人教A版高中数学必修四 2.5 《平面向量应用举例》目标导学

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高中数学必修四《平面向量应用举例》导学案

2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例课标要求:1.经历用向量方法解决某些简单平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题的过程.2.在处理几何、物理等问题时体会向量的工具性,提高运算能力和解决实际问题的能力.3.掌握用向量方法解决实际问题的基本方法,向量方法解决几何问题的“三步曲”自主学习构建知识¡¤探究疑惑【情境导学】 1.(教学备用)平面四边形ABCD 中,①若AB =DC ,则四边形ABCD 是平行四边形. ②若AB =DC 且AC ·BD =0,则四边形ABCD 是菱形. ③若AB =DC 且|AB +AD |=|AB -AD |,则四边形ABCD 是矩形.以上三个向量问题都是判定特殊四边形的重要方法.2.如图所示,在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F 1.(1)求|F 1|,|F 2|随θ角的变化而变化的情况;(2)当|F 1|≤2|G|时,求θ角的取值范围.答案:(1)F 2越大θ越大,同时为使|F 1+F 2|≥|G|,F 1也要变大.(2)|F 1|≤2|G|⇔1||||G F ≥12,cos θ≥12⇔0≤θ≤π3. 知识探究1.向量在平面几何中的应用(1)证明线线平行问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a ∥b(b≠0)⇔a=λb ⇔ .(2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:a ⊥b ⇔ ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. (3)求夹角问题,常常利用向量的夹角公式cos θ=||||a ba b ⋅=121222221122x x y y x y x y +++.(4)求线段的长度或证明线段相等,可以先转化为两向量的数量积,再利用向量的线性运算转化求解,若已知坐标可以利用|a|=22x y +求解.探究1:向量方法可解决平面几何中的哪些问题?提示:直线的平行、垂直及三点共线的证明问题;两点的距离(线段长度)、夹角的计算问题等.2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”3.向量在物理学中的应用(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法,其运算法则就是向量的三角形法则和平行四边形法则.探究2:在物理学中,你知道哪些知识与向量的线性运算有关系?提示:力、速度、加速度、位移的合成与分解,实质上就是向量的加、减运算.自我检测1.(平面几何中的向量方法)已知A,B,C,D 四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为( )(A)梯形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形2.(向量在物理中的应用)若向量1OF =(2,2),2OF =(-2,3)分别表示两个力F 1,F 2,则|F 1+F 2|为( )(A)(0,5) (B)(4,-1) (C)22 (D)53.(平面解析几何中的向量方法)已知直线l:mx+2y+6=0,向量(1-m,1)与l 平行,则实数m= .答案:-1或24.(用向量求解速度问题)河水从东向西流,流速为2 km/h,一艘船以23km/h 的速度垂直于水流方向向北横渡,则船实际航行的速度的大小是 km/h. 答案:4 课堂探究剖析典例¡¤总结规律题型一向量在平面几何中的应用【例1】设P,Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点,试用向量证明:PQ ∥AB.证明:设DC =λAB (λ>0),因为PQ =AQ -AP =AB +BQ -AP=AB +12(BD -AC )=AB +12[(AD -AB )-(AD +DC )]=AB +12(CD -AB )=12(CD +AB )=12(-λ+1)AB ,所以PQ ∥AB ,又P,Q,A,B 四点不共线,所以PQ ∥AB.变式探究:在本例条件下,若AB=3CD,试求PQ AB 的值. 解:因为AB=3CD,所以λ=13.又PQ =12（-13+1）AB ,所以PQ =13AB ,所以PQ AB =13. 方法技巧用向量法解平面几何问题的思路(1)用向量法证明平面几何问题需要首先选好一组基底,把各线段上的向量用这组基底表示.(2)要求某线段的长,需要先求相应向量的平方,再开方.(3)要证线段长相等,可统一到一组基底表示线段上的向量,再求模证明长度相等.(4)在平面几何问题中,常建系用向量的坐标计算求解. 即时训练1-1:在四边形ABCD 中,AC =(1,2),BD =(-4,2),则该四边形的面积为( )(A)5 (B)25 (C)5 (D)10解析:因为AC ·BD =(1,2)·(-4,2)=1×(-4)+2×2=0,所以AC ⊥BD ,且|AC |=2212+=5,|BD |=22(4)2-+=25, 所以S 四边形ABCD =12|AC ||BD |=12×5×25=5.故选C.【备用例题】已知点A(2,-1).求过点A 与向量a=(5,1)平行的直线方程.解:设所求直线上任意一点P(x,y),则AP =(x-2,y+1).由题意知AP ∥a,故5(y+1)-(x-2)=0,即x-5y-7=0. 故过点A 与向量a=(5,1)平行的直线方程为x-5y-7=0.题型二和向量的应用【例2】帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20 km/h,此时水的流向是正东,流速为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向.解:建立如图所示的直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度为|v 1|=20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v 2|=20(km/h),该帆船行驶的速度为v,则v=v 1+v 2.由题意,可得向量v 1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,103),向量v 2=(20,0),则帆船的行驶速度v=v 1+v 2=(10,103)+(20,0)=(30,103),所以|v|=2230(103)+=203(km/h).因为tan α=10330=33(α为v 和v 2的夹角,α为锐角),所以α=30°.所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度为203km/h.方法技巧利用向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题的向量,转化为数学问题;(2)建立以向量为主体的数学模型;(3)利用向量的线性运算或数量积运算,求解数学模型;(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.即时训练2-1:用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N,则每根绳子的拉力大小为 .解析:如图,由题意得|OA |=|OB |,∠AOB=120°,|OG |=10 N,以OA,OB 为邻边作平行四边形OACB,则四边形OACB 为菱形且∠CAO=60°, OC =OA +OB ,|OC |=|OG |=10 N,所以|OA |=|OB |=10 N. 答案:10 N 题型三用向量解答做功问题【例3】 (10分)已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20 m.问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少?(g=10 m/s 2)规范解答:如图所示,设木块的位移为s,则W F =F·s=|F||s|cos 30°=50×20×32=5003(J).………2分将力F 分解,它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|=|F|sin 30°=50×12=25 (N),………4分所以摩擦力f 的大小为|f|=|μ(G -F 1)|=(80-25)×0.02=1.1 (N),……………6分因此W f =f·s=|f||s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22 (J).……………8分即F 和f 所做的功分别为5003J 和-22 J.……10分方法技巧物理中力F 所做功W 问题常运用向量的数量积解决.即时训练3-1: 如图所示,一力作用在小车上,其中力F 的大小为10牛,方向与水平面成60°角,当小车向前运动10米,则力F 做的功为( )(A)100焦耳 (B)50焦耳 (C)503焦耳 (D)200焦耳解析:设小车位移为s,则|s|=10米,W F =F·s=|F||s|·cos 60°=10×10×12=50(焦耳).故选B.。

