必修四数学排版是按照三角函数,向量排的1
数学必修4第二章知识点
数学必修4第二章知识点第二章排列组合与二项式定理一、排列组合1.排列:从若干个不同元素中选取若干元素按照一定的顺序排列起来,形成一种有序的选择方式。
常用的排列计数方法有阶乘法和递推法。
2. 组合:从若干个不同元素中选取若干元素,不考虑其顺序,形成一种无序的选择方式。
常用的组合计数方法有阶乘法、递推法和Pascal三角形法。
3.全排列和循环排列:全排列是指从n个不同元素中每次选取一个元素排列,循环排列是指从n个不同元素中每次选取m个元素排列,然后再将这m个元素循环移动m-1次,形成的排列方式。
4.二项式系数:二项式系数是组合数的具体数值,表示每一项的系数,迅速计算二项式系数的方法有杨辉三角法和二项式定理。
二、二项式定理1. 二项式定理的表述:$(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b +C_n^2a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^na^0b^n$,其中,C是组合数。
2.二项式定理的应用:(1)在多项式展开时,可以利用二项式定理快速展开。
(2)在数列中,存在二项式系数、卢卡斯定理等特殊问题。
(3)在概率问题中,二项分布等和二项式定理相关的概率分布出现。
3.二项式定理的证明:有代数证明、排列组合证明和数学归纳证明等方法。
三、习题解析1.排列组合的题型:包括数字解释题、列式计算题、选择题。
(1)数字解释题:根据题目提供的条件进行计算和解释。
(2)列式计算题:根据排列组合的原理和性质,列式计算。
(3)选择题:选择题主要考察对排列组合思想的运用,需要理解排列组合的基本概念和性质。
2.二项式定理的应用题:包括数字计算题、证明题、选择题。
(1)数字计算题:利用二项式定理快速计算表达式的值。
(2)证明题:根据题目给出的等式,通过代数证明、组合证明或数学归纳法给出证明。
(3)选择题:选择题主要考察二项式定理的应用和理解。
综上所述,数学必修4第二章主要包括排列组合和二项式定理两部分内容。
高中数学必修4知识点总结:第一章_三角函数
第一章 三角函数一、基础知识点总结⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l rα=.6、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π=,180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭. 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+,21122S lr r α==.8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是()0r r =>,则sin y r α=,cos x r α=,()tan 0y x xα=≠9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.10、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT .11、角三角函数的基本关系:()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-;()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭.12、函数的诱导公式:()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-.()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-.口诀:函数名称不变,符号看象限.()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 二 、三角函数伸缩平移变换函数 sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ,,,来相互转化.A ω,影响图象的形状,k ϕ,影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由ϕ引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩sin y x=的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象.先伸缩后平移sin y x=的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x=的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象. 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.解:(方法一)①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的12,得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.(方法二)①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得2sin y x =的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的12,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.说明:无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12,得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于复杂的变换,可引进参数求解.例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数.解:ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ,有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.根据题意,有ππ22224x a x --=-,得π8a =-.所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.练习1、要得到函数y=2cos (x+)sin (﹣x )﹣1的图象,只需将函数y=sin2x+cos2x 的图象( )A 、向左平移个单位B 、向右平移个单位C 、向右平移个单位D 、向左平移个单位 2、将函数y=3sin (2x+θ)的图象F 1按向量平移得到图象F 2,若图象F 2关于直线对称,则θ的一个可能取值是( )A 、B 、C 、D 、3、将函数的图象按向量平移,得到y=f (x)的图象,则f(x)=()A、 B、C、 D、sin(2x)+34、把函数y=(cos3x﹣sin3x)的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x 的图象,这个变化可以是()A、沿x轴方向向右平移B、沿x轴方向向左平移C、沿x轴方向向右平移D、沿x轴方向向左平移5、为了得到函数y=的图象,可以将函数y=sin2x的图象()A、向右平移个单位长度B、向右平移个单位长度C、向左平移个单位长度D、向左平移个单位长度6、把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),然后把图象向左平移个单位,则所得到图象对应的函数解析式为()A、 B、C、 D、1、D2、A3、D .4、D .5、A .6、D14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质: ①振幅:A ;②周期:2πωT =;③频率:12f ωπ==T ; ;④相位:x ωϕ+;⑤初相:ϕ.函数()sin y x ωϕ=A ++B ,当1x x =时,取得最小值为min y ;当2x x =时,取得最大值为max y ,则()max min 12y y A =-,()max min 12y y B =+,()21122x x x x T =-<.15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭补充知识点:三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+;⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+);⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-).25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin22sin cos ααα=.222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=-第二章 平面向量16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.17、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+. ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+;②结合律:()()a b c a b c ++=++;③00a a a +=+=. ⑸坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y +=++.18、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y -=--. 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--.baC BAa b C C -=A -AB =B19、向量数乘运算:⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ①a a λλ=;②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=.⑵运算律:①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+;③()a b a b λλλ+=+. ⑶坐标运算:设(),a x y =,则()(),,a x y x y λλλλ==.20、向量共线定理:向量()0a a ≠与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=. 设()11,a x y =,()22,b x y =,其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、()0b b ≠共线.21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+.(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底)22、分点坐标公式:设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ,()22,x y ,当12λP P =PP 时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭.(当时,就为中点公式。
