8.3空间点、直线、平面之间的位置关系
8-3 空间点、直线、平面之间的位置关系
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(3)一个常用结论． 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该 点的直线是异面直线，如图．
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如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是 A1B1、B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由． (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
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1 (2)∵EF 綊2CD1，∴直线 D1F 和 CE 必相交， 设 D1F∩CE＝P. ∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D， ∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE⊂平面 ABCD， ∴P∈平面 ABCD， 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点， 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D＝AD， ∴P∈AD.∴CE、D1F、DA 三线共点．
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3．直线和平面的位置关系
位置关系 公共点 符号表示 直线a在 平面α内 直线a与平面 直线a与平 α相交 面α平行
无数个 公共点 一个 公共点 无 公共点 a⊂α a∩α＝A a∥α
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(4)异面直线所成的角：不同在任何一个平面内的两条 直线叫做
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系(精讲)(解析版)
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系【考纲要求】1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2.了解两点间距离、点到平面的距离的含义.3.理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念.【知识清单】知识点1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．知识点2．空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．abc V = 知识点3．异面直线所成的角异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(π.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．知识点4．直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.知识点5．二面角1．求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．【考点梳理】考点一 ：平面的基本性质【典例1】（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【典例2】（2020·全国高考真题（文））如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）因为长方体1111ABCD A BC D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC =所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内【规律方法】1.证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合【变式探究】1.（2019·河南高三月考（文））如图，1111ABCD A B C D －是平行六面体，O 是11B D 的中点，直线1AC 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（ ）A.1A M O A 、、、不共面B.A M O 、、三点共线C.A M O C 、、、不共面D.1B B O M 、、、共面【答案】B【解析】如图所示：连接11AC ，因为AO ⊂平面11AB D ，AO ⊂平面11ACC A ，所以AO 是平面11AB D 与平面11ACC A 的交线；又因为直线1AC 交平面11AB D 于点M ，所以M ∈AO ，所以AM O 、、三点共线，则B 正确；因为M ∈平面11ACC A ，所以1A M O A 、、、共面，故A 错误，同理可知C 错误；显然M 不是1AC 中点，所以1B B O M 、、、不共面，故D 错误，故选：B.2.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．【答案】见解析【解析】证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12， ∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．【总结提升】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.考点二： 空间线、面的位置关系【典例3】（2019·全国高考真题（理））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【典例4】（2020·江苏省高考真题）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC BC C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1ABC ,由于AB 平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【总结提升】1.判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．(2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．2．三种平行关系的转化：3. 三种垂直关系的转化 线线垂直判定定理性质线面垂直判定定理性质定理面面垂直4.证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．5.证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【变式探究】1．(2019年高考全国Ⅲ卷理)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，M F ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，5,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．2．（2019·北京高考真题（文））已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【总结提升】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.考点三： 异面直线所成的角【典例5】（2020·全国高三课时练习（理））在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''－中，异面直线A D '与AB '所成角的大小是________. 【答案】π3【解析】在正方体ABCD A B C D ''''－中，连接,,A D AB B C '''，如图所示：则//A B DC ''，且A B DC ''=，所以四边形A B CD ''是平行四边形，所以//A D B C ''，所以AB C ∠'或其补角是异面直线A D '与AB '所成的角，连接AC ，则AB C ' 所以3AB C π∠'=，所以异面直线A D '与AB '所成的角为π3 故答案为：π3. 【规律方法】1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是]2,0(π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．2．向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a ，b ，则两异面直线所成角θ满足cos θ＝||a ||||·a b b ⋅. 【变式探究】（2019·四川棠湖中学高二月考）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A.2πB.C.D.3π 【答案】A【解析】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22252()22a A B a BM a a ==+=，，2A M ==，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ．故选：A ．考点四： 直线与平面所成角【典例6】（2020·浙江省高考真题）如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II 【解析】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ．∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ， ∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥．∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH ==⇒=．在CBH 中，22222cos45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥． 由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BHDH H =，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥．（Ⅱ）因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角．作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD ，因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD 平面BHD BD =， HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则CH =，BH DH HG BD ⋅===，∴sinHG HCG CH ∠===．故DF 与平面DBC 所成角的正弦值为3【典例7】（2018·天津高考真题（文））如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =BAD =90°．（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DMAD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN在等腰三角形DMN中，MN=1，可得12cosMNDMNDM∠==．所以，异面直线BC与MD（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CMABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD．在Rt△CMD中，sinCMCDMCD∠==所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为4．【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式探究】1. （2019·陕西高三月考（理））已知正方体1111ABCD A BC D -的体积为，点P 在正方形1111D C B A上，且1,A C 到P 的距离分别为CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )C.12D.13【答案】A【解析】易知AB =1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算12C P ==；又1112,4A P AC ==，所以点P 是11AC 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，tan 2CO CPO PO ∠==2.（2019·全国高三月考（理））已知球内接三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，32π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为________.【答案】10【解析】如图:由正弦定理得小圆1O 的半径为:60r =1=,则2AD =, 又由343233R ππ=,得球的半径R 2=,所以AP ===取AB 的中点E ,连接PE ,CE ,则CPE ∠就是直线PC 与平面PAB 所成的角,又PC2PE ===,所以cosCPE ∠=10=.直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为10. 考点五： 二面角【典例8】（2019·浙江高考真题）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<< 【答案】B【解析】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PD ED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin α=⇒α=β=γ=，故选B. 【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找平面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.（1）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．【变式探究】（2019·河北高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=.若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____；当四棱锥P ABCD -的体积取得最大值时，二面角A PC D --的正切值为_______.【答案】6π【解析】(1)．设()03CD x x =<<，则3PD x =-.∵AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，从而球O 的表面积为()2243126x πππ⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.(2)．四棱锥P ABCD -的体积()()213033V x x x =⨯-<<， 则22V x x '=-+，当02x <<时，0V '>；当23x <<时，0V '<. 故()max 2V V =，此时2AD CD ==，1PD =.过D 作DH PC ⊥于H ，连接AH ，则AHD ∠为二面角A PC D --的平面角.∵DH ==，∴tan AD AHD DH ∠==此时截面圆的半径22d R r -=最小，此时截面圆的面积最小，而OP ==,所以32r ==， 所以截面圆面积294S r ππ==. 故答案为：17π；94π。
