福建省莆田市第二十四中学2016-2017学年高二上学期期中考理数试题解析(解析版)
福建省莆田市高二上学期期中数学试卷(理科)
福建省莆田市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共8题；共16分)1. （2分）已知函数f（x）=ex ， g（x）= x2+x+1，命题p：∀x≥0，f（x）≥g（x），则（）A . p是假命题，￢p：∃x＜0，f（x）＜g（x）B . p是假命题，￢p：∃x≥0，f（x）＜g（x）C . p是真命题，￢p：∃x＜0，f（x）＜g（x）D . p是真命题，￢p：∃x≥0，f（x）＜g（x）2. （2分）已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且|AB|=，则a=（）A . 1或2B . 1或4C . 0或2D . 2或43. （2分）下列命题中，假命题的是（）A .B .C .D .4. （2分）已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P点在线段MN上，且MP=2PN，设=，=，=，则=（）A . ++B . ++C . ++D . ++5. （2分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）下列命题：①平行于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两直线平行;③平行于同一直线的两平面平行;④垂直于同一直线的两平面平行;其中正确的有（）.A . ②和④B . ①、②和④C . ③和④D . ②、③和④7. （2分）若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是（）A . BC∥平面PDFB . DF⊥平面PAEC . 平面PAE⊥平面ABCD . 平面PDF⊥平面ABC8. （2分） (2016高一下·汕头期末) 下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为 + ；③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497﹣﹣512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组00l～016中随机抽到的学生编号是007．其中命题正确的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个二、填空题 (共5题；共5分)9. （1分） (2016高一上·虹口期末) 命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是________．10. （1分）如图所示，∠xOy=60°，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若 =x +y，记 =（x，y），设 =（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是________．11. （1分） a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，如果a∥b∥c，a α，b β，c β，那么平面α与平面β的位置关系是________.12. （1分）如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1 ， DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．13. （1分）已知、是非零向量，若| ﹣ |=| |﹣| |，则，应满足条件________．三、解答题 (共4题；共35分)14. （10分） (2017高二下·南昌期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，点E，F分别是PB，DC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．15. （10分） (2016高二上·台州期中) 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．16. （5分）(2017·广元模拟) 如图，在四棱锥E﹣ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若AB=2 ，AE=3 ，平面EBD⊥平面ABCD，直线AE与平面ABD所成的角为45°，求二面角B﹣AE ﹣D的余弦值．17. （10分） (2019高一上·吉林月考) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，AC=,PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。
福建省莆田二十四中高二数学上学期期末试卷 理(含解析
2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每题5分）1．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4）D．（0，2）2．命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（）A．∀x∈R，都有x2＜1 B．∃x∈R，使得x2＞1C．∃x∈R，使得x2≥1D．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥13．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假4．双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）6．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）A．35B．C．D．537．在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．58．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）A．B．C．D．10．如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.411．高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．34种B．35种C．120种D．140种12．已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（）A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能二、填空题（共4小题，每题4分）13．已知线性回归方程=9，则b= ．14．命题“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆否命题是（填“真命题”或“假命题”．）15．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为．16．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为．三、解答题（共6小题，12+12+12+12+12+14,满分74分）17．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．18．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．19．现有5名男生和3名女生．（1）若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法？（2）若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？20．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．某运动员射击一次所得环数X的分布如下：X 0～6 7 8 9 10P 0 0.2 0.3 0.3 0.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ．（I）求该运动员两次都命中7环的概率；（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分）1．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4）D．（0，2）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把抛物线的方程化为标准形式，即可得出结论．【解答】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．2．命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（）A．∀x∈R，都有x2＜1 B．∃x∈R，使得x2＞1C．∃x∈R，使得x2≥1D．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1【考点】命题的否定．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据“非p”为真，得到p假，根据命题“p或q”为真，则p真或q真，从而得到答案．【解答】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．4．双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】令双曲线方程的右边为0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是=0，整理得y=±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的方程是故选B．【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．6．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）A．35B．C．D．53【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】每个冠军的情况都有5种，共计3个冠军，故分3步完成，根据分步计数原理，运算求得结果．【解答】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 53，故选：D．【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．7．在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5【考点】二项式定理．【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．【解答】解：对于，对于10﹣3r=4，∴r=2，则x4的项的系数是C52（﹣1）2=10故选项为B【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），依题意得．【解答】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选A．【点评】本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．9．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，根据概率公式计算即可．【解答】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，故恰有两个球同色的概率为P==，故选：B．【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题．10．如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题．【分析】本题是一个正态分布问题，根据所给的随机变量取值的平均水平的特征数﹣1，而正态曲线是一个关于x=μ即x=﹣1对称的曲线，根据对称性写出概率．【解答】解：如果随机变量ξ～N（﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，∵P（﹣3≤ξ≤﹣1）=∴∴P（ξ≥1）=．【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．11．高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．34种B．35种C．120种D．140种【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】利用间接法，先求出没有限制条件的选法，在排除只有男生的选法，问题得以解决【解答】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有﹣=34种．故选：A．【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题12．已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（）A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】根据A和B都为抛物线上的点，设出A和B的坐标，把直线与抛物线解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之积，然后利用A和B的坐标表示出和，利用平面向量的数量积运算法则，计算得出为0，从而得出两向量互相垂直，进而得到三角形为直角三角形．【解答】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），将直线与抛物线方程联立得，消去y得：x2﹣mx﹣1=0，根据韦达定理得：x1x2=﹣1，由=（x1，x12），=（x2，x22），得到=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，则⊥，∴△AOB为直角三角形．故选A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．二、填空题（共4小题，每题4分）13．已知线性回归方程=9，则b= 4 ．【考点】线性回归方程．【专题】计算题．【分析】将代入线性回归方程，即可求解．【解答】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b，∴b=4故答案为：4【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．14．命题“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆否命题是真命题（填“真命题”或“假命题”．）【考点】四种命题．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据逆否命题的真假关系，判断原命题的真假即可．【解答】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题，则命题的逆否命题也为真命题，故答案为：真命题．【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．15．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】方法一：第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球，由此可求概率，方法二：事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率．根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率【解答】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，根据条件概率公式，得：P2==，故答案为：【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．16．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为70 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】.根据二项式系数中间项的最大求出n，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r 的值，将其代入通项求出常数项．【解答】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则n=8，所以二项式=展开式的通项为T r+1=（﹣1）r C8r x8﹣2r令8﹣2r=0得r=4则其常数项为C84=70故答案为70．【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．三、解答题（共6小题，12+12+12+12+12+14,满分74分）17．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．【考点】二项式系数的性质．【专题】转化思想；定义法；二项式定理．【分析】（1）根据题意，令x=1求出n的值，再利用通项公式求出展开式的常数项；（2）令x=1，即可求出展开式中所有项的系数和．【解答】解：（1）对（+）n，所有二项式系数和为2n=512，解得n=9；设T r+1为常数项，则：T r+1=C9r=C9r2r，由﹣r=0，得r=3，∴常数项为：C9323=672；（2）令x=1，得（1+2）9=39．【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．18．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设直线l的倾斜解为α，则l与y轴的夹角θ=90°﹣α，cotθ=tanα=2，sinθ=，然后求出|AB|．【解答】解：设直线l的倾斜解为α，则l与y轴的夹角θ=90°﹣α，cotθ=tanα=2，∴sinθ=，|AB|==40．线段AB的长为40．【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式|AB|=的灵活运用．19．现有5名男生和3名女生．（1）若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法？（2）若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】（1）用捆绑法：先排3个女生作为一个整体，与其余的5个元素做全排列，问题得以解决．（2）由题意知5人中有3男2女，先选再排，问题得以解决．【解答】解：（1）先排3个女生作为一个整体，与其余的5个元素做全排列有 A33A66=4320种．（2）从中选5人，且要求女生只有2名，则男生有3人，先选再排，故有C32C53A55=3600种【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置要优先排．20．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以a=时，p：．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．【解答】解：p：，q：a≤x≤a+1；∴（1）若a=，则q：；∵p∧q为真，∴p，q都为真；∴，∴；∴实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；∴，∴；∴实数a的取值范围为．【点评】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．21．某运动员射击一次所得环数X的分布如下：X 0～6 7 8 9 10P 0 0.2 0.3 0.3 0.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ．（I）求该运动员两次都命中7环的概率；（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出P（A）．（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望Eξ．【解答】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，则P（A）=0.2×0.2=0.04．（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10且P（ξ=7）=0.04，P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36，∴ξ的分布列为：ξ7 8 9 10P 0.04 0.21 0.39 0.36ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题得=， =1，又a2=b2+c2，解出即可得出；（2）设直线的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），可得， =1，两式相减再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题得=， =1，又a2=b2+c2，解得a2=8，b2=4．∴椭圆方程为：．（2）设直线的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），∴， =1，两式相减得=0，∵P是AB中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2， =k，代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1，∴直线l：x+y﹣3=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2016年福建省莆田二十四中高二上学期数学期中试卷和解析(文科)
