格点算面积

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几何图形六年级

几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。

2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。

注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。

要区分面积是几个单位。

2．在数格点时要细心。

3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。

正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。

(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。

解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。

[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。

解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。

三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。

分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。

四年级奥数专题格点与面积(学生版)

学科培优数学“格点与面积”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲知识点比较简单,首次引入面积这个概念,主要是培养学生对图形面积的感觉与认识。

【授课批注】在开始讲解面积这个概念之前可适当复习有关图形周长的概念,帮助学生区分周长和面积。

知识梳理格点图形的概念在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位),这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

a)正方形格点正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形b)三角形格点所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【授课批注】讲解格点图形概念的时候最好能借助诸如钉子板之类的道具,提高教学的形象性,更容易让学生理解,加深印象。

【重点难点解析】1．方形格点与三角形格点面积的特点2．格点图形的分割与拼补【竞赛考点挖掘】1．两种格点图形的基本面积计算2．格点图形面积的等量变形例题精讲【试题来源】【题目】判断下列图形哪些是格点多边形？【试题来源】【题目】如右图,计算各个格点多边形的面积.【试题来源】【题目】如右图（a）,计算这个格点多边形的面积.【试题来源】【题目】右图是一个方格网,计算阴影部分的面积．【试题来源】【题目】分别计算右图中两个格点多边形的面积。

【试题来源】【题目】如图“乡村小屋”的面积是多少？【试题来源】【题目】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？习题演练【试题来源】【题目】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?【试题来源】【题目】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少? 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【试题来源】【题目】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的“6”字,阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几?【试题来源】【题目】右图是5×5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点称为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么,所围图形的面积是______平方厘米.【试题来源】【题目】如图,每一个小方格的面积都是l平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图（a）,有21个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.【试题来源】【题目】如右图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,计算△ABC的面积.【试题来源】【题目】如右图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形,计算四边形ABCD 的面积.【试题来源】【题目】把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积.【试题来源】【题目】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,问：大正六角星形面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米.那么,三角形ABC 的面积是_____平方厘米【试题来源】【题目】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图l图2),然后适当连接这些等分点,便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米,那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【试题来源】【题目】如图,如果每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】求下列各个格点多边形的面积【试题来源】【题目】右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.【试题来源】【题目】求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.【试题来源】【题目】右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?【试题来源】【题目】将图中的图形分割成面积相等的三块.。

格点法求面积的公式

面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。

格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。

格点的起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
1、狄利克雷除数问题，即求x>1时D2（x）=区域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格点数。

1849年，狄利克雷证明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），这里ν为欧拉常数，△（x）=O（x0.5）。

这一问题的目的是要求出使余项估计△（x）=O（x）成立的又的下确界θ0。

2、圆内格点问题，设x>1，A2（x）=圆内μ+ν≤x上的格点数。

高斯证明了A2（x）=πx+R（x），这里R（x）=O（x^1/2）,求使余项估计R（x）=O（x）成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。

三角形格点面积求法

三角形格点面积求法在平面直角坐标系中，我们可以用格点来表示点的位置。

一个格点就是一个整数坐标点，例如(1,2)、(3,4)等等。

而一个三角形可以由三个不同的格点组成，我们可以通过这些格点来计算三角形的面积。

我们需要知道如何计算两个格点之间的距离。

假设有两个格点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离可以用勾股定理来计算：AB = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)接下来，我们可以用海龙公式来计算三角形的面积。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则三角形的半周长可以用以下公式计算：s = (AB + AC + BC) / 2其中，AB、AC和BC分别为三角形的三条边的长度。

接下来，我们可以用以下公式来计算三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC))这个公式被称为海龙公式，它可以用来计算任意三角形的面积，不论是由格点组成的三角形还是由实数坐标点组成的三角形。