高中数学第2章平面向量 2.5 平面向量应用举例导学案新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数

2．5 平面向量应用举例[教材研读]预习课本P109～112，思考以下问题1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题？[要点梳理]1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．(3)动量m v是向量的数乘运算．(4)功是力F与位移s的数量积．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) 2．力是既有大小，又有方向的量，所以也是向量．( )3．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一向量在平面几何中的应用如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE . [思路导引] 可以选取AB →，AD →为基底表示出AF →，DE →，将二者进行数量积运算；也可以设出正方形边长，以两条邻边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，求出AF →，DE →的坐标，进行数量积的坐标运算．[证明] 证法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b2，AF→＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .证法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n . (1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB .(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)． [思路导引] 解决此题时应建立适当的坐标系，(1)中依据A ，B 两点坐标，写出D 点坐标转化为向量的模求解．(2)中由A ，E ，F 三点共线，得AF →＝λAE →求得F 点坐标即可表示AF 的长度．[解] (1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)．∵D 为AB 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m2， ∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，∴|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m4，设F (x,0)，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m ，AF →＝(x ，－m )．∵A ，E ，F 三点共线，∴AF →＝λAE →. 即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m .则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34mλ，故λ＝43，即x ＝n3，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0，∴|AF →|＝13n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.用向量方法解决平面几何问题的步骤【温馨提示】用向量法解决平面几何问题的两种思想(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．[跟踪训练]已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)．∴BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，FC →＝(2,1)，∵FP →∥FC →， ∴x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2，同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. ∴|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB .题型二向量在物理中的应用思考1：向量与力有什么相同点和不同点？提示：向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量起点平移到同一作用点上．思考2：向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？提示：速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．[思路导引] 建立适当直角坐标系，依据x的大小及方向转化成向量坐标即可求得合力F及位移s，由w＝F·s求解．[解] 以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立如图直角坐标系，则F1＝(1，3)，F2＝(23，2)，F3＝(－3，33)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(23－2,2＋43)．又位移s＝(42，42)，故合力F所做的功为W＝F·s＝(23－2)×42＋(2＋43)×42＝246(J)，即合力F所做的功为246J.一条宽为 3 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB ＝ 3 km，船在水中最大航速为4 km/h，问怎样安排航行速度可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？[解] 如图所示，设AC →为水流速度，AD →为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，当AE 与AB 重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中，|DE →|＝|AC →|＝2，|AD →|＝4，∠AED ＝90°， ∴|AE →|＝|AD →|2－|DE →|2＝23，3÷23＝0.5(h)，sin ∠EAD ＝12，∴∠EAD ＝30°.∴船实际航行速度大小为4 km/h ，与水流成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5小时．用向量解决物理中相关问题的步骤(1)转化：把物理问题转化成数学问题． (2)建模：建立以向量为主体的数学模型． (3)求解：求出数学模型的相关解．(4)回归：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．[跟踪训练]在风速为75(6－2)km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．[解] 设ω＝风速，v a ＝有风时飞机的航行速度，v b ＝无风时飞机的航行速度，v b ＝v a－ω.如图所示．设|AB →|＝|v a |，|CB →|＝|ω|，|AC →|＝|v b |，作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ，则∠BAD ＝45°. 设|AB →|＝150，则|CB →|＝75(6－2)．∴|CD →|＝|BE →|＝|EA →|＝752，|DA →|＝75 6.从而|AC →|＝1502，∠CAD ＝30°.∴|v b |＝1502，即没有风时飞机的航速为150 2 km/h ，方向为北偏西60°.课堂归纳小结1．本节课的重点是向量在平面几何中的应用，难点是向量在物理中的应用． 2．要掌握平面向量的应用(1)向量在平面几何中的应用，见典例1、2； (2)向量在物理中的应用，见典例3、4.3．选用合适的基底或建立合适的坐标系会使问题解决起来更简单，更不易出错.1．在四边形ABCD 中，若AD →＋CB →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形D ．菱形[解析] ∵AD →＋CB →＝0，∴AD →＝BC →.∴四边形ABCD 为平行四边形． ∵AC →·BD →＝0，∴AC →⊥BD →，即四边形的对角线互相垂直故四边形ABCD 为菱形 [答案] D2．设△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] ∵BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB → ∴|BD →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AB →·AC →＋AB →2 即5＝14AC →2－5＋9 ∴14AC →2＝1 ∴|AC →|＝2.[答案] B3．已知四边形ABCD 各顶点坐标是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－73，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－2，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形[解析] ∵AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，DC →＝(3,4) ∴AB →＝23DC →，∴AB →∥DC →即AB ∥DC 又∵|AB →|＝4＋649＝103，|DC →|＝9＋16＝5 ∴|AB →|≠|DC →|∴四边形ABCD 为梯形．[答案] A4．用力F 推动一物体G ，使其沿水平方向运动s ，F 与G 的垂直方向的夹角为θ，则F 对物体G 所做的功为( )A．F·s cosθB．F·s sinθC．|F||s|cosθD．|F||s|sinθ[解析] 如图所示，由做功公式可得：W＝|F|·|s|sinθ，故选D.[答案] D5．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A．10 m/s B．226 m/sC．4 6 m/s D．12 m/s[解析] 由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如右图．∴小船在静水中的速度大小|v|＝102＋22＝104＝226(m/s)．[答案] B。

