2019数学人教a版必修五优化练习：第二章章末优化总结 word版含解析

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2019数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第4课时数列求和 Word版含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．在等差数列{a n }中，a 9＋a 11＝10，则数列{a n }的前19项和为( ) A ．98 B ．95 C ．93D ．90解析：S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 9＋a 11)2＝19×102＝95.答案：B2．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析：由a n ＋1a n ＝－13，由a 2＝－43，∴a 1＝4，∴S n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n ，令n ＝10得S 10＝3(1－3－10)．答案：C3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 解析：由a 5a 2＝q 3＝142＝18知q ＝12，而新的数列{a n a n ＋1}仍为等比数列，且公比为q 2＝14.又a 1a 2＝4×2＝8，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝323(1－4－n )．答案：C4．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( ) A.14 B.512 C.34D.712解析：依题意b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前10项和为S 10＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫111－112＝12－112＝512，故选B.答案：B5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100解析：由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.答案：A6．数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{1a n }的前10项和为________．解析：由题意得：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋n －1＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝2(1n －1n ＋1)，S n ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1，S 10＝2011.答案：20117．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________.解析：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k ∈N *，∴S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007. 答案：－1 0078．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和为________．解析：该数列的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，而a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1·(1－2n )1－2＝2n －1.∴S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋ (2))－n ＝2·(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .答案：2n ＋1－2－n9．已知{a n } 为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .∵a 3＝－6，a 6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2.∴a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q ， ∵b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8， ∴－8q ＝－24， ∴q ＝3，∴{b n }的前n 项和S n ＝b 1(1－q n )1－q ＝－8(1－3n )1－3＝4(1－3n )．10．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n .(2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.[B 组能力提升]1．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n 的前n 项和为( )A.2n2n ＋1 B.2n n ＋1 C.n ＋2n ＋1D.n 2n ＋1解析：该数列的通项为a n ＝2n (n ＋1)，分裂为两项差的形式为a n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，令n ＝1,2,3，…，则S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：B2．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n6n ＋4 C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋2解析：∵a n ＝1(3n －1)·(3n ＋2)＝13⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝13⎣⎡⎝⎛⎭⎫12－15＋⎝⎛⎭⎫15－18＋⎝⎛⎭⎫18－111＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2 ＝13⎝⎛⎭⎫12－13n ＋2 ＝13×3n 2(3n ＋2)＝n 6n ＋4. 答案：B 3．已知点⎝⎛⎭⎫sinn π2，a n ＋2π4在直线l ：y ＝－2x ＋2π4＋22上，则数列{a n }的前30项的和为________．解析：点⎝⎛⎭⎫sinn π2，a n ＋2π4在直线l ：y ＝－2x ＋2π4＋22上，∴a n ＝22－2sin n π2，sin n π2的最小正周期为4，取值是1,0，－1,0的循环，∴数列{a n }的前30项和S 30＝30×22－2[7×(1＋0－1＋0)＋1＋0]＝59 2. 答案：59 24．设f (x )＝12x ＋2，则f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝________.解析：f (x )＝12x ＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x 2＋2x ，∴f (x )＋f (1－x )＝1＋22·2x2＋2x ＝22，即f (x )＋f (1－x )是一个定值．∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝6×22＝3 2. 答案：3 25．(2016·高考全国Ⅱ卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解析：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n . b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1， b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <00，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. 6．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n .所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.。

