湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

湖南省长沙市雅礼中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥﹣1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1]B ．（﹣1，2）C ．∅D ．[﹣1，2]2．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（ ） A ．πB ．3πC ．2πD ．4π3．若点2)在直线l ：10ax y ++=上，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．120︒4．已知函数f (x )＝1,0,0xx x a x -≤⎧⎨>⎩，若f (1)＝f (－1)，则实数a = A ．1 B ．2 C ．3D ．45．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β6．已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ，点(),P x y 在直线210x y +-=上，则MP 的最小值是（ ）A B C D ．7．设2()3xa =，13()2x b -=，23c log x =，若x ＞1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a8．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AC 所成角是（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．设两条直线的方程分别为x +y ﹣a ＝0、x +y +b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（ ）A ．4B C ．2D ．无法确定10．已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对(,)a b 在坐标平面内所对应点组成的图形为A ．B ．C ．D ．11．已知函数y=f （x ）的定义域为{x|x ∈R ，且x≠2}，且y=f （x+2）是偶函数，当x ＜2时，f （x ）=|2x ﹣1|，那么当x ＞2时，函数f （x ）的递减区间是（ ） A ．（3，5）B ．（3，+∞）C ．（2，+∞）D ．（2，4]12．设函数21(0)()ln 2(0)a x y f x xx x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，若()y f x =的图像上有四个不同的点A 、B 、C 、D 同时满足：①A 、B 、C 、D 、O （原点）五点共线；②共线的这条直线斜率为3-，则a 的取值范围是（ ） A．)+∞ B ．(4)-∞，C．(-∞-，D ．(4)+∞，二、填空题13．若三点A （﹣2，3）、B （﹣3，2）、C （12，m ）共线，则m 的值为_____． 14．设集合A ＝{x |0≤x ≤1}，B={x |1<x ≤2}，函数()242x x Af x x x B ⎧∈=⎨-∈⎩，，，若x 0∈A 且()032f x =，则x 0的值是_____． 15．将底边长为2的等腰直角三角形ABC 沿高线AD 折起，使∠BDC ＝60°，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为_____．16．在平面直角坐标系中，两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）间的“L 距离”定义为|P 1P 2|＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，记平面内与x 轴上两个不同的定点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0）的“L 距离”之和等于定值2a （a ＞0）（大于|F 1F 2|）的点的轨迹是T ，则T 围成的面积是_____．三、解答题17．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC 1D 1； （2）求三棱锥E ﹣FCB 1的体积．18．已知ABC ∆三边所在直线方程：:3260AB l x y -+=，:23220AC l x y +-=，:340BC l x y m +-=（,30m R m ∈≠）.（1）判断ABC ∆的形状；（2）当BC 边上的高为1时，求m 的值.19．某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -．（1） 证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ； （2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知112110,20,30,13AB A B AA AA ====（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？20．已知函数()()22xx af x a R =-∈． （1）若函数y ＝f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）若方程f （x ）＝a 在x ∈[0，1]上有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 21．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC =90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A AB ，AC =2，A 1C 1=1，12BD DC =. （1）证明：BC ⊥A 1D ；（2）求二面角A -CC 1-B 的余弦值．22．设函数()()log 3a f x x a =-（0a >且1a ≠），当点(),P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点()2,Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；（2）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数()()()22h x h x F x a a --⎡⎤=-+⎣⎦，是否存在实数,()m n m n <，使函数()F x 的定义域为(),m n ，值域为(),m n .