
2020版人教A数学必修5 课件：3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
即时训练3-1:某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和 漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和 2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又木工、漆工 每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式,并 画出相应的平面区域.
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
[目标导航]
1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面 课标要求 区域. 3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面 区域表示二元一次不等式组的解.
x y 2 1 0,
x ky k 0
(2)将图中阴影部分表示的平面区域,用不等式表示出来.
(2)解:由图(1)可知,其边界所在的直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为 1,故边界所在的直线 方程为 x+y-1=0, 将原点(0,0)代入直线方程 x+y-1=0 的左边,得 0+0-1<0, 故所求的不等式为 x+y-1≤0;
思考1:不等式2x-3y>0是二元一次不等式吗? 答案:是,符合二元一次不等式的两个特征. 2.二元一次不等式表示的平面区域
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
二元一次不等式Ax+By+C>0 所有点组成的平面区域,我们把直线画 成 虚线 ,以表示区域 不包括 边界
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
y
1)
0,
表示的平面区
域的面积等于( )
3.3.1二元一次不等式表示的平面区域
Y
x 3 2 y x 2 3 x 2 y 6 3 y x 9
Y
o
4
-2
x
3
O
2 3
X
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，
否则应画成实线。
2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
0-0+1=1>0
1
-1
o
x
x-y+1>0
猜一猜：
（1）对直线L右下方的点（x, y）， x-y+1＞0 成立。 （2）对直线L左上方的点（x, y）， x-y+1＜0 成立。 y
1 -1
x-y+1<0
x-y+1>0
x
o
证一证：
y
y= y0
1 -1
在直线 x-y+1=0上取一点P(x0, y0)， 过点 P做平行于x轴的直线y=y0 ，
在平面直角坐标系中，所有的点 被直线x+y-1=0分成三类：
y ②在直线 x-y+1=0 的左上方的平面区
域内
1 -1
x-y+1=0
①在直线 x-y+1=0上
问题是如何 判断呢??
o
?
③在直线 x-y+1=0 的右下方的平面区
域内；
x
在直线: x-y+1=0右下方取原点代入:x-y+1 y 尝试 x-y+1=0
巩固: 画出下列不等式表示的平面区域： (1) x-y+1＜0 (2) 2x+3y-6＞０ (3) 2x+5y-10≥０ (4) 4x-3y≤12
x 3 2 y x 2 3 x 2 y 6 3 y x 9
Y
o
4
-2
x
3
O
2 3
X
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，
否则应画成实线。
2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
0-0+1=1>0
1
-1
o
x
x-y+1>0
猜一猜：
（1）对直线L右下方的点（x, y）， x-y+1＞0 成立。 （2）对直线L左上方的点（x, y）， x-y+1＜0 成立。 y
1 -1
x-y+1<0
x-y+1>0
x
o
证一证：
y
y= y0
1 -1
在直线 x-y+1=0上取一点P(x0, y0)， 过点 P做平行于x轴的直线y=y0 ，
在平面直角坐标系中，所有的点 被直线x+y-1=0分成三类：
y ②在直线 x-y+1=0 的左上方的平面区
域内
1 -1
x-y+1=0
①在直线 x-y+1=0上
问题是如何 判断呢??
o
?
③在直线 x-y+1=0 的右下方的平面区
域内；
x
在直线: x-y+1=0右下方取原点代入:x-y+1 y 尝试 x-y+1=0
巩固: 画出下列不等式表示的平面区域： (1) x-y+1＜0 (2) 2x+3y-6＞０ (3) 2x+5y-10≥０ (4) 4x-3y≤12
高三数学二元一次不等式(组)与平面区域(201911)
1
-1 O -1 -2
x+y-1=0 x 12
这使我们猜想：l同侧的点的坐标是否 使式子x+y－1的值具有相同的符号？要么 都大于零，要么都小于零。
事实上，不仅对这个具体的例子有此 性质，而且对坐标平面内的任意一条直 线都有此性质.
