基于螺旋理论的3_RRR并联机构设计与仿真

Ｖ ｏ ｌ ． ２ ６． Ｎ ｏ ． ３ ， Ｓ ｅ ． ２ ０ １ １ ｐ

基于螺旋理论的 ３ Ｒ Ｒ Ｒ 并联机构设计与仿真 －
钟相强 ， 高 洪
（ ） 安徽工程大学 先进数控和伺服驱动技术安徽省重点实验室 ， 安徽 芜湖 ２ ４ １ ０ ０ ０ 摘要 ： 基于螺旋理论分析了一种 ３ 通过分析动平台和各分支机构的 约 束 螺 旋 Ｒ Ｒ 并联机构的自由度和构型 ． －Ｒ 系， 构造 ３ 运用修正 Ｃ 基于虚拟 Ｒ Ｒ 串联分支， ｒ ü ｂ ｌ ｅ ｒ ｕ ｔ ａ ｂ ａ ｔ ｈ公式计算出其自由度满足 ３个转动自由度． －Ｒ －Ｋ 样机技术建立 ３ 进行正向运动学仿真和工作空间分析 ， 从而找到该机 构 存 在 的 Ｒ Ｒ 并联机构虚拟仿真模型 ， －Ｒ 为少自由度并联机构运动学和动力学分析提供保证 ． 缺陷 ， 关 键 词： 螺旋理论 ； 并联机构 ； 虚拟样机技术 ； 仿真 中图分类号 ： ＴＨ １ １ ２； Ｔ Ｐ ３ ９ １． ７ ２ 文献标识码 ： Ａ
第２ ６ 卷第 ３ 期 ２ ０ １ １年９月 （ ） 文章编号 ： １ ６ ７ ２ ２ ４ ７ ７ ２ ０ １ １ ０ ３ ０ ０ １ ０ ０ ５ － － －
安 徽 工 程 大 学 学 报 Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ａ ｎ ｈ ｕ ｉ Ｐ ｏ ｌ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｙ
］ １ ２ － 精度的定位 ， 具有重要应用价值 ［ 虚拟样机技术是 ２ ． ０世纪８ ０年代随计算机技术的发展而发展起来的
一项计算机辅助工程 （ 技术 ． 利用此技术 ， 设计人员可以真实地模拟产品的运动及受力情 况 ， 快速准 Ｃ Ａ Ｅ）
３］ 确地分析多种设计方案 ， 获得最优的方案 ［ 基于 螺 旋 理 论 ， 根 据 机 构 的 运 动 约 束 关 系， 得到３ ． Ｒ Ｒ 并联 －Ｒ
少自由度并联机构和六自由度相比 ， 具有机械结构简单 ， 制造和控 制 成 本 相 对 较 低 等 优 点 ． 对称三自 由度并联机构分支相同 、 结构对称 ， 是长期以来的研究热点 ， 更具有应用潜力 ． 例如三自由度球面并联机构 肩、 腕等关节 、 卫星天线的自动跟踪装置 、 机床工作 台 和 工 件 的 定 位 装 置 ， 可实现高 可被用作机器人的腰 、
２］ ： 数为ｆ 所有 ｎ 个物体之间的运动副数目为ｇ， 则机构的自由度 Ｍ 计算 ［ ｉ，
ｇ
） Ｍ ＝ ｄ（ ｎ－ｇ －１ ＋ ∑ｆ ｉ ＋ｖ
ｉ＝１
（ ） ４
式中 ： 若用λ 表示机构的公共约束数目 ， 则ｄ ＝ ６－λ； ｄ 为机构的阶数 ， ｖ为 并联冗余约束数 ． （ ） 自由度计算 ： ３－Ｒ Ｒ Ｒ 并联机构简图如图 ２ 所示 ， １ ３－Ｒ Ｒ Ｒ 并联机构由 ３ 个Ｒ 且３个转动副组成一个 Ｒ Ｒ Ｒ空间运动链连接动平台和静平台组成 ， Ｒ Ｒ空 （ ） ， ； （ ） 间运动链 ； 运动副数ｇ ＝９ 球面并联 ２ ３－Ｒ Ｒ Ｒ并联机构的构件数ｎ＝８ ３ １． ３ ３－ Ｒ Ｒ Ｒ 并联机构构型设计 动平台可 绕 空 间 一 固 定 点 相 对 于 静 平 台 由于球面并联机构的动平台与静平台通过 ３ 个分支来连接 ， 做三维转动 ， 故动平台的 ３ 个自由度为绕 Ｘ、 Ｙ、 Ｚ 轴的转动自由度 ． （ ） 确定动平台的约束螺旋系 ． 