7.3 区间估计
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
§7-3 区间估计
S S X tα / 2 ( n 1) , X tα / 2 ( n 1) n n
二．正态总体均值与方差的置信区间
S S X tα / 2 ( n 1) , X tα / 2 ( n 1) n n
例题 1
有一大批糖果。现从中随机地取16袋，称得重量 （以克计）如下：
称随机区间 X 1.96 15 , X 1.96 15
为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.
置信区间的意义
反复抽取容量为5的样本,都可得一个
区间,此区间不一定包含未知参数 的真
值, 而包含真值的区间占95%. 若测得 一组样本值, 算得 x 1.86 则得一区间 (1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 它可能包含也可能不包含 的真值, 反复 抽样得到的区间中有95%包含 的真值.
注 记
（2）概率等式
确定方法： ◆ 当 W 的分布为对称时，可取 a = - b ，使得
Pa W b 1 中 a, b 的 α
P b W b 1 α
此时，b 为随机变量 W 的 上 /2 分位点。 ◆ 当 W 的分布为非对称时，可取a, b ，使得
P a α / 2 W
( n 1) S 2 , 2 χ ( n 1) α/2
( n 1) S
( n 1) S 2 χ1α / 2 (n 1)
2
χ
2 α/2
,
( n 1)
( n 1) S 2 χ1α / 2 (n 1)
P b α / 2 W
此时，b 为随机变量 W 的 上 /2 分位点，
7.3参数的区间估计-09
§7.3参数的区间估计一、置信区间的概念设θ是总体X 的未知参数，1ˆθ和2ˆθ是统计量，若对于给定的α（10<<α），有αθθθ-=≤≤1}ˆˆ{21P ，则称]ˆ,ˆ[21θθ是参数θ的置信度为α-1的置信区间．二、单个正态总体的置信区间以下设总体X ～),(2σμN ，n x x x ,,,21 是X 的样本，置信水平为α-1． 1．已知202σσ=时μ的置信区间（1）选用样本函数：nx u /0σμ-=～)1,0(N ；（2）令αα-=≤1}|{|2/u u P ，即αα=>}|{|2/u u P ，有21)(2/αα-=Φu ，反查P .195标准正态分布表，求出2/αu （考试时直接给出）；（3）解不等式2/||αu u ≤，得μ的置信区间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα．例1（P .157例7-18）设总体（直径）X ～)06.0,(μN ，样本观测值为1.15,2.15,8.14,9.14,1.15,6.14，求平均直径μ的置信区间：（1）05.0=α；（2）01.0=α．（96.1025.0=u ，576.2005.0=u ）解 已知06.020=σ，6=n ，算得95.14=x ． （1）05.0=α时，96.1025.02/==u u α，196.01.096.1606.096.102/=⨯=⨯=⋅nu σα，μ的置信度为95%的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα]146.15,754.14[]196.095.14,196.095.14[=+-=；（2）01.0=α时，576.2005.02/==u u α，2576.01.0576.2606.0576.202/=⨯=⨯=⋅nu σα，μ的置信度为99%的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα]2076.15,6924.14[]2576.095.14,2576.095.14[=+-=． 例2（P .157例7-19）设总体（物体重量）X ～)1.0,(2μN ，9=n ，4.15=x ，求物体平均重量μ的0.95置信区间．（96.1025.0=u ）解 1.00=σ，9=n ，4.15=x ，05.0=α，96.1025.02/==u u α，0653.091.096.102/=⨯=⋅nu σα，μ的0.95置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα]4653.15,3347.15[]0653.04.15,0653.04.15[=+-=．例3（P .157例7-20）设总体X ～)1,(μN ，为使μ的0.95置信区间长度不超过1.2，样本容量n 应为多大？（96.1025.0=u ）解 10=σ，05.0=α，96.1025.02/==u u α，为使置信区间长度2.1196.12202/≤⨯⨯=⋅nnu σα，只要2.196.12⨯≥n ，1167.102.196.122≈=⎪⎭⎫⎝⎛⨯≥n ，即样本容量至少为11．2．未知2σ时μ的置信区间 （1）选用样本函数：ns x t /μ-=～)1(-n t ；（2）令αα-=-≤1)}1(|{|2/n t t P ，即αα=->)}1(|{|2/n t t P ，有2)}1({2/αα=->n t t P ，查t 分布表，求出)1(2/-n t α（考试时直接给出）；（3）解不等式)1(||2/-≤n t t α，得μ的置信区间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅--n s n t x n s n t x )1(,)1(2/2/αα．例4（P .158例7-21）设总体（寿命）X ～),(2σμN ，σ未知，12=n ，样本观测值为（略），求平均寿命μ的0.95置信区间．