二项式定理及其系数的性质

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第三节、二项式定理

第三节、二项式定理

(1)通项公式
Tr 1 C n a
r
nr
b
r
在解题时应用较多,因而显得尤其重要,但
要注意,它是(a+b)n的二项展开式的第r+1项,而不是第r项. (2)公式中a和b的位置不能颠倒,它们的指数和一定为n.
1 (3)二项展开式中,二项式系数是指 C n0 , C n , C n2 , ..., C nk , ..., C nn ,
【答案】
C
二项展开式的特殊项及求法
(12分)已知
x 2 1
4
x
n
的展开式前三项中的x的
系数成等差数列. (1)求展开式中所有的x的有理项; (2)该二项展开式中是否存在常数项,若存在,求出 常数项;若不存在,说明理由.
分析 问题(1)中,有理项即x的指数为整数的项.问题(2)
n 0 n 1 n 1
b ... ( 1) C n a
r r
nr
b ...
r
( 1) C n b ,
n n n
这 时 通 项 是 T r 1 ( 1) C n a
r r n 1 1 2 2
nr
b( r 0,1, ..., n ).
r r r n
( 2) x ) 1 C n x C n x ... C n x ... x , (1 这 时 通 项 是 T r 1 C n x( r 0,1, ..., n ).
而某一项的系数除了这些组合数之外还要包括其它的数字,如在
(2 3 x )
8
的展开式中,第5项是 T5 C 84 2 4 (3 x ) 4 , 其二项式系数是而第5 项的系数
4 4 4

二项式定理

二项式定理
方法2 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、 的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解:( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结:
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性 质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式:
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5;