2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（5*12=60分）1．（5分）给出下列四个语句：①两条异面直线有公共点；②你是二十四中的学生吗？③x∈{1，2，3，4}；④方向相反的两个向量是共线向量．其中是命题的共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（5分）线性回归方程表示的直线必经过的一个定点是（）A．B． C． D．（0，0）3．（5分）在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与304．（5分）命题P：“∃a∈R，则a2≤0”，则￢P为（）A．∃a∈R，a2＞0 B．∀a∈R，a2≤0 C．∀a∈R，a2＞0 D．∃a∈R，a2≤0．5．（5分）200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约有（）A．60辆B．80辆C．70辆D．140辆6．（5分）为了在运行下面的程序之后输出的y值为16，则输入x的值应该是（）A．3或﹣3 B．﹣5 C．﹣5或5 D．5或﹣37．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．519．（5分）如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤21 B．i≤11 C．i≥21 D．i≥1110．（5分）设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题11．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．1≤a≤3 B．﹣1≤a≤1 C．﹣3≤a≤3 D．﹣1≤a≤312．（5分）给出下列两个命题：命题p：是有理数；命题q：若a＞0，b＞0，则方程ax2+by2=1表示椭圆．那么下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（﹁p）∧q D．（﹁p）∨q二．填空题（4*4=16分）13．（4分）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为．14．（4分）甲乙两袋中各有大小相同的两个红球、一个黄球，分别从两袋中取一个球，恰有一个红球的概率是．15．（4分）若“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是．16．（4分）给定下列命题：①“若m＞﹣1，则方程x2+2x﹣m=0有实数根”的逆否命题；②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若x2+y2=0，则x，y全为零”的逆命题．其中真命题的序号是．三．解答题（12*5+14=74分）17．（12分）一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品，（1）求恰好有一件次品的概率．（2）求都是正品的概率．（3）求抽到次品的概率．18．（12分）把命题“平行于同一直线的两条直线互相平行”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，再判断这四个命题的真假．19．（12分）甲、乙两人玩转盘游戏，该游戏规则是这样的：一个质地均匀的标有12等分数字格的转盘（如图），甲、乙两人各转转盘一次，转盘停止时指针所指的数字为该人的得分．（假设指针不能指向分界线）现甲先转，乙后转，求下列事件发生的概率（1）甲得分超过7分的概率．（2）甲得7分，且乙得10分的概率（3）甲得5分且获胜的概率．20．（12分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．21．（12分）已知命题p：指数函数y=（3﹣2a）x在R上单调递增，命题q：g （x）=x2+2ax+4＞0对任意实数x恒成立．如果“p∨q”是真命题，“￢q”是真命题，求实数a的取值范围．22．（14分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性；（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（3）当销售额为8（千万元）时，估计利润额的大小．（附：b=）2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（5*12=60分）1．（5分）给出下列四个语句：①两条异面直线有公共点；②你是二十四中的学生吗？③x∈{1，2，3，4}；④方向相反的两个向量是共线向量．其中是命题的共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①两条异面直线有公共点，是能够判断真假的陈述句，是命题；②你是二十四中的学生吗？是疑问句，不是命题；③x∈{1，2，3，4}，不能判断真假，不是命题；④方向相反的两个向量是共线向量，是能够判断真假的陈述句，是命题．∴是命题的共有2个，故选：C．2．（5分）线性回归方程表示的直线必经过的一个定点是（）A．B． C． D．（0，0）【解答】解：∵线性回归方程一定过这组数据的样本中心点，∴线性回归方程表示的直线必经过（故选：A．3．（5分）在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与30【解答】解：由茎叶图得到所有的数据从小到大排为：12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42∴众数和中位数分别为31，26故选：B．4．（5分）命题P：“∃a∈R，则a2≤0”，则￢P为（）A．∃a∈R，a2＞0 B．∀a∈R，a2≤0 C．∀a∈R，a2＞0 D．∃a∈R，a2≤0．【解答】解：由特称命题的否定为全称命题可知若P：“∃a∈R，则a2≤0”，则￢P为∀a∈R，a2＞0故选：C．5．（5分）200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约有（）A．60辆B．80辆C．70辆D．140辆【解答】解：由于时速在[50，70）的数据对应的矩形高之和为0.03+0.04=0.07由于数据的组距为10故时速在[50，70）的数据的频率为：0.07×10=0.7故时速在[50，70）的数据的频数为：0.7×200=140故选：D．6．（5分）为了在运行下面的程序之后输出的y值为16，则输入x的值应该是（）A．3或﹣3 B．﹣5 C．﹣5或5 D．5或﹣3【解答】解：本程序含义为：输入x如果x＜0，执行：y=（x+1）2否则，执行：y=（x﹣1）2因为输出y=16由y=（x+1）2，x＜0，可得，x=﹣5由y=（x﹣1）2，x≥0，可得，x=5故x=5或﹣5故选：C．7．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3∵q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，∴q⇒p，∴﹣p⇒﹣q∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选：D．9．（5分）如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤21 B．i≤11 C．i≥21 D．i≥11【解答】解：∵S=并由流程图中S=S+故循环的初值为1终值为10、步长为1故经过10次循环才能算出S=的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环∴当i≥11，应满足条件，退出循环填入“i≥11”．故选：D．10．（5分）设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题【解答】解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b＜2是真命题所以原命题是真命题逆命题为：若a，b 中至少有一个不小于1则a+b≥2，例如a=3，b=﹣3满足条件a，b 中至少有一个不小于1，但此时a+b=0，故逆命题是假命题故选：A．11．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．1≤a≤3 B．﹣1≤a≤1 C．﹣3≤a≤3 D．﹣1≤a≤3【解答】解：∵命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，∴∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3．故选：D．12．（5分）给出下列两个命题：命题p：是有理数；命题q：若a＞0，b＞0，则方程ax2+by2=1表示椭圆．那么下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（﹁p）∧q D．（﹁p）∨q【解答】解：显然是无理数，所以命题p是假命题；若a＞0，b＞0且a=b则方程ax2+by2=1表示圆，所以命题q是假命题；∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，￢p为真命题，（￢p）∧q为假命题，（￢p）∨q为真命题；故选：D．二．填空题（4*4=16分）13．（4分）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为15，10，20．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是300×=15人，高二年级抽取的人数是200×=10人，高三年级抽取的人数是400×=20人，故答案为：15，10，20．14．（4分）甲乙两袋中各有大小相同的两个红球、一个黄球，分别从两袋中取一个球，恰有一个红球的概率是．【解答】解：从甲袋中取一个球，得到红球的概率是，从乙袋中取一个球，得到红球的概率是，从甲袋中取一个红球、从乙袋中取一个黄球的概率等于×（1﹣）=，从甲袋中取一个黄球、从乙袋中取一个红球的概率也等于×（1﹣）=，故所求事件的概率为2××（1﹣）=，故答案为：．15．（4分）若“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数．【解答】解：根据逆否命题的定义可知，“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是：若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数．故答案为：若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数．16．（4分）给定下列命题：①“若m＞﹣1，则方程x2+2x﹣m=0有实数根”的逆否命题；②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若x2+y2=0，则x，y全为零”的逆命题．其中真命题的序号是①②④．【解答】解：①∵当m＞﹣1时，△=4+4m＞0，∴“若m＞﹣1，则方程x2+2x﹣m=0有实数根”为真命题，其逆否命题为真命题；②当x=1时，x2﹣3x+2=0，反之，当x2﹣3x+2=0时，x=1或x=2，则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件；③“矩形的对角线相等”的逆命题是：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题；④“若x2+y2=0，则x，y全为零”的逆命题是：“若x，y全为0，则x2+y2=0”，是真命题．∴真命题的序号是①②④．故答案为：①②④．三．解答题（12*5+14=74分）17．（12分）一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品，（1）求恰好有一件次品的概率．（2）求都是正品的概率．（3）求抽到次品的概率．【解答】解：将六件产品编号，ABCD（正品），ef（次品），从6件产品中选2件，其包含的基本事件为：（AB）（AC）（AD）（Ae）（Af）（BC）（BD）（Be）（Bf）（CD）（Ce）（Cf）（De）（Df）（ef）．共有15种，（1）设恰好有一件次品为事件A，事件A中基本事件数为：8则P（A）=（2）设都是正品为事件B，事件B中基本事件数为：6则P（B）=（2）设抽到次品为事件C，事件C与事件B是对立事件，则P（C）=1﹣P（B）=1﹣18．（12分）把命题“平行于同一直线的两条直线互相平行”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，再判断这四个命题的真假．【解答】解：若p则q的形式为：若两条直线同时平行于同一直线，则两直线平行．为真命题．逆命题：若两直线平行，则两条直线同时平行于同一直线，为真命题．否命题：若两条直线不同时平行于同一直线，则两直线不平行．为真命题．逆否命题：若两直线不平行，则两条直线不同时平行于同一直线，为真命题．19．（12分）甲、乙两人玩转盘游戏，该游戏规则是这样的：一个质地均匀的标有12等分数字格的转盘（如图），甲、乙两人各转转盘一次，转盘停止时指针所指的数字为该人的得分．（假设指针不能指向分界线）现甲先转，乙后转，求下列事件发生的概率（1）甲得分超过7分的概率．（2）甲得7分，且乙得10分的概率（3）甲得5分且获胜的概率．【解答】解：（1）甲先转，甲得分超过（7分）为事件A，记事件A1：甲得（8分），记事件A2：甲得（9分），记事件A3：甲得（10分），记事件A4：甲得（11分），记事件A5：甲得（12分），由几何概型求法，以上事件发生的概率均为，甲得分超过（7分）为事件A，A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5P（A）=P（A1∪A2∪A3∪A4∪A5）=（2）记事件C：甲得（7分）并且乙得（10分），以甲得分为x，乙得分为y，组成有序实数对（x，y），可以发现，x=1的数对有12个，同样x等于2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的数对也有12个，所以这样的有序实数对（x，y）有144个，其中甲得（7分），乙得（10分）为（7，10）共1个，P（C）=（3）甲先转，得（5分），且甲获胜的基本事件为（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）则甲获胜的概率P（D）=20．（12分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：¬p：|4﹣x|＞6，解得x＞10，或x＜﹣2，记A={x|x＞10，或x＜﹣2}．q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而非p是q的充分不必要条件，而¬p⇒q，∴A⊊B，∴，∴0＜a≤3．21．（12分）已知命题p：指数函数y=（3﹣2a）x在R上单调递增，命题q：g （x）=x2+2ax+4＞0对任意实数x恒成立．如果“p∨q”是真命题，“￢q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵指数函数y═（3﹣2a）x在R上单调递增，∴3﹣2a＞1，即p：a＜1，又∵g（x）=x2+2ax+4＞0对任意实数x恒成立，∴g（x）图象开口向上且与x轴没有交点，∴△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2，即q：﹣2＜a＜2，又“p∨q”是真命题，“﹁q”是真命题，所以p真且q假即，∴a≤﹣2．22．（14分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性；（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（3）当销售额为8（千万元）时，估计利润额的大小．（附：b=）【解答】解：（1）画出散点图：∴两个变量具有线性相关关系．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设线性回归方程为=x+，由=（3+5+6+7+9）=6，=（2+3+3+4+5）=3.4，∴===0.5，=﹣•=0.4，∴y对x的线性回归方程为y=0.5x+0.4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）当销售额为8（千万元）时，利润额约为y=0.5×8+0.4=4.4（百万元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2017-2018年福建省莆田二十四中高二(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2017-2018学年福建省莆田二十四中高二（上）期中数学试卷（理科）一、单项选择（每题5分共60分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．2．（5分）已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A．2 B．4 C．8 D．163．（5分）设a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞a b B．a2＜b2C．D．4．（5分）以下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=3x+3﹣xC．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）5．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+2≤0”的否定为（）A．∃x∈R，x2﹣2x+2＞0 B．∃x∈R，x2﹣2x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣2x+2≤0 D．∃x∈R，x2﹣2x+2≥06．（5分）设命题p：方程x2+3x﹣1=0的两根符号不同；命题q：方程x2+3x﹣1=0的两根之和为3，判断命题“¬p”、“¬q”、“p∧q”、“p∨q”为假命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）已知向量，则与的夹角是（）A．0 B．C．D．π8．（5分）“2＜m＜6”是“方程=1为双曲线的方程”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln210．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，当二面角C1﹣AA1﹣B为45o时，直线EF和BC1所成的角为（）A．45o B．60o C．90o D．120o11．（5分）在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B=（）A．45°B．135°C．45°或135°D．以上答案都不对12．（5分）设数列{a n}是等差数列，若a2+a4+a6=12，则a1+a2+…+a7等于（）A．14 B．21 C．28 D．35二、填空题（每道题5分，共20分）13．（5分）不等式2x2﹣9x+9＞0的解集为．14．（5分）变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆上，则=．16．（5分）写出下列函数的导数．（1）y=的导数为．（2）y=（2x2﹣1）（3x+1）的导数为．三、解答题（注释）17．（10分）在等差数列{a n}中，a10=23，a25=﹣22，（Ⅰ）求该数列的通项公式；（Ⅱ）该数列前多少项的和最大？最大和是多少？18．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（1）求f（﹣1）和f′（﹣1）的值；（2）求函数f（x）的解析式．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=，D是棱AC的中点，且AB=BC=BB1=2．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求异面直线AB1与BC1所成的角．20．（12分）已知点A是抛物线x2=2y上位于第一象限的点，焦点F，且，过A，F的直线l交抛物线于点B．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）在抛物线AOB部分上求一点P，使P到直线l距离最大，并求出最大值．