重积分在积分不等式证明中的应用
二重积分柯西积分不等式
二重积分证明柯西积分不等式
具体证明方法如下：
1、考虑差值dx。
2、交换x，y的位置，计算dx。
3、将上述两个dx相加。
4、考虑定义域。
5、得出结论。
扩展资料：
二重积分意义：
1、二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。
此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
2、二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。
本质是求曲顶柱体体积。
重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。
二重积分计算及其应用（已处理）
二重积分计算及其应用包头师范学院本科毕业论文题目:二重积分的计算及其应用学生姓名:学院:数学科学院专业:数学与应用数学班级:08本一班指导教师: 讲师二 ? 一二年五月二重积分计算及其应用内容摘要在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。
常用方法是化简二重积分为两次定积分或累次积分,又因为二重积分的计算与被积函数和积分区域有关。
掌握二重积分计算和它的性质的基础上,讨论如何利用函数的奇偶性与区域的对称性,探讨如何利用二重积分的性质解决二重积分的计算中的证明不等式、确定积分值的符号、估计积分之值、求极限等问题。
对于这些问题我们可以利用二重积分的性质和函数的奇偶性与区域的对称性来解决问题,试图找到一些简便方法,简化二重积分的计算。
关于二重积分的应用它可以求曲面面积以外,二重积分在物理学当中的应用也极其广泛,尤其是在平面薄板当中巧妙而简练的利用二重积分来解决平面薄板的重心坐标、转动惯量以及对质点的引力等问题,二重积分的应用在物理学当中是一种不可忽视的知识。
关键词:二重积分; 直角坐标; 极坐标系; 曲面面积;平面薄片Abstract In the calculation of double integrals, due to the complex calculations and comparison functions, in accordance with the definition of double integral calculation of double integrals have a lot of limitations. A common approach to simplification double integrals are definite integral and repeated integral as twice, because the calculationof double integrals with integrand and integral region. Mastering double integral calculation and on the basis of its nature, discusses how to use functions of symmetry of parity with regional, nature of the discussion on how to use double integral to prove inequality solving double integral calculation, identifying symbols, estimated value of the integral, the integral values for limit and so on. These questions we can use the double integral and parity of the nature and functions of symmetry to solving problems of the region, trying to find some easy way to simplify the calculation of double integrals. But also concise and clear to problem conclusion. On the application of double integral it can be found outside of the surface area of, and applications of double integrals in physics are very widely, especially in a flat sheet, ingenious and simple to use double integral to solving Planar sheet of Barycentric coordinates, moments of inertia and gravitational energy of the particle, and other issues, applications of double integrals in physics is a knowledge that cannot be neglected.Key words: double integral;Cartesian; polar; surface area; flat blades目录内容摘要 (2)关键词 (2)引言 (7)二重积分的定义 (8)二. 二重积分的计算 (8)(一)直角坐标系下二重积分的计算 (8)(二)极坐标系下二重积分的计算 (9)三.利用函数的奇偶性与区域的对称性计算二重积分 (9)(一)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (9)若函数关于是奇函数 (9)若函数关于是偶函数 (9)(二)计算二重积分,设区域D关于轴对称 (10)若函数关于是奇函数 (10)若函数关于是偶函数 (10)(三)计算二重积分,设区域D关于轴和轴都对称,同时也是关于,对称的 (10)四.二重积分的性质 (13)五.应用二重积分的性质解题 (14)(一)证明不等式 (14)(二)确定积分值的符号 (14)(三)估计积分之值 (15)(四)求极限 (16)六.二重积分的应用 (17)(一)曲面的面积 (17)1.曲面由显函数给出的情形 (17)2.曲面由参数方程给出的情形 (18)(二)平面薄片的重心 (19)(三)平面薄片的转动惯量 (20)(四)平面薄片对质点的引力 (21)结语 (23)参考文献 (24)引言在二重积分的计算中,由于计算和函数比较繁杂,因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限性。
二重积分证明积分不等式的若干应用
ｇ
）蛐 ］
）（ ・ ｇ ）
Ｏ
） ｇ ｙ ｄ ， ）・ （ ） ｙ
砒（ｄｙ Ｉ（ｄ （ ｙｘ ＝Ｏ ｙｙ ）ｄ ， ｄ ） １ （ ｇ ）
该定理 简化 了一 些 函数 的积分 计算 问题 ， 现考察 以下 命
题。
＝
Ｊ （ ｇ ） （ ｇｘ ｘ Ｉ ｚ （ ｌ ｘ （ ｄ ， ） ｆ ） ）
， Ｊ Ｊ（ｘ ｆ ｊ）ｆ ） ） ＝ｏ ｊ） ） ｘ —Ｏ ， Ｏ ｇ ， ，ｇ ｏ ） ｐ ， ｄ ｐ ｐ ｐ
Ｊ ２ ） （） ｇ（ ｄ Ｊ ｘ ｘ
＝
命题 ２ 设 Ｐ （）是 ｅ ，］ 的可积 函数 ， ｐ ｘ 口ｂ 上 且 （ ）＞０ ，
÷ｆ （ （ ＋ （ （ ］ａ ｊ ） ） ａｙ ） ， ） ， ） ｘ ）
） ． 是 ［ ，］ 的单调增加 函数 ， 和 ｇ ） ａｂ 上 （ 则
ｆ （ ・Ｏ（ｄ ＝６ ｘ ｘ ｆ２） ｆ２ ） ｆ ） ・６（ ｄ Ｏ ） ｘ ｘ （ ｄ ｙ ｙ ｇ ｇ
Ｊ 口 Ｊ ｎ ｄ
’
ｆ ｆ ） ｆｇ ） ｄ （ ＋ ・（ ］ ｘ Ｏ ｘ Ｉ ２
Ｊｄ
＿
＝ （ （）ｘｙ ） ｙ ｄｄ
离变量时 ， 如下定理是成立 的。
即有 ： 尸 （ ）＋ （） （ ） Ｌ （ ） ） ） ］ ， ，
≥２ ｚ ｇ ）， ｙ ｇ ） ａ ａ ） （ ）（ ） （ ］ ｘ ｙ ，
于是由（ ）式得 ： ４ ｇ （ ） ｘ≥ ￣ｘ ｄ
；
６
定理 若 ｆ 在 ［ ，］上可积 ，（ ） ［ ， ］ Ｃ） 口ｂ ｇ Ｙ 在 ｃｄ 上可积 ， 则 二元 函数 ， ｘ ｇ ｙ （ ） （ ）在平面区域 Ｄ ＝ ｛ｘＹ 口≤ ≤ ６ｃ≤ ，）Ｉ ，
(整理)第九讲重积分
精品文档第九章 重积分一、学习目的与要求1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。
2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。
3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。
4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）。
二、学习重点二重积分和三重积分的计算法三、内容提要1、重积分的定义⎰⎰∑=→∆=Dni iiif d y x f 1),(lim ),(σηξσλ（与D 的划分及),(i i ηξ取法无关），其中D 为平面有界闭区域，}{max ),,,2,1(),(1的直径i ni i i i n i σλσηξ∆==∆∈≤≤ 。
