14.2.3因式分解完全平方公式
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.2.2完全平方公式(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时， 老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个 孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，… （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩
子多少块糖？ a2
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
(2)(-a2+b3)2 【解析】原式= (b3-a2)2
=b6-2 a2 b3+a4 ∵(a-b)2 =(b-a)2 ∴(-a2 +b3)2 = (a2 -b3)2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例2】运用完全平方公式计算:
(1) 1022;
(2) 992.
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(4)(-2m-1)2 =4m2+4m+1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（日照·中考）由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得a+b)(a2－ ab+b2）=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即（a+b)(a2－ab+b2） =a3+b3 ①.我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( ) （A）（x+4y)(x2－4xy+16y2）=x3+64y3 （B）（2x+y)(4x2－2xy+y2）=8x3+y3 （C）（a+1)(a2＋a+1）=a3+1 （D） x3+27=（x+3)(x2－3x+9） 【解析选】C.根据乘法的立方公式（a+b）（a2－ab+b2）
人教版八年级数学上册第十四章 14.2.2完全平方公式3
知识要点
知识点一：去括号、添括号的法则 (1)去括号法则 括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项
不改变符号 ； 括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里的各项都
改变符号 ．
(2)添括号法则 所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都 不改变符号 ； 所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都 改变符号 ． (3)添括号与去括号是互逆的，可以相互进行检验添括号或去 括号的正确性.
14.1.1 同底数幂的乘法
14.2.2 完全平方公式
知识点1 完全平方公式的几何意义
知识点2 完全平方公式的运用
知识点3 添括号法则及其运用
1.下列计算正确的是( C )
A.(x＋y)2＝x2＋y2
B.(x－y)2＝x2－2xy－y2
C.(x＋1)(x－1)＝x2－1
D.(x－1)2＝x2－1
解：原式＝[a＋(b－2)][a－(b－2)] ＝a2－b2＋4b－4. 小结：能把－b＋2 改写成－(b－2)是关键.
10.运用乘法公式计算：(2x＋y＋z)(2x－y－z)． 解：原式＝[2x＋(y＋z)][2x－(y＋z)] ＝(2x)2－(y＋z)2 ＝4x2－(y2＋2yz＋z2) ＝4x2－y2－2yz－z2.
小结：用去括号法则可以检验添括号后是否正确.
变式练习
9.在括号里填上适当的项： (1)a＋2b－c＝a＋( 2b－c )； (2)a－b－c＋d＝a－( b＋c－d )； (3)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋( b－c
)][a－(
b－c )]．
6.【例 2】运用乘法公式计算：(a＋b－2)(a－b＋2)．
2.计算(－a－b)2的结果是( C )
第十四章 14.2 14.2.2 完全平方公式
解：原式＝(2000＋18)2＝20002＋2×2000×18＋182＝ 4000000＋72000＋324＝4072324.
5. 已知 x＋y＝4，xy＝2，试求： (1)x2＋y2 的值；
解：∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， 又 x＋y＝4，xy＝2，∴x2＋y2＝42－2×2＝16－4＝12；
9. 已知多项式 A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9.
(1)化简多项式 A 时，小明的结果与其他同学的不同， 请你检査．
小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出 现错误的是出错的是①；正确的解答过程为 正确的解
答过程为：A＝x2＋4x＋4＋x－x2－9＝5x－5 ．
(2)小亮说：“只要给出 x2－2x＋1 的合理的值，即可 求出多项式 A 的值．”小明给出 x2－2x＋1 值为 4，请你 求出此时 A 的值．
．
【解析】由题意，①9x2＋1－9x2＝12；②9x2＋1－1 ＝(3x)2；③9x2＋1±6x＝(3x±1)2；④9x2＋1＋841x4＝(92x2＋ 1)2.
7. 计算： (1)(x＋3)(x－3)(x2－9)； 解：原式＝x4－18x2＋81； (2)(a＋2b－c)(a－2b－c)；
解：原式＝a2－2ac＋c2－4b2.
4. 已知 a－b＝2，b－c＝3，则 a2－2ac＋c2＝ 25 ．
5. 若x＋1x2＝9，则x－1x2的值为 5
．
6. (易错题)多项式 9x2＋1 加上一个单项式后，能成为
一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 6x 或
－6x 或841x4 或－9x2 或－1
解：(m＋n)2＝69.
1．完全平方公式的特征：左边是一个二项式的完全 平方，右边是一个二次三项式，其结构是：“首平方，尾 平方，积的 2 倍放中央”．
人教版数学八年级上册课件：14.2.2 完全平方公式
= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体，再按照完全平方公式进行计算.