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求二面角D﹣AE﹣C的大小．22．（12分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（I）求椭圆C的离心率；（II）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．2017-2018学年福建省莆田二十四中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择（每题5分共60分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．【解答】解：△ABC中，∵a=1，c=2，B=30°，∴S=acsinB=×1×2×=．△ABC故选：A．2．（5分）已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2，a4a6=16，∴=2，=16，解得q2=2．则==q4=4．故选：B．3．（5分）设a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞a b B．a2＜b2C．D．【解答】解：∵a＜b，当a≥0时，a2≤ab，故A错误；当a=﹣1，b=1时，a2=b2，故B错误；，即，故C正确；，故D错误；故选：C．4．（5分）以下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=3x+3﹣xC．y=1gx+（0＜x＜1）D．y=sinx+（0＜x＜）【解答】解：A中不满足x＞0；B中，y=3x+3﹣x≥2，当且仅当3x=3﹣x即x=0时取等号；C中，因为0＜x＜1，故lgx＜0，不满足条件；D中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；故选：B．5．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+2≤0”的否定为（）A．∃x∈R，x2﹣2x+2＞0 B．∃x∈R，x2﹣2x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣2x+2≤0 D．∃x∈R，x2﹣2x+2≥0【解答】解：分析可得，命题“∀x∈R，x2﹣2x+2≤0”是全称命题，则其否定形式为特称命题，命题“∀x∈R，x2﹣2x+2≤0”的否定为：∃x∈R，x2﹣2x+2＞0，故选：A．6．（5分）设命题p：方程x2+3x﹣1=0的两根符号不同；命题q：方程x2+3x﹣1=0的两根之和为3，判断命题“¬p”、“¬q”、“p∧q”、“p∨q”为假命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：命题P为真，命题q为假，故“¬p”为假、“¬q”为真、“p∧q”为假、“p∨q”为真，故选C．7．（5分）已知向量，则与的夹角是（）A．0 B．C．D．π【解答】解：∵=（0，2，1）（﹣1，1，﹣2）=0×（﹣1）+2×1+1×（﹣2）=0，∴，∴与的夹角：，故选：C．8．（5分）“2＜m＜6”是“方程=1为双曲线的方程”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程=1为双曲线的方程，则（m﹣2）（6﹣m）＜0，∴m＜2或m＞6，∴“2＜m＜6”是“方程=1为双曲线的方程”的既不充分也不必要条件，故选：D．9．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln2【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．10．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，当二面角C1﹣AA1﹣B为45o时，直线EF和BC1所成的角为（）A．45o B．60o C．90o D．120o【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中是直三棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，则A1C1⊥AA1，A1B1⊥AA1，∴∠B1A1C1为二面角C1﹣AA1﹣B的平面角等于45o，∵∠A1B1C1=∠ABC=45°，且A1B1=AB=2，∴B1C1=BC=2．以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），E（0，1，0），C1（2，0，2），F（0，0，1）．∴，，∴cos＜＞=，∴与的夹角为60°，即直线EF和BC1所成的角为60°．故选：B．11．（5分）在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B=（）A．45°B．135°C．45°或135°D．以上答案都不对【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得，即，求得sinB=．再由b＜a 以及大边对大角可得B＜A=60°，∴B=45°．故选：A．12．（5分）设数列{a n}是等差数列，若a2+a4+a6=12，则a1+a2+…+a7等于（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，a2+a4+a6=12，∴3a4=12，解得a4=4．则a1+a2+…+a7=7a4=28．故选：C．二、填空题（每道题5分，共20分）13．（5分）不等式2x2﹣9x+9＞0的解集为（﹣∞，）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2x2﹣9x+9＞0，即为（x﹣3）（2x﹣3）＞0，解得x＞3或x＜，解集为（﹣∞，）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，）∪（3，+∞）．14．（5分）变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为﹣6．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，8），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y 轴上的截距最大，z有最小值为﹣6．故答案为：﹣6．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆上，则=．【解答】解：由椭圆方程得：a=5，b=4，c=3．∵三角形ABC顶点A（﹣3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆上，∴BC+AB=2a=10，∴由正弦定理可知=故答案为：．16．（5分）写出下列函数的导数．（1）y=的导数为y′=．（2）y=（2x2﹣1）（3x+1）的导数为y′=18x2+4x﹣3．【解答】解：（1）y′=（）′=，（2）y=（2x2﹣1）（3x+1）=6x3+2x2﹣3x﹣1，∴y′=18x2+4x﹣3，故答案为：y′=，y′=18x2+4x﹣3三、解答题（注释）17．（10分）在等差数列{a n}中，a10=23，a25=﹣22，（Ⅰ）求该数列的通项公式；（Ⅱ）该数列前多少项的和最大？最大和是多少？【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由，解得a1=50，d=﹣3．∴a n=a1+（n﹣1）d=50﹣3（n﹣1）=﹣3n+53，（II）令a n＞0，得n＜，∴当n≤17，n∈N时，a n＞0；当n≥18，n∈N时，a n＜0，∴{a n}前17项和最大．S17=17×50+=442．18．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（1）求f（﹣1）和f′（﹣1）的值；（2）求函数f（x）的解析式．【解答】解：（1）∵f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．故点（﹣1，f（﹣1））在切线6x﹣y+7=0上，且切线斜率为6．得f（﹣1）=1且f′（﹣1）=6．（2）∵f（x）过点P（0，2）∴d=2∵f（x）=x3+bx2+cx+d∴f′（x）=3x2+2bx+c由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6又由f（﹣1）=1，得﹣1+b﹣c+d=1联立方程得故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+219．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=，D是棱AC的中点，且AB=BC=BB1=2．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求异面直线AB1与BC1所成的角．【解答】解：（1）如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．∵O为B1C的中点，D为AC的中点，∴OD∥AB1．∵AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．则B（0，0，0）、A（0，2，0）、C1（2，0，2）、B1（0，0，2）．∴=（0，﹣2，2）、=（2，0，2）．cos===，设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ=，∵θ∈（0，），∴θ=．20．（12分）已知点A是抛物线x2=2y上位于第一象限的点，焦点F，且，过A，F的直线l交抛物线于点B．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）在抛物线AOB部分上求一点P，使P到直线l距离最大，并求出最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，抛物线x2=2y的焦点为，准线方程为，设A（x，y）（x＞0），则由抛物线定义得：，解可得y=2，又由线x2=2y，则x=2，则A的坐标为（2，2）；所以直线l的方程为：，即3x﹣4y+2=0；（Ⅱ）平移直线l与抛物线相切，当P在切点处时，点P到直线l的距离最大设切点P（x0，y0），由求导得：y'=x，所以切线斜率，∴，显然x B＜x0＜x A，∴直线l：3x﹣4y+2=0，所以P到直线l的距离所以所求的点，距离最大值为．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求二面角D﹣AE﹣C的大小．【解答】（1）证明：连结BD交AC于点O，连结EO，∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点，又E为的PD的中点，∴EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC；（2）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直，如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴三棱锥P﹣ABD的体积，得．则A（0，0，0），D（0，，0），B（，0，0），E（0，，），C （，，0），则=（0，，），=（，，0）设为平面ACE的法向量，则，即，令x=1，得，，则=（1，，），又为平面DAE的法向量，∴cos＜＞=，如图可得二面角D﹣AE﹣C为锐角，∴二面角D﹣AE﹣C为．22．（12分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（I）求椭圆C的离心率；（II）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为．所以a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故椭圆C的离心率e=．（II）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x0≠0．因为OA⊥OB，所以=0，即tx0+2y0=0，解得t=．又x 02+2y02=4，所以|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2 =++4=（0≤4）．因为（0≤4）．，当时等号成立，所以|AB|2≥8．故线段AB长度的最小值为2．。
2017年福建省莆田二十四中高二上学期数学期中试卷和解析(文科)
2016-2017学年福建省莆田二十四中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）如果输入n=2，那么执行如图中算法的结果是（）A．输出3 B．输出4C．输出5 D．程序出错，输不出任何结果2．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．23．（5分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，AB是过F1的弦，则△ABF2的周长是（）A．2a B．4a C．8a D．2a+2b5．（5分）在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）A．0 B．C．D．6．（5分）图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．从这个茎叶图可以看出甲、乙两名运动员得分的中位数分别是（）A．31，26 B．36，23 C．36，26 D．31，237．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．8．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．9．（5分）在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）10．（5分）按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是（）A．3 B．4 C．5 D．611．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=112．（5分）我们把离心率e=的椭圆叫做“优美椭圆”，设椭圆+=1为优美椭圆，F、A分别是它的右焦点和左顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF 等于（）A．60°B．75°C．90°D．120°二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．（4分）由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表：则排队人数为2或3人的概率为．14．（4分）直线y=x﹣1与椭圆+=1相交于A，B两点，则|AB|=．15．（4分）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了1000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这1000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1500，2000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（2）过A点，且斜率为2的直线交椭圆于B点．求左焦点到直线AB的距离．18．（12分）从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如表：（1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；（2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．19．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x 满足x2﹣5x+6≤0（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．（12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．22．（14分）双曲线C的中心在原点，右焦点为F（，0），一条渐近线方程为y=x，（1）求双曲线C方程（2）设直线L：y=kx+1与双曲线交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？2016-2017学年福建省莆田二十四中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）如果输入n=2，那么执行如图中算法的结果是（）A．输出3 B．输出4C．输出5 D．程序出错，输不出任何结果【解答】解：第一步：输入n=2第二步：n=2+1=3第三步：n=3+2=5第四步：输出5故选：C．2．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选：B．3．（5分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选：C．4．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，AB是过F1的弦，则△ABF2的周长是（）A．2a B．4a C．8a D．2a+2b【解答】解：∵F1，F2是椭圆的两个焦点，AB是过F1的弦，∴△ABF2的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a．故选：B．5．（5分）在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）A．0 B．C．D．【解答】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；故选：C．6．（5分）图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．从这个茎叶图可以看出甲、乙两名运动员得分的中位数分别是（）A．31，26 B．36，23 C．36，26 D．31，23【解答】解：由茎叶图可知甲篮球运动员比赛数据有13个，出现在中间第7位的数据是36，所以甲得分的中位数是36由茎叶图可知乙篮球运动员比赛数据有11个，出现在中间第6位的数据是26．所以乙得分的中位数是26．故选：C．7．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1 D．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x，所以所求的距离为=．故选：B．8．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．9．（5分）在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）【解答】解：∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是（2）和（3）故选：D．10．（5分）按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次执行循环体时，输出A=1，S=2，满足继续循环的条件，则A=3，第二次执行循环体时，输出A=3，S=3，满足继续循环的条件，则A=5，第三次执行循环体时，输出A=5，故选：C．11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②由①②解得：a2=5，b2=4∴该双曲线的方程为故选：A．12．（5分）我们把离心率e=的椭圆叫做“优美椭圆”，设椭圆+=1为优美椭圆，F、A分别是它的右焦点和左顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF 等于（）A．60°B．75°C．90°D．120°【解答】解：∵e=，∴2c2=（3﹣）a2，在椭圆中有b2+c2=a2，|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=，∴|FA|2=（a+c）2=a2+c2+2ac，|FB|2+|AB|2=2a2+b2=3a2﹣c2，∴|FA|2=|FB|2+|AB|2=a2，∴∠FBA等于90°．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．（4分）由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表：则排队人数为2或3人的概率为0.6．【解答】解：排队人数为2人、3人的概率分别是0.3、0.3，所以排队人数为2或3人的概率为：0.3+0.3=0.6．故答案为：0.6．14．（4分）直线y=x﹣1与椭圆+=1相交于A，B两点，则|AB|=．【解答】解：把y=x﹣1 代入椭圆+=1化简可得3x2﹣4x﹣2=0，∴x1+x2=，x1•x2=，由弦长公式可得|AB|=•=•=，故答案为．15．（4分）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF 1F2的面积为9，则b=3．