人教A版必修5：第二章章末复习课 Word版含解析

第二章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．2．求数列的通项(易错点)(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n}中，满足a n＋1a n＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n，常利用恒等式a n＝a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)⇔{a n}是等差数列；a n＋1 a n＝q(q为常数，q≠0)⇔{a n}是等比数列．(2)中项公式法：2a n＋1＝a n＋a n＋2⇔{a n}是等差数列；a2n＋1＝a n·a n＋2(a n≠0)⇔{a n}是等比数列．(3)通项公式法：a n＝an＋b(a，b是常数)⇔{a n}是等差数列；a n＝c·q n(c，q 为非零常数)⇔{a n}是等比数列．(4)前n项和公式法：S n＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列；S n＝aq n－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．4．求数列的前n项和的基本方法(易错点)(1)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(2)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(3)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．(4)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(5)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和S n公式．专题一等差、等比数列的判断判定一个数列是等差或等比数列有如下多种方法：[n n12n n a n＋1，其中n＝1，2，3，….(1)若{a n}是等比数列，试求数列{b n}的前n项和S n的公式．(2)当{b n}是等比数列时，甲同学说：{a n}一定是等比数列；乙同学说：{a n}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？解：(1)因为{a n}是等比数列，a1＝1，a2＝a，所以a≠0，a n＝a n－1.又b n＝a n·a n＋1，则b1＝a1·a2＝a，b n＋1b n＝a n＋1·a n＋2a n·a n＋1＝a n＋2a n＝a n＋1a n－1＝a2，即{b n}是以a为首项，a2为公比的等比数列．所以，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ， a ＝1，－n ， a ＝－1，a （1－a 2n ）1－a 2， a ≠±1.(2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：法一：设{b n }的公式比为q ，则b n ＋1b n ＝a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 且a ≠0，又a 1＝1，a 2＝a ，a 1，a 3，a 5…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以a 为首项， q 为公比的等比数列．即{a n }为：1，a ，q ，aq ，q 2，aq 2，…，当q ＝a 2时，{a n }是等比数列；当a ≠a 2时，{a n }不是等比数列．法二：{a n }可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：设{b n }的公式为q .①取a ＝q ＝1时，a n ＝1(n ∈N *)，此时b n ＝a n a n ＋1＝1，{a n }、{b n }都是等比数列． ②取a ＝2，q ＝1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n 为奇数），2 （n 为偶数）.b n ＝2(n ∈N *)．所以{b n }是等比数列，而{a n }不是等比数列．归纳升华判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．[变式训练] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝5S n －3，求数列{a n }的通项公式．解：当n ＝1时，因为a 1＝5a 1－3，所以a 1＝34.当n ≥2时，因为a n ＝5S n －3，所以a n －1＝5S n －1－3，所以a n －a n －1＝5(S n －S n －1)．即a n －a n －1＝5a n ，a na n －1＝－14，所以{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－14的等比数列．所以a n ＝a 1qn －1＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n －1(n ∈N *)．专题二数列的通项公式的求法 (1)定义法：定义法是指直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．(2)已知S n 求a n .若已知数列的前n 项和S n 与a n 的关系，求数列{a n }的通项a n 可用公式a n＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）求解． (3)由递推公式求数列通项法．对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．(4)待定系数法(构造法)．求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法．[例2] (1)等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25，则数列{a n }的通项公式为________________；(2)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1，则数列{a n }的通项公式为______________．解析：(1)设数列{a n }的公差为d (d ＞0)，因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )⇒d 2＝a 1d ，因为d ≠0，所以a 1＝d .① 因为S 5＝a 25，所以5a 1＋5×42·d ＝(a 1＋4d )2.②由①②得：a 1＝35，d ＝35，所以a n ＝35＋(n －1)·35＝35n .(2)n ＝1时，a 1＝S 1，所以a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝2(a n －a n －1)＋2·(－1)n ，所以a n ＝2a n －1＋2·(－1)n －1，a n －1＝2a n －2＋2·(－1)n －2，a 2＝2a 1－2，所以a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]．又因为a 1＝1适合a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]，所以a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]．答案：(1)a n ＝35n(2)a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]归纳升华(1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝BA －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．[变式训练] 设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a n ＋1－a n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，求{a n }的通项．解：因为a n ＋1－a n ＋a n ＋1·a n ＝0. 所以1an ＋1－1a n ＝1.又1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列．故1a n ＝n ，所以a n ＝1n (n ∈N *)．专题三数列求和数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n 项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有：(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n 项和公式)； (2)分组求和法； (3)错位相减法； (4)倒序相加法；(5)裂项相消法．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互拆消，从而求得其和；(6)并项求和法．一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．[例3] (1)已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________________.(2)设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.①求数列{a n}的通项公式；②令b n＝na n，求数列{b n}的前n项S n.(1)解析：设等比数列{a n}的公比为q，则a4a1＝q3＝27，解得q＝3，所以a n＝a1q n－1＝3·3n－1＝3n，故b n＝log3a n＝n，所以1b n b n＋1＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1.则S n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.答案：n n＋1(2)解：①由已知，当n≥1时，a n＋1＝[(a n＋1－a n)＋(a n－a n－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝22n－1.②由b n＝na n＝n·22n－1知S n＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n·22n－1①从而22·S n＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n·22n＋1②①－②得(1－22)S n＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即S n＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．归纳升华用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．[变式训练]设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，①所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝n－13，②由①－②得3n－1a n＝13，所以a n＝13n，在①中，令n＝1，得a1＝13，所以数列{a n}的通项公式a n＝13n(n∈N*)．(2)因为b n＝na n＝n·3n，所以S n＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③所以3S n＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④由④－③得2S n＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)＝n·3n＋1－3（1－3n）1－3，所以S n＝（2n－1）·3n＋14＋34.专题四函数与方程思想(1)在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d(或q)，n，a n及S n，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值．(2)数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n 项和公式与二次函数也有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．[例4] (1)已知数列{a n }的首项为a 1＝21，前n 项和为S n ＝an 2＋bn ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝2n ＋1＋a ，则S n 的最大值为________； (2)若等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2·a 4·a 6＝45.则通项公式a n ＝__________________．解析：(1)由T n ＝2·2n ＋a ，可求得a ＝－2，所以S n ＝－2n 2＋bn ，所以数列{a n }为等差数列，又因为a 1＝21，S n ＝－2n 2＋bn ，故b ＝21－(－2)＝23，所以S n ＝－2n 2＋23n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2342＋5298，当n ＝6时，S n 取得最大值66. (2)因为a 1＋a 7＝2a 4＝a 2＋a 6，所以a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5，所以a 2＋a 6＝10且a 2·a 6＝9，所以a 2，a 6是方程x 2－10x ＋9＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 6＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，a 6＝1.若a 2＝1，a 6＝9，则d ＝2，所以a n ＝2n －3；若a 2＝9，a 6＝1，则d ＝－2，所以a n ＝13－2n . 故a n ＝2n －3或a n ＝13－2n . 答案：(1)66 (2)2n －3或13－2n 归纳升华函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n (q ＞0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1·(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)也与指数函数相联系．[变式训练] 夏季高山上的温度从山脚起，每升高100 m ，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度是26 ℃，问此山相对于山脚处的高度是多少？解：因为每升高100 m 温度降低0.7 ℃，所以该处温度的变化是一个等差数列问题．设山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，所以26＋(n －1)(－0.7)＝14.8，解得n ＝17.此山的高度为(17－1)×100＝1 600(m)．故此山相对于山脚处的高度是1 600 m.。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.1 第2课时数列的通项公式与递推公式 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2a 3等于( ) A ．70 B ．28C ．20D ．8答案：C2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2，n∈N *)C.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ≥2，n ∈N *)D.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *)解析：将数值代入选项验证即可．答案：B3．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A ．240B ．120C ．60D ．30解析：逐项代入可求．答案：A4．若数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则数列{a n }的第4项是() A.116 B.117C.110D.125解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1， ∴a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110，故选C. 答案：C5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1 000＝( )A ．1B ．1 999C ．1 000D ．－1 解析：a 1＝1，a 2＝2×1－1＝1，a 3＝2×1－1＝1，a 4＝2×1－1＝1，…，可知a n ＝1(n ∈N *)，∴a 1 000＝1.答案：A6．数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，则a 4＝________. 解析：由a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，∴a 3＝a 1＋a 2＝2，a 4＝a 2＋a 3＝1＋2＝3.答案：37．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 017＝________；a 2 014＝________.解析：依题意得a 2 017＝a 4×505－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.故分别填1,0. 答案：1 08．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ·12n ＋1，则a 3＝________，a 10＝________，a 2n －1＝________. 解析：分别用3,10和2n －1去代换通项公式中的n ，得a 3＝(－1)3·12×3＋1＝－17， a 10＝(－1)10·12×10＋1＝121， a 2n －1＝(－1)2n －1·12(2n －1)＋1＝－14n －1. 答案：－17 121 －14n －19．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解析：由a n ＋1＝3a n 得a n ＋1a n＝3. 因此可得a 2a 1＝3，a 3a 2＝3，a 4a 3＝3，…，a n a n －1＝3(n ≥2)．将上面的n －1个式子相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝3n －1.即a na 1＝3n －1，所以a n ＝a 1·3n －1，又a 1＝2，故a n ＝2·3n －1.当n ＝1时，a 1＝2×30＝2也满足，故a n ＝2·3n －1.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N *)，试探究数列{a n }的通项公式．解析：法一：将n ＝1,2,3,4依次代入递推公式得a 2＝23，a 3＝24，a 4＝25，又a 1＝22，∴可猜想a n ＝2n ＋1.应有a n ＋1＝2n ＋2，将其代入递推关系式验证成立， ∴a n ＝2n ＋1.法二：∵a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴a n ＋1a n ＝2a n －2a n ＋1.两边同除以2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n ＝12.∴1a 2－1a 1＝12，1a 3－1a 2＝12，…，1a n －1a n －1＝12.把以上各式累加得1a n －1a 1＝n －12.又a 1＝1，∴a n ＝2n ＋1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．[B 组能力提升]1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．729B ．387C ．604D ．854 解析：a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 5＝93－53＝604，故选C. 答案：C2．数列7,9,11，…中，2n －1是数列的第________项( )A ．n －3B ．n －2C ．n －1D ．n解析：a n ＝2(n ＋3)－1，设2n －1是数列的第m 项，则2n －1＝2(m ＋3)－1，解得m ＝n －3. 答案：A3．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，则a 10＝________. 解析：∵a p ＋q ＝a p ＋a q ，∴a 4＝2a 2＝－12，a 8＝2a 4＝－24，a 10＝a 2＋a 8＝－30.答案：－304．已知数列{a n }，a 1＝－1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，则a 7＝________. 解析：分别求出a 3，a 4，a 5，a 6，即可求a 7. 答案：115．在数列{a n }中，已知a 1＝1，S n ＝n 2a n ，求该数列的通项公式．解析：因为S n ＝n 2a n ，①所以S n －1＝(n －1)2a n －1 (n ≥2)．②①－②得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，可得(n 2－1)a n ＝(n －1)2a n －1，即(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，故a n a n －1＝n －1n ＋1.所以a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·……·n －1n ＋1＝1×13×24×…n －1n ＋1＝2n (n ＋1).答案：2n (n ＋1)6．已知数列{a n }满足lg(1＋a 1＋a 2＋…＋a n )＝n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解析：∵S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，又lg(1＋a 1＋a 2＋…＋a n )＝n ，∴lg(1＋S n )＝n . ∴S n ＝10n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10n －1)－(10n －1－1)＝9×10n －1.∵当n ＝1时也满足上式，∴a n ＝9×10n －1.。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.4 第2课时等比数列的性质 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列解析：设b n ＝a 2n ，则b n ＋1b n ＝a 2n ＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫an ＋1a n 2＝q 2，∴{b n }为等比数列；2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ≠常数；当a n <0时，lg a n 无意义；设c n ＝na n ，则c n ＋1c n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＝n ＋1n ·q ≠常数．答案：A2．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析：a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6，由于a 1，a 3，a 4成等比数列，a 23＝a 1a 4，即 (a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9. 答案：D3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于() A ．16 B ．32C ．64D ．256解析：由已知，得a 1a 19＝16.又∵a 1·a 19＝a 8·a 12＝a 210，∴a 8·a 12＝a 210＝16.又a n >0，∴a 10＝4，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.答案：C4．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3解析：∵a 3a 5a 7a 9a 11＝a 51q 30＝243，∴a 29a 11＝a 21q 16a 1q 10＝a 1q 6＝5243＝3.答案：D5．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1 C.12 D.18解析：由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)⇒a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1＝8⇒q ＝2，故a 2＝a 1q ＝12. 答案：C6．等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5＝________.解析：由题意，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)q 2＝9，∴q 2＝9.又a n >0，∴q ＝3.故a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝9×3＝27.答案：277．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝1q＝－2. 答案：－28．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.解析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1，因为b >0，所以b ＝1.答案：19．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，求数列{a n }的通项公式．解析：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q .∵a 25＝a 10,2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9， ①2(q 2＋1)＝5q ， ② 由①，得a 1＝q ，由②，得q ＝2或q ＝12. 又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，∴a n ＝2n .10．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，求log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值．解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，即log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝1. ∴a n ＋1a n＝3. ∴数列{a n }是等比数列，公比q ＝3.则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3·(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13[33·9]＝－5. [B 组能力提升]1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2D ．2解析：∵a 3·a 9＝a 26＝2a 25，∴q 2＝⎝⎛⎭⎫a 6a 52＝2. 又q >0，∴q ＝ 2.∴a 1＝a 2q ＝12＝22. 答案：B2．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2等于( )A ．－4B ．2C ．3D ．－3解析：∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22＝a 1·a 5. ∴a 22＝(a 2－d )·(a 2＋3d )，即a 22＝(a 2－2)(a 2＋6)．∴a 2＝3.答案：C3．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.答案：164．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________．解析：不妨设a >b ，由根与系数的关系得a ＋b ＝p ，a ·b ＝q ，则a >0，b >0，则a ，－2，b 为等比数列，a ，b ，－2成等差数列，则a ·b ＝(－2)2＝4，a －2＝2b ，∴a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，所以p ＋q ＝9.答案：95．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解析：由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝2a n＋1. 所以1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)．又a 1＝1，所以1a 1＋1＝2，所以数列{1a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1a n＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝12n －1. 6．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3.(1)求d ，q 的值；(2)是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由a 2＝b 2，a 8＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝b 1q ，a 1＋7d ＝b 1q 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝5，q ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，q ＝1.(舍) (2)由(1)知a n ＝1＋(n －1)·5＝5n －4，b n ＝b 1q n －1＝6n －1.由a n ＝log a b n ＋b ，得5n －4＝log a 6n －1＋b ，即5n －4＝n log a 6＋b －log a 6.比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧ log a 6＝5，b －log a 6＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝615，b ＝1. 所以存在a ＝615，b ＝1，使得对一切自然数，都有a n ＝log a b n ＋b 成立.。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第2课时等比数列的前n项和公式的性质及应用含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ＝3－2a n .答案：D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( )A ．5B ．8C ．－8D ．15解析：∵8a 2－a 5＝0，∴8a 1q ＝a 1q 4，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴S 4S 2＝1－q 41－q 2＝1＋q 2＝5.答案：A3．已知在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．514 B ．513 C ．512D ．510解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18，a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q ＝2或q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2.∴a 1＝2，∴S 8＝2(1－28)1－2＝29－2＝510.答案：D4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334D.172解析：由a 2a 4＝1⇒a 1＝1q 2，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，联立得：⎝⎛⎭⎫1q ＋3⎝⎛⎭⎫1q －2＝0，∴q ＝12，a 1＝4， S 5＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.答案：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝________. 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴S n ＝2(1－2n )1－2＝126，∴2n ＝64，∴n ＝6.答案：66．等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________. 解析：由a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，得q n ＋1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q >0，解得q ＝2，又∵a 2＝1，∴a 1＝12，∴S 4＝12·(1－24)1－2＝152.答案：1527．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意得a 2＝a 1·q ＝q ，a 3＝a 1q 2＝q 2，S 1＝a 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2，又3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(1＋q )＝3＋1＋q ＋q 2，所以q ＝3(q ＝0舍去)．所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 答案：3n －18．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明：log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.证明：设{a n }的公比为q ，由已知得a 1>0，q >0. ∵S n ＋1＝a 1＋qS n ，S n ＋2＝a 1＋qS n ＋1，∴S n S n ＋2－S 2n ＋1＝S n (a 1＋qS n ＋1)－(a 1＋qS n )S n ＋1＝S n a 1＋qS n S n ＋1－a 1S n ＋1－qS n S n ＋1＝a 1(S n －S n ＋1)＝－a 1a n ＋1<0， ∴S n ·S n ＋2<S 2n ＋1.根据对数函数的单调性可以得到log 0.5(S n S n ＋2)>log 0.5S 2n ＋1，即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解析：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1·(1－q n )1－q，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1·(1－q 4)1－q＝5×a 1·(1－q 2)1－q ， ② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0.(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0，因为q <1，解得q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12；通项公式a n ＝12×(－2)n －1.综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.[B 组能力提升]1．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 10＝35，则S 10＝( ) A.1 0232B.1 0242C ．235D.1 0222解析：由题意知log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝35， ∴a 1·a 2·a 3·…·a 10＝235. ∴a 1·(a 1q )·(a 1q 2)·…·(a 1q 9)＝235.∴a 101q1＋2＋3＋…＋9＝235.∴a 101·245＝235，即a 101＝1210， ∴a 1＝12.∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1 0232.答案：A2．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0解析：因为{a n }是等差数列，a 3，a 4，a 8成等比数列，所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )⇒a 1＝－53d ，所以S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，所以a 1d ＝－53d 2<0，dS 4＝－23d 2<0.答案：B3．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．解析：由题意可知q ＝2，设该数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ，则a n ＋a n ＋1＝24，又a 1＝1， ∴q n －1＋q n ＝24，即2n －1＋2n ＝24，解得n ＝4，∴项数为8项．答案：84．(2019·高考全国Ⅰ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设{a n }的公比为q ，于是a 1(1＋q 2)＝10，① a 1(q ＋q 3)＝5，②联立①②得a 1＝8，q ＝12，∴a n ＝24－n ，∴a 1a 2…a n ＝23＋2＋1＋…＋(4－n )＝2－12n n 2＋72n n ＝2－12 (n －72 )2＋498≤26＝64.∴a 1a 2…a n的最大值为64. 答案：645．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 6＝36， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，6a 1＋6×52d ＝36，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋52d ＝6，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，(n ∈N *)． (2)∵b n ＝2a n ＝22n －1， ∴T n ＝21＋23＋25＋…＋22n －1 ＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n＋1)在直线x －y ＋2＝0上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解析：(1)由S n ＝2a n －2得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝S 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＝2n .∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列．又b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)·2n ，① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.② ①－②，得－T n ＝1×2＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1＝(3－2n )·2n ＋1－6. ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章章末优化总结 Word版含解析