数学必修四目录
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第一章三角函数
第一节任意角与弧度制
任意角的概念与表示弧度制的引入与意义角度制与弧度制的换算终边相同的角的集合
第二节任意角三角函数
三角函数的定义三角函数在各象限的符号三角函数线及其性质三角函数的基本关系式
第三节诱导公式与图象
诱导公式的推导与应用三角函数的图象及其性质利用图象求解三角不等式
第四节三角函数的性质
三角函数的周期性三角函数的奇偶性三角函数的单调性三角函数的最值与零点
第五节函数模型应用
三角函数在实际问题中的应用三角函数模型的建立与求解
第二章平面向量
第一节平面向量概念
向量的定义与表示向量的模与方向共线向量与共面向量
第二节向量的线性运算
向量的加法与减法向量的数乘向量共线的充要条件
第三节向量的基本定理
平面向量基本定理的表述平面向量基本定理的应用
第四节平面向量数量积
向量数量积的定义与性质向量数量积的运算律向量夹角与垂直的判定
第五节平面向量应用
向量在几何问题中的应用向量在物理问题中的应用
第三章三角恒等变换
第一节两角和差公式
两角和差公式的推导两角和差公式的应用
第二节恒等变换应用
利用恒等变换化简三角式利用恒等变换证明三角恒等式恒等变换在解决实际问题中的应用
本目录涵盖了数学必修四的主要内容,包括三角函数、平面向量以及三角恒等变换等知识点。
通过学习这些内容,同学们可以进一步加深对三角函数和平面向量的理解,提高解决实际问题的能力。
在学习过程中,应注重理解概念和性质,掌握运算技巧和方法,并通过大量的练习来巩固和提高学习效果。
「必修四数学」平面向量和三角函数的思维导图
「必修四数学」平面向量和三角函数的思维导图
思维导图是模仿思维的地图,应用于记忆、学习、思考等思维
的展现,利于人脑发散思维的展开。
思维导图能提高学习效率,更快地学习新知识与复习整合旧知识;激发联想与创意;形成系统的学习和思维的习惯。
三角函数的思维导图
三角函数,是几何和代数的结合,在高考和以后的学习中经常出现,在解决最值问题中有独到之处,三角函数的知识点非常多,所以用思维导图学习三角函数绝对的物超所值。
平面向量的思维导图
平面向量,是有方向的线段,方向代表位置关系,线段代表数量关系,更是几何的化身,所以线段就是向量,通过坐标把几何传递给代数,在高考解析几何大题中简化了代数运算。
题型个案思维导图。
高中数学必修4知识点总结:第一章_三角函数
高中数学必修4知识点总结:第一章_三角函数高中数学必修4知识点总结第一章三角函数正角:按逆时针方向旋转形成的角?1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角?2、角?的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称?为第几象限角.??第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k第三象限角的集合为??k?360?180k?360?270,k第四象限角的集合为??k?360?270k?360?360,k终边在x轴上的角的集合为k?180,k终边在y轴上的角的集合为k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为k?90,k??? 3、与角?终边相同的角的集合为k?360??,k??? 第一象限角的集合为?k?360k?360?90,k?? 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.5、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l,则角?的弧度数的绝对值是??6、弧度制与角度制的换算公式:2??360,1?7、若扇形的圆心角为?l.r?180,118057.3.为弧度制?,半径为r,弧长为l,周长为C,面积为S,则l?r,C?2r?l,11S?lr??r2. 228、设?是一个任意大小的角,?的终边上任意一点?的坐标是?x,y?,它与原点的距离是rr??0,则sinyxy,cos??,tanx?0?. rrx系9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线:sin,cos,tan. 11、角三角函数的基本关11?sin2??cos2??12?sin??tan?cos??sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??;sinsin??tan?cos?,cos?. tan12、函数的诱导公式:1?sin?2ksin?,cos?2kcos?,tan?2ktan??k???.2?sinsin?,coscos?,tantan?.3?sinsin?,coscos?,tantan?.4?sinsin?,coscos?,tantan?.口诀:函数名称不变,符号看象限.5?sincos?,cossin?.?6?sincos?,cossin?. ?2??2??2??2??口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.13、①的图象上所有点向左(右)平移?个单位长度,得到函数y?sin?x的图象;再将函数1y?sin?x的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的?倍(纵坐标不变),得到函数y?sin??x的图象;再将函数y?sin??x的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的?倍(横坐标不变),得到函数y??sin??x 的图象.②数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1倍(纵坐标不变),得到函数y?sin?x的图象;再将函数y?sin?x的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数?y?sin??x的图象;再将函数y?sin??x的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的?倍(横坐标不变),得到函数y??sin??x 的图象.14、函数y??sin??x0,??0?的性质:①振幅:?;②周期:??2?;③频率:f?1??;④相位:?x??;⑤初相:?. ?2?函数y??sin??x,当x?x1时,取得最小值为ymin ;当x?x2时,取得最大值为ymax,则??11??ymax?ymin?,ymax?ymin?,?x2?x1?x1?x2?. 22223第二章平面向量16、向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向量:长度为0的向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量.17、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起点. a?b?a?b?a?b.⑷运算性质:①交换律:a?b?b?a;②结合律:a?b?c?a?b?c;③a?0?0?a?a.⑸坐标运算:设a??x1,y1?,b??x2,y2?,则a?b??x1?x2,y1?y2?.18、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设a??x1,y1?,b??x2,y2?,则a?b??x1?x2,y1?y2?.设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?,则C a ?b ? ??x1x2y,1?y2 ?.a?b??CC19、向量数乘运算:⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作?a.①?a??a;②当??0时,?a的方向与a的方向相同;当??0时,?a的方向与a的方向相反;当??0时,?a?0.⑵运算律:①aa;②??a??a??a;③?a?b??a??b.⑶坐标运算:设a??x,y?,则?ax,y?x,?y?.20、向量共线定理:向量aa?0与b共线,当且仅当有唯一一个实数?,使b??a.设a??x1,y1?,b??x2,y2?,其中b?0,则当且仅当x1y2?x2y1?0时,向量a、bb?0共线.21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数?1、?2,使a??1e1??2e2.(不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底) 422、分点坐标公式:设点?是线段?1?2上的一点,?1、?2的坐标分别是?x1,y1?,?x2,y2?,当?12时,点?的坐标是??x1??x2y1??y2?时,就为中点公式。
人教版高一数学 A版 必修4 教学课件:第一章 《1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》
终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量描述这种变 化规律,需引入一个新的数学概念——函数周期性.
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出 现其理论依据是什么?
答 诱导公式sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的
公式得,sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x均对一切x∈R恒成
立.
例1 求下列三角函数的周期.
(1)y=3cos x,x∈R; 解 ∵3cos(x+2π)=3cos x, ∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π, 函数y=3cos x,x∈R的值才能重复出现, 所以,函数y=3cos x,x∈R的周期是2π.
∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]
=lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.
1+sin x-cos2x
(3)f(x)=
.
1+sin x
解 ∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1,
∴x∈R 且 x≠2kπ-π2,k∈Z.
∵定义域不关于原点对称,
(2)y=sin 2x,x∈R;
解 ∵sin(2x+2π)=sin2(x+π)=sin 2x, ∴自变量x只要并且至少要增加到x+π, 函数y=sin 2x,x∈R的值才能重复出现, 所以,函数y=sin 2x,x∈R的周期是π.