（2010.2)11(025.0=t ）解 12=n ，05.0=α，2010.2)11()1(025.02/==-t n t α，算得7092.4=x ，0615.02=s ，1576.00716.02010.2120615.02010.2)1(2/=⨯=⨯=⋅-ns n t α，μ的0.95置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅--n s n t x n s n t x )1(,)1(2/2/αα]1576.07092.4,1576.07092.4[+-=]8668.4,5516.4[=．3．2σ的置信区间 （1）选用样本函数：222)1(σχsn -=～)1(2-n χ；（2）令αχχχαα-=-≤≤--1)}1()1({22/222/1n n P ，由21)}1({22/12αχχα-=->-n P 和2)}1({22/2αχχα=->n P ，查2χ分布表，求出)1(22/1--n αχ和)1(22/-n αχ（考试时直接给出）；（3）解不等式)1()1(22/222/1-≤≤--n n ααχχχ，得2σ的置信区间： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n sn n s n ααχχ． 注：开方可得σ的置信区间．例5（P .159例7-22）设总体（零件重量）X ～),(2σμN ，9=n ，样本观测值为（略），求总体标准差σ的0.95置信区间．（1797.2)8(2975.0=χ，5345.17)8(2025.0=χ）解 9=n ，05.0=α，1797.2)8()1(2975.022/1==--χχαn ，5345.17)8()1(2025.022/==-χχαn ，算得0325.02=s ，26.00325.08)1(2=⨯=-s n ，2σ的0.95置信区间为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n sn n s n ααχχ]1193.0,0148.0[1797.226.0,5345.1726.0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=（近似值），从而σ的0.95置信区间为]3454.0,1217.0[]1193.0,0148.0[=（近似值．教材答案为[0.1218，0.3454]）．。
区间估计公式
区间估计公式区间估计公式是指一种统计方法，用于估计未知参数的范围。
它是根据给定的数据集以及其参数的极限均值推断出的。
这样可以对参数的正确取值作出一个初步的估算。
一、经典区间估计公式1、样本均值估计法根据“大数定律”，当一个随机变量X的抽样样本个数n（→∞）时，X的样本均值的分布收敛到N（μ，σ2/n），可使用样本均值估计法来估计参数μ的值，即令μ = X的样本均数。
2、样本标准差估计法根据中心极限定理，当样本量趋于无穷的时候，样本标准差的分布符合t分布。
令特定的置信度α代替t值，可求得标准差的估计值，即σ^2 '= n·D / (tα/2)^2二、偏态分布估计量偏态分布估计量是一种分布估计法，它采用具备偏态分布特征的数值来估算参数μ和σ。
偏态分布是所有概率分布中最广泛应用的分布之一，它把参数μ和σ拆分成三部分：偏态参数γ，偏度参数ω和尾部形状参数λ。
从而可以从偏态分布中估计出μ、σ和γ、ω、λ的参数值。
三、无偏估计量无偏估计量是另一种用于估算量的分布。
它使用极值法，即按照某种规则，从一系列有限但不受限制的抽样样本中挑选某个值作为未知数的无偏估计值。
最常用的无偏估计量有方差法和方差除以样本数法。
方差估计量是一种比较简单的无偏估计量，它可用以下公式计算：σ^2 = 1 / n*Σ（xi - X）^2其中n是样本量，xi代表每个样本取值，X表示样本均值。
而另一种常用的无偏估计量就是方差除以样本数的方法，它的公式为：σ^2 = Σ（xi - X）^2 / n - 1四、交叉验证法交叉验证是一种分布估计法，它可以用来预测参数μ和σ，以便获得更准确的估算结果。
交叉验证首先将样本随机分为若干组，然后在每一组中利用其他组的信息来估计参数。
估计出的参数值在另外一组中进行验证，以期往复进行，直到每个组都意义数次验证。
然后再求出每次验证的参数的平均值以求得参数的最终估计值。
五、bootstrap法bootstrap是一种分布估计的方法，它可以用来估计三种不同的参数：均值、标准差和相关系数等。
区间估计的原理及应用
区间估计的原理及应用
区间估计是统计推断的一种方法，用于估计一个参数的值，同时给出一个估计的范围。
区间估计的原理是基于样本统计量的分布，通过计算样本统计量的标准误差和置信水平，确定一个包含真实参数值的估计区间。
区间估计的应用非常广泛。
在科学研究中，我们常常需要对某个参数进行估计，例如人口比例、平均值、方差等。
通过区间估计，我们可以给出一个置信区间，表示我们对真实参数值的估计，并给出一个误差范围。
这在调查研究、医学研究、经济学研究等领域具有重要意义。
另外，区间估计还可以用于判断两组数据的差异是否显著。
通过计算两个样本的差异的置信区间，我们可以判断是否存在显著差异。
这在实验设计、比较研究等场景下非常常见。
总之，区间估计是一种重要的统计推断方法，它能够帮助我们对参数进行估计，并给出一个估计的范围，从而增加我们对真实情况的了解和判断能力。
7.3 区间估计
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(1)
第7章
§7.3 区间估计
第2页
对给定的 (0＜＜1)，满足P{＜＜ }＝1
§7.3 区间估计
第4页
在概率密度为单峰且对称的情形，当c = d 时求得 的置信区间的长度为最短.
