东南大学数值分析的上课课件chapter3
合集下载
数值分析课件
第3章线性方程组的解法本章探讨大型线性方程组运算机求解的经常使用数值方式的构造和原理，要紧介绍在运算机上有效快速地求解线性方程组的有关知识和方式.重点论述Jacobi迭代法、Seidel迭代法、Guass消元法及LU分解法的原理、构造、收敛性等内容。
实际案例问题的描述与大体概念解线性方程组问题在线性代数中已有很优美的行列式解法，但对大型的线性方程组（阶数n>40）的求解问题利用价值并非大，因为其计算量太大。
实际问题中常常碰到自变量个数n都专门大的线性方程组求解问题，这些线性方程组要借助运算机的帮忙才能求出解。
n 个变元12,,,n x x x ⋯的线性方程组的一样形式为11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （）式中，a ij 称为系数，b i 称为右端项，它们都是已知的常数。
若是有***1122,,,n nx x x x x x ===使方程组（）成立，那么称值***12,,,nx x x为线性方程组的（）的一组解。
本章在不作专门说明的情形下，要紧讨论m=n 的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的求解问题，且假设它有唯一解。
线性方程组的矩阵表示Ax b =式中A称为系数矩阵，b称为右端项。
数值分析中，线性方程组的数值解法要紧分为直接法和迭代法两大类。
直接法是用有限次计算就能够求出线性方程组“准确解”的方式（不考虑舍入误差）；迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜想的向量作为迭代计算的初始向量慢慢迭代计算，来取得知足精度要求的近似解。
迭代法是一种逐次逼近的方式。
数值分析课件
辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法 ，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适 应数值积分方法，能够根据函数性质 自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过逐步逼近的方式求解近 似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在 某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面 积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算 定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干 个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小 段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造龙格-库塔曲线来 逼近解。
03
阿达姆斯-图灵 方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造阿达姆斯-图灵曲 线来逼近解。
04
自适应步长控制 方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长 控制方法，能够根据误差 自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数 按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余 的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对 角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得 到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我 们更好地理解和解决实际问题，同时 也可以帮助我们更好地理解和应用数 学理论。
东南大学数值分析上机报告完整版
数值分析上机实验报告目录1.chapter1舍入误差及有效数 (1)2.chapter2Newton迭代法 (3)3.chapter3线性代数方程组数值解法-列主元Gauss消去法 (7)4.chapter3线性代数方程组数值解法-逐次超松弛迭代法 (8)5.chapter4多项式插值与函数最佳逼近 (10)1.chapter1舍入误差及有效数1.1题目设S N =∑1j 2−1N j=2，其精确值为)11123(21+--N N 。
（1）编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算S N 的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。
（编制程序时用单精度）（4）通过本次上机题，你明白了什么？ 1.2编写相应的matlab 程序 clear;N=input('please input N:'); AValue=((3/2-1/N-1/(N+1))/2); sn1=single(0); sn2=single(0); for i=2:Nsn1=sn1+1/(i*i-1); %从大到小相加的通用程序% endep1=abs(sn1-AValue); for j=N:-1:2sn2=sn2+1/(j*j-1); %从小到大相加的通用程序% endep2=abs(sn2-AValue);fprintf('精确值为:%f\n',AValue);fprintf('从大到小的顺序累加得sn=%f\n',sn1); fprintf('从大到小相加的误差ep1=%f\n',ep1); fprintf('从小到大的顺序累加得sn=%f\n',sn2); fprintf('从小到大相加的误差ep2=%f\n',ep2); disp('================================='); 1.3matlab 运行程序结果 >> chaper1please input N:100 精确值为:0.740050从大到小的顺序累加得sn=0.740049 从大到小相加的误差ep1=0.000001 从小到大的顺序累加得sn=0.740050 从小到大相加的误差ep2=0.000000 >> chaper1please input N:10000 精确值为:0.749900从大到小的顺序累加得sn=0.749852 从大到小相加的误差ep1=0.000048 从小到大的顺序累加得sn=0.749900 从小到大相加的误差ep2=0.000000please input N:1000000精确值为:0.749999从大到小的顺序累加得sn=0.749852 从大到小相加的误差ep1=0.000147 从小到大的顺序累加得sn=0.749999 从小到大相加的误差ep2=0.0000001.4结果分析以及感悟按照从大到小顺序相加的有效位数为：5,4,3。
数值分析课件
n=20 需要运算 多少次？
➢ 存贮量 ➢ 逻辑结构
n=100?