性质：
直线l：Ax+By+C=0把坐标平面内不在 直线l上的点分为两部分，直线l同一侧的点 的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符 号，并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值 的符号相反，一侧都大于零，另一侧都小 于零。
不等式的解(x，y)为坐标的所有点构 成的集合，叫做不等式表示的平面区域 或不等式的图象。
我们如何求二元一次不等式在直角坐 标平面上表示的区域呢？
直角坐标平面内直线l的一般形式的方
程为Ax+By+C=0，
①
根据直线方程的意义，凡在l上的点的 坐标都满足方程①，而不在直线l上的点 的坐标都不满足方程①。
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
3.3.1《二元一次不等式(组） 与平面区域》
审校：王伟
教学目标
• 了解二元一次不等式（组） 表示平面区域
• 教学重点： • 二元一次不等式（组） • 表示平面区域
二元一次不等式的一般形式为 Ax+By+C>0 或 Ax+By+C<0，
现在我们来探求二元一次不等式解集 的几何意义。
直线l把坐标平面内不在l上的点分为两 部分，一部分在l的一侧，另一部分在l的 另一侧，我们用下面的例子来讨论在直 线的两侧点的坐标，所应满足的条件。
在直角坐标系xOy中，作直线l：x+y－ 1=0。
苏教版数学必修五：3.3.1二元一次不等式表示的平面区域【学生版】
§3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域 第 课时 班级__________ 姓名_________【学习目标】1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，掌握简单的二元线性规划问题的解法，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力；4.会用“选点法”确定二元一次不等式表示的平面区域．【重点难点】重点：用二元一次不等式表示平面区域；难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定，即如何确定不等式Ax + By + C > 0 (或0<)表示Ax + By + C = 0的哪一侧区域【学习过程】一、自主学习与交流反馈1．下表给出了,,x y z 三种食物的维生素含量及成本：素A 及40000单位的维生素B ，设X 、Y 这两种食物各取x kg 、y kg ，那么,x y 应满足怎样的关系？要解决以上问题，我们首先要来了解二元一次不等式的几何意义．2．问题：坐标满足不等式20x y +->的点是否在直线l 上呢？这些点在哪儿呢？与直线l 的位置有什么关系呢？3．活动：通过代特殊点的方法检验满足不等式20x y +->的点的位置，并猜想出结论：坐标满足不等式20x y +->的点在直线20x y +-=的上方．4．结论：一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）： y kx b >+表示直线上方的平面区域； y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．二、新知学习与重难点突破：例1 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空）（1）不等式32x y >-+表示直线32x y =-+ 的平面区域； （2）不等式230x y +->表示直线230x y +-= 的平面区域；（3）不等式20x y ->表示直线20x y -= 的平面区域；（4）不等式0x y +<表示直线0x y += 的平面区域．例2 画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21y x >-+； （2）20x y -+>．例3 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y 轴）：xyO 下半平面y kx b <+ 上半平面 y kx b >+ y kx b =+例4 原点和点(1，1)在直线x + y – a = 0的两侧，则实数a 的取值范围是 ．例 5 （1）若点(2,)t -在直线2360x y -+=下方区域，则实数t 的取值范围为 ．（2）若点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域？三、巩固练习：1．判断下列命题是否正确：（1）点（0，0）在平面区域0≥+y x 内；（2）点（0，0）在平面区域01>+-y x 内；（3）点（0，0）在平面区域01<++y x 内；（4）点（0，0）在平面区域x y 2>内；2．用＂上方＂或＂下方＂填空若Ｂ＞０，不等式Ａx+Ｂy ＋Ｃ＞０表示的区域在直线Ａx+Ｂy ＋Ｃ＝０的 ； 不等式Ａx+Ｂy ＋Ｃ＜０表示的区域在直线Ａx+Ｂy ＋Ｃ＝０的 ．3．（1）不等式094≥-+y x 表示直线094=-+y x 的 ． ①上方的平面区域 ②下方的平面区域③上方的平面区域（包括直线） ④下方的平面区域（包括直线）（2）不等式073<-+y x 表示直线073=-+y x 的 ．①上方的平面区域 ②下方的平面区域③上方的平面区域（包括直线） ④下方的平面区域（包括直线）4．画出下列不等式所表示的平面区域：（1）0<y ； （2）1-≤x y ； （3）221+>x y ．。
人教新课标版数学高二必修5课件3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
(2)在直角坐标平面内，把直线 l：ax＋by＋c＝0 画成 实线 ，表示平面区域包 括这一边界直线；画成 虚线 表示平面区域不包括这一边界直线．
(3)①对于直线 ax＋by＋c＝0 同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入 ax＋by ＋c 所得的符号都 相同 ．
②在直线 ax＋by＋c＝0 的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由 ax0＋by0＋c 的符 号可以断定 ax＋by＋c>0 表示的是直线 ax＋by＋c＝0 哪一侧的平面区域．
