实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]

2011级实变函数积分理论复习题

一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）

1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1

()()n

n f x f

x ∞

==∑是[0,1]上的Lebesgue

可积函数。（×）

2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1

()()n

n f x f

x ∞

==∑是[0,1]上的Lebesgue

可测函数。（√）

3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则

[0,1][0,1]

lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞

→∞

=⎰

⎰

。

（×）

4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}

()k n f x ，使得，

[0,1][0,1]

lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞

→∞

<⎰

⎰

。

（×，比如{}()n f x 为单调递增时，由Levi 定理，这样的子列一定不存在。） 5、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}

()k n f x ，使得，

[0,1][0,1]

lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞

→∞

=⎰

⎰

。

（×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。） 6、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则

[0,1][0,1]

lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞

→∞

≤⎰⎰

。

（√）

7、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则

[0,1][0,1]

lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞

→∞

≥⎰

⎰

。

（×）

8、设()f x 是[0,1]上的黎曼可积函数，则()f x 必为[0,1]上的可测函数。 （√，Lebesgue 积分与正常黎曼积分的关系）

9、设()f x 是[0,)+∞的上黎曼反常积分存在，则()f x 必为[0,)+∞上的可测函数。 （√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数0n >，()f x 在[0,]n 上

黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1

[0,)[0,]n n ∞

=+∞=

上的可测函数）

10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在

[0,1]上的下方图形，()lim ()n n

f x f x =，则()[0,1],n G f 单调递增，且

()()()1

lim [0,1],[0,1],[0,1],n n

n

n G f G f

G f ¥

==

=U ，()()[0,1],lim [0,1],n n

mG f mG f =。 （√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。）

二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题） （自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样）

1、单调收敛定理（即Levi 定理）

2、Fatou 引理（法都引理）

3、非负可测函数的Fubini 定理和Lebesgue 可积函数的Fubini 定理

4、Lebesgue 控制收敛定理（两个）

5、Lebesgue 基本定理（即非负可测函数项级数的逐项积分定理）

6、积分的绝对连续性

三、计算题（请完整写出计算过程和结果）

1、设0D 为[0,]π中的零测集，30

sin ,(),x x x D f x e x D ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩ ，求

[0,]

()d f x x π⎰

。

解：由题设()sin f x x =，..a e 于[0,]π，而sin x 在[0,]π上连续，

于是由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得

[0,]

[0,]

()d sin d ()sin (cos )

2f x x x x R xdx x π

π

ππ===-=⎰

⎰

⎰。

2、设Q 为[0,+)∞中有理数全体，2

3

sin ,

[0,)\(),x x x

xe x Q f x e

x Q

-⎧∈+∞⎪=⎨∈⎪⎩ ，求

[0.)

()d f x x +∞⎰

。

解：因为Q 为可数集，所以0mQ =，从而2

()x f x xe -=，..a e 于[0,)+∞，而2

x xe

-在

[0,)+∞上非负连续，且220

11()()d ()d 2

2x x

R f x x R xe x e +∞+∞--+∞==-=

⎰

⎰， 所以由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得

2

2

2

[0.)

[0.)

11()d d ()d 2

2

x x x f x x xe

x R xe

x e

+∞---+∞+∞+∞===-=

⎰

⎰

⎰

。