§2 误差来源与误差分析的重要性
一、误差的来源与分类
➢ 从实际问题中抽象出数学模型—— 模型误差
例:质量为m的物体，在重力作用下,自由下落， 其下落距离s 与时间t 的关系是：
m
d 2s dt2
mg
其中 g 为重力加速度。
➢ 通过测量得到模型中参数的值—— 观测误差
S2 计算 D a11a22 a21a12
S3 如果 D 0
则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则 D 0
x1
a22b1 a12b2 D
S4 输出计算的结果
x1, x2
x2
a11b2 a21b1 D
开始
输入
a11, a12 , a21, a22 , b1 , b2
D=a11a22-a12a21
（1）如果 D 0，则令计算机计算
x1 b1a22 b2a12 D , x2 b2a11 b1a21 D
输出计算的结果x1，x2。
（2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
令 D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
S1 输入 a11, a12, a21, a22,b1,b2
➢ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差）
例如，当函数 f 用 xTaylor多项式
Pn x
f
0
f 0
x 1!
f 0 x2
2!
f (n) 0 xn
n!
近似代替时，数值方法的截断误差是
（ 在 与x0之间）。
Rn x
f
x Pn x
数值分析课件3
1 Y = ln y , X = x , A = ln a , B = − b 就是个线性问题 Y ≈ A + BX 就是个线性问题
将 ( x i , y i ) 化为 ( X i , Y i ) 后易解 A 和B
a = e , b = − B , P( x) = a e
A
−b/ x
一般的最小二乘法 二、 一般的最小二乘法
i =1
m
i =1 m
最小二乘拟合多项式 一、 最小二乘拟合多项式
对于一组数据(x 确定多项式 P ( x ) = a0 + a1 x + ... + an x n ，对于一组数据 i, yi)
(i = 1, 2, …, m)
达到极小， 使得 ϕ = ∑ [ P ( x i ) − yi ]2 达到极小，这里 n << m。 极小 。
I (a0 , a1 , ⋯ , a n ) = ∑ ω ( x i )[∑ a jϕ j ( x i ) − f ( x i )]2
i =0 j =0 m n
ω ( x ) > 0 是[a,b]上的权函数,它表示不同点(xi, f(xi))的数据比 [a,b]上的权函数 它表示不同点(x 上的权函数,它表示不同点 ))的数据比
m
在 ϕ 的极值点应有 ∂ϕ = 0 , k = 0, ... , n
[
]
2
ΣΣ
=2
Σ Σ
j =0
n
m
aj
x
i =1
j+k i
−
m
Σ
i =1
m
yi xik
记 bk = Σ xik , ck = Σ yi xik
数值分析课件第3章1-2节
8
对连续函数 f ( x) C[a, b]，它不能用有限个线性无关的 函数表示，故 C[a, b] 是无限维的，但它的任一元素 f (x) 均可用有限维的 p( x) H n 逼近，使误差
max f ( x) p( x)
a x b
( 为任给的小正数)，这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.
j 1 j 1 n n
即 u1 , u2 ,, un 线性无关. 在内积空间X上，可以由内积导出一种范数，即对于 n u 1u1 2u2 nun 0 u X j j ,记
9
定理1
设 f ( x) C[a, b] ， 则对任何 0 ，总存在一
个代数多项式 p (x) ， 使
f ( x) p ( x )
在 [a, b] 上一致成立. 伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明. 他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式
k Bn ( f , x) f ( ) Pk ( x), n k 0
27
从以上等价关系知，det G 0 等价于从（1.8）推出
1 2 n 0,
而后者等价于从（1.9）推出 j 1 0, k , n（1.8） ( j u j , uk ) (u j , uk ) 2 1,2, n 0,
（1.5）
函数逼近问题就是对任何 f ( x) C[a, b]， 在子空间Φ中
* * 找一个元素 ( x) ， 使 f ( x) ( x)在某种意义下最小.
14
3.1.2
范数与赋范线性空间
为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数 定义，它是 R n空间中向量长度概念的直接推广.
对连续函数 f ( x) C[a, b]，它不能用有限个线性无关的 函数表示，故 C[a, b] 是无限维的，但它的任一元素 f (x) 均可用有限维的 p( x) H n 逼近，使误差
max f ( x) p( x)
a x b
( 为任给的小正数)，这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.
j 1 j 1 n n
即 u1 , u2 ,, un 线性无关. 在内积空间X上，可以由内积导出一种范数，即对于 n u 1u1 2u2 nun 0 u X j j ,记
9
定理1
设 f ( x) C[a, b] ， 则对任何 0 ，总存在一
个代数多项式 p (x) ， 使
f ( x) p ( x )
在 [a, b] 上一致成立. 伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明. 他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式
k Bn ( f , x) f ( ) Pk ( x), n k 0
27
从以上等价关系知，det G 0 等价于从（1.8）推出
1 2 n 0,
而后者等价于从（1.9）推出 j 1 0, k , n（1.8） ( j u j , uk ) (u j , uk ) 2 1,2, n 0,
（1.5）
函数逼近问题就是对任何 f ( x) C[a, b]， 在子空间Φ中
* * 找一个元素 ( x) ， 使 f ( x) ( x)在某种意义下最小.