人教A版高中数学必修四-2.5《平面向量应用举例》教案复习过程

人教A版高中数学必修四-2.5《平面向量应用举例》教案2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。

五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA u u u r +OB u u u r +OC u u u r =0r（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC u u u r =12AB u u u v ,且|AD u u u v |=|BC u u u v |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

高一数学人教A版必修四教案：2.5 平面向量的应用 Word版含答案

2.5 平面向量应用举例一、教学分析1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等.前三种方法都是中学数学中出现的内容.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.二、教学目标1．知识与技能：通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2．过程与方法：明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.3．情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.四、教学设想（一）导入新课思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.图2证明:方法一:如图2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于ACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).图3方法二:如图3.以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)= 2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系DB =AB -AD ,=AB +AD ,教师可点拨学生设AB =a ,AD =b ,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与|DB |2.因此有了方法三.方法三:设AB =a ,AD =b ,则=a +b ,DB =a -b ,|AB |2=|a |2,|AD |2=|b |2.∴|AC |2=AC ·AC =(a +b )·(a +b )=a ·a +a ·b +b ·a +b ·b =|a |2+2a ·b +|b |2.① 同理||2=|a |2-2a ·b +|b |2.② 观察①②两式的特点,我们发现,①+②得||2+|DB |2=2(|a |2+|b |2)=2(|AB |2+|AD |2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.③至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 讨论结果:①能.②能想出至少三种证明方法. ③略.（三）应用示例图4例1 如图4,ABCD 中,点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点,BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点,你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗?活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR 、RT 、TC 的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发现,AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R 、T 是对角线AC 上的两点,要判断AR 、RT 、TC 之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断、、AT 、与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.解:如图4,设AB =a ,AD =b ,AR =r ,AT =t ,则=a +b . 由于AR 与共线,所以我们设r =n(a +b ),n ∈R . 又因为=-=a -21b , 与共线,所以我们设=m =m(a -21b ). 因为ER AE AR +=,所以r =21b +m(a -21b ). 因此n(a +b )=21b +m(a -b ),即(n-m)a +(n+21-m )b =0.由于向量a 、b 不共线,要使上式为0,必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n 解得n=m=31. 所以AR =31,同理TC =31AC .于是=31AC .所以AR=RT=TC.点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤. 变式训练图5如图5,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点. 证明:设BE 、CF 相交于H,并设AB =b ,=c ,AH =h , 则=h -b ,CH =h -c ,BC =c -b .因为⊥AC ,CH ⊥, 所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b . 化简得h ·(c -b )=0. 所以⊥BC .所以AH 与AD 共线,即AD 、BE 、CF 相交于一点H.图6例2 如图6,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值. 活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图6所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(0,a),BA =(c,a),=(c,0),=(2c,0).因为BB′、CC′都是中线,所以'BB =21(+)=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ), 同理'CC =(2,23ac ).因为BB′⊥CC′,所以22449a c +-=0,a 2=9c 2.所以54299||||2222222=+-=+-=c c c c ca c a AC AB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达融会贯通,灵活运用之功效.变式训练图7(2004湖北高考) 如图7,在Rt △ABC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:与的夹角θ取何值时,∙的值最大?并求出这个最大值. 解:方法一,如图7.∵AB ⊥,∴AB ·=0.∵-=-=-=,,, ∴)()(-∙-=∙ =AC AB AQ AB AC AP AQ AP ∙+∙-∙-∙ =-a 2-+·=-a 2+·(-) =-a 2+21PQ ·=-a 2+a 2cosθ. 故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,∙最大,其最大值为0.图8方法二:如图8.以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).∴=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y).∴∙=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵2a bycx-=∴cx-by=a2cosθ.∴CQBP∙=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0,PQ与BC的方向相同时, CQBP∙最大,其最大值为0.（四）知能训练图91.如图9,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.求证:∠ABC=90°.证明:如图9.设=a,=b,则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.因为AB·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以AB⊥.由此,得∠ABC=90°.点评:充分利用圆的特性,设出向量.2.D、E、F分别是△ABC的三条边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C 出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动.当t=1时,分别到达B、C、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t1,△DEF的重心不变.图10证明:如图10.建立如图所示的平面直角坐标系,设A 、B 、C 坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).在任一时刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得△DEF 的重心坐标为(3,3mm a +).当t=0或t=1时,△ABC 的重心也为(3,3mm a +),故对任一t 1∈[0,1],△DEF 的重心不变. 点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC 的重心和时刻t 1的△DEF 的重心相同即可.（五）课堂小结1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.（六）作业。