如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，说明理由；（3）若当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，试确定a 的取值范围.参考答案1．B 【分析】直接利用交集的运算求解即可. 【详解】解:因为A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1}, 所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2}. 故选:B . 【点睛】本题考查了交集的运算,属基础题. 2．D 【分析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可. 【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的表面积221214S πππ=⨯+⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题. 3．C 【解析】210,a ++=∴=10y ++=，据此可得，直线l 的倾斜角为60︒. 本题选择C 选项.4．B 【解析】根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选:B 5．D 【解析】在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误； 在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误； 在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确． 故选D ．6．B 【分析】令直线l 的参数k 的系数等于零，求得定点M 的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得MP 的最小值. 【详解】直线:20l kx y k -+-=，即()120k x y --+=，过定点()1,2M ， 点(),P x y 在直线210x y +-=上，12y x ∴=-，MP ∴===故当15x =-时，MP ，故选B. 【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题. 7．B 【分析】根据x ＞1,取x =2,则可以得到a ,b ,c 的具体值,然后比较大小即可. 【详解】解:由x ＞1,取x =2,则2()439x a ==,123()23x b -==,2233log log 20c x ==<,所以b a c >>. 故选:B . 【点睛】本题考查了指数和对数大小的比较,解题的关键是根据条件取特殊值,属基础题.8．C 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AC A C ， 所以11B AC ∠即为所求（或其补角）.连接1B C ，因为1111B C AC A B ==，所以11B 60AC ∠=︒. 故选C. 9．C 【分析】根据条件,由韦达定理可得1a b +=-,然后利用平行线间的距离公式求出距离. 【详解】解:因为a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根,所以1a b +=-,所以两直线间的距离2d ==. 故选:C . 【点睛】本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题. 10．C 【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴可画出图象如图1所示．；由x 2+2x=3，解得x=﹣3或x=1；又当x=﹣1时，（﹣1）2﹣2=﹣1．①当a=﹣3时，b 必须满足﹣1≤b≤1，可得点（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|AB|=1﹣（﹣1）=2；②当﹣3＜a≤﹣1时，b必须满足b=1，可得点（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|BC|=（﹣1）﹣（﹣3）=2．如图2所示：图2；故选C．点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了.11．D【详解】∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），则函数f（x）关于x=2对称，则f（x）=f（4﹣x）．若x＞2，则4﹣x＜2，∵当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，∴当x＞2时，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|，则当x≥4时，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16×，此时函数递增，当2＜x≤4时，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16×﹣1，此时函数递减，所以函数的递减区间为（2，4]，故选D．考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．12．A 【详解】由题过A 、B 、C 、D 、O 的直线y 3x =-，当x 0>时，记()2g ln 2x x x =-，则()241g'x x x-+=()g x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减，与y 3x =-有两个交点C 、D ．故当0x <时1y a x=+与y 3x =-在第二象限()0a >有两个交点即可，联立可得23ax 10x ++=，由2120a ∆=->且-a>0得a >故选A点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 13．112【分析】根据三点共线与斜率的关系列出关于m 的方程,然后求出m 即可. 【详解】解:因为三点A (﹣2,3)、B (﹣3,2)、C (12,m )共线, 所以()32312322m--=-----,解得m 112=. 