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C 上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了1000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这1000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1500，2000）（元）月收入段应抽出16人．【解答】解：如图，收入在[1500，2000）这一段的频率是0.004×500=0.2从这1000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1500，2000）（元）月收入段应抽的人数是0.2×80=16故答案为：16．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F2在x轴上，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（2）过A点，且斜率为2的直线交椭圆于B点．求左焦点到直线AB的距离．【解答】解：（Ⅰ）离心率e=，可得b2=3c2，设椭圆方程为，把A （2，3）代入得c2=4，∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）过A点，且斜率为2的直线交椭圆于B点，∴直线AB：2x﹣y﹣1=0左焦点F1（﹣2，0）到直线AB的距离d=．18．（12分）从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如表：（1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；（2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．【解答】解：（1）根据题中所给数据，则甲的平均数为=（8+9+7+9+7+6+10+10+8+6）=8，乙的平均数为=（10+9+8+6+8+7+9+7+8+8）=8，甲的标准差为s甲==，乙的标准差为s乙==，故甲的平均数为8，标准差为，乙的平均数为8，标准差为；（2）∵=，且s甲＞s乙，∴乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛．19．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x 满足x2﹣5x+6≤0（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；当a=1时，p：1＜x＜3；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；故x的取值范围是[2，3）（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴（a，3a）⊃[2，3]⇔，1≤a≤2∴实数a的取值范围是[1，2]．20．（12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．【解答】解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，∴所求概率p2=．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB．又∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1，又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB的中点G，连接EG，FG．∵E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，∴FG∥AC，且，．∵AC∥A1C1，且AC=A1C1，∴GF∥EC1，且GF=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG．又∵EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴．∴三棱锥E﹣ABC的体积．22．（14分）双曲线C的中心在原点，右焦点为F（，0），一条渐近线方程为y=x，（1）求双曲线C方程（2）设直线L：y=kx+1与双曲线交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？【解答】解：（1）由题意c=，a=，b=1，∴双曲线C方程为=1；（2）由直线L：y=kx+1与双曲线，联立得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，得﹣＜k＜，且k≠±．设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又x1+x2=，x1x2=∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即k2+k•（）+1+=0，解得k=±1．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
莆田市数学高二上期中经典题(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：13028]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生2．(0分)[ID ：12995]在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<3．(0分)[ID ：12986]设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为（ ） A ．23B ．13C ．12D ．5124．(0分)[ID ：12977]执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．115．(0分)[ID ：12973]从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ． A ．12B ．13C ．23D ．16．(0分)[ID ：12970]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．(0分)[ID：12967]将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A．192181020C CCB．1921810202C CCC．1921910202C CCD ．192191020C CC8．(0分)[ID：12964]已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．100，20B．200，20C．100，10D．200，10 9．(0分)[ID：12954]执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．5B．7C．9D．1110．(0分)[ID：12938]某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为1 50；④中部地区学生小张被选中的概率为1 5000A．①④B．①③C．②④D．②③11．(0分)[ID：12930]某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a=+，其中ˆ 2.4b=，a y bx=-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）广告费用x（万元）23456销售轿车y（台数）3461012A．17B．18C．19D．2012．(0分)[ID：12929]若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（）A．16B．112C．536D．51813．(0分)[ID：13018]采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755的人数为（）A．10B．11C．12D．1314．(0分)[ID：12972]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A．13B．14C．15D．1615．(0分)[ID：13023]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元二、填空题16．(0分)[ID ：13119]下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.17．(0分)[ID ：13116]已知一组数据：87,,90,89,93x 的平均数为90，则该组数据的方差为______．18．(0分)[ID ：13110]在区间[-3，5]上随机取一个实数x ，则事件“11422x≤≤（）”发生的概率为____________．19．(0分)[ID ：13102]若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则221x y +<的概率为__________．20．(0分)[ID ：13097]执行如图所示的程序框图,如果输入3n =，则输出的S 为 ________．21．(0分)[ID ：13089]如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．22．(0分)[ID ：13073]某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________． 23．(0分)[ID ：13064]根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a ＝50.6，b ＝0.65，c ＝log0.65，则输出的数是________．24．(0分)[ID ：13104]在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．25．(0分)[ID ：13062]某班全体学生参加英语成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13228]中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班60名同学中，对此事关注的占13，他们在本学期期末考试中的物理成绩如下面的频率分布直方图：（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）． （2）若物理成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量， ①补充下面的22⨯列联表：物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计对此事关注 对此事不关注 合计②是否有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82827．(0分)[ID ：13218]某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下： 零件数x /个 10 20 30 40 50 60 加工时间y /min 647077829097（1）试对上述变量x 与y 的关系进行相关性检验，如果x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的回归直线方程；（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表()()nniii ix x y y x y nx yr---==∑∑()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，y a bx =+42.0≈27.5≈28．(0分)[ID ：13199]某乡镇为了发展旅游行业，决定加强宣传，据统计，广告支出费x 与旅游收入y （单位：万元）之间有如下表对应数据：（1）求旅游收入y 对广告支出费x 的线性回归方程y bx a =+，若广告支出费12万元，预测旅游收入；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，根据（1）中的线性回归方程，求至少有一组数据，其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.（参考公式：1221ni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，其中,x y 为样本平均值，参考数据：521145i i x ==∑，52113500i i y ==∑，511380i ii x y==∑）29．(0分)[ID ：13158]2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的“十九大”)在北京召开.一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在[75,100]内，按成绩分成5组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．(1)求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)； (2)求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；(3)若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．30．(0分)[ID ：13227]某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示． 组别 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100频数25150200250 225 100 50（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．14.5≈，若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．C 5．C 6．C 7．A 8．B 9．C 10．B 11．C12．C13．C14．C15．B二、填空题16．3个【解析】【分析】直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果【详解】（1）已知变量x和y满足关系y=-2x+3则x与y正相关；应该是：x与y负相关故错误（2）线性回归直线必过点线性回归直线17．【解析】该组数据的方差为18．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的19．【解析】分析：不等式组表示的是正方形区域面积为满足的平面区域为阴影部分的面积利用几何概型概率公式可得结果详解：根据题意画出图形如图所示则不等式组表示的是正方形区域面积为其中满足的平面区域为阴影部分的20．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题21．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相22．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确23．6【解析】因为所以输出24．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：25．【解析】由图可知低于分的频率为故该班人数为故答案为三、解答题26．27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.2．B解析：B 【解析】【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．3．A解析：A 【解析】分析：可以按照等可能时间的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式求解.详解：因为a 是抛掷一枚骰子得到的点数，所以试验发生包含的事件总数为6， 方程220x ax ++=有两个不等实根，所以280a ->， 以为a 为正整数，所以3,4,5,6a =，即满足条件的事件有4种结果，所以所求的概率为4263P ==，故选A. 点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式()()n A P n =Ω.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的n 的值. 【详解】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=； 1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=； 3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=. 4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有233C =种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率23223P C ==，故选C. 6．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图7．A解析：A 【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C 种结果， 而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C 中结果，根据古典概型的概率公式得192181020=C C P C . 故选：A. 【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.9．C解析：C 【解析】循环依次为123,123;S K =+==+=369,325;S K =+==+=91019,527;S K =+==+=191433,729;S K =+==+=结束循环,输出9;K =选C.10．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【解析】 由题意4,7, 2.4,7 2.44 2.6,9,ˆˆˆˆˆˆ 2.49 2.619x y ba y bx x y bx a ===∴=-=-⨯=-∴==+=⨯-=,故选C.12．C解析：C 【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝．13．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n ＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣21≤755，求得正整数n 的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为a n ＝11+（n ﹣1）30＝30n ﹣19， 由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n ≤25， ∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12， 故选C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．14．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.15．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．二、填空题16．3个【解析】【分析】直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果【详解】（1）已知变量x 和y 满足关系y=-2x+3则x 与y 正相关；应该是：x 与y 负相关故错误（2）线性回归直线必过点线性回归直线 解析：3个 【解析】 【分析】直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果． 【详解】（1）已知变量x 和y 满足关系y=-2x+3，则x 与y 正相关；应该是：x 与y 负相关．故错误. （2）线性回归直线必过点(),x y ，线性回归直线必过中心点．故正确．（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大． 根据课本上有原句，故正确．（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数R 2的值越大，说明拟合的效果越好．故正确，根据课本上有原句． 故填3个． 【点睛】本题主要考查了线性回归直线的应用，学生对知识的记忆能力，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题.17．