f (u )
0.95
ccc0Fra bibliotek95d d
u u
0.95
0
d
u
c=d
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第7章
§7.3 区间估计
第5页
当概率密度不对称的情形，如 2分布，F 分布，习惯 上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.
(1)
说明 : (1)式表示( , )包含未知参数的真值概率为 1－ , 如 0.05时，若从总体中抽得容量相同的 100个样本，则在确定的100个置信区间中将有95个 包含的真值，不包含 真值的区间只有5个。绝不 能理解为的真值落在( , )内的概率为1－！
显然，置信区间不唯一.
n
第6页
2 ( X ) 2 i 2 ~ 2 ( n) i 1
(n 1) S 2 2 ~ (n 1) 2
Φ(x)
1－α
Z
2
2.
P{| t | t a (n)} 1 P | U | u 1 2 2
2 P({ 2 (n) 2 (n)}) 1 1 2 2
第7章
§7.3 区间估计
区间估计知识点总结
区间估计知识点总结区间估计的基本概念区间估计是一种用来估计参数未知真值范围的统计方法。
在假设条件下，利用样本的信息来推断总体参数，并给出一个区间，该区间包含了总体参数真值的一个估计范围。
例如，我们可以用区间估计的方法来估计总体均值、方差、比例等参数的取值范围。
区间估计的优点与点估计相比，区间估计有以下几个优点：1. 提供了参数真值的估计范围，更具有实际应用的意义。
点估计只给出了一个具体的数值，而区间估计可以反映出参数的不确定性。
2. 能够控制估计的置信水平。
在区间估计中，我们可以通过置信水平来控制估计的精度和可靠性，这使得我们可以根据需求来选择合适的置信水平。
区间估计的步骤区间估计的步骤一般包括以下几个方面：1. 确定总体分布类型。
在进行区间估计之前，我们需要对总体的分布类型进行研究，以确定区间估计的方法和技巧。
2. 挑选合适的估计方法。
不同类型的参数估计需要采用不同的估计方法，如均值的区间估计可以使用t分布、z分布或者Bootstrap方法。
因此，在进行区间估计时，需要挑选合适的估计方法。
3. 计算置信区间。
根据所选的估计方法和数据样本，我们可以计算出置信区间的上下限，从而得到参数的估计范围。
区间估计的常用方法在统计学中，常用的区间估计方法有以下几种：1. 正态分布的区间估计。
当总体服从正态分布时，我们可以使用z分布来进行参数估计。
例如，对正态总体的均值进行区间估计时，我们可以使用z分布的方法来计算置信区间。
2. t分布的区间估计。
当总体服从t分布时，我们可以使用t分布来进行参数估计。
常见的例子包括小样本的均值估计和相关系数的区间估计。
3. Bootstrap方法。
Bootstrap方法是一种非参数估计方法，它通过对原始样本进行重抽样，得到估计量的抽样分布，从而计算出参数的置信区间。
区间估计的应用区间估计作为统计推断的重要方法，在各个领域都有着广泛的应用。
在医学、社会科学、经济学和工程学等领域中，人们常常需要对总体参数进行估计，在这些领域中，区间估计可以提供参数估计的可靠性和精度，为决策提供支持。
简述区间估计的概念
简述区间估计的概念
区间估计是一种统计学方法,用于估计某个参数或变量的取值范围。
在概率论和统计学中,区间估计是指给定一些样本数据,计算一个区间,这个区间应该是一个合理的范围,能够覆盖数据的大多数情况。
在区间估计中,我们通常选择一个中心点作为估计值,然后根据样本数据计算出两个点之间的误差范围。
这个误差范围就是区间的边界,也就是估计值和实际值之间的范围。
区间估计的应用场景非常广泛,例如在医学研究中,医生可以使用区间估计来估计患者某种疾病的概率;在金融领域中,投资者可以使用区间估计来估计某个股票的价格趋势。
除了计算区间外,还有一些常见的方法可以用来进行区间估计,例如最大似然估计、贝叶斯区间估计、参数估计和区间生成器等。
这些方法可以根据具体情况选择使用。
拓展:
区间估计的优点是能够给出一个合理的范围,能够反映数据的大多数情况,并且不需要对数据进行精确预测。
但是,区间估计也有一些局限性,例如可能会受到样本量、数据分布、噪声等因素的影响。
因此,在进行区间估计时,需要结合具体情况进行判断。
glCH7-3
2 2 为未知
X 选择样本函数 ~ t ( n 1) S n X P { t ( n 1) t ( n 1)}1 S 2 2 n
2
t (n 1) 0
2
2
t (n 1) t
2
S S 即 P{ X t ( n 1) X t (n 1)} 1 n 2 n 2
2 2 n n 从而正态总体参数 的置信度为 1 的置信区间为 (X z ，X z ) 或 记 作： (X z ) 2 2 2 n n n
即
P{ X
z X
z } 1
2
1－
2
z
0
2
z
2
从而正态总体参数 的置信度为 1 的置信区间为 (X