二项式定理

二项式定理

二项式定理一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理:(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C k n a n -k b k +…+C n n b n (n ∈N *)❶;(2)通项公式:T k +1=C k n an -k b k ,它表示第k +1项; (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数为C 0n ,C 1n ,…,C n n ❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n +1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ,即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列,从第一项开始,次数由n 逐项减1直到零;字母b 按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n .二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C 0n ,C 1n ,…,C n n ,它只与各项的项数有关,而与a ,b 的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a ,b 的值有关.如(a +bx )n 的二项展开式中,第k +1项的二项式系数是C k n ,而该项的系数是C k n an -k b k.当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的.考点一 二项展开式中特定项或系数问题考法(一) 求解形如(a +b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2+2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x -a )5的二项展开式中x 3的系数为720,则a =________. (3)(2019·甘肃检测)已知⎝⎛⎭⎫x -a x 5的展开式中x 5的系数为A ,x 2的系数为B ,若A +B =11,则a =________.[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2+2x 5的展开式的通项公式为T r +1=C r 5·(x 2)5-r ·⎝⎛⎭⎫2x r =C r 5·2r ·x 10-3r ,令10-3r =4,得r =2.故展开式中x 4的系数为C 25·22=40. (2)(2x -a )5的展开式的通项公式为T r +1=(-1)r ·C r 5·(2x )5-r ·a r =(-1)r ·C r 5·25-r ·a r ·x 5-r ,令5-r =3,解得r =2,由(-1)2·C 25·25-2·a 2=720,解得a =±3.(3)⎝⎛⎭⎫x -a x 5的展开式的通项公式为T r +1=C r 5x 5-r ·⎝⎛⎭⎫-a x r =C r 5(-a )rx 5-32r .由5-32r =5,得r =0,由5-32r =2,得r =2,所以A =C 05×(-a )0=1,B =C 25×(-a )2=10a 2,则由1+10a 2=11,解得a =±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a +b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r +1=C r n an -r b r,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出r ;第三步,把r 代入通项公式中,即可求出T r +1,有时还需要先求n ,再求r ,才能求出T r +1或者其他量.考法(二) 求解形如(a +b )m (c +d )n (m ,n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1-x )6(1+x )4的展开式中x 的系数是( ) A.-4 B.-3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x -1)(ax +1)6的展开式中含x 2项的系数为0,则正实数a =________.[解析] (1)法一:(1-x )6的展开式的通项为C m 6·(-x )m =C m 6(-1)m x m 2,(1+x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n =C n 4x n 2,其中m =0,1,2,…,6,n =0,1,2,3,4. 令m 2+n2=1,得m +n =2, 于是(1-x )6(1+x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(-1)0·C 24+C 16·(-1)1·C 14+C 26·(-1)2·C 04=-3.法二:(1-x )6(1+x )4=[(1-x )(1+x )]4(1-x )2=(1-x )4(1-2x +x ).于是(1-x )6(1+x )4的展开式中x 的系数为C 04·1+C 14·(-1)1·1=-3. (2)(ax +1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2,含x 项的系数为C 56a ,由(x -1)(ax +1)6的展开式中含x 2项的系数为0,可得-C 46a 2+C 56a =0,因为a 为正实数,所以15a =6,所以a =25. [答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a +b )m (c +d )n (m ,n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步,根据二项式定理把(a +b )m 与(c +d )n 分别展开,并写出其通项公式; 第二步,根据特定项的次数,分析特定项可由(a +b )m 与(c +d )n 的展开式中的哪些项相乘得到;第三步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a +b +c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2+x +y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60(2)将⎝⎛⎭⎫x +4x -43展开后,常数项是________. [解析] (1)(x 2+x +y )5的展开式的通项为T r +1=C r 5(x 2+x )5-r ·y r ,令r =2,则T 3=C 25(x2+x )3y 2,又(x 2+x )3的展开式的通项为T k +1=C k 3(x 2)3-k ·x k =C k 3x6-k,令6-k =5,则k =1,所以(x 2+x +y )5的展开式中,x 5y 2的系数为C 25C 13=30.(2)⎝⎛⎭⎫x +4x -43=⎝⎛⎭⎫x -2x 6展开式的通项是C k 6(x )6-k ·⎝⎛⎭⎫-2x k =(-2)k ·C k 6x 3-k. 令3-k =0,得k =3.所以常数项是C 36(-2)3=-160.[解析] (1)C (2)-160 [解题技法]求形如(a +b +c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步,把三项的和a +b +c 看成是(a +b )与c 两项的和; 第二步,根据二项式定理写出[(a +b )+c ]n 的展开式的通项; 第三步,对特定项的次数进行分析,弄清特定项是由(a +b )n-r的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的;第四步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[题组训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a =∫π0 sin x d x ,则二项式⎝⎛⎭⎫a x -1x 6的展开式中的常数项为( )A.-15B.15C.-240D.240解析:选D 由a =∫π0 sin x d x =(-cos x )|π0=(-cos π)-(-cos 0)=1-(-1)=2,得⎝⎛⎭⎫2x -1x 6的展开式的通项公式为T r +1=C r6(2x )6-r ⎝⎛⎭⎫-1x r =(-1)r C r 6·26-r ·x 3-32r ,令3-32r =0,得r =2,故常数项为C 26·24=240. 2.(2019·福州四校联考)在(1-x 3)(2+x )6的展开式中,x 5的系数是________.(用数字作答)解析:二项展开式中,含x 5的项是C 562x 5-x 3C 2624x 2=-228x 5,所以x 5的系数是-228.答案:-2283.⎝⎛⎭⎫x 2+1x +25(x >0)的展开式中的常数项为________. 解析:⎝⎛⎭⎫x 2+1x +25(x >0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 10,因而T r +1=C r 10⎝⎛⎭⎫1210-r (x )10-2r ,令10-2r =0,得r =5,故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125=6322.答案:6322考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若⎝⎛⎭⎪⎫x +13x n的展开式中各项系数之和大于8,但小于32,则展开式中系数最大的项是( )A.63x B.4x C.4x 6xD.4x或4x 6x (2)若⎝⎛⎭⎫x 2-1x n 的展开式中含x 的项为第6项,设(1-3x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,则a 1+a 2+…+a n 的值为________.(3)若(a +x )(1+x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a =________.[解析] (1)令x =1,可得⎝⎛⎭⎪⎫x +13x n的展开式中各项系数之和为2n ,即8<2n<32,解得n =4,故第3项的系数最大,所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2=63x . (2)⎝⎛⎭⎫x 2-1x n 的展开式的通项公式为T r +1=C r n (x 2)n -r ·⎝⎛⎭⎫-1x r =C r n (-1)r x 2n -3r , 因为含x 的项为第6项,所以r =5,2n -3r =1,解得n =8, 在(1-3x )n 中,令x =1,得a 0+a 1+…+a 8=(1-3)8=28, 又a 0=1,所以a 1+…+a 8=28-1=255.(3)设(a +x )(1+x )4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5, 令x =1,得16(a +1)=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5,① 令x =-1,得0=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5,② ①-②,得16(a +1)=2(a 1+a 3+a 5),即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1+a 3+a 5=8(a +1),所以8(a +1)=32,解得a =3.[答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式,对于x ,y 的一切值都成立.因此,可将x ,y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令x ,y 等于多少,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.如:(1)形如(ax +b )n ,(ax 2+bx +c )m (a ,b ,c ∈R )的式子,求其展开式的各项系数之和,只需令x =1即可.(2)形如(ax +by )n (a ,b ∈R )的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x =y =1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0+a 2+a 4+…=f (1)+f (-1)2.(3)偶数项系数之和为a 1+a 3+a 5+…=f (1)-f (-1)2.[题组训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x -1)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则|a 0|+|a 1|+…+|a 5|=( )A.1B.243C.121D.122解析:选B 令x =1,得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=1,①令x =-1,得-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a 0=-243,② ①+②,得2(a 4+a 2+a 0)=-242, 即a 4+a 2+a 0=-121.①-②,得2(a 5+a 3+a 1)=244, 即a 5+a 3+a 1=122.所以|a 0|+|a 1|+…+|a 5|=122+121=243.2.若(x +2+m )9=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+…+a 9(x +1)9,且(a 0+a 2+…+a 8)2-(a 1+a 3+…+a 9)2=39,则实数m 的值为________.解析:令x =0,则(2+m )9=a 0+a 1+a 2+…+a 9, 令x =-2,则m 9=a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 9, 又(a 0+a 2+…+a 8)2-(a 1+a 3+…+a 9)2=(a 0+a 1+a 2+…+a 9)(a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 8-a 9)=39, ∴(2+m )9·m 9=39,∴m (2+m )=3, ∴m =-3或m =1. 答案:-3或13.已知(1+3x )n 的展开式中,后三项的二项式系数的和等于121,则展开式中二项式系数最大的项为________.解析:由已知得C n -2n +C n -1n +C n n =121,则12n ·(n -1)+n +1=121,即n 2+n -240=0,解得n =15(舍去负值),所以展开式中二项式系数最大的项为T 8=C 715(3x )7和T 9=C 815(3x )8.答案:C 715(3x )7和C 815(3x )8考点三 二项展开式的应用[典例精析]设a ∈Z ,且0≤a <13,若512 018+a 能被13整除,则a =( ) A.0 B.1 C.11D.12[解析] 由于51=52-1,512 018=(52-1)2 018=C 02 018522 018-C 12 018522 017+…-C 2 0172 018521+1,又13整除52, 所以只需13整除1+a , 又0≤a <13,a ∈Z , 所以a =12. [答案] D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此,一般要将被除式化为含相关除式的二项式,然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开.但要注意两点:①余数的范围,a =cr +b ,其中余数b ∈[0,r ),r 是除数,若利用二项式定理展开变形后,切记余数不能为负;②二项式定理的逆用.[题组训练]1.使得多项式81x 4+108x 3+54x 2+12x +1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析:选C ∵81x 4+108x 3+54x 2+12x +1=(3x +1)4,∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1-90C 110+902C 210-903C 310+…+(-1)k 90k C k 10+…+9010C 1010除以88的余数为________. 解析:∵1-90C 110+902C 210+…+(-1)k 90k C k 10+…+9010C 1010=(1-90)10=8910, ∴8910=(88+1)10=8810+C 110889+…+C 91088+1,∵前10项均能被88整除,∴余数为1. 答案:1[课时跟踪检测]A 级1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)⎝⎛⎭⎫2x2-x 43的展开式中的常数项为( )A.-32B.3 2C.6D.-6解析:选D 通项T r +1=C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23-r·(-x 4)r =C r 3(2)3-r·(-1)r x -6+6r,当-6+6r =0,即r=1时为常数项,T 2=-6,故选D.2.设(2-x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5,则a 2+a 4a 1+a 3的值为( )A.-6160B.-122121C.-34D.-90121解析:选C 由二项式定理,得a 1=-C 1524=-80,a 2=C 2523=80,a 3=-C 3522=-40,a 4=C 452=10,所以a 2+a 4a 1+a 3=-34. 3.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2+ax 7的展开式的各项系数之和为-1,则含x 2项的系数为( ) A.560 B.-560 C.280D.-280解析:选A 取x =1,得二项式⎝⎛⎭⎫x 2+ax 7的展开式的各项系数之和为(1+a )7,即(1+a )7=-1,1+a =-1,a =-2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2-2x 7的展开式的通项T r +1=C r 7·(x 2)7-r ·⎝⎛⎭⎫-2x r =C r 7·(-2)r ·x 14-3r.令14-3r =2,得r =4.因此,二项式⎝⎛⎭⎫x 2-2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(-2)4=560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1+x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析:选A 由题意得C 4n =C 6n ,由组合数性质得n =10,则奇数项的二项式系数和为2n -1=29.5.二项式⎝⎛⎭⎫1x -2x 29的展开式中,除常数项外,各项系数的和为( ) A.-671 B.671 C.672D.673解析:选B 令x =1,可得该二项式各项系数之和为-1.因为该二项展开式的通项公式为T r +1=C r 9⎝⎛⎭⎫1x 9-r ·(-2x 2)r =C r 9(-2)r ·x 3r -9,令3r -9=0,得r =3,所以该二项展开式中的常数项为C 39(-2)3=-672,所以除常数项外,各项系数的和为-1-(-672)=671.6.(2018·石家庄二模)在(1-x )5(2x +1)的展开式中,含x 4项的系数为( ) A.-5 B.-15 C.-25D.25解析:选B 由题意含x 4项的系数为-2C 35+C 45=-15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2-a )⎝⎛⎭⎫x +1x 10的展开式中x 6的系数为30,则a 等于( ) A.13 B.12 C.1D.2解析:选D ⎝⎛⎭⎫x +1x 10的展开式的通项公式为T r +1=C r 10·x 10-r ·⎝⎛⎭⎫1x r =C r 10·x 10-2r ,令10-2r =4,解得r =3,所以x 4项的系数为C 310.令10-2r =6,解得r =2,所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2-a )⎝⎛⎭⎫x +1x 10的展开式中x 6的系数为C 310-a C 210=30,解得a =2. 8.若(1+mx )6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6,且a 1+a 2+…+a 6=63,则实数m 的值为( ) A.1或3 B.-3 C.1D.1或-3解析:选D 令x =0,得a 0=(1+0)6=1.令x =1,得(1+m )6=a 0+a 1+a 2+…+a 6.∵a 1+a 2+a 3+…+a 6=63,∴(1+m )6=64=26,∴m =1或m =-3.9.(2019·唐山模拟)(2x -1)6的展开式中,二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析:(2x -1)6的展开式中,二项式系数最大的项是第四项,系数是C 3623(-1)3=-160.答案:-16010.(2019·贵阳模拟)⎝⎛⎭⎫x +ax 9的展开式中x 3的系数为-84,则展开式的各项系数之和为________.解析:二项展开式的通项T r +1=C r 9x 9-r ⎝⎛⎭⎫a x r =a r C r 9x 9-2r ,令9-2r =3,得r =3,所以a 3C 39=-84,解得a =-1,所以二项式为⎝⎛⎭⎫x -1x 9,令x =1,则(1-1)9=0,所以展开式的各项系数之和为0.答案:011.⎝⎛⎭⎫x +1x +15展开式中的常数项为________. 解析:⎝⎛⎭⎫x +1x +15展开式的通项公式为T r +1=C r 5·⎝⎛⎭⎫x +1x 5-r .令r =5,得常数项为C 55=1,令r =3,得常数项为C 35·2=20,令r =1,得常数项为C 15·C 24=30,所以展开式中的常数项为1+20+30=51.答案:5112.已知⎝⎛⎭⎪⎫x +124x n的展开式中,前三项的系数成等差数列.(1)求n ;(2)求展开式中的有理项; (3)求展开式中系数最大的项.解:(1)由二项展开式知,前三项的系数分别为C 0n ,12C 1n ,14C 2n ,由已知得2×12C 1n =C 0n +14C 2n ,解得n =8(n =1舍去). (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x +124x 8的展开式的通项T r +1=C r 8(x )8-r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r =2-r C r 8x 4-3r 4(r =0,1,…,8), 要求有理项,则4-3r 4必为整数,即r =0,4,8,共3项,这3项分别是T 1=x 4,T 5=358x ,T 9=1256x 2.(3)设第r +1项的系数a r +1最大,则a r +1=2-r C r 8,则a r +1a r =2-r C r82-(r -1)C r -18=9-r 2r ≥1, a r +1a r +2=2-r C r 82-(r +1)C r +18=2(r +1)8-r≥1, 解得2≤r ≤3.当r =2时,a 3=2-2C 28=7,当r =3时,a 4=2-3C 38=7,因此,第3项和第4项的系数最大,B 级1.在二项式⎝⎛⎭⎫x -1x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大,则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.-35C.-56D.56解析:选C 由于第五项的二项式系数最大,所以n =8.所以二项式⎝⎛⎭⎫x -1x 8展开式的通项公式为T r +1=C r 8x 8-r (-x -1)r =(-1)r C r 8x8-2r,令8-2r =2,得r =3,故展开式中含有x 2项的系数是(-1)3C 38=-56.2.已知C 0n -4C 1n +42C 2n -43C 3n +…+(-1)n 4n C n n =729,则C 1n +C 2n +…+C nn 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:选C 因为C 0n -4C 1n +42C 2n -43C 3n +…+(-1)n 4n C n n =729,所以(1-4)n =36,所以n =6,因此C 1n +C 2n +…+C n n =2n -1=26-1=63.3.(2019·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x -a x ⎝⎛⎭⎫2x -1x 5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中含x 4项的系数为________.解析:令x =1,可得⎝⎛⎭⎫x -a x ⎝⎛⎭⎫2x -1x 5的展开式中各项系数的和为1-a =2,得a =-1,则⎝⎛⎭⎫x +1x ⎝⎛⎭⎫2x -1x 5展开式中含x 4项的系数即是⎝⎛⎭⎫2x -1x 5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又⎝⎛⎭⎫2x -1x 5展开式的通项为T r +1=C r 5(-1)r ·25-r ·x 5-2r ,令5-2r =3,得r =1,令5-2r =5,得r =0,将r =1与r =0分别代入通项,可得含x 3项与含x 5项的系数分别为-80与32,故原展开式中含x 4项的系数为-80+32=-48.答案:-484.设复数x =2i 1-i(i 是虚数单位),则C 12 019x +C 22 019x 2+C 32 019x 3+…+C 2 0192 019x 2 019=( ) A.iB.-iC.-1+iD.-i -1解析:选D 因为x =2i 1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=-1+i ,所以C 12 019x +C 22 019x 2+C 32 019x 3+…+C 2 0192 019x 2 019=(1+x )2 019-1=(1-1+i)2 019-1=i 2 019-1=-i -1.5.已知(x +2)9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9,则(a 1+3a 3+5a 5+7a 7+9a 9)2-(2a 2+4a 4+6a 6+8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析:选D 对(x +2)9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9两边同时求导,得9(x +2)8=a 1+2a 2x +3a 3x 2+…+8a 8x 7+9a 9x 8,令x =1,得a 1+2a 2+3a 3+…+8a 8+9a 9=310,令x =-1,得a 1-2a 2+3a 3-…-8a 8+9a 9=32.所以(a 1+3a 3+5a 5+7a 7+9a 9)2-(2a 2+4a 4+6a 6+8a 8)2=(a 1+2a 2+3a 3+…+8a 8+9a 9)(a 1-2a 2+3a 3-…-8a 8+9a 9)=312.6.设a =⎠⎛012x d x ,则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2-1x 6展开式中的常数项为________. 解析:a =⎠⎛01 2x d x =x 2⎪⎪⎪10=1,则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2-1x 6=⎝⎛⎭⎫x 2-1x 6,其展开式的通项公式为T r +1=C r 6(x 2)6-r ·⎝⎛⎭⎫-1x r =(-1)r C r 6x 12-3r ,令12-3r =0,解得r =4.所以常数项为(-1)4C 46=15. 答案:15。