⎰⎰⎰∑Ω=→∆=ni i iiiV f dV z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ（与Ω的划分及),,(i i i ζηξ取法无关，其中Ω为空间有界闭区域，}{max ),,,2,1(),,(1的直径i ni i i i i V n i V ∆==∆∈≤≤λζηξ 。
2、重积分的几何意义当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以区域D 为底，以曲面z =f (x,y )为顶的曲顶柱体体积。
当1),(≡y x f 时，⎰⎰Dd σ表示平面区域D 的面积。
当1),,(≡z y x f 时，⎰⎰⎰ΩdV表示空间区域Ω的体积。
3、重积分的可积性若),(y x f （或),,(z y x f ）在有界闭区域D （或Ω）上分块连续，则),(y x f （或),,(z y x f ）在D （或Ω）上可积。
4、重积分的性质二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都是可积的。
（Ⅰ）线性性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g k d y x f k d y x g k y x f kσσσ),(),()],(),([2121，其中k 1,k 2为常数。
应用二重积分解决定积分问题
131科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald 创新教育二重积分的定义即对一个和式取极限,其思想“分割,近似,求和,取极限”沿用了定积分的定义中对和式去极限的思想,在二重积分的计算中将其化为累次积分进行计算的过程,本质上就是两个定积分的计算乘积的过程等等,这些我们都是采用定积分的思想去解决二重积分的问题。
但是,本文作者则将二重积分做为工具去解决定积分中的计算和不等式问题。
1 利用二重积分解决定积分中的计算问题在二重积分的计算中,我们通常采用的方法是化二重积分为累计积分进行计算,这一计算过程本质上是定积分的计算。
但是,反过来我们可以利用二重积分去解决一些不易找到原函数的定积分的计算,下面我们就结合具体实例来看看二重积分在这些方面的应用。
1.1利用二重积分计算瑕积分例1:计算如下瑕积分 10(0,)ln b ax x d x a b o x.[分析]在计算曲顶柱体体积时,利用“微元法”思想计算“平行截面面积为已知的立体体积” 21()()(),()(,)b x a x V A x d x A x f x y d y因此,曲顶柱体体积21()()(,)()(,)b x ax DV f x y d x d y A x d x f x y d y从而联想到,如果21()()()(,)ln b ax x x x A x f x y d y x,即可将这一定积分问题转化为二重积分进行计算。
解:由于1lim 0,lim ln ln babax x x x x xb a x x,所以所求积分11001ln 111ln1b a b ya b y ab ax x d x d x x d yx d y x d xd y y b a1.2利用二重积分计算广义积分例2:计算如下广义积分 20x e d x.[分析]要计算该广义积分,即计算 20lim R x R e d x,记 2lim R x RA e d x ,则 22200lim R Rx x R A e d x e d x从而,将问题转化为计算220RRx x ed x ed x,而2222220R R R R x x x y x y Se d x e dx e d x e d y e d x d y其中 {(,)0,0}S x y x R y R ≤≤≤≤,进而将问题转化为计算二重积分 22x ySI ed x d y.解:令≤≤ 22222212{(,)},{(,)2}D x y x y R D x y x y R ,则: 12D S D ,所以 221x y De d x d y≤22x y Sed x d y ≤222x y D ed x d y而22222110(1)4Rx y r R D I e d x d y d e r d r e,同理可计算2222222220(1)4Rx y r R D I e d x d y d e r d r e所以 2(1)4R e I ≤22x y S e d x d y≤22(1)4R y e .从而12lim lim 4R R I I 所以,根据两边夹法则可以得到:22222lim lim 4R R x x xy R R SA e d x e d x e d x d y因此,所求积分2x e d x2 利用二重积分解决定积分中的不等式问题数学中的证明题目,往往不易寻找证题规律。
重积分在证明中的应用
积 分变 量 用 字 母 ｙ表 示 。 样 便 可 以将 两 个 定 积 分 这 之 积化 成 二重 积 分 。 因此
Ａ ＝
胁
』
，
ｙ
但 证 明题 是 高等 数 学 的 一个 很 重要 的 组 成 部 分 ， 通 过解 证 明题 的 练 习 ， 以 帮 助 读 者 弄 清 楚 概 念 、 可 命 题 、 义 、 件 、 论之 间的本 质 联 系 ， 以加 深 对微 定 条 结 可 积分 概念 的基 本 理 解 ； 同时 有 助 于 培养 学 生 的逻 辑 思维 和抽 象 思维 能力 ， 而 提 高分 析 问题 和解 决 问 从 题 的能力 。重 积分 是微 积 分 的重 要 组 成 部 分 ， 多 在 元 函数 积分 学 中 占有 重 要 的 地 位 ， 它包 括 二 重 积 分
出利用 重 积分 进行 证 明的 常见 的 三种 方法 。
ｊｊ （ ｆ ）—ａ ）（ ａ ｙ＝ ｘ Ｙ
ｒ ｄ： 一） ｒ ｙ 。 ：
其 中用 到 了熟知 的不等 式 ｕ ＋ ２ ｖ 因此 ｕ。
１ 通 过 将 累次 积 分 化 为 重 积 分
例 １ ｆ ｘ 在 ［ ，］ 设 （ ） ｏ ｂ 上连续且恒正 ， 求证
数 ， 得 出 同样 的结 论 。 一 个 单 调增 加 ， 一 个 单 则 若 另
例 ４ 设 厂 ｔ 连续 ， 明 （） 证
［（ （ ｕ （ ／） ） ＝ ） ： ）ｄｄ ／ｄ — ｄ （
由于 ｆ ） ｇ ）都 是 单 调 减 少 函数 ， 此 ， （ ，（ 因 不
论 ＞ Ｙ或 ＜ Ｙ
［ （ ）一ｆ Ｙ ］与 ［ （ ）一ｇ Ｙ ］ 是 同号 ｆｘ （） ｇｘ （）都 故有 ［ （ ｆ ）一ｆ Ｙ ］ ｇ ）一ｇ（ ） ０ （ ）［ （ Ｙ］
高等数学-重积分的 计算 及应用
D
例如计算： I x2d
D:
D
I y2d
D
I 1
(x2 y2 )d
a4
2D
4
14
x2 y2 a2
例6
d
D (a2 x2 y2 )3/ 2
其中 D : 0 x a ; 0 y a
y yx
a
解：如图D是关于直线 y x 对称。
D2
D1
r a
cos
原式 2
D1
o 4
D1 D2 D
x
连续, 所以
6
D (x y) d D2 (x y) d D1 (x y) d
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2 (x y)d x
2
2
54311 15
9
例2. 计算 x2 y2 4 d , 其中 D : x2 y2 9
F(0) 0
利用洛必达法则与导数定义,得
lim
t0
F
(t ) t4
lim
t 0
4 f (t) 4 t3
t
2
lim
t 0
f (t) t
f
(0)
f (0)
33
f (x, y, z) d v
x
D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
20
y D
dxd y
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
方法2. 截面法 (“先二后一”)
重积分知识点总结例题
重积分知识点总结例题1. 重积分的定义在介绍重积分的定义之前，首先需要了解多元函数的概念。
多元函数是指自变量有多个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n)$。
在平面上，一元函数是自变量只有一个的函数，并且可以表示为$y = f(x)$。
而在空间中，两元函数是自变量有两个的函数，并且可以表示为$z = f(x, y)$，三元函数是自变量有三个的函数，并且可以表示为$w = f(x, y, z)$。
在多元函数的情况下，我们需要对其在一个区域上进行积分。
这就引出了重积分的概念。
重积分可以看作是对一个区域上的函数值在该区域上的加权平均。
重积分的定义如下：设$f(x, y)$是定义在闭区域$D$上的有界函数，$D$的面积记为$A(D)$，取$D$上的任意一组分割$P = \{R_i\}$和抽样点$Q = \{(\xi_i, \eta_i)\}$，$M_{ij}$是$f(x, y)$在$R_{ij}$上任意一点的函数值。
作Riemann和$$S(P, Q, f) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{ij} \Delta \sigma_{ij}$$如果极限$L$存在，不依赖于分割$P$和点$Q$的取法，即$L = \lim_{\lambda(P) \to0,\delta(Q) \to 0} S(P, Q, f)$存在，则称$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，这个极限$L$称为$f(x, y)$在$D$上的重积分，记作$$\iint_D f(x, y) d\sigma = L$$其中，$d\sigma$表示对$D$内的面积元素进行积分。