举个例子，假设有一个三角形，它的三个顶点分别为A(1,1)、B(3,2)和C(2,4)。

我们可以先计算出三条边的长度：AB = √((3-1)² + (2-1)²) = √5AC = √((2-1)² + (4-1)²) = √10BC = √((3-2)² + (2-4)²) = √5然后，我们可以计算出半周长：s = (AB + AC + BC) / 2 = (√5 + √10 + √5) / 2我们可以用海龙公式来计算三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC)) = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC)) = √(5/2 * 3/2 * 1/2 * 3/2) = 3/4因此，这个三角形的面积为3/4平方单位。

总结一下，我们可以用格点来表示三角形的顶点，然后用勾股定理来计算三角形的边长，最后用海龙公式来计算三角形的面积。

数格点算面积

图形序号 N
L
S
S与L的关系
小组探究
满足条件 N=2 的格点多边形中S、L之间的关系
活动三
画几个满足条件 N=2 的格点多边形，请填写表格：
图形序号 N
L
S
S与L的关系
小组探究
满足条件 N=3 的格点多边形中S、L之间的关系
活动四
画几个满足条件 N=3 的格点多边形，请填写表格：
图形序号 N
L
S
S与L的关系
猜想归纳
Ｎ＝０Ｎ＝１Ｎ＝２Ｎ＝３
Ｓ＝1 L 1
2
Ｓ＝ 1 L＋０
2
Ｓ＝1 L 1
2
Ｓ＝12 L 2
S=
1 L N 1 2
验证猜想
请你再画一个图形，验证所得
S=
1 L N 1 2
的正确性
L=15；LN==1177，，红S色=7多.5+边17形-1的=2S3.较5 大？ LN==1177；；NN==1166，，S黄=色8.5多+边16形-1=的23S.5较大？
A
如果一个多边形的
E
顶点都在格点上，那么 B
这种多边形叫做格点多
C
DБайду номын сангаас
边形.
任务1
A
E
你会求图中格点多边
B
形的面积吗？请试一试！
C
D
方法提炼
B C
E D
补
B C
E D
割
有趣的是：
这种格点多边形的面积可以根据图形内部及它的边上的格点的数目来计算，算法十分简捷。

数格点算面积

的正确性？
问题情境
L=15；L ，红色多边形的 S较大？ N=17 =17 ，S=7.5+17-1=23.5 L S=8.5+16-1=23.5 N=17 =17；；N N=16 =16，，黄色多边形的 S较大？
活动小结
拓展研究
如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是 1，那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？
0 0 0 0
3 4 5 6
0.5 1 1.5 2
1 S= 2 L－1
探究开始啦！
猜想归纳
Ｎ＝０
Ｎ＝１Ｎ＝２
Ｎ＝３
S=
1 Ｓ＝ 2 L 1 1 Ｓ＝ L＋０ 2 1 Ｓ＝ L 1 2 1 Ｓ＝ 2 L 2
1 L N 1 2
验证猜想
你将如何验证归纳所得
S=
1 L N 1 2
☆ 1889 年发现了 S 、 L 、 N 三者数量关系的“皮克公式”，并进行了证明，得到“皮克定理”。
☆“皮克定理”被誉为有史以来“最重要 100 个数学定理”之一。
活动任务
设格点多边形的面积为S，它的边上的格点数为L，内部的格点数为N。
探究S与L、N之间的数量关系。
探究模拟
探究N=0的格点多边形中S与L之间的数量关系
拓展研究
如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1 ，那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？
八年级数学实验课
数格点算面积
连云港市新海实验中学姜晓刚
预备知识
格点多边形的面积记为 S 格点多边形的边上的格点的数量记为L 格点多边形的内部的格点的数量记为NFra bibliotek问题情境
L=15；L=17，红色多边形的S较大？