二项式系数的性质课件

二项式系数的性质课件

总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 。
详细描述
在数学中,二项式定理常用于解决一些组合数学问题,如排 列、组合、概率等。在物理中,二项式定理可用于描述量子 力学和统计力学的某些现象。在工程中,二项式定理可用于 解决一些近似计算问题。
二项式定理的发展历程
总结词
二项式定理的发展经历了漫长的历史过程。
数学教育的普及
随着数学教育的普及,二项式系数等基础数学知 识将更加受到重视,需要进一步研究和推广。
THANKS
感谢观看
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
二项式系数在实际问题中的应用
在统计学中的应用
概率计算
二项式系数在概率计算中有着广 泛的应用,例如在二项分布的概 率计算中,二项式系数用于计算
成功的次数。
置信区间
在置信区间估计中,二项式系数用 于计算样本比例的置信区间,帮助 我们了解样本比例的可靠程度。
ERA
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一 ,它描述了二项式展开后的各项系数 规律。
详细描述
二项式定理指出,对于任何两个数的 和或差,即 (a+b) 或 (a-b),它们的 展开式中的每一项都可以表示为组合 数 C(n, k) 与 a 和 b 的幂次方的乘积 。
二项式定理的应用场景
要点二
详细描述
对称性是指C(n, k) = C(n, n-k),即从n个元素中选取k个 元素和从n个元素中选取n-k个元素的结果相同。递推性是 指C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k),即从n+1个元素中选 取k个元素等于从n个元素中选取k-1个元素和从n个元素中 选取k个元素的和。组合恒等式是指C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k),即从n个元素中选取k个元素等于从n-1个元 素中选取k-1个元素和从n-1个元素中选取k个元素的和。

二项式定理复习理

二项式定理复习理
二项展开式的特点 (1)项数:共有 n+1 项; (2)(a+b)n 的展开式中各项均为 a 与 b 的 n 次齐次式,其中
a 的指数由 n 逐项减少到 0,b 的指数由 0 逐项增加到 n, 简称“一降二升”;
(3)注意区分“项”、“项数”、“系数”、“二项式系数”等概念 的区别.
2.二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,事实上这一
性质直接由公式 Ckn=Cnn-k 得到.
(2)增减性 ∵Ckn=n-kk+1Ckn-1,
n+1 ∴当 k< 2 时,二项式系数逐渐增大,由对称性知
后半部分是逐渐减小的.
(3)最大值
当 n 为偶数时,中间一项(第 n2+1 n
项)的二项式系数最
大,最大值为
C
2 n
.
当 n 为奇数时,中间两项(第
n-2 1+1
【点评】求展开式中系数最大项的步骤是:先假设 第 r+1 项系数最大,则它比相邻两项的系数都不小,列 出不等式组并解此不等式组求得.
变式题
[2009·全国卷Ⅰ]
x-y
10
的展开式中,x7y3
的系数与 x3y7 的系数之和等于________.
【思路】根据二项展开式的通项公式分别找到所求 两项的系数即可.
例 3 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1) a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)a0+a1+a2+…+a7.
【思路】利用赋值法可求得.
【解答】令 x=1 则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 =-1,①
【解答】 B 对于 Tr+1=Cr5(x2)5-r-1xr =(-1)rC5rx10-3r,对于 10-3r=4, ∴r=2,则 x4 的项的系数是 C25(-1)2=10.