如果$f(x, y)$在$D$上可积，则称$f(x, y)$在$D$上可积，否则称为不可积。
2. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质有助于我们进行重积分的计算和应用。
下面我们将介绍一些重要的性质。
（1）可加性设$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，$D_1$和$D_2$是$D$的两个互不相交的子区域，其并集为$D = D_1 \cup D_2$，则有$$\iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_{D_1} f(x, y) d\sigma + \iint_{D_2} f(x, y) d\sigma$$这就是重积分的可加性。
积分不等式如何通过积分不等式解决高中数学问题
积分不等式如何通过积分不等式解决高中数学问题积分不等式是高中数学中常见的一种重要方法，它通过对不等式两边同时进行积分，将不等式问题转化为求解等式的问题，从而解决高中数学中的各种问题。
本文将介绍积分不等式的概念、求解步骤以及应用案例。
一、积分不等式的概念积分不等式是指在某个区间上满足一定关系的函数不等式。
具体来说，如果在区间[a, b]上，函数f(x)和g(x)满足f(x)≤ g(x)，则对于[a, b]上连续函数φ(x)，如果有∫[a, b] f(x)φ(x)dx ≤ ∫[a, b] g(x)φ(x)dx，那么就称这个不等式为积分不等式。
二、积分不等式的求解步骤解决积分不等式的一般步骤如下：1. 将积分不等式两边的函数进行积分，得到对应的不等式。
2. 利用已知的数学方法和技巧，对不等式进行简化和变形。
3. 运用数学推理和变换，得到最终的解或结论。
下面通过一个具体的案例来说明积分不等式的求解过程。
案例：已知函数f(x) = x^2sinx在区间[0, π/2]上连续，求证：∫[0, π/2]x^2sinx dx ≥ (π-2)/2π。
解：根据题目中给出的函数f(x)和区间[0, π/2]上的连续函数φ(x)，将不等式转化为积分形式：∫[0, π/2] x^2sinx φ(x)dx ≥ ∫[0, π/2] (π-2)/2π φ(x)dx。
由于函数φ(x)的具体形式未知，难以直接求解。
因此我们需要借助于已知条件及数学推理来简化和变形不等式。
首先，根据积分的线性性质，我们可以将不等式右边的积分进行拆分：∫[0, π/2] x^2sinx φ(x)dx ≥ ∫[0, π/2] φ(x)dx - ∫[0, π/2] φ(x)/π dx。
接着，考虑利用积分区间[0, π/2]上函数x^2sinx的特点，我们可以使用分部积分法对不等式左边的积分进行简化。
按照分部积分法的公式，我们令u = x^2，dv = sinxφ(x)dx，那么du = 2xdx，v = -cosxφ(x)。
20重积分——三重积分的应用
1、求平面区域的面积
∫∫ dxdy
D
曲顶柱体
∫∫ f ( x, y )dxdy
D
2、求空间立体的体积
任意空间立体
∫∫∫ dv
Ω
3、求空间物体的质量 4、求平面薄片的质量
∫∫∫ ρ ( x , y , z )dxdydz
Ω
∫∫ ρ ( x , y )dxdy
解 我们应用元素法来 求引力 F = {Fx, Fy, Fz},
在球内任取一直径很 小的闭区域dv(这闭区 域的体积也记为dv,
x
z aiM0(0,0, a)
D
1
求半径为a的球面与半顶角为 例1 求半径为 的球面与半顶角为α 的内接锥 面所围成的立体（如图）的体积。 面所围成的立体（如图）的体积。 z 设球面通过原点O， 解 设球面通过原点 ， 轴上， 球心在 z 轴上，又内接锥 面的顶点在原点O， 面的顶点在原点 ，其轴 轴重合， 与 z 轴重合， ϕ 球面方程为 r = 2acosϕ， 锥面方程为ϕ = α 。 O y x 可用不等式表示: 立体所占有的空间闭区域Ω可用不等式表示
5
1
质心
先讨论平面薄片的质心。 先讨论平面薄片的质心。
设 在 xoy 平 面 有 n 个 质 点 分 别 位 于 (x1,y1) 、 (x2,y2)、…、(xn,yn)处，质量分别为 1、m2、…、 、 、 处 质量分别为m 、 mn,由力学知道 由力学知道: 由力学知道
My = ∑xi mi ,
9
求位于两圆r 例6 求位于两圆 =2sinθ 和r = 4sinθ 之间的均匀 薄片的质心(如图 如图)。 薄片的质心 如图 。 y
解 因为闭区域D对称于 y轴 所以质心G(x, y) , 必位于y轴上 于是 ,
积分不等式的证明及应用
衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分不等式的证明及应用所在系：数学与计算科学系专业：数学与应用数学学号：08090233作者姓名：盛军宇指导教师：肖娟2012年4 月27 日积分不等式的证明及应用数学与计算科学系 数学与应用数学专业 学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟摘要 本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词 积分不等式；中值定理；函数0. 引言积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz 不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1. 积分不等式的证明方法1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式积分第一中值定理(定理1) 若()x f 在][b a ,上连续, 则至少存在一点ζ∈][b a ,,使得()()()a b f dx x f b a-=⎰ζ.积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用. 例1 设()x f 在][1,0上可微,而且对于任意)(1,0∈x ,有()M x f ≤'||, 求证:对任意正整数n 有()nMn i f n dx x f n i ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=111,其中M 是一个与x 无关的常数. 分析 由于目标式中一个式子为∑=⎪⎭⎫⎝⎛n i n i f n 11,另一个式子为()dx x f ⎰10,故把()dx x f ⎰10按区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证 由定积分的性质及积分中值定理,有()()⎰∑⎰=-=111ni n ini dx x f dx x f ()∑==ni i n f 11ζ,⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈n i n i i ,1ζ,.,,2,1n i =又因为()x f 在][1,0上可微,所以由微分中值定理可知,存在 ⎝⎛⎪⎭⎫∈n i i i ,ζη,使得,()()⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛i i i n i f f n i f ζηζ,.,,2,1n i = 因此()()∑∑⎰∑===⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n i n i i n i n i f n f n n i f n dx x f 1111111ζ()()()nM n M n n i f n f n i f n f n i f n n i i n i i n i i n i i =≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=-⎪⎭⎫⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑∑====111111111ζηζζ.在抽象函数()x f 的积分不等式中,若出现和号∑、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间][b a ,n 等分,点i ζ也可采用特殊的取法. 1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式拉格朗日中值定理(定理2) 若函数f 满足如下条件:()i f 在][b a ,上连续；()ii f 在)(b a ,内可导, 则在)(b a ,内至少存在一点ζ,使得()()()ab a f b f f --='ζ. 利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数()f x 和区间[],a b ,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2 设()x f '在][b a ,上连续.证明:若()a f =()b f 0=,则()⎰badx x f ≤()M a b 42-,][()x f Max Mb a x '=∈,.分析 由条件()a f =()b f 0=,及()x f '与()x f ,故想到利用拉格朗日中值定理.