理第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类{共面直线{平行相交)异面直线：不同在任何一个平面内)(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：． (0，π2](3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系位置关系 图形表示符号表示公共点 直线a 在 平面α内a ⊂α有无数个公共点直线a 与平面α平行a ∥α没有公共点直线a 与 平面α斜交a ∩α＝A直线 在平 面外直线a 与平面α垂直a ⊥α 有且只有一个公共点(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β 没有公共点两平面相 交斜交α∩β＝l有一条公共 直线垂直α⊥β且α∩β＝a判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( )(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (3)两个平面ABC 与DBC相交于线段BC .( ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (教材习题改编)下列命题正确的是( ) A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面解析：选D.A 选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；B 选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；C 选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D 是正确的．(教材习题改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH 为平行四边形． 因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCDA 1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．解析：由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD，因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．答案：平行 AD 平面的基本性质[典例引领]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面．【证明】 如图所示，连接CD 1、EF 、A 1B ， 因为E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， 所以EF ∥A 1B 且EF ＝A 1B .12又因为A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形， 所以A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1， 所以EF 与CD 1确定一个平面α， 所以E 、F 、C 、D 1∈α， 即E 、C 、D 1、F 四点共面．若本例条件不变，如何证明“CE ，D 1F ，DA 交于一点”？证明：如图，由本例知EF ∥CD 1，且EF ＝CD 1，12所以四边形CD 1FE 是梯形，所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ， 又CE ⊂平面ABCD ， 且D 1F ⊂平面A 1ADD 1， 所以P ∈平面ABCD ， 且P ∈平面A 1ADD 1.又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，所以P ∈AD ，所以CE 、D 1F 、DA 三线交于一点．共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上． (3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[提醒] 点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2. (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 证明：(1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD .在△BCD 中，＝＝，BG GC DH HC 12所以GH ∥BD ， 所以EF ∥GH .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， 所以P ∈平面ABC . 同理P ∈平面ADC .所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线． 空间两直线的位置关系[典例引领](构造法)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．② B．②③C．①③D．②④【解析】 对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β或n与β相交，③错误；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错误．因此选A.【答案】 A(1)异面直线的判定方法(2)构造法判断空间两直线的位置关系对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断，可避免因考虑不全面而导致错误，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性． [通关练习]1．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( )A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能解析：选D.在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．故选D.2．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以在图②④中GH 与MN 异面． 答案：②④ 异面直线所成的角(高频考点)从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题．高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度：(1)求异面直线所成的角或其三角函数值； (2)由异面直线所成角求其他量．[典例引领]角度一 求异面直线所成的角或其三角函数值(2017·高考全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A. B. 32155C. D.10533【解析】 如图所示，将直三棱柱ABC A 1B 1C 1补成直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1，连接AD 1，B 1D 1，则AD 1∥BC 1，所以∠B 1AD 1或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝，AD 1＝.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝5260°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝＝，所以12＋22－2×1×2×cos 60°3cos ∠B 1AD 1＝＝，选择C.5＋2－32×5×2105【答案】 C角度二 由异面直线所成角求其他量四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为________．【解析】 如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF ， 因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝.12当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ， EF ＝2EM ＝2×＝.3432【答案】 或1232[通关练习]1．如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( )A. B. 55255C. D ．212解析：选B.如图，取AC 中点G ，连接FG ，EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ；EG ∥BC ，EG ＝BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt12△EFG 中，cos ∠EFG ＝＝＝.FG FE 252552．(2018·安徽安庆模拟)正四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BD 的中点，则异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为________．解析：取BF 的中点G ，连接CG ，EG ，易知EG ∥AF ，所以异面直线AF 、CE 所成的角即为∠GEC (或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE ＝，EG ＝，CG ＝，由332132余弦定理得cos ∠GEC ＝＝＝，所以异面直线AF 、CE 所EG 2＋CE 2－CG22EG ·CE34＋3－1342×32×316成角的余弦值为.16答案：16三个公理的作用公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想． 易错防范(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．(3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]． 1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．2．(2018·赣州四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上． 又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上， 所以平面ABC ∩平面β＝CD .4.如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，D 为AB 的中点，则异面直线CD 与A 1C 1所成的角的大小为( ) A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°解析：选D.因为AC ∥A 1C 1，所以异面直线CD 与A 1C 1所成的角的平面角为∠ACD .由∠ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，D 为AB 的中点，可知，∠CAD ＝∠ACD ＝30°.5.(2018·河北邯郸调研)如图，在三棱锥S ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．以上都有可能解析：选B.连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝SN ，所以在△SMN2323中，＝，所以G 1G 2∥MN ， SG 1SM SG 2SN易知MN 是△ABC 的中位线，所以MN ∥BC ，因此可得G 1G 2∥BC ，即直线G 1G 2与BC 的位置关系是平行．故选B. 6．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； ④若三条直线两两相交，则这三条直线共面． 其中真命题的序号是________．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a ，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内． 答案：①②③7.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误． 答案：③④8.如图所示，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________． 解析：如图，取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1， 因为点D 是AC 的中点，所以B 1D 1∥BD ，所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角．连接AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝a ， 2所以AB 1＝a ，B 1D 1＝a ， 332AD 1＝＝a .14a 2＋2a 232所以，在△AB 1D 1中，由余弦定理得，cos ∠AB 1D 1＝AB ＋B 1D －AD2AB 1·B 1D 1＝＝， 3a 2＋34a 2－94a 22×3a ×32a12所以∠AB 1D 1＝60°. 答案：60°9．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小． 解：(1)如图，连接B 1C ，AB 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． 因为AB 1＝AC ＝B 1C ， 所以∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1. 因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC . 所以EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.10.如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D是PC 的中点．