格点多边形的面积计算

格点多边形的面积计算方法一：直接计算法直接计算法是最简单的计算格点多边形面积的方法，它基于平行坐标轴的直线与多边形相交的方法。

假设我们有一个以原点为起点的多边形，该多边形的边界由一系列的点组成，每个点的坐标都是整数。

我们可以将原点与多边形上的每个点分别与x轴和y轴构成的直线相交，得到一系列的交点，将这些交点连成一个新的多边形，它的面积就是我们要计算的格点多边形的面积。

具体的计算步骤如下：1.对于多边形中的每个顶点，分别将其与x轴和y轴构成的直线相交，并得到交点的坐标。

2.将这些交点按顺时针或逆时针的顺序依次连接起来，得到一个新的多边形。

3.使用新的多边形的顶点坐标计算其面积，可以使用多边形面积计算公式。

这种方法的优点是简单易懂，但是需要较多的计算步骤。

方法二：Shoelace公式Shoelace公式是一种通过顶点坐标计算多边形面积的方法，它适用于任意多边形的计算。

具体的计算步骤如下：1.将多边形的顶点按顺时针或逆时针的顺序依次标记为P1，P2，...，Pn。

2. 根据顶点的坐标，计算每一相邻顶点之间的乘积，即(x1y2+x2y3+...+xn-1yn+xny1)-(x2y1+x3y2+...+xnyn-1+x1y1)。

3.以绝对值的形式累加所有的乘积，得到的结果除以2即为多边形的面积。

例如，对于一个三角形ABC，顶点A的坐标为(x1,y1)，顶点B的坐标为(x2,y2)，顶点C的坐标为(x3,y3)，则多边形的面积可以通过以下公式计算：(x1y2+x2y3+x3y1)-(x2y1+x3y2+x1y3)/2该方法的优点是计算步骤相对较少，适用于任意多边形。

方法三：Pick定理Pick定理是一种用于计算格点多边形面积的方法，它基于格点多边形的顶点和内部格点数量之间的关系。

具体的计算步骤如下：1.统计格点多边形内部的格点数量，其中格点的定义是坐标为整数的点，不包括多边形的边界上的点。

2.统计格点多边形边界上的格点数量，其中格点的定义是坐标为整数的点。

【详解】四年级下第04讲_格点图形面积计算

第四讲格点图形面积计算1. 例题1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米详解：如图所示，用分割法、添补法．三个图形的面积分别是：4111127⨯+⨯+⨯=平方厘米； 4⨯⨯÷32⨯⨯÷2. 例题2答案：6；12；4；7；9详解：①：326⨯=平方厘米；②：4312⨯=平方厘米；③：224⨯=平方厘米；3. 例题3答案：6.5平方厘米详解：内部格点：3个，边界格点：9个．面积=3921 6.5+÷-=平方厘米．4. 例题4答案：34平方厘米详解：内部格点：7个；边界格点：22个．面积：7222234⨯+-=平方厘米．5.例题5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米④： ⑤： 121212+17⨯+⨯+⨯= 或：441313137⨯-⨯-⨯-⨯= 2339⨯+= 或：441212139⨯-⨯-⨯-⨯=详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：7个．面积：()7241319.5÷+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：8个；边界格点：7个．面积：()7281331.5÷+-⨯=平方厘米．6. 例题6答案：28平方厘米；56平方厘米详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：8个．面积：()4282228⨯+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：3个；边界格点：10个．面积：()32102456⨯+-⨯=平方厘米．7. 练习1答案：3平方厘米；10平方厘米详解：如图，分别用分割法、添补法．8. 练习2答案：12；20；5；18 详解：①：3412⨯=平方厘米； ②：直接数，每层4个，共5层，4520⨯=9. 练习3答案：13 简答：内部格点：1个，边界格点：13个．面积=()11321213+÷-⨯=．10. 练习4答案：17平方厘米简答：内部格点：1个；边界格点：17个．面积：1217217⨯+-=平方厘米． ③： ④：1112125⨯+⨯+⨯= 122312818⨯+⨯+⨯+=11.作业1答案：6；6.5简答：可用分割或添补法完成．12.作业2答案：7；12简答：使用割补法分别计算．13.作业3答案：56简答：大正三角形的面积是254100⨯=平方厘米，利用添补法可得．14.作业4答案：29简答：综合利用分割法与添补法．也可以用正方形格点图形面积公式计算．注意每个最小正方形面积是2．15.作业5答案：44简答：综合利用分割法与添补法．也可以用三角形格点图形面积公式计算．注意每个最小正三角形面积是2．。