(3)y=2sin12x-π6,x∈R. 解 ∵2sin12x+4π-π6=2sin12x-π6+2π=2sin12x-π6,
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
新课标高中数学人教A版必修四教材分析及教学建议
新课标高中数学人教A版必修四教材分析及教学建议迁安二中杨桂芹一、教材内容、地位:1.内容:人教A版数学(必修4)的内容包括三角函数、平面向量、三角恒等变换。
2.地位:(1)三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用.在本模块中,通过实例,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.(2)向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。
在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力。
(3)变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一。
代数变换是学生熟悉的,与代数变换一样,三角变换也是只变其形不变其质的,它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。
在本册第一章,学生接触了同角三角函数式的变换,在本章,学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发导出其他的三角恒等变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。
通过本章学习,学生的推理能力和运算能力将得到进一步提高。
二、新教材与旧教材的内容上对比:三角函数是高中数学的重要组成部分,是进一步学习数学的基础,也是数学与其他学科联系的重要工具。
三角函数的内容是新课程标准中删减、变化较大的内容之一,教师在教学过程中应积极转变教学思想和研究教学方法,将新课程标准的理念贯彻到课堂教学中去。
“平面向量”一章,突出强调了向量的工具特性,充分利用向量的物理背景与几何背景建立向量及其运算的概念,并在这个过程中强调用向量解决实际问题及几何问题。
其中,特别强调了用向量解决几何问题的基本思想——“三步曲”,从而比较好地体现了数形结合思想。
另外,作为一个应用,用向量方法推导了两角差的余弦公式。
为了实现削枝强干的目标,教科书除了将三角恒等变换独立成章外,还在具体内容上进行了处理。
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1.随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角.角 的极点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 为第几象限角.第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α+ k ·360 °(k ∈ Z).终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.②弧度与角度的换算: 360°= 2π弧度; 180°= π弧度.③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ,则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 lr,C2r l ,S1 lr 1 r2 . 222 .随意角的三角函数定义设 α是一个随意角,角 α的终边上随意一点P(x , y),它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ,那么角 α的正弦、余弦、rrx(三角函数值在各象限的符号规律归纳为:一全正、二正弦、三正切分别是: sin α= y , cos α= x , tan α= y.正切、四余弦)3.特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系: sin2α+ cos2α= 1;(在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号)sin α(2)商数关系:=tanα.(3)倒数关系:tan cot 1cos α2.引诱公式公式一: sin( α+ 2kπ)=sin α, cos(α+ 2kπ)=cos_α,tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二: sin( π+α)=- sin_α, cos( π+α)=- cos_α, tan( π+α)= tan α.公式三: sin( π-α)= sin α, cos( π-α)=- cos_α,tan tan.公式四: sin( -α)=- sin_α, cos(-α)= cos_α,tan tan .ππ公式五: sin -α= cos_α, cos-α= sin α.22ππ公式六: sin 2+α= cos_α, cos2+α=- sin_α.π口诀:奇变偶不变,符号看象限.此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式.的奇数22倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.假如奇数倍,则函数名称要变( 正弦变余弦,余弦变正弦 ) ;假如偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指:把πα当作锐角时,依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号,最后作为结....2...果符号.B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.2、四种方法在求值与化简时,常用方法有:sin α(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=化成正、余弦.cos α(2)和积变换法:利用 (sin θ±cos θ)2=1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变.( sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二)(3)巧用 “1”的变换: 1= sin 2θ+ cos 2θ= sinπ=tan 42(4)齐次式化切法:已知 tank ,则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标:1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 :定义法,公式法,图像法(如y sin x 与 y cosx 的周期是)。
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高中数学必修4三角函数知识点总结§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角终边相同的角的集合:.α{}Z k k ∈+=,2παββ§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 .rl =α3、弧长公式:.R Rn l απ==1804、扇形面积公式:.lR R n S 213602==π§1.2.1、任意角的三角函数1、 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:α()y x P ,xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点为角终边上任意一点,那么:(设)(),A x yαr =,,,sin y r α=cos x r α=tan yx α=cot x yα=3、 ,,在四个象限的符号和三角函数线的画法.αsin αcos αtan 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 4、 特殊角0°,30°,45°,60°,90°,180°,270等的三角函数值.α6π4π3π2π23π34ππ32π2πsin αcos αtan α§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系:.1cos sin 22=+αα2、 商数关系:.αααcos sin tan =3、 倒数关系:tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式(概括为“奇变偶不变,符号看象限”)Z k ∈1、 诱导公式一: (其中:(),cos 2cos ,sin 2sin απααπα=+=+k k )Z k ∈2、 诱导公式二: ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三: ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-4、诱导公式四: ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五:.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-6、诱导公式六:.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.在上的五个关键点为: sin y x =[0,2]x π∈30010-12022ππππ(,)(,,)(,,)(,,)(,,).§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象:2、记住余切函数的图象:3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义:对于函数,如果存在一个非零常数T ,使得当取定义域内的每一个值时,都有()x f x ,那么函数就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.()()x f T x f =+()x f图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质xysin =xycos =xy tan =图象定义域RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时,时,max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时,时,无周期性π2=T π2=T π=T 奇偶性奇偶奇单调性Zk ∈在上单调递增[2,2]22k k ππππ-+在上单调递减3[2,2]22k k ππππ++在上单调递增[2,2]k k πππ-在上单调递减[2,2]k k πππ+在上单调递(,)22k k ππππ-+增对称性Zk ∈对称轴方程:2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程:x k π=对称中心(,0)2k ππ+无对称轴对称中心,0)(2k π§1.5、函数的图象()ϕω+=x A y sin 1、对于函数:有:振幅A ,周期,初相,相位,频率()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>2T πω=ϕϕω+x .