已知∠BAC ＝，AB ＝2，AC ＝2，PA ＝2.求： π23(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． 解：(1)S △ABC ＝×2×2＝2，1233三棱锥P ABC 的体积为V ＝S △ABC ·PA ＝×2×2＝.13133433(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝，AD ＝2，cos ∠ADE ＝＝.222＋22－22×2×234故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为.341．(2018·河南百校联盟质检)在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1和AB 的中点，平面B 1EF 交棱AD 于点P ，则PE ＝( ) A. B. 156233C. D. 32136解析：选D.过点C 1作C 1G ∥B 1F ，交直线CD 于点G ，过点E 作HQ ∥C 1G ，交CD 、C 1D 1于点H 、Q ，连接B 1Q ，HF 交AD 于点P ，HQ ∥B 1F ，所以Q 、H 、F 、B 1四点共面，易求得HD ＝D 1Q ＝14，由△PDH ∽△PAF 可得＝＝2，则PD ＝，在Rt △PED 中，AP PD AF HD 13PE ＝＝，故选D.19＋141362．已知三棱锥A BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 所成的角为60°，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AB 和MN 所成的角为________．解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ， 则PM ∥AB ，且PM ＝AB ，12PN ∥CD ，且PN ＝CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补12角)，则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)． ①若∠MPN ＝60°，因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°， 即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形，所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°. 答案：60°或30°3．(2017·高考全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)解析：由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图． 不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC ＝1，AB ＝，2斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以的方向为x 轴正方向，的方向为y 轴正方向，的方向为z 轴正CD → CB → CA →方向建立空间直角坐标系． 则D (1，0，0)，A (0，0，1)，直线a 的单位方向向量a ＝(0，1，0)，|a |＝1. B 点起始坐标为(0，1，0)，直线b 的单位方向向量b ＝(1，0，0)，|b |＝1. 设B 点在运动过程中的坐标B ′(cos θ，sin θ，0)， 其中θ为与的夹角，θ∈[0，2π)．CB ′→ CD → 那么AB ′在运动过程中的向量＝(cos θ，sin θ，－1)， AB ′→ ||＝. AB ′→2设直线AB ′与a 所成的夹角为α∈， [0，π2]cos α＝＝|sin θ|∈. |（cos θ，sin θ，－1）·（0，1，0）||a ||AB ′→|22[0，22]故α∈，所以③正确，④错误．[π4，π2]设直线AB ′与b 所成的夹角为β，则β∈，[0，π2]cos β＝|AB ′→ ·b ||b ||AB ′→ |＝|（cos θ，sin θ，－1）·（1，0，0）||b ||AB ′→ |＝|cos θ|. 22当AB ′与a 成60°角时，α＝， π3|sin θ|＝cos α＝cos＝×＝. 22π321222因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以|cos θ|＝. 22所以cos β＝|cos θ|＝.2212因为β∈，所以β＝，此时AB ′与b 成60°角． [0，π2]π3所以②正确，①错误． 答案：②③4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．解析：法一：如图，在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有一个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．法二：在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因为CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ (图略)，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交． 答案：无数5.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值． 解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α. 因为A ∈α，B ∈α，E ∈α， 所以平面α即为平面ABE ， 所以P ∈平面ABE ， 这与P ∉平面ABE 矛盾， 所以AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ， 连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角． 因为∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ， 所以AF ＝，AE ＝，EF ＝，322cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22·AE ·EF＝＝， 2＋2－32×2×214所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为.146.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n . (1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？ (3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .解：(1)因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD .又CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥BD .所以EH ∥FG .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形．因为＝＝，所以EH ＝BD . EH BD AE AE ＋EB m m ＋1m m ＋1同理可得FG ＝BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n . n n ＋1故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．(3)证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC ，又EH ∥BD ，所以∠FEH 是AC 与BD 所成的角(或其补角)，因为AC ⊥BD ，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .。
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系一、知识要点：1.平面的基本性质：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2.空间中直线与直线之间的位置关系：空间两条直线的位置关系有且只有三种：如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3.空间中直线与平面之间的位置关系：（1）直线在平面内……有无数个公共点；（2）直线与平面相交……有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行……没有公共点。
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
注意，我们不提倡如下画法．4.平面与平面之间的位置关系：（1）两个平面平行……没有公共点；（2）两个平面相交……有一条公共直线。
二、例题讲解：例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．图1可以用几何符号表示为：___________________________________________．图2可以用几何符号表示为：___________________________________________．分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出．解：图1可以用几何符号表示为：即：平面与平面相交于直线AB，直线a在平面内，直线b在平面内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB．图2可以用几何符号表示为：，△ABC的三个顶点满足条件即：平面与平面相交于直线MN，△ABC的顶点A在直线MN上，点B在内但不在直线MN上，点C在平面内但不在直线MN上．例2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同．分析：图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图．解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图．点评：（1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法．而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习．（2）与本题类似的其它变形还有：用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形．例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）DD1和A1B1的位置关系如何？D1B和AC的位置关系如何？A1C和D1B的位置关系如何？（2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条？（3）和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？（4）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。
8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系一、学习目标 明确考纲要求1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 二、整合教材知识，落实基本能力1．平面的基本性质如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A 且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点P 2．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类：位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． (3)异面直线所成的角：①定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)；②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )解析：选D A 、B 、C 图中四点一定共面，D 中四点不共面． 2．下列说法正确的是( )A ．若a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线B ．若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C ．若a ，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D ．若a ，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面 解析：选D 由异面直线的定义可知选D.3．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是( ) A ．b ⊂α B ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析：选D b 与α相交或b ⊂α或b ∥α都可以．故选D.4．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．答案：1或4三、精研高考题点，提升备考知能平面的基本性质[典例] 如图所示，四边形ABEF 和四边形ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？[解] (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又∵BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 四点共面，证明如下：法一：由BE 綊12AF ，G 为F A 的中点知BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，∴EF ∥CH. ∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．法二：如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 的延长线交于点M ，M ′，∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 的中点． ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 的中点． ∴M 与M ′重合．即EF 与CD 相交于点M (M ′)，∴C ，D ，F ，E 四点共面．