第三章 3.1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

＝12(b＋c)－23a＝－23a＋12b＋12c.
答案：B
[活学活用] 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给 出下列向量组： ①{a，b，x}， ②{x，y，z}， ③{b，c，z}， ④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基底的向量组有______个．
解析：如图，所设 a＝―A→B ，b＝―AA→1 ，c＝―A→D ， 则 x＝―AB→1 ，y＝―AD→1，z＝―A→C ，a＋b＋c＝―AC→1 . 由 A，B1，D，C 四点不共面可知向量 x，y，z 也不共面．同 理可知 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面，可以作为空间 的基底．因 x＝a＋b，故 a，b，x 共面，故不能作为基底． 答案：3
[随堂即时演练]
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的
一组向量是
()
A．3a，a－b，a＋2b
B．2b，b－2a，b＋2a
C．a,2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面， 不能作为基底；同理可判断B，D错误． 答案：C
[类题通法] 用基底表示向量时： (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则 和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行； (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所 选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其 夹角已知或易求．
[活学活用] 如 图 ， 已 知 正 方 体 ABCD-A′B′C′D′ ， 点 E 是 上 底 面 A′B′C′D′的中心，求下列各式中 x，y，z 的值．
2.如图，在四面体OABC中，
―→ OA
＝a，
―→ OB
＝b，
―→ OC
＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，点N为
BC的中点，则―M→N ＝
()
A.12a－23b＋12c
B．－23a＋12b＋12c
C.12a＋12b－23c
D.23a＋23b－12c
解析：连接ON(图略)，―M→N ＝―O→N －―OM→＝12(―O→B ＋―O→C )－23―O→A
―B→E ＝―B→C ＋―C→E ＝－a＋12―C→P ＝－a＋12(―C→O ＋―O→P )＝ －a－12b＋12c， ―A→E ＝―A→P ＋―P→ E ＝―A→O ＋―O→P ＋12(―PO→＋―O→C ) ＝－a＋c＋12(－c＋b) ＝－a＋12b＋12c， ―E→F ＝12―C→B ＝12―O→A ＝12a.
(3)空间向量的坐标表示： 对于空间任意一个向量 p，一定可以把它 平移 ，使它 的起点与原点 O 重合，得到向量―O→P ＝p，由空间向量基本 定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xe1＋ye2＋ze3 .
把 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，
[成功破障] 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长 AB＝2，侧棱 BB1＝2，点 O，O1 分别是 AC，A1C1 的中点．若 M 为 BC1 的中点，试建立适当 的空间直角坐标系并写出―AM→的坐标．
解： 建系方法不唯一．如：连接 OB，OO1，则由已 知易得―O→B ，―O→C ，―OO→1两两垂直，故可以 O 为坐标 原点，以―O→B ，―O→C ，―OO→1的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 故 A(0，－1,0)，B( 3，0,0)，C1(0,1,2)， 则―A→B ＝( 3，1,0)，―AC→1 ＝(0,2,2)， ∴―AM→＝12(―A→B ＋―AC→1 )＝ 23，32，1.
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理 [提出问题] 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4，在 AB， AD，AD1 上分别取单位向量 e1，e2，e3.
问题 1：e1，e2，e3 共面吗？ 提示：不共面． 问题 2：试用 e1，e2，e3 表示―AB→1 .
其中，{a，b，c}叫做空间的一个 基底 ，a，b，c 都叫做 基向量 ．
[化解疑难] 1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基 底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量 共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是 0. 3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都 可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．
记作p＝(x，y，z)，即点 P 的坐标为 (x，y，z) ．
[化解疑难] 空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基 底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则 b 的坐标为(λ，μ，k).
空间向量基本定理的理解 [例 1] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且―O→A ＝e1 ＋2e2－e3，―O→B ＝－3e1＋e2＋2e3，―O→C ＝e1＋e2－e3，试判断 {―O→A ，―O→B ，―O→C }能否作为空间的一个基底． [解] 假设―O→A ，―O→B ，―O→C 共面，由向量共面的充要条 件知存在实数 x，y，使―O→A ＝x―O→B ＋y―O→C 成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)．
(1) B―D→′＝x―A→D ＋y―A→B ＋zA―A→′； (2)―A→E ＝x―A→D ＋y―A→B ＋zA―A→′.