二项式定理

二项式定理

§10.3 二项式定理考试要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理 1.二项式定理二项式定理 (a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b 1+…+C k n a n -k b k +…+C n nb n (n ∈N *) 二项展开式的通项 T k +1=C k n an -k b k,它表示展开式的第k +1项 二项式系数C k n (k =0,1,…,n )2.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性与最大值:当n 是偶数时,中间的一项2C nn取得最大值;当n 是奇数时,中间的两项12Cn n-与12Cn n+相等,且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和:(a +b )n 的展开式的各二项式系数的和等于2n . 常用结论 1.两个常用公式(1)C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n=2n . (2)C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n+…=2n -1. 2.二项展开式的三个重要特征 (1)字母a 的指数按降幂排列由n 到0. (2)字母b 的指数按升幂排列由0到n .(3)每一项字母a 的指数与字母b 的指数的和等于n . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an -k b k 是(a +b )n 的展开式的第k 项.( × ) (2)(a +b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ,b 无关.( √ ) (3)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( × ) (4)(a +b )n 的展开式中,某项的系数与该项的二项式系数不同.( × )教材改编题1.(x -1)10的展开式的第6项的系数是( ) A .C 610 B .-C 610 C .C 510 D .-C 510答案 D解析 T 6=C 510x 5(-1)5, 所以第6项的系数是-C 510. 2.(多选)已知(a +b )n 的展开式中第5项的二项式系数最大,则n 的值可以为( ) A .7 B .8 C .9 D .10答案 ABC解析 ∵(a +b )n 的展开式中第5项的二项式系数C 4n 最大,∴n =7或n =8或n =9. 3.在(1-2x )10的展开式中,各项系数的和是________. 答案 1解析 令x =1可得各项系数的和为(1-2)10=1.题型一 通项公式的应用命题点1 形如(a +b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1 (1)(2022·烟台模拟)(1-2x )8展开式中x 项的系数为( ) A .28 B .-28 C .112 D .-112答案 C解析 (1-2x )8展开式的通项公式为 T k +1=C k 8(-2x )k=28(-2)C k kkx .要求x 项的系数,只需k2=1,解得k =2,所以x 项系数为(-2)2C 28=4×8×72×1=112. (2)(2022·德州模拟)若n ∈Z ,且3≤n ≤6,则⎝⎛⎭⎫x +1x 3n 的展开式中的常数项为______.答案 4解析 ⎝⎛⎭⎫x +1x 3n 的通项公式为 T k +1=C k n x n -k ⎝⎛⎭⎫1x 3k =C k n x n -4k, 因为3≤n ≤6,令n -4k =0, 解得n =4,k =1,所以⎝⎛⎭⎫x +1x 3n 的展开式中的常数项为4. 命题点2 形如(a +b )m (c +d )n (m ,n ∈N *)的展开式问题 例2 (1)(2022·泰安模拟)(x 3-2)⎝⎛⎭⎫x +1x 6的展开式中x 6的系数为( ) A .6 B .10 C .13 D .15 答案 C 解析 由于⎝⎛⎭⎫x +1x 6的展开式的通项为 T k +1=36-26C k k x⋅,令6-3k2=3,求得k =2;令6-3k2=6,求得k =0,故(x 3-2)⎝⎛⎭⎫x +1x 6的展开式中x 6的系数为C 26-2C 06=15-2=13. (2)(2022·合肥模拟)二项式⎝⎛⎭⎫2-xa (1-2x )4的展开式中x 3项的系数是-70,则实数a 的值为( ) A .-2 B .2 C .-4 D .4答案 D解析 因为⎝⎛⎭⎫2-xa (1-2x )4 =2×(1-2x )4-xa×(1-2x )4,(1-2x )4的展开式的通项公式为T k +1=C k 4(-2x )k =(-2)k C k 4x k,k =0,1,2,3,4,所以2×(1-2x )4展开式中x 3项的系数是2×(-2)3C 34=-64,xa×(1-2x )4展开式中x 3项的系数是 1a ×(-2)2C 24=24a, 所以-64-24a =-70,解得a =4.教师备选1.(2022·菏泽模拟)已知正整数n ≥7,若⎝⎛⎭⎫x -1x (1-x )n 的展开式中不含x 5的项,则n 的值为( ) A .7 B .8 C .9 D .10答案 D解析 (1-x )n 的二项展开式中第k +1项为T k +1=C k n (-1)k x k,又因为⎝⎛⎭⎫x -1x (1-x )n =x (1-x )n -1x (1-x )n 的展开式不含x 5的项, 所以x C 4n (-1)4x 4-1xC 6n (-1)6x 6=0, C 4n x 5-C 6n x 5=0,即C 4n =C 6n, 所以n =10.2.(2022·烟台模拟)在(x 2+2x +y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .60 B .30 C .15 D .12答案 A解析 由(x 2+2x +y )5=[(x 2+2x )+y ]5,由通项公式可得T k +1=C k 5(x 2+2x )5-k y k , ∵要求x 5y 2的系数,故k =2,此时(x 2+2x )3=x 3·(x +2)3,其对应x 5的系数为C 1321=6.∴x 5y 2的系数为C 25×6=60.思维升华 (1)求二项展开式中的特定项,一般是化简通项后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k +1,代回通项即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏. 跟踪训练1 (1)(2021·北京)⎝⎛⎭⎫x 3-1x 4的展开式中常数项为________. 答案 -4解析 ⎝⎛⎭⎫x 3-1x 4的展开式的通项 T k +1=C k 4(x 3)4-k ·⎝⎛⎭⎫-1x k =(-1)k C k 4x 12-4k ,令k =3得常数项为T 4=(-1)3C 34=-4. (2)(2022·攀枝花模拟)⎝⎛⎭⎫1-1x 2(1+2x )5的展开式中,含x 3的项的系数是( ) A .-112 B .-48 C .48 D .112答案 C解析 由⎝⎛⎭⎫1-1x 2(1+2x )5 =(1+2x )5-1x 2(1+2x )5,(1+2x )5展开式的通项公式为T k +1=C k 5(2x )k =2k C k 5x k,其中k =0,1,2,3,4,5, (1+2x )5展开式中含x 3项的系数为23C 35=80, 1x 2(1+2x )5展开式中含x 3项的系数为25C 55=32,所以⎝⎛⎭⎫1-1x 2(1+2x )5的展开式中,含x 3的项的系数为80-32=48.题型二 二项式系数与项的系数的问题 命题点1 二项式系数和与系数和 例3 (1)(多选)(2022·十堰调研)在⎝⎛⎭⎫3x -1x n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,则( )A .二项式系数和为64B .各项系数和为64C .常数项为-135D .常数项为135答案 ABD 解析 在⎝⎛⎭⎫3x -1x n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,令x =1,得各项系数和为2n ,二项式系数和为2n ,则2×2n =128,得n =6,即二项式系数和为64,各项系数和也为64,故A ,B 正确;⎝⎛⎭⎫3x -1x 6展开式的通项为T k +1=C k 6·(3x )6-k ·⎝⎛⎭⎫-1x k=36-626C (-1)3k k kkx-⋅⋅,令6-32k =0,得k =4,因此展开式中的常数项为T 5=C 46·(-1)4·32=135.故D 正确. (2)已知多项式(1-2x )+(1+x +x 2)3=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6,则a 1=______,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=______. 答案 1 23解析 根据题意,令x =1,则(1-2)+(1+1+1)3=a 0+a 1+a 2+…+a 6=26,令x =0,a 0=1+1=2, 由于(1-2x )+(1+x +x 2)3=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6,a 1为展开式中x 项的系数,考虑一次项系数a 1=-2+C 13C 22×12=1,所以a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=26-1-2=23. 命题点2 系数与二项式系数的最值问题例4 ⎝⎛⎭⎫y -2x 26的展开式中二项式系数最大的项为第________项,系数最大的项为________. 答案 4 240x -8y 2解析 因为⎝⎛⎭⎫y -2x 26的展开式中二项式系数的最大值为C 36,所以二项式系数最大的项为第4项.因为⎝⎛⎭⎫y -2x 26的展开式的通项为 T k +1=C k 6·y 6-k ⎝⎛⎭⎫-2x 2k =C k 6·(-2)k x -2k y 6-k , 所以展开式中系数最大的项为奇数项.展开式中第1,3,5,7项的系数分别为C 06·(-2)0,C 26·(-2)2,C 46·(-2)4,C 66·(-2)6,即1,60,240,64,所以展开式中系数最大的项为240x -8y 2. 教师备选1.(多选)已知(1-2x )2 022=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2 022x 2 022,下列命题中正确的是( ) A .展开式中所有项的二项式系数的和为22 022 B .展开式中所有奇次项系数的和为32 022-12C .展开式中所有偶次项系数的和为32 022+12D.a 12+a 222+a 323+…+a 2 02222 022=-1 答案 ACD解析 选项A ,由二项式知,C 02 022+C 12 022+…+C 2 0222 022=(1+1)2 022=22 022,A 正确; 当x =1时,有a 0+a 1+a 2+…+a 2 022=1, 当x =-1时,有a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 2 021+a 2 022=32 022, 选项B ,由上可得a 1+a 3+a 5+…+a 2 021=1-32 0222,B 错误; 选项C ,由上可得a 0+a 2+a 4+…+a 2 022=32 022+12,C 正确;选项D ,令x =12可得a 0+a 12+a 222+a 323+…+a 2 02222 022=0,又a 0=1,所以a 12+a 222+a 323+…+a 2 02222 022=-1,D 正确.2.(多选)已知(x -3)8=a 0+a 1(x -2)+a 2(x -2)2+…+a 8(x -2)8,则下列结论正确的有( ) A .a 0=1 B .a 6=-28C.a 12+a 222+…+a 828=-255256D .a 0+a 2+a 4+a 6+a 8=128 答案 ACD解析 对于A ,取x =2,得a 0=1,A 正确;对于B ,(x -3)8=[-1+(x -2)]8展开式中第7项为C 68(-1)2(x -2)6=28(x -2)6,即a 6=28,B 不正确; 对于C ,取x =52,得a 0+a 12+a 222+…+a 828=⎝⎛⎭⎫52-38=1256, 则a 12+a 222+…+a 828=1256-a 0=-255256, C 正确;对于D ,取x =3,得a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 7+a 8=0, 取x =1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 7+a 8=(-2)8=256, 两式相加得2(a 0+a 2+a 4+a 6+a 8)=256, 即a 0+a 2+a 4+a 6+a 8=128,D 正确. 思维升华 赋值法的应用一般地,对于多项式(a +bx )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,令g (x )=(a +bx )n ,则(a +bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1),(a +bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)+g (-1)],(a +bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)-g (-1)].跟踪训练2 (1)已知(2x -1)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则|a 0|+|a 1|+…+|a 5|等于( ) A .1 B .243 C .121 D .122答案 B 解析 令x =1,得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=1,①令x =-1,得-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a 0=-243,② ①+②,得2(a 4+a 2+a 0)=-242, 即a 4+a 2+a 0=-121.①-②,得2(a 5+a 3+a 1)=244, 即a 5+a 3+a 1=122.所以|a 0|+|a 1|+…+|a 5|=122+121=243.(2)(多选)(2022·济南模拟)在⎝⎛⎭⎫2x -x 6的展开式中,下列说法正确的是( ) A .常数项为160B .第4项的二项式系数最大C .第3项的系数最大D .所有项的系数和为64 答案 BC解析 展开式的通项为T k +1=C k 6·⎝⎛⎭⎫2x 6-k ·(-x )k =26-k (-1)k ·C k 6x 2k -6,由2k -6=0,得k =3,所以常数项为23(-1)3C 36=-160,A 错误;展开式共有7项,所以第4项二项式系数最大,B 正确;第3项的系数最大,C 正确;令x =1,得⎝⎛⎭⎫2x -x 6=1,所有项的系数和为1,D 错误. 题型三 二项式定理的综合应用例5 (1)设a ∈Z ,且0≤a ≤13,若512 021+a 能被13整除,则a 等于( ) A .0 B .1 C .11 D .12 答案 B解析 因为a ∈Z ,且0≤a ≤13, 所以512 021+a =(52-1)2 021+a ,=C 02 021522 021-C 12 021522 020+C 22 021522 019-…+C 2 0202 02152-C 2 0212 021+a , 因为512 021+a 能被13整除,结合选项, 所以-C 2 0212 021+a =-1+a 能被13整除, 所以a =1.(2)利用二项式定理计算1.056,则其结果精确到0.01的近似值是( )A .1.23B .1.24C .1.33D .1.34答案 D解析 1.056=(1+0.05)6=C 06+C 16×0.05+C 26×0.052+C 36×0.053+…+C 66×0.056=1+0.3+0.037 5+0.002 5+…+0.056≈1.34. 