章末检测(二) 数列时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，a 3＝－6，a 7＝a 5＋4，则a 1等于( )A ．－10B ．－2C ．2D ．10解析：设公差为d ，∴a 7－a 5＝2d ＝4，∴d ＝2，又a 3＝a 1＋2d ，∴－6＝a 1＋4，∴a 1＝－10. 答案：A2．在等比数列{a n }中，a 4，a 12是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根，则a 8等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．不能确定解析：由题意得，a 4＋a 12＝－3<0，a 4·a 12＝1>0，∴a 4<0，a 12<0，∴a 8<0，又∵a 28＝a 4·a 12＝1，∴a 8＝－1. 答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ＝( )A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案：B4．若数列{a n }满足a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，则以下命题正确的是( )①{a 2n }是等比数列；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； ③{lg a n }是等差数列；④{lg a 2n }是等差数列．A ．①③B ．③④C ．②③④D ．①②③④解析：因为a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，所以{a n }是等比数列，因此{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，{lg a n }，{lg a 2n }是等差数列．答案：D5．已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( )A ．16B ．11C ．－11D ．±11解析：根据等差中项和等比中项知x ＋y ＝5，mn ＝6，所以x ＋y ＋mn ＝11，故选B. 答案：B6．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n ＋1·n ，则S 6＋S 10＋S 15等于( )A ．－5B ．－1C ．0D ．6 解析：由题意可得S 6＝－3，S 10＝－5，S 15＝－7＋15＝8，所以S 6＋S 10＋S 15＝0.答案：C7．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 7＝4a 24，a 2＝2，则a 1＝( )A ．1 B. 2 C ．2 D.22解析：设{a n }的公比为q ，则有a 1q 2·a 1q 6＝4a 21q 6，解得q ＝2(舍去q ＝－2)，所以由a 2＝a 1q＝2，得a 1＝1.故选A.答案：A8．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵a 2k ＝a 1a 2k ，∴(8＋k )2d 2＝9d (8＋2k )d ，∴k ＝4(舍去k ＝－2)．答案：B9．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．900元B ．1 800元C ．2 400元D ．3 600元解析：把每次降价后的价格看做一个等比数列，首项为a 1，公比为1－13＝23，则a 4＝8 100×⎝⎛⎭⎫232＝2 400.答案：C10．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9解析：由题意得，120°n ＋12n (n －1)×5°＝180°(n －2)，化简整理，得n 2－25n ＋144＝0，解得n ＝9或n ＝16.当n ＝16时，最大角为120°＋(16－1)×5°＝195°>180°，不合题意．∴n ≠16.故选C.答案：C11．设{a n }是公差为－2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值为( )A ．－78B ．－82C ．－148D ．－182解析：∵a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，d ＝－2，∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＋33×2d ＝50＋33×(－4)＝－82. 答案：B12．定义：称n p 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．2n －1B ．4n －1C ．4n －3D ．4n －5解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，由已知得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝n S n ＝12n －1，∴S n ＝n (2n －1)＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－1＝1适合上式，∴a n ＝4n －3.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于________．解析：∵{a n }为等比数列，∴a 8＝a 5q 3，∴q 3＝16－2＝－8，∴q ＝－2.又a 5＝a 1q 4，∴a 1＝－216＝－18，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝－18[1－(－2)6]1＋2＝218. 答案：21814．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：设等差数列公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22×d ＝3a 1＋3d ＝3，a 1＋d ＝1，① 又S 6＝6a 1＋6×52×d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.② 联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2，故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.答案：1515．在等差数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，若a 1>0，S 16>0，S 17<0，则当n ＝________时，S n 最大．解析：∵⎩⎨⎧ S16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 8＋a 9)>0S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9<0，∴a 8>0，而a 1>0，∴数列{a n }是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大．答案：816．已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 016＝________.解析：由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12. ∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＝ 2 017－1.答案： 2 017－1三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，且为等差数列，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2. 18．(12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5，a 3＋a 8＝5.(1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n .解析：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－20，d ＝5.∴a n ＝5n －25(n ∈N *)．(2)∵a n ＝5n －25，∴b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30，∴b n ＝10n －30(n ∈N *)．19．(12分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4.所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ∈N *)．(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等．20．(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝3n ＋12n (n －1)×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，∴b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1).21．(13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1. 两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 1(1－3n )1－3＝12a 1·3n －12a 1， b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n . 要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2，所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．22．(13分)求和：x ＋3x 2＋5x 3＋…＋(2n －1)x n (x ≠0)．解析：设S n ＝x ＋3x 2＋5x 3＋…＋(2n －1)x n ，∴xS n ＝x 2＋3x 3＋5x 4＋…＋(2n －3)x n ＋(2n －1)x n ＋1.∴(1－x )S n ＝x ＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －(2n －1)x n ＋1＝2(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )－x －(2n －1)x n ＋1＝2x (1－x n )1－x－x －(2n －1)x n ＋1(x ≠1)，当x ≠1时，1－x ≠0，S n ＝2x (1－x n )(1－x )2－x ＋(2n －1)x n ＋11－x. 当x ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n (1＋2n －1)2＝n 2.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x (1－x n )(1－x )2－x ＋(2n －1)x n ＋11－x ，x ≠1，n 2，x ＝1.。

数学人教A版必修五优化练习综合检测 Word版含解析

综合检测时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知{}是等比数列，＝，＝，则公比＝( )．－．－．解析：＝＝，∴＝.答案：．若、为实数，则下面一定成立的是( )．若＞，则＞．若＞，则＞．若＞，则＞．若≠，则≠解析：＞⇔＞.答案：．下列命题中正确的是( )．>⇒>．>⇒>．>⇒>．>⇒> 解析：选项中，当＝时，＝，所以不正确；选项中，当＝，＝－时>，但<，所以不正确；选项中，当＝－，＝－时，>，但<，所以不正确．很明显正确．答案：．已知各项均为正数的等比数列{}，·＝，则··的值为( )．．．．解析：由等比数列的性质可得，·＝＝.∵>，∴＝，∴··＝＝，故选.答案：．在△中，角，，所对的边分别为，，，且＝－＋，则角的大小是( )．°．°．°．°解析：由已知得＋－＝，所以＝＝＝.又°<<°，所以＝°.答案：．设等差数列{}的前项和为，若＝－，＋＝－，则当取最小值时，等于( )．．．．解析：∵{}是等差数列，∴＋＝＝－，即＝－，∴＝＝＝，故{}是首项为－的递增数列，所有的非正项之和最小．∵＝－，＝，∴当＝时，取得最小值．答案：．在△中，＝，＝，＝，则边上的高为( )．解析：由＝＋－·，可得＝＋－×××，得＝.∵为△的内角，∴＝，∴边上的高＝＝×＝.答案：．如果关于的不等式－≤的正整数解是，那么实数的取值范围是()．＜＜．≤＜．＜．＞解析：由－≤，得－≤≤.而－≤的正整数解是，所以≤＜，所以≤＜.答案：．若实数，满足不等式组(\\(＋－≥，－－≤，－＋≥，))且＋的最大值为，则实数等于()．－．－．．解析：作出可行域．如图中阴影部分所示．由(\\(－＋＝，－－＝，))得.平移＝－，当其经过点时，＋取得最大值．即＋＝，解得＝.答案：．在△中，如果＋＋＋＝，则△是( )．等边三角形．钝角三角形．直角三角形．等腰直角三角形。