πω21==Tf 2、能够讲出函数的图象与x y sin =的图象之间的平移伸缩变换关系.()sin y A x B ωϕ=++①先平移后伸缩:平移个单位sin y x =||ϕ()sin y x ϕ=+()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x Bωϕ=++(上加下减)②先伸缩后平移:sin y =sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍sin y A xω=横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x ωϕ=+()sin A x Bωϕ=++(上加下减)3、三角函数的周期,对称轴和对称中心函数,x∈R 及函数,x∈R(A,,为常数,且A ≠0)的周期;sin()y x ωϕ=+cos()y x ωϕ=+ωϕ2||T πω=函数,(A,ω,为常数,且A ≠0)的周期.tan()y x ωϕ=+,2x k k Z ππ≠+∈ϕ||T πω=对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+求函数图像的对称轴与对称中心,只需令与sin()y A x ωϕ=+()2x k k Z πωϕπ+=+∈()x k k Z ωϕπ+=∈解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.x 4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征:,.max min 2y y A -=max min2y y B +=要根据周期来求,要用图像的关键点来求.ωϕ§1.6、三角函数模型的简单应用1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值:ααsin αcos αtan 12π426-426+32-§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=6、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、,αααcos sin 22sin =.12sin cos sin 2ααα=2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α.α2sin 21-=变形如下:升幂公式:222cos 1cos 22sin ααα=⎨-=⎪⎩降幂公式:221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、.ααα2tan 1tan 22tan -=4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y (其中辅助角所在象限由点的象限决定, ).ϕ(,)a b tan b aϕ=第二章:平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.2、 向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记作;长度为零的向量叫做零向量;长度AB AB AB等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.a a2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定:实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作:,它的长度和方向规λa a λ定如下: ⑵当时, 的方向与的方向相同;当时, 的方向与的方向相反.0>λa λa 0<λa λa 2、 平面向量共线定理:向量与 共线,当且仅当有唯一一个实数,使.()0≠a a b λa b λ=§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量,21,e e a 有且只有一对实数,使.21,λλ2211e e a λλ+=§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 .()y x j y i x a ,=+=§2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设,则:()()2211,,,y x b y x a == ⑴,()2121,y y x x b a ++=+⑵,()2121,y y x x b a --=-⑶,()11,y x a λλλ=⑷.1221//y x y x b a =⇔2、 设,则:()()2211,,,y x B y x A .()1212,y y x x AB --=§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设,则()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ⑴线段AB 中点坐标为,()222121,y y x x ++⑵△ABC 的重心坐标为.()33321321,y y y x x x ++++§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 .θb a ⋅2、 在.a b θ34.5、 .0=⋅⇔⊥b a b a §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设,则:()()2211,,,y x b y x a ==⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=2、 设,则:()()2211,,,y x B y x A3、两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==4、点的平移公式平移前的点为(原坐标),平移后的对应点为(新坐标),平移向量为,(,)P x y (,)P x y '''(,)PP h k '=则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩ 函数的图像按向量平移后的图像的解析式为()y f x =(,)a h k =().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接:空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴.直线的方向向量: 若A 、B 是直线上的任意两点,则为直线的一个方向向量;与平行的任意非零向量也是l AB l AB直线的方向向量.l ⑵.平面的法向量: 若向量所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作,如果,那么向量nααn α⊥ n α⊥ 叫做平面的法向量.nα⑶.平面的法向量的求法(待定系数法): ①建立适当的坐标系.②设平面的法向量为.α(,,)n x y z =③求出平面内两个不共线向量的坐标.123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==④根据法向量定义建立方程组.n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⑤解方程组,取其中一组解,即得平面的法向量.α(如图)建议收藏下载本文,以便随时学习!2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线的方向向量分别是,则要证明∥,只需证明∥,即.12,l l a b 、1l 2l a b ()a kb k R =∈ 即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①(法一)设直线的方向向量是,平面的法向量是,则要证明∥,只需证明,即l a αul αa u ⊥ .0a u ⋅= 即:直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为,平面的法向量为,要证∥,只需证∥,即证.αu βv αβu vu v λ= 即:两平面平行或重合两平面的法向量共线.3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线的方向向量分别是,则要证明,只需证明,即.12,l l a b、12l l ⊥a b ⊥ 0a b ⋅= 即:两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①(法一)设直线的方向向量是,平面的法向量是,则要证明,只需证明∥,即l a αu l α⊥a u.a u λ= ②(法二)设直线的方向向量是,平面内的两个相交向量分别为,若l a αm n 、0,.a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则即:直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直.⑶面面垂直若平面的法向量为,平面的法向量为,要证,只需证,即证.αuβv αβ⊥u v ⊥ 0u v ⋅= 即:两平面垂直两平面的法向量垂直.4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线,A ,C 与B ,D 分别是上的任意两点,所成的角为,,a b ,a b ,a b θ 则cos .AC BDAC BDθ⋅=9⑵求直线和平面所成的角①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法:设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,与的夹角为l a αu θa u , 则为的余角或的补角ϕθϕϕ的余角.即有:cos s .in a u a uϕθ⋅== ⑶求二面角①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O ,分别在两个半平面内作射线βα--l ,则为二面角的平面角.l BO l AO ⊥⊥,AOB ∠βα--l 如图:②求法:设二面角的两个半平面的法向量分别为,再设的夹角为,二面角l αβ--m n 、m n 、ϕ的平面角为,则二面角为的夹角或其补角l αβ--θθm n 、ϕ.πϕ-根据具体图形确定是锐角或是钝角:θ◆如果是锐角,则,θcos cos m n m nθϕ⋅== 即;arccos m n m nθ⋅= ◆如果是钝角,则,θcos cos m n m nθϕ⋅=-=- 即.arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线距离l 若Q 为直线外的一点,在直线上,为直线的方向向量,=,则点Q 到直线距离为l P l a l b PQ l h =⑵点A 到平面的距离α若点P 为平面外一点,点M 为平面内任一点,αα平面的法向量为,则P 到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.