教师备选已知n 为满足S =n +C 127+C 227+C 327+…+C 2727(n ≥3)能被9整除的正数n 的最小值,则⎝⎛⎭⎫x -1x n 的展开式中,系数最大的项为( ) A .第6项 B .第7项C .第11项D .第6项和第7项答案 B解析 S =n +C 127+C 227+C 327+…+C 2727=n +(1+1)27-C 027 =(9-1)9+n -1=9(98-C 1997+…+C 89)+n -2,∵n ≥3,∴S 能被9整除的正数 n 的最小值是n -2=9, ∴n =11.∴⎝⎛⎭⎫x -1x 11的展开式中的通项公式为 T k +1=C k 11x 11-k ⎝⎛⎭⎫-1x k =(-1)k C k 11x11-2k , 只考虑k 为偶数的情况,由T 5=C 411x 3,T 7=C 611x -1,T 9=C 811x -5, 可知系数最大的项为第7项.思维升华 二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当n 不很大,|x |比较小时,(1+x )n ≈1+nx .跟踪训练3 (1)设n 为奇数,那么11n +C 1n ·11n -1+C 2n ·11n -2+…+C n -1n ·11-1除以13的余数是( )A .-3B .2C .10D .11答案 C解析 11n +C 1n ·11n -1+C 2n ·11n -2+…+C n -1n ·11-1=C 0n ·11n +C 1n ·11n -1+C 2n ·11n -2+…+C n -1n ·11+C n n -2=(11+1)n -2 =12n -2=(13-1)n -2=C 0n ·13n -C 1n ·13n -1+…+(-1)n -1·C n -1n·13+(-1)n ·C n n -2, 因为n 为奇数,则上式=C 0n ·13n -C 1n ·13n -1+…+(-1)n -1·C n -1n ·13-3=[C 0n ·13n -C 1n ·13n -1+…+(-1)n -1·C n -1n·13-13]+10,所以11n +C 1n ·11n -1+C 2n ·11n -2+…+C n -1n·11-1除以13的余数是10. (2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )A .0.940B .0.941C .0.942D .0.943答案 B解析 (0.99)6=(1-0.01)6=C 06×1-C 16×0.01+C 26×0.012-C 36×0.013+…+C 66×0.016 =1-0.06+0.001 5-0.000 02+…+0.016≈0.941.课时精练1.(2022·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x +1x 6的展开式中,含x 4项的系数为( ) A .4B .6C .10D .15答案 B解析 ⎝⎛⎭⎫x +1x 6的展开式通项为 T k +1=C k 6·x 6-k ·⎝⎛⎭⎫1x k =C k 6·x 6-2k , 令6-2k =4,解得k =1,因此,展开式中含x 4项的系数为C 16=6.2.(2022·武汉部分重点中学联考)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2-13x n 的展开式中,只有第7项的二项式系数最大,则展开式常数项是( )A.552B .-552C .-28D .28 答案 B解析 展开式中,只有第7项的二项式系数最大,可得展开式有13项,所以n =12, 展开式的通项为T k +1=C k 12⎝⎛⎭⎫x 212-k ·⎝⎛⎭⎪⎫-13x k =12-412-3121C (-1) 2k k kk x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,若为常数项,则12-43k =0, 所以k =9 ,得常数项为T 10=C 912(-1)9⎝⎛⎭⎫1212-9=-2208=-552. 3.(2022·邯郸模拟)(x 2-x )(1+x )6的展开式中x 3项的系数为( )A .-9B .9C .-21D .21答案 A解析 展开式中x 3项的系数为C 16-C 26=-9. 4.(2022·芜湖质检)已知(x -m )(x +2)5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6,其中m 为常数,若a 4=30,则a 0等于( )A .-32B .32C .64D .-64答案 A解析 由多项式乘法知,第一个因式中x 乘以(x +2)5展开式中的x 3项得一个x 4项,第一个因式中的常数-m 乘以(x +2)5展开式中的x 4项得另一个x 4项,两项合并同类项得系数即为a 4,所以a 4=C 25×22-m ×C 15×2=30,解得m =1,再令x =0,得a 0=-25=-32.5.(2022·大连模拟)(ax -y )(x +y )4的展开式中x 3y 2的系数为-2,则实数a 的值为( )A .-13B .-1C .1 D.13答案 D解析 化简得(ax -y )(x +y )4=ax ·(x +y )4-y ·(x +y )4,∵(x +y )4的展开式的通项公式T k +1=C k 4x4-k y k , 当k =2时,ax ·(x +y )4的展开式中x 3y 2的系数为C 24a =6a , 当k =1时,-y ·(x +y )4的展开式中x 3y 2的系数为-C 14=-4,综上,(ax -y )(x +y )4的展开式中x 3y 2的系数为6a -4=-2,∴a =13. 6.已知在(2x -1)n 的二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则C 1n +C 2n +C 3n +…+C n n的值为( ) A .28B .28-1C .27D .27-1答案 B 解析 设(2x -1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,且奇次项的系数和为A ,偶次项的系数和为B . 则A =a 1+a 3+a 5+…,B =a 0+a 2+a 4+a 6+….由已知得,B -A =38,令x =-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a n (-1)n =(-3)n ,即(a 0+a 2+a 4+a 6+…)-(a 1+a 3+a 5+a 7+…)=(-3)n ,即B -A =(-3)n ,∴(-3)n =38=(-3)8,∴n =8,由二项式系数性质可得C 1n +C 2n +C 3n +…+C n n =2n -C 0n =28-1.7.(多选)(2022·邯郸模拟)已知⎝⎛⎭⎫5x -3x n 的展开式中,二项式系数之和为64,下列说法正确的是( )A .2,n,10成等差数列B .各项系数之和为64C .展开式中二项式系数最大的项是第3项D .展开式中第5项为常数项答案 ABD解析 由⎝⎛⎭⎫5x -3x n 的二项式系数之和为2n =64, 得n =6,得2,6,10成等差数列,A 正确;令x =1,⎝⎛⎭⎫5x -3x 6=26=64, 则⎝⎛⎭⎫5x -3x 6的各项系数之和为64,B 正确; ⎝⎛⎭⎫5x -3x 6的展开式共有7项,则二项式系数最大的项是第4项,C 不正确; ⎝⎛⎭⎫5x -3x 6的展开式中的第5项为C 46(5x )2⎝⎛⎭⎫-3x 4=15×25×81为常数项,D 正确. 8.(多选)(2022·烟台模拟)已知(2-3x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6,则下列选项正确的是( )A .a 3=-360B .(a 0+a 2+a 4+a 6)2-(a 1+a 3+a 5)2=1C .a 1+a 2+…+a 6=(2-3)6D .展开式中系数最大的为a 2答案 BD解析 (2-3x )6的展开式通项为T k +1=C k 6·26-k ·(-3x )k =C k 6·(-3)k ·26-k ·x k , 对于A ,令k =3,则a 3=C 36×23×(-3)3=-4803,A 错误;对于B ,令x =1,则a 0+a 1+…+a 6=(2-3)6;令x =-1,则a 0-a 1+a 2-…+a 6=(2+3)6,∴(a 0+a 2+a 4+a 6)2-(a 1+a 3+a 5)2=(a 0+a 1+a 2+…+a 6)(a 0-a 1+a 2-…+a 6)=[(2-3)×(2+3)]6=1,B 正确;对于C ,令x =0,得a 0=26,∴a 1+a 2+…+a 6=(2-3)6-26,C 错误;对于D ,∵a 0,a 2,a 4,a 6为正数,a 1,a 3,a 5为负数,又a 0=26=64,a 2=C 26×24×3=720,a 4=C 46×22×32=540,a 6=33=27,∴展开式中系数最大的为a 2,D 正确.9.(2021·天津)在⎝⎛⎭⎫2x 3+1x 6的展开式中,x 6的系数是________. 答案 160解析 ⎝⎛⎭⎫2x 3+1x 6的展开式的通项为 T k +1=C k 6(2x 3)6-k ·⎝⎛⎭⎫1x k =26-k C k 6·x 18-4k , 令18-4k =6,解得k =3,所以x 6的系数是23C 36=160.10.(2022·济宁模拟)已知⎝⎛⎭⎫x -2x n 的展开式中各项的二项式系数的和为128,则这个展开式中x 3项的系数是________.答案 84解析 依题意,2n =128,解得n =7,⎝⎛⎭⎫x -2x 7的展开式的通项为 T k +1=C k 7x 7-k ·⎝⎛⎭⎫-2x k=(-2)k C k 7x7-2k (k ∈N ,k ≤7), 由7-2k =3得k =2,所以所求展开式中x 3项的系数是(-2)2C 27=4×7×62×1=84. 11.(2022·温州模拟)若⎝⎛⎭⎫x +2x n 的展开式中共有7项,则常数项为________(用数字作答). 答案 240解析 因为⎝⎛⎭⎫x +2x n 的展开式中共有7项, 所以n +1=7,可得n =6,所以⎝⎛⎭⎫x +2x 6展开式的通项为 T k +1=1626C 2k kk k x x --=3626C 2k kk x -令6-32k =0,可得k =4, 所以常数项为C 4624=15×16=240.12.(2021·浙江)已知多项式(x -1)3+(x +1)4=x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4,则a 1=________,a 2+a 3+a 4=________.答案 5 10解析 (x -1)3展开式的通项T r +1=C r 3x 3-r ·(-1)r ,(x +1)4展开式的通项T k +1=C k 4x 4-k ,则a 1=C 03+C 14=1+4=5;a 2=C 13(-1)1+C 24=3;a 3=C 23(-1)2+C 34=7;a 4=C 33(-1)3+C 44=0.所以a 2+a 3+a 4=3+7+0=10.13.已知n 为正整数,若1.1510∈[n ,n +1),则n 的值为( )A .2B .3C .4D .5答案 C解析 因为1.155=⎝⎛⎭⎫1+3205=C 05·⎝⎛⎭⎫3200+C 15·⎝⎛⎭⎫3201+C 25·⎝⎛⎭⎫3202+C 35·⎝⎛⎭⎫3203+C 45·⎝⎛⎭⎫3204+C 55·⎝⎛⎭⎫3205=1+34+940+27800+⎝⎛⎭⎫5×320+9400⎝⎛⎭⎫3203 =2+7800+309400×⎝⎛⎭⎫3203, 而2<2+7800+309400×⎝⎛⎭⎫3203<2+7800+278 000<2+7800+308 000=2+180<2.1, 所以2<1.155<2.1,因此4<1.1510<4.41,又n 为正整数,1.1510∈[n ,n +1),所以n =4.14.(2022·浙江Z20名校联盟联考)设(x -1)(2+x )3=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则a 1=________,2a 2+3a 3+4a 4=________.答案 -4 31解析 因为x ·C 03·23·x 0-C 13·22·x 1=-4x , 所以a 1=-4,对所给等式,两边对x 求导,可得(2+x )3+3(x -1)(2+x )2=a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3,令x =1,得27=a 1+2a 2+3a 3+4a 4,所以2a 2+3a 3+4a 4=31.15.已知S n 是数列{a n }的前n 项和,若(1-2x )2 022=b 0+b 1x +b 2x 2+…+b 2 022x 2 022,数列{a n }的首项a 1=b 12+b 222+…+b 2 02222 022,a n +1=S n ·S n +1,则S 2 022等于( ) A .-12 022B.12 022 C .2 022D .-2 022答案 A解析 令x =12,得⎝⎛⎭⎫1-2×12 2 022=b 0+b 12+b 222+…+b 2 02222 022=0. 又因为b 0=1,所以a 1=b 12+b 222+…+b 2 02222 022=-1. 由a n +1=S n S n +1=S n +1-S n ,得S n +1-S nS n S n +1=1S n -1S n +1=1, 所以1S n +1-1S n=-1, 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1=-1,公差为-1的等差数列, 所以1S n=-1+(n -1)·(-1)=-n , 所以S n =-1n, 所以S 2 022=-12 022. 16.(多选)(2022·南京模拟)已知n ∈N *,n ≥2,p ,q >0,p +q =1,设f (k )=C k 2n p k q 2n -k ,其中k ∈N ,k ≤2n ,则( )A.∑k =02n f (k )=1B.∑k =02n kf (k )=2npq C .若np =4,则f (k )≤f (8)D.∑k =0n f (2k )<12<∑k =1n f (2k -1) 答案 AC解析 ∑k =02n f (k )=∑k =02nC k 2n p k q2n -k =(q +p )2n =1, A 正确;k C k 2n =k (2n )!k !(2n -k )!=2n ×(2n -1)!(k -1)![(2n -1)-(k -1)]!=2n C k -12n -1,所以∑k =02n kf (k )=∑k =12nk C k 2n p k q2n -k =∑k =12n2n C k -12n -1p k q2n -k =2npq ∑k =12nC k -12n -1pk -1q 2n -1-k =2np ∑k =02n -1C k 2n -1p k q2n -1-k =2np (q +p )2n -1=2np ≠2npq (除非p =0),B 错;设f (m )是f (k )中最大项,⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )≥f (m -1),f (m )≥f (m +1), 即⎩⎪⎨⎪⎧C m 2n p m q 2n -m ≥C m -12n p m -1q 2n -m +1,C m 2n p m q 2n -m ≥C m +12n p m +1q 2n -m -1, 注意到C m 2n C m -12n =(2n )!m !(2n -m )!(2n )!(m -1)!(2n -m +1)!=2n -m +1m, C m 2n C m +12n=m +12n -m , 又np =4,不等式组可解为8-q ≤m ≤8+p ,所以m =8,所以f (k )≤f (8),C 正确;例如n =2时,p =13,q =23,∑k =0n f (2k )=⎝⎛⎭⎫134+6⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232+⎝⎛⎭⎫234=4181, ∑k =1n f (2k -1)=4081,D 错误.。