人教A版2019高中数学必修5练习：第二章_数列2.5.2等比数列前n项和的性质及应用_含答案

第2课时等比数列前n项和的性质及应用课后篇巩固探究A组1.在各项都为正数的等比数列{a n}中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.2.已知数列{a n}的前n项和S n=a n-1(a是不为零且不等于1的常数),则数列{a n}()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列S n=a n-1符合S n=-Aq n+A的形式,且a≠0,a≠1,所以数列{a n}一定是等比数列.3已知{a n}是等比数列,a1=1,a4=,则a1a2+a2a3+…+a n a n+1等于()A.2(1-4-n)B.2(1-2-n)C. (1-4-n)D. (1-2-n)q,∵=q3=,∴q=.∵a1=1,∴a n a n+1=1××1×=21-2n.故a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1=2-1+2-3+2-5+…+21-2n== (1-4-n).4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.2盏B.3盏C.5盏D.6盏a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得=381,解得a=3,故顶层有3盏灯.5.已知一个等比数列共有3m项,若前2m项之和为15,后2m项之和为60,则这个等比数列的所有项的和为()A.63B.72C.75D.87已知S2m=15,S3m-S m=60,又(S2m-S m)2=S m(S3m-S2m)=S m(S m+60-S2m),解得S m=3,所以603=63.3m6.在各项均为正数的等比数列{a n}中,a1=2,a2,a4+2,a5成等差数列,S n是数列{a n}的前n项和,则S10-S4=.题意有2(a4+2)=a2+a5,设公比为q,则有2(2q3+2)=2q+2q4,解得q=2.于是S10-S4==2 016.7.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),则S2 018=.a n+1·a n=2n(n∈N*),a1=1,∴a2=2,a3=2.又a n+2·a n+1=2n+1,∴=2,∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.∴S2 018=(a1+a3+…+a2 017)+(a2+a4+…+a2 018)==3·21 009-3.1 009-38.已知一件家用电器的现价是2 000元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款元.(参考数据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252)x元,第n期付款后欠款A n元,则A1=2 000(1+0.007)-x=2 000×1.007-x,A2=(2 000×1.007-x)×1.007-x=2 000×1.0072-1.007x-x,……A12=2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x,因为A12=0,所以2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x=0,解得x=≈175,即每期应付款175元.9.在等差数列{a n}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n+b n}是首项为1,公比为|a2|的等比数列,求{b n}的前n项和S n.设等差数列{a n}的公差为d,依题意得a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.所以a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1.所以数列{a n}的通项公式为a n=-3n+2.(2)由(1)得a2=-4,所以|a2|=4.而数列{a n+b n}是首项为1,公比为4的等比数列.所以a n+b n=4n-1,即-3n+2+b n=4n-1,所以b n=3n-2+4n-1,于是S n=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+4+42+…+4n-1)=.10.导学号04994050已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=S n,n∈N*,求:(1)a2,a3,a4的值及数列{a n}的通项公式;(2)a2+a4+a6+…+a2n的值.由a1=1,a n+1=S n,n=1,2,3,…,得21=a1=,a3=S2= (a1+a2)=,a4=S3= (a1+a2+a3)=.由a n+1-a n=(S n-S n-1)= a n(n≥2),得a n+1=a n(n≥2),∵a2=,∴a n=(n≥2).∴数列{a n}的通项公式为a n=(2)由(1)可知,a2,a4,…,a2n是首项为,公比为,项数为n的等比数列,∴a2+a4+a6+…+a2n=.B组1.在等比数列{a n}中,a1+a2+a3+a4+a5=3,=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是A.3B.C.-D.5题意可知等比数列{a n}的公比q≠1,则a1+a2+…+a5==3,+…+=15,∴=5,∴a1-a2+a3-a4+a5==5.2.已知某公司今年获利5 000万元,如果以后每年的利润都比上一年增加10%,那么总利润达3亿元大约还需要()(参考数据:lg 1.01≈0.004,lg 1.06≈0.025,lg 1.1≈0.041,lg 1.6≈0.204)A.4年B.7年C.12年D.50年据题意知每年的利润构成一个等比数列{a n},其中首项a1=5 000,公比110%=1.1,S n=30 000.于是得到=30 000,整理得1.1n=1.6,两边取对数,得n lg 1.1=lg 1.6,解得n=≈5,故还需要4年.3.已知等比数列{a n}的公比为q,其前n项和为S n,前n项之积为T n,且满足a1>1,a2 016a2017>1,<0,则下列结论正确的是()A.q<0B.a2 016a2 018-1>0C.T2 016是数列{T n}中的最大数D.S2 016>S2 017,得a2 016>1,a2 017<1,所以前2 016项均大于1,0<q<1,S2 016<S2 017,T2 016是数列{T n}中的最大数,a2 016a2 018与1的大小关系无法确定.故选C.4已知等比数列{a n},其前n项和为S n,若S30=13S10,S10+S30=140,则S20等于.q≠1 (否则S30=3S10),由所以q20+q10-12=0,所以q10=3(负值舍去),故S20==S10×(1+q10)=10×(1+3)=40.5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且S n=b n+1-2(b>0,b≠1),则a4=.n≥2时,a n=S n-S n-1=(b-1)·b n.因为a1=S1=b2-2,所以(b-1)b=b2-2,解得b=2,因此S n=2-2,于是a4=S4-S3=16.6.导学号04994051如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆,……如此下去,则前n个内切圆的面积和为.×3=,面积为π,第二个内切圆的半径为,面积为π,……这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为π,公比为,故前n个内切圆的面积之和为π.π7.已知正项等差数列{a n}的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列{b n}的前三项,a2=3.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记数列{b n}的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,k≥3n-6恒成立,求实数k的取值范围.设公差为d,根据题意知d≠0,a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d.∵(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3,∴3d2-6d=0,∴d=2(d=0舍去).又a2=3,d=2,∴a1=1,a n=2n-1.∵b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,∴b n=3n.(2)由(1)知b1=3,q=3.∵T n=,∴k≥3n-6对n∈N*恒成立.∴k≥对n∈N*恒成立.令c n=,c n-c n-1=,当n≤3时,c n>c n-1,当n≥4时,c n<c n-1,∴(c n)max=c3=,故k≥.8.导学号04994052已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=8,S4=40.数列{b n}的前n项和为T n,且T n-2b n+3=0,n∈N*.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设c n=求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1.由题意知,解得∴a n=4n.∵T n-2b n+3=0,∴当n=1时,b1=3,当n≥2时,T n-1-2b n-1+3=0,两式相减,得b n=2b n-1(n≥2),故数列{b n}为等比数列,且b n=3·2n-1.(2)由(1)知c n=∴P2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(b2+b4+…+b2n)==22n+1+4n2+8n+2.。

高中数学人教A版必修五优化练习：综合检测 Word版含解析

综合检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }是等比数列，a 3＝14，a 6＝2，则公比q ＝( )A ．－12B ．－2C ．2D.12解析：a 6a 3＝q 3＝8，∴q ＝2.答案：C2．若a 、b 为实数，则下面一定成立的是( ) A ．若a ＞b ，则a 4＞b 4 B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2 C ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2 D ．若a ≠|b |，则a 2≠b 2 解析：a ＞|b |⇔a 2＞b 2. 答案：C3．下列命题中正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B ．a >b ⇒a 2>b 2 C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b 解析：选项A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；选项B 中，当a ＝0，b ＝－1时a >b ，但a 2<b 2，所以B 不正确；选项D 中，当a ＝－2，b ＝－1时，a 2>b 2，但a <b ，所以D 不正确．很明显C 正确．答案：C4．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为( ) A ．16 B ．32 C ．48D ．64解析：由等比数列的性质可得，a 1·a 9＝a 25＝16. ∵a n >0，∴a 5＝4，∴a 2·a 5·a 8＝a 35＝64，故选D. 答案：D5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( ) A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：由已知得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0°<B <180°，所以B ＝45°. 答案：A6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：∵{a n }是等差数列，∴a 4＋a 6＝2a 5＝－6，即a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝－3＋114＝2，故{a n }是首项为－11的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a 6＝－1，a 7＝1，∴当n ＝6时，S n 取得最小值．答案：A7．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A.322B.332C.32D ．3 3解析：由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cos A ＝12.∵A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3，∴AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332.答案：B8．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( ) A ．80≤a ＜125 B ．80＜a ＜125 C ．a ＜80D ．a ＞125解析：由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤ a5.而5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，所以4≤ a 5＜5，所以80≤a ＜125. 答案：A9．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：作出可行域．如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m .平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值．即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m ＝9，解得m ＝1. 答案：C10．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形D ．直角三角形解析：由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1，故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1，即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C. 答案：C11．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：∵23＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤3. 由a x ＝b y ＝3得x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 33＝1.故选C. 答案：C12．数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n ＋1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，满足a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＋2＞a n＋2a n ＋3(n ∈N *)，则( )A ．0＜q ＜1＋22B ．0＜q ＜1＋52C ．0＜q ＜－1＋22D ．0＜q ＜－1＋52解析：∵{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列， ∴a n a n ＋1＝(a 1a 2)·q n －1，∴(a 1a 2)·q n －1＋(a 1a 2)·q n ＞(a 1a 2)·q n ＋1， ∴1＋q ＞q 2，∴q 2－q －1＜0， ∴0＜q ＜1＋52.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．不等式1x ≤x 的解集是________．解析：1x ≤x 等价于x －1x≥0，即x 2－1x ≥0，所以不等式的解集为{x |－1≤x <0或x ≥1}．答案：{x |－1≤x <0或x ≥1}14．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，那么数列{a n }的前6项和S 6＝________. 解析：设公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 4＝16，解得a 1＝1，q ＝2，所以S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1－261－2＝63.答案：6315.如图，△ ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由余弦定理得： cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝4＋12－42×2×23＝32，∴∠C ＝30°.在△ADC 中由正弦定理，得AD sin C ＝ACsin ∠ADC， ∴AD 12＝222.故AD ＝ 2.答案： 216. 不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切x ∈R 恒成立．若a ＋2＝0，显然不成立；若a ＋2≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>016－4(a ＋2)(a －1)<0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，16－4(a ＋2)(a －1)<0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a >－2a <－3或a >2⇔a >2. 答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且sin C sin B ＝35.(1)求AC ； (2)求角A .解析：(1)由正弦定理，得AC sin B ＝ABsin C ，∴AB AC ＝sin C sin B ＝35. ∴AC ＝5×33＝5.(2)由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋25－492×3×5＝－12.又0°<A <180°， ∴A ＝120°.18．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求实数a ，b 的值；(2)当c >2时，解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解析：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1，a >0，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }．19．(12分)设二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ∈N *)有两个实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1； (2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式．解析：(1)由根与系数的关系，得α＋β＝a n ＋1a n ，αβ＝1a n ，代入6α－2αβ＋6β＝3，并化简，得a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎫a n －23. 因此，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是公比为12的等比数列．(3)当a 1＝76时，a 1－23＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n，故a n ＝23＋⎝⎛⎭⎫12n.20.(12分)要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm)，能使整个矩形广告面积最小．解析：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝20 000，所以b ＝20 000a，广告的高为(a ＋20)cm ，宽为(3b ＋30)cm(其中a >0，b >0)，广告的面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)＝30(a ＋2b )＋60 600＝30⎝⎛⎭⎫a ＋40 000a ＋60 600≥30×2a ·40 000a＋60 600＝12 000＋60 600＝72 600. 当且仅当a ＝40 000a，即a ＝200时等号成立，此时b ＝100.故当广告矩形栏目的高为200 cm ，宽为100 cm 时，可使整个矩形广告的面积最小． 21．(13分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin 22C ＋sin 2C ·sin C ＋cos 2C ＝1，且a ＋b ＝5，c ＝7. (1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)∵sin 22C ＋sin 2C ·sin C ＋cos 2C ＝1， ∴4sin 2 C ·cos 2 C ＋2sin 2 C ·cos C ＋1－2sin 2 C ＝1，即2sin 2 C (2cos 2 C ＋cos C －1)＝0. ∴2sin 2 C (2cos C －1)(cos C ＋1)＝0. ∵在△ABC 中，sin C ≠0，cos C ＞－1， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.(2)∵cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－c 2－2ab 2ab ＝12，∴25－72ab ＝32，∴ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.22．(13分)已知各项均为正数的数列{a n }，满足a 2n ＋1－a n ＋1a n －2a 2n ＝0(n ∈N *)，且a 1＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·log 12a n ，若b n 的前n 项和为S n ，求S n ；(3)在(2)的条件下，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．解析：(1)∵a 2n ＋1－a n ＋1a n －2a 2n ＝0，∴(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋1＋a n >0， ∴a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列． ∵a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由(1)及b n ＝a n log 12a n 得，b n ＝－n ·2n ，∵S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，∴S n ＝－2－2·22－3·23－4·24－…－n ·2n ①∴2S n ＝－22－2·23－3·24－4·25－…－(n －1)·2n －n ·2n ＋1② ②－①得，S n ＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2.(3)要使S n ＋n ·2n ＋1>50成立，只需2n ＋1－2>50成立，即2n ＋1>52， ∴使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.。