αn αMP n 即cos ,d MP n MP=10n MP MP n MP ⋅=⋅ n MP n⋅= ⑶直线与平面之间的距离a α 当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等.由此可知,直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离.即.n MP d n ⋅= ⑷两平行平面之间的距离,αβ 利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅= ⑸异面直线间的距离设向量与两异面直线都垂直,则两异面直线间的距离就是在向量方n ,a b ,,M a P b ∈∈,a b d MP n 向上投影的绝对值. 即.n MP d n⋅= 6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直推理模式:,,PO O PA A a PAa a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为:垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式:,,PO O PA A a AOa a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为:垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面内的任一条直线,AD 是的一条斜线AB 在内的射影,且BD⊥AD,垂足为D.设AB ααα与 α(AD)所成的角为, AD 与AC 所成的角为, AB 与AC 所1θ2θ11成的角为.则.θ12cos cos cos θθθ=8、 面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为,它在平面内的射影图形的面积为,平面与β()S S 原α()S S '射α平面所成的二面角的大小为锐二面角,则βθ 'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为,夹角分别为,则l 123l l l 、、123θθθ、、有 .2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).。
高中数学必修四
高中数学必修四
高中数学必修四主要内容包括三角函数、向量与坐标、立
体几何、数列与数学归纳法、概率与统计等几个部分。
首先是三角函数,包括角度的弧度制与度数制之间的转化、三角函数的概念与性质、常用三角函数的图像与性质、三
角函数的基本关系式等。
接下来是向量与坐标,包括向量的概念与性质、向量的运
算法则、平面直角坐标系与向量的关系、向量的数量积与
坐标、平面向量的线性运算与共线性、向量的夹角与正交、平面向量与三角形、平面向量与四边形等。
然后是立体几何,包括立体图形的位置关系、多面体的概
念与性质、球面与球等。
接着是数列与数学归纳法,包括数列的概念与性质、等差
数列与等比数列的概念与性质、算术数列与等差数列的基
本关系、数列求和等。
最后是概率与统计,包括随机事件与概率、随机试验与事件组合、条件概率与独立性、排列与组合、数理统计与抽样等。
高中数学必修四是高中数学的重要内容,也是进一步学习数学的基础。
通过学习这些内容,可以帮助学生建立数学思维方式,提高解决问题的能力。
人教A版必修4三角函数部分的教材分析与教学建议1
人教A版必修4三角函数部分的教材分析与教学建议徐天顺高中数学必修4的内容是:三角函数、平面向量、三角恒等变换。
其中三角函数与三角恒等变换是高中数学课程的传统内容,平面向量是九十年代进入高中数学课程的内容,因此,本模块的内容属于“传统内容”。
与以往的教科书相比较,新课标教材把三角恒等变换从三角函数中独立出来,在必修4先安排三角函数,再安排平面向量,然后用向量方法推导了两角差的余弦公式,把三角恒等变换作为平面向量的一个应用,安排在第3章,紧接着再安排解三角形的内容(放在数学5的第1章)。
一、《标准》与《大纲》关于必修4三角函数内容目标的表述比较二、课时安排必修4共需36课时,具体分配是:第一章《三角函数》16课时;第二章《平面向量》12课时;第三章《三角恒等变换》8课时。
在教师教学用书中有每一章的课时安排,这里进行汇总并细化,供各位老师安排下学期教学进度时参考。
三、几点教学建议1、合理引导学生用类比的方法进行学习类比推理是由两个对象的某些属性相类似推出它们在别的属性上也类似的思维形式,是利用已有的知识与经验发现和猜想新知识的思维方法,因此在教学中要充分发挥学生头脑中已有的知识与经验的指导作用。
在三角函数的学习中,可以类比长度、重量的不同度量单位引入弧度制;类比研究函数的方法研究三角函数的性质。
2、在教学过程中要让学生明白研究的基本思路三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个基本初等函数,教学中应当注意引导学生以数学l中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识。
用研究函数的一般模式来理解三角函数的学习进程,即:这样可以使学生学习在高观点指导下进行数学学习与研究的思想方法,对进一步理解三角函数概念,理解函数思想方法,提高学生在学习过程中的数学思维水平都是非常有帮助的。
3、关于任意角的三角函数定义任意角的三角函数的定义一般有“单位圆定义法”与“终边定义法”两种,在传统教材和现行的人教B版、苏教版都是采用“终边定义法”,而人教A版和北师大版则采用“单位圆定义法”。
最新人教版高中数学必修4第一章第一章三角函数整合1
距离为 ,则 f(x)图象的一个对称中心是( A.(0,0) B. C. π 6
D.(π,0)
∴ω=2,∴f(x)=12sin 2������ +
π 6 π ������π ∴x=- + ,k∈Z, 12 2
.
令 2x+ =kπ,k∈Z,
∴f(x)图象的对称中心是 而选项中仅有 答案:C
π ,0 12
π ������π + ,0 12 2
,k∈Z,
是对称中心.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
专题一 专题二 专题三 专题四
知识网络
专题归纳
高考真题
专题三
同角三角函数的基本关系式和诱导公式
1.诱导公式属异角三角函数间基本关系式,它与同角三角函数的基本 关系式协同作战,能量无穷,近几年的高考命题中,主要考查利用公式进行恒 等变形的技能以及基本运算能力,特别突出对推理、计算的考查. 2.本类问题在具体解决时常会用到数形结合思想、分类讨论思想、转 化思想以及函数与方程的思想等.
������ = sin������:������∈R,������∈[-1,1],������ = 2π,奇函数,有单调递增区间和单调递减区间 性质 ������ = cos������:������∈R,������∈[-1,1],������ = 2π,偶函数,有单调递增区间和单调递减区间 ������ = tan������:������ ≠ ������π +
∴sin θ+cos θ<0. 又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1+ = , ∴sin θ+cos θ=15 . 3 2 3 5 3
高中数学必修4知识点(完美版)
高中数学必修4知识点(完美版)高中数学必修4第一章三角函数角是指由两条射线(或直线)共同端点所组成的图形。
按照旋转方向,角可以分为正角、负角和零角。
其中,正角是按逆时针方向旋转形成的角,负角是按顺时针方向旋转形成的角,零角是不作任何旋转形成的角。
如果一个角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,就称这个角为第几象限角。
各象限角的集合可以表示为:第一象限角的集合为:α ∈ {α | k360° < α < k360° + 90°,k∈Z};第二象限角的集合为:α ∈ {α | αk360° + 90° < α < k360° + 180°,k∈Z};第三象限角的集合为:α ∈ {α | αk360° + 180° < α < αk360° + 270°,k∈Z};第四象限角的集合为:α ∈ {α | αk360° + 270° < α < αk360° + 360°,k∈Z};终边在x轴上的角的集合为:α ∈{α | α = k180°,k∈Z};终边在y轴上的角的集合为:α ∈ {α | α = k180° + 90°,k∈Z};终边在坐标轴上的角的集合为:α ∈ {α | α = k90°,k∈Z}。
根据终边所在的象限,可以将角分为四个象限。
第一象限角的终边落在第一象限,第二象限角的终边落在第二象限,以此类推。
在第一象限,角的值在0°到90°之间;在第二象限,角的值在90°到180°之间;在第三象限,角的值在180°到270°之间;在第四象限,角的值在270°到360°之间。
2019-2020年数学北师大必修四课件:第一章 三角函数 1.4.3-1.4.4
(������为奇数).
(方法二)原式=((--11))������������ssiinn������������+·((--11))���������c���soisn������������ = 2c(o-1s���)���������.
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
答案:(1) (2) (3)× (4)
探究一
探究二
探究三
探究四
正弦函数、余弦函数基本性质的应用
【例1】 已知函数y=-3sin x+1.
(1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间;
(2)求函数在区间
-
π 6
,
2π 3
上的最值.
思路分析:可模仿函数y=sin x的有关性质来研究函数y=-3sin x+1
=
=
cos10°+ 1-sin210°
2cos10°
=2scions8100°°
=
cos10° 2cos10°
=
12.
探究一
探究二
探究三
探究四
(3)(方法一)当 n=2k,k∈Z 时,
原式=ssinin((���������+���+22���������π���π))+csoisn((���������-���-22���������π���π)) = co2s������. 当 n=2k+1,k∈Z 时,
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2求下列三角函数值:
2020-2021学年数学北师大版必修4课件:第一章 三角函数 本章知识体系
cos(-274π)-sin(-274π)的值是( C )
A. 2
B.- 2
C.0
2 D. 2
解析:cos(- 247π )-sin(- 274π )=cos 274π +sin 274π =cos 34π + sin34π=-cosπ4+sinπ4=0,故选C.