14
3.1.2
范数与赋范线性空间
为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数 定义，它是 R n空间中向量长度概念的直接推广.
数值分析课件第3章
0
x
y
2 4 6
8 6 4 2
骄行札或务旷恰洗大而非仆椒鸿孜襟儡和跟浪陪痕骚树认邻异镍屠丰逃臃数值分析课件第3章数值分析课件第3章
初每孟缅家邱拙货另崇屎慑芝骋磨雨鹏苯核碉断策占悲异贺碴察鸿旧岿父数值分析课件第3章数值分析课件第3章
例3-4 已知实测数据表如下,确定数学模型 y=aebx, 用最小二乘法确定a，b。
帜尸砚损讹祖邱帆迄攫让汕芽柔造兔优伐具猪购冈琅高蹄熊嫌第凸貉楚章数值分析课件第3章数值分析课件第3章
伸姜积升斯钳更相傍抒匣替讯蔽炽恋喉爱著殷都皂孵羌邹捞谎寐池骇织狱数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
拙猪囤犀缎孩甸萤捷褐番舍倪酌月迢飘沟锰乡橙波旗骨渠虎偷朋袒夹惹胳数值分析课件第3章数值分析课件第3章
新隆培润已描苍淬霖绪册防嚷拇痘掂腹坏蕉吁咳洞烷携敦玻腔同翻坎镀讨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
宽烹呼境眺泡狞瑞怕敝斧厨寞贝砚妄特痒福踊阁监桐却挠伸井竟哇含野劲数值分析课件第3章数值分析课件第3章
囊铭徒庄裸课爹压屏滴插百盗万武廷校船卿肪没弹溃想镊茨壳峨孽信骗跨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
xi yi yi
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135
3.1基本概念
x0
x
x
x
x
x
x
x
f(x)
p(x)
虐座韦龄椽加腕槽晶僵壤漱键椒赏琢芭尊校榆唤著里钙治纹改瞥宁岁坛草数值分析课件第3章数值分析课件第3章
2、范数与赋范线形空间
x
y
2 4 6
8 6 4 2
骄行札或务旷恰洗大而非仆椒鸿孜襟儡和跟浪陪痕骚树认邻异镍屠丰逃臃数值分析课件第3章数值分析课件第3章
初每孟缅家邱拙货另崇屎慑芝骋磨雨鹏苯核碉断策占悲异贺碴察鸿旧岿父数值分析课件第3章数值分析课件第3章
例3-4 已知实测数据表如下,确定数学模型 y=aebx, 用最小二乘法确定a，b。
帜尸砚损讹祖邱帆迄攫让汕芽柔造兔优伐具猪购冈琅高蹄熊嫌第凸貉楚章数值分析课件第3章数值分析课件第3章
伸姜积升斯钳更相傍抒匣替讯蔽炽恋喉爱著殷都皂孵羌邹捞谎寐池骇织狱数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
拙猪囤犀缎孩甸萤捷褐番舍倪酌月迢飘沟锰乡橙波旗骨渠虎偷朋袒夹惹胳数值分析课件第3章数值分析课件第3章
新隆培润已描苍淬霖绪册防嚷拇痘掂腹坏蕉吁咳洞烷携敦玻腔同翻坎镀讨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
宽烹呼境眺泡狞瑞怕敝斧厨寞贝砚妄特痒福踊阁监桐却挠伸井竟哇含野劲数值分析课件第3章数值分析课件第3章
囊铭徒庄裸课爹压屏滴插百盗万武廷校船卿肪没弹溃想镊茨壳峨孽信骗跨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
xi yi yi
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135
3.1基本概念
x0
x
x
x
x
x
x
x
f(x)
p(x)
虐座韦龄椽加腕槽晶僵壤漱键椒赏琢芭尊校榆唤著里钙治纹改瞥宁岁坛草数值分析课件第3章数值分析课件第3章
2、范数与赋范线形空间
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析PPT
A为待定系数，利用导数条件 P3'(x1) m1 ，求出A， 但求出的 P3(x)通常为3次多项式，
一般情况下 P3(x) 也有可能为二次多项式，
原来方法更加准确。
（2）求余项: R(x)=f(x)－P3(x)
易知: x0, x2是R(x)的一重零点，x1 为R(x)的二重零点,
∴ R(x)可写为
多项式，则对任何 x a,b 有:
Rn (x)
f (n1) ( ) (n 1)!
