人教版高中数学选修一 课时作业：2-3-2抛物线的简单几何性质

课时作业 抛物线的简单几何性质
1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A ．x 2＝±3y
B ．y 2＝±6x
C ．x 2＝±12y
D ．y 2＝±6y
2．设过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB ，则|AB|的最小值为( )
A .p 2
B ．p
C ．2p
D ．无法确定
3．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px(p>0)，则( )
A ．直线与抛物线有一个公共点
B ．直线与抛物线有两个公共点
C ．直线与抛物线有一个或两个公共点
D ．直线与抛物线可能没有公共点
4．过点(0，－2)的直线与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( )
A ．217
B .17
C ．215
D .15
5．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )
A .45
B .35
C ．－35
D ．－45
6．已知直线y ＝k(x ＋2)(k>0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k 等于( )
A .13
B .23
C .23
D .223
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.
8．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P(2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．
9．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，
与抛物线的准线相交于点C ，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF
等于________． 三、解答题(共40分)
10．(10分)直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB|＝8，求直线l 的方程．
11．(15分)
图1
如图1所示，O 为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)两点．
(1)写出直线l 的方程；
(2)求x 1x 2与y 1y 2的值；
(3)求证：OM ⊥ON.
12．(15分)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.
(1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有FA →·FB →<0 ? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1.解析：对称轴为y 轴可设抛物线方程为x 2＝my(m≠0)，
又∵|m 4
|＝3，∴m ＝±12. ∴抛物线方程为x 2＝±12y.
答案：C
2.解析：由题意得当AB ⊥x 轴时，|AB|取最小值，为2p.
答案：C
3.解析：∵直线y ＝kx －k ＝k(x －1)，
∴直线过点(1,0)
又点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部，
∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 答案：C
4.解析：设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0. ∵直线与抛物线交于A 、B 两点，
∴Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0，即k>－1.
又x 1＋x 22＝＋k 2＝2，∴k ＝2或k ＝－1(舍去)．
∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋22·
1＋x 22－4x 1x 2＝2－＝215.
答案：C 5.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，y ＝2x －4得x 2－5x ＋4＝0， ∴x ＝1或x ＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|FA →|＝5，|FB →|＝2，FA →·FB →＝(3,4)·(0，－2)
＝－8，
∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|
＝－85×2＝－45.故选D . 答案：D
6.解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝＋y 2＝8x 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，
∴x 1x 2＝4，①
根据抛物线的定义得，
|FA|＝x 1＋p 2
＝x 1＋2，|FB|＝x 2＋2， ∵|FA|＝2|FB|，∴x 1＝2x 2＋2，②
由①②得x 2＝1，
∴B(1,22)，代入y ＝k(x ＋2)得k ＝223
，选D . 答案：D
7.解析：直线y ＝x －p 2，故⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －p 2y 2＝2px ，
∴x 2
－3px ＋p 24＝0， |AB|＝8＝x 1＋x 2＋p ，∴4p ＝8，p ＝2.
答案：2
8.解析：设抛物线方程为y 2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－kx ＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
∴x 1＋x 2＝k.又∵P(2,2)为AB 的中点，
∴x 1＋x 22
＝2.∴k ＝4.∴y 2＝4x. 答案：y 2＝4x
9.解析：由|BF|＝2小于点M 到准线的距离(3＋12
)知点B 在A 、C 之间，由抛物线的定义知点B 的横坐标为32
，代入得 y 2＝2x ，则B(32，－3)(另一种可能是(32，3))，那么此时直线AC 的方程为y －0－3－0
＝x －332－3，即y ＝－32－3，把y ＝－32－3代入y 2＝2x ，可得2x 2－7x ＋6＝0，可得x ＝2，
则有y ＝2，即A(2,2)，那么S △BCF ∶S △ACF ＝BC ∶AC ＝(32＋12)∶(2＋12
)＝4∶5. 答案：4∶5
10.解：∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，
若l 与x 轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，
∴可设所求直线l 的方程为y ＝k(x －1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k
2. 又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，∴2k 2＋4k
2＝6，解得k ＝±1.
∴所求直线l 的方程为y ＋x －1＝0或x －y －1＝0.
11.解：(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k≠0)．①
(2)由①及y 2＝2x ，消去y 可得
k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②
点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根，
由韦达定理，得x 1x 2＝4k 2
k 2＝4. 由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×
4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.
(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，
则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2
. 由(2)知，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，
∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2
＝－1.∴OM ⊥ON. 12.解：(1)由已知得：曲线C 上的点到点F(1,0)与到x ＝－1的距离相等，∴曲线C 是以F(1,0)为焦点的抛物线，
设y 2＝2px(p>0)，
∵p 2
＝1，∴p ＝2，∴方程为：y 2＝4x(x>0)． (2)假设存在M(m,0)(m>0)．
当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝m ，
设交点A(m,2m)，B(m ，－2m)，
FA →＝(m －1,2m)，FB →＝(m －1，－2m)，
∴FA →·FB →＝m 2－6m ＋1<0，
∴3－22<m<3＋2 2.
当直线l 斜率存在时，l ：y ＝k(x －m)(k≠0)，
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x y ＝－
∴ky 2－4y －4km ＝0，∴Δ＝16＋16k 2m>0恒成立，
y 1＋y 2＝4k
，y 1y 2＝－4m ， 又y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2
＋8m ， ∵FA →·FB →＝(y 214－1)·(y 224
－1)＋y 1y 2 ＝1y 2216－14
(y 21＋y 22)＋y 1y 2＋12 ＝m 2－14(16k 2＋8m)－4m ＋12 ＝m 2－6m ＋1－4k 2<0，
即：4
k2>m
2－6m＋1对∀k≠0恒成立，
又4
k2>0，∴m
2－6m＋1<0恒成立，
∴3－22<m<3＋22，
综上，m的取值范围是：3－22<m<3＋2 2.。