格点三角形面积计算公式推导

格点三角形面积计算公式推导一、格点三角形的定义。

在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为格点。

顶点为格点的三角形称为格点三角形。

二、皮克定理（Pick's theorem）1. 定理内容。

- 设格点多边形内部有N个格点，边界上有L个格点，则其面积S =N+(L)/(2)- 1。

对于格点三角形，这个定理同样适用。

2. 皮克定理的推导（以格点三角形为例）- 我们先从简单的情况开始考虑，比如直角三角形。

- 设直角格点三角形的两条直角边分别平行于坐标轴。

- 假设三角形的直角顶点坐标为(0,0)，另外两个顶点坐标为(a, 0)和(0,b)，其中a和b为正整数。

- 这个三角形内部的格点数N=((a - 1)(b - 1))/(2)，边界上的格点数L=a + b+1。

- 根据皮克定理S = N+(L)/(2)-1，将N和L的值代入可得：- S=((a - 1)(b - 1))/(2)+(a + b + 1)/(2)-1- 展开式子：- S=(ab - a - b+1)/(2)+(a + b + 1)/(2)-1- S=(ab - a - b + 1+a + b + 1-2)/(2)- 化简后得到S=(ab)/(2)，这正是直角三角形面积的计算公式(1)/(2)×底×高（这里底为a，高为b）。

- 对于一般的格点三角形，我们可以通过将其转化为多个直角格点三角形的组合（或差）来进行分析。

- 例如，对于任意一个格点三角形ABC，我们可以用一个矩形将其包含在内，设这个矩形的顶点都是格点。

- 矩形的面积可以很容易地用格点数计算出来，然后减去周围多余的直角格点三角形的面积（这些直角格点三角形的面积可以用前面的方法计算），通过这种方式可以验证皮克定理对于一般格点三角形也是成立的。

三、用行列式计算格点三角形面积（另一种方法）1. 行列式的相关知识。

- 对于平面上的三个点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)，三角形ABC的面积S可以用行列式表示为：- S=(1)/(2)<=ftbegin{array}{ccc}x_1y_11 x_2y_21 x_3y_31end{array}right的绝对值。

数格点_算面积

请把自己的想法说给同学听听。
Ⅰ Ⅳ ⅡⅢ
如右图将图形分割成
4块进行计算
解：把图形分割成如下图所示的四块：
图形Ⅰ的面积是：3；图形Ⅱ的面积是：3；
图形Ⅲ的面积是：3；图形Ⅳ的面积是：9。
∴图形ABCDE的面积为3+3+3+9=18。
试一试：
如下图，一个三角形的面积为1，计算ABCDE的面积多少？
O
如果第一步为“左”或“右”，那么转 A
B
化为第（ 1）题，各有 6种路线。一共是
8+6×2=20（种）。
S ABCD
第二层：凹多边形
自主探索：
下图是一个 10×10的正方形，求正方形内的四
边形的面积是多少？
因为ABCD不是凸四边形，所以
请把自己的想法说给同学听听。
如在原题图上取格点E，则三角形BCE 及四边形AECD就都是凸的图形了。
②用拼割方法得：ABCD的面积=长方形的面积-四角上的四个
三角形的面积=96-(622+332+432+452)=54(6+4.5+6+10)=27.5
(面积单位)
H
B
G
A
E
D
F
2、下图中每个小正方形的面积都是 1，那么图中这只“狗” 多占的面积是几？
解：图形内部格点数为59，图形周界上格点数为 19。所以图形的面积为： 59+19÷2-1=67.5( 面积单位)。
（1）19 解：由三角形格点面积公式得， n=8，m=5。
A
E
解：因为不是凸四边形，所
以如在原题图上取格点，则
三角形及四边形都是凸的图