专题三 三角函数的图像与性质
【例3】
数的周期.
4.研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时,应先考虑其定义
域,若其定义域关于原点对称,则当φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇
函数;当φ=kπ+
π 2
(k∈Z)时,函数为偶函数;当φ≠
kπ 2
(k∈Z)
时,函数为非奇非偶函数.
5.求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0, ω>0)的单调区间时(若ω<0,可先利用诱导公式将x前的系数ω变 成正值),应把ωx+φ视为一个整体,由A的符号来确定单调 性.
A.y=tanx B.y=cosx
C.y=tan2x D.y=|sinx|
【解答】 (1)相邻两条对称轴之间的距离为π2, 即T2=π2,T=π,∴ω=2. 由f(0)= 3,得sinφ= 23, 而|φ|<π2,∴φ=3π. (2)y=tanx为T=π的奇函数,且在(0,2π)上是增函数.
规律方法 1.正弦函数与余弦函数的图像具有轴对称性,y
【解答】 (1)原式=
cos180°+30°·cos-360°-60°·tan360°-30° tan360°+30°·sin360°×2+30°·cos360°×2+180°
=-ctaons3300°°··csions3600°°··co-s1ta8n03°0°
必修四数学排版是按照三角函数向量排的
新课程高中数学必修 4基础知识汇整。
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罔觞第一部分 三角函数与三角恒等变换1 .任意角和弧度制⑴1弧度角:等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度角⑵弧度数公式: 口 =丄R⑶角度制与弧度制的互化 :180 '-弧度=180", 1 =---------- 弧度,1 弧度=( Y : 5718.180n⑷弧长公式:| =| | R ;1 2 1扇形面积公式:S p | RR| .2 22 .三角函数定义:⑴ 设a 是一个任意角,终边与单位圆交于点P(x,y),那么y 叫作a 的正弦,记作 sin a ; x 叫作a 的余弦,记作 cos a ;y 叫作a 的正切,记作tan a . x⑵角〉中边上任意一点P 为(x, y),设|OP | =r ,则:y xy sin ,cos :二一,tanr rx三角函数在各象限的符号规律:一全二正弦,三切四余弦3 .三角函数线:正弦线:MP ;余弦线:OM ;正切线: AT.4.诱导公式:\角 函数\2k 兀 it +a-atJI -OfJI—-CL2JI 一 +a2正弦si na -sin « -si n 。
si na cos a cosa余弦 cos 。
—cosacosa_COSGsi n 。
一sina正切tana ta n a -tan« -ta n 。
//六组诱导公式统一为 _:■ (k Z)O M Ax记忆口诀一:奇变偶不变,符号看象限记忆口诀二:纵变横不变,符号看象限5.同角三角函数基本关系 :sin? ::£ -cos :- =1 (平方和关系)si n ottan(商数关系).cos a6.两角和与差的正弦、余弦、正切:①si n (.二丨:)=si n.二 cosL :二 cos t s in -; ②cos (.二 I')二cos: cos :千sin : sin F ;丄, 住、tan a ±tan B ③tan 以二I )1 + tana tan P两角和与差的正弦、余弦、正切 的变形运用:~2 2ab7•辅助角公式:y 二asinx bcos (二 a b (sinxcos)二 a b sin(x :〔)•Ua 2 北2 “2 +b 28. 二倍角公式:sin2 : =2sin .篇cos:;1 cos2二2(cos sin ) =1 二s in : 2 29.物理意义:物理简谐运动y = Asin ( ,x ) , x [0,::),其中A 0,八> 0.振幅为 A ,表示物体离开平衡位置的最大距离;周期为T,表示物体往返运动一次所需的时间;ocos2 二2 2 2= cos sin 2cos : -1 =1 -2sin 2 :;tan2:2ta n :1 -tan 2:-变形:升幂公式:1 COS-i =2 cos 2-2 a1 — cos : - 2sin -21 - sin:a二(cos —2降幂公式:1 ■频率为,表示物体在单位时间内往返运动的次数;T 2 ■:•,X :•;•:为相位;::为初相.10.三角函数图象与性质:函数y =s in x y = cosx y = ta nx31 L —[y=sircc1・i 1r 1 :=)\ \)\ J\图象作图:五D、…/[点法作图:五点法/ : [/ 1 /-一产 P « r 7:/ :「i /■> \ 1 (作图:三点二线定义域(—X ,+x)(-X ,+X)JI{x|x工k兀+—,k^ Z}2值域[-1, 1] [—1, 1] (—X, +y极值31当x=2kn+ y max=1 ;23兀当y min =-12当x=2k n,ymax =1;当—2k n + n $min 二—1无奇偶奇函数偶函数奇函数T2n2n n单调性Jl H[2k兀一一,2 k兀+—]递增2 2,兀,3兀[2 k応+ —,2 k応中—]递减2 2[2 k兀一兀,2 kn ]递增[2kir,2k兀+兀]递减n n(k兀一一k兀+一)递增2, 2(注:表中k均为整数)ii.正弦型函数y =Asin(,x •「)(A .0,八,0)的性质及研究思路2兀①最小正周期T ,值域为[—AA]② 五点法图:把"co x +申"看成一个整体,取怕x=0—兀—— 2兀时的五个,2 ',2,自变量值,相应的函数值为0,A,0, -A,0 ,描出五个关键点,得到一个周期内的图象.i横坐标变为一倍③ 三角函数图象变换路线:y = si nx —■左移愛单位_、y=si n(x+®)y =sin(B X +W ) _纵坐标变为竺t y=Asin(co x + 申). 或: y =sinx④ 单调性:y =Asin (,x 亠巧(A 0,门 >0) 的增区间,*H H把"• .x ” 代入到 y =sinx 增区间[2k 二,一 2k 二](k Z ),2 2JITE即求解一—2k 「::: x_— 2k 二(k 三 Z ).22⑤ 整体思想:把"•,x 亠仃"看成一个整体,代入 y = s in x 与y =tan x 的性质中进行求解.这种整体思想的运用,主要体现在求单调区间 时,或取最大值与最小值时的自变量取值第二部分 平面向量1.向量与数量■> 4a//b ,并规定零向量平行于任意一个向量.平行向量都可以移到同一直线上,因而也叫记作a =b .与向量a 长度相等而方向相反的向量, 称为a 的相反向量,记为-a ,3.向量加减法:向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则如图所示,已知非零向量a,b ,在平面内任取一点O ,左移9个单位y =sin ,x -------- J ---- y =sin (x —)纵坐标变为A 倍> y=Asin( x 」;)在数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量, (起点A ,终点B ).