典例精析
例1 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2；
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n+n2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2 +8mn +n2；
(2)
y
1 2
2
解： y
1 2
2 =
y2
-2•y•
1 2
1
2
b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公-添括号法则教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际计算几个完全平方公式的例子，让学生直观感受公式的作用。
突破方法：引导学生观察表达式中的常数项，是否为某数的平方，然后尝试将中间项分解为两倍的乘积。
(3)难点：在解决实际问题如(2x-3)(2x+3)=4x²-9时，学生可能难以将右侧转换为完全平方形式；
突破方法：通过示例展示如何将4x²-9视为(2x)²-3²，进而应用平方差公式(a²-b²)=(a+b)(a-b)，引导学生理解。
此外，课堂总结环节，学生们对于完全平方公式的掌握程度有了明显的提升，但仍有个别学生在应用时出现错误。针对这一问题，我计划在下一节课中，通过更多的实际例题和练习，帮助他们巩固知识，提高解题能力。
总体来说，今天的课堂氛围较好，学生们对完全平方公式的学习兴趣浓厚。但我也意识到，在今后的教学中，需要更加关注学生的个体差异，采取有针对性的教学方法，帮助他们突破难点，提高学习效果。同时，要加强课堂互动，鼓励学生提问和表达自己的观点，使他们在课堂中真正成为主体，从而提高数学素养和解决问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“完全平方公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
14.2.2《完全平方公式》教案
《完全平方公式》一、教材分析说课内容：《整式的乘除与因式分解》的《完全平方公式》。
教材的地位和作用：完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用，重要的数学方法“配方法”的基础也是依据完全平方公式的。
而且它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起作十分重要的作用。
本节内容共安排两个课时，这次说课是其中第一个课时。
完全平方公式这一教学内容是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，教材从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。
教学目标和要求：由课标要求以及学生的情况我将三维目标定义为以下三点：知识与技能目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算。
过程与方法目标：在学习的过程中使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学建模的思想。
情感与态度目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立自信心。
教学的重点与难点：根据对学生学习过程分析及课标要求我把重点定为：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。
而难点应为完全平方公式的应用以及对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用。
在教学过程中多处留有空白点以供学生独立研究思考。
二、教法与学法（1）多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化，激发学生的兴趣。
（2）教学中逐步设置疑问，引导学生动手、动脑、动口，积极参与知识全过程。
（3）由易到难安排例题、练习，符合八年级学生的认知结构特点。
（4）课堂中，对学生激励为主，表扬为辅，树立其学习的自信心。
三、教学过程教师活动学生活动设计意图一、创设情景，推导公式计算103971、想一想（电脑演示）一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种，（如图所示）（要求学生从不同的角度表示图形的面积）观察动画，学生抢答：⑴、四块实验田的面积分别为：、、、；⑵、两种形式表示实验田的总面积：复习旧知，并以问题引入。
人教版八年级数学上册第十四章 14.2.2完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平 方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
你能将上面发现的规律推导出来吗？
(a+b)2 =a2+ab+ab+b2 =a2+b2+2ab
(a-b)2 =a2-ab-ab+b2 =a2+b2-2ab
其中解x：=1原，式y==2(.2x2-x2+y2)(x2-y2+2y2) =(x2+y2)2 =x4+2x2y2+y4
当x=1，y=2时，原式=1+8+16=25.
课堂小结
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4a=2+b2+2ab .
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
(2)若4x2+mx+9是完全平方式，则 ±12
m=解析：（. 1）∵(x-5)2=x2-10x+25=x2+kx+25， ∴k=-10. （2）∵4x2+mx+9是完全平方式， ∴4x2+mx+9=(2x±3)2，∴m=±12.
2.化简求值：［2x2-(x+y)(x-y)］［(-x-y)(yx)+2y2］，
(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab
即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平 方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这个公 式叫完全平方公式.
思考 你能根据下图中图形的面积说明完全平方公式吗？
14.2.2 第1课时 完全平方公式
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab
(a－b)2＝a2ຫໍສະໝຸດ 2ab＋b2②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2 ③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
总结反思
知识点 完全平方公式 公式：(1)(a＋b)2＝__a_2＋__2a_b_＋_b_2___； (2)(a－b)2＝__a_2－__2a_b_＋_b_2___． 文字表述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们的积的____2____倍．
图14－2－2 (1)大正方形的边长是__a＋__b__，大正方形的面积是 (a＋b)2 ________．
例4 教材补充例题 如图14－2－2，
(2)阴影部分的正方形的边长是____a____，它的面积是 a2
________；另一个小正方形的b 边长是________，它b的2 面积是
________；另外两个小长方形a 的长都是_______b _，宽都是
(2)9.82.
解：(2)9.82 ＝(10－0.2)2 ＝102－2×10×0.2＋0.22 ＝100－4＋0.04 ＝96.04.
【归纳总结】利用完全平方公式计算一些数的平方时，关键是 把底数拆成两数和或两数差的形式．
目标三 理解完全平方公式的几何背景
例4 教材补充例题 如图14－2－2，
例 3 教材例 4 针对训练 计算：
(1)(60610)2；
(2)9.82.