探究点5 不等式组表示平面区域在生活中的应用
命题角度1，每张钢板可 同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
钢板类型
规格类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式
即(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]＜0， (a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.
名师点评
对于直线l：Ax＋By＋C＝0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1＋By1＋C ＞0，则Ax2＋By2＋C＜0，即同侧同号，异侧异号.
探究点2 二元一次不等式表示的平面区域 例2 画出不等式x＋4y<4表示的平面区域. 解答
含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x，y 的取值，例如xy＝ ＝00， ，也可写成(0,0).
问题2 一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间，例如 xx＋ －34><00，的解集为数轴上的一个区间(如图).
那么，在直角坐标系内，二元一次不等式x－y<6的解集表示 什么图形呢？ 答案
第三章3.3 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
3．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 1.了解二元一次不等式表示的平面区域． 2.会画出二元一次不等式(组)表示 的平面区域．
1．二元一次不等式(组) (1)定义 ①二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式． ②二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组． (2)解集 ①定义：满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有 序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集． ②几何意义：可以看成直角坐标系内满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 组成的点构成的 集合． 2．二元一次不等式表示的平面区域 二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 二元一次不等式 Ax＋By＋C≥0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域， 我们把直线画成 虚线，以表示区域不包括边界 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域， 我们把直线画成 实线，以表示区域包括边界 直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点，把它们的坐标(x，y)代入 依据 Ax＋By＋C 所得符号都相同 平面区域的确定 方法 在直线 Ax＋By＋C＝0 的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试 点，由 Ax0＋By0＋C 的符号可以断定 Ax＋By＋C>0 表示的是直 线 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域
)
用平面区域来表示实际问题的基本方法 (1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量，用字母表示． (2)把问题中有关的量用这些字母表示． (3)把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来． (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来． 3.配制 A、B 两种药品，需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药品需 甲料 3 mg，乙料 5 mg；配一剂 B 种药品需甲料 5 mg，乙料 4 mg.今有甲料 20 mg，乙料 25 mg，若 A、B 两种药品至少各配一剂，问共有多少种不同的配制方法？ 解：设 A、B 两种药品分别配 x 剂、y 剂(x，y∈N*)．由题意得， 甲料 A 药品/剂 B 药品/剂 共计 3 mg 5 mg 20 mg 乙料 5 mg 4 mg 25 mg
1．二元一次不等式(组) (1)定义 ①二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式． ②二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组． (2)解集 ①定义：满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有 序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集． ②几何意义：可以看成直角坐标系内满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 组成的点构成的 集合． 2．二元一次不等式表示的平面区域 二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 二元一次不等式 Ax＋By＋C≥0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域， 我们把直线画成 虚线，以表示区域不包括边界 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域， 我们把直线画成 实线，以表示区域包括边界 直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点，把它们的坐标(x，y)代入 依据 Ax＋By＋C 所得符号都相同 平面区域的确定 方法 在直线 Ax＋By＋C＝0 的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试 点，由 Ax0＋By0＋C 的符号可以断定 Ax＋By＋C>0 表示的是直 线 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域