故答案为:112.【点睛】本题考查了三点共线和斜率的关系,属基础题.14．23log 2【分析】根据0x ∈A ,可得00()2xf x =,然后解出0x 即可. 【详解】解:因为A ＝{x |0≤x ≤1},B={x |1<x ≤2},函数()242x x Af x x x B ⎧∈=⎨-∈⎩，，, 若0x ∈A ,则00()2xf x =,因为()032f x =, 所以0322x =,所以023log 2x =. 故答案为:23log 2.【点睛】本题考查了分段函数求值和指数方程的解法,属基础题. 15．73π 【分析】先求出底面BCD ∆外接圆的半径r ,再求出球O 的半径OD ,然后利用球的表面积公式求出球O 的表面积.【详解】解:如图,在BCD ∆中,1BD =,1CD =,60BDC ∠=︒,设底面BCD ∆外接圆的圆心为M ,半径为r ,则012sin 60r =,所以r =因为AD 是球的弦,1AD =,因为A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上,所以1122OM AD ==, 所以球O的半径R OD ===所以球O 的表面积2743S R ππ==.故答案为:73π. 【点睛】 本题考查了球表面积的求法和球的内接多面体问题,考查空间想象力和计算能力,属中档题. 16．2222a c -【分析】设平面上的点为(,)x y ,根据题意可得||||2||2x c x c y a ++-+=,然后去绝对值,化简方程,再根据轨迹T 求出面积.【详解】解:设平面上的点为(,)x y ,由题意,得||||||||2x c y x c y a +++-+=,所以||||2||2x c x c y a ++-+=.当x c <-,0y 时,方程化为2220x y a -+=;当x c <-,0y <时,方程化为2220x y a ++=;当c x c -<,0y 时,方程化为y a c =-;当c x c -<,0y <时,方程化为y c a =-;当x c ,0y 时,方程化为2220x y a +-=;当x c ,0y <时,方程化为2220x y a --=.则轨迹T 的图象如图所示:所以T 围成的面积S 221(22)()2222a c a c a c =⨯+⨯-⨯=-. 故答案为:2222a c -.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,考查了分类讨论思想,属中档题.17．(1)证明见解析 (2)1【分析】(1)要证//EF 平面11ABC D ,只需证EF 与平面11ABC D 内的直线1BD 平行即可;(2)先证明CF ⊥平面BB 1D 1D ,然后求出底面1EFB ∆的面积和三棱锥的高CF ,再由1E FCB V -=1113C EFB EFB V S CF -∆=⋅求出体积. 【详解】解:(1)连接1BD ,因为E 、F 分别为DD 1、DB 的中点,所以EF 是三角形BD 1D 的中位线,即EF ∥BD 1,又EF ⊄平面ABC 1D 1,BD 1⊂平面ABC 1D 1,所以EF ∥平面ABC 1D 1.(2)在BCD ∆中,因为CB =CD ,F 为BD 的中点,所以CF ⊥BD ,又1BB CF ⊥,1BB BD B ⋂=,所以CF ⊥平面BB 1D 1D .由条件知在1EFB ∆中,EF =B 1F =13B E =,所以22211EF B F B E +=,所以1EF B F ⊥,所以12EFB S ∆=,CF =所以111113E FCB C EFB EFB V V S CF --∆==⋅=, 所以三棱锥E ﹣FCB 1的体积为1.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,线面垂直的判定定理和三棱锥体积的求法,考查了转化思想和推理能力,属中档题.18．（1）ABC ∆为直角三角形；（2）25m =或35m =.【解析】试题分析：（1）计算三角形各边的斜率，发现•1AB AC k k =-，AB 与AC 互相垂直． （2）解方程组求得A 的坐标，由点到直线的距离公式求得m 的值．试题解析：（1）直线AB 的斜率为32AB k =，直线AC 的斜率为23AC k =-， 所以•1AB AC k k =-，所以直线AB 与AC 互相垂直，因此，ABC ∆为直角三角形；（2）解方程组3260{23220x y x y -+=+-=，得2{6x y ==，即()2,6A . 由点到直线的距离公式得305m d -==当1d =时，3015m-=，即305m -=，解得25m =或35m =.19．（1）见解析 （2）484元【详解】（1）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，所以22,AA AB AA AD ⊥⊥又因为AB AD A ⋂=，所以2AA ⊥平面ABCD连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以2AA BD ⊥因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．根据棱台的定义可知，BD 与11B D 共面． 又已知平面//ABCD 平面1111D C B A ，且平面11BB D D ⋂平面ABCD BD =平面11BB D D ⋂111111A B C D B D =，所以11//B D BD ，于是由211,,//AA BD AC BD B D BD ⊥⊥，可得211AA B D ⊥，11AC B D ⊥又因为2AA AC A ⋂=，所以11B D ⊥平面22ACC A ．（2）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以 22222221222()410410301300()A B C D S S S A B AB AA cm =+=+⋅=+⨯⨯=四个侧面又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以于是该实心零部件的表面积为212130*********()S S S cm =+=+=，故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=（元）【点评】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查20．(1)a ＝1；(2)[12，43]． 