证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+2,b a a , ()()()a f x f x f -=()()x a a x f <<-=11,ζζ.对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+b b a ,2,()()()b f x f x f -=()()b x b x f <<-=22,ζζ.()()()()⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⇒b b a x x b M x f b a a x a x M x f ,2,,2,,, 故()()()⎰⎰⎰+++=b b a b a ab adx x f dx x f dx x f 22()()⎰⎰+++≤bb a b a adx x f dx x f 22()()⎰⎰++-+-≤bb a b a adxx b M dx a x M 22()M a b 42-=.注意到M 是()x f '在][b a ,上的最大值,所以解题的关键是如何使()x f 与()x f '联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3 构造变上限函数证明积分不等式作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x ,式中相同的字母也换成x ,移项,使得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.例3 设函数()x f 在][1,0上连续,证明不等式()()⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡102210dx x f dx x f .分析 此例若令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xxdt t fdt t f x F 0220,则()x F '的正负不易判断,需进一步的改进.证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx dt t fx dt t f x F 0220显然,()00=F ,且()x F 可导,有()()x f x F 2='()dt t f x⎰0()()t xf dt t fx202--⎰()()[]⎰≤--=xdt t f x f 020,则()x F 在0≥x 时单调减小,即有()()0,00≥=≤x F x F ,特别地,(),01≤F 即证得不等式()()⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡102210dx x f dx x f .例4 设函数()x f 在][1,0上可微,且当)(1,0∈x 时,()10<'<x f ,()00=f ,试证 ()()⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210dx x f dx x f .证 问题在于证明()()0103210>-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰dx x f dx x f , 令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx dt t f dt t f x F 0320,因为()00=F ,()()()()()()(){}x fdt t f x f x f dt t f x f x F xx23022-=='⎰-⎰,已知()00=f ,()10<'<x f ,故当)(1,0∈x 时,()0>x f , 记()=x g ()()x fdt t f x22-⎰,则()00=g ,()()()()x f x f x f x g '-='22=()()[]012>'-x f x f ,)(1,0∈x , 于是()=x g ()()>-⎰x fdt t f x 22()00=g ,)(1,0∈x ,故(),0>'x F )(1,0∈x ,所以()()001=>F F ,即()()⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210dx x f dx x f .通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性.1.4 利用二重积分证明积分不等式在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.例5 若函数()x f ,()x p ,()x g 在][b a ,上连续,()x p 是正值函数,()x f ,()x g 是单调增加函数,则()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .该不等式称为切贝谢夫不等式.分析 只要证()()()()()()()()0≥-=∆⎰⎰⎰⎰babababadx x g x p dx x f x p dx x g x f x p dx x p即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证 因定积分的值与积分变量无关,故()()⎰⎰=babady y p dx x p ,()()()()⎰⎰=babady y g y p dx x g x p .()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰-=∆babababady y g y p dx x f x p dx x g x f x p dy y p()()()()()()()()[]dxdy y g x f y p x p x g x f x p y p D⎰⎰-=()()()()()[]dxdy y g x g x f y p x p D⎰⎰-= ()1其中,积分区域()b y a b x a D ≤≤≤≤;.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x 与y 的位置,得到()()()()()[]dxdy x g y g y f x p y p D⎰⎰-=∆ ()2将()1式与()2式相加,得()()()()[]()()[]dxdy y g x g y f x f y p x p D--=∆⎰⎰21,由已知, 可知()x p 是正值函数,()x f ,()x g 是单调增加函数,从而()()[]y f x f -与()()[]y g x g -同号, 于是在D 上()()y p x p ()()[]y f x f -()()[]y g x g -0≥,从而,0≥∆. 即()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .例6 若函数()x f 在][1,0上不恒为零且连续增加,则()()()()⎰⎰⎰⎰≤1210312103dxx xf dxx xf dxx fdx x f . 证 由于在][1,0上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于()()⎰⎰-=∆101032dx x xf dx x f()()0102103≥⎰⎰dx x xf dx x f ,而 ()()⎰⎰-=∆11032dx x xf dx x f()()⎰⎰102103dx x xf dx x f()()()()dxdy y xf x f dxdy y yf x f DD⎰⎰⎰⎰-=3232()()()dxdy x y y f x f D⎰⎰-=32 ()3其中,积分区域()10;10≤≤≤≤y x D 因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有()()()dxdy y x x f y f D⎰⎰-=∆32 ()4将()3式与()4式相加,得()()()()()[]dxdy y f x f x f y f y x D--=∆⎰⎰2221,由已知,函数()x f 在][1,0上连续增加,从而对任意的][1,0,∈y x ,有()()()()()[]022≥--y f x f x f y f y x ,故()()()()⎰⎰⎰⎰≤1213102103dx x xf dx x xf dx x f dx x f. 从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5 借助于判别式来证明积分不等式引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7 设()0>x f ,且在][b a ,上连续,试证()()()2a b x f dx dx x f bab a-≥⎰⎰. 分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式. 