Wn
1
(
x)
n
其中 Wn1(x) (x xi ), (a,b) ，且与x有关。 i0
证明：考虑插值节点上有 Rn (xi ) 0 (i 0,1,,n)
∴ 这些节点是 Rn (x) 的零点,
可设 Rn (x) k(x) Wn1(x)
∴ K(x) 1 f 4 ( )
4!
∴插值余项为R(x) =
1 4!
f
4 (
)(x
x0
)(x
x1 )2
(x
x2
)
在插值区间内与x有关.
4.5 埃尔米特插值（Hermite 法国数学家）
有时插值函数不仅要求在节点上与原函数相同，还要求 其导数的值与原函数的值相同，即要求
H2n＋1(xi)=f (xi)， H’2n＋1(xi)=f ’(xi) i=0、1、…、n
1 i k lk (xi ) 0 i k
n
则插值多项式为: Ln (x) yi li (x) i0
lk (x) 构造过程：
上式表明：n 个点 x0 , x1, xk1, xk1, xn 都是 lk (x) 的零点。
lk (x) Ak (x x0 )(x x1) (x xk1)(x xk1) (x xn )
数值分析课件(第3章)
y m a 0 a 1 x m 1 a 2 x m 2 a k x mk
“最好”函数。
定义3.2 以“偏差的平方和达到最小”作为原则来选择近似 函数的方法称为最小二乘法。
例3-1 已知一组数据如下表所示,用单变量数据拟合法求其拟 合函数.
x -1 0 1 2 3 4 5 6
y f (x) 10 9 7 5 4 3 0 -1
解
先画出散点图(如图3-1所示).
从图3-1可以看到，点 (xi , yi ) (i1,2, ,8) 在一条直线附近， 这些点大体上满足直线方程。因此，可以选择线性函数来拟
表中数据的一般趋势，然后使用最小二乘法来确定其中的未
知参数，从而得到的近似函数 F(x).
F(x) 通常称为拟合函数，f (x) 通常称为被拟合函数。
什么是“最F好(”x) 的函不数一，定“要最经好过”点的函(x数i , y以i ) 什么标准来 衡量?
定义3.1 若记 i f(xi)F(xi) (i1,2,,n)，则称
若假设这些自变量为 x1,x2,,xk和因变量为y ，则每经过一次
实验或测量就会得到一组数据 x1,x2,,xk,y ，而经过n次实验 或测量就会得到n组数据，由这n组数据构成一个数据表:
第m次实验或测量
x1
1
x11
2
x21
…
…
x2
…
x12
…
x22
…
……
xk yf(x1,x2, ,xk)x1ky1x来自kns1 x i
i 1
n
s3 xi 2 i 1
n
s2 yi i 1
n
s4 xi yi i 1
a ③ 解正规方程组
na s1a
“最好”函数。
定义3.2 以“偏差的平方和达到最小”作为原则来选择近似 函数的方法称为最小二乘法。
例3-1 已知一组数据如下表所示,用单变量数据拟合法求其拟 合函数.
x -1 0 1 2 3 4 5 6
y f (x) 10 9 7 5 4 3 0 -1
解
先画出散点图(如图3-1所示).
从图3-1可以看到，点 (xi , yi ) (i1,2, ,8) 在一条直线附近， 这些点大体上满足直线方程。因此，可以选择线性函数来拟
表中数据的一般趋势，然后使用最小二乘法来确定其中的未
知参数，从而得到的近似函数 F(x).
F(x) 通常称为拟合函数，f (x) 通常称为被拟合函数。
什么是“最F好(”x) 的函不数一，定“要最经好过”点的函(x数i , y以i ) 什么标准来 衡量?
定义3.1 若记 i f(xi)F(xi) (i1,2,,n)，则称
若假设这些自变量为 x1,x2,,xk和因变量为y ，则每经过一次
实验或测量就会得到一组数据 x1,x2,,xk,y ，而经过n次实验 或测量就会得到n组数据，由这n组数据构成一个数据表:
第m次实验或测量
x1
1
x11
2
x21
…
…
x2
…
x12
…
x22
…
……
xk yf(x1,x2, ,xk)x1ky1x来自kns1 x i
i 1
n
s3 xi 2 i 1
n
s2 yi i 1
n
s4 xi yi i 1
a ③ 解正规方程组
na s1a
数值分析第3次课
2 0 0 L 1 4 0 3 2 3
Matlab解法： A=[4 -2 6;-2 17 5;6 5 22] R=chol(A) L=R’
17
A为n阶对称正定阵, A=L LT, 怎样求L?