四年级奥数巧箱格点与面积

巧解格点与面积巧点睛一一方法和技巧通过寻找面积之间的关系，培养学生探索问题、解决问题、发现规律的能力。

巧指导一一例题精讲A级冲刺名校•基础点晴【例1】下图是用橡皮盘钉在钉板上围成的几个图形，每相邻两点之间的距离都是1厘米，计算这些图形的面积各是多少平方厘米。

做一做1计算下图各格点多边形的面积，每格面积为1。

【例2】下图每相邻两点之间的距离都是1厘米，求各个图形的面积，再填好下表，最后总结出一般规律。

图形边上点数内部点数面积分析与解按照例1的分析方法，进行分割。

图①的面积是2平方厘米，图②的面积是4.5平方厘米，图③的面积是5.5平方厘米，图④的面积是7平方厘米，图⑤的面积是2平方厘米。

填表：寻找规律:图①：4 + 2 + 1 —1=2图②：9 + 2 + 1 —1=4.5图③：9 + 2 + 1 —1=5.5图④：10 + 2 + 3 — 1=7图⑤：6 + 2 + 0 —1=2于是，图形的面积与格点数有如下关系：图形的面积二边上点数+ 2+内部点数一1做一做2下图是一个8X8的正方形，求正方形内四边形ABCD 的面积。

（先用分割法，再用整点法）【例3】右图中每一小格的面积都是1平方厘米，那么粗线围成的图形面积是多少平方厘米?做一做3设每相邻两点间的距离为1,利用格点面积公式计算下图中阴影部分的面积。

■B级更上层楼【例4】如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数。

我们对表内的数据分析发现：任何一个格点多边形的面积等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数。

如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了。

做一做4求下列格点多边形的面积（每相邻三点”.・”“・・・”构成面积为1的等百年三角形）。

心.【例5】右图中每相邻三点连接后组成的等边三角形的面积为1 平方厘米。

问三角形ABC的面积是多少？分析与解边上点数为4，内部点数为4,可以• • / •、• • • 利用公式求出面积。

格点三角形的面积计算方法

格点三角形的面积计算方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊格点三角形的面积计算方法，这可有意思啦！你看啊，格点就像是一个个小士兵站在那，整整齐齐的。

那格点三角形呢，就是由这些小士兵组成的特别形状。

想象一下，格点就像是我们小时候玩的方格游戏。

我们要怎么算出这个三角形在这些格子里占了多大地方呢？有一种方法呢，就是数格子！一格一格地数，看看这个三角形占了多少个完整的格子。

不过这可得细心点儿，别数漏啦！还有一种方法呢，就更巧妙啦！我们可以把三角形补成一个大的长方形或者正方形，然后再减去周围多出来的那些小部分的面积。

就好像给这个三角形穿上一件大外套，然后再把多余的布料剪掉，剩下的就是三角形的面积啦！这是不是很有趣呀？比如说，有一个格点三角形，我们把它周围补成一个正方形。

然后看看正方形有多少个格子，再减去边上那些小三角形、小梯形什么的面积，最后不就得到我们想要的格点三角形面积了嘛！这就好像我们去买东西，先算个总价，再减去那些不需要的部分的价格，得到的就是我们真正该付的钱呀！哎呀，这格点三角形的面积计算，真的是充满了智慧呢！我们就像是小小的探险家，在这一格一格的世界里寻找答案。

有时候可能会遇到一些复杂的格点三角形，别着急，慢慢来，就像解谜题一样，一点一点去攻克它。

你想想，如果我们掌握了这个计算方法，那以后再遇到格点三角形，不就可以轻松搞定啦！那感觉，就像我们拥有了一把神奇的钥匙，可以打开这个格点世界的大门。

而且呀，通过计算格点三角形的面积，我们还能锻炼自己的细心和耐心呢！是不是一举多得呀？所以呀，大家可别小瞧了这格点三角形的面积计算哦，它里面可藏着好多好玩的东西呢！快来一起试试吧，相信你会发现其中的乐趣的！怎么样，是不是迫不及待啦？。