高一数学人教A版必修四教案：平面向量的应用

2.5 平面向量應用舉例一、教學分析1.本節的目的是讓學生加深對向量的認識,更好地體會向量這個工具的優越性.對於向量方法,就思路而言,幾何中的向量方法完全與幾何中的代數方法一致,不同的只是用“向量和向量運算”來代替“數和數的運算”.這就是把點、線、面等幾何要素直接歸結為向量,對這些向量借助於它們之間的運算進行討論,然後把這些計算結果翻譯成關於點、線、面的相應結果.代數方法的流程圖可以簡單地表述為:則向量方法的流程圖可以簡單地表述為:這就是本節給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”,也是本節的重點.2.研究幾何可以採取不同的方法,這些方法包括:綜合方法——不使用其他工具,對幾何元素及其關係直接進行討論;解析方法——以數(代數式)和數(代數式)的運算為工具,對幾何元素及其關係進行討論;向量方法——以向量和向量的運算為工具,對幾何元素及其關係進行討論;分析方法——以微積分為工具,對幾何元素及其關係進行討論,等等.前三種方法都是中學數學中出現的內容.有些平面幾何問題,利用向量方法求解比較容易.使用向量方法要點在於用向量表示線段或點,根據點與線之間的關係,建立向量等式,再根據向量的線性相關與無關的性質,得出向量的係數應滿足的方程組,求出方程組的解,從而解決問題.使用向量方法時,要注意向量起點的選取,選取得當可使計算過程大大簡化.二、教學目標1．知識與技能：通過平行四邊形這個幾何模型,歸納總結出用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.2．過程與方法：明瞭平面幾何圖形中的有關性質,如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運算及數量積表示.3．情感態度與價值觀：通過本節學習,讓學生深刻理解向量在處理有關平面幾何問題中的優越性,活躍學生的思維,發展學生的創新意識,激發學生的學習積極性,並體會向量在幾何和現實生活中的意義.教學中要求儘量引導學生使用資訊技術這個現代化手段.三、重點難點教學重點:用向量方法解決實際問題的基本方法;向量法解決幾何問題的“三步曲”.教學難點:如何將幾何等實際問題化歸為向量問題.四、教學設想（一）導入新課思路 1.(直接導入)向量的概念和運算都有著明確的物理背景和幾何背景,當向量和平面坐標系結合後,向量的運算就完全可以轉化為代數運算.這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方便.本節專門研究平面幾何中的向量方法.思路2.(情境導入)由於向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質,如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數量積表示出來,因此,可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.下麵通過幾個具體實例,說明向量方法在平面幾何中的運用.（二）推進新課、新知探究、提出問題圖1①平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,如圖1,你能觀察、發現並猜想出平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什麼關係嗎？②你能利用所學知識證明你的猜想嗎？能利用所學的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法?③你能總結一下利用平面向量解決平面幾何問題的基本思路嗎？活動:①教師引導學生猜想平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什麼關係.利用類比的思想方法,猜想平行四邊形有沒有相似關係.指導學生猜想出結論:平行四邊形兩條對角線的平方和等於四條邊的平方和.②教師引導學生探究證明方法,並點撥學生對各種方法分析比較,平行四邊形是學生熟悉的重要的幾何圖形,在平面幾何的學習中,學生得到了它的許多性質,有些性質的得出比較麻煩,有些性質的得出比較簡單.讓學生體會研究幾何可以採取不同的方法,這些方法包括綜合方法、解析方法、向量方法.圖2證明:方法一:如圖2.作CE⊥AB於E,DF⊥AB於F,則Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由於ACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).圖3方法二:如圖3.以AB所在直線為x軸,A為座標原點建立直角坐標系.設B(a,0),D(b,c),則C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)= 2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推導了平行四邊形的兩條對角線與兩條鄰邊之間的關係.在用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時,常常考慮用向量的數量積.通過以下推導學生可以發現,由於向量能夠運算,因此它在解決某些幾何問題時具有優越性,它把一個思辨過程變成了一個演算法過程,學生可按一定的程式進行運算操作,從而降低了思考問題的難度,同時也為電腦技術的運用提供了方便.教學時應引導學生體會向量帶來的優越性.因為平行四邊形對角線平行且相等,考慮到向量關係DB =AB -AD ,AC =AB +AD ,教師可點撥學生設AB =a ,AD =b ,其他線段對應向量用它們表示,涉及長度問題常常考慮向量的數量積,為此,我們計算|AC |2與|DB |2.因此有了方法三.方法三:設AB =a ,AD =b ,則AC =a +b ,DB =a -b ,|AB |2=|a |2,|AD |2=|b |2.∴|AC |2=AC ·AC =(a +b )·(a +b )=a ·a +a ·b +b ·a +b ·b =|a |2+2a ·b +|b |2.① 同理|DB |2=|a |2-2a ·b +|b |2.② 觀察①②兩式的特點,我們發現,①+②得|AC |2+|DB |2=2(|a |2+|b |2)=2(|AB |2+|AD |2),即平行四邊形兩條對角線的平方和等於兩條鄰邊平方和的兩倍.③至此,為解決重點問題所作的鋪墊已經完成,向前發展可以說水到渠成.教師充分讓學生對以上各種方法進行分析比較,討論認清向量方法的優越性,適時引導學生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟.由於平面幾何經常涉及距離(線段長度)、夾角問題,而平面向量的運算,特別是數量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角,因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題.解決幾何問題時,先用向量表示相應的點、線段、夾角等幾何元素.然後通過向量的運算,特別是數量積來研究點、線段等元素之間的關係.最後再把運算結果“翻譯”成幾何關係,得到幾何問題的結論.這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”,即(1)建立平面幾何與向量的聯繫,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題;(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關係,如距離、夾角等問題; (3)把運算結果“翻譯”成幾何關係. 討論結果:①能.②能想出至少三種證明方法. ③略.（三）應用示例圖4例1 如圖4,ABCD 中,點E 、F 分別是AD 、DC 邊的中點,BE 、BF 分別與AC 交於R 、T 兩點,你能發現AR 、RT 、TC 之間的關係嗎?