【分析】(1)根据f (x )为奇函数可得(0)10f a =-=,从而得到1a =,然后验证a =1时函数是否为奇函数即可;(2)设2x t =,将问题转化为20t at a --=在[1t ∈,2]上有且仅有一个实根,然后结合二次函数的性质求出a 的范围.解:(1)因为函数()22x xa f x =-()x R ∈为奇函数, 所以(0)10f a =-=,所以1a =.当1a =时,1()22x x f x =-, 所以()11()2(2)()22x x x x f x f x ---=-=--=-, 所以()f x 为奇函数,符合题意,所以1a =.(2)设2x t =,因为x ∈[0,1],所以[1t ∈,2],则由方程()f x a =,即22x x a a -=,得a t a t-=,所以20t at a --=, 所以原问题等价于20t at a --=在[1t ∈,2]上有且仅有一个实根,设2()(12)g t t at a t =--≤≤,①当方程的根在区间的端点时,1t =或2t =,若g (1)10a a =--=,则12a =,此时211022t t --=, 所以x =1或x =12-,所以在区间[1,2]上有且只有一个实根,符合题意; 若g (2)420a a =--=,则43a =,此时244033t t --=, 所以x =2或x =23-,所以在区间[1,2]上有且只有一个实根,符合题意; ②当方程的根在区间的内部时,由方程在(1,2)内有且仅有一个实根,有g (1)g (2)0<或240212a a a⎧∆=+=⎪⎨⎪⎩,所以1423a <<, 综上,a 的取值范围为1[2,4]3. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,一元二次函数根的分布和一元二次函数与一元二次方程的关系,考查了分类讨论思想和转化思想,属中档题.21．(1)详见解析;(2) .试题分析: （1）由线面垂直的性质定理可得1A A BC ⊥,在Rt ABC △中，根据长度比例可得DBA ABC ∽,可推出AD BC ⊥,再由线面垂直的判定定理推出BC ⊥平面1A AD ，根据定义得出结论成立;(2) 作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ，由线面垂直得到线线垂直,找到二面角的平面角, 过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点，在三角形中求出1C CF ∠,再从Rt AEC △和Rt BAE △中分别求出AE 和BE,代入公式即可.试题解析：（1） 1A A ⊥平面ABC BC ，⊂平面ABC ，∴ 1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，2AB AC BC ==∴=，:1:2BD DC =，BD ∴=BD AB AB BC==， DBA ABC ∴∽，90ADB BAC ∴∠=∠=，即AD BC ⊥．又1A A AD A =，BC ∴⊥平面1A AD ， 又A 1D ⊂平面1A AD .BC ∴⊥A1D.（2）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ，由已知得AB ⊥平面11ACC A ．∴AB┴CC1，又CC 1AE=E,∴CC 1┴平面AEB, ∴CC 1┴BE,AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点，则1CF AC AF =-=，11C F A A =，160C CF ∴∠=．在Rt AEC △中，sin602AE AC === 在Rt BAE △中，AB=, AE=, ∴BE=．即二面角1A CC B --的余弦值为．22．(1) 1()log ag x x a =- (2) 0,1m n == (3)9012a <≤ 【解析】 试题分析：（1）设点Q 的坐标为(),x y ''，利用x '=x-2a ，y '=-y ，转化x=x '+2a ，y=-y '．通过点P （x ，y ）在函数y=log a （x-3a ）图象上，代入即可得到函数y=g （x ）的解析式；(2)()2 2(0)F x x x x =-+>，因为()(]()(],1,,,1F x m n ∈-∞⊆-∞所以，故1n ≤，()F x 所以在(),m n 上单调递增，()()F m m F n n⎧=⎪⎨=⎪⎩，即m n 、为()F x x =的两相异的非负的实数，解方程即得,m n 的值；(3) 通过[]2,3x a a ∈++，求出()()f x g x -的最大值，利用最大值≤1，即可确定a 的取值范围；试题解析：（1）解：设点Q 的坐标为(),x y ''，则2,x x a y y -'='=-，即2,x x a y y +'==-'.点(),P x y 在函数()log 3a y x a =-图象上， ()log 23a y x a a ∴-=+-''，即1log ay x a =''-, ()1log a g x x a∴=-. （2）()22(0)F x x x x =-+>，()(]()(],1,,,1F x m n ∈-∞∴⊆-∞，故1n ≤()F x ∴在(),m n 上单调递增，()()F m m F n n⎧=⎪⎨=⎪⎩，即m n 、为()F x x =的两相异的非负的实数 即22x x x -+=，解得0,1m n ==.（3）函数()()()1log 3log a a f x g x x a x a-=---， 由题意[]2,3x a a ∈++，则()23220a a a +-=-+>，又0a >，且1,01a a ≠∴<< ()()()()221|log 3log log 43|a a a f x g x x a x ax a x a -=--=-+-， ()()()22||11log 431a f x g x x ax a -≤∴-≤-+≤，又()2243r x x ax a =-+对称轴为2x a =， 0122a a a <∴+，则()2243r x x ax a =-+在[]2,3a a ++上为增函数，∴函数()()22log 43a u x x ax a =-+在[]2,3a a ++上为减函数，从而()()()()()()max min 2log 44.3log 96a a u x u a a u x u a a ⎡⎤⎡⎤=+=-=+=-⎣⎦⎣⎦， 又01a <<，则()()log 961log 441a a a a ⎧-≥-⎪⎨-≤⎪⎩， 9012a -∴<≤. 点睛：本题考查利用相关点法求函数的解析式，二次函数利用单调性求值域及函数恒成立问题，综合知识点多，难度较大，注意计算的准确性.。