[解析] (1)中 60610可写成 60＋610；(2)中 9.8 可写成 10－0.2.
(1)(60610)2；
解：(1)606102 ＝60＋6102 ＝602＋2×60×610＋6102 ＝3600＋2＋36100 ＝360236100.
人教版数学八年级上册14.2《完全平方公式(2)》名师教案
第十四章整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式第3课时〔陈丽〕一、教学目标〔一〕学习目标1.知道添括号法那么，并能熟练地给一些代数式添括号.2.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式进展计算.〔二〕学习重点理解添括号法那么，进一步熟悉乘法公式的合理运用．〔三〕学习难点在多项式与多项式的乘法中适当添括号到达运用公式的目的．二、教学设计〔一〕课前设计〔1〕阅读类任务：阅读课本完成以下问题添括号法那么：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变为相反数．〔2〕模仿类任务：①a+(b c-+)=a-b+c ②a-( b-c ) = a-b+c③-( a-b )-c= -a+b-c④-( -a-b )+c=a+b+c【设计意图】稳固去括号法那么，为新知铺垫.〔3〕探索归纳类任务：计算以下各式.①a b c a-+=-( )++=+〔〕②a b c a③a b c---=-〔〕-c④a b c--+=-( )+c【设计意图】通过简单的添括号运算，同时稳固去括号法那么.〔1〕在括号内填上适当的项①x y z x+-=-〔〕②a b c d-+-=-〔〕-d【知识点】添括号法那么【思路点拨】添括号时，括号前面是正号，括到括号里面的各项都不变号，括号前面是负号，括到里面的每一项都要都要变成相反的符号，用去括号的逆运算验证.【解题过程】【答案】①y z -+ ②()a b c --+-〔2〕以下去括号和添括号的变形中，错误的选项是〔 〕A.()a b c a b c --=-+B.()a b c a b c --=-+C. ()()11a b c b c a +--+=-+-+D. ()a b c d a b d c -+-=-+-【知识点】添括号、去括号法那么【思路点拨】添〔去〕括号时，括号前面是正号，括号里〔外〕的各项都不变号，括号前面是负号，括号里〔外〕面的每一项都要都要变成相反的符号.【解题过程】()()11a b c b c a +--+=+-+【答案】C〔3〕将()1a b -+- ()1a b ++ 化为()()m n m n +- 的形式为( )A.()()11b a b a ++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦B. ()()11b a b a ++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦C.()()11b a b a ++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D. ()()11b a b a ++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【知识点】添括号法那么在公式中的运用【思路点拨】识别一样项和相反项，通过添括号把一样项和相反项分别结合即可【解题过程】()1a b -+- ()1a b ++=()()11b a b a ++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【答案】 B(二)课堂设计〔1〕多项式与多项式相乘，就是用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；〔2〕两数和乘以两数差等于两数的平方差；〔3〕两数和〔差〕的平方等于两数的平方和再加上〔减去〕两数乘积的2倍探究一 添括号法那么●活动1 回忆旧知问题1 前面我们学习了整式的运算，其中整式的运算中去括号的法那么是什么呢？请同学们完成以下运算并回忆去括号法那么．〔1〕4+〔5+2〕〔2〕4-〔5+2〕〔3〕a+〔b+c〕〔4〕a-〔b-c〕解：〔1〕4+〔5+2〕=4+5+2=11〔2〕4-〔5+2〕=4-5-2=-3或：4-〔5+2〕=4-7=-3〔3〕a+〔b+c〕=a+b+c〔4〕a-〔b-c〕=a-b+c去括号法那么：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号．也就是说，遇“加〞不变，遇“减〞都变．师生活动：学生计算，师生共同分析结果【设计意图】承前启后，为本节内容的引入作铺垫；让学生在计算过程中进一步稳固去括号法那么，体会去括号与添括号的互逆关系，从一般到特殊；四个算式从数到式，可以为抽象概括出一般的结论奠定根底.●活动2 整合旧知追问1：上述问题中恒等的两个多项式左右两边可以交换位置吗？4+5+2=4+〔5+2〕，a+b+c= a+〔b+c〕追问2：从左到右就从无括号变成了有括号，那添括号的法那么又是什么呢？追问3：你能对发现的规律用语言表述出来吗？师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进展概括，发现添上括号时，括号前面是正号，括号里的各项都不变号，括号前面是负号，括号里面的每一项都要变成相反的符号.【设计意图】让学生经历具体---抽象的过程，体会研究数学问题从具体到抽象的思想方法，体会从特殊到一般的数学思想.