L中元素的求解次序
l11 l 21
L
l 22
lk 1 lk 2 l n1 ln 2
12
对称正定阵的Cholesky分解
用反证法
定理 若 A 是对称正定阵, 则存在唯一的非奇异
下三角阵L, 使得
A LL
T
且 L的对角元素皆为正数, 即 lii >0 ( i=1, 2, …, n). 证明 A可进行Doolittle分解. A为对称正定阵, 它的n个顺序主子式均大于0, 设 ~ A LU
c3 b4 1 b1 c1 ( 2) c2 l2 1 0 b2 ( 3) l3 1 0 b3 c3 (4) l4 1 0 b4 上二对角阵 单位下二对角阵 4
三对角矩阵的三角分解
k 1
(i j )
19
A为n阶对称正定阵, A=L LT, 怎样求L?
( l1 , l1 ) 对称 ( l , l ) ( l , l ) 2 1 2 2 T A LL ( l , l ) ( l , l ) ( l , l ) n 1 n 2 n n
l11 a11 4 2,
l21 a21 l11 1,
l22 a22 l 17 1 4,
2 21
l32 ( a32 l31l21 ) l22 8 / 4 2,
数值分析--chapter3 多项式插值与样条插值
end41牛顿newton插值差商二维数组pn数组p的第1列为节点值x第2列为函数值y42牛顿newton插值牛顿插值公式及其余项n次牛顿插值多项式n1542牛顿newton插值牛顿插值公式及其余项牛顿插值余项rn1t是数据x1次多项式nn1t与n次多项式n1642牛顿newton插值牛顿插值公式及其余项由于nn11次牛顿插值多项式则在点x处一定满足插值条件42牛顿newton插值牛顿插值公式及其余项牛顿插值多项式的余项1
其中Ak 为待定系数。
由条件lk (xk ) = 1 可定Ak ，于是
lk=(xj)=n0=xx(k−x−k(xx−xjj−x0x)0()x(kx−−xx11))······((xxk−−xxkk−−11))((xx−k −xkx+k1+)1·)···(··x(−xkx−n)xn)
(6)
j =k
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
基函数法：由线性空间的基出发，构造满足插值条件的多项式方 法。
用基函数法求插值多项式分两步：
(1)定义n + 1个线性无关的特殊代数多项式（插值基函数）， 用ϕ0(x), · · · , ϕn(x)表示;
(2)利用插值条件，确定插值基函数的线性组合表示的n次插值多
项式
p(x) = a0ϕ0(x) + a1ϕ1(x) + · · · + anϕn(x)
− −
x0 x0
y1
(8)
用L1(x)近似代替f (x)称为线性插值，公式(8)称为线性插值多项 式或一次插值多项式。
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
当n = 2时，拉格朗日插值多项式(7)为
其中Ak 为待定系数。
由条件lk (xk ) = 1 可定Ak ，于是
lk=(xj)=n0=xx(k−x−k(xx−xjj−x0x)0()x(kx−−xx11))······((xxk−−xxkk−−11))((xx−k −xkx+k1+)1·)···(··x(−xkx−n)xn)
(6)
j =k
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
基函数法：由线性空间的基出发，构造满足插值条件的多项式方 法。
用基函数法求插值多项式分两步：
(1)定义n + 1个线性无关的特殊代数多项式（插值基函数）， 用ϕ0(x), · · · , ϕn(x)表示;
(2)利用插值条件，确定插值基函数的线性组合表示的n次插值多
项式
p(x) = a0ϕ0(x) + a1ϕ1(x) + · · · + anϕn(x)
− −
x0 x0
y1
(8)
用L1(x)近似代替f (x)称为线性插值，公式(8)称为线性插值多项 式或一次插值多项式。
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
当n = 2时，拉格朗日插值多项式(7)为
《数值分析》课件-第三章
数值分析
数值分析
A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ;
2 AAT AT A E;
3 A的列向量是两两正交的单位向量; 4 A的行向量是两两正交的单位向量.
正交矩阵的性质
(1) A是正交阵,则A是非奇异的,det( A) 1;
(2) A是正交阵,则AT A1也是正交阵，且同阶 正交阵的乘积仍是正交阵；
( , ) 由Schwarz不 等 式 可 以 证 明 内 积 范数 公 理 中 的 三 角 不 等 式.
证明：三角不等式
证：在内积空间V中, , V , 有 2 ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 2 2 ( )2 所以
数值分析
数值分析
定理2-6 : (Cauchy Schwarz不等式)
设 , 是内积空间V中任意两个向量,则有 ( , )2 ( , )( , )
等号只有当且仅当和 是线性相关时才成立.
证明 : 任取实数k, 考虑内积
( k , k ) ( , ) 2k( , ) k 2( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k (k R,非 零),显 然 定 理 中 等 号 成 立;反 之, 如 果 等 号 成 立,则 , 必 线 性 相 关.因 为 若 , 线 性 无 关,则k R, 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立,矛 盾.