证 由题设对任意的λ,考察函数()()x f x f λ+,因为()()02≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+x f x f λ,有 ()()022≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰dx x f x f ba λλ,即()()022≥++⎰⎰⎰dx x f dx x f dx b a b a b a λλ, 不等式的左端可以看成λ的二次三项式,且对任意的λ上述不等式均成立, 故判别式()()()0422≤-⎰=∆⎰⎰b abab adx x f x f dx dx ,即()()()2a b x f dx dx x f b a b a -≥⎰⎰. 用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程()x g ,而()02≥x g ,于是我们构造()02≥⎰dx x g ba这样一个方程,再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题. 1.6 利用对称性证明积分不等式命题1 当积分区域关于直线x y =对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明. 例8 函数()x f 在][b a ,上取正值且()x f 在][b a ,上连续试证:()()()2a b dxdy y f x f h-≥⎰⎰,][b a b a h ,;,=.证 因为][b a b a h ,;,=关于直线x y =对称,从而()()()()dxdy x f y f dxdy y f x f I hh⎰⎰⎰⎰==,所以()()dxdy y f x f I h⎰⎰=()()()()dxdy x f y f y f x f h ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=21()21a b dxdy h-=≥⎰⎰. 由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式积分第二中值定理的推论:设函数f 在][b a ,上可积.若g 为单调函数,则存在][b a ,∈ζ,使得()()()()()()dx x f b g dx x f a g dx x g x f ba ba ⎰⎰⎰+=ζζ.应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.例9 设函数()x f 在][b a ,上单调递增连续,则()()dx x f b a dx x xf ba b a ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥2. 证 假设函数()2ba x x g +-=,显然()x g 在][b a ,上可积,又函数()x f 在][b a ,上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在][b a ,∈ζ,使得()()()()()()dx x g b f dx x g a f dx x g x f baba⎰⎰⎰+=ζζ()*且()*式又可变为()()()()[]()()dx x g b f dx x g a f dx x g x f ba ba ⎰⎰⎰+--=ζζ.由定积分的几何意义知()()[]dx x g dx x g ba⎰⎰-=ζζ,][b a ,∈ζ,同时,()()b f a f ≤,于是,()()()()[]()0≥-=⎰⎰dx x g a f b f dx x g x f bbaζ,即()02≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎰dx x f b a x ba ,故()()dx x fb a dx x xf ba b a ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥2. 2. 一些特殊积分不等式的应用2.1 Chebyshew 不等式及其应用Chebyshew 不等式 设()()x g x f ,同为单调递减或当调递增函数,则有()()()()()⎰⎰⎰-≤⋅bab abadx x g x f a b dx x g dx x f .若()()x g x f ,中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为()()()()()⎰⎰⎰-≥⋅bab ab adx x g x f a b dx x g dx x f .Chebyshew 不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用.例10 设()x g 是][1,1-上的下凸函数,()x f 为][1,1-上的偶函数且在][1,0上递增,则,()()()()⎰⎰⎰---≤1111112dx x g x f dx x g dx x f .分析 从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew 不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew 不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令()()()x g x g x -+=ϕ.证 令()()()x g x g x -+=ϕ,显然()x ϕ也为][1,1-上的偶函数,由于()x g 是][1,1-上的下凸函数,故当1021≤≤≤x x ,()()()()()21212121x x x g x g x x x g x g --≤------, 即()()()()1221x g x g x g x g -≤---,即()()21x x ϕϕ≤,所以()x f ,()x ϕ在][1,0上为增函数, 由Chebyshew 不等式知,()()()()dx x x f dx x dx x f ⎰⎰⎰≤1101ϕϕ()()()()dx x x f dx x dx x f ⎰⎰⎰---≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔11111122121ϕϕ,可得()()()()⎰⎰⎰---≤1111112dx x g x f dx x g dx x f .2.2 利用Schwarz 不等式证明积分不等式Schwarz 不等式 若()()x g x f ,在][b a ,上可积,则()()()()()dx x g x fdxx g x f bab a222⎰≤⎰.Schwarz 不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及平方项的积分不等式时颇为有效.例11 已知()0≥x f ,在][b a ,上连续,()1=⎰b adx x f , k 为任意实数,求证:()()()()1sin cos 22≤⎰+⎰dx kx x f dx kx x f ba b a ()5证 ()5式左端第一项应用Schwarz 不等式得()()()()()[]22cos cos dx kx x f x f dx kx x f ba b a⎰=⎰()()dx kx x f dx x f baba⎰⎰⋅≤2cos ()dx kx x f ba⎰=2cos ()6同理()()()dx kx x f dxkx x f bab a⎰≤⎰22sin sin ()7()()()式即得576+.此题证明的关键在将()x f 写成()()x f x f ⋅的形式,以便应用Schwarz 不等式.2.3 Jensen 不等式定理3 设()x f 在][b a ,上连续,且()M x f m ≤≤,又()t ϕ是][M m ,上的连续凸函数（指下凸函数）,则有积分不等式()()()⎰⎰-≤⎪⎭⎫⎝⎛-b a b a dx x f a b dx x f a b ϕϕ11 ()8 注 若()t ϕ是][M m ,上的连续凹函数,则()8式中的不等式号反向.定理4 设()()x p x f ,在][b a ,上连续,且()M x f m ≤≤,()()b x a x p ≤≤>0,()t ϕ是][M m ,上的连续凸函数,则有()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b ababa b adxx p dx x f x p dx x p dx x f x p ϕϕ ()9注 当()t ϕ是][M m ,上的连续凹函数时,()9式中的不等号反向. 例12 设()x f 在][b a ,上连续,且()0>x f ,则对任意的自然数n ,有()()⎰⎰-≥⎪⎭⎫⎝⎛-b ab a dx x f n ab dx x f a b n ln 11ln .证 令()t n t ln =ϕ,那么()t n t 1='ϕ,()012<-=''tn t ϕ,故()t ϕ为凹函数,显然()x f 在()t ϕ的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立.例13 设()()x p x f ,是][b a ,上的正值连续函数,则对任意的自然数n ,有()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎰⎰⎰⎰b a b a babadx x p dx x f x p n dxx p dxx f x np ln ln .证 令()t n t ln =ϕ由上例知()t ϕ为凹函数,故由定理4知结论成立. 