探究二添括号法那么在乘法公式中的应用●活动1 添括号法那么在平方差公式中的应用〔1〕〔x+2y-3〕〔x-2y+3〕(2) (2x+y+z) (2x-y-z)问题2 你能把上面的式子表示成()()a b a b +-吗？【设计意图】让学生将式子转化平方差公式，开展学生观察，比拟，归纳的能力；学生转化的过程中，可以加深对公式构造特征的理解，也加深了理解一样项组合和相反项组合的组合原理. ●活动2 理解平方差公式的构造特征上面的式子变形为〔1〕()23x y +-⎡⎤⎣⎦ ()23x y --⎡⎤⎣⎦(2)()2x y z ++⎡⎤⎣⎦ ()2x y z -+⎡⎤⎣⎦问题3 你能说出谁代表公式里的a 和b 吗？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，师引导学生答复分解问题. 追问：你能运用平方差公式进展计算吗？【设计意图】重视公式的构造特征，可以帮助学生识别公式中的一样项和相反项● 活动3 添括号法那么在完全平方公式的应用你能把()21x y --变形成()2a b + 或者()2a b -吗？【设计意图】让学生将式子转化成完全平方公式，开展学生观察，比拟，归纳的能力；学生转化的过程中，可以加深对公式构造特征的理解，也加深了理解a b + 或a b - 不同的组合原理. ● 活动4 深刻理解完全平方公式的构造特征你能说出谁代表公式里的a 和b 吗？探究三 利用乘法和添括号技巧进展计算例1 ()()+a b c c a b +--【知识点】平方差公式，添括号法那么 【解题过程】 ()()+a b c c a b +--= ()b a c +-⎡⎤⎣⎦ ()b a c --⎡⎤⎣⎦=()222222b a c b a ac c --=-+- 【思路点拨】平方差公式的特征：组合成两数和与两数差．【答案】2222b a c ac --+针对练习 把代数式()()22222+5-25a ab b a ab b -++-+写成()()5+5M M - 的形式，求M ．【知识点】平方差公式构造特征，添括号法那么．【解题过程】 ()()22222+5-25a ab b a ab b -++-+=()225+2a ab b ⎡⎤-+⎣⎦ ()2252a ab b ⎡⎤--+⎣⎦【思路点拨】平方差公式的特征：辨析一样项和相反项，组合成两数和与两数差【答案】222a ab b -+例2 计算：()22a b c +-【知识点】完全平方公式，添括号法那么．【解题过程】 ()22a b c +- =()22a b c +-⎡⎤⎣⎦ 或()22a c b -+⎡⎤⎣⎦ 或()22a b c +-⎡⎤⎣⎦ 等，答案为2224442a b c ab ac bc +++--． 【思路点拨】完全平方公式特征：两数和或两数差的平方．【答案】见解题过程针对练习 计算：()223x y --【知识点】完全平方公式，添括号法那么．【解题过程】()223x y -- =()223x y --⎡⎤⎣⎦ 或()223x y --⎡⎤⎣⎦ 或()223x y -+⎡⎤⎣⎦ 等，答案为22496412x y y xy x +++-- 【思路点拨】完全平方公式特征：两数和或两数差的平方【答案】见解题过程3. 课堂总结知识梳理（1）添括号法那么，并能熟练地给一些代数式添括号.添括号法那么：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号〔2〕进一步熟悉平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式进展计算.重难点归纳〔1〕理解添括号法那么，总体原那么，添括号后不改变原式大小.〔2〕在多项式与多项式的乘法中适当添括号到达运用公式的目的．〔3〕三项式的完全平方，等于各项的平方和加上两两相乘的积的2倍，即()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++〔三〕课后作业根底型 自主突破1. 在以下式子中，变形正确的选项是〔 〕A.()2121x y x y --=+-B.21x y --= ()21x y --C.21x y --=()21x y ++D. 21x y --= ()21x y -+【知识点】添括号法那么【思路点拨】运用法那么括号前面是“+〞，括号里面的每一项都不变号，括号前面是“-〞 ，写在括号里面的每一项都要变成相反的符号.【解题过程】A.()2121x y x y --=+-- B.21x y --= ()2+1x y -C. 21x y --=()21x y -+【答案】D2. 以下运算正确的选项是〔 〕A ．〔x +2〕(x －2)=x 2－2 B.(x +3y )(x －3y)=x 2－3y 2C ．()22212221x y x y yx x y +-=++--+ D.(-3a －2)(3a －2)=4－9a 2【知识点】平方差、完全平方公式，添括号法那么【解题过程】A 符合平方差公式的构造特征，但是积应该是两数的平方差，2没有平方 B 同A ，D 添括号后符号没变正确，因此选C ．【思路点拨】ABD 都能运用平方差公式计算，C 运用完全平方公式计算．【答案】C3. 〔－x －y 〕( )=x 2－y 2【知识点】平方差公式【解题过程】〔－x －y 〕(－x +y )=x 2－y 2【思路点拨】多项式的乘法积要得到两项式，不能直接用平方差公式，对式子进展变形，逆用平方差公式【答案】〔－x +y 〕 ()()2211a a +- 的结果是【知识点】平方差公式，积的乘方【解题过程】()()211a a +-⎡⎤⎣⎦ = ()221a - =4212a a +-【思路点拨】积的乘方的逆运算，平方差公式的运用【答案】4212a a +-5.