数学人教A版必修五优化练习：第二章2.2第1课时等差数列的概念和通项公式含解析

[ 作 ][A基稳固]1．等差数列 a－ 2d， a， a＋ 2d，⋯的通公式是 ()A ． a n＝ a＋ (n－ 1)dB ． a n＝a＋ (n－ 3)dC． a n＝ a＋2(n－ 2)d D ．a n＝ a＋ 2nd分析：数列的首a－ 2d，公差2d，∴a n＝ (a－ 2d)＋ (n－ 1) ·2d＝ a＋ 2(n－ 2)d.答案：C2．已知数列3,9,15，⋯， 3(2n－ 1)，⋯，那么81 是它的第几()A．12B．13C． 14 D ．15分析：由已知数列可知，此数列是以 3 首， 6 公差的等差数列，∴a n＝3＋ (n－ 1)× 6＝3(2n－ 1)＝ 6n－3，由 6n－ 3＝ 81，得 n＝ 14.答案：C3．在等差数列 { a } 中， a ＝－ 5， a ＝ a ＋ 6， a等于()n2641A．－ 9B．－ 8C．－ 7D．－4a ＋ d＝－ 5，1分析：法一：由意，得解得 a1＝－ 8.a1＋ 5d＝a1＋3d＋ 6，法二：由 a n＝a m＋ (n－m)d(m， n∈ N* )，a n－ a m得 d＝，n－ma6－ a4＝6＝ 3.∴d＝6－4 6－4∴a1＝ a2－d＝－ 8.答案：B4．在数列 { a n} 中， a1＝ 1， a n＋1＝ a n＋ 1， a2 017等于 ()A．2 009B．2 010C． 2 018 D ．2 017分析：因为 a n＋1－ a n＝ 1，数列 { a n} 是等差数列，且公差d＝ 1， a n＝a1＋ (n－ 1)d＝ n，故a2 017＝ 2 017.5．若等差数列 { a n} 中，已知 a1＝1， a2＋ a5＝ 4， a n＝ 35，则 n＝ () 3A．50B．51 C． 52 D ．53分析：依题意， a2＋ a5＝ a1＋d＋ a1＋ 4d＝ 4，将 a1＝1代入，得 d＝2.331221因此 a n＝ a1＋ (n－ 1)d＝3＋(n－ 1)×3＝3n－3，令 a n＝ 35，解得 n＝ 53.答案： D6． lg( 3－ 2)与 lg( 3＋2)的等差中项是 ________．lg 3－ 2 ＋ lg3＋ 2lg 1分析：等差中项 A＝2＝2＝0.答案： 07．等差数列的第 3 项是 7，第 11 项是－ 1，则它的第7 项是 ________．分析：设首项为a1，公差为 d，由 a3＝ 7， a11＝－ 1 得， a1＋ 2d＝ 7， a1＋ 10d＝－ 1，因此 a1＝ 9， d＝－ 1，则 a7＝ 3.答案： 38．已知 48， a， b， c，－ 12 是等差数列的连续 5 项，则 a，b， c 的值挨次是 ________．分析：∵2b＝ 48＋ (－ 12)，∴b＝18，又 2a＝ 48＋ b＝ 48＋18，∴a＝33，同理可得c＝3.答案： 33,18,39．在等差数列{ a n} 中，已知a1＝ 112， a2＝ 116，这个数列在450 到 600 之间共有多少项？分析：由题意，得d＝ a2－ a1＝ 116－ 112＝ 4，因此 a n＝ a1＋ (n－ 1)d＝ 112＋ 4(n－ 1)＝ 4n＋108.令 450≤ a n≤ 600，解得 85.5≤n≤ 123.210．一个各项都是正数的无量等差数列{ a n} ， a1和 a3是方程x2－ 8x＋ 7＝0 的两个根，求它的通项公式．分析：由题意，知a1＋ a3＝ 8， a1a3＝ 7，又{ a n} 为正项等差数列，∴ a1＝ 1，a3＝ 7，设公差为 d，∵a3＝ a1＋ 2d，∴7＝ 1＋ 2d，故 d＝ 3， a n＝3n－ 2.[B 组能力提高 ]1．在数列 { a } 中， a ＝ 2,2a＝ 2a＋ 1，则 a101的值是()n1n＋ 1nA．52B．51 C． 50 D ．49分析：∵2a n＋1＝2a n＋ 1，1∴2(a n＋1－a n)＝ 1.即 a n＋1－ a n＝2.1∴{ a n} 是以2为公差的等差数列．a101＝ a1＋ (101－ 1)×d＝ 2＋ 50＝52.答案： A2．在等差数列中，a m＝ n，a n＝m(m≠ n)，则 a m＋n为 ()A ． m－ nB ． 0C． m2 D ．n2分析：法一：设首项为a1，公差为 d，则a1＋ m－ 1 d＝ n，a1＝m＋ n－ 1，解得a ＋ n－ 1 d＝ m，d＝－ 1.1∴a m＋n＝ a1＋ (m＋ n－ 1)d＝m＋n－ 1－ (m＋ n－ 1)＝ 0.应选 B.法二：因结论独一，故只要取一个知足条件的特别数列：2,1,0，即可知结论，应选 B.答案： B3．已知 1， x， y,10 组成等差数列，则x， y 的值分别为 ________．分析：由已知， x 是 1 和 y 的等差中项，即 2x＝ 1＋ y，①y 是 x 和 10 的等差中项，即2y＝x＋ 10②由①，②可解得x＝ 4， y＝ 7.答案： 4,71，且从第 10 项开始为比 1 大的项，则公差 d 的取值范围是 ________．4．等差数列的首项为2510a >1 ，分析：由题意得a9≤ 1，125＋ 9d>1 ，∴125＋ 8d≤ 1，8 3∴75<d≤25.8 3答案：75<d≤255．已知递减等差数列 { a n } 的前三项和为 18，前三项的乘积为 66.求数列的通项公式，并判断－34 是该数列的项吗？a1＋ a2＋ a3＝ 18，分析：法一：设等差数列 { a n} 的前三项分别为a1，a2， a3.依题意得a1·a2·a3＝ 66，3a1＋3d＝ 18，∴a1·a1＋ d ·a1＋2d ＝ 66.a1＝ 11，a1＝ 1，解得或d＝－ 5，d＝5.∵数列{ a n} 是递减等差数列，∴d<0.故取 a1＝ 11， d＝－ 5，∴a n＝11＋ (n－ 1) ·(－ 5)＝－ 5n＋ 16，即等差数列 { a n} 的通项公式为a n＝－ 5n＋ 16.令 a n＝－ 34，即－ 5n＋ 16＝－ 34，得 n＝ 10.∴－34 是数列 { a n} 的项，且为第10 项．法二：设等差数列 { a n} 的前三项挨次为：a－ d， a， a＋ d，a－d ＋ a＋ a＋ d ＝ 18，a－ d ·a·a＋ d ＝ 66，a＝ 6，解得d＝±5.又∵{ a n} 是减等差数列，即d<0 ，∴取 a＝ 6， d＝－ 5.∴{ a n} 的首 a1＝ 11，公差 d＝－ 5.∴通公式 a n＝11＋ (n－1) ·(－ 5)，即 a n＝－ 5n＋16.令 a n＝－ 34，解得 n＝ 10.即－ 34 是数列 { a n} 的，且第10 ．6．已知无等差数列 { a } ，首 a ＝ 3，公差 d＝－ 5，挨次拿出数被 4 除余 3 的成n1数列 { b n} ．(1)求 b1和 b2；(2)求 { b n} 的通公式；(3){ b n} 中的第 110 是 { a n} 的第几？分析： (1)∵a1＝ 3， d＝－ 5，∴a n＝ 3＋ (n－ 1)× (－ 5)＝ 8－ 5n(n∈ N * )．数列 { a n} 中数被 4 除余 3 的是 { a n} 的第 3 ，第 7 ，第 11 ，⋯，因此其首 b1＝a3＝－ 7， b2＝ a7＝－ 27.(2){ a n} 中的第 m 是 { b n} 的第 n ，即 b n＝ a m， m＝ 3＋ 4(n－ 1)＝ 4n－ 1，∴b n＝ a m＝ a4n－1＝ 8－5(4n－ 1)＝ 13－20n.∵b n－ b n－1＝－ 20(n≥ 2， n∈ N* )，n n*∴{ b } 是等差数列，其通公式 b ＝ 13－ 20n， n∈N.(3)它是 { a n} 中的第 m ，由 (2) 知 m＝4n－ 1，又 n＝ 110， m＝ 439.故{ b n} 中的第 110 项是 { a n} 的第 439 项．。