二项式系数

二项式系数

第二节 二项式定理1.二项式定理:(1)(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C r n a n -r b r +…+C n n b n .(2)通项公式:T r +1=C r n a n -r b r (r =0,1,2,…,n )为展开式第r +1项.(3)展开式的特点:共有n +1项;第r +1项的二项式系数为C r n ;2.二项式系数的性质:(1) C r n =C n -r n .(2)若n 为偶数,中间一项n 2+1的二项式系数最大;若n 奇数,中间两项n +12、n +12+1的二项式系数相等并且最大.(3) C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n .(4) C 1n +C 3n +C 5n ……=C 0n +C 2n +C 4n+……=2n -1. 3.二项式中的最值问题求(a +bx )n 展开式中系数最大的项,通常用待定系数法,设展开式各项系数分别为A 1,A 2,…,A n +1设第r +1项系数最大,则⎩⎪⎨⎪⎧A r +1≥A r ,A r +1≥A r +2.4.二项式定理的主要应用(1)赋值求值;(2)证明某些整除问题或求余数;(3)证明有关等式与不等式;(4)进行近似计算.例1.(1)求1231393n n n n n n C C C C -++++L 的值。

(2)求81-展开式中含x 项的系数为? (3)求81-展开式中所有x 的有理项。

练习1:(1+x 3)(x +1x 2)6展开式中的常数项为_____. 例2.已知(x +2x 2)n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.(1)求展开式中各项系数和及二项式系数和;(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.例3.已知(3x -1)7=a 0x 7+a 1x 6+…+a 6x +a 7.(1)求a 0+a 1+a 2+…+a 7的值;(2)求|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|的值;(3)求a 1+a 3+a 5+a 7的值.解析(1)令x=1,得a0+a1…+a7=(3×1-1)7=27=128.(2)易知a1,a3,a5,a7为负值,|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a0-a1+a2-…-a7=-(-a0+a1-a2+…+a7)-[3×(-1)-1]7=47.(3)令f(x)=(3x-1)7,则f(1)=a0+a1+a2+a3+…+a7,f(-1)=-a0+a1-a2+…+a7.∴2(a1+a3+a5+a7)=f(1)+f(-1)=27-47.∴a1+a3+a5+a7=26-213=-8128.题型五整除与余数问题例5(1)求证:1+2+22+…+25n-1能被31整除(n∈N*);(2)求S=C127+C227+…+C2727除以9的余数.分析将已知的式子适当整理化简,再根据题目的要求选择合适的解法.解析(1)证明:∵1+2+22+…+25n-1=25n-12-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=C0n×31n+C1n×31n-2+…+C n-1×31n+C n n-1=31(C0n×31n-1+C1n×31n-1+…+),C n-1n显然上式括号内为整数.∴原式能被31整除.(2)S=C127+C227+…+C2727=227-1=89-1=(9-1)9-1=C09×99-C19×98+…+C89×9-C99-1=9(C09×98-C19×97+…+C89)-2=9(C09×98-C19×97+…+C89-1)+7.显然上式括号内的数是正整数.故S被9除的余数为7.点评有关整除性问题是二项式定理的应用之一,其关键在于如何把问题转化为一个二项式,注意结合二项式的展开式和整除的有关性质解决问题.变式迁移5求1090除以7的余数.解析解法一:1090=10045=(98+2)45它的展开式中除末项外,均能被7整除,其末项为:245=815=(7+1)15其展开式除末项外,均能被7整除,末项为1,所以1090除以7余1.解法二:1090=100030=(143×7-1)30.它的展开式中除末项外,均能被7整除,其末项为1,故余数为1.题型六 证明不等式例6求证:2≤(1+1n )n <3(n ∈N *).证明 当n =1时,(1+1n )n =2.当n ≥2时,(1+1n )n =1+C 1n ·1n +C 2n (1n )2+…+C n n (1n)n =1+1+C 2n ·1n 2+…+C n n ·1n n >2. 又C k n ·1n k =n (n -1)…(n -k +1)k !n k ≤1k !, 所以(1+1n )n ≤2+12!+13!+…+1n !<2+11·2+12·3+…+1(n -1)n=2+(1-12)+(12-13)+…+(1n-1-1n)=3-1n<3,综上有2≤(1+1n)n<3.点评此不等式的证明中,利用二项式定理,将二项式展开,再采用放缩法和其他有关知识,将不等式证明到底.变式迁移6求证:3n>(n+2)·2n-1(n∈N*,且n>2).证明因为n∈N*,且n>2.所以3n=(2+1)n展开至少有四项.(2+1)n=2n+C1n·2n-1+…+C n-1n·2+1 ≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1所以3n>(n+2)·2n-1.方法路路通1.有些三项式展开式问题可以通过变形二项式问题加以解决;有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏.2.对于二项式系数问题首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.3.近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项.4.用二项式定理证明整除性问题,一般将被除式变为有关除式的二项式再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.5.利用二项式定理证明不等式时,设计将待证的不等式用二项式定理展开成较简单的表达式,对高次可考虑用放缩法处理. 知 能 层 层 练1.(2010·江西卷)(1-x )10展开式中x 3项的系数为( )A .-720B .720C .120D .-1202.若n ∈N *且n 为奇数,则6n +C 1n 6n -1+C 2n6n -2+…+C n -1n 6-1被8除所得的余数是()A .0B .2C .5D .33.若(1-2x )2009=a 0+a 1x +…+a 2009x 2009(x ∈R),则a 12+a 222+…+a 200922009的值为( ) A .2 B .0 C .-1 D .-24.(x-y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________.5.已知(x-2x2)n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10 1.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含x 32的项;(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.解析由题意知,第五项系数为C4n·(-2)4,第三项的系数为C2n·(-2)2,则有C4n·(-2)4C2n(-2)2=101,解得n=8.(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.(2)通项公式T r+1=C r8·(x)8-r·(-2x2)r=C r8·(-2)r·x8-r2-2r,令8-r2-2r=32,则r =1,故展开式中含x 32的项为T 2=-16x 32. (3)设展开式中的第r 项,第r +1项,第r +2项的系数绝对值分别为C r -18·2r -1,C r 8·2r ,C r +18·2r +1,若第r +1项的系数绝对值最大,则⎩⎪⎨⎪⎧C r -18·2r -1≤C r 8·2r ,C r +18·2r +1≤C r 8·2r ,解得5≤r ≤6, ∴系数最大的项为T 7=1792·1x 11. 由n =8知第5项二项式系数最大,此时T 5=1120·1x 6.。