以转动中心Ｏ 为原点 ， 竖直向下方向为Ｚ 轴建立空间直角坐标系 ． 则动 １ 平台的运动螺旋系为 ： ） ； ） ； ） ＄１ ＝ （ １ ０ ０； ０００ ＄２ ＝ （ ０ １ ０； ０００ ＄３ ＝ （ ０ ０ １； ０００ １ ０ ０ ０ ０ ０ 熿 燄 Ｔ Ｔ 、 、 ［ ］ ， ［ ］ ， 令Ａ 则 Ｘ 的基础解集为 ： ＄ １ ＄ ２ ＄ ３ 组成矩阵 Ａ ＝ ０ １ ０ ０ ０ ０ ， Ｘ ＝０， ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ ００１０００ 燀 燅 Ｔ ｒ ］ ： ） ； ） ； ） ［ 则约束螺旋系为 ０ ０ ０ ０ ０ １ ． ＄１ ＝ （ ０００； １ ０ ０ ＄ｒ ０００； ０ １ ０ ＄ｒ ０００； ０ ０ １ ． ２ ＝ （ ３ ＝ （ （ ） ， 确定分支约束螺旋系及基础运动螺旋系 由于该机构是 自由度并联机构 其机构约束螺旋含 ２ ． ３ Ｒ ３ 个约束力线矢 ， 各分支约束螺旋系共有 ３ 种情况 ： 动平台受到的 ① 每个分支对动平台施加一个结构约束 ， 并且最大线性无关数为 ３； 动 ３×１ 个约束力线矢必须线性无关 ， ② 每个分支对动平台施加 ２ 个结构约束 ， 并且最大线性无关数为３； 平 台受到的３×２个约束力线矢必须线性相关 ， ③ 每个分支对动平台施加３个约 束力线矢 ， 动平台受到的 ３×３ 个约束力线矢必须线性相关 ， 并且最大线性无关数为 ３． 该 ３－Ｒ 基于螺旋理论的观点 ， 为了使平台实现设计要求的绕固 Ｒ Ｒ 并联机构各分支含有 ３ 个力线矢 ． 定点 Ｏ 的三自由度转动 ， 就是要使机构沿固定点 Ｏ 的３个平动自由度被约束 ， 即使机构要对平台产生一组 共点力螺旋限制 ． 此外 ， 分支中心点重合的结构条件可保证机构约束螺旋系 不 会 发 生 改 变 ， 即使机构为非
）的运动螺旋系 ＄ ， 如果存在一个秩等于 ｎ（ 必然存在另外一组秩等于 ６－ｎ 的约束螺旋系 ＄ ｒ， ｎ ＜６ 使得 ＄ ＄ ｒ ＝ ０． 将约束螺旋矢量 ＄ ｒ 称之为秩等于ｎ 的运动螺旋系 ＄ 的反螺旋系 ． 这样一来 ， 知道了空 间线性独立的运动螺旋 ， 就可以求得其约束 反 螺 旋 ． 反 之， 如 果 知 道 它 的 约 束 反 螺 旋， 即所受到的运动约
线的转动和沿这条直线的移动的组合 ． 如图 １ 所示 ， 如果空间一个矢量被约束 在一条空间位置确定的直线上 ， 则这个被直线约束的矢量称为线矢量 ： （ （ ） Ｓ； Ｓ Ｓ； ｒ×Ｓ）＝ （ ｌ ｍ ｎ； ｏ ２ ＝（ ， ｐ ｑ） ０） 式中 ： Ｓ 为 表 示 螺 旋 轴 线 方 向 的 单 位 矢 量 ，可 用 ３ 个 方 向 余 弦 表 示 ，即 ； 若螺旋的 ２ 个矢量部分 Ｓ＝ （ ｌ ｍ ｎ） ｒ 为螺旋轴线上的任意一点 ； Ｓ ０ 为线矩 ． ， 表示为标量 ， 即（ 则称之为 Ｐ ｌ ｍ ｎ； ｏ ｌ ü ｃ ｋ ｅ ｒ坐标 ． ｐ ｑ）
为进一步仿真分析奠定了基础 ． 机构具有 ３ 个旋转自由度 ，
１ 基于螺旋理论的 ３ Ｒ Ｒ 并联机构设计 －Ｒ
１． １ 螺旋理论 一个旋量可以同时表示空间一组对偶矢量 ， 旋量用对偶矢量表示 ： 螺旋理论中 ，
＄ ＝（ Ｓ； Ｓ ， ０） 式中 ： 是一个三维向量 ； 也是一个三维向量 ． Ｓ 为对偶矢量的原部 ， Ｓ ０ 对偶矢量的对偶部 ，
