文理合卷010

A B C D yyyyx x x x2011届高考数学仿真押题卷——全国卷（文理合卷10）第Ⅰ卷一．选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（理）复数z 满足方程：(2)i z z =+，则z 所对应的点在 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 （文）函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设集合(){}(){},,,,20U x y x y A x y x y m =∈∈=-+>R R ，(){},0B x y x y n =+-≤，那么点(2,3)P ∈()U AB ð的充要条件是（ ） A ．1,5m n >-<B ．1,5m n <-<C ．1,5m n >->D ．1,5m n <->3．将函数sin()()6y x x π=+∈R 的图像上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图像的解析式为 （ ） A ．5sin(2)()12y x x π=+∈R B ．5sin()()212x y x π=+∈RC ．sin()()212x y x π=-∈RD ．5sin()()224x y x π=+∈R4．已知直线1ax by +=与圆224x y +=有交点，且交点为“整点”，则满足条件的有序实数对（,a b ）的个数为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．125．已知向量OZ 与1OZ 关于x 轴对称，j =（0，1），则满足不等式21OZ j ZZ +⋅≤0的点Z （x ，y ）的集合用阴影表示为（ ）6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①l m αβ⇒⊥ ②l m αβ⊥⇒ ③l m αβ⇒⊥ ④l m αβ⊥⇒其中正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．②④7．在数列{}n x 中，11211(2)n n n n x x x -+=+≥，且223x =，425x =，则10x = （ ）A ．211B ．16C ．112D ．158．定义两种运算：a b ⊕=，a b ⊗，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-的解析式为（ ）A．()[2,0)(0,2]f x x =∈- B．()(,2][2,)f x x =∈-∞-+∞ C．()(,2)[2,)f x x =∈-∞-+∞ D．()[2,0)(0,2]f x x =∈- 9．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量m =（a ，b ）n =（1，-2），则向量m 与向量n 垂直的概率是 （ ）A ．16B ．19C ．112D ．11810．（理）已知数列{}n a 的通项公式*()n a n n =∈N ，目标函数2z y x =-满足的约束条件102100n x y x y x y a -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则目标函数的最小值的取值集合为（ ）A ．【0,4】B ．{0,1,2,3,4C ．{0}D ．目标函数没有最小值（文）某仪表显示屏上有一排7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个小孔，且相邻的两个小孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示不同信号的种数为 A ．10 B ．48 C ．60 D ．8011．设定义在R 上的函数1(2)|2|()1(2)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同实数解，123,,x x x ，且123x x x <<，则下列说法中正确的是（ ）A ． 0a b +=B ．1322x x x +>C ．135x x +=D ．22212314x x x ++=12．已知双曲线22221x y a b -=与双曲线22221y x b a-=，设连接它们的顶点构成的四边形的面积为1S ，连接它们的焦点构成的四边形的面积为2S ，则12SS 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．14D ．12第Ⅱ卷二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．若多项式1091001910(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++，则02a a a +++= ．14．在平面几何里，已知Rt SAB ∆的两边,SA SB 互相垂直，且,SA a SB b ==,则AB 边上的高h =；现在把结论类比到空间：三棱锥S ABC -的三条侧棱,,SA SB SC 两两相互垂直，SH ⊥平面ABC ,且,SA a =,SB b SC c ==,则点S 到平面ABC 的距离h '= ．15．（理）记max{,}a b 为,a b 两数的最大值，当正数,()x y x y >变化时，225max ,()t x y x y ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭的最小值为 ．（文）已知0a b >>，则225()a b a b +-的最小值为 ．16．双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，已知线段12F F 被点(,0)b 分成5:1两段，则此双曲线的离心率为 ．三．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知函数22()cos(2)sin cos .3f x x x x π=-+-（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程；（Ⅱ）设函数2()[()](),g x f x f x =+求()g x 的值域．18．（本小题满分12分）甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，甲运动员 乙运动员若将频率视为概率，回答下列问题，（Ⅰ）求甲运动员击中10环的概率 （Ⅱ）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率（Ⅲ）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及E ξ．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，o 90BAC ∠=，AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设baλ=．（Ⅰ）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （Ⅱ）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．射击环数频数频率 7 10 0．18 10 0．19 x 0．45 10 35 y合计1001FEC 1B 1A 1CB A第19题图20．（本小题满分12分）（理）已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2()2f x x x =+． （Ⅰ）求函数()g x 的解析式；（Ⅱ）解不等式()()|1|g x f x x ≥--；（Ⅲ）若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围． （文）设函数1()ln xf x x ax-=+在[1,)+∞上是增函数． （Ⅰ）求正实数a 的取值范围； （Ⅱ）设0,1b a >>，求证：1ln .a b a ba b b b++<<+21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：10a =，21221,,12,,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,.n =（Ⅰ）求567,,a a a 的值；（Ⅱ）设212n n na b -=，试求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）对于任意的正整数n ，试讨论n a 与1n a +的大小关系．