共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题，一般有两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一[方法指导]个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题，一般有两种途径：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[变式训练]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)如图，∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．空间两直线的位置关系B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，[典例] 如图，在正方体ABCD-AC1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为______．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)[解析]直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．[答案] ③④异面直线的判定的2种方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)定理法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．[变式训练]1．本例中正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱所在直线中与直线AB 是异面直线的有______条． 解析：正方体共12条棱．与AB 平行的有3条：DC ，D 1C 1，A 1B 1；与AB 相交的有4条：AD ，AA 1，BC ，BB 1；与AB 异面的有4条：CC 1，DD 1，A 1D 1，B 1C 1.答案：42．在图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)解析：图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以在图②④中，GH 与MN 异面．答案：②④异面直线所成的角[典例] 如图所示，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 与PB 所成角的余弦值． [解] (1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α， ∵A ∈α，B ∈α，E ∈α， ∴平面α即为平面ABE ，[方法指导]∴P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 与PB 所成的角．∵∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，P A ⊥平面ABC ， ∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2， cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22·AE ·EF＝2＋2－32×2×2＝14，故异面直线AE 与PB 所成角的余弦值为14.1．找异面直线所成角的三种方法 (1)利用图中已有的平行线平移．(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移． (3)补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤 (1)作：通过作平行线，得到相交直线．(2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角． (3)算：通过解三角形，求出该角．[变式训练]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小． 解：(1)如图所示，连接B 1C ，AB 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体， 易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ， ∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，[方法指导]∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.四、高考真题方向，比努力更重要1．(2015·安徽高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：选D A项，α，β可能相交也可能平行，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．2．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l解析：选D由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.3．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：选D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l 相交．4．(2014·广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.5．(2015·浙江高考)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK . ∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点， 由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴MK ＝ 2. 在Rt △CKN 中，CK ＝(2)2＋12＝ 3. 在△CKM 中，由余弦定理，得 cos ∠KMC ＝(2)2＋(22)2－(3)22×2×22＝78.答案：786．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ， 则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝⎛⎭⎫79也正确.五、经典模拟 落实，比学过更重要1．(2016·福州质检)已知命题p ：a ，b 为异面直线，命题q ：直线a ，b 不相交，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若直线a ，b 不相交，则a ，b 平行或异面，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.2．(2016·大连一模)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直解析：选A 直线A 1B 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF ⊂平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．3．(2016·泉州一模)设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( ) A ．存在唯一直线l ，使得l ⊥a ，且l ⊥b B ．存在唯一直线l ，使得l ∥a ，且l ⊥b C ．存在唯一平面α，使得a ⊂α，且b ∥α D ．存在唯一平面α，使得a ⊂α，且b ⊥α解析：选C a ，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A 不正确；由l ∥a ，且l ⊥b ，可得a ⊥b ，与题设矛盾，故B 不正确；由a ⊂α，且b ⊥α，可得a ⊥b ，与题设矛盾，故D 不正确，故选C.4．(2016·台州一模)以下四个命题中： ①不共面的四点中，任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面； ③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B ①显然是正确的，可用反证法证明．②若A ，B ，C 三点共线，则A ，B ，C，D，E五点不一定共面．③如图，显然b，c异面，故不正确．④空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．5．(2016·绵阳诊断)使直线a，b为异面直线的充分不必要条件是()A．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不平行B．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不相交C．a∥直线c，b∩c＝A，b与a不相交D．a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝l，a与b无公共点解析：选C对A：a与b可能有交点；对B，D：a与b可能平行；对C：可用反证法，若b与a不异面，而且a与b不相交，则a∥b.又a∥c，从而b∥c，与b∩c＝A矛盾．故选C.6．(2016·西安模拟)若直线a，b异面，a∥平面α，则下列结论正确的是()①一定存在平面α使b⊥α；②一定存在平面α使b∥α；③一定存在平面α使b⊂α；④一定存在无数个平面α与b交于一定点．A．①④B．②③C．①②③D．②③④解析：选D①一定存在平面α使b⊥α是错误的，因为当直线a，b不垂直时，就不存在平面α使b⊥α；②一定存在平面α使b∥α是正确的，因为与异面直线a，b公垂线垂直的平面就满足；③一定存在平面α使b⊂α是正确的，因为与异面直线a，b公垂线垂直且过直线b的平面就满足；④一定存在无数个平面α与b交于一定点是正确的，过b一点与直线a平行的平面有无数个．故选D.7．(2015·东北三校联考)如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A 连接A1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，A 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线．8.(2015·内蒙高三期末)如图所示，在三棱柱ABC -A1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B 连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C ，B 1C 与BC 1交于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在三角形GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ，故所求的两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.9．(2016·江苏联考)如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中既与AB 共面又与CC 1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1.故符合条件的有5条．答案：510.（2016·洛阳调研）如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：311．(2016·济南一模)在正四棱锥V -ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA 与BD 所成角的大小为________．解析：如图，设AC ∩BD ＝O ，连接VO ，因为四棱锥V -ABCD 是正四棱锥，所以VO ⊥平面ABCD ，故BD ⊥VO .又四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，又VO ∩AC ＝O ，所以BD ⊥平面VAC ，所以BD ⊥VA ，即异面直线VA 与BD 所成角的大小为π2.答案：π212．(2016·松江二模)如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是______．解析：因为A 1C 1∥AC ，所以异面直线A 1B 与AC 所成角为∠BA 1C 1，连接BC 1，易求A 1B ＝6，所以cos ∠BA 1C 1＝A 1C 1A 1B ＝16＝66. 答案：661．已知空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 的中点．(1)求证：BC 与AD 是异面直线；(2)求证：EG 与FH 相交．证明：(1)假设BC 与AD 共面，不妨设它们所共平面为α，则B ，C ，A ，D ∈α.所以四边形ABCD 为平面图形，这与空间四边形ABCD 相矛盾．所以BC 与AD 是异面直线．(2)如图，连接AC ，BD ，则EF ∥AC ，HG ∥AC ，因此EF ∥HG ；同理EH ∥FG ，则四边形EFGH 为平行四边形．又EG ，FH 是平行四边形EFGH 的对角线，所以EG 与HF 相交．2.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求： (1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，故三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ， 则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角． 在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34.即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.。
8.3空间点、直线、平面之间的位置关系
又∵AB＝CD， ∴PM＝PN，则△PMN 是等边三角形， ∴∠PMN＝60° ，即 AB 与 MN 所成的角为 60° . 若∠MPN＝120° ，则易知△PMN 是等腰三角形． ∴∠PMN＝30° .
又∵平面 ABCD∩平面 A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA 三线共点．
点评：(1)证明四点共面的基本思路有：一是直接证明，即利用公理 或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第 四个点也在这个平面内即可． (2)要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上， 也就是利用公理 3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确 定一直线，然后证明另一点也在直线上．
2.空间两直线的位置关系 5 □ 直线：同一平面内，有且只有一 共面直线 个公共点； (1) 6 直线：同一平面内，没有公共点； □ 异面直线：不同在□ 7 一个平面内，没有公共点.
(2)平行公理： 8 __________的两条直线互相平行——空间平行线 公理 4：□ 的传递性． (3)等角定理： 9 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角□ __________.
∴MN∥A1C1.
