专题十五函数与方程(组)、不等式
函数与方程不等式之间的关系
函数与方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式是数学中的基本概念，它们之间存在密切的联系。
函数是描述两个变量之间关系的数学模型，通常表示为 y = f(x)，其中 x 和
y 是变量，f 是函数关系。
函数有多种类型，其中一次函数是最简单的一种，表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。
方程是含有未知数的等式，用来表示未知数和已知数之间的关系。
一元一次方程是最简单的一类方程，形如 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个方程可以得到未知数的值。
不等式是用不等号连结的两个解析式，表示两个量之间的大小关系。
一元一次不等式是最简单的一类不等式，形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个不等式可以得到满足不等式的值的范围。
函数、方程和不等式之间存在密切的联系。
一次函数和一元一次方程、一元一次不等式之间的关系特别重要。
对于一次函数 y = ax + b，当函数的值等于 0 时，自变量 x 的值就是一元一次方程 ax + b = 0 的解。
如果一次函数的值大于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b > 0；如果一次函数的值小于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b < 0。
因此，函数、方程和不等式是相互联系的，可以通过它们之间的关系来理解和解决数学问题。
(教案)函数与方程、不等式之间的关系
函数与方程、不等式之间的关系【第1课时】【教学过程】一、新知初探1．函数的零点（1）函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称实数α为函数y＝f（x）的零点．（2）三者之间的关系：函数f（x）的零点⇔函数f（x）的图像与x轴有交点⇔方程f（x）＝0有实数根．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x 的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．二、初试身手1．函数y＝1＋1x的零点是（）A．（－1，0）B．x＝－1C ．x ＝1D ．x ＝0答案：B解析：令1＋1x ＝0解得x ＝－1， 故选B ．2．根据表格中的数据，可以断定方程e x －（x ＋2）＝0（e≈2．72）的一个根所在的区间是（ ）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）答案：C解析：令f （x ）＝e x －（x ＋2），则f （－1）＝0．37－1<0，f （0）＝1－2<0，f （1）＝2．72－3<0，f （2）＝7．40－4＝3．40>0．由于f （1）·f （2）<0，∴方程e x －（x ＋2）＝0的一个根在（1，2）内．3．若f （x ）＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m ≠±2 D ．1＜m ＜3答案：A解析：∵f （x ）＝－x 2＋mx －1有正值， ∴Δ＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2．4．不等式1＋x1－x ≥0的解集为________．答案：[－1，1）解析：原不等式等价于（x ＋1）（x －1）≤0，且x －1≠0，∴－1≤x ＜1． 三、合作探究类型1：函数的零点及求法例1：求函数f （x ）＝x 3－7x ＋6的零点． 解：令f （x ）＝0，即x 3－7x ＋6＝0， ∴（x 3－x ）－（6x －6）＝0，∴x （x －1）（x ＋1）－6（x －1）＝（x －1）·（x 2＋x －6）＝（x －1）（x －2）（x ＋3）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝2，x 3＝－3，∴函数f （x ）＝x 3－7x ＋6的零点是1，2，－3． 规律方法求函数y ＝f （x ）的零点通常有两种方法：一是令y ＝0，根据解方程f （x ）＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y ＝f （x ）的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1．如图所示是一个二次函数y ＝f （x ）的图像．（1）写出这个二次函数的零点；（2）试比较f （－4）·f （－1），f （0）·f （2）与0的大小关系． 解：（1）由图像可知，函数f （x ）的两个零点分别是－3，1． （2）根据图像可知，f （－4）·f （－1）＜0，f （0）·f （2）＜0． 类型2：二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 例2：利用函数求下列不等式的解集： （1）x 2－5x －6＞0；（2）（2－x ）（x ＋3）＜0； （3）4（2x 2－2x ＋1）＞x （4－x ）．解：（1）方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6． 结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图像知， 原不等式的解集为（－∞，－1）∪（6，＋∞）． （2）原不等式可化为（x －2）（x ＋3）＞0． 方程（x －2）（x ＋3）＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3． 结合二次函数y ＝（x －2）（x ＋3）的图像知， 原不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）． （3）由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2， 即9x 2－12x ＋4＞0．解方程9x 2－12x ＋4＝0，解得x 1＝x 2＝23． 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞．规律方法利用函数求不等式解集的基本步骤1．把一元二次不等式化成一般形式，并把a 的符号化为正； 2．计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ； 3．求其对应一元二次方程的根； 4．写出解集大于取两边，小于取中间． 跟踪训练2．利用函数求下列不等式的解集： （1）2x 2＋7x ＋3＞0； （2）－x 2＋8x －3＞0； （3）x 2－4x －5＜0； （4）－4x 2＋18x －814＞0．解：（1）对于方程2x 2＋7x ＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0， 所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝－3，x 2＝－12． 又因为二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞．（2）对于方程－x 2＋8x －3＝0，因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52＞0， 所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝4－13，x 2＝4＋13． 又因为二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图像开口向下， 所以原不等式的解集为（4－13，4＋13）． （3）原不等式可化为（x －5）（x ＋1）＜0， 所以原不等式的解集为（－1，5）．（4）原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922＜0， 所以原不等式的解集为∅．类型3：用函数零点法求一元高次不等式的解集例3：求函数f （x ）＝（x －1）（x －2）（x ＋3）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f （x ）≥0和f （x ）＜0的解集．解：函数的零点为－3，1，2．函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为[－3，1]∪[2，＋∞），f（x）＜0的解集为（－∞，－3）∪（1，2）．规律方法解题步骤：1．求出零点；2．拆分定义域；3．判断符号；4．写出解集．注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间．跟踪训练3．求函数f（x）＝（1－x）（x－2）（x＋2）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函数的零点为－2，1，2．由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为（－∞，－2]∪[1，2]，f（x）＜0的解集为（－2，1）∪（2，＋∞）．四、课堂小结1．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图像交点的横坐标，也是函数y＝f （x）－g（x）的图像与x轴交点的横坐标．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．五、当堂达标1．下列图像表示的函数中没有零点的是（）答案：A解析：B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是（）A．（－1，0）B．（1，2）C．一个根在（－1，0）上，另一个根在（1，2）上D．一个根在（0，1）上，另一个根在（－2，－1）上答案：C解析：∵f（－1）·f（0）＜0，f（1）·f（2）＜0，∴选C．3．函数f（x）＝x－1x零点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C解析：令x－1x＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1．∴f（x）＝x－1x的零点有两个．4．函数f（x）＝（x2－1）（x＋2）2（x2－2x－3）的零点个数是________．答案：4解析：f（x）＝（x＋1）（x－1）（x＋2）2（x－3）（x＋1）＝（x＋1）2（x－1）（x＋2）2（x－3）．可知零点为±1，－2，3，共4个．【第2课时】【教学过程】一、新知初探1．函数零点的存在性定理如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f （a ）f （b ）＜0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]中至少有一个零点，即∃x 0∈[a ，b ]，f （x 0）＝0．2．二分法的定义（1）二分法的条件：函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断且f （a ）f （b ）＜0． （2）二分法的过程：通过不断地把函数f （x ）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f （x ）在[a ，b ]上的零点近似值的步骤是：第一步：检查|b －a |＜2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b2，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步：计算区间[a ，b ]的中点a ＋b 2对应的函数值，若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，转到第三步． 第三步 若f （a ）f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2的值赋给b ⎝ ⎛⎭⎪⎫用a ＋b 2→b 表示，下同，回到第一步；若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f （b ）＜0，将a ＋b 2的值赋给a ，回到第一步． 二、初试身手1．下列函数不宜用二分法求零点的是（ ） A ．f （x ）＝x 3－1 B ．f （x ）＝ln x ＋3 C ．f （x ）＝x 2＋22x ＋2 D ．f （x ）＝－x 2＋4x －1答案：C解析：因为f （x ）＝x 2＋22x ＋2＝（x ＋2）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数f （x ）在区间[a ，b ]上不可能有零点B ．函数f （x ）在区间[a ，b ]上一定有零点C ．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上有零点，则必有f （a ）·f （b ）＜0D ．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上没有零点，则必有f （a ）·f （b ）＞0 答案：D解析：函数f （x ）在区间[a ，b ]上为单调函数，如果f （a ）·f （b ）＜0，可知函数在（a ，b ）上有一个零点，如果f （a ）·f （b ）＞0，可知函数在[a ，b ]上没有零点，所以函数f （x ）在区间[a ，b ]上可能没有零点，也可能有零点，所以A 不正确； 函数f （x ）在区间[a ，b ]上可能有零点，也可能没有零点；所以B 不正确；若函数f （x ）在区间[a ，b ]上有零点，则可能f （a ）·f （b ）＜0，也可能f （a ）·f （b ）＝0所以C 不正确；若函数f （x ）在区间[a ，b ]上没有零点，则必有f （a ）·f （b ）＞0，正确；故选D ．] 