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．参考答案一：1-5 （理）B （文）D ABBC 6-10 CADC （理）B （文）D 11-12 DD 二： 13．【答案】：510 14．【答案】15．【答案】：（理）10 （文）2016．【答案】 三：17．解：（I ）221()cos22sin cos 2f x x x x x =+-1cos 22cos 2sin(2)26x x x x π=-=- ∴最小正周期22T π==π由2()62x k k ππ-=π+∈Z ， 得()23k x k ππ=+∈Z 函数图象的对称轴方程为().23k x k ππ=+∈Z…5分（II ）22211()[()]()sin (2)sin(2)[sin(2)].66624g x f x f x x x x πππ=+=-+-=-+-当1sin(2)62x π-=-时，()g x 取得最小值14-，当sin(2)16x π-=时，()g x 取得最大值2，所以()g x 的值域为[,2].41-…10分18．解： 45,0.35,32x y z ===（Ⅰ）设“甲运动员击中10环”为事件A ，()0.35P A =∴甲运动员击中10环的概率为0．35． …2分（Ⅱ）设甲运动员击中9环为事件1A ，击中10环为事件2A 则甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率 1212()()()P P A A P A P A =+=+0.450.350.8=+=…4分∴甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率 []31211()P P A A =--+310.20.992=-=答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率为0．992． …6分 （Ⅲ）ξ的可能取值是0，1，2，3()200.20.250.01P ξ==⨯=()12210.20.80.250.20.750.11P C ξ==⨯⨯⨯+⨯=()21220.80.250.80.20.750.4P C ξ==⨯+⨯⨯⨯=()230.80.750.48P ξ==⨯=所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3z A A第19题图…10分00.0110.1120.430.48 2.35E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…12分19．解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． （Ⅰ）设a =1，则AB =AC =1，1AA =3，各点的坐标为A ．(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-．…2分∵12AE A F ==,11AE A F ⋅=-， ∴111,1cos22AE A FAE A F AE A F⋅===-． ∴向量AE 和1A F 所成的角为o 120， ∴异面直线AE 与1A F 所成角为060．…6分（Ⅱ）∵(,0,3b E a ，2(0,,)3bF a ，∴2(,0,),(0,,)33b bAE a AF a ==．设平面AEF 的法向量为1n (,,)x y z ，则1n 0AE ⋅=，且1n 0AF ⋅=． 即03bz ax +=，且203bz ay +=． 令1z =，则2,33b bx y a a=-=-． ∴12n (,,1)33b b a a =--=2(,,1)33λλ--是平面AEF 的一个法向量．同理，22n (,,1)33b b a a ==2(,,1)33λλ是平面1A EF 的一个法向量．…10分∵平面AEF ⊥平面1A EF ，∴12n n 0⋅=．∴22221099λλ--+=．P0．01 0．11 0．4 0．48解得，32λ=． ∴当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=．…12分20．（理）解：（Ⅰ）设函数()y f x =的图象上任意一点00(,)Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ， 则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴22y x x -=-，即22y x x =-+，故()22g x x x =-+．…4分（Ⅱ）由()()1g x f x x ≥--，可得2210x x --≤． 当1x ≥时，2210x x -+≤，此时不等式无解． 当1x <时，2210x x +-≤，解得112x -≤≤． 因此，原不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…8分（Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+①当1λ=-时，()41h x x =+在[]1,1-上时增函数 1λ∴=- ②11.1x λλλ-≠-=+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λλλλ-<-≤-<-+当时,解得ⅱ）111,10.1λλλλ->-≥--<≤+当时,解得0.λ≤综上，…12分（文）解：（Ⅰ）'21()0ax f x ax -=≥对[1,)x ∈+∞恒成立， 1a x ∴≥对[1,)x ∈+∞恒成立 又11x≤ 1a ∴≥为所求．…5分（Ⅱ）取a b x b +=，1,0,1a ba b b+>>∴>，一方面，由（Ⅰ）知1()ln xf x x ax-=+在[1,)+∞上是增函数， ()(1)0a bf f b+∴>= 1ln 0a ba b b a b b a b+-+∴+>+⋅即1ln a b b a b +>+．…8分另一方面，设函数()ln (1)G x x x x =-> '11()10(1)x G x x x x-=-=>>∴()G x 在(1,)+∞上是增函数且在0x x =处连续，又(1)10G => ∴当1x >时，()(1)0G x G >>∴ln x x > 即lna b a bb b++> 综上所述，1ln .a b a b a b b b++<<+…12分21．解：（Ⅰ）∵ 10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=， ∴ 52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=．…3分（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有：12121111221222n n n n n n n a a b b +--++++===+， ∴ 112n n b b +-=． ∴ 数列{}n b 是以1211102a b -==为首项，12为公差的等差数列．∴ 12n n b -=．…6分（Ⅲ）对于任意的正整数k ， 当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<； 当41n k =+时，1n n a a +=；当43n k =+时，1n n a a +>．…8分证明如下：首先，由12340,1,2,3a a a a ====可知1,3n =时，1n n a a +<； 其次，对于任意的正整数k ，2n k =时，()()122112120n n k k k k a a a a a k a k ++-=-=+-++=-<；41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-()()()()2212212121222222122120k k k k k k k a a k a a k a k a ++=++-+=+-=++-++=所以，1n n a a +=．43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-()()()()()21222122112221221222121221241k k k k k k k k k a a k a a k k a a k a a ++++++=++-+=++-=++++-+=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）（证明见后），所以，此时，1n n a a +>．综上可知：结论得证． …10分对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下： 1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>，满足（＊）式。