格点多边形面积计算公式证明

格点多边形面积计算公式证明要证明格点多边形面积的计算公式，首先需要了解什么是格点多边形。

我们知道，格点多边形的面积可以通过计算多边形内部格点的个数来得到。

具体的计算方法如下：1.首先，找到格点多边形的一个顶点，用坐标(a,b)表示。

这个点可以是任意一个顶点，选择哪一个作为起点都不会改变最后的计算结果。

2.接下来，我们需要遍历整个格点多边形的内部，并计算其中的格点数目。

遍历的方式可以是沿着多边形的边界，一点一点地遍历。

3.为了计算内部的格点数目，我们需要用到一条性质：对于一条直线，穿过的格点数目等于这条直线与横纵坐标轴的交点数目减1、这个性质可以通过简单的观察得到。

4.因此，遍历多边形的每条边，计算出相应的格点数目，再求和即可得到多边形的内部格点数目。

5.最后，我们可以使用该格点数目来计算多边形的面积。

具体计算公式如下：面积=格点数目+1/2现在，我们来证明这个计算公式。

首先，我们知道格点的横纵坐标都是整数。

所以，内部的格点必然是整数个数，不会出现小数。

其次，我们来证明公式面积=格点数目+1/2我们知道，一条直线穿过的格点数目等于这条直线与横纵坐标轴的交点数目减1、因此，当我们计算多边形内部格点的数目时，可以看作是通过计算多边形的边界与横纵坐标轴的交点数目来实现的。

对于任意一条边，由于直线是连续的，所以可以将直线分为无数段线段。

每一段线段的斜率都可以看作是一个近似值。

我们可以通过这些线段来计算格点的个数。

假设我们选取一段线段，斜率为k。

我们将这段线段进一步分成无数小段，每一小段的斜率近似为k。

我们知道，当一条直线斜率为k时，与横坐标轴的交点的横坐标表示为整数时，与纵坐标轴的交点的纵坐标也表示为整数。

所以，我们只需要关注与横坐标轴交点的个数。

假设与横坐标轴的交点个数为n，则这段线段穿过的格点数目为n-1、我们将这些线段累加起来，即可得到整个多边形内部格点的数目。

最后，我们需要证明这个数目加上1/2才是多边形的面积。

小学数学四年级格点与面积 PPT+作业+答案

不规则图形0×2-2=8（平方厘米）整体：36+8=44（平方厘米）
例7 如图：用9 个钉子钉成相互间隔为1 厘米的正方形方阵。如果用一
根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，那么在这样得到的三角形中，面积是1 平方厘米的三角形有多少个？面积是2 平方厘米的三角形有多少个？
【分析】分别数出边界个点数和内部各点数，再利用格点面积公式求。
边界格点数：34个，内部各点数：20个
面积：34÷2+20-1=36（平方厘米）
例2 在下图中，每个小方格的面积都是2 平方厘米，那么格点多边
形的面积是多少平方厘米？
【分析】通过题意发现，单位小正方形的面积变为了2平方厘米，在运用格点公式时，也要整体扩大2倍。
边界个点数：14个，内部格点数：14个
面积：14÷2+14-1=20（平方厘米）
例3 在下图中，每个小方格的边长都是1 厘米，那么阴影部分的面
积是多少平方厘米？
【分析】直接求阴影部分的面积较麻烦，可通过割补法分别求出整体和空白部分的面积后再求阴影部分面积。其中，空白部分可通过多边形格点面积公式求。
【分析】求三角形格点多边形面积，分别数出边界个点数和内部各点数，再利用公式求。
边界格点数：10个，内部格点数：12个
面积：10+12×2-2=30（平方厘米）
【小结】三角形格点多边形面积可通过数出边界格点数、内部格点数来求，注意与正方形格点多边形面积公式区分。
练习5
如图：任意相邻的三个点呈“∵”或“∴”所组成的三角形都是面积为1 的等边三角形，计算△ ABC 的面积。
整体：6×6=36（平方厘米）空白：边界个点数：12个，内部格点数：9个