3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（ ） A ．ε越大，零点的精确度越高 B ．ε越大，零点的精确度越低 C ．重复计算次数就是ε D ．重复计算次数与ε无关 答案：B解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．4．若函数f （x ）的图像是连续不断的，且f （0）>0，f （1）·f （2）·f （4）<0，则下列命题正确的是________．①函数f（x）在区间（0，1）内有零点；②函数f（x）在区间（1，2）内有零点；③函数f（x）在区间（0，2）内有零点；④函数f（x）在区间（0，4）内有零点．答案：④解析：∵f（0）>0，而由f（1）·f（2）·f（4）<0，知f（1），f（2），f（4）中至少有一个小于0．∴（0，4）上有零点．三、合作探究类型1：判断函数零点所在的区间例1：求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．证明：设f（x）＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．因为f（－1）＝3＞0，f（0）＝－2＜0，f（2）＝6＞0，所以方程在（－1，0），（0，2）内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．规律方法一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．跟踪训练1．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0答案：C解析：对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．类型2：对二分法概念的理解例2：下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（）答案：B解析：利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．规律方法二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可．跟踪训练2．如图是函数f（x）的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f（x）的零点近似值的是（）A．（－2．1，－1）B．（1．9，2．3）C．（4．1，5）D．（5，6．1）答案：B解析：只有B中的区间所含零点是不变号零点．类型3：用二分法求函数零点例3：求函数f（x）＝x2－5的负零点．（精确度为0．1）解：由于f（－2）＝－1<0，f（－3）＝4>0，故取区间（－3，－2）作为计算的初始区间，区间中点的值中点函数近似值（－3，－2）－2．51．25（－2．5，－2）－2．250．0625（－2．25，－2）－2．125－0．4844（－2．25，－2．125）－2．1875－0．2148由于|－2．25－（－2．1875）|＝0．0625<0．1，所以函数的一个近似负零点可取－2．25．规律方法利用二分法求函数零点应关注三点1．要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．2．用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．3．根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．跟踪训练3．证明函数f（x）＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点（精确度为0．1）．解：由于f（1）＝－1<0，f（2）＝4>0，又函数f（x）在[1，2]内是增函数，所以函数在因为|1．1875－1．25|＝0．0625<0．1，所以函数f（x）＝2x＋3x－6的精确度为0．1的近似零点可取为1．25．类型4：用二分法求方程的近似解例4：用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解（精确度为0．1）．解：令f（x）＝2x3＋3x－3，经计算，f（0）＝－3<0，f（1）＝2>0，f（0）·f（1）<0，所以函数f（x）在（0，1）内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在（0，1）内有解．取（0，1）的中点0．5，经计算f（0．5）<0，又f（1）>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在（0．5，1）内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1，所以0．75可作为方程的一个正实数近似解．规律方法用二分法求方程的近似解应明确两点（1）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f（x）＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．（2）对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．跟踪训练4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解．（精确度0．1）解：设f（x）＝x2－2x－1．∵f（2）＝－1<0，f（3）＝2>0．∴在区间（2，3）内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0．取2与3的平均数2．5，∵f（2．5）＝0．25>0，∴2<x0<2．5；再取2与2．5的平均数2．25，∵f（2．25）＝－0．4375<0，∴2．25<x0<2．5；如此继续下去，有f（2．375）<0，f（2．5）>0⇒x0∈（2．375，2．5）；f（2．375）<0，f（2．4375）>0⇒x0∈（2．375，2．4375）．∵|2．375－2．4375|＝0．0625<0．1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0．1的近似解可取为2．4375．四、课堂小结1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：（1）在区间[a，b]上连续不断；（2）f（a）·f（b）<0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．五、当堂达标1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上（）A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点答案：B解析：令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．2．用二分法求函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值（精确到0．1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝－2，f（1．5）＝0．625，f（1．25）≈－0．984，f（1．375）≈－0．260，关于下一步的说法正确的是（）A．已经达到精确度的要求，可以取1．4作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1．375作为近似C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．4375）D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．3125）答案：C解析：由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间（1．375，1．5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．4375）．故选C．3．函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（）答案：B4．用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当|a n－b n|＜ε时，函数的近似零点a n＋b n2与真正零点的误差不超过A．εB．1 2εC．2εD．1 4ε答案：B解析：根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|a n－b n|＜ε时，区间[a n，b n]的中点x n＝12（a n＋b n）就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过12ε．故选B．。
函数与方程、不等式之间的关系 PPT
答案：D
4．若函数 f（x）＝x2－ax－b 的两个零点是 2 和 3， 则函数 g（x）＝bx2－ax－1 的零点是________。
解析：由2322－－23aa－－bb＝＝00，，
答案：B
2．函数 f（x）＝ 3x－x2的定义域为（ ）
A．[0，3]
B．（0，3）
C．（－∞，0]∪[3，＋∞） D．（－∞，0）∪（3，
＋∞）
解析：要使函数 f（x）＝ 3x－x2有意义，则 3x－ x2≥0，即 x2－3x≤0，解得 0≤x≤3。
答案：A
3．函数 f（x）＝x3－x 的零点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
求函数 y＝f（x）的零点通常有两种方法：其一是 令 f（x）＝0，根据解方程 f（x）＝0 的根求得函数的零 点；其二是画出函数 y＝f（x）的图像，图像与 x 轴的 交点的横坐标即为函数的零点。
跟踪训练 1 若函数 f（x）＝x2＋x－a 的一个零点是 －3，求实数 a 的值，并求函数 f（x）其余的零点。
函数与方程、不等式之间的关系
最新课程标准： 运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）， 再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本 过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决 问题的方法。
知识点一 函数的零点 1．零点的定义 一般地，如果函数 y＝f（x）在实数 α 处的函数值 等于零，即 f（α）＝0，则称 α 为函数 y＝f（x）的零点。 2．方程的根与函数零点的关系
a＝5， 得b＝－6
∴g（x）＝－6x2－5x－1 的零点是－12，－13。
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。
高中数学总复习(函数、方程、不等式)
函数、方程、不等式、 一、函数、方程、不等式、
例6、已知a>0,函数f(x)=ax-bx2 (1)当b>0时，若对任何x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2√b. (2)当b>1时，证明对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条 件是b-1≤a≤2√b . (3)当0<b≤1,讨论：对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要 条件。
分析： ①
x
(a≠0,a﹥0)
例1、已知函数f(x)=㏒2(mx-m+1)在〔0,2）上总有意义，求实数m的
f(x)=㏒2(mx-m+1)在〔0,2）上总有意义＜＝＞mx-m+1＞0
在〔0,2）上恒成立。及g(x)=mx-m+1在〔0,2）上g(x) ﹥0恒成立
②在〔0,2）上g(x) ﹥0恒成立﹤==﹥g(x)在〔0,2）上最小值﹥0 g(0)>0 ③g(x)=mx-m+1 在〔0,2）上最小值的求法？ g(2) ≧0
｛
略 解：
m −1 ≤ −2 2
F(-2)>0或
{
F(2)>0
{ m≤−3 {
或
m > −
3 2
m <
7 2
−
改编②已知函数g(x)=x-m，当x∈(-３，５）时函数图象与x轴没有公共点。 求实数m的取值范围。 分析：g(x)>0 x-m>0 m<x,而 －３<x<5, ∴m≤-3 故ｍ≤－３ 或ｍ≥５ 若g(x)<0 x-m <o m>x,而－３<x<5 ∴ m≥5
x
2
1 ⑤即 x − m > 0 , x ∈ ( − 3 , 5 ) ∴x-m>0,-3<x<5 故 m≤-3 x +1−a 例4、已知函数f(x)= a−x ,a∈R ⑴证明：函数y=f(x) 的图象关
函数方程不等式专题
函数、方程、不等式综合应用专题一、专题介绍函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。
函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。
函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。
也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。
而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。