【解析】该组数据的方差为 解析：4【解析】8790899390591x x ++++=⨯∴=该组数据的方差为222221[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45-+-+-+-+-=18．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的 解析：38【解析】 【分析】解不等式11422x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域长度，由几何概型可求出概率． 【详解】设事件A 表示11|422xx ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由11422x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭得2111222x -⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21x -≤≤， 即构成事件A 的区域的长度为12=3+.又因为所有的基本事件构成的区域的长度为53=8+， 所以事件A 的概率3()8P A =. 故答案为38．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．19．【解析】分析：不等式组表示的是正方形区域面积为满足的平面区域为阴影部分的面积利用几何概型概率公式可得结果详解：根据题意画出图形如图所示则不等式组表示的是正方形区域面积为其中满足的平面区域为阴影部分的 解析：36【解析】 分析：不等式组0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，满足221x y +<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，利用几何概型概率公式可得结果.详解：根据题意，画出图形，如图所示，则不等式组0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，其中满足221x y +<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，故所求的概率为4936P ππ==，故答案为36.点睛：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．20．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题解析：37【解析】 【分析】根据框图可知，该程序实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和的功能，输入3n =时，求3S .【详解】根据框图可知，执行该程序，实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和，当3n =时，3111111111=++=1)133557233557S -+-+-⨯⨯⨯（ 1131)277-=（， 故填37. 【点睛】本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.21．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相【解析】 【分析】不妨设2AB =AB =，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为12AB =率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =，小圆与正三角形相切，小圆的半径为63AB =， 大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为12AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222108P ππ⨯⨯+⨯⨯==. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.22．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-， 即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算,b a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．23．6【解析】因为所以输出解析：6 【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =24．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 25．【解析】由图可知低于分的频率为故该班人数为故答案为 解析：50【解析】由图可知，低于60分的频率为(0.0050.01)200.3+⨯=，故该班人数为15500.3=，故答案为50．三、解答题 26．（1）75.5；（2）列联表见解析，没有. 【解析】试题分析：（1）各小矩形中点横坐标与纵坐标的乘积的和即是对此事关注的同学的物理期末平均分；（2）根据直方图求出列联表所需数据，即可完成22⨯列联表，利用公式()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论.试题解析：（1）对此事关注的同学的物理期末平均分为(450.005550.005650.020⨯+⨯+⨯ 750.030850.030+⨯+⨯ 950.010)1075.5+⨯⨯=（分）．（2）①补充的22⨯列联表如下：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++ ()26083281216442040⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 302.733.84111=≈<， 所以没有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系． 【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）27．（1）答案见解析.（2）96 【解析】 【分析】（1）根据表中所给数据，计算出||r ，即可求得答案.（2）每小时加工零件的数量，即60x =，将60x =代入ˆ0.65757yx =+，即可求得答案. 【详解】（1）由表中数据得：6117950i ii x y==∑，6219100i i x ==∑，62139158i i y ==∑，35,80x y ==∴0.05||0.997r r ==>从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，∴此求回归直线方程是有意义的．计算得：ˆˆ0.657,57ba== ∴ˆ0.65757yx =+ （2）每小时加工零件的数量，即60x =将60x =代入ˆ0.65757yx =+ ˆ96.42y= 故每小时加工零件的数量额定为96比较合理 【点睛】本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.28．（1） 6.517.5y x =+，95.5；（2）910【解析】 【分析】（1）根据回归方程公式直接计算得到 6.517.5y x =+，代入数据计算得到答案. （2）计算与实际值之差的绝对值不超过5的有3组，共有10组不同的结果，满足“两组其预测值与实际值之差的绝对值都超过5”的有1种结果，得到概率. 【详解】（1）由题意知5x =，50y =，2138055506.514555b -⨯⨯==-⨯，50 6.5517.5a =-⨯=， ∴ 6.517.5y x =+，当12x =时，95.5y =.（2）对应的预测值分别有30.5,43.5,50,56.5,69.5，其中与实际值之差的绝对值不超过5的有3组，从五组数据中任取两组，共有10组不同的结果，其中满足“两组其预测值与实际值之差的绝对值都超过5”的有1种结果， ∴1911010P =-=. 【点睛】本题考查了回归方程，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.29．（1）87.25；（2）3，2，1；（3）45【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这100人的平均得分（2）第3组的人数为30，第4组的人数为20，第5组的人数为10，用分层抽样能求出在这三个组选取的人数（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这6人随机选取2人，利用列举法能写出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率. 【详解】(1)这100人的平均得分为： x =5×(75+802×0.01+80+852×0.07+85+902×0.06+90+952×0.04+95+1002×0.02)=87.25.(2)第3组的人数为0.06×5×100=30， 第4组的人数为0.04×5×100=20，第5组的人数为0.02×5×100=10，故共有60人， ∴用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1. (3)记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、己)、 (乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己 )、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己)、。
福建省莆田八中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年福建省莆田八中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（每小题5分）1．双曲线=1的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．42．抛物线y=﹣x2的准线方程是（）A．B．y=2 C．D．y=﹣23．“”是“A=30°”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件4．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞05．命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．若=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），则•（+）=（）A．4 B．15 C．7 D．37．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．8．若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2﹣y2=1总有公共点，则b的取值范围是（）A．B．C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]9．若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（）A．[0，5]B．[1，5]C．（1，5） D．[1，25]10．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，若∠PF1Q=，则双曲线的离心率e等于（）A．B．C．D．11．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．12．已知抛物线x2=y+1上一定点A（﹣1，0）和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[1，+∞）C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）二．填空题（每小题5分）13．已知点A（1，1，﹣2），点B（1，1，1），则线段AB的长度是．14．命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是．15．抛物线y2=4x上一点A到点B（3，2）与焦点的距离之和最小，则点A的坐标为．16．命题p：若0＜a＜1，则不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，命题q：a≥1是函数在（0，+∞）上单调递增的充要条件；在命题①“p且q”、②“p或q”、③“非p”、④“非q”中，假命题是．三．解答题（17题10分，其余各题12分）17．在平面直角坐标系xOy中，设不等式组所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y）．（1）若x，y∈Z，求点M位于第一象限的概率；（2）若x，y∈R，求|OM|≥1的概率．18．已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．19．已知双曲线经过点M（）．（1）如果此双曲线的渐近线为，求双曲线的标准方程；（2）如果此双曲线的离心率e=2，求双曲线的标准方程．20．过抛物线y2=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M 的轨迹方程．21．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为．（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线与直线y=2x﹣5无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线y=2x﹣5的距离最短．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B．已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4，求y0的值．2016-2017学年福建省莆田八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分）1．双曲线=1的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程，求出c，即可得到双曲线的焦距．【解答】解：双曲线=1，可知a2=10，b2=2，c2=12，∴c=2，2c=4．双曲线=1的焦距为：4．故选：D．2．抛物线y=﹣x2的准线方程是（）A．B．y=2 C．D．y=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线转换为标准方程x2=﹣8y，然后再求其准线方程．【解答】解：∵，∴x2=﹣8y，∴其准线方程是y=2．故选B．3．“”是“A=30°”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由正弦函数的周期性，满足的A有无数多个．【解答】解：“A=30°”⇒“”，反之不成立．故选B4．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．5．命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】四种命题的真假关系．【分析】直接判断原命题真假，写出原命题的逆命题，判断其真假，然后结合原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，再根据互为逆否命题的两个命题共真假加以判断．【解答】解：命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”是真命题，∴其逆否命题也为真命题．原命题的逆命题为：“若△ABC是直角三角形，则∠C=90°”是假命题（△ABC是直角三角形不一定角C为直角），∴原命题的否命题也是假命题．∴真命题的个数是2．故选：C．6．若=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），则•（+）=（）A．4 B．15 C．7 D．3【考点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示．【分析】先求出+，再利用空间向量的数量积公式，求出•（+）．【解答】解：∵=（2，0，3），=（0，2，2），∴+=（2，2，5），∴•（+）=2×2+（﹣3）×2+1×5=3，故选D．7．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用a，b表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，所以=．所以．所以双曲线的离心率=．故选B．8．若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2﹣y2=1总有公共点，则b的取值范围是（）A．B．C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】把y=k（x﹣2）+b代入x2﹣y2=1得（1﹣k2）x2﹣2k（b﹣2k）x﹣（b﹣2k）2﹣1=0，不论k取何值，△≥0恒成立可求出b的取值范围．【解答】解：把y=k（x﹣2）+b代入x2﹣y2=1得x2﹣[k（x﹣2）+b]2=1，△=4k2（b﹣2k）2+4（1﹣k2）[（b﹣2k）2+1]=4（1﹣k2）+4（b﹣2k）2=4[3k2﹣4bk+b2+1]=4[3（）+1]不论k取何值，△≥0，则1﹣b2≥0∴≤1，∴b2≤3，则故选B9．若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（）A．[0，5]B．[1，5]C．（1，5） D．[1，25]【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】根据两点间的距离公式，结合三角函数的恒等变换，求出||的取值范围．【解答】解：∵A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），∴=（3cosa﹣2cosb）2+（3sina﹣2sinb）2+（1﹣1）2=9+4﹣12（cosacosb +sinasinb ） =13﹣12cos （a ﹣b ）； ∵﹣1≤cos （a ﹣b ）≤1， ∴1≤13﹣12cos （a ﹣b ）≤25， ∴||的取值范围是[1，5]．故选：B ．10．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，F 1是另一焦点，若∠PF 1Q=，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的应用．【分析】根据由题设条件可知，|F 1F 2|=2c ，由此可以求出双曲线的离心率e ．【解答】解：由题意可知，|F 1F 2|=2c ，∵∠，∴，∴4a 2c 2=b 4=（c 2﹣a 2）2=c 4﹣2a 2c 2+a 4， 整理得e 4﹣6e 2+1=0，解得或（舍去）故选C ．11．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】几何概型．【分析】首先分析题目求△PBC 的面积大于的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是线段的长度，再根据几何关系求解出它们的比例即可．【解答】解：记事件A={△PBC的面积大于}，基本事件空间是线段AB的长度，（如图）因为，则有；化简记得到：，因为PE平行AD则由三角形的相似性；所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，因为AP=，所以△PBC的面积大于的概率=．故选C．12．已知抛物线x2=y+1上一定点A（﹣1，0）和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[1，+∞）C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设出坐标，根据PA⊥PQ建立方程，把P，Q代入抛物线方程，再根据方程有解，使判别式大于0，即可求得x的范围．【解答】解：设P（a，b）、Q（x，y），则=（a+1，b），=（x﹣a，y﹣b）由PA⊥PQ得（a+1）（x﹣a）+b（y﹣b）=0又P、Q在抛物线上即a2=b+1，x2=y+1，故（a+1）（x﹣a）+（a2﹣1）（x2﹣a2）=0整理得（a+1）（x﹣a）[1+（a﹣1）（x+a）]=0而P和Q和A三点不重合即a≠﹣1、x≠a所以式子可化为1+（a﹣1）（x+a）=0整理得a2+（x﹣1）a+1﹣x=0由题意可知，此关于a的方程有实数解，即判别式△≥0得（x﹣1）2﹣4（1﹣x）≥0，解得x≤﹣3或x≥1故选D．二．填空题（每小题5分）13．已知点A（1，1，﹣2），点B（1，1，1），则线段AB的长度是3．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接运用距离公式，可得结论．【解答】解：由题意，|AB|=1+2=3．故答案为3．14．命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是若a+b是偶数，则a、b都是偶数．【考点】四种命题．【分析】命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”．