能否在同一平面内 是反证法 还是判 定定理？
又∵A1A∥C1C， A1A=C1C， ∴A1ACC1 为平行四边形，
∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴A、M、N、C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线．
(2)是异面直线．证明如下：
8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
(1)平移 找出 A C 与 A 1D 思维启迪： 平移 A 1D 到 B 1C ， 思维启迪： 所成的角，再计算 可证 所成的角，再计算.(2)可证 A 1C 1 与 E F 垂直. 垂直
如图所示， 变式训练 1 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都 是 直 角 梯形 ， ∠BAD ＝ ∠FAB ＝ 1 1 90°，BC // AD，BE // FA，G、H 分 ， ， 2 2 ， 、 的中点. 别为 FA、FD 的中点 、 (1)证明：四边形 BCHG 是平行 证明： 证明 四边形； 四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？ 四点是否共面？为什么？
如图所示， 解析 如图所示，与 AB 异面的直线有 B1C1， CC1， A1D1， DD1 四条， 四条， 因为各棱具有相同的位置且 条棱， 正方体共有 12 条棱，排除两 棱的重复计算， 棱的重复计算， 共有异面直线 12×4 ＝ 24 对 . 2
题型分类
题型一 平面的基本性质
深度剖析
如图所示， 例 1 如图所示，正方体 ABCD —A1B1C1D1 中，E、F 分别是 、 AB 和 AA1 的中点 求证： 的中点.求证 求证： (1)E、C、 (1)E、C、D1、F 四点共面； 四点共面； (2)CE、D1F、DA 三线共点 、 三线共点. 、 思维启迪： 思维启迪： (1)由 EF∥CD1 可得； 可得； 由 ∥
探究提高
所谓线共点问题就是证明三条或
三条以上的直线交于一点. 三条以上的直线交于一点. (1)证明三线共点的依据是公理 (1)证明三线共点的依据是公理 3. (2)证明三线共点的思路是： (2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交 证明三线共点的思路是 于一点，再证明第三条直线经过该点， 于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题 化归到证明点在直线上的问题. 化归到证明点在直线上的问题. 实际上，点共线、 实际上，点共线、线共点的问题都可以化归为 点在直线上的问题来处理. 点在直线上的问题来处理.
立体几何3空间点、直线和平面之间的位置关系.
空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3；如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.知巩梳理"T"平面的基本性质名称内容图形衣示谄R表不作用公理1如果一条自线上的两点Ae/.be住一个/ILAG G,平而内•册么/〉《?■—/ B e U =>这条n纟戈在lUa此¥面内①判定直线住rifti A ；②判足点在平血内过不在—勒工线I-的三点・右-R只有一个平曲•B•C若A、”、「-：点不同住一条立线L.则A、”、「三点的定一个 fifiJa① a >iz平而；②ill：明点、线共而如果则个不重合的平向冇一个公典点•那么它们冇M貝仃一条过该点的公共宜线P W a • li "j =>a 「14 Z. H.He/①判定两亍半向是杏相交；©ill-明点在（!£线I .；③UF明三点、兵线* ①旺明三线共点S⑤iBlj两个相交平而的交线(3) 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平 行，则这两个角相等或者互补.(4) 两异面直线所成的角：两条异面直线a, b,经过空 间任一点0作直线a' 〃d,方'lib 、把o' , H 所成的锐角 (或直角)叫异面直线a, 〃所成的角(或夹角).心，Z 所成 的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异 两直裁的一条上；异,如果两条异面直线所成异面直线垂直，记作心 • 2 •空间直线(1)空间两直线的位置关系；相交直线：有且只有一个公共点; 平行直线：没有公共点：. .. (2)公理4： 空间中的直线4, b, C,如果4〃力，b//c.则0〃0问誠思考►问题1平面的基本性质（1）若点A在直线/上，直线/在平面G内，则点A在平面伉内；（）（2）—条直线与一个点确定一个平面；（）（3）三点确定一个平面；（）（4）两个相交平面只有有限个公共点.（）［答案］⑴对（2）错⑶错（4）错►问题2设平面仅与4UG直线比卩,则点M—定不在直线/上.（）［答案］错［解析1因为《rU=M, uUa, bup,所以』1/在《内，M在〃内.又因为平面a与平面/栩交于人所以M在/上.►问题4 若O4〃0iAi，0B〃0右且Z4O〃=60。
空间点、直线、平面之间的位置关系
令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH
P∈FG,FG ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.
ABD，
BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
§8.3
空间点、直线、平面之间 的位置关系
基础知识
要点梳理
1.平面的基本性质
自主学习
公理1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，
那么这条直线在这个平面内. 公理2：过 不共线 的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有 一条 过该点的公共直线.
2.直线与直线的位置关系
题型二
异面直线的判定
【例2】 (12分)如图所示，正方体ABCD
—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、 B1C1的中点.问： （1）AM和CN是否是异面直线？说明理由； （2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.
思维启迪 （1）易证MN∥AC，∴AM与CN不异
面. （2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时
（1）位置关系的分类
平行 共面直线 相交 异面直线 : 不同在 任何 一个平面内
（2）异面直线所成的角
①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任
一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的 锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).
π 0, 2
探究提高 所谓线共点问题就是证明三条或三条 以上的直线交于一点.
（1）证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于 一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化 为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共
§8.3_空间点、直线、平面之间的位置关系
§8.3空间点、直线、平面 之间的位置关系
要点梳理
一．平面的基本性质
名称 图示 文字表示 如果一条直线 上的 两点 在 一个平面内， 那么这条直线 在此平面内 符号表示
公理 1
A∈l, B∈l,且 A∈α, B∈α ⇒l⊂α
A , B AB .