向量的大小叫做向量的长度(或模) 单位的向量称为单位向量 . 反之,把只有大小,没有方向的量称为数量 ,记为| a |或| AB |.规定长度为 .向量常用有向线段来表示 0的向量叫做零向量,记为记为a 或AB0 ;长度等于i 个2.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,记作 共线向量•方向相同且长度相等的向量称为相等向量, 规定零向量的相反向量仍是零向量 1横坐标变为丄倍T T 1 彳—14 4OA 二a, AB =b ,则向量 OB 二 a b .若作oA=a,左=b ,则向量 cA=a_b .寸彳彳彳片片呻呻呻呻向量的加减法满足:交换律a 亠b =:a —b ;结合律(a 诩’b )讦‘c = a 讦‘(b 讦’c ).4 H 4* 斗彳 T 4向量不等式:对于任意两个向量a,b ,有向量加法多边形法则:向量首尾相接,结果首尾连 4.向量数乘运算:4实数■与向量a 的乘积仍然是一个向量,这种运算称为向量的数乘,记作并规定:①| .a^| ■ ||a| ;数乘运算满足下列运算律:4 4 4 T 斗 4分配律(- u )a =,a ua 、,(a b )二■ a ,b ;结合律■ C -a ) =('A 、L )a .向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 5.平面向量基本定理②当,.0时, ■ a 的方向与a 的方向相同;当■ :::0/..a 的方向与a 的方向相反;对于任意向量a, b ,以及任意实数■ ,u 1,u 2,恒有■ (u 1 a _u 2b) =,UQ 二;.u 2 b .当,=0时,有且只有一对实数如果e e?是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任意向量,使a 2 e> '■* T把不共线的向量ei ,e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.向量夹角:对两个非零向量a, b,在平面内任取一点角是90°O,作0A二a, OB = b,则v - - AOB叫做向量a与b夹角.当a与b夹时,a与b垂直,记作a _ b.正交分解:a,均可分解为不共线的两个向量■ 1 a1与,2a2,使a -■ 1a^' ■■■■2 a2.依据平面向量的基本定理,对平面上的任意向量一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j作为基底,则对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数X、y,使得a = xi y j .即平面内的任意向量a都可由x、y唯一确定,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a = (x, y),式数量积运算满足下列运算律:交换律:a平面向量的坐标运算:设a =(为,yj ,b = (x 2, y 2),则加减法:a b NX ’X 2,% • y 2),a —b—x ?, % — y ?);数乘:a = (■ x 1, ■ y 1);向量数量积:a b = x ’x 2 ' y ’y 2 ;|=.(X 2 -为)2 • (y 2 -yj 2 ;■+ i 4 4 444设a = (x 1, y 1),b =(x 2, y 2),其中b 厂0,若a,b 共线,当且仅当存在实数,,使a = -b ,即a//b :二 a -u x 1y^^x 2y 1 =0.由此可证明平行问题、三点共线等4 T对于平面内任意两个非零向量a,b , a _ b= a b = 0 .子a = (x, y) 叫做向量的坐标表示6. 平面向量的数量积运算a b = a|bcos是a 与b 的夹角,| a | COST 叫做向量 a 在b 方向上的投影.a b 的几何意义:数量b 等于a 的长度|a |与b 在a的方向上的投影的乘积.2把a a 记作a ,有性质a? Wa|2 数乘结合律:( a) b = ■ (a b)二 a(b);分配律:a (b c) = a b ac .力作功: 一个物体在力 F 的作用下产生位移s ,那么力F 所作的功 W =| F || s| COST ,其中v 是F 与s 的夹角,从而7.距离:d AB =|AB|=|b —a8.a b夹角:cos : a,b 二X 1X 2 y 』22y i 2、一 X 22y 22向量共线: 9. 向量垂直:,从而),则a _b:二x’X2 旳帯2 =0.设a =(X i,yJ,b =(X2,y210.线段定比分点的坐标则有 RP - ■ PP 2,即(x —x 仆 y - yj 八(x 2 - x, y 2 - y),由此得到x 1 x 2 x = 2 平面几何问题 向量方法求线段AB 的长度 ---------------- 1 -------- 「■ 1 --------------------------------------------------转化为求向量AB 的长度:|AB | =J (x 2 —xj 2 +(y 2 — yj 2 .求两条线段的夹角 a a b x 1y<^x 2y 2由数量积求夹角 ccaH = Ljj — 或 --------------- -------- ---------|a|b| 仏12")化2*22)证明两条直线垂直 r r —*■ -*■转化为两个非零向量 a,b 的数量积为o ,即a b = 0.4 d rd 4证明两条直线平行4 4 7 7转化为证明两个非零向量 a,b 共线,即a = kb12.向量法解决平面几何问题三步曲:(1) 建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题;(2) 通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等;(3) 把运算结果“翻译"成几何关系,得到几何问题的结论 已知点P 1(x 1,y 1) , P 2 (x 2, y 2),点P(x, y)是线段R P 2上的一个分点,且RPPP 2 11.向量知识与平面几何的联系,得到线段中点坐标公式y 1 y 2。
新版高中数学北师大版必修4课件:第一章三角函数 1.4.4
角
π 2
±
������的正弦(余弦) 函数值,分别等于角α的余弦(正弦)函数值,
前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
口诀:函数名改变,符号看象限.
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知识梳理
12
【做一做 2-1】 sin
-
19π 3
的值等于(
)
A.−
1 2
B.
−
3 2
C.
1 2
D.
3 2
答案:B
【做一做 2-2】 cos 300°的值是( )
sin (2������π-������)cos [(2������-1)π-������] sin [(2������ +1)π+������]cos (2������π+������)
=
sin (-������)cos (π+������) sin (π+������)cos ������
=
(-s-isnin���������)���(c-ocos s������������ )=-1.
= sisnin���������(���-ccooss������������)=-1.
综上可得,原式=-1.