图 １ 螺旋的几何表示简图
”表示螺旋的互易积 ． 式中 “ 从物理意义上看 ， 互易积为零的 ２ 个螺旋 ， 一个表示物体运动 ， 一个表示物体 受到的约束螺旋 ， 则互易积就是约束螺旋对运动螺旋所作的瞬时功 ， 如２个 螺 旋 的 互 易 积 为 零， 则表示约
２， ４］ 束螺旋不能约束运动螺旋代表的瞬时运动 ［ ．
Байду номын сангаас
·１ １·
束， 就可以求出相对应的运动支链的螺旋分布形式 ． 再根据运动螺旋所规定 的 运 动 副 的 空 间 位 置 和 形 式 ， 最终综合出机构形式 ． １． ２ ３－ Ｒ Ｒ Ｒ 并联机构自由度计算 所有物体之间用运动副连接 ， 第ｉ 个运动副的相对自由度 若三维空间中有 ｎ 个完全不受约束的物体 ，
［ ］ 瞬时机构 ． 因此 ， 该 ３－Ｒ Ｒ Ｒ 并联机构的转动副轴线应该交于转动点 Ｏ ５－８ ．
图 ２ ３－Ｒ Ｒ Ｒ 并联机构简图
， ， ） 机构的公共约束数为 ３ 即λ ＝ ３ 则ｄ ＝３ 不存在冗余约束数 ， 因此 ： Ｍ ＝ ３× （ ８－９－１ ． ＋９ ＝ ３
） ； ） ； ） 则约束螺旋系为 ： ＄ｒ ０００； １ ０ ０ ＄ｒ ０００； ０ １ ０ ＄ｒ ０００； ０ ０ １ ． １ ＝ （ ２ ＝ （ ３ ＝ （ 分支基础运动螺旋系 ： ） ； ） ； ） ， ＄ｒ １ ０ ０； ０００ ＄ｒ ０ １ ０； ０００ ＄ｒ ０ ０ １； ０００ １ ０ ＝ （ ２ ０ ＝ （ ３ ０ ＝ （ 式中 ： 用３个 Ｒ ＄１ ＄２ ＄３ Ｒ Ｒ 分支在满足分支中心 ０、 ０、 ０ 表示空间 ３ 个线性无关且轴线交于一点的转动副 ， 点重合的条件下可以构造出 ３－Ｒ Ｒ Ｒ 球面并联机构 ． （ ） 构造串联分支 ． 由于并联机构各转动副轴线交于定点 Ｏ， 故各转动副轴线位于一球体半径方向 ， 设 ３ ， ， 该球体半径 Ｓ 分支 各运动副轴线分布如图 所示 为全局坐标系 轴与 轴夹 Ｒ ＝２ ０ ０ｍｍ． Ａ ３ Ｏ－ Ｘ Ｙ Ｚ Ａ１ Ｚ 角为 ６ 且位于 Ｘ 则杆 Ａ１Ａ２ 的 Ｄ－ 以 Ｏ 点为原点Ｏ１ 以 Ａ１ 轴为 Ｚ 以过 Ｏ 点 ０ °， Ｙ 平面上 ， Ｈ 坐标系为 ： １， １ 轴， 且垂直于 Ｚ 轴与Ｚ１ 轴所构成的平面并指向离开 Ｚ 轴方向为 Ｘ１ 轴 ， 由右手螺旋法则建立Ｙ１ 轴 ． 即杆 Ａ１Ａ２ 的 Ｄ－ 然后绕Ｙ 轴转动θ 角 ， 最后绕 Ｚ 轴转动 Ψ 角得到 ， 其 Ｈ 坐标系可由Ｏ－ Ｘ Ｙ Ｚ 坐标系绕Ｚ 轴转动Φ 角 ， ） ， 中 Φ ＝９ 曲柄 Ａ１Ａ２ 与静平台铰接点坐标为 Ａ１（ ０ °， ０ °， ０ °． ０， １ ７ ３． ２， ０ Ａ２ 轴沿 － Ｘ 轴方向 ． θ＝６ Ψ ＝－９ 杆 Ａ２Ａ３ 的 Ｄ－ 其中 Φ ＝ １ 曲柄 Ａ１Ａ２ 与连 Ｈ 坐标系可由Ｏ－ Ｘ Ｙ Ｚ 坐标系转动得到 ， ８ ０ °， ０ °， ５ ０ °． θ＝９ Ψ ＝１ ） 杆 Ａ２Ａ３ 铰接点 Ａ２ 坐标为 Ａ２（ 且位于 Ｘ 动平台在分支 Ａ ０ ０， ０， ０ ． Ａ３ 轴与 －Ｚ 轴夹角为３ ０ °， Ｙ 平面上 ， －２
ｒ ｒ ； ）时被称为是互逆 ， 两个螺旋 ＄ ＝ （ 和 ＄ｒ ＝ （ 满足式 （ 即 Ｓ； Ｓ Ｓ Ｓ ３ ０） ０） ｒ ｒ ｒ （ ） ＄ ＄ ＝ Ｓ Ｓ０ ＋ＳＳ０ ＝ ０ ， ３