高中数学必修5(人教A版)第二章数列2.4知识点总结含同步练习及答案

高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章数列 2.4 等比数列
一、学习任务理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决一些简单的问题．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系．了解等比数列与指数函数的关系．二、知识清单
等比数列的概念与性质
三、知识讲解
1.等比数列的概念与性质描述：等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母 q 表示 (q ≠ 0) ．如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a ，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．等比数列的通项公式：an = a1 q n−1 ．等比数列的性质 an ，am 为等比数列中任意两项，则 an = am q n−m (n, m ∈ N + ) ．若 n，m ，p ，r ∈ N ∗ 且 n + m = p + r ，则 an ⋅ am = ap ⋅ ar ．下标（即项的序号）成等差数列的项，仍然成等比数列．等比数列前 n 项和
27 是否为这个数列中的一项？如 2
a(3a + 3) = (2a + 2)2 ,
解得 a = −1 或 a = −4 ．当 a = −1 时，数列的前三项依次为 −1，0 ，0 ，与等比数列的定义相矛盾，故舍去．当 a = −4 时，数列的前三项依次为 −4，−6，−9，则公比为 q =
3 ．所以 2
q = 1, ⎧ na1 , n 等比数列的前 n 项和 S n = ⎨ a1 (1 − q ) a − an q ⎩ = 1 , q ≠ 1. 1−q 1−q 等比数列的前 n 项和的性质当 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 均不为零时，数列 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 构成等比数列；

2019数学人教a版必修五优化练习：第二章 2.1 第1课时数列的概念与简单表示含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．数列1,0,1,0,1,0,1,0…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝1－(－1)n ＋12B ．a n ＝1＋(－1)n ＋12C ．a n ＝(－1)n －12D ．a n ＝－1－(－1)n2解析：n ＝1时验证知B 正确．答案：B2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D.2，6，12，…，100解析：对于A ，它是无穷递减数列；对于B ，它也是无穷递减数列；D 是有穷数列；对于C ，既是递增数列又是无穷数列，故C 符合题意．答案：C3．数列13，24，35，46，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝1n －1B ．a n ＝n 2n －1C ．a n ＝n n ＋2D ．a n ＝n 2n ＋1解析：观察前4项的特点易知a n ＝n n ＋2.答案：C4．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，是数列{a n }中的一项的是( ) A ．18 B ．21 C ．25D ．30解析：依次令n (n ＋1)＝18,21,25和30检验，有正整数解的为数列{a n }中的一项，知选D. 答案：D5．递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]解析：∵数列{a n }是递减数列， ∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0， ∴实数k 的取值范围是(－∞，0)．答案：C6．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________. 解析：∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.答案：3－4n157．数列{a n }的通项公式a n ＝cn ＋d n ，又知a 2＝32，a 4＝154，则a 10＝________.解析：由a 2＝2c ＋d 2＝32，a 4＝4c ＋d 4＝154，解之得：c ＝1，d ＝－1， ∴a n ＝n －1n，∴a 10＝9910. 答案：99108．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n ，那么110是它的第________项．解析：令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4(n ＝－5舍去)，所以110是第4项．答案：49．下面数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1)全体自然数构成的数列：0,1,2,3,4，…；(2)堆放7层的钢管，自上而下各层的钢管数排列成一列数：4,5,6,7,8,9,10； (3)无穷多个3构成的数列：3,3,3,3，…； (4)－1,1，－1,1，…；(5)2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值构成的数列：1,1.4,1.41,1.414，….解析：(1)(2)(5)中的数列是递增数列，(3)中的数列是常数列，(4)中的数列是摆动数列．10．已知数列{a n }中，a n ＝n n ＋1，判断数列{a n }的单调性．解析：∵a n ＝n n ＋1，∴a n ＋1＝n ＋1n ＋2，则a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－nn ＋1＝(n ＋1)2－n (n ＋2)(n ＋2)(n ＋1)＝1(n ＋2)(n ＋1).∵n ∈N *，∴n ＋2>0，n ＋1>0， ∴1(n ＋2)(n ＋1)>0，∴a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列． [B 组能力提升]1．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }的最大项的值为( ) A ．5 B ．11 C ．10或11D ．36解析：∵a n ＝－n 2＋10n ＋11＝－(n －5)2＋36， ∴当n ＝5时，a n 取得最大值36. 答案：D2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ，则数列{a n }的最大项是( )A ． a 1B ．a 9C ．a 10D ．不存在。

2019版高中数学人教A版必修5：第二章检测A 含解析

=2
+
12
×
(7 2
+
51)
=
350.
答案:350
15 中位数为 1 012 的一组数构成等差数列,其末项为 2 020,则该数列的首项为 .
解析:由题意知,1
012
为数列首项
a1
与
2
020
的等差中项,故��1
+2 2
020
=
1
012,解得
a1=4.
答案:4
三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
解(1)设数列{an}的公差为 d,
{得
由题意,
��1 + �� 1 + 4��
= =
6, 18,
解得 a1=2,d=4.
故 an=2+4(n-1)=4n-2.
(2)当 n=1 时,b1=T1,
由
T1
+
12��1
=
1,得 b1
=
2.
3
当 n≥2 时,∵Tn + 12�� = 1, ∴Tn=1 ‒ 12��,�� ‒ 1 = 1 ‒ 12�� ‒ 1,
A.1 009
B.1 010
C.2 009
D.2 010
解析:∵A,B,C 三点共线,∴a1+a2 020=1.
∴S2
020
=
2
020·(��1 + 2
��2
020)
=

数学人教A版必修五优化练习第二章 2.1 第2课时数列的通项公式与递推公式 Word版含解析

[课时作业][组基础巩固]．数列{}的通项公式为＝(\\(＋(为奇数(，－(为偶数(，))则等于( )．．．．答案：．数列，…的递推公式是( )(\\(＝，＋＝＋(∈*())(\\(＝，＝－＋(≥，∈*())(\\(＝，＋＝＋(－((≥，∈*())(\\(＝，＝－＋(－((∈*())解析：将数值代入选项验证即可．答案：．已知数列{}满足＝，＝－(≥)，则等于( )．．．．解析：逐项代入可求．答案：．若数列{}中，＝，＋＝，则数列{}的第项是( )解析：∵＝，＋＝，∴＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝，故选.答案：．数列{}满足＝，＋＝－(∈*)，则＝( )．．．．－解析：＝，＝×－＝，＝×－＝，＝×－＝，…，可知＝(∈*)，∴＝.答案：．数列{}中，＝＝，＋＝＋＋，则＝.解析：由＋＝＋＋，∴＝＋＝，＝＋＝＋＝.答案：．已知数列{}满足：－＝，－＝，＝，∈*，则＝；＝.解析：依题意得＝×－＝，＝×＝＝×－＝.故分别填.答案：．数列{}的通项公式＝(－)·，则＝，＝，－＝.解析：分别用和－去代换通项公式中的，得＝(－)·＝－，＝(－)·＝，－·＝－.－＝(－)答案：－－．已知数列{}中，＝，＋＝(∈*)，求数列{}的通项公式．解析：由＋＝得＝.因此可得＝，＝，＝，…，＝(≥)．将上面的－个式子相乘可得···…·＝－.即＝－，所以＝·－，又＝，故＝·－.当＝时，＝×＝也满足，故＝·－.．已知数列{}满足＝，＋＝(∈*)，试探究数列{}的通项公式．解析：法一：将＝依次代入递推公式得＝，＝，＝，又＝，∴可猜想＝.应有＋＝，将其代入递推关系式验证成立，∴＝.法二：∵＋＝，∴＋＝－＋.两边同除以＋，得－＝.∴－＝，－＝，…，－＝.把以上各式累加得－＝.又＝，∴＝.故数列{}的通项公式为＝(∈*)．[组能力提升]．已知数列{}的前项和＝，则＋＋＋等于( )。

数学人教A版必修五优化练习第二章 2.5 第3课时数列的通项公式 Word版含解析

[课时作业][组基础巩固]．设数列{}中，＝，＋＝＋，则数列{}的通项公式为( )．＝＋．＝．＝－．＝－答案：．数列{}中，若＝，＋＝＋(≥)，则该数列的通项＝.( )．－．＋－．－－．＋解析：＋＋＝(＋)，∴此数列是以＋为首项，为公比的等比数列，＋＝(＋)×－，即＝＋－.答案：．设数列{}满足＋＋＋…＋－＝(∈*)，则通项公式是( )．＝．＝．＝．＝解析：设－·的前项和为，∵数列{}满足＋＋＋…＋－＝(∈*)，∴＝，∴－＝－－＝－＝，∴＝＝，经验证，＝时也成立，故＝.故选.答案：．已知数列{}满足＝，且＝－＋(≥，且∈*)，则数列{}的通项公式为( )．＝．＝．＝(＋)．＝＋解析：＝－＋(≥，且∈*)⇔＝＋，即＝，则数列{}为首项＝＝＝，公差为的等差数列，所以＝＋(－)×＝＋，所以＝.答案：．若数列{}的前项和为，且＝－，则{}的通项公式是．解析：由＝－得－＝－－(≥)，两式相减得－－＝(≥)，∴＝－－(≥)，＝－(≥)．故{}是公比为－的等比数列，令＝得＝－，∴＝，故＝·(－)－.答案：＝·(－)－．已知数列{}满足＝，＋＝＋－(∈*)，则＝.解析：∵＝，＋＝＋－(∈*)，∴＝(－－)＋(－－－)＋…＋(－)＋＝(－)＋(－)＋…＋＋＝＋＝－＋.答案：－＋．在数列{}中，＝，＝－＋(≥，∈*)，则通项＝.解析：由＝－＋，得＋＝(－＋)(≥)．∵＝，∴＋＝≠，∴数列{＋}是以为首项，为公比的等比数列，∴＋＝·－＝，即＝－.答案：－．已知数列{}满足＝，(＋)＝(－)－(≥，∈*)，则＝，数列{}的通项公式为．解析：当≥时，由(＋)＝(－)－得＝，故＝·＝×＝.＝···…···＝×××…×××＝×＝.又＝满足上式，故＝(∈*)答案：＝(∈*)．已知数列{}满足：＝－(∈*)，其中为数列{}的前项和，求{}的通项公式．解析：∵＝－，①∴＋＝－＋，②②－①得＋＝－＋＋，∴＋＝，(∈*)又＝时，＝－，∴＝.∴＝·()－＝()(∈*)．．已知数列{}满足＝，＋＝·，求.解析：由题意知≠，因为＋＝·，所以＝，故＝··…··＝··…··＝.[组能力提升]．已知数列{}满足＝，＋＋…＋＝，则为( )．＝．＝．＝．＝解析：∵＋＋…＋＝，①∴＋＋…＋－＝(－)－(≥，∈*)，②①－②得＝－(－)－.即＝(≥，∈*)．∴···…·＝××××…××.即＝，又＝，∴＝，当＝时，＝＝成立，∴＝(∈*)．。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.2 第2课时等差数列的性质 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．(2015·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n ＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12 解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝6，a 4＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.答案：D5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：997．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.答案：748．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝a ，a 10＝a 1＋9d ＝b ，解得⎩⎨⎧ a 1＝9a －4b 5，d ＝b －a 5，∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a . 法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a . 法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a9．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.10．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.[B 组能力提升]1．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3B ．±3C ．－33D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan8π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：D2．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25 解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B3．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋m 3n 为等差数列的实数m 的值为________．解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3n －1－2m 3n ＝1－1＋2m 3n 为常数，则1＋2m ＝0，故m ＝－12. 答案：－124．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43.答案：435．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同，即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n＋1－a n＝2pn＋p＋q，∴a n＋2－a n＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，∴(a n＋2－a n＋1)－(a n＋1－a n)＝[2p(n＋1)＋p＋q]－(2pn＋p＋q)＝2p(常数)．∴对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．。

高中数学人教A版必修五优化练习第二章2.5第3课时数列的通项公式含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝3n ＋1 C ．a n ＝3n －1 D ．a n ＝3n －1答案：C2．数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.( ) A ．2n ＋1－3B ．2n －3C ．2n ＋3D ．2n －1－3解析：a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴此数列是以a 1＋3为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝(1＋3)×2n －1，即a n ＝2n ＋1－3.答案：A3．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，则通项公式是( )A ．a n ＝12nB ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12nD ．a n ＝12n ＋1解析：设|2n －1·a n |的前n 项和为T n ，∵数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，∴T n ＝n 2，∴2n －1a n ＝T n －T n －1＝n 2－n －12＝12，∴a n ＝122n －1＝12n ，经验证，n ＝1时也成立，故a n ＝12n .故选C.答案：C4．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝⎛⎭⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3n n ＋2B ．a n ＝n ＋23nC ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝(n ＋2)3n解析：a n ＝13a n －1＋⎝⎛⎭⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)⇔a n ⎝⎛⎭⎫13n ＝a n －1⎝⎛⎭⎫13n －1＋1，即b n ＝a n ⎝⎛⎭⎫13n，则数列{b n }为首项b 1＝a 113＝3a 1＝3，公差为1的等差数列，所以b n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，所以a n ＝n ＋23n .答案：B5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)．故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.答案：a n ＝3·(－1)n －16．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n －5)＋…＋1＋1＝(n －1)(2n －3＋1)2＋1＝n 2－2n ＋2.答案：n 2－2n ＋27．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n ＝________.解析：由a n ＝3a n －1＋2，得a n ＋1＝3(a n －1＋1)(n ≥2)．∵a 1＝2，∴a 1＋1＝3≠0，∴数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＋1＝3·3n －1＝3n ，即a n ＝3n －1.答案： 3n －18．已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 1＝________，数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1得a n a n －1＝n －1n ＋1，故a 3a 1＝a 2a 1·a 3a 2＝13×24＝16. a n ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n －1a n －2·a n a n －1·a 1＝13×24×35×…×n －2n ×n －1n ＋1×2＝1×2n (n ＋1)×2＝4n (n ＋1).又a 1＝2满足上式，故a n ＝4n (n ＋1)(n ∈N *)答案：16 a n ＝4n (n ＋1)(n ∈N *)9．已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n ∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，求{a n }的通项公式．解析：∵S n ＝1－a n ，① ∴S n ＋1＝1－a n ＋1，② ②－①得a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ， ∴a n ＋1＝12a n ，(n ∈N *)又n ＝1时，a 1＝1－a 1， ∴a 1＝12.∴a n ＝12·(12)n －1＝(12)n(n ∈N *)．10．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n .解析：由题意知a n ≠0，因为a n ＋1＝nn ＋1·a n ，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·12·23＝23n .[B 组能力提升]1．已知数列{a n }满足a 1＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，则a n 为( )A ．a n ＝1n (n ＋1)B ．a n ＝1n (n －1)C ．a n ＝nn ＋1D ．a n ＝n －1n ＋1解析：∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，①∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝ (n －1)2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1. 即a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2，n ∈N *)． ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×46×…×n －2n ×n －1n ＋1. 即a n a 1＝2n (n ＋1)，又a 1＝12，∴a n ＝1n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝11×(1＋1)＝12成立，∴a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)．答案：A2．已知{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，则{a n }的通项公式为a n＝( ) A.1n B ．(n n ＋1)n －1C.1n ＋1D ．(n n ＋1)n解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0.∴(a n ＋1＋a n )·[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. ∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0. ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，即a n ＋1＝n n ＋1a n. ∴a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·23·12·a 1＝1n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1n 也成立，∴a n ＝1n .答案：A3．对于数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n ＋1＋n，则a n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ，∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)，即a n ＝n (n ≥2)，将n ＝1代入也成立，∴a n ＝n . 答案：n4．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析：数列{na n }的前n 项和为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)．① 其前n －1项和为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)n (n ＋1)．②①－②，得na n ＝n (n ＋1)[(n ＋2)－(n －1)]＝3n (n ＋1)，即a n ＝3n ＋3. 当n ＝1时也满足上式．故a n ＝3n ＋3. 答案：3n ＋35．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)证明数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：法一：因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)．所以数列{a n ＋1}是等比数列．法二：由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)， ∴{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)可知a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.6．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)． (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n 3n －1，求证：{c n }是等比数列．证明：(1)由S n ＋1＝4a n ＋2得S n ＝4a n －1＋2，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4a n ＋2)－(4a n －1＋2)＝4a n －4a n－1(n ≥2)，即a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，∴b n ＝2b n －1(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＝a 2－2a 1＝3， ∴{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＋1－2a n ＝b n ＝3·2n －1，于是有a n －21a n －1＝3·2n －2，21a n －1－22a n －2＝3·2n －2，22a n －2－23a n －3＝3·2n －2，…2n －2a 2－2n －1a 1＝3·2n －2.将以上n －1个等式叠加得 a n －2n －1a 1＝(n －1)·3·2n －2，∴a n ＝3(n －1)2n －2＋2n －1a 1＝(3n －1)·2n －2(n ≥2，n ∈N *)，又n ＝1时也满足此式，∴c n ＝a n 3n －1＝2n －2， ∴{c n }是等比数列，公比是2.。

2019版高中数学人教A版必修5：第二章检测B 含解析

1A.a=a n-1+n,n∈N*,n≥2=a n+(n+1),n∈N*,n≥2n+1=a n-1+(n-1),n∈N*,n≥2:a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,a5=a4+5,所以a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2.:B2若公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于( ).A.1B.2C.4D.8=a27=16,且:∵a3a11a n>0,∴a7=4.a743A.16(14《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3 L,下面3节的容积共4 L,则第五节的容积为( )A.1 LLLL:设竹子的容积自上而下成等差数列{a n}:a1,a2,…,a9,其公差为d,则1=13,=7,+a+a=4a+6d=3,a+a+a=3a+21d=4,解得a d5A.186是 (=3n-1D.a n =3n:由a 1a 2a 3=27a 2=3.得a 32=27,所以S 2n =4(a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1),所以当n=1时,有S 2=a 1+a 2=4a 1,得a 1=1,从而公比q=3,所以a n =a 1q n-1=3n-1.:C7已知数列{a n }为等比数列,a 2=2,a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1等于( )a 5=14,则A.16(1-4-n )B.16(1-2n )81q 2=9.q 3q=q +10,整理得=a 1·q 4=9,即81a 1=9,=19.:C9设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,(n+1)S n <nS n+1(n ∈N *).若a 8a 7<‒1,则( ).A.S n 的最大值是S 8的最小值是S 8的最大值是S 710|A 1B+x 1x 2=2n +1n2+n ,x 2=1n 2+n.|A n B n |=|x 2-x 1|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1n 2+n=1n ‒1n +1,1B 1|+|A 2B 2|+…+|A n B n |=(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n +1)=1‒1n +1|A 1B 1|+|A 2B 2|+…+|A 2 019B 2 019|n+1,=2 0192019+1=2 0192020.:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在数列{a n }中,若a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n ≥2,n ∈N *),则a 3a 5=______________________.解析12解析31=15×(1+2)+2=47.:4713已知三角形的三边构成等比数列,若它们的公比为q ,则q 的取值范围是 .:由题意可设三角形的三边分别a ,aq ,为aq ,因为三角形两边之和大于第三边,有{a q +a >aq ,a q+aq >a ,a +aq >aq .a>0,q>0,解得-1+52<q <1+52.14:2‒2+315如下表所示,若在3×3正方形的9个空格中填入正整数,使得每一行都成等差数列,每一列都成等比数列,则标有*号的空格应填的数是 . 312:设标有*号的空格应填a ,由于每一行都成等差数列,则第一行第二个数.又每一列都成等比数列,则第一列第二个数+3=2,第三行第二个数是a +122,如表所示,则应6.根据每一行成等差数1×a =±a .又空格中的数都是正整数为a .同理第三列第二个数是则第二行第二个数,且空格中的数都是正整数,则第二列第二个数是a +62.根据每一列成等比数列a +12a +616 (1)求{a n}的通项公式为a n =2n+35.由(1)知,b n=[2n+35].n=1,2,3时,1≤2n+35<2,b n=1;n=4,5时,2≤2n+35<3,b n=2;n=6,7,8时,3≤2n+35<4,b n=3;n=9,10时,4≤2n+35<5,b n=4.17 (1)求数列≥2bn -1(2)8数列{b n }是等比数列,首项b 1q =(12)-1=2,公比=18.n ∈N *恒成立.=2[1-(18)n]1-18=167×[1-(18)n]<167对18(9分)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列.(1)求d ,a n ;若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.(1)由题意得5a 3·a 1=(2a 2+2)2,19(1)求数列设b n =(a n +1)·b n }的前n 项和T n .2,求数列{(1)设数列{a n }的公差为d.n=1,a 1a 2=3.得1a 1a 2=13,所以n=2,得1a 1a 2+1a 2a 3=25,a 2a 3=15.a 1=1,d=2,所以a n =2n-1.由(1)知b n =(a n +1)·n ·22n-1=n ·4n ,2a n=2T n =1·41+2·42+…+n ·4n ,20(1)求数列n -S n-1=n 2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列{a n }的通项a n =2n.证明由于a n =2n ,b n =n +1(n +2)2a 2n ,=n +14n 2(n +2)2=116[1n 2-1(n +2)2].116[1-132+122-142+132-152+…+1(n -1)2-1(n +1)2+1n 2-1(n +2)2]16[1+122-1(n +1)2-1(n +2)2]16(1+122)=564.。

高中数学人教A版选修-5优化练习：第二讲达标检测含解析

( ) ( ) ( ) ＝ a
a
a－b
b
a－c
b－c.
∵ab>b>0，∴cab>1，a－cb>0.
( ) ∴ a b
a－b>1.
( ) ( ) b
同理 c
a b－c>1， c
a－c>1.
∴AB>1，∴A>B.
答案：A
6．若 0<x<y<1，则( )
A．3y<3x C．log4 x<log4 y
B．logx3<logy3
n－1
1＋ 2.
当 n≥3 时，1＋1n≤43< 2，
∴cn＋1<1 ×( 2)2＝1， cn 2
又由 cn＝a2n·bn 可知，cn＋1 和 c 均大于 0，
n
∴cn＋1<cn.
9
2
＝1.
所以－1≤ac＋bd≤1.
答案：A
11．在△ABC 中，A，B，C 分别为 a，b，c 所对的角，且 a，b，c 成等差数列，
则 B 适合的条件是( )
A．0<B≤π 4
C．0<B≤π 2
解析：∵b＝a＋2 c，
∴cos B＝a2＋c2－b2 2ac
( ) a＋c
a2＋c2－ 2 2 ＝
2ac
证明：∵a2＋b2≥2ab， a2＋3≥2 3a，b2＋3≥2 3b；
将此三式相加得
2(a2＋b2＋3)≥2ab＋2 3a＋2 3b，
∴a2＋b2＋3≥ab＋ 3(a＋b)．
( ) 18．(12
分)已知 m>0，a，b∈R，求证：
a＋mb 1＋m
2≤
a2＋mb2. 1＋m

2019数学人教a版必修五优化练习：第一章章末优化总结 word版含解析

章末检测(一) 解三角形时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于钝角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B.答案：B2．在△ABC中，A＝60°，b＝6，c＝10，则△ABC的面积为( )A．15 6 B．15 3C．15 D．30答案：B3．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，C为钝角，则x的取值范围是( ) A．x<5 B．5<x<7C ．1<x<5D ．1<x<7解析：由已知条件可知x<3＋4且32＋42<x 2， ∴5<x<7. 答案：B4．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，cos A ＝－45.则sin B 的值为( )A ．1 B.35 C.12 D.25解析：在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－452＝35.∵BCsin A ＝ACsin B， ∴sin B ＝AC BC ·sin A ＝23×35＝25.答案：D5．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C.5D ．5解析：c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ， ∴c ＝3.答案：A6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23解析：b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a.∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34.答案：B7．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A ．b ＝10，∠A ＝45°，∠C ＝70° B ．a ＝30，b ＝25，∠A ＝150° C ．a ＝7，b ＝8，∠A ＝98° D ．a ＝14，b ＝16，∠A ＝45°解析：A 中已知两角与一边，有唯一解；B 中，a>b ，且∠A ＝150°，也有唯一解；C 中b>a ，且∠A ＝98°为钝角，故解不存在；D 中由于b ·sin 45°<a<b ，故有两解．答案：D8．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么角A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A>B>C B ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析：由正弦定理得asin 30°＝bsin B ，∴sin B ＝32，又∵B 为锐角，∴B ＝60°，∴C ＝90°，即C>B>A. 答案：C9．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1 km B ．2sin 10° km C ．2cos 10° kmD ．cos 20° km解析：如图所示，∠ABC ＝20°，AB ＝1 km ，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理ADsin 160°＝ABsin 10°，∴AD＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°(km)．答案：C10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2bcos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：因为a ＝2bcos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，则此三角形一定是等腰三角形．答案：C11．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 分别对应三边a ，b ，c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆的半径R 为( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．5解析：由tan C ＝43>0且C ∈(0，π)，得C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由同角三角函数的基本关系式，得cos C ＝11＋tan 2C ＝35，sin C ＝cos Ctan C ＝45，由正弦定理，有2R ＝csin C＝845＝10，故外接圆半径为5，故选D. 答案：D12．设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2)解析：由asin A ＝bsin B ＝bsin 2A ，得b ＝2cos A.π2<A ＋B ＝3A<π，从而π6<A<π3.又2A<π2，所以A<π4，所以π6<A<π4，22<cos A<32，所以2<b< 3.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．在等腰△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝1∶2，底边BC ＝10，则△ABC 的周长是________．解析：由正弦定理得BC ∶AC ＝sin A ∶sin B ＝1∶2. 又∵BC ＝10，∴AC ＝20，∴AB ＝AC ＝20. ∴△ABC 的周长是10＋20＋20＝50. 答案：5014．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C＝________.解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，即49＝b 2＋25＋5b ，解得b ＝3或b ＝－8(舍去)，所以sin Bsin C ＝bc ＝35.答案：3515．在△ABC 中，若S △ABC ＝123，ac ＝48，c －a ＝2，则b ＝________.解析：由S △ABC ＝12acsin B 得sin B ＝32，∴B ＝60°或120°.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝(a －c)2＋2ac －2accos B ＝22＋2×48－2×48cos B ，∴b 2＝52或148，即b ＝213或237.答案：213或23716．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C)，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A)，若m ∥n ，则角B 的大小为________．解析：由m ∥n ，∴(a ＋b)(sin B －sin A)－sin C(3a ＋c)＝0，由正弦定理有(a ＋b) (b －a)＝c(3a ＋c)，即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，再由余弦定理得cos B ＝－32，∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝150°.答案：150°三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，b ＝5，c ＝61.(1)求C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)依题意，由余弦定理得 cos C ＝42＋52－(61)22×4×5＝－12.∵0°<C<180°，∴C ＝120°.(2)S △ABC ＝12absin C ＝12×4×5×sin 120°＝12×4×5×32＝53.18．(12分)在△ABC 中，已知(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B)，试判断△ABC 的形状．解析：由题意可知a 2[sin(A ＋B)－sin(A －B)]＝b 2[sin(A －B)＋sin(A ＋B)]，即a 2·2sin Bcos A ＝b 2·2sin Acos B.∵sin Asin B ≠0，∴2sin Acos A ＝2sin Bcos B ，即sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．19．(12分)在△ABC 中，a ，b ， c 分别为角A ，B ，C 的对边，a 2－(b －c)2＝bc ， (1)求角A ；(2)若bsin B＝c ＝2，求b 的值．解析：(1)由a 2 －(b －c)2＝bc 得：a 2－b 2－c 2＝－bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0＜A ＜π， ∴A ＝π3.(2)bsin B ＝csin C ，∴sin C ＝1.∴C ＝π2， ∴B ＝π6.∵bsin B ＝c ＝2， ∴b ＝2sin B ＝2sin π6＝1.20．(12分)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a.(1)求ba ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B.解析：(1)由正弦定理得，sin 2Asin B ＋sin Bcos 2A ＝2sin A ，即sin B(sin 2A ＋cos 2A)＝2sin A.故sin B ＝2sin A ，所以ba＝2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B>0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.21．(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C<π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理asin A ＝csin C，得c ＝4. 由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C<π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcos C. 得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.22．(13分)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫其中sin θ＝2626，0°<θ<90°且与点A 相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解析：(1)如图所示，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626.由于0°<θ<90°，所以cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得 BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为 1054060＝10523＝155(海里/小时)．(2)如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B(x 1，y 1)、C(x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D ，由题设有，x 1＝y 1＝22AB ＝40，x 2＝ACcos ∠CAD ＝1013cos(45°－θ)＝30，y 2＝ACsin ∠CAD ＝1013sin(45°－θ)＝20.所以过点B 、C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40.又点E(0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35<7，所以船会进入警戒水域.28.2.2 应用举例第1课时与视角有关的解直角三角形应用题1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.阅读教材P74-75页，自学“例3”与“例4”，复习与圆的切线相关的知识，弄清仰角与俯角的概念.自学反馈独立完成后小组内展示学习成果①某人从A看B的仰角为15°，则从B看A的俯角为 .②什么叫圆的切线？它有什么性质？③弧长的计算公式是什么？④P89练习题1-2题.把求线段的长转化成解直角三角形的知识，构造直角三角形，把相应的元素放到相应的直角三角形中去.活动1 小组讨论例1 如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10 m，∠A=26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长.(精确到0.01 m)解:∵tanA=BC AC,∴BC=AC·tanA=5×tan26°≈2.44(m).∵cosA=AC AB,∴AB=ACcosA=526cos≈5.56(m).答:中柱BC约长2.44 m,上弦AB约长5.56 m.这类问题往往是将等腰三角形转化成解直角三角形，同一个问题可以用不同的关系式来解.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，某飞机于空中处探测到目标C，此时飞行高度AC=1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=16°31′,求飞机A到指挥台B的距离.(精确到1 m)2.在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少m.(精确到0.1 m)这类求距离的问题往往转化成求直角三角形边长的问题，另外，要注意理解有关的名词术语.第2小题要抽象成几何图形再来解决实际问题.活动1 小组讨论例2 如图，两建筑物的水平距离为32.6 m，从点A测得点D的俯角α为35°12′，测得点C俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.(精确到0.1 m)解:过点D作DE⊥AB于点E,则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=α=35°12′,DE=BC=32.6 m.在Rt△ABC中,∵tan∠ACB=AB BC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83(m).在Rt△ADE中,∵tan∠ADE=AE DE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00(m).∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8(m).答:两个建筑物的高分别约为30.8 m,7.8 m.关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化成几何问题解决.活动2 跟踪训练(小组讨论完成并展示学习成果)如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星到达A点时，从位于地面R 处的雷达站测得AR的距离是6 km，仰角为43°，1s后，火箭到达B点，此时测得BR 的距离是6.13 km ，仰角为45.54°,这个火箭从A 到B 的平均速度是多少(精确到0.01 km/s)?速度=路程÷时间，本题中只需求出路程AB ，即可求出速度.无论是高度还是速度，都转化成解直角三角形.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法:数形结合、数学建模的思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①15°②略 ③360n ︒︒·2πr ④7.7 m 334.2 m【合作探究1】活动2 跟踪训练1.4 221 m2.6.0 m【合作探究2】活动2 跟踪训练0.28 km/s高一年级化学学科学案微粒之间的相互作用力第三课时【学习目标】1.认识分子间作用力的概念；2.用分子间作用力解释常见事实。

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