格点多边形面积计算公式

格点多边形面积计算公式格点多边形面积计算公式在计算机图形学中，格点多边形是由连接在坐标点上的直线段组成的多边形。

计算格点多边形的面积是一个常见的问题，下面列举了相关的计算公式，并通过例子进行解释说明。

1. 单纯形面积法单纯形面积法是计算任意给定n个点所构成的多边形面积的一种方法，其中n至少为3。

该方法通过将多边形分割为若干个三角形，并计算各个三角形的面积之和来求得总面积。

计算公式如下：S=∑1 2n−2i=1(x1y2+x2y3+x3y1−x1y3−x2y1−x3y2)其中(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)代表相邻的三个点的坐标。

例如，对于一个三角形，顶点坐标分别为(2,3),(4,1),(6,2)，根据单纯形面积法，我们可以计算如下：S=12(2⋅1+4⋅2+6⋅3−2⋅2−4⋅3−1⋅6)=12(2+8+18−4−12−6)=3因此，该三角形的面积为3。

2. 格点计数法格点计数法是一种更为直观的计算格点多边形面积的方法，其基本思想是通过计算多边形内部的格点数量来近似计算出多边形的面积。

计算公式如下：S=N+B2−1其中N代表多边形内部的格点数量，B代表边界上的格点数量。

举个例子，假设我们有一个正方形，边长为4，其中内部有一个格点。

根据格点计数法，我们可以计算如下：N=1,B=16S=1+162−1=8因此，该正方形的面积为8。

3. 区域填充法区域填充法是一种更为精确的计算格点多边形面积的方法，它通过将多边形的内部分成若干个包含整数顶点的小单元，然后计算这些小单元的面积之和来求得总面积。

具体的计算步骤如下：1.将多边形的边界上的格点标记为1，内部的格点标记为0。

2.对于每个包含多边形内部的小单元，统计其中1的个数，并将其除以单元的面积得到该小单元的面密度。

3.将所有小单元的面密度相加得到多边形的面积。

由于区域填充法相对复杂，这里就不再详细展示示例。

以上就是三种常见的计算格点多边形面积的方法，可以根据具体情况选取适合的方法进行计算。

第一讲格点多边形的面积计算

第一讲格点多边形的面积计算格点多边形是指顶点坐标都为整数的多边形。

在计算机图形学和离散几何中，计算格点多边形的面积是一项基本的操作。

本文将介绍两种常见的计算格点多边形面积的方法：基于向量叉积的格点覆盖法和基于重心坐标的三角剖分法。

一、基于向量叉积的格点覆盖法格点覆盖法是一种传统的计算格点多边形面积的方法。

基本思想是将格点多边形覆盖成一系列由格点和边所构成的三角形，然后计算每个三角形的面积累加即可得到整个格点多边形的面积。

具体步骤如下：1.对于给定的格点多边形，首先找到一个格点在多边形内部，这样可以确保后续的格点覆盖步骤能够将整个多边形全部覆盖。

2.以该内部格点为起点，依次枚举多边形上的每个顶点，将多边形分割成一系列由内部格点和相邻边所构成的三角形。

3.对于每个三角形，计算其面积，并将面积累加。

三角形的面积可以通过计算三角形两条边向量的叉积来得到。

设两条边向量分别为u和v，则三角形的面积为，u×v，/2，其中，u×v，表示u和v的叉积的模。

4.最后得到的面积即为格点多边形的面积。

这种方法的时间复杂度为O(n)，其中n为格点多边形的顶点数。

然而，该方法的缺点是需要找到一个内部格点，并且可能会出现误差累积的问题。

二、基于重心坐标的三角剖分法重心坐标法是一种计算任意多边形面积的常见方法，它可以推广到计算格点多边形面积。

基本思想是通过将格点多边形进行三角剖分，将多边形分割成若干个三角形，然后计算每个三角形的面积并累加得到整个多边形的面积。

具体步骤如下：1. 对于给定的格点多边形，首先通过三角剖分算法（如Delaunay三角剖分算法）将多边形分割成一系列不重叠的三角形。

2.对于每个三角形，计算其面积，并将面积累加。

重心坐标法给出了计算三角形面积的通用公式：设三角形的三个顶点分别为A、B、C，三角形的面积为S，那么S=，AB×AC，/2，其中，AB×AC，表示向量AB和向量AC的叉积的模。