活動:為了培養學生的觀察、發現、猜想能力,讓學生能動態地發現圖形中AR 、RT 、TC 之間的相等關係,教學中可以充分利用多媒體,作出上述圖形,測量AR 、RT 、TC 的長度,讓學生發現AR=RT=TC,拖動平行四邊形的頂點,動態觀察發現,AR=RT=TC 這個規律不變,因此猜想AR=RT=TC.事實上,由於R 、T 是對角線AC 上的兩點,要判斷AR 、RT 、TC 之間的關係,只需分別判斷AR 、RT 、TC 與AC 的關係即可.又因為AR 、RT 、TC 、AC 共線,所以只需判斷、、AT AR 、AD與AC 之間的關係即可.探究過程對照用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”很容易地可得到結論.第一步,建立平面幾何與向量的聯繫,用向量表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題;第二步,通過向量運算,研究幾何元素之間的關係;第三步,把運算結果“翻譯”成幾何關係:AR=RT=TC.解:如圖4,設AB =a ,AD =b ,AR =r ,AT =t ,則AC =a +b . 由於AR 與AC 共線,所以我們設r =n(a +b ),n ∈R . 又因為EB =AB -AE =a -21b , ER 與EB 共線,所以我們設ER =m EB =m(a -21b ). 因為ER AE AR +=,所以r =21b +m(a -21b ). 因此n(a +b )=21b +m(a -b ),即(n-m)a +(n+21-m )b =0.由於向量a 、b 不共線,要使上式為0,必須⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n 解得n=m=31. 所以AR =31AC ,同理TC =31AC .於是RT =31AC .所以AR=RT=TC.點評:教材中本例重在說明是如何利用向量的辦法找出這個相等關係的,因此在書寫時可簡化一些程式.指導學生在今後的訓練中,不必列出三個步驟. 變式訓練圖5如圖5,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三條高.求證:AD 、BE 、CF 相交於一點. 證明:設BE 、CF 相交於H,並設AB =b ,AC =c ,AH =h , 則BH =h -b ,CH =h -c ,BC =c -b .因為BH ⊥AC ,CH ⊥AB , 所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b . 化簡得h ·(c -b )=0. 所以AH ⊥BC .所以AH 與AD 共線,即AD 、BE 、CF 相交於一點H.圖6例2 如圖6,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是兩腰上的中線,且BB′⊥CC′,求頂角A 的余弦值. 活動:教師可引導學生思考探究,上例利用向量的幾何法簡捷地解決了平面幾何問題.可否利用向量的座標運算呢？這需要建立平面直角坐標系,找出所需點的座標.如果能比較方便地建立起平面直角坐標系,如本例中圖形,很方便建立平面直角坐標系,且圖形中的各個點的座標也容易寫出,是否利用向量的座標運算能更快捷地解決問題呢？教師引導學生建系、找點的座標,然後讓學生獨立完成.解:建立如圖6所示的平面直角坐標系,取A(0,a),C(c,0),則B(-c,0),OA =(0,a),BA =(c,a),OC =(c,0),BC =(2c,0).因為BB′、CC′都是中線,所以'BB =21(BC +BA )=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ), 同理'CC =(2,23ac ).因為BB′⊥CC′,所以22449a c +-=0,a 2=9c 2.所以cosA=54299||||2222222=+-=+-=•c c c c ca c a AC AB ACAB . 點評:比較是最好的學習方法.本例利用的方法與例題1有所不同,但其本質是一致的,教學中引導學生仔細體會這一點,比較兩例的異同,找出其內在的聯繫,以達融會貫通,靈活運用之功效.變式訓練圖7(2004湖北高考) 如圖7,在Rt △ABC 中,已知BC=a.若長為2a 的線段PQ 以點A 為中點,問:BC PQ 与的夾角θ取何值時,CQ BP •的值最大?並求出這個最大值. 解:方法一,如圖7.∵AB ⊥AC ,∴AB ·AC =0.∵AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -=-=-=,,, ∴)()(AC AQ AB AP CQ BP -•-=• =AC AB AQ AB AC AP AQ AP •+•-•-• =-a 2-AP AC +AB ·AP =-a 2+AP ·(AB -AC ) =-a 2+21PQ ·BC =-a 2+a 2cosθ. 故當cosθ=1,即θ=0,PQ 與BC 的方向相同時,CQ BP •最大,其最大值為0.圖8方法二:如圖8.以直角頂點A 為座標原點,兩直角邊所在的直線為坐標軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.設|AB|=c,|AC|=b,則A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.設點P 的座標為(x,y), 則Q(-x,-y).∴BP =(x-c,y),CQ =(-x,-y-b),BC =(-c,b),PQ =(-2x,-2y). ∴CQ BP •=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x 2+y 2)+cx-by. ∵cosθ=2||||abycx BC PQ BC PQ -=• ∴cx-by=a 2cosθ. ∴CQ BP •=-a 2+a 2cosθ.故當cosθ=1,即θ=0,PQ 與BC 的方向相同時, CQ BP •最大,其最大值為0.（四）知能訓練圖91.如圖9,已知AC 為⊙O 的一條直徑,∠ABC 是圓周角. 求證:∠ABC=90°.證明:如圖9.設AO =a ,OB =b ,則AB =a +b ,OC =a ,BC =a -b ,|a |=|b |. 因為AB ·BC =(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=0, 所以AB ⊥BC .由此,得∠ABC=90°.點評:充分利用圓的特性,設出向量.2.D 、E 、F 分別是△ABC 的三條邊AB 、BC 、CA 上的動點,且它們在初始時刻分別從A 、B 、C 出發,各以一定速度沿各邊向B 、C 、A 移動.當t=1時,分別到達B 、C 、A.求證:在0≤t≤1的任一時刻t 1,△DEF 的重心不變.圖10證明:如圖10.建立如圖所示的平面直角坐標系,設A 、B 、C 座標分別為(0,0),(a,0),(m,n).在任一時刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距離之比等於時間之比,有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分點的座標公式可得D 、E 、F 的座標分別為(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心座標公式可得△DEF 的重心座標為(3,3mm a +).當t=0或t=1時,△ABC 的重心也為(3,3mm a +),故對任一t 1∈[0,1],△DEF 的重心不變. 點評:主要考查定比分點公式及建立平面直角坐標系,只要證△ABC 的重心和時刻t 1的△DEF 的重心相同即可.（五）課堂小結1.由學生歸納總結本節學習的數學知識有哪些:平行四邊形向量加、減法的幾何模型,用向量方法解決平面幾何問題的步驟,即“三步曲”.特別是這“三步曲”,要提醒學生理解領悟它的實質,達到熟練掌握的程度.2.本節都學習了哪些數學方法:向量法,向量法與幾何法、解析法的比較,將平面幾何問題轉化為向量問題的化歸的思想方法,深切體會向量的工具性這一特點.（六）作業。