)
用平面区域来表示实际问题的基本方法 (1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量，用字母表示． (2)把问题中有关的量用这些字母表示． (3)把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来． (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来． 3.配制 A、B 两种药品，需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药品需 甲料 3 mg，乙料 5 mg；配一剂 B 种药品需甲料 5 mg，乙料 4 mg.今有甲料 20 mg，乙料 25 mg，若 A、B 两种药品至少各配一剂，问共有多少种不同的配制方法？ 解：设 A、B 两种药品分别配 x 剂、y 剂(x，y∈N*)．由题意得， 甲料 A 药品/剂 B 药品/剂 共计 3 mg 5 mg 20 mg 乙料 5 mg 4 mg 25 mg
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(第一课时)
二元一次不等式（ 二元一次不等式（组）与平面区域 第一课时
学习目标
1、了解二元一次不等式的几何意义 、 2、会画二元一次不等式表示的平面区域 、
创设情境
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业 元用于企业 一家银行的信贷部计划年初投入 和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收 和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来 元的收 其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益 益，其中从企业贷款中获益 ， 10%。那么，信贷部应该如何分配资金呢？ 。那么，信贷部应该如何分配资金呢？
典例分析
画出不等式x+4y<4表示的平面区域 例1 画出不等式 表示的平面区域 分析： 分析： 画出边界 y 代特殊点确定区域
1
x+4y-4=0 4
o
x+4y<4
x
练习：课本 页第 页第1题 练习：课本86页第 题，第2题 题
典例分析
例2 用平面区域表示不等式组
y < −3 x + 12 x < 2 y
新课探究
问题3：对于一般的二元一次不等式Ax+By+C >0, 问题 ：对于一般的二元一次不等式 其解集所表示什么图形，如何画出？ 其解集所表示什么图形，如何画出？ Ax+By+C>0表示直线 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 表示直线 某一侧所有点组成的 平面区域，不包括边界 平面区域， Ax+By+C≥0表示直线 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 表示直线 某一侧所有点组成的 平面区域， 平面区域，包括边界 画法：直线定界， 画法：直线定界，特殊点定域
学习目标
1、了解二元一次不等式的几何意义 、 2、会画二元一次不等式表示的平面区域 、
创设情境
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业 元用于企业 一家银行的信贷部计划年初投入 和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收 和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来 元的收 其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益 益，其中从企业贷款中获益 ， 10%。那么，信贷部应该如何分配资金呢？ 。那么，信贷部应该如何分配资金呢？
典例分析
画出不等式x+4y<4表示的平面区域 例1 画出不等式 表示的平面区域 分析： 分析： 画出边界 y 代特殊点确定区域
1
x+4y-4=0 4
o
x+4y<4
x
练习：课本 页第 页第1题 练习：课本86页第 题，第2题 题
典例分析
例2 用平面区域表示不等式组
y < −3 x + 12 x < 2 y
新课探究
问题3：对于一般的二元一次不等式Ax+By+C >0, 问题 ：对于一般的二元一次不等式 其解集所表示什么图形，如何画出？ 其解集所表示什么图形，如何画出？ Ax+By+C>0表示直线 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 表示直线 某一侧所有点组成的 平面区域，不包括边界 平面区域， Ax+By+C≥0表示直线 表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 表示直线 某一侧所有点组成的 平面区域， 平面区域，包括边界 画法：直线定界， 画法：直线定界，特殊点定域
高中数学《3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域》教案2 新人教A版必修5
3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2）
高二数学教·学案
【学习目标】
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情感态度与价值观：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
【学习重点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示.
【学习难点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）.