因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。
这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。
这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。
考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。
解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。
三、考点精讲考点一:一次函数，反比例函数，二次函数综合1.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D解析：∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0， ∵对称轴x=- b/2a ＜0，∴b ＜0， ∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数y= a x 位于第二四象限， 纵观各选项，只有C 选项符合． 故选C ． 课堂练习：1已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线 上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=﹣abx 2+（a+b ）x （ ）A ．有最大值，最大值为B ．有最大值，最大值为C ．有最小值，最小值为D ．有最小值，最小值为2.某公司销售一产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y （万件）与销售单价x （元）存在如图所示的关系，每年销售该产品的总开支z （万元）（不含进价）与年销量y （万件）存在函数关系z=10y+42.5．（1）求y关于x的函数关系式；（2）写出该公司销售该产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？考点二：函数与方程（组）综合应用例2．某乡镇决定对小学和初中学生用餐每生每天3元的标准进行营养补助，其中家庭困难的学生的补助标准为：小学生每生每天4元，初中生每生每天5元，已知该乡镇现有小学生和初中学生共1000人，且小学、初中均有2%的学生为家庭困难寄宿生．设该乡镇现有小学生x人．（1）用含x的代数式表示：该乡镇小学生每天共需营养补助费是____元．该乡镇初中生每天共需营养补助费是_____元．（2）设该乡镇小学和初中生每天共需营养补助费为y元，求y与x之间的函数关系式；（3）若该乡镇小学和初中学生每天共需营养补助费为3029元，问小学生、初中生分别有多少人？解答：解：（1）小学生每天所需营养费=4×2%x+3（1﹣2%）x=3.02x；中学生所需营养费=5×2%（1000﹣x）+3×（1﹣2%）（1000﹣x）=3040﹣3.04x；（2）根据题意得y=3.02x+3040﹣3.04x=3040﹣0.02x；（3）令y=3029,故3040﹣0.02x=3029解得：x=550,故中学生为1000﹣550=450人．答：小学生有550人，中学生有450人．课堂练习3．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？4.体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）若矩形ABCD 的面积为50平方米，且AB ＜AD ，请求出此时AB 的长.考点三：函数与不等式（组）综合应用例3.国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价y 1（万元）之间满足关系式y 1=170-2x ，月产量x （套）与生产总成本y 2（万元）存在如图所示的函数关系. （1）直接写出．．．．y 2与x 之间的函数关系式； （2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？解：（1）y 2=500+30x. （2）依题意得：⎩⎨⎧≥-≤+.902170,5030500x x x解得：25≤x ≤40（3）∵W =xy 1-y 2=x (170-2x )-(500+30x )=-2x 2+140x -500,∴W =-2(x -35)2+1950.而25<35<40, ∴当x =35时，1950=最大W .即月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元． 课堂练习：5.某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．（1）设购买排球数为x （个），购买两种球的总费用为y （元），请你写出y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？ （3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？6.为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A 、B 两种型号的收割机共30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的进价和售价见下表：A型收割机B型收割机进价（万元/台） 5.3 3.6售价（万元/台）64设公司计划购进A型收割机台，收割机全部销售后公司获得的利润为万元．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？7．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某，乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部．．运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？8.某工厂有一种材科，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完戚．并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息。
35函数与方程(组)不等式PPT课件
中考热点1:一次函数与一元一次方 程、一元一次不等式的综合应用.
• 例1(2008河南)某校八年级举行英语演讲比赛, 派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本 作为奖品,经过了解得知,该超市的A、B两种 笔记本的价格分别是12元和8元,他们准备购 买这两种笔记本共30本.
• (1)如果他们计划用300元购买奖品,那么能买 这两种笔记本各多少本?
课堂小结
• 说说本节课我们学了什么,还有什么不太 清楚的地方吗?
自主训练
•1.(1)y1=12x+50;(2)y2=18x; • (3)当x=6时y2=108,而y1=122,y2<y1,没有超过小 明;
• (4)由18x>12x+50,得x>25/3,所以至少要9个月
后小丽存款数超过小明
•2.(1) •3.y=-
• 1.小明准备将平时的零用钱节约一些储存起 来,他已存有50元,从现在起每个月存12元.
• (3)半年以后小丽的存款数是多少?是否超过 了小明?
自主训练1(4)
• 1.小明准备将平时的零用钱节约一些储存起 来,他已存有50元,从现在起每个月存12元.
• (4)至少几个月后小丽的存款数超过小明?
自主训练2(1)
中考热点4: 二次函数与方程、不等 式的综合应用(1)
• 例4抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点.
(1)求出m的值 并画出这条抛 物线;
中考热点4: 二次函数与方程、不等 式的综合应用(2)
• 例4抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点.
(2)求它与x轴的 交点和抛物线顶 点的坐标;
• 1. 一次函数与一元一次方程、一元一次不等 式的关系,一次函数与二元一次方程(组)的关 系,二次函数与一元二次方程、不等式的关系, 题型以解答题为主.
函数,方程,不等式之间关系
数学补习（一）一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系1、一元一次方程、一次函数的关系由于任何一元一次方程都可以转化为 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当 时，求 的值。
从图象上看，这相当于已知 ，确定 的值。
2、一元一次不等式与一次函数的关系 （1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a ≠0）是一次函数y=ax+b （a ≠0）•的函数值的情形．（2）直线y=ax+b 上使函数值y>0（x 轴上方的图像）的x 的取值范围是ax+b 0 的解集；使函数值y<0（x 轴下方的图像）的x 的取值范围是ax+b 0的解集．典型例题例1 如图是一个一次函数，请根据图像回答问题： （1）当x ＝0时，y ＝ ，当y ＝0时，x ＝ ； （2）写出直线对应的一次函数的表达式 ；（3）一元一次方程 12 x+2=0和一次函数 y= 12x+2 有什么联系？一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系（填写下表）1．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根 2．一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况填上表。
函数不等式知识点归纳总结
函数不等式知识点归纳总结函数不等式是解决数学问题中常见的一种形式，它涉及到函数的不等关系及其解集。
本文将对函数不等式的概念、解法和应用进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用函数不等式。
一、函数不等式的概念函数不等式是指含有函数的不等式关系，其中函数可以是一元函数或多元函数。
函数不等式可以包含一个或多个变量，并且其解集通常是一个或多个实数区间。
解函数不等式的主要目标是确定变量的取值范围，以满足不等式关系。
二、一元函数不等式的解法解一元函数不等式的方法主要包括图像法、代数法和符号法。
图像法借助函数的图像找到不等式的解集；代数法借助代数运算和推导解出不等式的解集；符号法则通过符号变换和符号性质推导解出不等式的解集。
2.1 图像法图像法是通过函数的图像来解不等式的方法。
首先，绘制函数的图像，并观察函数图像的凹凸性、单调性和零点等信息。
然后，根据函数图像的性质确定不等式的解集。
2.2 代数法代数法是通过代数运算和推导来解不等式的方法。
利用一元函数的性质，将不等式进行化简、移项和分式分解等操作，最终得到不等式的解集。
2.3 符号法符号法是通过符号变换和符号性质来解不等式的方法。
不等式中的符号可根据不等式的性质进行变换，并利用符号性质推导出不等式的解集。
常见的符号性质包括非负性、相反性、单调性和倍数性等。
三、多元函数不等式的解法解多元函数不等式的方法主要包括图像法和代数法。
其中，图像法借助多元函数的图像确定不等式的解集；代数法则通过代数运算和推导解出不等式的解集。
3.1 图像法图像法是通过多元函数的图像来解不等式的方法。
首先，绘制多元函数的图像，并观察函数图像的变化趋势。
然后，根据函数图像的性质确定不等式的解集。
3.2 代数法代数法是通过代数运算和推导来解不等式的方法。
利用多元函数的性质，将不等式进行化简、移项和分式分解等操作，最终得到不等式的解集。
四、函数不等式的应用函数不等式在数学和实际问题中有着广泛的应用。
中考数学专题复习课件 --- 第十五讲函数与方程(组)、不等式
的取值范围.
【思路点拨】把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c，得关
于b、c的二元一次方程组,解方程组得b、c的值,从而得到函 数值y为正数时，自变量x的取值范围.
【自主解答】(1)把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c， 得 1 b c 0 ，解得
所以直线AB与直线CD的交点坐标为(-2，2).
1.(2010· 孝感中考)若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为常 数)的交点在第四象限，则整数m的值为( (A)-3，-2，-1，0 )
(B)-2，-1，0，1
(C)-1，0，1，2
(D) 0，1，2，3
【解析】选B.解方程组 x 2y 2m
x 2 2 x 2 8. (2010·黄冈中考)若函数 y , 则当函数值 2x x 2
y＝8时，自变量x的值是( (A) 6 (C) 6 或4
)
(B)4 (D)4或 6
【解析】选D.本题函数有两种情况(1)y=x2+2,当 y＝8时 ,有
3 y x，整理得 3.5 2
4.(2011·连云港中考)因长期 干旱，甲水库蓄水量降到了正 常水位的最低值.为灌溉需要， 由乙水库向甲水库匀速供水， 20 h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20 h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40 h，乙水库 停止供水.甲水库每个排泄闸的灌溉速度相同，图中的折线表
【例3】(2010 ·株洲中考)二次函数 y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所 示,根据图中信息可得到m的值是_____. 【思路点拨】由图象可以看出抛物线与 x轴的一个交点的坐标,把这个交点坐标 代入二次函数y=x2-mx+3,解方程得m的值.