【新导学案】高中数学人教版必修四：25《平面向量应用举例》.doc

2.5《平面向量应用举例》导学案【学习目标】1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析儿何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.【学法指导】预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具•，建立实际问题与向量的联系。

【知识链接】阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的儿何问题、物理问题。

另外，在思考一下儿个问题：例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？例3中，⑴&为何值时，最小，最小值是多少？⑵尺|能等于|G|吗？为什么？提出疑惑疑惑点疑惑内容【学习过程】探究•一：（ 1 ）向量运算与几何中的结论”若a = b，贝叽方冃引，且方Z所在直线平行或重合”相类比，你有什么体会？（2 ）举岀几个具有线性运算的几何实例.例1.证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 己知：平行四边形ABCD.求证：AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2.试用儿何方法解决这个问题利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1）建立平面儿何与向量的联系，（2）通过向量运算，研究儿何元素Z间的关系，（3）把运算结•果“翻译”成儿何关系。

变式训练：\ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点0,设AB = a, AC = b.（1）证明A、0、E三点共线；(2) ffl a.b.表示向量AO。

例2,如图，平行四边形ABCD'I',点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、：T两点，你能发现AR、RT、7T之间的关系吗?探究二：两个人提一个旅行包，夹和越大越费力•在单杠上做引体向上运动，两臂夹和越小•越省力. 这些力的问题是怎么回事？例3.在日常生活中，你是否冇这样的经验：两个人共提-个旅行包，夹角越大/ :解释这种现象吗?'鸞巴软吁作引体向上运动’两臂的夹角越小越省力•你能从数学的角度F请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题:(1)0为何值吋，丨只丨最小，最小值是多少？⑵1尺|能等于|G|吗？为什么?例4如图，一•条河的两岸平行，河的宽度d二500/7/, 一艘船从A 处出发到河对岸.己知船的速度|p,|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1 min)?变式训练：两个粒子A、B从同一源发射岀来，在某一时刻，它们的位移分别为» =(4,3),» =(2,10) ,(1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s; (2)计算s在》方向上的投影。

高中数学人教A版必修4教案-2.5_平面向量应用举例_教学设计_教案

教学准备
1. 教学目标
向量的应用
2. 教学重点/难点
向量的应用
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一. 内容归纳
1. 知识精讲: 掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题.
2. 重点难点: 向量的性质及相关知识的综合应用.
3. 思维方式: 能换一个角度看问题，善于应用向量的有关性质解题.
4. 特别注意: 向量性质的应用要准确无误，不能想当然.
思维点拔]正确熟练地应用向量的运算性质，同时要善于运用其他数学知识解题.
例5．一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从A处出发航行到河
的正对岸B处，船的航行
[思维点拔] 理解物理意义，用向量的知识解决.。