【解答】解：“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是：“若a+b是偶数，则a、b都是偶数”故答案为：若a+b是偶数，则a、b都是偶数15．抛物线y2=4x上一点A到点B（3，2）与焦点的距离之和最小，则点A的坐标为（1，2）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线y2=4x可得焦点F（1，0），直线l的方程：x=﹣1．如图所示，过点A作AM⊥l，垂足为M．由定义可得|AM|=|AF|．因此当三点B，A，M共线时，|AB|+|AM|=|BM|取得最小值．y A，代入抛物线方程可得x A．【解答】解：由抛物线y2=4x可得焦点F（1，0），直线l的方程：x=﹣1．如图所示，过点A作AM⊥l，垂足为M．则|AM|=|AF|．因此当三点B，A，M共线时，|AB|+|AM|=|BM|取得最小值3﹣（﹣1）=4．此时y A=2，代入抛物线方程可得22=4x A，解得x A=1．∴点A（1，2）．故答案为：（1，2）．16．命题p：若0＜a＜1，则不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，命题q：a≥1是函数在（0，+∞）上单调递增的充要条件；在命题①“p且q”、②“p或q”、③“非p”、④“非q”中，假命题是①③．【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p，q的真假，然后根据由“且“，“或“，“非“逻辑连接词构成的命题的真假情况，即可找出这四个命题中的真命题和假命题．【解答】解：命题p：△=4a2﹣4a=4a（a﹣1），∵0＜a＜1，∴△＜0，∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，∴该命题为真命题；命题q：f′（x）=a+，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f′（x）＞0，即ax2+1＞0，若a≥0，该不等式成立；若a＜0，解该不等式得：﹣＜x＜，即此时函数f（x）在（0，+∞）上不单调递增，∴a≥0是函数f（x）在（0，+∞）上单调递增的充要条件，∴该命题为假命题；∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为真命题；∴假命题为：①③，故答案为：①③；三．解答题（17题10分，其余各题12分）17．在平面直角坐标系xOy中，设不等式组所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y）．（1）若x，y∈Z，求点M位于第一象限的概率；（2）若x，y∈R，求|OM|≥1的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）①做出所示平面区域②画网格描整点，找出整数点坐标个数，再找出第一象限中的点个数．二者做除法即可算出概率；（2）这是一个几何概率模型．算出图中以（0，0）为圆心，1为半径的半圆的面积，即可求出概率．【解答】解：（1）若x，y∈Z，则点M的个数共有12个，列举如下：（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）．当点M的坐标为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）时，点M位于第一象限，故点M位于第一象限的概率为．（2）这是一个几何概率模型，则区域W的面积是3×2=6，|OM|＜1的面积是以（0，0）为原点，以1为半径的半圆，面积是，故|OM|＜1的概率是=，故满足|OM|≥1的概率是．18．已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0＜m＜、0＜m＜15．由p、q有且只有一个为真得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可．【解答】解：将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；因为双曲线的离心率e∈（1，2），所以m＞0，且1，解得0＜m＜15，所以命题q等价于0＜m＜15；…若p真q假，则m∈∅；若p假q真，则综上：m的取值范围为[，15）…19．已知双曲线经过点M（）．（1）如果此双曲线的渐近线为，求双曲线的标准方程；（2）如果此双曲线的离心率e=2，求双曲线的标准方程．【考点】双曲线的标准方程．【分析】（1）由双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程是，把已知点代入双曲线的方程可得k值，则双曲线的标准方程可求；（2）由双曲线的离心率e=2，得到a与b的关系，分类设出双曲线方程，代入点的坐标求解．【解答】解：（1）∵双曲线的近线为y=x，∴设双曲线方程为，∵点M（）在双曲线上，∴，得k=3．∴双曲线的标准方程为；（2）∵，又∵c2=a2+b2，∴．①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线标准方程为，∵点M（）在双曲线上，∴，解得a2=4，b2=12，则所求双曲线标准方程为．②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为，∵点M（）在双曲线上，∴，解得a2=4，b2=12，则所求双曲线标准方程为．故所求双曲线方程为或．20．过抛物线y2=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M 的轨迹方程．【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】设直线OA的方程为y=kx（k≠0），代入抛物线方程，求得交点A，再设出直线OB的方程，可得交点B，再由中点坐标公式，运用平方消元，即可得到中点的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），直线OA的斜率为k（k≠0），则直线OB的斜率为．直线OA的方程为y=kx，由解得，即，同理可得B（2pk2，﹣2pk）．由中点坐标公式，得，消去k，得y2=p（x﹣2p），此即点M的轨迹方程y2=2（x﹣4），21．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为．（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线与直线y=2x﹣5无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线y=2x﹣5的距离最短．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【分析】（1）设抛物线的方程为y2=2px，由，得，由抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为能求出抛物线方程．（2）法一、抛物线y2=﹣4x与直线y=2x﹣5无公共点，设点为抛物线y2=﹣4x上的任意一点，点P到直线y=2x﹣5的距离为d，则，故当t=﹣1时，d取得最小值．法二、抛物线y2=﹣4x与直线y=2x﹣5无公共点，设与直线y=2x﹣5平行且与抛物线y2=﹣4x相切的直线方程为y=2x+b，切点为P，则点P即为所求点，由此能求出结果．【解答】解：（1）设抛物线的方程为y2=2px，则，消去y得 (2)=， (4)则，p2﹣4p﹣12=0，∴p=﹣2，或p=6，∴y2=﹣4x，或y2=12x (6)（2）解法一、显然抛物线y2=﹣4x与直线y=2x﹣5无公共点，设点为抛物线y2=﹣4x上的任意一点，点P到直线y=2x﹣5的距离为d，则 (10)当t=﹣1时，d取得最小值，此时为所求的点 (12)解法二、显然抛物线y2=﹣4x与直线y=2x﹣5无公共点，设与直线y=2x﹣5平行且与抛物线y2=﹣4x相切的直线方程为y=2x+b，切点为P，则点P即为所求点． (7)由，消去y并化简得：4x2+4（b+1）x+b2=0， (9)∵直线与抛物线相切，∴△=16（b+1）2﹣16b2=0，解得：把代入方程4x2+4（b+1）x+b2=0并解得：，∴y=﹣1故所求点为． (12)22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B．已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4，求y0的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：焦点在x轴上，过点A（2，0），B（0，1）两点，则a=2，b=1．c==，离心率e==；即可求得椭圆C的方程及离心率；（2）设直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理，中点坐标公式，求得中点M的坐标，分类，①当k=0时，点B的坐标为（2，0），由•=4，得y0=±2．②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x+）．向量的数量积的坐标表示．即可求得求得y0的值．【解答】解：（1）由题意得，椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，过点A（2，0），B（0，1）两点．∴a=2，b=1．∴椭圆C的方程为；又c==，∴离心率e==；（2）由（1）可知A（﹣2，0）．设B点的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．于是A，B两点的坐标满足方程组，由方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．由﹣2x1=，得x1=．从而y1=．设线段AB的中点为M，则M的坐标为（﹣，）．以下分两种情况：①当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是=（﹣2，﹣y0），=（2，﹣y0）．由•=4，得y0=±2．②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x+）．令x=0，解得y0=﹣．由=（﹣2，﹣y0），=（x1，y1﹣y0）．•=﹣2x1﹣y0（y1﹣y0）=+（+）==4，整理得7k2=2，故k=±．所以y0=±．综上，y0=±2或y0=±．2017年1月13日。
福建省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ） A ．B ．C ．D ．)(12nn a n =-)(112n n a n +=-)(12nn n a =-)(112n n n a +=-【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案． 【详解】根据题意，数列2，，6，，，4-8-⋯其中，，，， 11212a =⨯⨯=2(1)224a =-⨯⨯=-31236a =⨯⨯=2(1)248a =-⨯⨯=-其通项公式可以为， 1(1)2n n a n +=-⨯故选：．B 2．在等比数列中，，则 {}n a 24681,4a a a a +=+=2a =A ．2 B ．4C ．D ．1213【答案】D【分析】设等比数列{an }的公比为q ，由条件得q 4=4，解得q 2．进而得出结果．【详解】因为，解得. ()42468241,4a a a a a a q +=+=+=22q =因为，所以.选D. ()224211a a a q +=+=213a =【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） ()1,0A (4,B -A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可【详解】因为直线经过，两点，()1,0A (4,B -所以直线的斜率为 AB k ==设直线的倾斜角为，则 AB θtan θ=又， 0180θ︒≤<︒所以，120θ=°所以直线的倾斜角为． AB 120︒故选：C4．已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（ ） ()1,0A -()3,4B -A ． B ． ()()22128x y ++-=()()22128x y -++=C ． D ．()()221232x y ++-=()()221232x y -++=【答案】B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】解：由题意可知，，的中点为， ()1,0A -()3,4B -()1,2-又圆的半径为12r AB ===故圆的方程为． ()()22128x y -++=故选：B ．5．某直线l 过点，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） (3,4)B -A ．B ．C ．或D ．或43-12-4312-43-12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为，代入点，则，解得，y kx =(3,4)B -43k =-43k =-当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时， 设直线的方程为，代入点，则，解得，12x y m m +=(3,4)B -3412m m-+=52m =所以所求直线的方程为，即，1552x y+=250x y +-=综上，该直线的斜率是或．43-12-故选：D6．直线的一个方向向量为（ ） 230x y +-=A ． B ．C ．D ．()2,1()1,2()2,1-()1,2-【答案】D【分析】先求出直线的一个法向量，再求出它的一个方向向量. 【详解】直线的一个法向量为，230x y +-=()2,1设直线一个方向向量为，则有， (),a b 20a b +=故只有D 满足条件. 故选：D.7．对于任意的实数，直线恒过定点，则点的坐标为（ ） k 1y kx k =-+P P A ． B ．C ．D ．()1,1--()1,1-()1,1-()1,1【答案】D【分析】令参数的系数等于，即可得的值，即为定点的坐标. k 0,x y P 【详解】由可得， 1y kx k =-+()11y k x -=-令可得，此时， 10x -=1x =1y =所以直线恒过定点， 1y kx k =-+()1,1P 故选：D.8．点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（ ） P 22(1)2x y -+=P 3y x =+A B ．1C D ．【答案】C【分析】首先判断直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半P 3y x =+径，然后求出最短距离即可．【详解】解：圆的圆心为，半径到直线的距离22(1)2x y -+=(1,0)r =(2,0)30x y -+=为到直线的最短距离为圆心到直线d P 3y x =+的距离再减去半径．所以点到直线的最短距离为． P 20l x y -+=:=故选：C ．二、多选题9．下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（ ） 210x y +-=A ． B ． 210x y -+=210x y -+=C ． D ．2410x y -+=4210x y -+=【答案】BC【分析】根据斜率确定正确选项. 【详解】直线的斜率为，210x y +-=2-直线、直线的斜率为，不符合题意. 210x y -+=4210x y -+=2直线、直线的斜率为，符合题意. 210x y -+=2410x y -+=12故选：BC10．下列说法正确的是（ ）A ．直线必过定点 ()2R y ax a a =-∈()2,0B ．直线在轴上的截距为1 13y x +=yC ．直线的倾斜角为10x +=120 D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】AD【分析】A 将方程化为点斜式即可知所过定点；B 令求截距；C 由方程确定斜率，根据斜率与0x =倾斜角的关系即可知倾斜角的大小；D 计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误.【详解】A ：由直线方程有，故必过，正确； ()2y a x =-()2,0B ：令得，故在轴上的截距为－1，错误；0x =1y =-yC ：由直线方程知：斜率为，错误； 150︒D ：由，的斜率分别为，则有故相互垂直，将代入210x y ++=230x y -+=12,2-1212-⨯=-()2,3-方程，故正确. 2(2)310⨯-++=故选：AD11．(多选)若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2【答案】BD【分析】对进行分类讨论，结合截距相等求得，进而求得直线的斜率. a a l 【详解】时，，不符合题意. 0a =:2l y =时，直线过， 0a ≠l ()20,2,,0a a a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭依题意，22aa a++=解得或.2a =-1a =当时，，直线的斜率为. 2a =-:2l y x =2当时，，直线的斜率为.1a =:3l y x =-+1-故选：BD12．设等差数列的前项和是，已知，，正确的选项有（ ） {}n a n n S 120S >130S <A ．， B ．与均为的最大值 C ． D ．10a >0d <5S 6S n S 670a a +>70a <【答案】ACD【解析】利用等差数列的性质，，可得 ，()()11267121212=22++=a a a a S 670a a +>可得 ，，再根据等差数列的单调性判断。
福建省莆田二十四中高三上学期期中考——数学理数学(理)
福建省莆田二十四中2017届高三上学期期中考数学（理）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．函数()x x x f 2log 12-=定义域为（ ）A. ()+∞,0B. ()+∞,1C. ()1,0D. ()()+∞,11,03．“x ＜0”是“ln （x+1）＜0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α的终边过点P （﹣8m ，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m 的值为（ ） A ．﹣ B ． C ．﹣ D ．5．由曲线与直线所围成的平面图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知||=3，||=5，且+λ与﹣λ垂直，则λ等于（ ）A ．B ．±C ．±D ．±7．在△中，角，，所对边分别为，，，且，，面积，则的值为（ ）A ．6B ．26C ．D ．8．若是定义在上的奇函数，满足，当时，，则的值等于（ ）． B ． C ． D ．9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC=3DF ，设=， =，则=（ ）A ． +B ． +C ． +D ． +10．已知函数f （x ）=有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（，1）B ．（，1）C ．（0，1）D ．（﹣8，1） 11.()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．B ．CD ．12．已知函数，，设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．2{4,21,}A a a =--,B={5,1,9},a a --且{9}A B =,则a 的值是14、已知向量(2,3)m =a ，(1,1)m =-b ，若a ，b 共线，则实数m 的值为 .15．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为 ．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若==，则sinB= ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分。
福建省莆田市2016-2017学年高二数学上册期中考试题2