二项式系数关系

二项式系数关系

二项式系数关系
二项式系数是数学中一个重要的概念,它表示的是从n个物件中,不分先后地选取k个(k为正整数)的方法总数,也叫做组合数。

在二项式定理中,二项式系数有一个重要的关系式,即C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1),这一关系可以用来计算任意二项式系数,而无需重新计算阶乘。

此外,二项式系数还有一个重要的性质,即二项式定理,表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) a^(n-k) b^k,其中Σ表示求和运算,k的取值范围为0到n。

二项式系数的应用非常广泛,不仅在代数中用于多项式的展开,在组合数学、概率论等领域也有重要应用。

此外,二项式系数在计算机科学、统计学等领域也有应用。

二项式定理及二项式系数的性质应用

二项式定理及二项式系数的性质应用

累加性质
01
二项式系数满足累加性质,即对 于任意非负整数$n$和$k$($0 leq k leq n-1$),有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明,在二项式展开 式中,相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质,可以推导出二 项式系数的其他性质,如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数,记作$C_n^k$,表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$,其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中,多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中,多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中,多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$,可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式, 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中,每一项都是$a$和$b$的乘积,且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式,可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性,即对于任意 非负整数$n$和$k$($0 leq k leq n$),有$C_n^k = C_n^{n-k}$。

二项式定理(通项公式)

二项式定理(通项公式)

二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项,其中k n C 叫做二项式系数,1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.(请同学完成下列二项展开式)0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-,1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1,则可以得到 012n n n n n C C C +++=,即二项式系数和等于2n;偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即m n mn n C C -=.(2)二项式系数kn C 增减性与最大值: 当12n k +<时,二项式系数是递增的;当12n k +≥时,二项式系数是递减的. 当n 是偶数时,中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项12n nC -和12n nC+相等,且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质:f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式:例1.求4)13(xx +的展开式;【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中,第6项为常数项.(1) 求n ; (2)求含2x 的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求:(1)展开式中含x 的一次幂的项;(2)展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992,求21(2)nx x-的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10:1.(1)求展开式中含32x 的项;(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4.72)2)(1-+x x (的展开式中,3x 项的系数是 ;5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5(04改编)3)21(-+xx 的展开式中,常数项是 ;6、求中间项例6求(103)1xx -的展开式的中间项;例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项;8、求系数最大或最小项(1) 特殊的系数最大或最小问题例8(00)在二项式11)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数是 ;(2) 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项;(3) 系数绝对值最大的项例10在(7)y x -的展开式中,系数绝对值最大项是 ;9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数,二项式系数和例11.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+, 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ;【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-, 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ;【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-, 则=++++6210...a a a a ;【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ;。

二项式定理知识点总结

二项式定理知识点总结

二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理:二项式定理是一个重要的恒等式,它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。

具体地,对于任意正整数n和实数a,b,有以下恒等式成立:a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。

+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中,C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数,也就是n个元素中取k个元素的方案数。

右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式,其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。

二项式定理的理解:1)二项展开式有n+1项。

2)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1到0;字母b按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1到n。

3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数a,b,等式都成立。

通过对a,b取不同的特殊值,可为某些问题的解决带来方便。

例如,当a=1,b=x时,有以下恒等式成立:1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。

+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4)要注意二项式定理的双向功能:一方面可将二项式(a+b)展开,得到一个多项式;另一方面,也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。

二、二项展开式的通项公式:二项展开式的通项公式是指,二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。

具体地,对于任意正整数n和实数a,b,有以下通项公式成立:T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中,T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。

通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心。

它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广泛应用。

三、二项展开式系数的性质:在二项式展开式中,二项式系数具有以下性质:①对称性:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即C(n,0) = C(n,n)。

第10章 第3节 二项式定理

第10章 第3节 二项式定理
[基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)Cknan-kbk 是(a+b)n 的展开式中的第 k 项.( ) (2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a+b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关.( ) (4) 若 (3x - 1)7 = a7x7 + a6x6 + … + a1x + a0 , 则 a7 + a6 + … + a1 的 值 为 128.( )
大各二项式系数和 (1)(a+b)n 展开式的各二项式系数和:C0n+C1n+C2n+…+Cnn= 2n . (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 C0n+C2n+C4n +…=C1n+C3n+C5n+…= 2n-1 .
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-5 [由题知,二项式展开式为 C04x-1x4·(-1)0+C14x-1x3·(-1)+ C24x-1x2·(-1)2+C34x-1x·(-1)3+C44x-1x0·(-1)4,则常数项为 C04·C24-C24·C12+ C44=6-12+1=-5.]
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10 243 [x2的系数为 C15×2=10;令 x=1,得各项系数之和为(1+2)5=243.]
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(对应学生用书第 173 页) 二项展开式中的特定项或特定项的系数
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◎角度 1 求展开式中的某一项 (2018·合肥二测)在x-1x-14的展开式中,常数项为________.
◎角度 2 求展开式中的项的系数或二项式系数
(2017·全国卷Ⅰ)1+x12(1+x)6 展开式中 x2 的系数为(

二项式定理

二项式定理

2
4
10-2r ∈Z, 3 (3)根据通项公式,由题意 0≤r≤10, r∈N. 10-2r 3 令 =k(k∈Z),则 10-2r=3k,即 r=5- k, 3 2 ∵r∈N,∴k 应为偶数. ∴k 可取 2,0,-2,即 r 可能取 2,5,8. 所以第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为 15 1 12 2 2 5 8 ,C10- 8x-2. C10(- ) x ,C10 - 2
nr
[自主解答] (1)通项为
1 n 2 r r =Cn-2r x 3 ,
Tr+1=Cr x n
3
1 - r x 2
r 3
n-2r 因为第 6 项为常数项,所以 r=5 时,有 =0, 3 即 n=10. n-2r 1 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)= ×(10-6)=2, 3 2 2 ∴所求的系数为 1 2 45 2 C10 - = .
⇒5≤r≤6.∴r=5 或 r=6.
∵r∈{0,1,2,…,8}. ∴系数最大的项为 T6=1792x5,T7=1792x6.
6. C n 2 C n 4 C n 2 C n 等于(
0 1 2 n n
A)
3 1
n
(A) 3
n
(B) 2 3
2 2
n
(C)
3 3
2
n
1
n n
0 4 Cn+C2 +Cn+… n =
2n-1 .
[思考探究2] 二项式系数与项的系数有什么区别? 提示:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项 式系数是指 ,它只与各项的项数有关,而与a,
b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的部分,它不 仅与各项的二项式系数有关,而且也与a,b的值有关.

8.3二项式定理(教师版)

8.3二项式定理(教师版)

科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 8.3二项式定理考纲定位 掌握二项式定理及其性质;会用二项式定理的知识解决系数和、常数项等问题.【考点整合】1、二项式定理:()n a b += ;通项1k T += .2、二项式系数的性质:(1)对称性:(2)增减性与最大值:(3)各二项式系数的和:012...n n n n nC C C C ++++= ; 当n 为偶数时,024...n n n n nC C C C ++++= = ; 当n 为奇数时,0241...n n n n nC C C C -++++= = ; (4)思考:二项式系数与项的系数一样吗?如果不一样,则区别在哪儿?【典型例题】一、利用二项式的通项公式求项数和特殊项例1、(1)已知2()n x x -的展开式中所有项的二项式系数之和为64,则常数项为( )A.80B.160C.-80D.-160(2)1(2)n x x -的展开式中含有21x 项的系数与含41x的系数之比为-5,则n= ;并求含2x 项的二项式系数、系数分别为 和 .(请用数字作答)二、有关二项展开式的系数问题例2、设5250125(21)...x a a x a x a x -=++++,求:(1)012345a a a a a a +++++;(2)012345a a a a a a -+-+-;(3)135a a a ++;(4)01234a a a a a ++++.【高考真题】1、(2012 安徽)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是( )D A.-3 B.-2 C.2 D.3 2、(2012 天津)在251(2)x x -的二项展开式中,x 的系数为( )DA.10B.-10C.40D.-40 3、(2012 湖北)设a Z ∈,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a =( )D A.0 B.1 C.11 D.124、(2012 重庆)81()2x x+的展开式中常数项为( )BA.3516B.358C.354D.105 5、(2011 新课标)51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )D A.-40 B.-20 C.20 D.406、(2011 福建)5(21)x +的展开式中,2x 的系数等于( )BA.80B.40C.20D.107、(2011 天津)在62()2x x-的二项展开式中2x 的系数为( )C A.154- B.154 C.38- D.388、(2010 陕西)5()ax x +的展开式中3x 的系数为10,则实数a 等于( )D A.-1 B.12C.1D.2 9、(2010 江西)8(2)x -展开式中不含4x 项的系数的和为( )BA.-1B.0C.1D.210、(2012 湖南)61(2)x x -的二项展开式中的常数项为 .(用数字作答)-16011、(2010 四川)631(2)x -的展开式中的第四项是 .160x - 【课后反思】。

二项式系数

二项式系数

二项式系数第二节二项式定理1、二项式定理:(1)(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn。

(2)通项公式:Tr+1=Can-rbr (r=0,1,2,…,n)为展开式第r+1项。

(3)展开式的特点:共有n+1项;第r+1项的二项式系数为C;2、二项式系数的性质:(1)C=C。

(2)若n为偶数,中间一项+1的二项式系数最大;若n奇数,中间两项、+1的二项式系数相等并且最大.(3)C+C+C+…+C=2n。

(4)C+C+C。

=C+C+C+。

=2n-1、3、二项式中的最值问题求(a+b)n展开式中系数最大的项,通常用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1设第r+1项系数最大,则4、二项式定理的主要应用(1)赋值求值;(2)证明一些整除问题或求余数;(3)证明有关等式与不等式;(4)进行近似计算。