主页
要点梳理
位置关系 图示 符号表示
公共点个 数
无数个
直线l在平面α 内
直线l与平面α 相交 直线l与平面α 平行 主页
l⊂α
l∩α＝A
1个
l∥α
0个
要点梳理
四.平面与平面的位置关系
位置 关系 两平面 平行
图示
符号表示
公共点个数
α∥ β
0个两平面 相交a源自β＝l主页无数个主页
主页
要点梳理
(4)异面直线所成的角
b
b
α
a
O
a
①定义：设a, b是两条异面直线，经过空间中任一 锐角或直角 点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的_____________ 叫做异面直线a, b所成的角(或夹角). π] (0, ②范围：_______. 2
主页
要点梳理
三．直线和平面的位置关系
名称 公理 2 图示 文字表示 过不在一条直线 ___________ 上的三点，有且 只有一个平面 如果两个不重合 的平面有一个公 共点,那么它们 有且只有一条 _____________ 过该点的公共直 线 符号表示
公理 3
P∈α, 且P∈β ⇒α∩β＝l且P∈l
主页
要点梳理
二.空间两直线的位置关系
(1)位置关系的分类
有且只有一个公共点 没有 没有
8.3 - 空间点、直线、平面之间的位置关系
§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系2014高考会这样考 1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系．复习备考要这样做 1.理解、熟记平面的性质公理，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考．1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(即可以确定一个平面) 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [难点正本 疑点清源] 1．公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；平行公理是对初中平行线的传递性在空间中的推广．2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．1．在下列命题中，所有正确命题的序号是________．①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；⑤四边形确定一个平面．2．正方体各面所在平面将空间分成________部分．3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线5．已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒ αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．lα，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，lα⇒l∩α＝A题型一平面基本性质的应用例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．题型二空间两直线的位置关系例2如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．题型三异面直线所成的角例3正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．失误与防范1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．2．异面直线所成的角范围是(0°，90°]．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的() A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．33．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a α②a ∩b ＝P ，b β⇒a β③a ∥b ，a α，P ∈b ，P ∈α⇒b α ④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，过顶点A 1与正方体其他顶点的连线与直线BC 1成60°角的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．6．下列命题中不．正确的是________．(填序号) ①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．7.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)． 三、解答题(共22分)8．(10分) 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？9．(12分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB 的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M2．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交3．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题(每小题5分，共15分)4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．6．(2012·四川)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．三、解答题7．(13分)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．。
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】1、公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在此平面内.注1：公理1用符号可表示为：若A l ∈，B l ∈，A α∈，B α∈，则l α⊆. 注2：公理1 的用途：可以证明“点在面内”或“线在面内”.2、公理2如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，并且这些公共点在同一条直线上.注1：公理2用符号可表示为：若A α∈，A β∈，则l αβ⋂=，并且A l ∈. 注2：公理2 的用途：确定两个平面的交线（在画截面图或补体时会用到）或证明“三点共线”、“三线共点”.注3：求证三点及三点以上的点共线，主要依据公理2，只要证明这些点都是两个不重合的平面的公共点，那么它们都在这两个不重合的平面的交线上；求证三条直线或三条以上的直线共点的一般方法是：先证明其中两条直线交于一点，再证明其余各直线都经过该点.3、公理3过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.注1：公理3用符号可表示为：若A 、B 、C 三点不共线，则A 、B 、C 三点确定一个平面α，使得A 、B 、C α∈.注2：公理3 条件中的“三点”是条件的骨干，一般不会被忽视，但“不在同一条直线上”这一条件容易被遗忘；公理3结论中的“有”是说平面存在，“有且只有一个”是说平面唯一. 因而，公理3的结论强调的是存在和唯一两个方面，“有且只有一个”必须完整地使用.注3：公理3 的用途：证明“两个平面重合”，用来确定一个平面或证明“点线共面”.注4：证明点线共面通常有两种思路：一种是先用部分点确定一个平面，再证明余下的点线都在此平面内；另一种是分别用部分点线确定两个或多个平面，再证明这些平面是重合的.4、公理4平行于同一条直线的两条直线平行.注：公理4用符号可表示为：若a c ，b c ，则a b .5、定理空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.6、空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系可以分为：相交、平行和异面三种.注：空间两直线的垂直关系既可以是相交的一种特殊情况，也可以是异面垂直.7、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的定义已知两异面直线a ，b ，经过空间任意一点O ，作直线a a ' ，b b ' ，则我们把a '与b '所成的锐角或直角称为异面直线a ，b 所成的角. 特别地，当两异面直线a ，b 所成的角为直角时，我们称这两条异面直线a ，b 相互垂直，记作a b ⊥.（2）异面直线所成的角的范围两异面直线a ，b 所成的角的范围是(0,90] .【例题选讲】题型1：平面的性质例1、下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一条直线的两条直线平行；⑦一条直线和两条平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是__④_________.【解析】由公理3可知，空间中不共线的三点才能确定一个平面，所以①错；当这三个公共点共线时，有可能出现两个平面只有一条公共线，所以②错；空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点. 若有三个交点，则由公理3可知，这三线共面；若只有一个交点，则可确定一个平面或三个平面，所以③错；由公理3可知，三角形必为平面图形，所以④对；由公理3可知，平行四边形、梯形必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，所以⑤错；在一个正方体中易见，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面，所以⑥错；在一个正方体中易见，一条直线和两条平行线中的一条相交，和另一条可能相交，也可能异面，所以⑦错；在一个正方体中易见，两组对边相等的四边形可能是一个空间四边形，所以⑧错；故只有④正确题型2：多线共点问题例2、如图所示，已知空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==，求证：三条直线EF 、HG 、AC 交于一点.【证明】∵EA EB =，HA HD =∴EH BD ，且12EH BD =又∵23CF CG CB CD == ∴FG BD ，且有23FG BD =，即23FG BD = 于是有EH FG ，且易知EF 不平行于HG ∴四边形EFGH 为梯形于是梯形EFGH 的两腰EF ，HG 必相交于一点P 又P ∈直线EF ，而EF ⊆平面ABC∴P ∈平面ABC ，同理可得：P ∈平面ADC 于是点P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上 故三条直线EF 、HG 、AC 交于一点.题型3：点线共面问题例3、已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A. 21l l ⊥，32l l ⊥31l l ⇒B. 21l l ⊥，32l l 31l l ⊥⇒C. 321l l l ⇒1l 、2l 、3l 共面D. 1l 、2l 、3l 共点⇒1l 、2l 、3l 共面【解析】当12l l ⊥，23l l ⊥时，1l 与3l 可能平行，也可能相交或异面，所以A 错误； 当12l l ⊥，23l l 时，必有13l l ⊥，所以B 正确； 当123l l l 时，1l ，2l ，3l 不一定共面，例如三菱柱的三条侧棱两两平行，但它们分别在三个平面内，所以C 错误；当1l ，2l ，3l 共点时，1l ，2l ，3l 不一定共面，例如正方体中从同一个顶点出发的三条棱分别在三个平面内，所以D 错误； 故选B例4、已知正方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别是11C D 、11B C 的中点，P BD AC =⋂，Q EF C A =⋂11.（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若C A 1交平面DBFE 于点R ，证明：P 、Q 、R 三点共线.【证明】（1）∵EF 是111C D B ∆的中位线∴11EF D B又∵11D B DB∴EF DB故EF 、DB 可以确定一个平面，即D 、B 、F 、E 四点共面（2）∵Q ∈直线11AC ，11AC⊆平面11A ACC ∴Q ∈平面11A ACC又∵Q ∈直线EF ， EF ⊆平面DBFE ∴Q ∈平面DBFE于是点Q 是平面11A ACC 与平面DBFE 的公共点，同理可得：点P 也是平面11A ACC 与平面DBFE 的公共点∴平面11A ACC ⋂平面DBFE PQ =又直线1AC ⋂平面DBFE R = ∴R ∈直线1AC而1AC ⊆平面11A ACC ∴R ∈平面11A ACC于是点R ∈平面11A ACC ⋂平面DBFE PQ = 故P ，Q ，R 三点共线题型4：异面直线的判定例5、已知平面α⋂平面β=直线a，直线b在平面α内，直线c在平面β内，⋂=，c ab a A. 求证：b与c是异面直线.【证明】假设b与c不是异面直线则b与c平行或相交（i）若b c则由c a⋂=”矛盾，而这显然与已知“b a A，有b a故b与c不平行（ii）若b与c相交，不妨设b c B⋂=则由B∈直线b，b⊆平面α，有B∈平面α；B∈直线c，c⊆平面β，有B∈平面β于是点B是平面α与平面β的公共点又∵平面α⋂平面β=直线a∴B∈直线a又B∈直线c∴c a B⋂=，而这显然与已知“c a”矛盾故b与c不相交综合（i）和（ii）可知，b与c是异面直线题型5：点、线、面位置关系的应用例6、如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请回答下列问题：（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？【证明】（1）当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点时，四边形EFGH 为平行四边形，证明如下： ∵E 、H 分别是AB 、AD 边上的中点 ∴EH BD ，同理可得：FG BD 于是有EH FG又∵E 、F 分别是AB 、BC 边上的中点 ∴EF AC ，同理可得：HG AC 于是有EF HG故四边形EFGH 为平行四边形（2）当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，且AC BD ⊥时，四边形EFGH 为矩形，证明如下： 当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点时， 由（1）知，四边形EFGH 为平行四边形 又∵AC BD ⊥，HG AC ∴HG BD ⊥又FG BD∴HG FG ⊥，即90HGF ∠= 故平行四边形EFGH 为矩形（3）当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，且AC BD ⊥，AC BD =时，四边形EFGH 为正方形，证明如下： 当E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，且AC BD ⊥时， 由（2）知，四边形EFGH 为矩形 又∵AC BD =，12EF AC =，12FG BD = ∴EF FG =故矩形EFGH 为正方形。