数学函数不等式知识点总结
数学函数不等式知识点总结一、常见的函数不等式类型在数学中，函数不等式涉及到各种类型的函数，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
这些函数类型在不等式中都有着各自的特点和解法方法。
接下来我们将针对这些常见的函数类型分别进行介绍。
1.1 线性函数不等式线性函数的一般形式为：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
线性函数不等式的形式为：ax + b > 0或者ax + b < 0。
解线性函数不等式最常用的方法就是通过解一元一次不等式，首先将不等式化为一元一次不等式，然后通过移项、乘除以常数等基本操作进行解答。
1.2 二次函数不等式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数不等式的形式为：ax^2 + bx + c > 0或者ax^2 + bx + c < 0。
解二次函数不等式的方法通常有两种，一种是通过画出二次函数的图像，找出函数的取值范围；另一种是通过配方法或者公式法解出二次函数的解析式。
1.3 指数函数不等式指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。
指数函数不等式的形式为：a^x > b或者a^x < b。
解指数函数不等式的方法通常是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
1.4 对数函数不等式对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a≠1。
对数函数不等式的形式为：loga(x) > b或者loga(x) < b。
解对数函数不等式的方法通常也是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
需要注意的是，对数函数的定义域为正实数，所以在解对数函数不等式时需要考虑函数的定义域。
二、函数不等式的解法方法解函数不等式的方法通常有几种常见的技巧和步骤，下面我们将对这些解法方法进行介绍。
2.1 移项法移项法是解一元一次不等式的常用方法，通过将不等式中的项移到一边，使得不等式变为一个不含未知数的式子，然后再求解不等式。
方程,不等式,函数的应用
方程,不等式,函数的应用
《方程、不等式、函数的应用》
一、方程
方程是表示数量关系的数学式子，常用来描述问题的解，通过解方程，可以解决实际问题。
方程的形式有很多，其中一类是多项式方程，如二次方程、三次方程等，它们的解法也有很多种；另一类是不定方程，如极限方程、微分方程等，解它们需要经过长时间研究。
而现在，由于计算机处理数学方程的强大性能，很多复杂的方程都能够快速求解出来。
二、不等式
不等式是由大于，小于，不等号组成的一种数学运算，表示数量间不相等的关系。
不等式的种类有一元不等式、一元二次不等式、不定不等式等，其解法也有一般解法和特例解法等，只有在解不等式时正确地对待每个不等号，才能得出正确的结果。
三、函数
函数是根据特定的规则，将输入数据映射到输出结果的一种运算，函数有许多种，如定义域、值域、分段函数，反函数等等，它们都是数学的重要组成部分。
函数的应用范围很广，主要是分析数据关系和描述实际现象，正确地研究和利用函数，能够得到更深刻的结论，也能够解决更多的具体问题。
- 1 -。
函数与方程组不等式
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
第 十 四 讲
二次函数与一元二次不等式
第 十
五
讲
1. 一元二次不等式 ax2+ bx+ c> 0(或< 0)的解集,即函数 y= ax2+ bx+ c 使其
讲
第
次方程 x2- 6x+ n= 0 的一个解为 x1= 1,则另一个解 x2=
.
十
五
讲
【答案】 5
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
7. (2011·江苏南京)已知函数 y= m x2- 6x+ 1(m 是常数).
第
十
四
(1)求证:不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点;
(3)在(2)的条件下,哪种生产方案获利最大?并求出最大利润.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
【解析】 (1)设生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品(10- x)件,于是有
第
十
四
x+ 3(10- x)= 14,解得 x= 8,
讲
第
则 10- x= 10- 8= 2(件)∴应生产 A 种产品 8 件,B 种产品 2 件.
2. 解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大于(或小于)0 时,求
相应的取值范围.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
第
3. 每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从
十 四
讲
“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个
求解函数不等式知识点总结
求解函数不等式知识点总结1. 函数不等式的含义函数不等式是指含有函数的不等式，它既包括一次函数和二次函数的不等式，也包括其他类型函数的不等式。
对于一次函数和二次函数，函数不等式的含义与普通的不等式并无太大不同，都是要求找到函数的定义域上满足不等式的解集；而对于其他类型函数，函数不等式的含义可能会涉及到函数的单调性、增减性等特性。
2. 函数不等式的解法求解函数不等式的一般步骤是：首先确定函数的定义域，然后根据函数的性质进行不等式的求解。
对于一次函数和二次函数，可以直接通过函数图像和一元一次不等式的解法求解；对于其他类型函数，可能需要利用函数的单调性、增减性等性质进行求解。
3. 常见函数不等式类型常见的函数不等式类型包括一次函数不等式、二次函数不等式、有理函数不等式、指数函数不等式、对数函数不等式等。
对于一次函数和二次函数，它们的不等式形式比较简单，求解方法也比较直接；而对于有理函数、指数函数、对数函数等非线性函数，可能需要借助函数的性质进行求解。
4. 函数不等式的应用函数不等式在数学问题和实际问题中都有着广泛的应用。
在数学问题中，函数不等式通常作为解答题目的关键步骤，例如求解极限、不等式证明等；在实际问题中，函数不等式也常常用来描述某些自然现象、经济现象等，例如求解最优化问题、证明某些物理规律等。
5. 函数不等式的拓展除了一元函数不等式外，还有多元函数不等式的求解。
多元函数不等式通常涉及到多个变量，求解方法会比一元函数不等式更加复杂，需要借助多元函数的性质和二元函数不等式的求解方法。
总的来说，求解函数不等式是高中数学中的重要内容，它涉及到函数的性质和不等式的解法。
通过本文的总结，希望读者能够更好地理解和掌握函数不等式的知识点，为今后的学习和应用打下坚实的基础。
函数、方程与不等式的关系精讲精析(解析版)
函数、方程与不等式的关系精讲精析点点突破热门考点01 求函数的零点1．函数的零点(1)定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几何意义：函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标就是函数y ＝f (x )的零点． (3)结论：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点 【典例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f (x )＝x ＋3x ；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； 【答案】(1)－3.(2)不存在零点．【解析】分析：分别令各个解析式等于0，根据方程是否有根来确定函数的零点． (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数 f (x )＝x ＋3x 的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解， 所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． 【典例2】（2020·上海高三三模）函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ．【答案】4 【解析】作出函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象，方程()f x b =有四个不同的实数解， 等价为()y f x =和y b =的图象有4个交点， 不妨设它们交点的横坐标为1x 、2x 、3x 、4x ， 且1234x x x x <<<，由1x 、2x 关于原点对称，3x 、4x 关于(2,0)对称， 可得120x x +=，344x x +=， 则12344x x x x +++=． 故答案为：4．【总结提升】1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f (x )的零点就是f (x )＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根．即函数y ＝f (x )的零点⇔方程f (x )＝0的实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标． 2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．, 【变式探究】（2019·贵州省凯里一中高一期中）方程2210x x --=的两个根分别为（ ） A ．2,1-B ．1,12-C ．2,1-D ．1,12-【答案】B 【解析】2210x x --=等价于()()2110x x +-=，解得12x =-或1.故选：B.热门考点02 判断零点所在的区间1．函数零点的判定定理2.判断函数y ＝f (x )是否存在零点的方法： (1)方程法：判断方程f (x )＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y ＝f (x )的图象与x 轴是否有交点． (3)定理法：利用零点的判定定理来判断．【典例3】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数31()102f x x x =--+的零点所在的大致区间为（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D 【解析】因为函数31()102f x x x =--+在R 上单调递减, (2)10f =>,(3)0f <,所以零点所在的大致区间为(2,3) 故选:D【典例4】（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）A ．[－2.1，－1]B ．[4.1，5]C ．[1.9，2.3]D ．[5，6.1]【答案】C 【解析】结合图象可得：ABD 选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点， C 选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点. 故选：C 【总结提升】判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断． 【变式探究】1.（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）函数()f x 按照下述方法定义：当2x ≤时，2()2f x x x =-+；当2x >时，1()(2)2f x f x =-，方程1()5f x =的所有实数根之和是（ ） A ．8 B ．13 C ．18 D ．25 【答案】C. 【解析】如下图所示，画出()f x 的函数图象，根据对称性可知，方程1()5f x =共有6个实数根， 其和为261018++=，故选C.2．（2020·东北育才学校高三其他（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数. 设{}[]x x x =-，则函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为________. 