解： 已知 1 0.95 ,
2 查 t 分布表得： t / 2 (15) t 0.025 (15) 2.1315
0.025 , n 1 15
据题设数据算得x 503.75 及 s 6.2022 则所求均值 的 0.95 置信区间为： 6.2022 503.75 2.1315 即 ( 500.4 ， 507.1 ) 16
0.025
s x t 0.025 (5) 14.97 0.21, 即 (14.76，15.18)。 6
所以，的置信度为95%的置信区间的上、下限为：
例 2 从 一 大 批 糖 果 中 随 机取 抽16袋 ， 称 得 重 量 如 下 （以克计）： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设 袋 装 糖 果 重 量 近 似从 服正 态 分 布 ， 求 总 体值 均 的 置信度为 0.95的 置 信 区 间 。
区间估计的基本原理和步骤
区间估计的基本原理和步骤区间估计是统计推断中的一种方法，用于估计总体参数的区间范围。
其基本原理和步骤如下：一、基本原理：二、步骤：1.确定参数类型和样本分布：在进行区间估计之前，需要明确要估计的总体参数类型，例如均值、方差、比例等。
同时，需要确保样本数据来自一个合理的总体分布，通常假设样本数据满足正态分布。
2.选择置信水平：置信水平表示对于重复抽样所得的区间估计，其中包含总体参数真实值的概率。
常用的置信水平有95%和99%。
选择置信水平时需要考虑实际应用需求和可接受的误差范围。
3.计算标准误差：标准误差是样本统计量与总体参数之间的标准差，可以用来度量估计量的精确程度。
常见的标准误差计算方式包括对均值的标准误、对比例的标准误和对方差的标准误。
4.确定抽样分布：根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本统计量的抽样分布会接近正态分布。
可以利用这个性质来进行参数估计。
5.计算置信区间：根据所选择的置信水平和抽样分布中的临界值，计算出估计参数的上限和下限，形成估计的置信区间。
具体计算方法与总体参数类型相关，如均值的置信区间计算通常基于样本均值和标准误差。
6.解读结果：得到置信区间后，应根据具体情况对结果进行解读和分析。
通常，置信区间越窄，说明估计结果越准确；置信区间不包含需要估计的参数真实值，说明估计结果不准确。
7.检验假设：在一些情况下，需要通过检验假设来验证估计结果的可靠性。
例如，对于均值的区间估计，可以通过假设检验来判断区间估计是否显著不等于一些特定值。
总结：区间估计是统计推断中重要的一种方法，它能够通过样本数据给出总体参数的一个估计区间，并提供了对估计精确性的度量。
在实际应用中，选择合适的置信水平、计算标准误差、确定抽样分布以及解读结果都是关键步骤，需要结合具体问题进行合理的选择和判断。
名词解释区间估计
区间估计的名词解释
一、什么是区间估计？
区间估计是统计学中一种常用的参数估计方法，用于根据样本数据来估计总体参数的范围。
在区间估计中，我们通过样本数据计算出一个区间，该区间通常包含总体参数的真实值。
区间估计的方法包括单侧区间估计和双侧区间估计。
二、区间估计的原理
区间估计的原理基于抽样分布理论。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
因此，我们可以利用样本均值和标准误差来估计总体均值的分布。
具体来说，我们首先根据样本数据计算出样本均值和标准误差。
然后，利用样本均值加减标准误差的倍数来计算出置信区间的上下限。
置信区间的置信度通常设置为 95% 或更高，这表示我们有 95% 的把握认为总体参数的真实值落在这个区间内。
三、区间估计的应用场景
区间估计在实际应用中具有广泛的应用价值，下面列举了一些常见的应用场景：
1. 估计总体均值：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计
算出样本均值和标准误差，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体均值。
2. 估计总体比例：例如，通过对某人群进行抽样调查，计算出
样本比例和标准误差，然后用区间估计方法估计该人群的总体比例。
3. 估计总体标准差：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计算出样本标准差和样本容量，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体标准差。
总之，区间估计是一种常用的参数估计方法，能够帮助我们在实际问题中对总体参数进行估计。
掌握区间估计的方法和原理，对于统计分析和决策具有重要意义。
概率论与数理统计 7.3 区间估计
不依赖于未知参数 ;
(3) 对给定的置信水平 1 , 确定 = 1 ,
5
一般是选取满足
2 (4) 由不等式 1 < g < 2 解出 的置信区间
( 1 , 2 ) .