人教A版高中数学必修4《二章平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》优质课教案_6

让学生回顾物理概念，了解向量在物理中应用
学生：在练习本上画出图形
老师：检查练习情况，了解学生对物理概念的掌握情况
（2）两个学生公共提一个包，改变手臂的夹角，有何感觉？
让学生体验物理现象，感受过程，提高学生学习的兴趣
学生：学生代表每两个提一个包，改变夹角，体验用力情况。
老师：指导学生感受过程。
（3）两个同学分别做ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ体向上，改变手臂的夹角，有何感受？
老师：小结数学模型
（6）p124探究：为何值时，最小，最小是多大？同学们相互讨论。
培养学生提壶问题，提高探究能力，大胆猜测，自由发挥
学生1：……
学生2：……
学生3：……
(7) 能等于吗？为什么？
培养学生的向量运算能力，培养发散思维
学生1：……
学生2：……
老师：点评
（8）对本节课的探究有不同的意见吗？
让学生亲自体验拉力与夹角有关
学生：各自说说自己的感受。
学生：说说为什么
老师：点评理由
（4）例3中 ?
掌握向量加法的平行四边形法则及三角函数的定义
学生：作出两个力的合力
学生：作出直角三角形
老师：点评学生结论
(5)当逐渐变大时，如何变化？
考察学生三角函数的单调性情况，尝试构建数学模型
学生：回答问题，构建数学模型
（2）讲物理问题转化为向量问题；
（3）通过向量运算解决物理问题。
2.过程与方法
(1)体验物理现象；
（2）合作研究，构建数学模型。
3.情感态度与价值观
（1）通过学生个人体验、合作交流。感受物理现象，培养学生勇于探索、善于法现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

人教A版高中数学必修四 2.5《平面向量应用举例》导学案

2.5《平面向量应用举例》导学案【学习目标】1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

【导入新课】回顾提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0。

（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

新授课阶段探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b = ，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平移），DB AB AD a b =-=- ，222||AD b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。

通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果“翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用。

例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++．分析：证明：用向量方法解决平面几何问题，主要有下面三个步骤：⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ⑶把运算结果“翻译”成几何关系．变式训练：ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b == （1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,a b表示向量AO 。

专题2.5平面向量的应用举例-2018-2019学年高一数学人教A版必修四导学案Word版含解析

我的基本思路：解决本题首先通过建立坐标系，表示出点的坐标，，转化为向量的数量积问题，我的感悟点评：20OA =，OB =b b ，∴时，这是错误的，因为原式左右均为实数b a =是向量等式150,73080-=-+=b b a a b b两式相减得22=a b b ，代入其中任一式得.22|||||=bb b b 积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题5（1＝0，由于力|F |减少其34，F 1，F 2不变，所以合力为F合＝－34F ，物体的加速度为a ＝1m F 合＝－34mF ，在时间t内的位移为s ＝12a t 2＝－38mF t 2，选D.3.D 解析：由题可知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．4.D 解析：由向量的平行四边形法则及力的分解可得5.A 解析：设P (x ，y )是所求直线上任一点(A 除外)，则 AP →⊥a .又∵AP →＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即所求的直线方程为2x ＋y －7＝0.6.B 解析：∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0. ∴OB →·CA →＝0，即OB →⊥CA →.同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →.∴O 是△ABC 的垂心．7. 63解析：|F 1|＝|F |·cos30°＝12×32＝63(N)．8.答案：7解析：|F 1＋F 2|＝F 1＋F 22＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝52＋32＋2×5×3cos60°＝7. ∴F 1＋F 2的大小为7.9.证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，且|a |＝|b |，则AE →＝12a .AD →＝b ，又DE →＝12AB →－AD →＝12a －b ，AF →＝AB →＋12BC →＝a ＋12b ，。

高中数学 2.5 平面向量应用举例目标导学新人教A版必

人教A版数学必修四导学案：2.5平面向量的应用

6、已知向量，，满足条件 + + = ，且| |=| |=| |=1，
求证：为正三角形。
7、以原点和为两个顶点作等腰直角三角形，使得，求点和向量的坐标。
8、设为原点，点在以为端点的线段上，求的最大值和最小值。
课题:2.5平面向量的应用
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
3、能用向量的知识解决有关实际问题；
4、能用向量知识解决相关的物理问题。
【课前预习】
1、已知 (1，2)， (4，3)， (2，4)，则| |=， · =。
=；若四边形为平行四边形，则点坐标为。
2、与 = 同向，且 · =10，则 =；若 =（2，－1），
则 · · =。
3、若| |=1，| |= ，则：（1）若 ∥ ，则 · =；
则 · · =。
3、若| |=1，| |= ，则：（1）若 ∥ ，则 · =；
（2）若与的夹角为60°，则| + |=，| － |=。
（3）若－与垂直，则与的夹角为。
4、一条向正东方流淌的河，河水流速为3m/s，若一条小船为 m/s的速度向正北方向航行，求该船的实际航速和航向。
【课堂研讨】
【学后反思】
课题:2.5平面向量的应用检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、在中，的长分别为，
试用向量的方法证明：。
2、已知 (2，－1)， (3，2)， (－3，－1)，边上的高为，求向量。
【课后巩固】
1、当太阳光线与地面成角时(0°< <90°)，长为l的木棍在地面上的影子最长为
课题:2.5平面向量的应用
班级：姓名：学号：第学习小组