如下图，从边长为a 的大正方形中挖去一个边长是b 的小正方形，小明将图a 中的阴影局部拼成了一个如图b 所示的矩形，这一过程可以验证〔 〕A.a 2+b 2-2ab =〔a -b 〕2B.a 2+b 2+2ab =〔a +b 〕2a 2-3ab +b 2=〔2a -b 〕〔a -b 〕 D.a 2-b 2=〔a +b 〕〔a -b 〕【知识点】完全平方公式【解答过程】D.a 2-b 2=〔a +b 〕〔a -b 〕【思路点拨】等积法【答案】D20a b -= 23c d -= 那么a c b d --+ 的值是〔 〕A ．1 B. 2C ． -3 D. -1【知识点】添括号法那么【解题过程】 a c b d --+=()()20233a b c d ---=-=-【思路点拨】把式子变成的形式，整体代入即可【答案】-3能力型 师生共研7.()2a b c +- 需要变形成〔 〕或〔 〕或〔 〕才能利用完全平方公式计算.【知识点】添括号法那么【解题过程】()2a b c +-=()2a b c +-⎡⎤⎣⎦ =()2a c b -+⎡⎤⎣⎦ =()2a b c +-⎡⎤⎣⎦【思路点拨】添括号有两种要么添“+〞要么添“-〞，再依据法那么进展变形【答案】()2a b c +-⎡⎤⎣⎦ ()2a c b -+⎡⎤⎣⎦ ()2a b c +-⎡⎤⎣⎦ ()2a b c --+⎡⎤⎣⎦ 等 8. 假设()212x -= ，那么代数式215-2x x + 的值为〔 〕 【知识点】完全平方公式，添括号法那么【解题过程】∵()212x -=∴22212,21x x x x -+=-= ∴215-2x x +=()2119525222x x --=-= 【思路点拨】由所得，由问题变形为和的形式，然后整体代入即可. 【答案】92探究型 多维突破9.〔m -n 〕2=144，〔m +n 〕2=400，那么m 2+n 2的值为〔 〕【知识点】完全平方公式【数学思想】方程思想【解题过程】∵〔m +n 〕2=222m mn n ++ ∴〔m -n 〕2=222m mn n -+∵〔m -n 〕2=144，〔m +n 〕2=400∴()222m n + =544，∴m 2+n 2=272．【思路点拨】完全平方和与完全平方差的转换【答案】27210. 假设x 2+y 2=12，且x +y =6，求xy 的值．【知识点】完全平方公式【数学思想】方程思想【解题过程】∵ x +y =6,()236x y +=∴()2x y +=222x y xy ++ =36∴xy =12【思路点拨】完全平方的构造特征【答案】12自助餐1.不改变代数式的值，把25x x xy y -+- 的二次项放在前面带有“+〞的括号里，把一次项放在带有“-〞的括号里，正确的选项是〔 〕A ．()()2+5x xy x y +-- B.()()2+5x xy x y ---- C.()()2+5x xy y x ----D.()()2+5x xy y x -+--【知识点】添括号法那么【思路点拨】在不改变原式大小的前提下运用添括号法那么【答案】 D2. 23212mn n mn -+=- 〔 〕，括号内所填的代数式是〔 〕A.221n -B.221n mn -+C.221n mn -- D 221mn n -+【知识点】添括号法那么【解题过程】AD 改变了原式的大小；B 括号前面是“-〞每一项都要要改变符号；因此选C.【思路点拨】不改变原式大小的前提下，用添括号法那么做，用去括号法那么验证【答案】C()()a b c a b c +--- 以下变形正确的( )A. []2()a b c -+B. ()()a c b a c b -+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦C. ()2a b c ++⎡⎤⎣⎦D.()()b a c b a c +---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【知识点】平方差公式的构造特征，添括号法那么【解题过程】AC 两个式子并不是完全一样；B 添括号法那么正确：括号前是正号，括号里面每一项都不变号，D 项符号错误.因此选B ．【思路点拨】先从平方差公式的构造特征辨析，然后用添括号法那么进展变形．【答案】B4. 如果多项式22=2242018P a b a b ++++ ，那么P 的最小值是B. 2021C.2021D. 2021【知识点】完全平方公式，平方的非负性【解题过程】222242018a b a b ++++=222112(211)2018a a b b ++-+++-+=()()221212015a b ++++∵21）（+a ≥0，2)1(2+b ≥0， ∴()()221212015a b ++++的最小值为2021 ．【思路点拨】观察式子的特征，平方的非负性，灵活运用完全平方公式．【答案】C5. 