P{ g 1 } = P{ g 2 } =
中, 分别独立抽取一些样品, 测得蓄电池的电
容量为 甲: 144, 141, 138, 142, 141, 143, 138, 137; 乙: 142, 143, 139, 140, 138, 141, 140, 138, 140, 136 设两个工厂生产的蓄电池电容量分别服从正态 分布 N( μ1 ,σ12), N( μ2 ,σ22) . 求 σ12/σ22 的 95% 的置信区间
[2.18, 9.52]
18
二 、两个正态总体 N( μ1 ,σ12), N( μ2 ,σ22) 的情况 (一) 两个总体均值差 μ1 μ2 的置信区间: 1、两个总体的方差 σ12 , σ22已知:
由于 X
12 N 1 , , Y n1
2 2 N 2 , , n2
引言
前面我们介绍了点估计的概念。点估计只是给出 了未知参数值的近似值。人们常常不满足于得到近 似值，还需要知道估计的误差是多少？即参数的一个 估计范围，还希望知道该范围覆盖参数真值的可信
程度。这种范围的估计称为区间估计。
1
7. 3 区间估计
定义7.6:
设 是总体的一个参数, ( X 1 , X 2 , , X n )是
由于
故有
2 S12 S2
2 1
2 2
F ( n1 1 , n2 1) ,
2 2 S S 1 2 P F ( n1 1 , n2 1) < 2 < F ( n1 1 , n2 1) 2 1 1 2 2 2
区间估计的思想步骤及应用
区间估计的思想步骤及应用区间估计是统计学中一种重要的推断方法，它用于估计参数的未知真实值。
区间估计的思想步骤包括确定置信水平、选择合适的统计分布、计算样本的统计量、计算标准误差、确定置信区间和进行推断。
下面我将详细介绍每个步骤及其应用。
1. 确定置信水平：置信水平是指在统计推断中能够接受的错误率，通常用95%或99%表示。
例如，95%置信水平意味着我们可以有95%的把握说得出的结论在整个总体中都是正确的。
2. 选择合适的统计分布：根据问题的背景和所需的参数类型，选择合适的统计分布。
例如，当样本量较大且总体分布近似正态分布时，可以使用正态分布进行区间估计。
3. 计算样本的统计量：根据问题的需求，计算样本的统计量。
常用的统计量包括样本均值、样本比例、样本方差等。
样本统计量是用来估计总体参数的近似值。
4. 计算标准误差：标准误差是衡量估计量与总体参数之间的差异的标准差。
它反映了估计量的不准确程度，标准误差越小，估计结果越精确。
标准误差的计算方法根据不同的问题会有所不同。
5. 确定置信区间：根据所选的统计分布和置信水平，计算出的样本统计量的置信区间。
置信区间是参数可能取值的一个范围，可以用于对参数进行估计。
6. 进行推断：最后，根据所计算出的置信区间，对总体参数进行推断。
如果所求参数的真实值落在置信区间内，我们就可以说在给定的置信水平下，参数落在这个区间内的概率很高。
区间估计的应用非常广泛，下面将列举几个常见的应用场景：1. 投票预测：在选举前夕，对选民的意见进行调查，根据样本结果进行区间估计，从而得出预测选举结果的范围。
2. 市场调查：在市场调查中，通过对样本的调查结果进行区间估计，可以推断出整个市场的特征和消费者的行为习惯，为企业的市场营销决策提供依据。
3. 药物疗效评估：在临床试验中，通过对被试者样本的观察和实验结果的统计分析，进行区间估计，判断新药物疗效的可行性和安全性。
4. 质量控制：在生产过程中，通过对产品样本的检验和统计分析，进行区间估计，可以判断产品质量是否符合要求，以及生产过程中可能存在的问题。
区间估计法
区间估计法在统计分析中，区间估计法是一种常用的方法，它可以通过一个样本来推断总体的特征。
区间估计法通常被用于描述某个总体的性质，例如总体平均数、总体比例等。
与点估计法不同，区间估计法提供了一个某一参数的估计区间，这个区间内有一定置信度我们可以认为总体参数落在这个区间内。
在进行区间估计的时候，我们需要考虑两个重要因素：置信度和样本大小。
置信度是指我们对估计结果的信心程度，通常用一个百分数来表示，比如95%、99%等。
样本大小则是指我们用来做估计的观测值的数量，样本大小越大，结果的精度也越高。
区间估计最常见的应用就是对一个总体的平均值进行估计。
当我们要估计一个总体的平均值时，我们需要知道这个总体的标准差。
然后，通过对样本的平均值和标准差以及置信度进行一些计算，我们就可以得到这个总体平均值的区间估计。
例如，当我们用95%的置信度对某个总体的平均值进行估计的时候，我们可以说这个总体的真实平均值有95%的可能性在我们计算出来的区间范围内。
除了对平均值进行估计之外，区间估计法还可以用来对总体比例、总体方差、总体标准差等进行估计。
对于总体比例的估计，我们需要知道样本中具有某种属性的比例，然后通过计算这个比例的方差和样本大小等可以得到总体比例的区间估计。
在实际应用中，区间估计法的应用非常广泛。
比如在市场调研中，我们可以通过样本来估计某一产品的受欢迎程度；在医学研究中，我们可以通过样本来估计某种治疗方法的有效性等。
值得注意的是，在使用区间估计法进行数据分析时，我们需要注意样本大小和置信度的选择。