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.空间中直线与平面的位置关系
直线CD与平面ABCD ——有无数个公共点； 直线AA1与平面ABCD ——有只且有一个公共点A； 直线D1C1与平面ABCD ——没有公共点．
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
直线与平面的位置关系有且只有三种
直线在 平面外
（1）直线在平面内——有无数个公共点；
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
数学
XXX
由上一小节“平面”的学习，我们认识了空 间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如 点在平面内，直线在平面内，两个平面相交， 等等，空间中点、直线、平面之间还有其他位 置关系吗？
点线关系 线线关系 面面关系 点面关系 线面关系
在长方体ABCD-A1B1C1D1中：
观察：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与 直线之间有哪些不同的位置关系？
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
1.空间中直线与直线的位置关系
直线DC与AB在同一个平面ABCD内，它们 D1
没有公共点，它们是平行直线；
A1
直线DC与BC也是在同一个平面ABCD内， 它们只有一个公共点B，它们是相交直线；
CA
G DB
HE F
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
哪些线段所在直线是异面直线？
CA
C G
A
E G
DB HE
F
H D
BF
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
空间点、直线、平面之间的位置关系
题 演
学
练
推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
集
训
题 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
型
重 点
2．异面直线判定的一个定理
课 时
研 讨
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线
跟 踪
检
是异面直线．
测
必考部分 第八章 §8.3
第11页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（文）
所以 EF，BD 确定一个平面，即 D，B，F，E 四点共面．
必考部分 第八章 §8.3
第30页
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基
②在正方体 AC1 中，设 A1CC1 确定的平面为 α，
题 演
学
∠FAB＝90°，BC＝12AD，BE＝12FA，G，H
分别为 FA，FD 的中点．
练 集 训
题
型
重
课
点
时
研
跟
讨
踪 检
测
①四边形 BCHG 的形状是_平__行__四__边__形___；
②点 C，D，E，F，G 中，能共面的四点是_C_，__D__，__E_，__F_．
必考部分 第八章 §8.3
时
研
跟
讨
踪 检
测
必考部分 第八章 §8.3
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名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（文）
基
础 分
(2)已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 真
层 导
的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
题 演
学
求证：①D，B，F，E 四点共面；
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质的应用① 公理1：公理1② 公理2：公理2③ 公理3：2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .3、公理 2 三推论：① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；② 两条平行直线唯一确定一个平面；③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .4、点共线、线共点、点线共面问题① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .③ 证明点线共面问题的常用方法：方法一：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；方法二：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β 重合 .【例题1】如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .例题1图【解析】(1) 证明：∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，∴ GH 是△FAD 的中位线，∴ GH ∥且= ½ AD ，又∵ BC ∥且= ½ AD，∴ GH ∥且 = BC，∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .(2) 证明：方法一：证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG .由 (1) 可知BG∥CH，∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，又∵ D∈FH，∴ C , D , F , E 四点共面 .方法二：分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，∵ BE ∥且= ½ FA，∴ 点 B 为 MA 的中点，∵ BC ∥且= ½ AD，∴ 点 B 为 M''A 的中点，∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,∴ C , D , F , E 四点共面 .二、异面直线的判定（方法）1、定义法（不易操作）；2、反证法先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面 .假设法在异面直线的判定中会经常用到 .3、常用结论过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点(A) 的直线是异面直线 .【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .例题2图【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）(1) AM 和 CN 不是异面直线 .理由：如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，∴ MN∥A1C1 ,又∵ AA1∥且=CC1 ,∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC，∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .证明：∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，则存在平面α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，∴ 假设不成立，∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .三、异面直线所成的角1、求异面直线所成角的方法关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .2、求异面直线所成角的步骤① 通过作出平行线，得到相交直线；② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③ 通过解三角形求出该角的大小 .【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小 .例题3图【解析】要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .【解答过程】取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，则有EG∥AB，FG∥CD，∵ AB = CD ,∴ EG = FG ,∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，又∵ AB 与 CD 所成的角为30°，∴ ∠EGF = 150° 或30°，由 EG = FG , 可知△GEF为等腰三角形，当∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，当∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，∴ EF 与 AB 所成的角为15° 或75° .。
空间点、直线、平面之间的位置关系
[学透用活]
[典例 3] 以下四个命题中，正确的命题有( )
①在平面 α 内有两条直线和平面 β 平行，那么这两个平面
平行；
②在平面 α 内有无数条直线和平面 β 平行，那么这两个平
面平行；
③平面 α 内△ABC 的三个顶点在平面 β 的同一侧且到平面
β 的距离相等且不为 0，那么这两个平面平行；
D，因为直线 a 与平面 α 可能相交，此时只有一个公共点，
所以 D 错． 答案：C
题型三 平面与平面的位置关系 [思考探究] 观察下面的两个图：
(1)一楼、二楼的地面所在平面的位置关系是什么？ 提示：平行．
(2)房顶所在平面的位置关系是什么？ 提示：相交．
(3)怎样用图形表示两平面的位置关系？ 提示：①两平行平面的画法：画两平行的平面时要注意把表示 平面的两个平行四边形画成对应边平行． ②两相交平面的画法： 先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(1)． 再画表示两平面交线的线段，如图(2)． 再过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且等于(2)表示交 线的线段，如图(3)． 再画表示平面的平行四边形的其他边，如图(4)．
[对点练清]
1．在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为对角线 AC，BD 的
中点，则 BE 与 CF
()
A．平行
B．异面
C．相交
D．以上均有可能
解析：假设 BE 与 CF 是共面直线，设此平面为 α，则 E，F，
B，C∈α，所以 BF，CE⊂α，而 A∈CE，D∈BF，所以 A，
D∈α，即有 A，B，C，D∈α，与 ABCD 为空间四边形矛盾，
[对点练清] 在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共 有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有 ________个． 解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的 侧面平行，故共有 4 组互相平行的面．六棱柱共有 8 个面围成， 在其余的 7 个面中，与某个侧面平行的面有 1 个，其余 6 个面 与该侧面均为相交的关系． 答案：4 6
8.3空间点、直线、平面之间的位置关系