【授课类型】新授课
高二数学教·学案
课后反思：。
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(1)
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3
一、基础知识讲解 2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
(1)回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的 图形:
-3
0
4x
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的 解集表示什么图形？
不等式 x-y<6 表示怎样的图形呢？
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4
一、基础知识讲解
变题：若是同侧呢？
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21
三、课时小结与作业 1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 2、二元一次不等式（组）的解集表示的图形 3、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
作业： 课本P93 第2题，B组第1题
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22
三角形，则a的取值范围是( C )
A、a 5 B、a 7 C、5 a 7 D、a
-5
x-y+5=0 O 2
x
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20
三、针对性练习
6、如何确定m的范围，使点(1，2)和点(1，1)在直线 y 3x m 0的异侧.
-2<m<-1
y
o
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x
1
一、基础知识讲解 1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
(1)二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不 等式叫做二元一次不等式 ;
(2)二元一次不等式组：
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元 一次不等式组。
(3)二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有 序实数对（x,y），所有这样的有序数对（x,y）构 成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
3.3.1二元一次不等式与平面区域
由几个二元一次不等式组成的不等式组；
（3 ）二元一次不等式的解集： , 点的集合 思考：在平面直角坐标系中
满足二元一次不等式的有序实数对 (x，y)构成的集合； {(x,y)|x+y-1=0}表示什么图形？
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
回忆：一元一次不等式（组）的解集－－数集 图形－－－数轴上的区间。
x 3 0 如：不等式组 的解集为数轴上的一个区间（如图）。 x 4 0
{x | 3 x 4}
问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式的解集表示
什么图形？
二、新知探究：
（2）探究 特殊：二元一次不等式 x－y <6 的解集所表示的图形。
作出x－y =6的图像：一条直线
3.3.1
二元一次不等式（组） 与平面区域
重庆铁路中学 (400053) 何成宝
一、问题情境：
一只蚂蚁在地平面上寻找食物，蚂蚁的位置可由 坐标 (x,y) 确定，现知在直线 L ： x+y-1=0 左下方 区域某处有一食物，如果蚂蚁运动的坐标始终满 足 x+y-1>0, 那 么 蚂 蚁 能 找 到 食 物 吗 ？
直线x-y=6的右下方的平面区域 y
x-y <6 O
-6 6
y
O
-6 6
x
x
x-y>6
直线叫做这两个区域的边界。
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
从 特 殊 到 一 般
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标系中表 示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区
＞0表示的直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域。
4y ＜ 例x1 4 画出 不等 式 表示 的平 ＜ 面区 4 解 域.取 < 原 ： 0 点 先 （ 做 0 出 , 边 0 界
y
1 （0 ， 0 ） 0 1
4
x
1）用平面区域表 示下面不等式组的 2）画出不等式 解集 .