【答案】1- 【解析】()01f =-，令()0f x =，可得{}121x x=+，则函数()y f x =的零点，即为函数{}2y x =与函数11y x=+的图象交点的横坐标， 作出函数{}2y x =与函数11y x=+的图象如下图所示：由图象可知，两函数除以交点()1,0-之外，其余的交点关于点()0,1对称， 所以，函数()y f x =的所有零点之和为1-. 故答案为：1-.热门考点03 函数零点个数的判断函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的交点和相应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的关系函数图象判别式符号 (设判别式 Δ＝b 2－4ac ) Δ＞0Δ＝0Δ＜0与x 轴交点个数 21方程的根的个数21【典例5】（2020·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数()f x 的定义域为R ，()f x 是周期为2的奇函数，()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，则()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为（ ） A ．5050 B ．4041C ．4040D ．2020 【答案】B 【解析】由函数()f x 的定义域为R 上的奇函数，可得()00f =， 又由()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，可得函数()f x 在区间[1,0)-和(0,1]内各有2个零点，因为()f x 是周期为2，所以区间(1,2]内有两个零点，且(2)0f =， 即函数()f x 在区间(0,2]内有4个零点， 所以()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为20204140412⨯+=个零点. 故选：B.【典例6】（2016·上海高一期末）已知函数()1mf x x x=+-，其中m R ∈； （1）当2m =时，判断()f x 在区间(,0)-∞上的单调性，并用定义证明；（2）讨论函数()f x零点的个数；【答案】（1）单调递减，证明见详解；（2）11 ,, 44m⎛⎫⎛⎫⋃⎪∈- ⎪⎝⎭⎝-+∞⎭∞，()f x有1个零点；11,0,44m⎧⎫⎨∈⎩-⎬⎭，()f x有2个零点；11,044(0),m⎛⎫⋃⎪⎝⎭∈-，()f x有3个零点.【解析】（1）当2m=时，(),0x∈-∞时，()21f x xx=-+-该函数为单调递减函数，证明如下：在区间(),0x∈-∞上任取12,x x，且12x x<<则()()12121222f x f x x xx x-=-++-()()2112122x x x xx x-+=因为120x x<<，故21x x->，且12x x>，则()()2112122x x x xx x-+>故当120x x<<时，()()12f x f x->则函数()f x在(),0x∈-∞时，单调递减.即证.（2）()1mf x xx=+-0=，等价于1mxx=-+即等价于()()1,(0)1,(0)x x xm x x xx x x⎧->⎪=-=⎨+<⎪⎩令()()()1,(0)1,(0)x x xg x x xx x x⎧->⎪=-=⎨+<⎪⎩，则其函数图像如下所示：由图可知：当14m =或14m =-或0m =时，直线y m =与()g x 有两个交点； 当14m >或14m <时，直线y m =与()g x 只有一个交点；当104m -<<或104m <<时，直线y m =与()g x 有三个交点.故：①11,,44m ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪∈- ⎪⎝⎭⎝-+∞⎭∞，()f x 有1个零点； ②11,0,44m ⎧⎫⎨∈⎩-⎬⎭，()f x 有2个零点； ③11,044(0),m ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭∈-，()f x 有3个零点.【总结提升】判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判定它与x 轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f (a )·f (b )＜0，可判定y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 【变式探究】1.（2020·江苏省高三其他）设[]t 表示不超过实数t 的最大整数(如[ 1.3]2-=-，[2.6]2=)，则函数[]()21f x x x =--的零点个数为_______.【答案】2 【解析】函数[]()21f x x x =--的零点即方程[]21x x -=的根，∴函数()f x 的零点个数，即方程[]21x x -=的根的个数.[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥.当01x ≤<时，[]10,210,2x x x =∴-=∴=. 当1x =时，[]1,211,211x x x =∴-=∴-=或211,1x x -=-∴=或0x =（舍）.当1x >时，[]2121x x x x -=->≥，∴方程[]21x x -=无解. 综上，方程[]21x x -=的根为12，1. 所以方程[]21x x -=有2个根，即函数[]()21f x x x =--有2个零点. 故答案为：2.2.求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在[1,4]上的零点个数.【错解】错解一：由题意，得f (1)＝2>0，f (4)＝2>0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在[1,4]上没有零点，即零点个数是0.错解二：∵f (1)＝2>0，f (2.5)＝－0.25<0，∴函数在(1,2.5)内有一个零点； 又∵f (4)＝2>0，f (2.5)＝－0.25<0，∴函数在(2.5，4)内有一个零点， ∴函数在[1,4]上有两个零点．【错因分析】对于错解一，是错误地类比零点存在定理，f (a )·f (b )>0时，(a ，b )中的零点情况是不确定的，而错解二出现了逻辑错误，当f (a )·f (b )<0时，(a ，b )中存在零点，但个数不确定． 【解析】解1：由题意，得x 2－5x ＋6＝0， ∴x ＝2，x ＝3， ∴函数的零点是2,3∴函数在[1,4]上的零点的个数是2.解2：∵f (1)＝2>0，f (2.5)＝－0.25<0，f (4)＝2>0， ∴f (x )在(1,2.5)和(2.5,4)内都有零点．又易知f (x )在(－∞，2.5)和(2.5，＋∞)上都是单调函数． ∴f (x )在(1,2.5)和(2.5,4)内都只有一个零点． ∴f (x )在[1,4]上有两个零点．【特别警示】当函数y ＝f (x )的图象在闭区间[a ，b ]上是一条连续不断的曲线，(1)不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．(2)满足f (a )·f (b )<0时，f (x )在(a ，b )内必有零点，但不一定只有一个零点．热门考点04 根据零点情况求参数范围【典例7】（2020·绥德中学高三其他（理））若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，要保证函数有两个零点，则实数的取值范围是【典例8】（2019·贵州省高二学业考试）已知函数2()23f x x x m =---有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[0,4] B ．(0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】D 【解析】由题意，函数2()23f x x x m =---有四个不同的零点， 等价于函数223y x x =--和y m =的图象有四个不同的交点，作出函数22223,(,1)(3,)2323,[1,3]x x x y x x x x x ⎧--∈-∞-⋃+∞=--=⎨-++∈-⎩的图象，如图所示，要使得函数223y x x =--和y m =的图象有四个不同的交点，则04m <<，即实数m 的取值范围是(0,4). 故选：D.【变式探究】1.（2020·洮南市第一中学高二月考（文））对于定义在实数集R 上的函数()f x ，如果存在实数0x ，使()00f x x =，那么0x 叫做函数()f x 的一个好点，已知函数2()21f x x ax =++不存在好点，那么a 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．(1,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞【答案】A 【解析】由题意，2()21f x x ax x =++=无实根，即方程2(21)10x a x +-+=无实根， 所以2(21)40a ∆=--<，解得1322a -<<. 故选：A2．（2020·鸡泽县第一中学高二开学考试）已知函数()232,3,x x x mf x x x m ⎧-+≤=⎨-+>⎩，若()f x 恰好有2个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．(]2,3 B ．[)2,3C ．[)[)1,23,+∞D ．(][)1,23,+∞【答案】C 【解析】令21232,3y x x y x =-+=-+，因为方程2320x x -+=的两根为121,2x x ==， 所以在同一直角坐标系下作出函数21232,3y x x y x =-+=-+的图象如图所示：由图可知，当12m ≤<时，函数()f x 恰有两个零点，图象如图所示：当3m ≥时，函数()f x 恰 有两个零点，图象如图所示：综上可知，所求实数m 的取值范围为[)[)1,23,+∞.故选：C热门考点05 一元二次方程根的分布问题设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)对应的方程的根为x 1、x 2.根的分布(m ＜n ＜p )图象满足条件一个 区间 只有 一个 根x 1＜m ＜x 2 f (m )＜0m ＜x 1＜n＜x 2＜p⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＞0，f (n )＜0，f (p )＞0一个 区间 有两个根m ＜x 1＜x 2＜n⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，m ＜－b 2a ＜n ，f (m )＞0，f (n )＞0m ＜x 1＜x 2⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－b2a ＞m ，f (m )＞0在(m ，n )内有且只有一个根或f (m )·f (n )＜0或Δ＝0 且－b2a ∈(m ，n )或⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝0，m ＜－b 2a ＜m ＋n 2 或⎩⎪⎨⎪⎧f (n )＝0，m ＋n2＜－b 2a ＜n 另外，x 1，x 2∈(0，＋∞)，即两正根，也可通过满足条件⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ≥0，－ba＞0，c a ＞0来解决；x 1，x 2∈(－∞，0)，即两负根，也可通过满足条件⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ≥0，－ba＜0，c a ＞0来解决；x 1，x 2一正一负也可通过满足⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ＞0，c a＜0来解决．【典例9】（2019·贵州省凯里一中高一期中）若函数()221f x ax x =-+在区间()0,1和区间()1,2上均存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,1--B ．