莆田第二十五中学2016--2017学年上学期期中质量检测试卷高二数学（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．若1和a 的等差中项是2，则a 的值为（ ） A.4 B.3 C.1 D.-42．在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3,则a ∶b ∶c 等于（ ） A ．1∶2∶3 B ．3∶2∶1 C ．2∶3∶1 D ．1∶3∶2 3.等差数列{}n a 中，45636a a a ++=，则19a a +=（ ）A ．12B ．18C ．24D ．36 4.等差数列{}n a 中，11,3,298n a d a ===时，则序号n 等于（ ） A ．99 B ．100 C ．96 D ．1015.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则8a 的值为（ ） A ．15 B ．16 C ．49 D ．646.在等比数列}{n a 中, 1416,8,a a =-=则7a =（ ） A ．4- B ．4± C ．2- D ．2±22两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．128.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,4,11651-=+-=a a a ,n S 取得最小值时n 的值为( )A.6B.7C.8D.99.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（ ）A. 1公里B. sin10°公里C. cos10°公里D. cos20°公里10.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？A ．5B ．6C ．4D ．311.在数列{}n a 中，1112,1n n n a a a a ++=-=-，则2016a =（ ）A ．－2B ．13- C.12D ．312.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）A ．14B ．34 CD二、填空题（每小题4分，共16分）13.已知数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=，则5a =14.已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =____ 15.已知ABC ∆的三边长成公比为_____ 16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1,4a B π==，ABC ∆的面积2S =，则sin bB的值为_____三、解答题（第17~21题每题12分，第22题14分，共74分） 17．已知等差数列{}n a 中满足02=a ，1086-=+a a . （1）求1a 和公差d ；（2）求数列{}n a 的前10项的和.18．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .2sin a b A =． （1）求角B 的大小；（2）若a =，5c =，求b ．19.如图，平面四边形ABCD 中，角180A C ∠+∠=，且3,7,5AB BC CD D A ====.（Ⅰ）求∠C ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积S .20.已知等差数列{}n a 满足35=a ，前3项和293=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和.21.已知公差不为零的等差数列{a n }，若a 1=1，且a 1，a 2，a 5成等比数列．DCBA（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =2n ，求数列{a n +b n }的前n 项和S n ．22．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n b nna =，求{}n b 的前n 项和n T ．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
福建省莆田市第二十四中学届高三数学上学期期中试题文【含答案】
2016-2017学年莆田二十四中高三上期中考数学（文）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共2页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1. 已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈N ｝，P=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩P=( ） A.｛0，1，2｝ B.｛-1，0，1，2｝ C.{-1，0，2，3} D.{0，1，2，3}2.方程04ln =-+x x 的解0x 属于区间 （ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）3．已知向量a = (1，一 1)，向量b =(-1，2)，则(2a +b ）•a = （ ） A. – 1 B. 0 C. 1 D.2 4．i 是虚数单位，复数ii5225+-=（ ） A. -i B.i C. -2921-2920i D. -214+2110i5.下列命题：（1）若“22b a <，则b a <”的逆命题；（2）“全等三角形面积相等”的否命题；（3）“若1>a ，则0322>++-a ax ax 的解集为R ”的逆否命题； （4）“若)0(3≠x x 为有理数，则x 为无理数”。
其中正确的命题序号是 （ ）A.（3）（4）B.（1）（3）C.（1）（2）D.（2）（4） 6. 实数x ，条件P:x 2<x ；条件q:11≥x，则p 是q 的（ ）。
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要 7. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数， 设)2(),3(log ),7(log 2214f c f b f a ===，则c b a ,,的大小关系是（ ）A. b a c <<B. a b c <<C. a c b <<D. c b a <<8.若函数,(1)()(4)2,(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩在R 上的单调递增，则实数a ∈( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)9.已知数列{}n a 为等差数列，满足a a 20133+=，其中A,B,C 在同一直线上，O 为直线AB 外的一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S =（ ） A ．22015B ．2015C ．2013D ．2016 10. 在同一个坐标系中画出函数x a y =，ax y sin =的部分图象，其中0>a 且1≠a ，则下列所给图象中可能正确的是（ ）A B C D11.已知*,N n R x ∈∈，且定义)1()2)(1(-+⋯++=n x x x x M n x ，例如60)3()4()5(M 35--=-⋅-⋅-=，则函数20102009cos)(73xM x f x ⋅=-满足（ ） A ．是偶函数不是奇函数 B ．是奇函数不是偶函数 C ．既是偶函数又是奇函数D ．既不是偶函数又不是奇函数12. 定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中R x ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1gx x =-，若用d 表示不等式()()f x gx <解集区间的长度，则当03x ≤≤时，有 （ ）A ．1d =B ．2d =C ．3d =D ．4d =卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题: （每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上） 13. 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= .14. a ，b 是两个向量，1a =，2b =，且()a b a +⊥，则a ，b 的夹角为 .15. 已知在等差数列{}n a 中，有14739a a a ++=，且25833a a a ++=，则369a a a ++= .16. 已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=）， 且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则)2013()2012(f f +-= . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.(本题12分) 记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （1）若3a =，求P ；（2）若Q Q P = ，求正数a 的取值.18. (本题12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量()1,n S =，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,12n，满足条件b a //，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足1,111=-=+n n b b b ，nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19. (本题12分)已知向量),(b c a m +=，),(a b c a n --=，且0=⋅，其中A 、B 、C 是∆ABC 的内角，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边。
福建省莆田市数学高二上学期理数期中考试试卷
福建省莆田市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共4题；共4分)1. （1分）(2018·南充模拟) 某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取6个班进行调查，若抽到的编号之和为87，则抽到的最小编号为________．2. （1分） (2017高三上·徐州期中) 已知一组数据：87，x，90，89，93的平均数为90，则该组数据的方差为________．3. （1分） (2019高二上·辽源期中) 已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.4. （1分）(2018·银川模拟) 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆，点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为________.二、解答题 (共6题；共60分)5. （10分） (2016高二上·莆田期中) 在平面直角坐标系xOy中，设不等式组所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y）．（1）若x，y∈Z，求点M位于第一象限的概率；（2）若x，y∈R，求|OM|≥1的概率．6. （10分）设命题p：“方程x2+mx+1=0有两个实数根”；命题q：“∀x∈R，4x2+4（m﹣2）x+1≠0”，若p∧q为假，￢q为假，求实数m的取值范围．7. （10分）已知f（x）=ax2﹣2x（0≤x≤1），求f（x）的最小值．8. （10分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如表．寿命（h）100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）列出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）从频率分布直方图估计出电子元件寿命的众数、中位数分别是多少？9. （10分）(2019·凌源模拟) 已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线 .（1）当时，求曲线的方程；（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.10. （10分） (2015高三上·天水期末) 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1 ， F2 ，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．参考答案一、填空题 (共4题；共4分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、解答题 (共6题；共60分)5-1、5-2、6-1、7-1、8-1、8-2、9-1、9-2、10-1、10-2、。
福建省莆田二十四中高二上学期期中考试数学(理)试题
7 98 4 4 4 6 7 9 3i =1 s =0i =i +1 i ≤5? 输出s 结束① ②a是否 2015-2016学年高二（上）数学期中考试(理)高二数学备课组一、选择题：1．高二年级有14个班，每个班的同学从1到50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下来进行交流，这里运用的是（ ）A ．分层抽样B ．抽签抽样C ．随机抽样D ．系统抽样2．十进制数124转化为八进制数是（ ）A.(8)194B.(8)233C.(8)471D.(8)1743．从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有(A) 12种 (B) 24种 (C) 48种 (D)60种 4．甲,乙两人随意入住两间空房,则甲乙两人各住一间房的概率是 ( )A.31B.41C.21 D.无法确定 5．如下四个游戏盘,现在投镖,投中阴影部分概率最大的是 ( )6．右图是2011年我校举办“激扬青春,勇担责任”演讲比赛大赛上, 七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数和平均数分别为 ( )A.85;87B.84; 86C.84;85D.85;866．如右图的程序框图(未完成).设当箭头a 指向①时,输出的结果 s =m,当箭头a 指向②时,输出的结果s =n,则m+n= ( )A.30B.20C.15D.57．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ） A.14B.24C.28D.488．计算机执行下面的程序，输出的结果是( )a=1 b=3 a=a+b b=b *a PRINT a ，b ENDA 、1，3B 、4，9C 、4，12D 、4，8 9．73)212(xx -的展开式中系数为有理数的项的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则P 到四个顶点的距离均大于2的概率是（ ）A.44π- B. 14 C. 34π- D. 1811．310(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是（ ）(A) 60 (B) 180 （C ）207 （D ）26512．甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b ,其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈,若1a b -≤,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 ( )A.19B.29C.718 D.49二、填空题：13在（x －a ）10的展开式中，x 7的系数是15，则实数a=_____14. 若231()nx x+展开式的各项系数之和为32，则n = ,15. 将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种． （16题图）16. 如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．三、解答题17．用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果18．如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？19．有4名老师和4名学生一起照相。
莆田二十四中2016-2017学年高二上学期期中考理科数学试卷 含答案
莆田二十四中2016-2017学年上学期期中考试试卷高二数学(理）2016。
11.14细心作答，祝你成功！一、选择题1.某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生A. 1030人B。
97人 C. 950人D。
970人2．把11化为二进制数为( )。
A．1 011（2）B．11 011（2）C．10 110（2）D．0 110（2)3．已知(x＋33x）n展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于( ）A．4 B．5 C．6 D．74。
从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A.40种B。
60种C。
100种D。
120种5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．46。
某同学通过计算机测试的概率为错误!，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( ）A。
错误! B.错误! C.错误! D.错误!7.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ )A ．A 错误!A 错误!B ．A 错误!A 错误
1a = 3b = a a b =+ b a b =- PRINT a ，b福建莆田二十四中上学期期中考高二数学（理科）试卷一.选择题（共10小题，每小题5分，共50分．）1．检查汽车排放尾气的合格率，其环保单位在一路口随机抽查，这种抽样是（ ） A ．简单随机抽样 B ．随机数表法 C ．系统抽样 D ．分层抽样 2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）A ．1,3B ．6,0C ．0,0D ． 4,13．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 ( )A ．23397C C B ．2332397397C C +C C C ．514100397C -C C D ．5510097C -C4．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。
在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为（ ）A ．21 B ． 4πC ． 21π- D ．44π-5．从6名学生中，选出4人分别从事A 、B 、C 、D 四项不同的工作，若其中，甲、乙两人不能从事工作A ，则不同的选派方案共有（ ）A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种6、某大学自主招生面试环节中，七位评委为考生A 打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为85，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法 看清，若统计员计算无误，则数字x 应该是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．9 6．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B （6，12），则P （ξ=3）的值是（ ）A ．516 B ．316C ． 58D ．387、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（ ）A ．51B ．53C ．54D ．318、 右图给出的是计算201614121++++Λ的值的一个流程图，其中判断 框内应填入的条件是A 、 10>iB 、10<iC 、20>iD 、20<i9、在()na b +展开式中，若第14项与第15项的二项式系数之比为1：2,则二项式系数最大的项是（ ）A ．第17项B ．第18项C ．第20项或第21项D ．第21项或第22项10、设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++L ，则01211a a a a ++++L 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2二.填空题（本大题共有5小题，每小题4分，共20分.）11、A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，若A ，B 必须相邻，那么不同的排法共有 种 12、已知超几何分布满足X ～H （8，5,3），则P(X=2)=_________ 13、把“五进制”数)5(1234转化为“四进制”数的末尾数是_________14、如图，它满足①第n 行首尾两数均为n ，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行)2(≥n 第2个数是_______.1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 615、在区间[]10，上随机取两个数，则这两个数之和小于32的概率为 三.解答题：（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16、（本题满分13分） 甲、乙等6人按下列要求占成一排，分别有多少种不同站法？ （1）甲乙不相邻；（2）甲乙之间恰好相隔两人；（3）甲不站在最左边，乙不站在最右边； 17、（本题满分13分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量） 共有100个数据，将数据分组如右表：（1）画出频率分布直方图；（2）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数18、（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额。