人教A版高中数学必修4《二章平面向量 2.5 平面向量应用举例向量的运算与图形性质》优质课教案_0

课题：平面向量的数量积及其应用班级：姓名：学号：一.学习目标1.理解平面向量的数量积及向量投影的含义；2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运动数量积表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系；3.掌握必要的数学思想与方法，能运用它们解决向量问题。

二.学习重点与难点重点：平面向量数量积及其应用。

难点：向量问题的两种处理方式：纯向量式和坐标式的灵活运用和相互补充。

三.知识点回顾1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则∈θ .(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b ；若θ＝180°，则a 与b ；θ＝90°，则a 与b .2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2) 坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝ (3)投影：方向上的投影为：在方向上的投影为：在b a ,3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝ (交换律)．(2)λa ·b ＝＝ (结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝ (分配律). 4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.四. 典例研讨考点一平面向量数量积的运算[例1] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12 C.32 D.52（2）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ·CD ＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2练习：1．已知AB ＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A ．－322B ．－3 5 C.322 D ．352．在边长为1的等边△ABC 中，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32 D ．33. 如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ＝4AC ，则OC ·(OB －OA )＝________.考点二平面向量的垂直问题[例2] (1) 已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152(2)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC考点三平面向量模的相关问题[例3] (1) (2016·兰州一模)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10(2) (2017·衡水模拟)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( )A ．2B ．6C ．2 3D ．12考点四平面向量的夹角问题[例4] (1) 已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°(2) (2017·湖北八校联考)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )∥b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( )A.55B.15C ．－55D ．－15练习： (1) 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝ .（2）向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π五. 学习心得（小结）六、教学后记（反思）1、要重视审题训练，发挥典型例题的作用，要继续研究复习课功能及特点;2、解题后注重反思，课堂氛围还可以更活跃。

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2.5 平面向量应用举例
问题导学
一、向量在平面几何中的应用
活动与探究1
如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2=DB2－DC2．
求证：AD⊥BC．
迁移与应用
如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．
二、向量在物理中的应用
活动与探究2
在风速为75(6－2)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
迁移与应用
如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．
求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，角θ的取值范围．
向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题．同时该类题目往往涉及三角形问题，能够正确作图是解决问题的关键．
当堂检测
1．若向量1OF ＝(2,2)，2OF ＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )
A ．(0,5)
B ．(4，－1)
C ．2 2
D ．5
2．在四边形ABCD 中，若AB ＋CD ＝0，AC ·BD ＝0，则四边形为( )
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．等腰梯形
D ．菱形
3．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A (4,6)处移动到点B (7,12)处，其所用时间长短为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
4．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，则BA ·BC ＝__________．
5．已知力F ＝(2,3)作用于一物体，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则力F 对物体所做的功为________．
课前预习导学
【预习导引】
1．向量
2．加
3．向量向量问题数量积
预习交流提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．
证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ，DB ＝c ，DC ＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ．
∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2．
由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，
∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0．
∵BC ＝BD ＋DC ＝d －c ， ∴AD ·BC ＝e ·(d －c )＝0．
∴AD ⊥BC ，即AD ⊥BC ．
迁移与应用证明：以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系．令|AD |=1，则|DC |=1，|AB |=2．
∵CE ⊥AB，而AD =DC ，
∴四边形AECD 为正方形．
∴可求得各点坐标分别为：E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)，A (－1,0)．
(1)∵ED =(－1,1)－(0,0)=(－1,1)， BC =(0,1)－(1,0)=(－1,1)，
∴ED =BC ，
∴ED ∥BC ，即DE ∥BC ．
(2)连接MB ，MD ，∵M 为EC 的中点，
∴M 10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， ∴MD =(－1,1)－10,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭=11,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭， MB =(1,0)－10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭=11,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭． ∴MD =－MB ，∴MD ∥MB ．又MD 与MB 有公共点M ，
∴D ，M ，B 三点共线．
活动与探究2 思路分析：解本题首先根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．
解：设ω=风速，v a =有风时飞机的航行速度，νb =无风时飞机的航行速度，νb =νa －ω．如图所示．
设|AB |=|νa |，|CB |=|ω|，|AC |=|νb |，
作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ，
则∠BAD =45°．
设|AB |=150，则|CB |=2)．
∴|CD |=|BE |=|EA |=，|DA |=
从而|AC |=CAD =30°．
∴|νb |=，方向为北偏西60°．迁移与应用解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得G =F 1+F 2，|F 1|=
cos θG ，|F 2|=|G |tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大．
(2)令|F 1|=cos
G ，由|F 1|≤2|G |得 cos θ≥12．又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°．
【当堂检测】
1．D 解析：|F 1＋F 2|＝|1OF ＋2OF |
＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5．
2．D 解析：∵AB ∥CD ，|AB |＝|CD |，且AC ⊥BD ，故四边形为菱形．
3．B 解析：|ν|＝12＋22＝5，
又|AB |＝(7－4)2＋(12－6)2＝45，
∴时间t ＝455＝3． 4．16 解析：由∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，知△ABC 是等腰直角三角形， ∴BA ＝42，∠ABC ＝45°，
∴BA ·BC ＝42×4×cos 45°＝16．
5．1 解析：W ＝F·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝。