第七章 第五节推理与证明

第五节推理与证明
1.推理
(1)定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.
(2)分类：推理一般分为__演绎推理__与_合情推理__两类.
2.合理推理
(1)定义：从__一般性的原理__出发，推出__某个特殊情况__下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
(2)特点：演绎推理是由__一般到特殊__的推理；
(3)模式：三段论.
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
知识点二直接证明与间接证明
1.直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是_综合法_和_分析法__.
(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
综合法又称为：___由因导果法____(顺推证法).
(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.
分析法又称为：___执果索因法__(逆推证法).
2.间接证明——反证法
一般地，假设原命题_不成立__(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明___假设错误__，从而证明了__原命题成立__，这样的证明方法叫做反证法.
方法1 推理问题
1.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.
2.类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).
3.类比推理的关键是找到合适的类比对象，平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.
【例1】 (2014·广州模拟)已知数列{a n}为等差数列，若a m＝a，a n＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，
则a m ＋n ＝nb －ma n －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *
)，若b m ＝c ，
b n ＝d(n －m ≥2，m ，n ∈N *
)，则可以得到b m ＋n ＝________.
[解题指导](1)已知信息：由等差数列的性质类比等比数列的性质. (2)信息分析：法一 利用等差数列、等比数列的知识进行推导.
法二 (直接类比)将等差数列中的乘法、除法分别类比成等比数列中的乘方、开方. 解析 法一 设数列{a n }的公差为d 1， 则d 1＝a n －a m n －m ＝b －a n －m .
所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·
b －a n －m ＝bn －am
n －m
. 类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ， 由b n ＝b m q
n －m
可知d ＝cq
n －m
，
所以q ＝n －m d
c
，
所以b m ＋n ＝b m q n
＝c ·
n －m
（d c ）n ＝n －m d n
c
m . 法二 (直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，因为等差数列中a n ＝a 1＋(n －1)d 1，等比数列中 b n ＝b 1q
n －1
，
因为a m ＋n ＝nb －ma
n －m ，
所以b m ＋n ＝n －m d n
c m .
答案 n －m d n
c
m
[点评] 解决本题的关键是找出等差数列与等比数列性质的关系，利用类比推理的定义求解.
方法2 综合法和分析法
综合法、分析法是直接证明的两种基本方法，综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用，同时也可用分析法去“执果索因”，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”.
【例2】 (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1
xy ≤
1
x
＋
1
y
＋xy；
(2)设1<a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.
[解题指导](1)已知：本题为两个小题，分别给出相应条件，证明相应不等式.
(2)分析：①利用作差法可证明不等式成立；②利用不等式的基本性质、对数函数的性质和对数换底公式的知识解决问题.
证明(1)由于x≥1，y≥1，
所以要证明x＋y＋1
xy ≤
1
x
＋
1
y
＋xy，
只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1). 因为x≥1，y≥1，
所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立.
(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得
log c a＝1
xy ，log b a＝
1
x
，log c b＝
1
y
，log a c＝xy.
于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1
xy ≤
1
x
＋
1
y
＋xy.
其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.
故由(1)成立知log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c成立.
[点评] 分析法和综合法各有优缺点.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.
方法3 反证法证明数学问题
反证法的适用范围
(1)否定性命题；
(2)结论涉及“至多”“至少”“无限”“唯一”等词语的命题；
(3)命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；
(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.
【例3】设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明：l1与l2相交；
(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上.
[解题指导](1)采用反证法，先假设l1与l2不相交，之后推出矛盾；(2)求出交点坐标，代入椭圆方程验证.
证明 (1)假设l 1与l 2不相交， 则l 1与l 2平行或重合，有k 1＝k 2， 代入k 1k 2＋2＝0，得k 2
1＋2＝0.
这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2， 即l 1与l 2相交.
(2)由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，
y ＝k 2x －1，
解得交点P 的坐标(x ，y)为(2k 2－k 1，k 2＋k 1
k 2－k 1).
从而2x 2＋y 2＝2(2k 2－k 1)2
＋(k 2＋k 1k 2－k 1)2
＝8＋k 2
2＋k 2
1＋2k 1k 2
k 22＋k 21－2k 1k 2
＝k 2
1＋k 22＋4
k 21＋k 22＋4
＝1， 所以l 1与l 2的交点P(x ，y)在椭圆2x 2
＋y 2
＝1上. [答题模板] 第一步：分清命题“p ⇒q ”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q 相矛盾的假定綈q ；
第三步：由p 和綈q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假设綈q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题“p ⇒q ”为真.。