格点算面积

（5,3），（5,4）…（6,1），（6,2），（6,3），（6,4）， …的格点多边
形
NL
13 23 33 ……
S值 当N等于 当N等于0时 在N=0基 现S与N、L
0时S值 S与L之间关 础之上增 之间的关系
系式
加多少
结论
3
1
2
Байду номын сангаас
2
S L2 2
1
S L 2 1 2
5
1
2
2
S L2 2
2
S L22 2
…… …
…
…
结论
S L2N 2
N L S值 当N等于0 当N等于0 在N=0基础之 现S与N、L 时S与N之 时S值 上增加多少 之间的关系
间关系式
结论
15
5
S L2
3
2
2
2
25
7 S L2
3
2
2
2
35
9 S L2
3
2
2
2
…… …
…
1
S L 2 1 2
2
S L22 2
S L2N
2
3
S L23 2
数格点算面积
福泉四中：刘胜举
第二阶段 课内活动
一、画一画 1、你能画出内部没有格点的格点多边形吗？
第二阶段 课内活动
2、你能画出内部有格点的格点多边形吗？
结论：格点多边形的内部可以有格点也可以无格点，说明要讨论格 点与面积的关系要分成两类来进行讨论。我们设格点多边形的面积 为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L。第一类为 内部无格点（N=0），第二类为内部有格点（N≠0）
第一阶段：课前准备 知识预备：格点多边形
格点多边形：方格网中的每个
交点叫做格点（如右图中的点A、 B、C、D、E…），每一个小方格
C
的边长是1个单位长度即是每个小
正方形的面积为1如右图阴影正方
形.
如果一个多边形的所有顶点
D
都在格点上，那么这个多边形叫做
格点多边形(如图中的多边形
ABCDE)
B A
E
二、课前回顾(个人展示)
S L2N 2
7
1
2
2
S L2 2
3
S L23 2
…
…
…
NL
S 值
当N等于0 时S与L之 间关系式
当N等 在N=0基础之 于0时S 上增加多少
值
现S与N、L 之间的关系
14
4 S L2
2
2
2
2
1
S L2N 2
24 6
2
S L2 2
2 2
2
S L2N 2
34 8
S L2
2
2
2
2
3
S L2N 2
…
讨论结果
当N=0时S与L之间 的关系式为：
S L -2 1 L 1 L 1
22
2
2、当N≠0时，为了找到和前面N=0之间的联系，我们应该控
制L变N（由于个人能力问题分为三、四个大组探讨）
第二阶段 课内活动
①画（边上格点数，内部格点数）分别为（3，1），（3，2），（3，3），
（3，4）…（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）， … （5,1），（5,2），
图一
图二
七、拓展研究
五、拓展研究 1、如图，如果每相邻的四个格点构成的长方形的面积为1， 那么还能用“皮克公式”来计算格点多边形的面积吗？
2、如图，如果每相邻的三个点构成的等边三角形的面积为1，那么还能用 “皮克公式”来计算格点多边形的面积吗？
…
N L S值 当N等于 当N等于 在N=0基础 现S与N、L
0时S与 0时S值 之上增加多 之间的关系
N之间关
少
系式
结论
1
6
6
S L2
4
2
2
2
2
6
8 S L2
4
2
2
2
3
6
10 2
S L2 2
4 2
…… …
…
1
S L2 1 2
2
S L22
S L2N 2
2
3
S L23
2
…
三、对比分析收获成果
第一阶段：课前准备
1．如右图，网格小正方形的边长
为1，
求△ABC的面积
A
分析:针对这个问题目前我们学过两种思 想方法：①分割思想，②拼凑思想
B
思考：网格点与三角形有几种位置
C
关系？
三种：在三角形外部、在三角形
边上以及在三角形内部。
由此我们知道与格点多边形有关的格点有两部分，一部分是边上的格点、还有就 是多边形内部的格点。接下来我们一起来探讨用与格点多边形有关的格点来计 算格点多边形的面积。
五、小结
1、过程小结： 经历了画图、列表、分析数据、寻找规律
的过程
2、 方法小结： 在“探求规律性问题”时，先明确变量，然后通
过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律，“以不变应 万变”帮助我们简化问题。
六、课后训练
1、课前回顾△ABC的面积用此公式怎么算？结果和我们之前的计算结果相同吗？
2、如下图，在边长为1的正方形网格中数格点算面积，看谁又快又准。
1、各组依次展示，表明本小组发现的S与L、M之间的关系。 2、点名回答大家发现的S与L、M之间的关系的共同点。
四、背景介绍
皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
1889年发现了S、L、N 三者数量关系
的“皮克公式”，并进行了证明，得到 “皮克定理”。
“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个数学定理” 之一。
二、分类讨论
第二阶段 课内活动
1、当N=0时， ①画边上格点（顶点和边上）总数分别为3，4，5，6，…，的格点多边形
②、列表计算面积填表找规律
N
L
S
03
1 2
04
2 2
0
5
3 2
06
4
2
0
7
5 2
0…
…
S与L之间的关系
S 3-2 2
S 4-2 2
S 5-2 2
S 6-2 2
S 7-2 2