数值分析
第三章
数值分析
数值分析
第一节 内积空间与内积空间中的正交系
一、内积和内积空间的基本概念
定义2-12:设V是实数域R上的线性空间,如果α,β V
数值分析
A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ;
2 AAT AT A E;
3 A的列向量是两两正交的单位向量; 4 A的行向量是两两正交的单位向量.
正交矩阵的性质
(1) A是正交阵,则A是非奇异的,det( A) 1;
(2) A是正交阵,则AT A1也是正交阵，且同阶 正交阵的乘积仍是正交阵；
( , ) 由Schwarz不 等 式 可 以 证 明 内 积 范数 公 理 中 的 三 角 不 等 式.
证明：三角不等式
证：在内积空间V中, , V , 有 2 ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 2 2 ( )2 所以
数值分析
数值分析
定理2-6 : (Cauchy Schwarz不等式)
设 , 是内积空间V中任意两个向量,则有 ( , )2 ( , )( , )
等号只有当且仅当和 是线性相关时才成立.
证明 : 任取实数k, 考虑内积
( k , k ) ( , ) 2k( , ) k 2( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k (k R,非 零),显 然 定 理 中 等 号 成 立;反 之, 如 果 等 号 成 立,则 , 必 线 性 相 关.因 为 若 , 线 性 无 关,则k R, 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立,矛 盾.
数值分析
第三章
数值分析
数值分析
第一节 内积空间与内积空间中的正交系
一、内积和内积空间的基本概念
定义2-12:设V是实数域R上的线性空间,如果α,β V
数值分析学习课件
i = 2,3,..., n − 1
三次样条插值
例：已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 y=f(x)的数表如下表所示 x f(x)
0 1
0.15
0.30
0.45
0.60
0.97800 0.91743 0.83160 0.73529
求满足边界条件
s′(0) = 0, s′(0.60) = −0.64879
已知端点二阶导数
s′′( x0 ) = f ′′( x0 ) = M 0 s′′( xn ) = f ′′( xn ) = M n
当M 0 = M n = 0 为自然边界条件 已知周期边界条件
s ( x0 ) = s ( xn ) s′( x0 + 0) = s′( x0 − 0) s′′( x = 0) = s′′( x − 0) n n
则称 s ( x ) 为区间[a, b] 对应于划分∆ 的三次样条函数。 的三次样条函数。
三次样条插值
设三次样条函数s(x) 在每个子区间[xj−1, xj ]上有表达式
s(x) = sj (x) = aj x3 + bj x2 + cj x + d j x ∈(xj−1, xj ), j =1,2...n
三次样条插值
利用三弯矩阵构造三次样条插值函数 令 S ′′( xi ) = M i (i = 0,1, 2,...n) 因为S ( x) 在[ xi , xi +1 ] 在 上是三次多项式， 上是三次多项式，所以 S ′′( x)
xi +1 − x x − xi + M i +1 hi hi
[ xi , xi +1 ] 上是线性函数， 上是线性函数，故有
三次样条插值
例：已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 y=f(x)的数表如下表所示 x f(x)
0 1
0.15
0.30
0.45
0.60
0.97800 0.91743 0.83160 0.73529
求满足边界条件
s′(0) = 0, s′(0.60) = −0.64879
已知端点二阶导数
s′′( x0 ) = f ′′( x0 ) = M 0 s′′( xn ) = f ′′( xn ) = M n
当M 0 = M n = 0 为自然边界条件 已知周期边界条件
s ( x0 ) = s ( xn ) s′( x0 + 0) = s′( x0 − 0) s′′( x = 0) = s′′( x − 0) n n
则称 s ( x ) 为区间[a, b] 对应于划分∆ 的三次样条函数。 的三次样条函数。
三次样条插值
设三次样条函数s(x) 在每个子区间[xj−1, xj ]上有表达式
s(x) = sj (x) = aj x3 + bj x2 + cj x + d j x ∈(xj−1, xj ), j =1,2...n
三次样条插值
利用三弯矩阵构造三次样条插值函数 令 S ′′( xi ) = M i (i = 0,1, 2,...n) 因为S ( x) 在[ xi , xi +1 ] 在 上是三次多项式， 上是三次多项式，所以 S ′′( x)
xi +1 − x x − xi + M i +1 hi hi
[ xi , xi +1 ] 上是线性函数， 上是线性函数，故有