例1、(1)求的值。

(2)求展开式中含项的系数为?(3)求展开式中所有有理项。

练习1:(1+3)(+)6展开式中的常数项为_____.例2、已知(+)n(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1、(1)求展开式中各项系数和及二项式系数和;(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.例3、已知(3-1)7=a07+a16+…+a6+a7。

(1)求a0+a1+a2+…+a7的值;(2)求,a0,+,a1,+,a2,+…+,a7,的值;(3)求a1+a3+a5+a7的值.解析(1)令=1,得a0+a1…+a7=(31-1)7=27=128。

(2)易知a1,a3,a5,a7为负值,,a0,+,a1,+,a2,+…+,a7,=a0-a1+a2-…-a7=-(-a0+a1-a2+…+a7)-[3(-1)-1]7=47。

(3)令f()=(3-1)7,则f(1)=a0+a1+a2+a3+…+a7,f(-1)=-a0+a1-a2+…+a7。

∴2(a1+a3+a5+a7)=f(1)+f(-1)=27-47。

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再见!
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芙见二人关系融洽,心生欢喜便禀告老太爷给抬了侧室后,掉子也与平时的贤良淑德丝毫不搭边了。恃宠生娇,前些日子还逼 死了与她一同进府服侍纪雪舟的通房丫头碧儿,这才被老太爷关起来,近日才放出来,听到纪雪舟患病的消息这不就匆匆赶来 惺惺作态了。“公子,奴家这几日可是想你想的紧,您怎么就病了呢?这是让奴家好是心疼。”芸娘一边说,一边哭的梨花带 雨,这让没见过这种场景的庄奕欢心中腓腹,这女的变脸可真是快的。还好身边的丫鬟玉瑶提醒这是纪雪舟的小妾,庄奕欢才 又重新打量了一番芸娘。红玫瑰香紧身泡泡袖上衣,下罩翠绿烟纱镂花裙,腰间用金丝软烟罗系成一个大大的蝴蝶结,鬓发低 垂斜插碧玉瓒凤钗,显的体态修长妖妖艳艳勾人魂魄,一看就是会狐媚人的主,庄奕欢对此人就是有好感不起来。“这位姑娘, 雪舟已经睡下了,此刻不便打扰,还请你先回去,等他醒了你再来吧。”“你又是谁,凭什么管我?我可是公子的芸姨娘,你 哪房的丫头,竟敢跟我这么说话,等我回了公子,一定让他剥了你的皮。”“芸姨娘,这位是雪城圣女,庄家大60庄奕欢。” 玉瑶给芸娘介绍着眼前的人,原本芸娘的嚣张气焰也压下去不少,不过对于这种自我优越感极强的人,并不会让她收敛多少。 “呵,我当是谁呢,不就是这清心寡欲每天在圣坛受人顶礼膜拜的圣女吗?我当有多圣洁,不过也是如此世俗之人。一个未出 嫁的女人呆在男人房间里没日没夜的,指不定做了什么见不得人的事情,我倒是要看看,所谓的圣女能有多高尚。”“这位姨 娘,你恐怕不知道雪城有个规矩吧?历届的雪城圣女都是要与城主府继承人成婚的,今日且不论你不分尊卑,就单凭你出言不 逊,你可知道,我现在就能要了你的命?”“你敢乱用私刑,你还没有嫁过来呢就敢这么嚣张,你倒是有能耐,不过怎么办, 公子是不会休了我的。”庄奕欢一声冷笑,似乎并不把芸娘的话往心里去,反倒走到芸娘面前伏在她耳边低声说道。 “公子 是不会休你,但我可不能保证你能活着等雪舟醒来。你觉得我会给你这个机会吗?”“你„„”芸娘咬着自己的嘴唇,手里使 劲攥着自己的手帕,眼睛里露出满是惊恐的表情。望着庄奕欢带着玉瑶离开的背影,还在出门前嘱咐守着门口的家丁,一只苍 蝇都不能放进去,芸娘的心里慢慢的慌了。 第024章 最怕人心乱纪雪芙因称病不见外人,所以无影自然是不能送纪雪芙从城 主府正门进,便想了个办法,让纪雪芙从侧门后旁边的一处矮墙上翻了回去。确认纪雪芙无碍后,这才折返回天香楼候命。纪 雪芙返回自己居住的降雪轩,木月早已经准备好,只等60回来装病,庄奕欢提前得到消息知道纪雪芙今日回来,这才有了多日 来探病的一出,演给府中众人
4
n 12 2
• 是常数,所以 • (2)Tr+1= c •
r n
n 12 则n=12. 0 2
x
2 r r 2 cn x x
r
n 3 r 2
2 c x
r r 12
n 3 r 2
12 3r Z且 ∴ 2
r=0,1, …,12 …,12
• 即
3r 6 Z 且r=0,1, 2
• ∴r=0,2,6,8,10,12, ∴有理项共有7项
• 练习: 4 5 4 • (3) x 1 x 5 展开式中x 的 系数是_______ 2 5 • (4)(x +3x+2) 展开式中x的 系数是_______
• 例3、已知(1-2x)7= a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则

2 x x
n
• 说明:考查二项式通项,注意理 解有理项,常数项的概念. • 方法 :本题属于求二项式的指 定项一类重要问题,它的解法 主要是:设第r+1项为所求指定 项,利用通项公式列出方程,解 方程,利用方程的思想解题.
• 解: (1)T5=
c
4 n
x
nr
n4
2 2 4 cn 2 x x
• 2、在(2- x )9的展开式中,是它 的第______ 项 ,这项的系数是 ___________ 这项的二项式系数 是 _______________ • 3、设s= (x- 1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1, 则 s 等于( C ) A.(x-2) 4 B. (x-1) 4 C. x 4 D.(x+1)4
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________
• 说明:二项展开式是一个恒等 式,因此对特殊值仍然成立.这 是求二项式系数和的基础.常 采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要 的方法.
• 略解: 令x=0, 则a0=1 令x=1, 则a0+a1+ … +a7= -1 ∴ a1+ a2+… +a7= -2 • 其它类似可得.
x • 4、在 展开式 中的常数项是__________ n1 n1 n n 2 2 • 5、2c1 …+ 2 cn 2 cn n 2 cn =__________________ 10 • 6、(1.01) =_______(保留 到小数点后三位) 1
3
x
• 引申: • (1) a2+a3+… +a7=_________ • (2) a0-a1+a2-a3+… -a7 =_________ • (3)a0+a2+a4+a6 =_________
• 练习: • (5)若已知 200 (1+2x) = a0+ a1(x-1) + 2 200 a2(x-1) + …+ a200(x-1) 求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
• 一、教学目标: • 1、知识目标:掌握二项式定理及有关概 念,通项公式,二项式系数的性质; • 2、思想方法目标:使学生领悟并掌握方 程的思想方法,赋值法,构造法,并通 过变式提高学生的应变能力,创造能力 及逻辑思维能力。 • 3、情感目标:通过学生的主体活动,营 造一种愉悦的情境,使学生自始至终处 于积极思考的氛围中,不断获得成功的 体验,从而对自己的数学学习充满信心。
二项式定理 及其系数的性质
• 一、本节教材地位及命题趋势: • 高考对本单元的特点是基础和 全面,每年对本单元知识点的考 查没有遗漏。估计每年一道排列 组合题,一道二项式定理题是不 会变的,试题难度仍然回维持在 较易到中等的程度。二项式定理 的试题是多年来最缺少变化的试 题,今后也很难有什么大的改变。
Hale Waihona Puke 10• Ⅱ、例题分析: • 例1、 • (1)在(1+x)10展开式中x5的 系数是_______
• (2)已知 的 展开式中x3的系数为,则常数 a的值是_______
a x x 2
9
• 说明:这些问题属基础题,运用通 项公式有时也有变化的,但其实质 还是通项公式,应熟练掌握. • 方法:在解有关二项式的问题时, 如果已知a,b,n,r,Tr+1这五个量中 的几个或它们的某些关系,求另外 几个,一般是利用通项公式把问题 转化为解方程或解不等式.
3r 9 3 2
• 练习: • (1)在(1-x3)(1+x)10的展开式 5 中x 的系数是( ) A.-297 B.-252 C. 297 D. 207 9 4 2 3 • (2)(x+y+z) 中含x y z 的项 的系数是_______________
• 例2、已知 的展开式中第五项是常数, (1)求n; (2)展开式中共有多少有理项?
• 解(1) c • (2)Tr+1=
a c x
r 9 9r
5 10
252
r r 2
• 依题意 ,r=8 含的项为 4 1 8 9 第9项,其系数为 18 c9 a 4 2 9 a 9 即 得 a=4.
16 4
3r x 1 r 9 r 2 9 1 c9 a x 2 2
• 三、复习策略: • 本节知识的学习或复习要 重视基础,要按教学大纲 和考试说明的要求弄懂遇 按理,适当掌握一些方法, 会分析。
• 一、教学过程: • Ⅰ、课前准备 • (1)填写公式:(a+b)n的二 项展开式 是 ___________________________ • 通项公式是 _______________ ; • (a-b)n的二项展开式是 _______________________ • (1+i)10=____________________
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