2.4 Young 不等式的应用Young 不等式 设()x f 是单调递增的,连续于][a ,0上,()00=f ,0,≥b a ,()x f 1-表示()x f 的反函数,则()()dy y fdx x f ab ab⎰⎰-+≤01,其中等号成立当且仅当()b a f =.Young 不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.例14 证明:1,≥b a 时,不等式b b e ab a ln 1+≤-成立. 证 设()1-=x e x f ,则()x f 单调并连续,()()y y f +=-1ln 1,因为1,≥b a ,由Young 不等式有,()()()()⎰⎰----+--+=+≤--11111ln 11a b a b a b b e dy y fdx x f b a ,故b b e ab a ln 1+≤-. 2.5 Steffensen 不等式Steffensen 不等式 设在区间][b a ,上,()x g 1 ,()x g 2连续,()x f 一阶可导,任给][b a x ,∈,成立不等式()()dt t g dt t g xaxa⎰⎰≤21,且()()dx x g dx x g baba⎰⎰=21.若()x f 在][b a ,上单调递减,则()()()()dx x g x f dx x g x f b aba21⎰⎰≤;若()x f 在上单调递增上述不等式变号.例15 证明dx x x dx x x ⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππ. 证 对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,0π,因为x x sin 1cos ≤+-,所以有⎰⎰≤x x tdt tdt 00cos sin ;此外,显然有1cos sin 2020==⎰⎰ππxdx xdx 且函数211x +在⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,0π上单调递减,从而根据Steffensen 不等式,知dx x x dx x x ⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππ. 结论总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式；以及巧妙的利用Schwarz 不等式和Jensen 不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:223.[2]宋海涛.几个定积分不等式的证明[J].高等数学研究,2003,6(4):34-35. [3]陈兴荣,杜家安.关于积分不等式的证明[J].工科数学,1993,9(2):77.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉:华中科技大学出版社,2003. [5]张瑞.定积分不等式证明方法的研究[J].内江科技,2001,(5):102. [6]丰刚.几个积分不等式及其应用[J].牡丹江大学报,2010,19(7):88-89.[7]刘玉记.再谈Young ’s 不等式的证明[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2009,(4):108. [8]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社,2005:108-109. [9]杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J].高等数学研究,2009,12(6):38.[10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.The proof and application of integral inequalityDepartment of Mathematics and Computational Science Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233 Name:ShengJunyu Instructor:XiaoJuanAbstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.Key word: integral inequality; theorem of mean; function。
毕业论文：有关积分不等式证明的论文
,故命题成立.
例6设函数 在闭区间 上连续且单调递减,求证:当 时
证明:把闭区间 划分成两个区间 和 ,则有
从而有 由积分中值定理可得:存在 使得: ,由于 在闭区间 上单调递减 ,知 ,则
即 ,因此有
1.4利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式
分析:设 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,则存在 使得:
1.5利用分部积分法来证明不等式
分部积分法:若 与 可导,不定积分 存在,则 也存在,并且有:
利用分部积分法来证明不等式,实质上是利用分部积分法证明一个等式,然后在给出积分估计来实现证明的
例9:设 在 上具有连续导数, ,且 ,
求证:
证明: ,又因为
, ,故命题得证.
例10:设 在闭区间 上具有二阶导数并且导数连续, , 求证:
本科毕业论文（设计）
摘
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.积分不等式的证明方法灵活多样,而且技巧性和综合性也比较强.研究积分不等式的证明方法,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.本文综述了证明积分不等式的若干方法,通过对例题的分析,总结了求积分不等式的一般方法.本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明:利用定积分的定义,利用积分的性质,利用拉格朗日中值定理、利用积分中值定理、利用泰勒公式 、利用二重积分等多种方法来证积分不等式及研究了杨格 不等式的证明,推广及应用和柯西——施瓦兹 不等式的证明,改进及应用.
(1-3)
同理 (1-4)
(1-3ห้องสมุดไป่ตู้(1-4)相加整理得
有关二重积分计算及应用本科论文
This paper gives the concept and nature of the double integral, on the basis of summing up the seven mon calculation method of double integral and calculation skills:usingdirect coordinate system to calculate, using variable replacement methodto calculate, using the polar coordinateto calculate, usingfunction and regional symmetrytocalculate, using the parity of green formulato calculate, using the method of rotationtocalculate, using the geometric meaning of double integraltocalculate, also studieson some practical problems about thedouble integralsuch asphysical mechanics, calculation of three-dimensional volume, surface area calculation, the calculation of curvilinear integral and surface integral.
高等数学下册(第10章)重积分及其应用教案
黑板多媒体结合
教学重点
二重积分直角坐标系下的计算
教学难点
二重积分直角坐标系下的计算
参考教材
同济七版《高等数学》下册武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
大纲要求
掌握二重积分直角坐标系下的计算方法.
教 学 基 本 内 容
一. 直角坐标系下的面积元素
在直角坐标系下, 有, 从而＝, 今后称为二重积分在直角坐标系下的面积元素.
高等数学教学教案
第10章重积分及其应用
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第10章第1节二重积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
二重积分的性质
教学难点
二重积分的中值定理
参考教材
同济七版《高等数学》下册武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
2.先二后一法(截面法)
在计算三重积分时,根据被积函数与积分区域的特点,也可采用所谓的先二后一法（截面法）.先二后一法计算三重积分的一般步骤:
(1)把积分区域向某轴（例如轴）投影,得投影区间, 如图10.33所示;
(2)对用过轴且平行平面的平面去截,得截面;计算二重积分, 其结果为的函数;
(3)最后计算定积分 即得三重积分.