y 3 x 1 2 x 2 y
l:x y 6
O -3 -6
3
6
9
x
l:x y 6 研究平面内的点A，P可 6 以发现：在直角坐标系中， Ax, y2 以二元一次不等式x-y＜6的 3 解为坐标的点都在直线l的左 3 6 9 O 上方；反过来，直线l左上方 x -3 P( x, y1 ) 点的坐标都满足不等式x-y＜ -6 6,因此在平面直角坐标系中， 不等式x-y＜6表示直线x-y=6 左上方的平面区域，如图，类似地，二元一次不 等式x-y＞6表示直线x-y=6右下方的平面区域，直线xy=6叫做这两个区域的边界，这里，我们把直线x-y=6画 成虚线，以表示区域不包括边界。
12 4 0 4 12
图形表示如右
20
x
例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18；生 产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这 两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并 画出相应的平面区域。
4.画平面区域时，要注意边界是画成实线还是虚线。
1.用不等式（组）表示下列阴影部分所对应的 区域. y y
３
y
-6 4 x 2
0
x
6x+5y=22
《二元一次不等式组与平面区域》
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角 坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对， 而点的坐标也是有序实数对，因此，有序 实数对就可以看成是平面内点的坐标， 进而，二元一次不等式（组）的解集就 可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
（5）探究二元一次不等式（组）的解集表示的 图形 （1）回忆、思考 回忆：初中一元一次不等式（组）的解 集 所表示的图形 思考：在直角坐标系内，二元一次不 等式（组）的解集表示什么图形？
3.3.1《二元一次不等式 (组）与平面区域》
二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的 不等式叫做二元一次不等式 ;
（2）二元一次不等式组：
由几个二元一次不等式组成的不等式组 称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式（组）的x和y的取 值构成有序实数对（x,y），所有这样的 有序实数（x,y）构成的集合称为二元一 次不等式（组）的解集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各 个不等式所表示的平面点集的交集， 因而是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分。
2．画出下列不等式组所表示的平面区域： （1）2 x y 1 0 解：（1）在同一个直角坐标系中，
x y 1≥ 0
作出直线2x－y+1=0(虚线)，
x+y－1=0(实线)。 用例1的选点方法，分别作出不等式2x－ y+1>0，x+y－1≥0所表示的平面区域，
则它们的交集就是已知不等式组所 表示的区域。
y 3 2 1 -1 O 2y+1=0 -1 -2 1 2 3 x-3=0 2x-3y+2=0
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0 - 4 = -4 < 0, 取原点（0,0），因为 0 + 4×Байду номын сангаас
注意虚 实线
1 O
x 4y 4
x 4y 4
4
x
所以原点（0,0）在 x + 4y < 4 表示的平面区域内， 不等式 x + 4y < 4 表示的区域如图所示.
二元一次不等式表示平面区域的画法： 常用“直线定 界，特殊点定域”. (1)直线定界注意: “>0 (或<0) ”时, 直线画成虚线; “≥0(或≤0)”时,直线画成实线. (2)特殊点定域注意: 当C≠0时,常把原点作为特殊点; 当C=0时,可取坐标轴上其他的点.
所以Ax + By + C > 0表示的平面区域只需要一个特殊点就能确定.
一般地,C ≠ 0时,常用点(0,0) 确定.
C = 0时常用点(0, 1)或(1,0)确定.
例
画出不等式 x + 4y < 4 表示的平面区域.
y
解：先作出边界 x + 4y = 4， 因为这条直线上的点都 不满足 x + 4y < 4， 所以 画成虚线.
3.3
二元一次不等式（组）与简单的线
性规划问题
3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域
第1课时 二元一次不等式表示的平面区域
1.了解二元一次不等式的实际背景； 2.了解二元一次不等式的几何意义； 3.能正确地使用平面区域表示二元一次不等式.(难点）
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于 企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来30 000元的收
O x=1
x
4.画出不等式4x―3y≤12表示的平面区域. y 4x―3y-12=0 O x
1. 二元一次不等式表示的平面区域： 直线某一侧所有点组成的平面区域. 2. 判定方法： 直线定界，特殊点定域.
正直的人并不是渺小的，不要把谦虚和渺小、
妄自菲薄混为一谈。
——契诃夫
l:x y 6
的区域内的点；
在直线 x - y = 6 右下方 的区域内的点.
O
(6,0)
x
(0,-6)
设点P(x,y1 )是直线l上的点, 选取点A(x,y2 )，使它的坐标 满足不等式x - y < 6,完成下表：
y
O
A( x, y2 )
l:x y 6
(6,0) x
P ( x, y1 )
1.不等式x–2y+6>0表示的区域在直线x–2y+6=0的( B ). (A)右上方 (B)右下方 (C)左上方 (D)左下方
2.不等式3x+2y–6≤0表示的平面区域是（ D ）. y y y y
O (A)
x
O (B)
x
O (C)
x
O (D)
x
3.画出不等式x≥1表示的平面区域. 解析： y
(1) 不等式Ax + By + C > 0表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点 组成的平面区域,不包括边界,直线画成虚线.