3,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】当0a =时，()21f x x =-+，不满足题设；当0a <时，函数()221f x ax x =-+的图象与x 轴正半轴只存在一个交点，不满足题设；当0a >时，因为()f x 在区间()0,1和区间()1,2上均存在零点（如图所示），则()00f >，()10f <，()20f >，即2220020101211022210a a a a >⎧⎪⨯-⨯+>⎪⎨⨯-⨯+<⎪⎪⨯-⨯+>⎩，解得314a <<. 故选：B.【典例10】（2019·安徽省六安一中高一月考）已知函数()()221421f x m x mx m =+++-.(1)如果函数()f x 的一个零点为0，求m 的值；(2)当函数()f x 有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，求实数m 的取值范围.【答案】(1)12；(2)118m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. 【解析】(1)因为函数()f x 的一个零点为0，所以()0210f m =-=，即12m =. (2)因为函数()f x 有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1， 所以当10m +>时，(1)810f m =+<，即118m -<<-；当10+<m 时，(1)810f m =+>，此时无解； 故实数m 的取值范围为118m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.【总结提升】二次函数零点的分布一般为下面两个方面的问题： (1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根．由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值的正负等方面去探究． 【变式探究】（2018·平遥县综合职业技术学校高一期中）已知函数()2234f x x mx m =+++.（1）m 为何值时，()0f x =有两个根且均比1-大； （2）求()f x 在[]0,2上的最大值()g m .【答案】（1）(5,1]--（2）()34,178,1m m g m m m +≤-⎧=⎨+>-⎩【解析】（1）若()f x 有两个大于1-的零点，则()0110m f ⎧∆≥⎪->-⎨⎪->⎩，即2340112340m m m m m ⎧--≥⎪<⎨⎪-++>⎩，解得51m -<≤-，∴m 的取值范围是(5,1]--.（2）()f x 的图象开口向上，对称轴为x m =-， 当1m -≥，即1m ≤-时，()()034g m f m ==+， 当1m -<，即1m >-时，()()278g m f m ==+，∴()34,178,1m m g m m m +≤-⎧=⎨+>-⎩.巩固提升1. （2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））方程()2250x m x m +-+-=的一根在区间()2,3内，另一根在区间()3,4内，则m 的取值范围是（ ） A ．()5,4-- B ．13,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()5,2--【答案】C 【解析】令()()225f x x m x m =+-+-，由二次函数根的分布性质，若一根在区间()2,3内，另一根在区间（3，4）内，只需()()()203040f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩，即()()()4225093250164250m m m m m m ⎧+-+->⎪+-+-<⎨⎪+-+->⎩，解不等式组可得1343m -<<-， 即m 的取值范围为13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选：C.2．（2020·天津高一期末）已知函数()()22,21,2x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则数k 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()0,2D ．()1,3【答案】A 【解析】作出函数()f x 的图像和直线y k =，如图所示，当1()0,k ∈，函数()f x 的图像和直线y k =有三个交点，所以1()0,k ∈. 故选：A3．（2020·河南省高三其他（文））已知函数()2425,0,33,0.x x f x x x x x ⎧+->⎪=⎨⎪---≤⎩若函数()f x x m =-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0,B ．(),435-∞-C ．()(),2435,-∞--+∞D ．[)()3,2435,--+∞【答案】D 【解析】令()()g x f x x =+，由题意()2435,023,0x x g x xx x x ⎧+->⎪=⎨⎪---≤⎩，画出()g x 的图象如图，函数()f x x m =-+恰有两个不同的零点，即函数()g x 的图象与直线y m =有两个不同的交点， ∵当0x >时，435435x x+-≥，当0x <时，()2223122x x x ---=-+-≤-，∴435m >-，或32m -≤<-， 故选：D ．4．（2019·浙江省镇海中学高一期中）若函数()2f x x x a a =--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()(),11,-∞-+∞B ．()1,1-C ．()()1,00,1-D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】A 【解析】当2x a ≥时，()22f x x ax a =--；当2x a <时，()22f x x ax a =-+-，当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，显然不合题意；若0a >，则()f x 图象如下图所示：由图象可知：若()f x 有三个不同的零点，则20a a a -<<-，解得：1a >； 若0a <，则()f x 图象如下图所示：由图象可知：若()f x 有三个不同的零点，则20a a a --<<-，解得：1a <-； 综上所述：实数a 的取值范围为()(),11,-∞-+∞.故选：A .5．（2020·天津高三一模）已知函数()1xf x x=+，x ∈R ，分别给出下面几个结论： ①等式()+()0f x f x -=在x ∈R 时恒成立； ②函数()f x 的值域为(11)-，； ③若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； ④函数()()-g x f x x =在R 上有三个零点. 其中正确结论的序号是______________. 【答案】①②③. 【解析】()()11x xf x f x x x--==-=-+-+，()f x 是奇函数，∴()()0f x f x +-=，①正确；在0x ≥时，1()111x f x x x ==-++是增函数，∴()f x 在0x ≤时也是增函数，从而()f x 是R 上的增函数，③正确；在0x ≥时，1()1111x f x x x==-<++，0x <时，()1f x >-，值域为(1,1)-，②正确； 由()01xf x x x x-=-=+得0x =，方程()0f x x -=只有1根，④错误． 故答案为：①②③．6．（2020·北京北师大实验中学高二期中）如果直线()0y t t =>与函数1()f x x x=+的图象有两个不同的交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则以下结论： ①2t >；②12ln ln 0x x +>； ③122x x +>；④12x x -的取值范围是(0,)+∞，其中正确的是__________．（填入所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】作出函数1()f x x x=+的图象如图所示：函数1()f x x x=+在(,1),(1,)-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，且()12,(1)2f f -=-=，所以()f x 的值域为(),2(2,)-∞-⋃+∞，①若()0y t t =>与()f x 的图象有两个交点，则2t >，①正确；②取121,22x x ==，有()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，满足条件，但1ln ln 202+=，故②错误； ③由题意知21111110x t x tx x +=⇒-+=，同理22210x tx -+=，即1x 、2x 是方程210x tx -+=的两根，所以122x x t +=>，③正确； ④由③知12=1x x ⋅，()2212121244x x x x x x t -=+-=-因为2t >，240t ->，即120x x ->，④正确.故答案为：①③④7．（2020·海南省海南中学高二期中）满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(),a b 的个数为________ 【答案】13 【解析】当0a =时，方程为20x b +=，此时一定有解；此时1b =-，0，1，2；即(0,1)-，(0,0)，(0,1)，(0,2)四种；当0a ≠时，方程为一元二次方程，∴△440ab =-，则1ab ．当1a =-，1，2时，此时a ，b 的对数为(1,0)-，(1,2)-，(1,1)--，(1,1)-，(1,1)-，(1,0)，(1,1)，(2,1)-，(2,0)，共9种，关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对的个数为13种，故答案为13．8．（2020·大名中学高二月考）若函数f (x )＝21ax bx c++ (a ，b ，c ∈R)的部分图象如图所示，则b ＝________.【答案】－4【解析】由题意得1,3 为20ax bx c ++=两根，且142a b c -=++ 因为4,3,b c a a -== 所以 4.b9．（2020·天津高三一模）已知函数11,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩，则(3)log 2563f =__；若方程()f x x a =+在区间[2-，4]有三个不等实根，则实数1a 的取值范围为__． 【答案】81 {}11,2⎛⎫⋃-∞-⎪⎝⎭【解析】 （1）由[]()11,2,0()2(2),0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩， 则()()()()()()3232212212414104f f f f f =-==⨯-=-=⨯-=，4log 25643381== 答案：81（2）作出函数()f x 在区间[]2,4-上的图象，如图所示，设y x a =+，由图象可知要使方程()f x x a =+在区间[]2,4-有3个不等实根， 则直线y x a =+应位于1l 与2l 之间或直线3l 的位置，所以实数a 的取值范围为20a -<<或1a =. 所以，112a <-或11a= 故答案为：{}11,2⎛⎫⋃-∞-⎪⎝⎭ 10．（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）设()2f x x x a x =-+ (a ∈R)(1) 若2a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值；(2) 若2a >，写出()f x 的单调区间；(3) 若存在[]2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.【答案】（1）()max 9f x =；（2）()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）918t << 【解析】（1）当2a =时， ()22f x x x x =-+=224,2{,2x x x x x -+<≥, ∴ ()f x 在R 上为增函数，∴ ()f x 在[]0,3上为增函数，则()()max 39f x f == .（2）()()()222,{2,x a x x af x x a x x a -++<=+-≥,2a >,022a a a ∴<-<<+,当x a ≥时， 22a a ->， ∴ ()f x 在(),a +∞为增函数 ,当x a <时， 22022a aa +--=<，即22a a +<,∴ ()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，在2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数 ,则()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭ .（3）由（2）可知，当22a -≤≤时， ()f x 为增函数， 方程不可能有三个不相等实数根,当24a <≤时，由（2）得 ()()22a f a tf a f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭,()22224a a at +<<,即()2218a t a +<<在(]2,4有解,由()22118822a a a a +=++在(]2,4上为增函数,∴当4a =时， ()228a a +的最大值为98 , 则918t << .。