§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲考情考向分析1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识拓展1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(×)题组二教材改编2．[P52B组T1(2)]如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．[P45例2]如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，故AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綊12AC ，EH 綊12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题组三 易错自纠A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β＝m ，α∩γ＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α 答案 C解析 A 中，m ，n 可能的位置关系为平行、相交、异面，故A 错误；B 中，m 与n 也有可能平行，B 错误；C 中，根据线面平行的性质可知C 正确；D 中，若m ∥n ，根据线面垂直的判定可知D 错误，故选C.A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直C ．与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行D ．与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直 答案 B解析 对于A ，在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直，过交点与直线m 垂直的直线只有一条，在平面内与此直线平行的直线都与m 垂直，不正确；对于B ，过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直，在直线m 上取一点作平面α的垂线，两条直线确定一个平面与平面α垂直，正确；对于C ，与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行，不正确；对于D ，与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直，不正确．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为______．答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用典例如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∵在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．题型二判断空间两直线的位置关系典例(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析方法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．方法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．答案②④解析在图①中，直线GH∥MN；在图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；在图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面；在图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 在空间中，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．题型三 求异面直线所成的角A.15B.25C.35D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求AA 1AB的值．解 设AA 1AB ＝t ，则AA 1＝tAB .∵AB ＝1，∴AA 1＝t .∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1， ∴cos ∠A 1BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910.∴t ＝3，即AA 1AB＝3.思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．答案60°解析取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角．设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝3 2，故∠AB1E＝60°.构造模型判断空间线面位置关系典例已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是________．(填序号)思想方法指导本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型直观地对问题作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．解析借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．答案①④1．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案A解析选项A是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条答案D解析在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.故选C.5．下列命题中，正确的是()A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条答案D解析对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误．对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.6．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析①显然是正确的；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③中构造长方体(或正方体)，如图所示，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．7．给出下列命题，其中正确的命题为________．(填序号)①如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内；②两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A，B，C；③若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．答案①③①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.9．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案4解析EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个．10.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.证明如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1，H，O三点共线．12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解 如图所示，取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，∵在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点， ∴EF ∥CD .∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE＝52. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010.∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案 D解析 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA .若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；若取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直． 因此l 1与l 4的位置关系不能确定．①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 答案 ③解析 取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .A ．4πB ．πC ．2π D.π2答案 D解析 连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2.16.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________．答案66解析 设直线AC 与BD ′所成的角为θ，平面ACD 翻折的角度为α，设点O 是AC 的中点，由已知得AC ＝6，如图，以点O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，过点O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 由A ⎝⎛⎭⎫0，62，0，B ⎝⎛⎭⎫302，0，0， C ⎝⎛⎭⎫0，－62，0，作DH ⊥AC 于点H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直， ∵△CDA ∽△CHD ，∴CD CH ＝CACD ，∴CH ＝CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306， 因此可设D ′⎝⎛⎭⎫－306cos α，－63，306sin α，则BD ′—→＝⎝⎛⎭⎫－306cos α－302，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量为n ＝(0,1,0)，所以cos θ＝|cos 〈BD ′—→，n 〉|＝|BD ′—→·n ||BD ′—→||n |＝639＋5cos α，所以当cos α＝－1时，cos θ取最大值66.。
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8.3空间点、直线、平面之间的位置关系
教学目标：
1.理解空间直点、线、平面位置关系的定义.
2.了解可以作为推理依据的公理和定理.
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 教学重点：
空间点、直线、平面之间的位置关系
教学难点：
运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 教学过程：
一、基础梳理
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．
②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.
3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3.直线和平面的位置关系
二、双基自测
P104—P105: 1—5
说明：注意点共线，线共面的判定定理。
答案：1.A 2.C 3.D 4.③ 5.略
三、例题讲解
方法提炼：证明三点共线通常有两种方法:一是首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,于是可得这三点都在这两个平面的交线上,即三点共线;二是选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线上,从而得出三点共线.
【训练1】P106 针对训练 3
证明：详见P105
注意：1.正方体的结构特征；2.公理的适时使用；3.平行的传递性的体现。
方法提炼：
1.证明空间两直线平行最常用方法:平行直线的传递性,即如果a∥b,b∥c,则a∥c.
2.证明两直线为异面直线的方法:
(1)定义法(不易操作).
(2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假
设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
【训练2】P106 针对训练 4
四、巩固提升
考情分析：
1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．
2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
针对训练：P106 1,2
五、课堂小结
四个公理及空间点、直线、平面之间的位置关系
六、作业布置
限时作业37
七、教学反思。