-型区域的特点是:在区域内, 任意平行于轴的直线与的边界至多有两个交点, 且左右边界的曲线方程是的函数.如果一个区域既是-型区域又是-型区域, 称为简单区域.
3.混合型区域 若有界闭区域, 它既不是-型区域又不是-型区域, 则称之为混合型区域.
不等式的证明方法及其推广
不等式的证明方法及其推广摘要：在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置。
初等代数中介绍了许多具体的而且相当有灵活性和技巧性的证明方法，例如换元法、放缩法等研究方法；而高等代数中，可以利用的方法更加灵活技巧。
我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。
由此我们可以看到，不等式的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁。
所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义。
本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的根本思想和根本方法，便于更好地了解各局部的内在联系，从总体上把握证明不等式的思想方法；注重对一些著名不等式的推广及应用的介绍。
关键词：不等式；证明方法1 引言1．1 研究的背景首先，我们要从整个数学，特别是现代数学在21世纪变得更加重要来认识不等式的重要性。
美国?数学评论?2000年新的分类中，一级分类已到达63个，主题分类已超过5600多个，说明现代数学已形成庞大的科学体系，并且仍在不断向纵深化开展。
它在自然科学、工程技术、国防、国民经济(如金融、管理等)和人文社会科学(如语言学、心理学、历史、文学艺术等)以至我们的日常生活中的应用都在不断深化和开展。
它为我们提供了理解信息世界的一种强有力的工具，它也是新世纪公民的文化和科学素质的重要组成局部。
而不等式在数学中又处于独特的地位。
美国?数学评论?在为匡继昌的?常用不等式?第2版写的长篇评论中指出:“不等式的重要性，无论怎么强调都不会过分。
〞这说明不等式仍然是十分活泼又富有吸引力的研究领域。
再者不等式的求解和证明一直是高考的热点和难点。
近年来高考虽然淡化了单纯的不等式证明的证明题。
二重积分的积分中值定理
积分中值定理，是一种数学定律。
分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。
其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。
积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法，是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。
二重积分的中值定理：设f(x,y)在有界闭区域D上连续，是D的面积，则在D内至少存在一点，使得定理证明设（x）在上连续，且最大值为，最小值为，最大值和最小值可相等。
由估值定理可得同除以（b-a）从而由连续函数的介值定理可知，即：命题得证。
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。
因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号，或者化简被积函数。
重积分重积分概念与性质.pptx
这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式
f (x, y)d
b
[
2 ( x) f ( x, y)dy]dx
D
a 1 ( x)
(1)
26
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上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。 就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从1(x)到 2(x) 的定积分； 再把计算所得的结果（是x的函数）对x计算在区间[a,b]上的定积分。
o
y
x
D
如何求该曲顶柱体的体积呢？
17
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(1)分割 用一组曲线网将D分成n个小闭区域1,2 , … , n ，分别以这些 小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分 割成n个细曲顶柱体。
z f (x, y)
z
o
y
xD
18
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(2) 近似 当这些小区域的直径di很小时，由于 f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体 可近似地看作平顶柱体
n
m
D
(x, y)d
lim
0
i 1
(i,i )
i
4
第5页/共40页
定义8. 1. 2 设是Rn中一个可求体积（n=2时为面积）的有界闭区域，f(X) 是在上有定义的有界函数，将分割为彼此没有公共内点的任意闭子域
1 ,2 ,3 , ,n
用表示各i中直径的最大值,vi(或 i)表示
的体积(或面积)。
f ( X )dX f ( x, y, z)dv
即为函数f(x,y,z) 在 上的三重积分，dv称为体积元素。
重积分的若干应用实例——以三重积分为例
（ ，），， ）ｄ
＝ ＿ — — 一
．
』ｆ『ｐ（ ，ｚ）ｄ
特别 地 ，当物体 的密度均匀时 ，即 Ｐ为常数 时 ，则有
ｄＶ
＝ｄＶ
，ｙ 一＿＿ ，。
‘
例 ４ 密度 均匀椭 球体 上半球 的质心．
解 设椭球体不等式为 ＋告 ＋ ≤１．
由对 称 性 知 ｘ ＝０， ＝ ０，又 因为 ｐ为 常 数 ，所 以
故 ．，＝ ｄ ＝ｐ ｄ 。ｓ ｒｄｒ
＝ ｐ ｃｏｓ２
Ｒ
ｒ
呼 ＝ ．
二 、结 语 通过 以上讨论 ，我们 了解到 三重 积分 是 我们 研究 数 学 问题 的一个有 力工具 ，在 今后 的学 习和 日常生 活 中，我们需 对三重积 分做 进一步 全面 的理解 和认 识 ，让 三重 积分 这 个
＝ ｆ『Ｉ 。＋Ｙ ＋Ｚ２ｄｘｄｙｄｚ，
２＋ｔ ２ ≤ ２
应用球坐标变换 ＝｛（ｒ， ， ） ÷丌≤０≤下１竹，
Ｌ
ｌ
二
０≤ ≤百，０≤ｒ≤２ｓｉｎ￣ｃｏｓ０｝．
于是，Ｍ＝ ｄ ｒｄ ｒ２ｓｉｎ ｄｒ＝了８亿
（二 ）利 用三重积 分求 曲面面积 引理 设 Ｄ为可求面积的平面有界区域 ，函数 ＿厂（ ，Ｙ） 在 Ｄ具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ，则 由方 程 ＝，（ ，ｙ），（ ，Ｙ）
所 以 △Ｊｓ＝
ｄｙ＝Ｊ２－ａＤ ＝ 亿
（三 ）利 用三Ｄ重积 分求体积
例 ３ Ｖ是 由 曲面 ２（ｘ ＋ｙ２） ＝ｚ与 ＝４为 界 面 的 区
域 ．袁 Ｖ 的 体 积 ．
解 由题 意 可 知 ， ： ｄＶ，
在 ｘｙ平面上的投影 区域 Ｄ为 ＋ｙ。≤２，经过柱 坐标 变 换 ，区 域 可 表 示 为