实数a ,b 满足(a +b )2=1，(a -b )2=25,求a 2+b 2+ab 的值【知识点】完全平方差公式【数学思想】方程思想【解题过程】∵()2a b +22=2a b ab ++，()2222a b a b ab -=+-∴ ()2a b +-()2a b - =4ab ∵(a +b )2=1，(a -b )2=25∴6ab =- a 2+b 2+ab 2+(ab a b =+） ∴a 2+b 2+ab=(a +b )2-ab =7【思路点拨】运用完全平方公式展开找到条件与问题的联系【答案】720142015a x =+ ，20142016b x =+ ，20142017c x =+ ，求多项式222+a b c ab bc ac +--- 的值【知识点】 添括号法那么【解题过程】解：∵ 20142015a x =+，20142016b x =+，20142017c x =+∴a b -= 20142015(20142016)1x x +-+=-()20142016201420171b c x x -=+-+=- ()2014201520142017=-2a c x x -=+-+ ∴222+a b c ab bc ac +--- =2221(22+2222)2a b c ab bc ac ⨯+--- =()()()2221[]2a b a c b c -+-+- =3．【思路点拨】先求出()()()a b b c a c --- 的值，再把式子整理成这种形式代入即可．【答案】3。
14.2.3完全平方公式(2)
的值
2.如图,一块直径为a+b的圆形钢 板,从中挖去直径分别为a与b的 两个圆,求剩下的钢板的面积.
.
拓展练习:
1.
2008 2 2008 2009 2009
2 2
1 =_______;
2.若 x 2 2kx 9是一个完全平方公式,
则
3 k _______;
2 2
3.若 x 8 x k 是一个完全平方公式,
则
4 k _______;
4.请添加一项________，使得 k 2 4 4 是完全平方式.
4k
4k
5.已知 x y 8, x y 4, 求xy.
k 16
4 k
2
xy 12
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
±10 则 k=_____.
更上一层
（6）如果x2+kx+25是完全平方式， （7）如果9x2-mxy+16y 2可化为一个
±24 整式的平方，则 m=_____.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
2
更上一层
2
（8）已知：(a b) 4, (a b) 36 2 2 求: a ab b 的值.
头平方，尾平方，积的2倍在中间。
பைடு நூலகம்
(1) (x+3)(X-3)=x2-9
(2) (-1-2x)( 2x-1)=1-4x2 (3) (m+n)( n-m)=n2-m2 (4) (-1+y )(-y-1)=1-y2 (5) (-3a2+2b2)(-3a2-2b2)=9a4-4b4
因式分解 基础知识 总结
因式分解 基础知识 总结一、 因式分解的意义1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的区别、联系：区别：整式乘法是把几个整式相乘，化成一个多项式；因式分解是把一个多项式化成几个因式的积的形式。
联系：因式分解与整式乘法是互逆的过程。
3．公因式及其结构：公因式：一个多项式的各项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。
公因式的结构：多项式的公因式由系数和字母部分两部分组成，系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的字母，指数取相同字母的最低次幂。
可简记为：“系数大，字母同，指数低”。
二、 因式分解的方法（一） 提公因式法1.定义：如果一个多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种变形叫做提公因式法。
2.步骤：（1）确定公因式，（2）提公因式并确定另一个因式，原多项式除以公因式所得商就是另一个因式。
3.常用的恒等变形：223344();()();()();()()......y x x y y x x y y x x y y x x y -=---=--=---=-（二）运用公式法1.定义：如果把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2.因式分解公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-（2）完全平方公式：2222222()2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-3. 2()()()x a b x ab x a x b +++=++三、因式分解的一般步骤：可以概括为“一提，二套，三分组，四检查”：“一提”：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式。
“二套”：如果多项式的各项没有公因式，那么可尝试套用公式法分解。
“三分组”：对于四项以上的多项式（在没有公因式后），应考虑用分组分解法。
“四检查”：检查每个因式是否还能继续分解因式，因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
完全平方公式(教案新部编本)
2、如图：S1=
S2=
因为：S1=S2
所以：=
【拓展训练】见导学案（独立 高效 省时）
【课后小结】
【小结反思】
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
3、用语言如何叙述公式？
4、再举两例验证你的发现．
1、小组长督导本组学生主动学习
2、小组组长检查组内成员的学习成果
3、学生出题、解题.