函数、方程(组)与不等式
函数、方程（组）与不等式 姓名＿＿＿＿一、解不等式（组）及其变式运用 例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集： 12x +<2514x --【练1】求不等式35223-≥-x x 的正整数解例2、不等式组⎩⎨⎧-≤->+x x x 284133的最小整数解是 。
【练2】如图正比例函数x k y 11=和反比例函数xk y 22=的图象交于)2,1(-A 、），（21-B 两点， 若21y y <，则x 的取值范围是（ ）A ．1-<x 或1>xB ．1-<x 或10<<xC ．01<<-x 或10<<xD ．01<<-x 或1>x二、利用一次函数图象求方程（组）的解 例3 （1）（陕西省中考题）直线y=kx+b （k ≠0）的图象如图1，则方程kx+b=0•的解为 x=_______，不等式kx+b<0的解集为x_______．（1） (2) (3) 【点评】抓住直线与x 的交点就可迎刃而解．（2）（重庆市）如图2,已知函数y=ax+b 和y=•kx 的图象，则方程组y ax by kx =+⎧⎨=⎩的解为_______．点评】两直线的交点坐标即为方程组的解． （3）如图：直线y=-x+3和y=2x+6相交于点A ，且两直线与X 轴相交于点B 、C ，则点A 的坐标是 ， △ABC 的面积是 。
【练3】如右图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：y mx n =+相交于点), 1(b P ．（1）求b 的值；（2）不解关于y x ,的方程组 请你直接写出它的解； （3）直线3l ：y nx m =+是否也经过点P ？请说明理由．xOx OP1l2l三、利用二次函数的图象求二元二次方程的根或函数值的取值范围例4（吉林省中考题）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和直线y2=kx+b（k≠0）的图象如图3，则当x=__________时，y1=0；当__________时，y1<0；当_________时，y1>y2．【点评】抓住抛物线与x轴的交点和直线与抛物线交点来观察分析．四、利用函数与方程、不等式关系解决综合问题例5某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，•如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10-3毫克），•接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示．当成人按规定剂量服药后:（1）分别求出x≤2和x≥2时x与y之间的函数关系式；（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？【考点精练】1．（广西省中考题）已知y=-2x+m，当x=3时，y=1，则直线y=-2x+m与x轴的交点坐标为_______．2．若直线y=12x-2与直线y=-14x+a相交于x轴，则直线y=-14x+a不经过的象限是_____．3．（衡阳市中考题）如图，直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2交于点（-2，2），则当x____时，y1<y2．(第3题) (第4题) (第5题)4．函数y=kx+b（k、b为常数）的图象如图，则关于x的不等式kx+b>0的解集为（）A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>25．（安徽省中考题）已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y1=k1x+a1和y2=k2x+a2，图象如图所示，设所挂物体质量为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（）A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1<y2 D．不能确定6．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（）A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③7．（江苏省中考题）如图，L1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，L2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系．当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量应（）A．小于3吨 B．大于3吨 C．小于4吨 D．大于4吨(第6题) (第7题)8．•如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象），•根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？9．如图所示，设田地自动喷灌水管AB高出地面1.5米，在B•处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流是抛物线状，喷头B•和水流最高点C•的连线与水平地面成45°角，点C 比B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到点A的距离是多少？答案:1．（72，0） 2．第三象限 3．x>-2 4．C 5．A •6．D 7．D8．（1）设应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，x1=10，x2=20，∵尽快减少库存，•∴x取20，即应降价20元．（2）设盈利为y，则y=（40-x）（20+2x），即y=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250，当每件降15元时，商场平均每天盈利最多．9．（1）设表示轮船行驶过程的函数解析式为y=kx，当x=8时，y=160，∴8k=160，k=20，即y=20x，快艇行驶过程的函数关系式为y=40x-80．（2）由图象可知，轮船在8•小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，轮船速度为20千米/时，快艇速度为40千米/时．（3）快艇出发2小时赶上轮船．10．解析式为y=-12（x-2）2+3.5（x≥0），当y=0时，x=2±，∴AD=（。
从函数的观点看方程及不等式
从函数的观点看方程及不等式新疆布尔津县初级中学 刘海燕关键词：函数，方程(组)，不等式（组），关系。
摘要：研究目的：加深对函数与方程（组），函数与不等式（组）的理解。
研究内容：函数与方程（组），函数与不等式(组)之间的关系。
基本结论：它们可以相互转化。
数学是研究现实世界量的关系的学科———恩格斯。
由于数学概念﹑理论和方法都源于实际,是从现实世界的材料中抽象出来的。
数学内容之间相互联系,充满运动变化和对立统一的辨证关系。
函数和方程（方程组）及不等式的这种对应关系正是这种辨证关系的真实写照。
一、函数与方程的关系。
（一）、从关系式上看：一次函数的关系式为：y=ax+b(a ≠0)，一元一次方程的一般形式为：ax+b=0(a ≠0) 从形式上可以看出，当把一次函数关系式中的因变量y 改写为整数0就可将函数式转化为方程式；反之，把一元一次方程一般式等号右边的0改写为一个变量y 就可将方程式转化为函数式。
同理，二次函数的关系式为y=ax 2+bx+c(a ≠0)，一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a ≠0),当把二次函数关系式中的因变量y 改写为整数0就可将函数式转化为方程式；将方程式右边的0换成一个变量y 则方程式变为函数式。
（二）、从函数的图象与方程的解来看。
一次函数的图象是一条直线，这条直线必与x 轴相交，其交点坐标为（－ab ,0）,也就是当因变量y=0时其自变量x=－ab ,这个x 的值就是方程ax+b=0(a ≠0)的解，换句话说方程ax+b=0(a ≠0)的解就是相对应函数的图象,直线y=ax+b 上无数个点中的与x 轴相交的那一点的横坐标；二次函数的图象是一条抛物线，这条抛物线与x 轴的位置关系有三种情况：当抛物线与x 轴有一个交点时，相对应的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)就有两个相等的实数根x 1=x 2=－ab 2,当抛物线与x 轴有两个交点时，相对应的方程ax 2+bx+c=0(a≠0)就有两个不相等的实数根x1=a acb b24 2-+-，x2=a acb b24 2---,当抛物线与x轴没有交点时，相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就没有实数根。
方程函数不等式三者之间的关系
方程函数不等式三者之间的关系《方程、函数、不等式：数学世界里的奇妙关系》我呀，一直觉得数学就像一个超级大的魔法世界，里面有好多神奇的东西。
方程、函数和不等式就像是这个魔法世界里的三个小魔法师，他们之间有着千丝万缕的关系呢。
先来说说方程吧。
方程就像是一个神秘的宝藏盒，你得找到那把正确的钥匙才能打开它。
比如说3x+5 = 14，这里的x就是我们要找的宝藏。
我们通过各种计算步骤，就像在迷宫里找出口一样，最后得出x = 3。
方程就是在告诉我们，有一些数量之间存在着一种特定的相等关系。
就好比两个人的钱数一样多的时候，我们就可以用方程来表示这个情况。
我和我的小伙伴小明去买文具，我有10元钱，买了一支笔花了x元，还剩5元；小明有8元钱，买了一个本子花了y元，也剩5元。
那我就可以列出方程10 - x = 8 - y，这就把我们俩买东西剩钱一样多这个情况用方程表示出来了。
那函数呢？函数可就更有趣啦。
函数就像是一个超级会变魔术的小精灵。
它有一个输入口和一个输出口。
就拿y = 2x这个函数来说吧，你给这个小精灵一个x的值，它就会按照2倍的规则给你一个y的值。
比如说你给x = 3，小精灵就会吐出y = 6。
函数是在描述两个变量之间的一种对应关系。
我就像个小厨师，x就像是我手里的食材，我按照函数这个菜谱，就能做出y这个菜来。
我和妈妈去买菜的时候，菜的单价是固定的，比如说黄瓜2元一斤。
那买的斤数x和花的钱数y就构成了一个函数关系y = 2x。
我要是买3斤，那就要花6元钱。
这多像函数在起作用呀。
再看看不等式呢。
不等式就像是一个调皮的小捣蛋鬼。
它不像方程那样规规矩矩地说相等，而是说谁大谁小。
比如说2x+3>7，它就像在告诉我，2x+3这个家伙比7要大呢。
不等式有点像一场比赛，比大小的比赛。
就像我们在体育课上跑步比赛一样，谁跑在前面谁就大。
在生活里也有这样的情况。
我和弟弟分糖果，我有x颗糖，弟弟有y颗糖，我比弟弟多，那我就可以列出不等式x>y。
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范围为(
(A)x＞1 (B)x＞2 (C)x＜1 (D)x＜2
)
【解析】选C. 由图象可知直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐 标为(1,2)，则y1<y2为x=1左边的部分，所以使y1<y2的x的取 值范围为x＜1.