福建省莆田市高二上学期期中数学试卷(理科)
福建省莆田市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·海南模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）命题p:对，都有成立，则P的否定形式为（）A . 对，都有B . ，都有C . ，都有D . 对，都有3. （2分）函数的零点所在的大致区间是（）A . (1,2)B . (2,e)C . (e,3)D .4. （2分）△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（）A .B .C . -D .5. （2分） (2016高二上·湖州期中) 已知向量，则与的夹角为（）A . 0°B . 45°C . 90°D . 180°6. （2分）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A . ab=0B . a+b=0C . a=bD . =07. （2分） (2017高二上·大庆期末) 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（）A . 24B . 80C . 64D . 2408. （2分）(2017·茂名模拟) 过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a2、a4是方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根，则S5的值为（）A .B . 5C . -D . -510. （2分）设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图像过区域的的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高三上·凌源期末) 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点且倾斜角为的直线与拋物线交于两点，若，垂足分别为，则的面积为（）A .B .C .D .12. （2分）若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·南通期中) 已知等差数列{an}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为________．14. （1分） (2016高三上·嘉兴期末) 设，，直线，圆．若圆既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是________．15. （1分）执行如图程序，当输入68时，输出的结果是________．16. （1分）已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若=2，则k=________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二上·南昌期中) 已知函数f（x）=（x﹣2m）（x+m+3）（其中m＜﹣1），g（x）=2x﹣2．（1）若命题p：log2[g（x）]≥1是假命题．求x的取值范围；（2）若命题q：x∈（﹣∞，3）．命题r：x满足f（x）＜0或g（x）＜0为真命题．￢r是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．18. （10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥BD，∠DAB=60°，AE⊥BD，CB=CD=AE=DE=1；（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求直线AB与平面BDE所成角的正弦值．19. （10分） (2016高一下·汕头期末) 在△ABC中，（5a﹣4c）cosB﹣4bcosC=0．（1）求cosB的值；（2）若c=5，b= ，求△ABC的面积S．20. （10分） (2019高一上·利辛月考) 在数列中，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．21. （10分） (2016高一下·高淳期末) 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米（50≤x≤100）（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+ ）升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．22. （10分） (2017高二下·河北开学考) 已知椭圆C：的上顶点M与左、右焦点F1、F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
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第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生 A. 1030人 B. 97人 C. 950人 D.970人 【答案】D 【解析】试题分析：设女生人数为10320009702002000nn n -∴=∴= 考点：分层抽样2.把11化为二进制数为( ). A ．1 011(2)B ．11 011(2)C ．10 110(2)D ．0 110(2)【答案】A 【解析】试题分析：1 011(2)= 32101101111111⨯+⨯+⨯+⨯=，所以把11化为二进制数为1 011(2) 考点：进制转化 3.已知(x ＋33x)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C 【解析】试题分析：由各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64可得46426462n nn n =∴=∴=考点：二项式定理4.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A.40种 B.60种 C. 100种 D. 120种 【答案】B考点：排列组合问题5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】D 【解析】试题分析：程序执行中的数据变化为：1,0,1,12,2,1,12,n s s n s ===--≥==≥3,2,n s ==-22,4,2,22n s -≥==≥成立，输出4n =考点：程序框图6.某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( ) A. 49 B. 29 C. 427 D. 227【答案】A 【解析】试题分析：由独立重复试验概率公式可得12131141339P C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭考点：独立重复试验问题7.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )A ．8289A AB ．82810A AC ．8287A AD ．8286A A【答案】A考点：排列问题8.在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（ ） Ａ．53Ｂ．52 Ｃ．101 Ｄ．95 【答案】D 【解析】试题分析：先求出“第一次摸到红球”的概率为：163105P ==， 设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是2P 再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为6511093P ⨯==⨯， 根据条件概率公式，得：2159P P P == 考点：条件概率与独立事件 9.今天为星期四，则今天后的第20162天是 （ ）A ．星期 二B ．星期三C ．星期四D ．星期五【答案】D 【解析】 试题分析：()6722016672067216716726726726726722871771C C C ==+=⨯+⨯++⨯∴20162除7的余数是1，故今天为星期四，则今天后的第20162天是星期五考点：二项式定理的应用10.从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加C，D两科竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A．24 B．48 C．72 D．120【答案】C【解析】试题分析：∵从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，∴可分为以下几步：（1）先从5人中选出4人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加．有甲参加时，选法有：34C＝4种；无甲参加时，选法有：44C＝1种．（2）安排科目有甲参加时，先排甲，再排其它人．排法有：1323A A＝12种．无甲参加时，排法有44A＝24种．综上，4×12+1×24=72．∴不同的参赛方案种数为72考点：排列组合题11.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )A. 16B.13C.23D.45【答案】C【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm 2的概率10221203p -==-考点：几何概型12.有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A 、3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（ ） A ．0.59 B ．0.54 C ．0.8 D ．0.15【答案】A 【解析】试题分析：：①若第一次在第一个盒子任取一球有110C 种方法，若取得是标有字母A 的球有17C 种方法；则第二次在第二号盒子中任取一球有110C 种方法，任取一个红球有15C 种方法．根据相互独立事件的概率计算公式可得1175111101035100C C P C C ==； ②：①若第一次在第一个盒子任取一球有110C 种方法，若取得是标有字母B 的球有13C 种方法；则第二次在第三号盒子中任取一球有110C 种方法，任取一个红球有18C 种方法．根据相互独立事件的概率计算公式可得1138211101024100C C P C C ==； 根据互斥事件的概率计算公式可得：试验成功的概率120.59P P P =+= 考点：相互独立事件的概率乘法公式第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.72x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)【答案】84 【解析】试题分析：72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()77217722rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令723r -=得2r =，所以x 4的系数是()227284C -=考点：二项式定理14.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________ 【答案】0.8 【解析】试题分析：敌机未被击中的概率为0.40.50.2⨯=，所以敌机被击中的概率为1-0.8=0.2 考点：相互独立事件同时发生的概率15.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．观察图形的信息，则[70，80)段有 名学生。
【答案】18 【解析】试题分析：由频率分布直方图可知[70，80)段的频率为1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3，所以对应的人数为600.318⨯=考点：频率分布直方图16.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 【答案】0.128 【解析】试题分析：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A ， 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错； 有相互独立事件的概率乘法公式， 可得P （A ）=1×0.2×0.8×0.8=0.128， 故答案为0.128．法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A ， 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P （A ）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128 考点：相互独立事件的概率乘法公式三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）（1）已知nx )21+（的展开式中第6项和第7项的系数相等求n 及二项式系数的最大项。
（2）已知5025001250(2),a a x a x a x =++++求220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++的值；【答案】(1) n=8 41120x (2) 1 【解析】试题分析：（1）由展开式的通项公式结合第6项和第7项的系数相等可得到n 的方程，求得n 值，从而得到二项式系数的最大项；（2）令1x =±赋值可求得系数和试题解析：(1)展开式的通项公式为()122rr r r r r n n T C x C x +==，所以556622n n C C =，解方程得8n = 所以二项式系数最大的项为44445821120T C x x ==（2）令1x =得(50012502a a a a ++++=-，令1x =-得(50012502a a a a -+-+=+()()2202450135490125001250()()a a a a a a a a a a a a a a a a ∴++++-++++=++++-+-+((5050221=⨯+=考点：二项式定理及系数和问题18.（12分）已知集合Z ＝{(x ，y)|x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]}． (1)若x ，y ∈Z ，求x ＋y ≥0的概率； (2)若x ，y ∈R ，求x ＋y ≥0的概率． 【答案】(1) 89(2) 78【解析】试题分析：（1）因为x ，y ∈Z ，且x ∈[0，2]，y ∈[-1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x ，y ∈Z ，x+y ≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率；（2）因为x ，y ∈R ，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x ，y ∈Z ，求x+y ≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率试题解析：(1)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0，2]，即x ＝0，1，2；y ∈[－1，1]，即y ＝－1，0，1.则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝89. 故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89. (2)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为事件B ， ∵x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P(B)＝ABCDS S 阴影四边形＝1112ABCD ABCDS S -⨯⨯四边形四边形＝12211222⨯-⨯⨯⨯＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为78.考点：几何概型中的面积类型和古典概型19.（12分）（必须列式，不能只写答案，答案用数字表示）有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）求共有多少种放法；（2）求恰有一个盒子不放球，有多少种放法； （3）求恰有两个盒内不放球，有多少种放法； 【答案】(1)256 (2)144 (3)84 【解析】试题分析：（1）直接利用分步计数原理求解即可；（2）“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，通过小球分组然后求解即可；（3）四个不同的球全部放入4个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球的不同放法的求法，分为两步来求解，先把四个球分为两组，再取两个盒子，作全排列，由于四个球分两组有两种分法，一种是2，2，另一种是3，1，故此题分为两类来求解，再求出它们的和试题解析：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44=256种．（2）“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．选择一个盒子放2个球，有1244C C ，选择2个盒子各放一个球的方法数：23A ， 共有方法数：122443C C A =144种放法．（3）四个球分为两组有两种分法，（2，2），（3，1）若两组每组有两个球，不同的分法有2422C A =3种，恰有两个盒子不放球的不同放法是3×24A =36种，若两组一组为3，一组为1个球，不同分法有34C =4种恰有两个盒子不放球的不同放法是4×24A =48种，综上恰有两个盒子不放球的不同放法是36+48=84种 考点：排列、组合的实际应用20.（12分）如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点. (1)求证：1A B ∥面1ADC ；(2)求直线11B C 与平面1ADC 所成角的余弦值.【答案】(1) 略 （2）1/3 【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面ADC 1的法向量，证明1A B m ＝2×2+0×(−2)+(−4)×1＝0，即可证明A 1B ∥面ADC 1；（2）求出：11B C ＝(−2，2，0)，利用向量的夹角公式，即可求直线11B C 与平面1ADC 所成角的余弦值试题解析：（1）证明：如图，以{AB ，AC ，AA 1}为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz ，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），A 1（0，0，4），D （1，1，0），B 1（2，0，4），C 1（0，2，4） ∴1A B ＝(2，0，−4)，AD ＝(1，1，0)，1AC ＝(0，2，4)， 设平面1ADC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，由1,m AD m AC ⊥⊥ ∴0240x y y z +=⎧⎨+=⎩取z=1，得y=-2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为m ＝(2，−2，1)由此可得，1m A B ＝2×2+0×(−2)+(−4)×1＝0，又A 1B ⊄平面ADC 1，∴A 1B ∥面ADC 1． （2）解：11B C ＝(−2，2，0)，设直线11B C 与平面1ADC 所成角为θ，则11111122sin cos ,B C m B C m B C mθ===又θ为锐角，∴直线11B C 与平面1ADC 所成角的余弦值为13考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角21.（12分）高二数学期中测试中，为了了解学生的考试情况，从中抽取了n 个学生的成绩（满分为100分）进行统计.按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60), [90,100]的数据）.(1)求样本容量n 和频率分布直方图中,x y 的值；(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，所抽取的3名同学中至少有一名成绩在[90,100]内的概率。