(2) 不等式Ax + By + C ≥ 0表示的平面区域为不等式Ax + By + C >0 表示的区域加上边界,直线以实线表示.
(3)区域确定:
对于Ax + By + C = 0同一侧的所有点(x,y)，将 其坐标代入Ax + By + C，所得值的符号相同;
益,其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％.
上述问题应该用什么不等式模型来刻画呢？
二元一次不等式的有关概念 设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的 资金为y元.由资金总数为25 000 000元，得到
x + y ≤ 25 000 000.
1.二元一次不等式：
①
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示 直线x-y＝6左上方的平面区域.
y O
l:x y 6
(6,0) x
(0,-6)
不等式x-y>6表示直线x-y＝6右下方的平面区域.
y O
l:x y 6
(6,0) x (0,-6)
直线x-y＝6叫做这两个区域的边界. 这里，把直线x-y＝6画成虚线，以表示区域不包括边界.
(0,-6)
3 0 1 2 点 P 的纵坐标 y1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 点 A 的纵坐标 y2 >-9 >-8 >-7 >-6 >-5 >-4 >-3
-3 -2 -1
横坐标 x
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标
有什么关系？
据此说说直线l左上方点的坐标与不等式x-y<6有什么关 系？直线l右下方点的坐标呢？ 点A的纵坐标大于点P的纵坐标. 我们发现，在平面直角坐标系中，以二元一次不等 式 x－y＜6的解为坐标的点都在直线x－y＝6的左上方； 反之，直线x－y＝6左上方点的坐标都满足不等式x－y ＜6.直线x－y＝6右下方点的坐标满足不等式x－y>6.
满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序数对
(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次 不等式的解集. 有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是， 二元一次不等式的解集就可以看成直角坐标系内的点构成 的集合. 例如二元一次不等式x－y＜6的解集 为{(x,y)|x－y＜6}.
由于预计企业贷款创收12％，个人贷款创收10％， 共创收30 000元以上，所以
(12 0 0)x +(10 0 0)y ≥ 30 000,
即
12x +10y ≥ 3 000 000. ②
最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不 能是负值，所以
x ≥ 0,y ≥ 0. ③
2.二元一次不等式的解集：
二元一次不等式与平面区域 以二元一次不等式 x - y < 6 的解为坐标的点的集合
（ x，y）x - y < 6 表示什么平面图形?
y
l:x y 6
O (0,-6) (6,0) x
平面内的点被直线 x - y = 6 分成三类：
在直线 x - y = 6 上的点； 在直线 x - y = 6 左上方 y
注意虚 实线
1 O
x 4y 4
x 4y 4
4
x
所以原点（0,0）在 x + 4y < 4 表示的平面区域内， 不等式 x + 4y < 4 表示的区域如图所示.
二元一次不等式表示平面区域的画法： 常用“直线定 界，特殊点定域”. (1)直线定界注意: “>0 (或<0) ”时, 直线画成虚线; “≥0(或≤0)”时,直线画成实线. (2)特殊点定域注意: 当C≠0时,常把原点作为特殊点; 当C=0时,可取坐标轴上其他的点.
所以Ax + By + C > 0表示的平面区域只需要一个特殊点就能确定.
一般地,C ≠ 0时,常用点(0,0) 确定.
C = 0时常用点(0, 1)或(1,0)确定.
例
画出不等式 x + 4y < 4 表示的平面区域.
y
解：先作出边界 x + 4y = 4， 因为这条直线上的点都 不满足 x + 4y < 4， 所以 画成虚线.
