2020年中考专项复习--锐角三角函数及其应用

中考复习--锐角三角函数及其应用
1. (2019天津)2sin60°的值等于( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
2. (2019河北)如图，从点C 观测点D 的仰角是( )
A. ∠DAB
B. ∠DCE
C. ∠DCA
D. ∠ADC
3. (2019温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆 AB 的长为( )
A.
95sin α米 B. 95cos α米 C. 59sin α米 D. 59cos α
米
4.(2019广州)如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，
若tan ∠BAC ＝25
，则此斜坡的水平距离AC 为( ) A. 75 m B. 50 m C. 30 m D. 12 m
5. (2019益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( )
A. a sin α＋a sin β
B. a cos α＋a cos β
C. a tan α＋a tan β
D. a tan α＋a tan β
6. (2019凉山州)如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，cos C ＝14
，则sin B 的值为________．
7.(2019宁波)如图，某海防哨所O 发现在它的西北方向，距离哨所400米的A 处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处，则此时这艘船与哨所的距离OB 约为________米．(精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
8.如图，某数学兴趣小组为测量教学楼的高CG，先在A处用高1.5 m的测角仪AD，测得教学楼顶端G的仰角∠GDF为45°；再向前走7 m到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，且点A，B，C三点在同一水平线上，DF∥AC，点E在DF上，求教学楼的高CG(结果保留根号)．
9. (2019邵阳)某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE 与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40 cm，∠ADE ＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．(结果精确到1 cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
图①图②
10. (2019巴中)某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向．又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414 m，AB＝300 m，求出点D到AB的距离．(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈ 2.14)
11. (2019潍坊)自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造．如图②所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1∶3；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4.求斜坡CD的长．(结果保留根号)
图①图②
12. (2019眉山)如图，在岷江的右岸边有一高楼AB ，左岸边有一坡度i ＝1∶2的山坡CF ，点C 与点B 在同一水平面上，CF 与AB 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB 的高度，在坡底C 处测得楼顶A 的仰角为45°，然后沿坡面CF 上行了20 5 米到达点D 处，此时在D 处测得楼顶A 的仰角为30°，求楼AB 的高度．
参考答案
基础过关
1. C 【解析】2sin60°＝2×32
＝ 3. 2. B 【解析】∵在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，∴从点C 观测点D 的仰角为∠DCE .
3. B 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由轴对称性质可知，BC ＝3＋0.3×2
＝3.6米，∴BD ＝1.8米，∵cos α＝BD AB ，∴AB ＝BD cos α＝1.8cos α＝95cos α
米．
第3题解图
4. A 【解析】tan ∠BAC ＝
BC AC ＝30AC ＝25，解得AC ＝75 m . 5. C 【解析】在Rt △ABD 中，∵AB ＝a ，∠DAB ＝β，tan ∠DAB ＝BD AB
，∴BD ＝a tan β.在Rt △ABC 中，∵AB ＝a ，∠BAC ＝α，tan ∠BAC ＝BC AB
，∴BC ＝a tan α.∴CD ＝BC ＋BD ＝a tan α
＋a tan β. 6. 104 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
第6题解图
∵cos C ＝14
，AC ＝4，∴CD ＝1，∴BD ＝3，在Rt △ACD 中，AD ＝42－12＝15，在Rt △ABD 中，AB ＝（15）2＋32＝26，∴sin B ＝AD AB ＝1526＝104
. 7. 566 【解析】如解图， 设AB 与正北方向线的交点为C ，则AB ⊥OC ，由题意知在
等腰Rt △OAC 中，OA ＝400，∴OC ＝2002，在Rt △OCB 中，∠BOC ＝60°，∴OB ＝OC cos ∠BOC
＝2002cos60°＝4002≈566(米)．
第7题解图
能力提升
1. 解：设EF ＝x m ，
在Rt △GEF 中，∠GFE ＝90°，∠GEF ＝60°，
∴GF ＝EF ·tan60°＝3x .
在Rt △GDF 中，∠GFD ＝90°，∠GDF ＝45°，
∴DF ＝GF ，
∴7＋x ＝3x ，
∴x ＝73－1
＝73＋72，
GF ＝3x ＝21＋732
， ∴GC ＝GF ＋FC ＝GF ＋AD ＝24＋732
(m)． ∴教学楼的高CG 为24＋732
m. 2. 解：设OB ＝OE ＝x cm ，则OD ＝(190＋x )cm ，
在Rt △ODC 中，∠ODC ＝30°，
∴OC ＝12OD ＝(95＋12
x )cm ， ∴BC ＝OC －OB ＝ (95－12
x )cm ， 又∵在Rt △ABC 中，BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝40×tan65°，
∴95－12
x ＝40×tan65°， 解得x ≈19.
答：OB 的长度约为19 cm.
3. 解：如解图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，则四边形DFBE 是矩形，设DE ＝x ，
在Rt △ADE 中，∠AED ＝90°，
∴tan ∠DAE ＝DE AE
， ∴AE ＝DE tan ∠DAE ≈x tan65°
， ∴BE ＝AB －AE ＝300－x tan65°
， ∵BF ＝DE ＝x ，
∴CF ＝414－x .
在Rt △CDF 中，∠DFC ＝90°，∠DCF ＝45°，
∴DF ＝CF ＝414－x .
又∵BE ＝DF ，
即300－x
tan65°＝414－x，
解得x≈214.
答：点D到AB的距离约为214 m.
第3题解图
满分冲关
1.解：设CE＝x米，则AE＝AC＋CE＝(20＋x)米，
∵斜坡AB的坡度为1∶3，
∴BE＝3(20＋x)米，
∵AB＝200米，
∴在Rt△AEB中，AE2＋BE2＝AB2，即(20＋x)2＋[3(20＋x)]2＝2002，解得x＝80或x＝－120(舍去)，
即CE＝80米．
∵斜坡CD的坡度为1∶4，
∴DE＝4×80＝320米，
∴CD＝CE2＋DE2＝8017米．
答：斜坡CD的长为8017米．
2.解：如解图，过点D作DM⊥AB于点M，
第2题解图
设DE＝x，根据坡度i＝1∶2可得EC＝2x，
∵DC＝205，
∴在Rt△DEC中，由勾股定理可得x2＋(2x)2＝(205)2，解得x＝20(负值舍去)，则EC＝40，
∵∠ACB＝45°，设AB＝y，则BC＝y，
∴DM＝EB＝EC＋BC＝40＋y，AM＝y－20，
∵tan∠ADM＝
3 3，
∴AM
DM＝
y－20
40＋y＝
3
3，
解得y＝303＋50.
答：楼AB的高度为(303＋50)米．。