样本量越大，我们得出的结论就越准确；置信度越高，我们得出的结论就越可靠。
但是，高置信度往往需要更大的样本量，这个在实际应用中需要谨慎考虑。
总之，区间估计法是一种非常有用的数据分析方法，它可以使我们通过少量的观测数据来推断总体的性质，为我们进行科学研究和决策提供了有力的支持。
在实际应用中，我们需要灵活使用区间估计法，并在进行数据分析时注意样本大小和置信度的选择，以达到更准确的结果。
区间估计
II. 方差 2 的置信区间
根据实际需要 , 只介绍 未知的情况.
方差 的置信度为 1 的置信区间
2
*2 *2 (n 1) Sn (n 1) Sn , 2 2 . / 2 (n 1) 1 / 2 (n 1)
推导过程如下:
因为 S
根据
7.3 参数的区间估计
一、区间估计基本概念 二、正态总体均值与方差的区间估计 三、小结
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
2 1 n 2 2 2 2 [ ] n , n 1 i 1 n
4 4 2 *2 [t1- / 2 ( n 1)]2 2 . [t1- / 2 (n 1)] E ( S n ) n n
*2 4Sn 2 2 于是 E ( L ) E [t1- / 2 (n 1)] n
推导过程如下:
因为 是 的无偏估计,
且U ~ N (0,1), / n
~ N (0,)是不依赖于任何未知参数的. / n
由标准正态分布的上 分位点的定义知
P u1 / 2 1 , / n
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间 *2 ( n 1) S * 2 ( n 1) S n n , 2 . 2 / 2 ( n 1) 1 / 2 ( n 1)
进一步可得: 标准差 的一个置信度为1 的置信区间
* n 1S n , 2 ( n 1) /2
7-3区间估计
什么问题，如果过短就有问题了．此时，可将置信上限取为 ，而
重点考虑置信下限．即对给定的置信系数1 ，设法找到一个统计量
( X1, X2 ,L , Xn ) ，使 P{ (X1, X2,L , Xn ) } 1 ，对一切 ，
此时未知参数 的置信系数为1 的置信区间为
1. 的置信系数为1 的置信区间
⑴ 2 已知的情形
G( X1, X 2 ,L , X n; ) 取为
U X ~ N(0,1) ， n
y
1
2
2
U O
2
U x
2
故对给定的 ，取 c U , d U 使得此置信区间的长度为最短．
2
2
•8
P{U
2
X
n
U }1 ，
2
故从不等式 U
2
X
n
U
2
中，等价地解得
就称区间 ($1, $2 ) ($1( X1, X 2 ,L , X n ), $2 ( X1, X 2 ,L , X n )) 为 的置信度
为 1 的 置 信 区 间 ， 并 称 $1 $1( X1, X 2 ,L , X n ) 为 置 信 下 限 ， $2 $2 ( X1, X 2 ,L , X n ) 为置信上限，1 称为置信系数或置信水平．
未知
(
2
(n
1)
,
2 1
(n
1)
)
2
2
•16
三、双正态总体均值差和方差比的置信区间（了解）
1. 1 2 的置信系数为1 的置信区间
⑴
2 1
，
2 2
均已知的
区间估计基本原理
区间估计基本原理
区间估计是指通过样本数据对总体参数进行估计时，给出一个区间范围，以及一个置信度。
区间估计的基本原理是利用样本统计量来估计总体参数，并给出一个置信区间，即有一定置信度的总体参数在该区间内。
在进行区间估计时，通常会使用样本均值、样本比例或样本方差等统计量作为总体参数的点估计。
然后结合样本大小、总体标准差或其估计值，以及所选取的置信水平，利用统计分布的性质进行计算，得到一个区间范围。
置信度是指在重复抽样的情况下，得到的置信区间能够包含真实总体参数的概率。
通常使用的置信度为95%或99%。
即如果重复进行抽样，有95%或99%的抽样结果都能够包含真实总体参数。
区间估计的基本原理是建立在大数定律和中心极限定理的基础上。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本统计量的分布会趋近于总体参数的分布。
而根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本统计量的分布会近似服从正态分布。
因此，可以利用正态分布或t分布来进行区间估计。
当给出一个置信度时，可以根据正态分布或t分布的性质，计算出一个临界值，即一个与置信度对应的取值。
然后根据样本统计量的分布情况，在样本统计量的点估计上加减一个与临界值相乘的标准误差，得到一个区间范围。
通过区间估计，可以对总体参数进行更全面、更准确的估计。
同时，区间估计也可以告诉我们有多大的把握认为总体参数在给定的区间范围内。
《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
区间估计定义和计算
在一定条件下，W 通常具有经典分布(主要
有正态、2 、T、F分布)；