东南大学讲座(函数型数据分析引入) 共34页PPT资料
数拟合法则——粗糙惩罚法 （4）函数型数据分析方法的应用。具体有函
数型显著性检验、函数型线性模型、函数型 主成份分析、函数型因素分析、函数型聚类 分析、函数型主微分分析等
9
函数型数据分析的优点
（1）打破了连续型数据和离散型数据长期以来 的分离状态，实现离散和连续的过渡
（2）可分析大批量的数据，实现从有限维数据 到无限维数据的转换，得到的数据信息更丰富、 更可靠
为此，20世纪70年代加拿大统计学家Ramsay首次提出将 泛函分析、拓扑学与统计学相结合的设想，提出“函数型 数据”的概念以及其数据处理方法——函数型数据分析， 并将之成功用于考古学家挖掘的骨块的形状分析、按时间 记录的经济数据、手写师笔尖的运动轨迹、温度的变化、 人体身高变化等等。近年来，函数型数据分析方法正处于 发展迅猛阶段，国内也有少数将其用在股票分析、学习成 绩预测等方面。总之，函数型数据分析虽处于初级发展阶 段，但必将带来统计学一次新的变革。
实验目的
探讨在情绪面孔引起注意偏向的过程中，不同 的情绪面孔对注意时程的影响是否相同呢？
通过选取愤怒表情和快乐表情，利用眼动仪记 录不同情绪类别对注意过程的影响，我们假设愤 怒表情更容易获取最初的注意朝向，快乐表情更 容易保持随后的注意投入
17
实验设计 被试
北师大在校生19名 平均年龄21.94岁（SD=2.41）
在函数型数据分析中常用的拟合法则为非参数的拟合 法则——粗糙惩罚法，而不是最小二乘法
另外，关于函数型数据的基本理论原理还涉及拓 扑学、泛函分析等，（详细方法要专门介绍）
函数型数据分析方法基本步骤： （1）原始数据的收集、整理和组织 （2）将离散数据转换成函数型数据。采用基
函数的线性组合，常用的B样条基和傅立叶基 （3）拟合函数型数据以及光滑化。常用非参
数型显著性检验、函数型线性模型、函数型 主成份分析、函数型因素分析、函数型聚类 分析、函数型主微分分析等
9
函数型数据分析的优点
（1）打破了连续型数据和离散型数据长期以来 的分离状态，实现离散和连续的过渡
（2）可分析大批量的数据，实现从有限维数据 到无限维数据的转换，得到的数据信息更丰富、 更可靠
为此，20世纪70年代加拿大统计学家Ramsay首次提出将 泛函分析、拓扑学与统计学相结合的设想，提出“函数型 数据”的概念以及其数据处理方法——函数型数据分析， 并将之成功用于考古学家挖掘的骨块的形状分析、按时间 记录的经济数据、手写师笔尖的运动轨迹、温度的变化、 人体身高变化等等。近年来，函数型数据分析方法正处于 发展迅猛阶段，国内也有少数将其用在股票分析、学习成 绩预测等方面。总之，函数型数据分析虽处于初级发展阶 段，但必将带来统计学一次新的变革。
实验目的
探讨在情绪面孔引起注意偏向的过程中，不同 的情绪面孔对注意时程的影响是否相同呢？
通过选取愤怒表情和快乐表情，利用眼动仪记 录不同情绪类别对注意过程的影响，我们假设愤 怒表情更容易获取最初的注意朝向，快乐表情更 容易保持随后的注意投入
17
实验设计 被试
北师大在校生19名 平均年龄21.94岁（SD=2.41）
在函数型数据分析中常用的拟合法则为非参数的拟合 法则——粗糙惩罚法，而不是最小二乘法
另外，关于函数型数据的基本理论原理还涉及拓 扑学、泛函分析等，（详细方法要专门介绍）
函数型数据分析方法基本步骤： （1）原始数据的收集、整理和组织 （2）将离散数据转换成函数型数据。采用基
函数的线性组合，常用的B样条基和傅立叶基 （3）拟合函数型数据以及光滑化。常用非参
数值分析(第3章)
3.1.1 Euler格式（续）
方程（1）中含有的导数项是使方程难以求解的症结所在。数值解法的第一步就是消除
y ' ，这项手续称为离散化。实现这一手续的最简单的途径就是用差商代替导数。
设在点 xn 列出方程，并用差商
y xn 1 y xn h
代替导数 y ' xn ，则有
y xn1 y xn hf xn , y xn
若用 y xn 的近似值 yn 代入上式右端，记所求结果为 yn 1 ，这样导出的计算公式
yn1 yn hf xn , yn , n 0,1,2,
就是众所周知的欧拉（Euler）格式，若初值 y0 是已知的，则依据上式即可逐步算出数值 解 y1 , y2 , 。
' ' ' yn1 yn h 0 yn 1 yn1/ 2 2 yn1
仿照变形的 Euler 格式预报 yn 1/ 2 ，再用 yn , yn1/ 2 的加权平均得到 yn 1 ，最后利用精度概念 定出待定系数 0 , 1 , 2 ，即可得到如下三阶格式：
3.1.3 Euler两步格式
事实上， 还可以改用中心差商
y xn 1 y xn 1 2h
替代方程 y ' xn f xn，y xn 中的
导数项，再离散化，即可得如下格式
yn1 yn1 2hf xn , yn
无论是 Euler 格式还是隐式 Euler 格式，再计算 yn 1 的过程中只用到前一步的信息 yn ， 故称它们为单步法。然而上述格式还用到了更前一步的信息，即调用了前面两步的信息， Euler 两步格式因此而得名。
数值分析课件第三章
2 内积 ( x , y ) xi yi；范数 || x ||2 xi i 1 i 1
n n 1/2
.