3.3
二元一次不等式（组）与简单的线
性规划问题
3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域
第1课时 二元一次不等式表示的平面区域
1.了解二元一次不等式的实际背景； 2.了解二元一次不等式的几何意义； 3.能正确地使用平面区域表示二元一次不等式.(难点）
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于 企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来30 000元的收
O x=1
x
4.画出不等式4x―3y≤12表示的平面区域. y 4x―3y-12=0 O x
1. 二元一次不等式表示的平面区域： 直线某一侧所有点组成的平面区域. 2. 判定方法： 直线定界，特殊点定域.
正直的人并不是渺小的，不要把谦虚和渺小、
妄自菲薄混为一谈。
——契诃夫
l:x y 6
的区域内的点；
在直线 x - y = 6 右下方 的区域内的点.
O
(6,0)
x
(0,-6)
设点P(x,y1 )是直线l上的点, 选取点A(x,y2 )，使它的坐标 满足不等式x - y < 6,完成下表：
y
O
A( x, y2 )
l:x y 6
(6,0) x
P ( x, y1 )
1.不等式x–2y+6>0表示的区域在直线x–2y+6=0的( B ). (A)右上方 (B)右下方 (C)左上方 (D)左下方
2.不等式3x+2y–6≤0表示的平面区域是（ D ）. y y y y
O (A)
x
O (B)
x
O (C)
x
O (D)
x
3.画出不等式x≥1表示的平面区域. 解析： y
(1) 不等式Ax + By + C > 0表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点 组成的平面区域,不包括边界,直线画成虚线.
(2) 不等式Ax + By + C ≥ 0表示的平面区域为不等式Ax + By + C >0 表示的区域加上边界,直线以实线表示.
(3)区域确定:
对于Ax + By + C = 0同一侧的所有点(x,y)，将 其坐标代入Ax + By + C，所得值的符号相同;
益,其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％.
上述问题应该用什么不等式模型来刻画呢？
二元一次不等式的有关概念 设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的 资金为y元.由资金总数为25 000 000元，得到
x + y ≤ 25 000 000.
1.二元一次不等式：
①
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示 直线x-y＝6左上方的平面区域.
y O
l:x y 6
(6,0) x
(0,-6)
不等式x-y>6表示直线x-y＝6右下方的平面区域.
y O
l:x y 6
(6,0) x (0,-6)
直线x-y＝6叫做这两个区域的边界. 这里，把直线x-y＝6画成虚线，以表示区域不包括边界.
(0,-6)
3 0 1 2 点 P 的纵坐标 y1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 点 A 的纵坐标 y2 >-9 >-8 >-7 >-6 >-5 >-4 >-3
-3 -2 -1
横坐标 x
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标
有什么关系？
据此说说直线l左上方点的坐标与不等式x-y<6有什么关 系？直线l右下方点的坐标呢？ 点A的纵坐标大于点P的纵坐标. 我们发现，在平面直角坐标系中，以二元一次不等 式 x－y＜6的解为坐标的点都在直线x－y＝6的左上方； 反之，直线x－y＝6左上方点的坐标都满足不等式x－y ＜6.直线x－y＝6右下方点的坐标满足不等式x－y>6.
满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序数对
(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次 不等式的解集. 有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是， 二元一次不等式的解集就可以看成直角坐标系内的点构成 的集合. 例如二元一次不等式x－y＜6的解集 为{(x,y)|x－y＜6}.
由于预计企业贷款创收12％，个人贷款创收10％， 共创收30 000元以上，所以
(12 0 0)x +(10 0 0)y ≥ 30 000,
即
12x +10y ≥ 3 000 000. ②
最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不 能是负值，所以
x ≥ 0,y ≥ 0. ③
2.二元一次不等式的解集：
二元一次不等式与平面区域 以二元一次不等式 x - y < 6 的解为坐标的点的集合
（ x，y）x - y < 6 表示什么平面图形?
y
l:x y 6
O (0,-6) (6,0) x
平面内的点被直线 x - y = 6 分成三类：
在直线 x - y = 6 上的点； 在直线 x - y = 6 左上方 y