4. 根据W的分布，对置信水平1－α查上侧分 位数,使
P{w1 2 W w 2 } 1
或类似的概率式成立.
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区间估计
5. 改写不等式得
P{A B} 1
May-20
其中A、B是不含未知参数的统计量.
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区间估计
May-20
称随机区间 [ˆ1为,ˆθ2的] 置信度为1－α
的区间估计（置信区间）.
1－α又称置信水平或置信概率 α称显著性水平，通常取值为0.1，0.05.
思考：应如何理解概率式
P{ˆ1( X1 ,..., X n ) ˆ2 ( X1 ,..., X n )} 1
以较大概率包 含待估参数
上面过程的关键是构造枢轴变量W，并以它 为轴心，由a≤W≤b 旋转出所需不等式
A≤θ≤B.
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区间估计
三、正态总体的区间估计
May-20
单个正态总体：X~N(, 2)
1.的估计 1) 已知 =0:
U X ~ N (0,1) 0 n
P{ u
2
X
0
n
u
2}
1
[X
0
两稻种产量的期望差的置信区间
问题：能否用另外的方法求1－2的区间估计？
分析：当 n1=n2 时（成对抽样），
记 Zi X i Yi , i 1,2, , n;
1) 已知12 和22
枢轴变量取
电子科技大学
区间估计
May-20
U ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
2 2
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2 1 2
(n 1) S
2
2
2
~ 2 (n 1)
2
0.15 0.125 0.1 0.075
则由
2
(n 1) S 2
) 1
2
得 2 的置信区间为
0.05 0.025
(n 1)S 2 (n 1)S 2 , 2 (4) 2 (n 1) 1 (n 1) 2 2
2
2
-2
1
• 2
2
4
6
8
• 2
2
10
ch7-84
例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机 抽取 6 件, 测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1
(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间 (3) 求方差 2的置信区间.
(m 1)S 22 2 ~ (m 1) 2
2 1 2 2
(n 1)S (m 1)S 2 ~ (n m 2) 2 2
( X Y ) ( 1 2 ) 1 1 (n 1) S (m 1) S n m nm2
2 1 2 2
(3) , 未知, n, m > 50, 1 2的置信区间
2 1 2 2
ch7-91
S S n m n m
2 1 2 2 2 1
2 2
( X Y ) ( 1 2 )
2 S12 S 2 n m
~ N (0,1)
X , Y 相互独立, 因此 1 2 的置信区间为
1 X ~ N 0 , 1 X ~ N , 1 5 5
取 查表得
0.05
z / 2 1.96
ch7-70
X 这说明 P 1.96 0.05 1 5
1 1 X 1 . 96 X 1 . 96 0.95 即 P 5 5
ch7-89
(2) , 未知( 但 12 22 2 ) 1 2的置信区间
2 1 2 2
X Y ~ N ( 1 2 , ) n m ( X Y ) ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n m
2 2
(n 1) S12 2 ~ (n 1) 2
Z X Y , n 1 2 2 SZ ( X i Yi ) ( X Y ) n 1 i 1
仿单个正态总体公式(2) 1 2 的置信区间为
SZ ( X Y ) t (n 1) 2 n
(8)
12 (5) 方差比 2 的置信区间 ( 1 , 2 未知) 2 2 S1 2 2 2 S1 / 1 S2 取枢轴量 F 2 2 2 ~ F (n 1, m 1) S2 / 2 1
~ t ( n m 2)
ch7-90
P
( X Y ) ( 1 2 ) 1 1 (n 1) S12 (m 1) S 22 n m nm2
t 1 2
1 2 的置信区间为
2 2 1 1 ( n 1 ) S ( m 1 ) S 1 2 ( X Y ) t 2 n m n m 2 (6)
1 1 称随机区间 X 1 . 96 , X 1 . 96 5 5
为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.
ch7-71
置信区间的意义
反复抽取容量为 5 的样本 , 都可得 一个区间 ,此区间不一定包含未知参数 的真值, 而包含真值的区间占95%.