若给定 i 0( i 1, , n)，称{ i }为权系数 , 则定义
加权内积 2 ( x , y ) i xi yi；范数 ||x||2 i xi i 1 i 1
称为Gram 矩阵，则 G非奇异的充要条件是 u1 , u2 ,, un线性
在内积空间X 上可以由内积导出一种范数,即对u X , 记 || u || ( u, u)， (1.10) 易证它满足范数定义的正定性，齐次性和三角不等式 .
例1 考察R n与Cn的内积. 设x ( x1 ,, xn )T , y ( y1 ,, yn )T R n，则定义
min
pn ( x )H n
b
a
[ f ( x ) pn ( x )]2dx ,
* ( x )为f ( x )在[a , b]上的最佳平方逼近多项式 . 则称pn
2. 若f ( x ) 是[a ,b]上的一个列表函数，在 a x0 x1 xm b上 给出f ( xi )( i 0,1, , m ),要求p * ( x ) span{ 0 , , n }, 使得
n n 1/2
.
若x , y Cn，则定义加权内积
( x , y ) i xi y i .
i 1
n
定义4 设 ( x )是区间[a , b]上的非负函数 , 如果满足条件
(1)
b k a x ( x )dx存在,
k 0,1,2,;
可以有限或 无限区间
(2) 对于[a , b]上的非负连续函数 g ( x ), 若 a g ( x ) ( x )dx 0, 则在[a , b]上g ( x ) 0； 就称 ( x )为[a , b]上的权函数 .
n n 1/2
.
若给定 i 0( i 1, , n)，称{ i }为权系数 , 则定义
加权内积 2 ( x , y ) i xi yi；范数 ||x||2 i xi i 1 i 1
称为Gram 矩阵，则 G非奇异的充要条件是 u1 , u2 ,, un线性
在内积空间X 上可以由内积导出一种范数,即对u X , 记 || u || ( u, u)， (1.10) 易证它满足范数定义的正定性，齐次性和三角不等式 .
例1 考察R n与Cn的内积. 设x ( x1 ,, xn )T , y ( y1 ,, yn )T R n，则定义
min
pn ( x )H n
b
a
[ f ( x ) pn ( x )]2dx ,
* ( x )为f ( x )在[a , b]上的最佳平方逼近多项式 . 则称pn
2. 若f ( x ) 是[a ,b]上的一个列表函数，在 a x0 x1 xm b上 给出f ( xi )( i 0,1, , m ),要求p * ( x ) span{ 0 , , n }, 使得
n n 1/2
.
若x , y Cn，则定义加权内积
( x , y ) i xi y i .
i 1
n
定义4 设 ( x )是区间[a , b]上的非负函数 , 如果满足条件
(1)
b k a x ( x )dx存在,
k 0,1,2,;
可以有限或 无限区间
(2) 对于[a , b]上的非负连续函数 g ( x ), 若 a g ( x ) ( x )dx 0, 则在[a , b]上g ( x ) 0； 就称 ( x )为[a , b]上的权函数 .
数值分析全套课件
Ln n si n
ˆ L2n (4L2n Ln ) / 3
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3/16
通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一 个球体, 设R为地 球半径,h为卫星 高度,D为覆盖面 在切痕平面上的 投影(积分区域)
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
15/16
例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
5/16
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差 而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)
为 x 的相对误差
6/16
如果存在一个适当小的正数ε
，使得
e( x) x x
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937)
16/16
1
参考文献
[1]李庆扬 关治 白峰杉, 数值计算原理(清华) [2]蔡大用 白峰杉, 现代科学计算 [3]蔡大用, 数值分析与实验学习指导 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析 [5]车刚明等, 数值分析典型题解析(西北工大) [6]David Kincaid,数值分析(第三版) [7] John H. Mathews,数值方法(MATLAB版)
《数值分析》ppt课件
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er
e x
.
❖定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr
|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？ 例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)