组员质疑并提出问题
1、上面四个算式中左边都是相同因式的乘积，右面是二次三项式，其中两项是公式左边两项的平方和，中间一项是两项乘积的2倍。
2、了解完全平方公式的几何背景
【自学质疑】
【小组交流并展示】
【教师点拨】
自学指导
（内容·学法·时间）
互动策略
（内容·学法·时间）
展示方案
（内容·学法·时间）
第一环节：阅读课本109页“探究”，思考并完成下列问题：
1、独立计算算式，并仔细观察算式和计算结果，探讨你发现了什么规律？
2、同桌之间一问一答，熟记完全平方公式
2、默写、熟记（鼓励学生上板演练）
3、两个数的和（或差）的平方，等于它们的，加上（或减去）它们的积的。
4、鼓励学生上板演练
第二环节：阅读课本109页“思考”，回答下列问题：
1、动手操作：观察14.2-2，要求在最短的时间内按照老师的做法画出正确的图形。
2、请同学们用两种形式表示出相关图形面积。
3、观察14.2-3，自主探究两数差的完全平方公式。
14.2.2 完全平方公式课件
你发现了什么？
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 . (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . (3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= p2–2p+1 . (4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= m2–4m+4 .
简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
证明 设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释
b
a
=
+
+
+
a
b
a2
ab
ab
b2
和的完全平方公式：
(a+b)2= a2+2ab+b2 .
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64， 运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝ ____2_5___．归纳新知源自法则完全平 注 意 方公式
常用 结论
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添 括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构 特点及结果两方面)
人教版八年级数学上册14.2.2完全平方公式(2)
【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟
(b c)
(b c)
(b) (2a c) (b) (2a c)
点拨精讲：添括号可用在将多项式变形中，主要是将多项式变成乘法公式的结构；
【点拨精讲】（3分钟）
【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟
完成下列填空。5分钟
abc
abc
b c
(b c)
总结归纳：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项符号；
如果都括不号变前号面是负号，括到括号里的各项符号。有些整式相乘都需改要变先作 适当变形，然后再用公式。
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。7分
钟
1、教材P111页练习第1题； C 2、下列等式中，不成立的是（ ）
(2n2 1) (b c d )
(b c d ) (2 y 3z)
点拨精讲：答案不唯一，第1题括号前是正号；第2题括号前是负号。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
点拨精讲：此式需用添括号变形成公式结构，再运用公式使计算简便。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
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第十四章 整式的乘法与 因式分解
14.2.2 完全平方公式（2）
【学习目标】 1、掌握添括号法则；
2、综合运用乘法公式进行计算。 【学习重、难点】 重点：灵活运用乘法公式进行计算。
难点Байду номын сангаас掌握添括号法则。
【预习导学】
一、自学指导 1、自学1：自学课本P11页“例5”，掌握添括号法则，
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式教案
一、教学内容
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式
1.平方差公式：
- (a+b)(a-b)=a²-b²
- (a+b)²=(a-b)²+4ab
- (a-b)²=(a+b)²-4ab
2.完全平方公式：
- (a+b)²=a²+2ab+b²
- (a-b)²=a²-2ab+b²
- (a±b)²=a²±2ab+b²
3.应用平方差公式与完全平方公式进行因式分解：
- a²-b²=(a+b)(a-b)
- a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)
பைடு நூலகம்- a⁶-b⁶=(a³+b³)(a³-b³)
4.典型例题：
-利用平方差公式与完全平方公式解决实际问题
-利用平方差公式与完全平方公式进行因式分解
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式与完全平方公式的基本概念。平方差公式是指(a+b)(a-b)=a²-b²这一规律，它在简化计算和因式分解中起着重要作用。完全平方公式则是指(a±b)²=a²±2ab+b²，它帮助我们快速计算某些特定形式的乘方。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。计算(3x+4)²，通过完全平方公式的应用，我们可以得到3x²+2*3x*4+4²，从而简化计算过程。
今天的学习，我们了解了平方差公式与完全平方公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第1课时 完全平方公式教学设计
14.2.2完全平方公式第1课时完全平方公式完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，本节课通过学生合作学习，利用多项式相乘法则进行推导，并利用计算图形面积进行验证，进而理解和运用完全平方公式，对以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算都有举足轻重的作用．此外本节课在教学过程中力图向学生渗透数形结合思想以及换元思想，为今后数学方法的学习奠定了基础．【悬念激趣】请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，来三个孩子，老人就给每个孩子三块塘……(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3)第三天这(a＋b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(4)这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？[生](1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖．(2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖．(3)第三天老人一共给了这些孩子(a＋b)2块糖．(4)孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即(a＋b)2－(a2＋b2)．[师]我们上一节学了平方差公式，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2，现在遇到了两个数的和的平方，该怎样处理呢？【说明与建议】说明：采用“情境——探究”教学方法，让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵．建议：教师可进一步设计如下问题：能不能将(a＋b)2转化为我们学过的知识去解决呢？像研究平方差公式一样，我们来研究一下(a＋b)2的运算结果有什么规律吧！研究出这个公式后教师要及时将问题的结果展示给学生，可以让学生进一步理解完全平方公式的结构特征．(现在，大家可以轻松解决老人用糖招待孩子的问题了！(a＋b)2－(a2＋b2)＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab.)命题角度1直接运用完全平方公式计算1．计算：(1)(2x＋3)2；(2)(x＋2)2－(x－1)(x－2)．解：(1)原式＝4x2＋12x＋9.(2) 原式＝x2＋4x＋4－(x2－2x－x＋2)＝x2＋4x＋4－x2＋2x＋x－2＝7x＋2.命题角度2利用完全平方公式进行数字计算2．计算：1032.解：原式＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 609.命题角度3完全平方公式的变形3．已知(a＋b)2＝11，ab＝1.(1)求a2＋b2的值；(2)求a－b的值．解：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝11－2＝9；(2)∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝9－2＝7，∵a－b＝±7.命题角度4利用乘法公式研究图形特征4．你能根据如图图形的面积关系得到的数学公式是(C)A ．a(a －b)＝a 2－abB ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2C ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2D ．a(a ＋b)＝a 2＋ab【探究新知】1．对于【课堂引入】的问题，教师组织学生通过观察上面的运算结果中的每一项，猜测它们的共同特点．学生活动：分成小组，讨论、观察、探讨，发现规律如下：(1)右边第一项是左边括号中第一项的平方，右边最后一项是左边括号中第二项的平方，中间一项是左边括号中第一项和第二项乘积的2倍．(2)左边如果为“＋”号，右边全是“＋”号，左边如果为“－”号，右边中间一项的符号就为“－”号，其余都为“＋”号．教师提问：那我们就利用简单的(a＋b)2与(a－b)2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．我们可以看出，上面几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘，由于(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.所以，对于具有此相同的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(a－b)2＝a2－2ab＋b2.语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．2．几何推导验证：问题1：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。
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14.3.2 因式分解
—公式法（2）
温故引入……
下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4 ( √ ) (2) a2+4a+16
(3) a2-8a+16
( ×)
( √ )
(4) a2-6a+9 ( √ ) 1 1 2 2 (5) a + ab b ( × ) 2 4
a 2ab b
1、用完全平方公式分解因式。
(1)、 (m n) 10(m n) 25
4 2
(2)、x
2n2
18x
2 n 1
81x
2n
2 x y 6 2、已知x, y满足 ，不解方程组， x 3 y 1 2 3 求7 y ( x 3 y ) 2(3 y x) 的值。
公式因式分解？
自主预习 1、用完全平方公式分解因式。
(1)16x 72x 81 (4x ) 2 4x 9 9
4 2
2 2
2
2
4x 9
2
2
2
(2)(x 1) 2( x 1) 1 [(x 1) 1]
2
x
2
注意整体思想和换元思想的运用！
2 2
2
2
2
1 1 1 1 1 2 ( 2) y y y 2 y y 4 16 2 4 4
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
1 1 1 1 2 (3) x x x 2 x x 4 2 2 2
（1）形如________________ a 2 2ab b2 形式的多项式可以用完全 平方公式分解因式。 提取公因式法 再考虑其它方法 （2）因式分解通常考虑______________ ,并且因式分解要彻底。 整体 数学思想和_____ 换元 数学思想。 （3）注意_____
拓展延伸
2
(a 3) (a 3)
2
2
课堂检测
1、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m 的值为（ A 、6
B
）
2 2 、±3 2 B、± 6 C 、 3 D ( x 3 y ) x 6 xy 9 y
m 6
2、已知a b 2, ab 2, 1 3 1 3 2 2 则 a b a b ab 的值为 _______ . 2 2
2
2
2
巩固提升 2、因式分解: 2 2 (1) 3ax 6axy 3ay 3a x 2 2 xy y 2
3a( x y)
(2)a 8a b 16b (a 4b )
4 2 2 4
2
2
2 2
[(a 2b)(a 2b)] 2 2 (a 2b) (a 2b) 2 2 2 (3)(a 9) 36a (a 2 9 6a)(a 2 9 6a)
14.3.2 因式分解 —公式法（2）
【学习目标】
1、会判断完全平方式； 2、能直接利用完全平方式因式分解；
【学习重、难点】
重点：掌握完全平方公式分解因式的方法。 难点：能灵活运用公式法分解因式。
一、自学指导：
自主预习课本p117-p118思考，例5及例6
问题1：完全平方公式的特点？
问题2：什么情况下可以用完全平方
2
2
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
2 2 首 2首尾 尾
自我展示 1.用完全平方公式分解因式。
(1)4a 12ab 9b (2a) 2 2a 3b 3b 2a 3b
3、把下列式子分解因式 ： （ 1 ） 2a b 8a b 8ab ;
3 2 2 3
(2)、 ( x y ) 4( x y 1);
2
(3)、 (x y ) 4x y ;
2 2 2 2 2
(4)、 ( x 2 x) 2( x 2 x) 1;
2 2 2