解：(1)∵B―D→′＝―B→D ＋D―D→′＝―B→A ＋―B→C ＋D―D→′ ＝－―A→B ＋―A→D ＋A―A→′， 又B―D→′＝x―A→D ＋y―A→B ＋zA―A→′，∴x＝1，y＝－1，z＝1. (2)∵―A→E ＝A―A→′＋―A′―→E ＝A―A→′＋12A―′―C→′ ＝A―A→′＋12(A―′―B→′＋A―′―D→′)＝A―A→′＋12A―′―B→′＋12A―′―D→′ ＝12―A→D ＋12―A→B ＋A―A→′， 又―A→E ＝x―A→D ＋y―A→B ＋zA―A→′，∴x＝12，y＝12，z＝1.
空间向量基本定理的应用
[例 2] 如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形， PO⊥平面 OABC，设―O→A ＝a，―O→C ＝b，―O→P ＝c， E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a，b，c 表 示―B→F ，―B→E ，―A→E ，―E→F .
[解] 连接 BO， 则―B→F ＝12―B→P ＝12(―B→O ＋―O→P ) ＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c，
则 A0， 23，0，A10， 23，2， B1－12，0，2，C112，0，2， 所以 ―AA→1 ＝(0,0,2)，―AB→1 ＝－12，－ 23，2， ―AC→1 ＝12，－ 23，2.
[易错防范] 1．建系时，误认为―A→B 与―A→C 垂直，从而以 A 为原点， 以―A→B ，―A→C ，―AA→1 方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向 建立坐标系导致错误． 2．在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根 据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境．
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
－3x＋y＝1， ∴x＋y＝2，
2x－y＝－1，
此方程组无解，
即不存在实数 x，y，使―O→A ＝x―O→B ＋y―O→C 成立．
∴―O→A ，―O→B ，―O→C 不共面．
空间向量的正交分解及其坐标表示
[提出问题] {a，b，c}是空间的一个基底，{e1，e2，e3}是空间的单位正交 基底． 问题 1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？ 提示：一定．
问题 2：任一向量 p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是唯一的 吗？
提示：是．
问题 3：单位正交基底之间的数量积 e1·e2，e1·e3，e2·e3， e1·e1，e2·e2，e3·e3 分别为多少？
法二：如图所示，连接 AC，BD 交于点 O.则 O 为 AC，BD 的中点，连接 MO，ON，
∴―M→O ＝12―B→C ＝12―A→D ， ―O→N ＝12―A→P ， ∴―M→N ＝―M→O ＋―O→N ＝12―A→D ＋12―A→P ＝12e2＋12e3. ∴―M→N ＝0，12，12.
[类题通法] 用坐标表示空间向量的方法步骤为
提示：―AB→1 ＝4e1＋4e2＋4e3. 问题 3：若 M 为 A1B1 的中点，能否用 e1，e1，e3 表示―AM→？ 提示：能，―AM→＝4e1＋2e2＋4e3.
[导入新知] 空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面 ，那么对空间任一向量 p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc .
[活学活用] 在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中，∠AOB＝π2， AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 为 A1B1 的中点．在 如图所示的空间直角坐标系中，求―D→O ，―A1→B 的坐标．
解：∵―D→O ＝－―O→D ＝－(―OO→1＋―O1→D) ＝－[―OO→1＋12(―O→A ＋―O→B )]＝－―OO→1－12―O→A －12―O→B ＝－4e3－12×4e1－12×2e2＝－2e1－e2－4e3， ∴―D→O ＝(－2，－1，－4)． ∵―A1→B ＝―O→B －―OA→1＝―O→B －(―O→A ＋―AA→1 ) ＝―O→B －―O→A －―AA→1 ＝2e2－4e1－4e3， ∴―A1→B ＝(－4,2，－4).
故{―O→A ，―O→B ，―O→C }能作为空间的一个基底．
பைடு நூலகம்
[类题通法] 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判 断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次 判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是 否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程 组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量 不共面．