6.(2010·荆州中考)函数y1=|x|， 2 1 x 4 y
【思路点拨】先判定k1x+b=k2x+c时x的值,再判定当x取何值 时,l1在l2的下方. 【自主解答】选B.由图象可知,当x=1时,k1x+b=k2x+c.当x<1 时,y=k2x+c的图象在y=k1x+b的图象的上方,此时k1x+b<k2x+c.
5.(2010·烟台中考)如图，直线 y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标 为(1,2)，则使y1<y2的x的取值
(B)-2，-1，0，1
(C)-1，0，1，2 (D) 0，1，2，3
【解析】选B.解方程组 x 2y 2m
2m 6 解得 x 3 y 2m 3 3
2m 6 3 0 所以 2m 3 0 3
2x y 2m 3
(2)令y=0，得-x2+2x+3=0 解得x1=-1，x2=3 所以，由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范 围是 -1＜x＜3.
1.(2010·潍坊中考)已知函数y1＝x2与 函数 y 2＝ 1 x＋3 的图象大致如图，若
3 3
，当y1>y2时，
x的范围是(
)
(A)x＜-1 (C) x＜-1或x＞2
(B) -1＜x＜2 (D)x＞2
【解析】选C.由函数图象知,当x=-1,x=2时,y1=y2,当x＜-1 或 x＞2时,函数y1的图象在函数y2的图象的上方,即y1>y2,所以 当y1>y2时，x的范围是x＜-1或x＞2.
【自主解答】由已知得，直线AB的方程为y=2x+6，直线CD的
y 2x 6 方程为y 1 x 1 .解方程组 ,得 x 2 1 y x 1 2 y 2 2
,
所以直线AB与直线CD的交点坐标为(-2，2).
1.(2010· 孝感中考)若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为 常数)的交点在第四象限，则整数m的值为( (A)-3，-2，-1，0 )
【例】(2011·广东中考)已知二次函 数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与 x轴的一个交点坐标为(-1，0)，与y
轴的交点坐标为(0，3).
(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式； (2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x 的取值范围.
【思路点拨】把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c，得
关于b、c的二元一次方程组,解方程组得b、c的值,从而得 到函数值y为正数时，自变量x的取值范围.
【自主解答】(1)把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c，
1 b c 0 ，解得 b 2 得 ， c 3 c 3
所以二次函数的解析式为y=-x2+2x+3
信心源自于努力
结合近几年中考试题分析,函数与方程(组)、不等式内 容的考查主要有以下特点： 1.命题方式为用函数观点解决方程(组)、不等式问题，
运用方程思想、不等式来解决函数相关问题,题型以解答题
为主; 2.命题热点为函数与方程(组)、不等式知识相融合的 综合题目的考查.
1.函数、方程(组)、不等式的基础知识是学习本讲知
解得x=10,y=15. 答：乙水库供水速度为15万m3/h，甲水库一个排灌闸的灌溉
速度为10万m3/h.
(3)乙水库向甲水库匀速供水20h后甲水库储水500万m3，所 以500-a=15×20, 即a=200. 设乙水库停止供水后，经过m小时甲水库蓄水量又降到了正
常水位的最低值.由图象，
得400-2×10m=200,解得m=10. 答：乙水库停止供水后，经过10小时甲水库蓄水量又降到 了正常水位的最低值.
，
,因为两直线的交点在第四象限,
,解得3 m 3 ,
2
所以整数m的值为-2，-1，0，1.
2.(2010·镇江中考)两直线l1：y=2x-1,l2：y=x+1的交点坐 标为( ) (B)(2，-3)
(A)(-2，3)
(C)(-2，-3)
(D)(2，3)
y x 1 y 3
【解析】选D.解方程组 y 2x 1 ，得 x 2 ，因此两直线
识的依据.在复习过程中首先要弄懂函数、方程(组)、不等 式的基本知识，并注意联系各部分知识,进而掌握函数、方 程、不等式的思想与方法. 2.函数观点与方程思想的综合考查是中考的热点与难
点,故必须采取多种形式的题目进行训练,特别是综合性较
强的题目.
一次函数与方程(组)
1.直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标是方程kx+b=0的解,方 程kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标.
的交点坐标为(2，3).
3.(2010·聊城中考)如图，过点 Q(0，3.5)的一次函数的图象与正比例 函数y＝2x的图象相交于点P，能表示
这个一次函数图象的方程是(
(A)3x-2y＋3.5＝0 (B)3x-2y-3.5＝0 (C)3x-2y+7＝0 (D)3x+2y-7＝0
)
【解析】选D.设一次函数的解析式为y=kx+b，又因为过 Q(0，3.5)，P(1，2)两点，代入得 3 x 3.5 y
方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根⇔b2-4ac>0;
(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个交点⇔一元二次 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根⇔b2-4ac=0; (3) 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点⇔一元二次方 程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根b2-4ac<0.
2
，整理得
3x+2y-7＝0.
4.(2011·连云港中考)因长期
干旱，甲水库蓄水量降到了正
常水位的最低值.为灌溉需要， 由乙水库向甲水库匀速供水， 20 h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过 20 h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40 h，
乙水库停止供水.甲水库每个排泄闸的灌溉速度相同，图中
2.两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成
的二元一次方程组的解;以二元一次方程组的解为坐标的点 是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点.
【例1】(2011·杭州中考)点A、B、
C、D的坐标如图，求直线AB与直线 CD的交点坐标. 【思路点拨】首先由点A、B、C、D的 坐标求出直线AB、CD的方程，解两个 方程组成的二元一次方程组得交点坐标.
6
；(2)y=2x,当
有8=2x,得x=4,所以自变量x的值是4或
,故选D.
9.(2011·日照中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0;②b>2a;
③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；
④a-2b+c>0.其中正确的命题是_____.(只要求填写正确命 题的序号)
【解析】因为二次函数的图象经过点(1，0)，所以当x=1时， y=a×12+b×1+c=a+b+c=0，所以①正确；由于二次函数的对 称轴为x=-1,所以 b 1 ,所以b=2a,故②不正确；由对称
2a
轴
及图象与x轴的一个交点，知另一个交点为(-3，0)，所以 ax2+bx+c=0的两根为-3和1，故③正确；当x=-1时，y<0，即 a-b+c<0，又由上面提到b=2a,a>0，得b>0，∴a-2b+c<0，故 ④错误.因此正确的命题是①③.
∴A、B两点的坐标分别为A(3,1)、B(-1,-3)；
(2)x<-1或0<x<3.
二次函数与一元二次方程
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,就变成了
ax2+bx+c=0 (a≠0). 2.方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标.
3.(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点⇔一元二次
(2)①当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点； ②当m≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点， 则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根，所以(-6)2-4m=0, m=9.
综上，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的
值为0或9.
二次函数与一元二次不等式
x 2 2 x 2 8. (2010·黄冈中考)若函数y , 2x x 2
则当函数值
y＝8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，自变量x的值是(
(A) 6 (C) 6 或4
)
(B)4 (D)4或 6
【解析】选D.本题函数有两种情况(1)y=x2+2,当 y＝8时 , 有8=x2+2,得x= 6 y=8时, ,因为x≤2，所以x=6
的折线表示甲水库蓄水量Q(万m3)与时间t(h)之间的函数关 系.