小学奥数：格点型面积(毕克定理)

小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上,先画出一些程度直线和一些竖直直线,并使随意率性两条相邻的平行线的距离都相等(通通例定是1个单位),如许在纸上就形成了一个方格网,个中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为极点画出的多边形叫做格点多边形,例如,右图中的村庄小屋图形就是一个格点多边形．那么,格点多边形的面积若何盘算？它与格点数量有没有关系？假如有,这两者之间的关系可否用盘算公式来表达？下面就让我们一路来商量这些问题吧！用N 暗示多边形内部格点,L 暗示多边形周界上的格点,S 暗示多边形面积,请同窗们剖析前几个例题的格点数．我们能发明如下纪律：12L S N =+-．这个纪律就是毕克定理．【例 1】用9个钉子钉成互相距离为1厘米的正方阵(如右图)．假如用一根皮筋将恰当的三个钉子贯穿连接起来就得到一个三角形,如许得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有若干？面积等于2平方厘米的三角形有若干个？【例 2】如图,44⨯的方格纸上放了16枚棋子,以棋子为极点的正方形有个．【例 3】断定下列图形哪些是格点多边形？【例 4】如图,盘算各个格点多边形的面积．【巩固】假如两格点之间的距离是2,能应用刚盘算的成果说出响应面积么？(教师总结：面积数值均扩展4倍．)【例 5】如图(a ),盘算这个格点多边形的面积．【例 6】 (“新加坡小学数学奥林匹克”比赛试题)右图是一个方格网,盘算暗影部分的面积．【例 7】分离盘算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．【例 8】我们开端提到的“村庄小屋”的面积是若干？【例 9】右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是若干？【巩固】如图,每一个小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是若干平方厘米？【例 11】 (“小学数学奥林匹克”比赛试题)55⨯的方格纸,小方格的面积是1毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点,它的鸿沟上有L 个格点,则它的面积为12L S N =+-．平方厘米,小方格的极点称为格点．请你在图上选7个格点,请求个中随意率性3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用直线衔接后所围成的面积尽可能大．那么,所围图形的面积是平方厘米．【例 12】(“保良局亚洲区城市小学数学”比赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日揭幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7.2.1三个数字所占的面积之和是若干？【例 13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小雷同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来,若左上角的暗影部分(块状)面积为25.12cm,右下角的暗影部分(线状)面积为27.4cm,求大正方形的面积．【例 14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54,AP=2PF,CQ=2BQ,求暗影四边形CEPQ的面积．板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形．划定它的面积为1,以如许的点为极点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的盘算公式：假如用S暗示面积,N暗示图形内包含的格点数,L暗示图形周界上的格点数,那么有22=⨯+-,就是S N L格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】如图(a),有21个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形．盘算三角形ABC的面积．【巩固】如图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,盘算ABC的面积．【例 16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．【例 17】把大正三角形每边八等分,构成如右图所示的三角形网．假如大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图,假如每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD 的面积是若干平方厘米？【例 19】把统一个三角形的三条边分离5等分.7等分(如图1,图2),然后恰当衔接这些等分点,便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中暗影部分面积是294平方分米,那么图2中暗影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形朋分成面积相等的三块．【例 21】如图涂暗影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,问：大正六角星形面积是若干平方厘米？【例 22】(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M 是AB中点,N是CD中点,P是EF中点．问：三角形MNP的面积是若干平方厘米？【例 23】假如下图中随意率性相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么,三角形ABC的面积是_____平方厘米．。

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