若测得 一组样本值, 算得 x 1.86 则得一区间(1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 它可能包含也可能不包含 的真值, 反复 抽样得到的区间中有95%包含 的真值.
6
ch7-85
X ~ t (5) 查表 t0.025 (5) 2.5706 (2) 取 T S 6
由给定数据算得
2 6
x 14.95
1 2 2 s ( xi 6 x ) 0.051. s 0.226 5 i 1
ch7-86
由公式 (2) 得 的置信区间为 s s (x t0.025 (5), x t0.025 (5) ) 6 6 (14.71, 15.187 ) (3) 选取枢轴量 K 查表得
2
n
得 的置信度为 1 的置信区间为 0 0 ( X z , X z ) 2 2 n n
(2) 方差 2未知 , 的置信区间
S S X t (n 1) , X t (n 1) (2) 2 2 n n
ch7-81
n 2
得 2 的置信度为1 置信区间为
n 2 ( X i ) i 1 , 2 2 (n)
n 2
( X i ) i 1 (3) 2 1 (n) 2
ch7-83
(4) 当 未知时, 方差 2 的置信区间 选取 K
( X Y ) z 2
S S (7) n m
2 1 2 2
ch7-92
(4)
, 未知, 但 n = m , 1 2 的置信区间
2 1 2 2
令 Zi = Xi -Yi , i = 1,2,…, n, 可以将它们看成来
自正态总体 Z ~ N ( 1 2 , 12 + 22) 的样本
得置信区间 ( T1 , T2 )
引例中
( T1 , T2 ) ( X 1.96 1 , X 1.96 1 ) 5 5
ch7-79
置信区间常用公式
(一) 一个正态总体 X ~N ( 2)的情形 (1) 方差 2已知, 的置信区间
( X z
2
n
, X z
2 ) 的样本, 为取自总体 N ( ( X 1 , X 2 , , X n ) 1 1 2 ) 的样本, 为取自总体 N ( ( Y1 , Y2 ,, Ym ) 2 2
X , S ; Y , S 分别表示两样本的均值与方差
2 1
2 2
置信度为 1
ch7-88
2 2 , (1) 1 2 已知, 1 2 的置信区间 2 2 1 2 X ~ N (1 , ), Y ~ N ( 2 , ) X , Y 相互独立, n m
P(T1 T2 ) 1
置信区间或区间估计. T1 置信下限 T2 置信上限
则称 [ T1 , T2 ]为 的置信水平为1 - 的
ch7-75
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ). 例如 X～N ( , 1 / 5) 取枢轴量
X g ( X 1 , X 2 , , X n , ) ~ N (0, 1) 1/ 5
ch7-78
给定置信度 1 ,定出常数 a , b ,使得 P(a g ( X 1 , X 2 , X n , ) b) 1 ( 引例中 a 1.96, b 1.96 ) 由 a g ( X1 , X 2 , X n , ) b 解出 T1 , T2
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
常选最小的一个.
ch7-76
处理“可靠性与精度关系”的原 则 先
求参数 置信区间 保 证 可靠性
再
提 高 精 度
ch7-77
求置信区间的步骤
寻找一个样本的函数
g ( X x , X 2 , , X n , ) — 称为枢轴量
ch7-68
§7.3
区间估计
引例 已知 X ~ N ( ,1), 的无偏、有效点估计为 X
常数
随机变量
不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根据 所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.
ch7-69
如引例中，要找一个区间,使其包含 的 真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
ch7-72
为何要取 z / 2 ?
当置信区间为( X z 区间的长度为 2 z
2
1 , X z 1 ) 时 5 5 2
1
2
5
—— 达到最短
ch7-73
0.4 0.3 0.2 0.1
取 = 0.05
z z1 1.96 ( 1.96)
2 2
1
-2 -1 1
2
2
n
) (1)
推导 由 X ~ N ( , ) 选取枢轴量 n X g ( X 1 , X 2 ,, X n , ) ~ N (0,1) n
ch7-80
X 由 P z 确定 z 2 2 n 解 X z
5s
2
5S 2
2 0.025
(5) 12.833 ,
5s
2
2
~ 2 (5)
2 0975