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知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
(方法二)由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,得
sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α). 又sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α),
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罔觞第一部分 三角函数与三角恒等变换1.任意角和弧度制⑴ 1弧度角:等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度角⑵ 弧度数公式:Rl =α⑶ 角度制与弧度制的互化:π弧度180= ,1180π=弧度,1弧度180()π= '5718≈ .⑷ 弧长公式:||l Rα=;扇形面积公式:211||22S R Rlα==.2.三角函数定义:⑴ 设α是一个任意角,终边与单位圆交于点P (x ,y ), 那么y 叫作α的正弦,记作sin α; x 叫作α的余弦,记作cos α;y x叫作α的正切,记作tan α.⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ,设||OP r=,则:sin ,cos ,y x rrαα==tan y xα=.三角函数在各象限的符号规律:一全二正弦,三切四余弦. 3.三角函数线:正弦线:MP ; 余弦线:OM ; 正切线: AT . 4.诱导公式:六组诱导公式统一为“()2k k Z πα±∈”,记忆口诀一:奇变偶不变,符号看象限.记忆口诀二:纵变横不变,符号看象限. 5.同角三角函数基本关系:22sin cos 1αα+=(平方和关系); sin tan cos ααα=(商数关系).6.两角和与差的正弦、余弦、正切:①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;② cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;③ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.两角和与差的正弦、余弦、正切的变形运用:7.辅助角公式:sin cos )y a x b x x x =+=+=)x ϕ+.8.二倍角公式:①sin 22sin cos ααα=;②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-;③ 22tan tan 21tan ααα=-.变形:升幂公式:2cos2cos 12αα=+;2sin2cos 12αα=-2)2sin2(cossin 1ααα±=±降幂公式:21cos 2sin2αα-=;21cos 2cos 2αα+=.αααsin 1)2sin2(cos2±=±9.物理意义:物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞,其中0,0A ω>>.振幅为A ,表示物体离开平衡位置的最大距离;周期为2T πω=,表示物体往返运动一次所需的时间;频率为12f Tωπ==,表示物体在单位时间内往返运动的次数;x ωϕ+为相位;ϕ为初相.10.三角函数图象与性质:11. 正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的性质及研究思路:① 最小正周期2Tπω=,值域为[,]A A -.② 五点法图:把“x ωϕ+”看成一个整体,取30,,,,222x ππωϕππ+=时的五个自变量值,相应的函数值为0,,0,,0A A -,描出五个关键点,得到一个周期内的图象.③ 三角函数图象变换路线:sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位sin()y x ϕ=+ω−−−−−→1横坐标变为倍sin()y x ωϕ=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+.或:sin y x=ω−−−−−→1横坐标变为倍sin y x ω=ϕω−−−−−→左移个单位sin ()y x ϕωω=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+.④ 单调性:sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的增区间,把“x ωϕ+”代入到sin y x =增区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈,即求解22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈.⑤ 整体思想:把“x ωϕ+”看成一个整体,代入sin y x =与tan y x=的性质中进行求解. 这种整体思想的运用,主要体现在求单调区间时,或取最大值与最小值时的自变量取值.第二部分 平面向量1. 向量与数量:在数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量,反之,把只有大小,没有方向的量称为数量. 向量常用有向线段来表示,记为a 或AB(起点A ,终点B ). 向量的大小叫做向量的长度(或模),记为||a 或||AB . 规定长度为0的向量叫做零向量,记为0;长度等于1个单位的向量称为单位向量. 2. 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,记作//a b,并规定零向量平行于任意一个向量. 平行向量都可以移到同一直线上,因而也叫共线向量. 方向相同且长度相等的向量称为相等向量,记作a b = . 与向量a 长度相等而方向相反的向量,称为a 的相反向量,记为a -,规定零向量的相反向量仍是零向量. 3. 向量加减法:向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则.如图所示,已知非零向量,a b,在平面内任取一点O , 作,O A a AB b == ,则向量OB a b =+ .若作,O A a O C b == ,则向量CA a b =-.向量的加减法满足:交换律a b a b+=- ;结合律()()a b c a b c++=++. 向量不等式:对于任意两个向量,a b,有||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ .向量加法多边形法则:向量首尾相接,结果首尾连. 4. 向量数乘运算:实数λ与向量a的乘积仍然是一个向量,这种运算称为向量的数乘,记作aλ,并规定:①||||||a a λλ= ;②当0λ>时,a λ的方向与a的方向相同;当0λ<时,aλ的方向与a的方向相反;当0λ=时,0aλ=.数乘运算满足下列运算律: 分配律()u a a u a λλ+=+ 、()ab a bλλλ+=+;结合律()()a aλμλμ= .对于任意向量,a b,以及任意实数12,,u u λ,恒有1212()u a u b u a u bλλλ±=±.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 5. 平面向量基本定理:如果12,e e是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数12,λλ,使1122ae e λλ=+.把不共线的向量12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.向量夹角:对两个非零向量,a b,在平面内任取一点O ,作,O Aa O B b==,则AO B θ=∠叫做向量a 与b 夹角. 当a 与b夹角是90°时,a 与b 垂直,记作a b ⊥.正交分解:依据平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可分解为不共线的两个向量11a λ与22a λ ,使1122a a a λλ=+ . 若把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底,则对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x 、y ,使得a xi y j =+ . 即平面内的任意向量a 都可由x 、y 唯一确定,把有序数对(x ,y )叫做向量a的坐标,记作(,)a x y = ,式子(,)a x y =叫做向量的坐标表示.6. 平面向量的数量积运算:θb a =⋅,其中θ是a 与b的夹角,||cos a θ叫做向量a在b方向上的投影.ba ⋅的几何意义:数量ba ⋅等于a的长度||a 与b在a的方向上的投影||cos b θ的乘积.把aa⋅记作2a ,有性质22||a a =,从而||a =数量积运算满足下列运算律:交换律:a b b a ⋅=⋅;数乘结合律:)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅;分配律:c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(.力作功: 一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所作的功||||cos WF s θ=,其中θ是F与s的夹角,从而s F W ⋅=.7. 平面向量的坐标运算:设11(,)a x y = ,22(,)b x y =,则加减法:1212(,)a b x x y y +=++ ,1212(,)a b x x y y -=--;数乘:11(,)ax y λλλ=;向量数量积:2121y y x x b a +=⋅;模:||a =距离:||||ABd AB b a ==-=夹角:222221212121,cos y x y x y y x x b a +++=>=<.8. 向量共线:设11(,)a x y = ,22(,)b x y =,其中0b ≠,若,a b 共线,当且仅当存在实数λ,使a bλ=,即//a b a b λ⇔=12210x y x y ⇔-=. 由此可证明平行问题、三点共线等.9. 向量垂直:对于平面内任意两个非零向量,a b,=⋅⇔⊥b a b a .设11(,)ax y =,22(,)b x y =,则12120a b x x y y ⊥⇔+=.10. 线段定比分点的坐标:已知点111(,)P x y ,222(,)P x y ,点(,)P x y 是线段12P P 上的一个分点,且12P P PP λ=,则有12P P PP λ= ,即1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--,由此得到1212,11x x y y x y λλλλ++==++.若1λ=,得到线段中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==.11.向量知识与平面几何的联系:12. 向量法解决平面几何问题三步曲:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等; (3)把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.。