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将 这 四种 方 法 应 用 于 积分 不 等 式 的 证 明 。 关键词 ： 二重 积 分 ； 定积分 ； 积 分 不 等 式 ；均 值 不 等 式
中图 分 类 号 ： Ｏ １ ７ ２ ． ２ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ １ — ９ １ ３ １ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ３ — ０ ０ ２ ７ ０ ７
ｒ ｚ ｒ ６
√ ａ
因此 不 能求 出具 体数 值 ， 这 时 可 以将 一 元 积 分 式 转
化 为二元 积 分式 ， 再 结 合 二 重积 分 的性 质 或 结 合 均 值不 等式 等方 法进 行证 明 。
Ｉ － 厂 （ ￡ ） ｄ ｔ ≥ ｇ （ ） ｄ ｔ ， ∈Ｅ ａ ， ６ ］ ，Ｉ 厂 （ ￡ ） ｄ ｔ ：
Ⅱ Ｊ ａ Ｊ “
Ｉ ｄ ｘ ｌ Ｉ － ｆ （ ｔ ） 一ｇ （ ｆ ） ］ ｄ ￡ ≥０
√ ｎ Ｊ ｎ
ｒ ６
ｒ
ｌ Ｆ（ ｚ ） ｄ ｘ≥ ０
所 以有
左边一 Ｉ ｄ ｘ ｝Ｅ ｆ （ ｔ ） 一ｇ （ ） ］ ｄ 一
√ ｎ Ｊ “
０ 引 言
在一 些 积分 不等 式 的证 明中 ， 被 积 函数 不确定 ，
命 题得 证 ！
此 命题 看 上 去非 常 的简单 ， 但 是 在应 用 中非 常 有 技巧 性 ， 用 此命 题来 证 明下面 的不 等式 ： 例 １设 厂 （ ｚ ） ， ｇ （ ｚ ）在 ［ ｎ ， ６ ］上连 续 ， 且 满足 ：
Ｓｅ ｐ．，２ ０１ ４
重 积 分 在 积 分 不 等 式 证 明 中的应 用
黄 云 美
（ 泰 州 学 院 ，泰 州 ２ ２ ５ ３ ０ ０ 等 式 的证 明 中 占据 了 重 要 的 地 位 ， 笔 者 例 举 了 利 用 重 积 分 证 明 积 分 不 等 式 的 四种 方 法 ， 并
Ｊ ｄ
，
ｒ ｌ ６ ｇ （ ） ｄ ｔ
１ 重 积 分 在 不 等 式 中 的 应 用
１ ． １ 应 用一 ： 直 接 增 元 法
√
口
证 明
命题 一 ：若 厂 （ ） ， ｇ （ ｚ ）在 ［ ＆ ， ６ ］上 可 积 ， 且
Ｉ ｒ ６ ｘ ｆ （ ｘ ） ｄ ｘ≤ Ｉ ｒ ６ ｘ ｇ （ ） ｄ ｘ
证 明 令 Ｆ（ ） 一厂 （ ｚ ） 一ｇ（ ） ， 则 Ｆ（ ｚ ） ≥０ ，
得
即ｌ Ｆ（ ｚ ） ｄ ｘ≥ ０
由 此 可 知
Ｊ ＇ ｄ 厂 ｃ ， ｄ ≥ 』 ： ｄ ｚ Ｉ ｆ ｇ ｃ ｄ
即
ｒ ６ ｒ
Ｊ
ｆ ｌ ｂ ｆ （ ） 一 ｄ ｘ 一 ｆ Ｉ ｂ ｇ （ ） 一 ｄ ｘ — ｒ Ｉ （ 厂 （ ） 一 ｇ （ ） ） 一 ｄ ｘ —
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｔａ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｔａ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ ２ ２ ５ ３ ０ ０ ，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｄｏ ｕｂｌ ｅ ｉ ｎｔ ｅ ｇｒ ａ ｌ ｐ ｌ ａ ｙ ｓ ａ ｎ ｉ ｍ ｐｏ ｒ ｔ ａ ｎｔ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ｎ ｔ ｈｅ ｐｒ ｏｏ ｆ ｏｆ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇｒ ａ ｌ ｉ ｎｅ ｑ ｕａ ｌ ｉ ｔ ｙ． Ｉ ｎ ｔ ｈｉ ｓ ｐ ａ ｐｅ ｒ ，ｆ ｏ ｕｒ ｗａ ｙｓ ａ ｒ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎｔ ｅ ｄ ｔ Ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｔ ｈｅ ｐｒ ｏｂ ｌ ｅ ｍｓ ｏｆ ｉ ｎｔ ｅ ｇｒ ａ ｌ ｂ ｙ ｍｅ ａ ｎ ｓ ｏ ｆ ｄ ｏｕ ｂｌ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇｒ ａ ｌ ，ａ ｎｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｆ ｏ ｕｒ ｗａ ｙｓ ａ ｒ ｅ ａ ｐｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ｔ Ｏ ｔ ｈｅ ｐｒ ｏ ｏｆ ｏｆ ｉ ｎｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｉ ｎ ｅ ｑｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ
Ａｐｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｐｒ ｏ ｏ ｆ ｏ ｎ ｔ ｈｅ Ｉ ｎｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ Ｉ ｎｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ｂ ｙ Ｄｏ ｕ ｂ ｌ ｅ Ｉ ｎｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ
Ｈ ＵＡ ＮＧ Ｙａ ｎ — ｍｅ ｉ
．
Ｊ
Ⅱ
Ｊ ｄ
厂 （ ｚ ） ≥ｇ （ ） ， 贝 ０ ｝ ＿ 厂 （ ｚ ） ｄ ｘ ≥Ｉ ｇ （ ） ｄ ｘ 厂 （ ｚ ） ， ｇ （ ｚ ）
为变 限积分 。
证 明 由题设
ｒ ｚ Ｐ
√
Ｉ 厂 （ ￡ ） ｄ ｔ ≥Ｉ ｇ （ ￡ ） ｄ ｔ
“ √ “
．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｄ ｏ ｕ ｂ ｌ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ；ｄ ｅ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ；ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ；ＡＭ ＧＮ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ
第１ ３ 卷第３ 期
２ ０ １ ４年 ９月
杨 凌 职 业 技 术 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙａ ｎ ｇ ｌ ｉ ｎ ｇ Ｖｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ＆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ
Ｖｏ １ ． １ ３ Ｎｏ ． ３
ｆ Ｅ ｆ （ ｔ ） － ｇ （ ｔ ） ］ ｄ ｚ ｄ （ 其 中 ｄ 一 ｛ （ ｚ ， ）
ａ≤ Ｉ ｚ≤ ｂ ，ａ≤ ｔ ≤ ３ ７ ｝ ）＝ ＝ ＝