同底数幂的乘法法则
同底数幂的乘法法则的推导过程及依据
同底数幂的乘法法则的推导过程及依据要谈论同底数幂的乘法法则,这个话题可真是让人又爱又恨。
别担心,我们今天轻松聊聊,绝不让你感到像在上数学课。
咱们得搞明白啥是同底数幂。
说白了,就是底数一样的幂,比如 (2^3) 和 (2^4)。
底数一样,想象一下你在一个派对上,大家都在同一间房子里欢聚。
哈哈,画面是不是挺有趣?好吧,咱们回到正题。
乘法法则是说,当你有两个同底数的幂相乘的时候,可以把指数加起来。
这就像你在吃火锅,一边加菜,一边享受,最终结果就是一锅美味。
比如(2^3 times 2^4),是不是得把3和4加起来?没错,结果就是 (2^{3+4 = 2^7)。
简单吧?这就跟加法似的,大家都能跟得上。
再来想象一下,假如你在买披萨,你点了两张同样的,结果就是两倍的美味。
就像数学里一样,底数一样,你的结果就会翻倍,爽不爽?这里面的奥妙其实很简单,就是同一个底数,咱们能把它们捆一起,轻轻松松就能找到最终结果。
没有什么复杂的公式,只需加上去就好了。
这法则的依据其实可以从几个角度来理解。
咱们可以从分配的角度来看。
想象一下你有一箱苹果,里面有三种不同的颜色。
每种颜色的数量都是底数的幂。
你把它们分开,发现每种颜色的数量都可以合并,这就是同底数幂的美妙之处。
就像把零散的苹果放回箱子里,最终还是一箱苹果。
再说,咱们可以用图形来解释这个法则。
想象一下一个立方体,每个边的长度都是底数。
如果你把两个这样的立方体堆在一起,它们的总体积自然就是这两个立方体的体积相加。
结果自然也是底数的幂。
数学其实就像生活,很多时候都是在观察和理解。
咱们可能会觉得,哎,这数学有点抽象,听得人头都大。
但你要知道,学会了这个法则,很多问题就迎刃而解了。
就像你学会了做菜,慢慢的就能变成大厨。
不再害怕复杂的计算,反而能在数学的世界里游刃有余。
好了,咱们再总结一下。
你只需记住,同底数的幂相乘,就是把指数加起来。
这个小技巧可真是数学的“秘密武器”。
它帮你轻松应对各种问题,不管是日常生活中的小麻烦,还是学业上的难题。
同底数幂的乘法
第一讲同底数幂乘法一、同底数幂的乘法法则如果m,n都是正整数,那么a m• a n等于什么?为什么?a m• a n = (a• a• … • a) • (a• a• … • a)=a• a• … • a=a m+n同底数幂的乘法公式:a m ·a n=a m+n(m、n都是正整数)同底数幂相乘,底数,指数。
运算形式(同底、乘法),运算方法(底不变、指相加)当三个或三个以上同底数幂相乘时,是否也具有这一性质呢?怎样用公式表示?a m·a n·a p=(a m· a n ) · a p =a m+n· a p=a m+n+pa m·a n·a p = a m+n+p(m,n,p都是正整数)1.计算:(1)52×57;(2)7×73×72;(3) -x2•x3;(4)(-c)3•(-c)m .2.下列各式中是同底数幂的是()A.23与32B.a3与(-a)3C.(m-n)5与(m-n)6D.(a-b)2与(b-a)33.【中考·连云港】计算a·a2的结果是()A.a B.a2C.2a2D.a34.计算(-y2)·y3的结果是()A.y5B.-y5C.y6D.-y65.若a·a3·a m=a8,则m=________.6. 用幂的形式表示结果:(x-y)2·(y-x)3=_______________________.7. 【中考·安徽】按一定规律排列的一列数:21,22,23,25,28,213,…,若x,y,z表示这列数中的连续三个数,猜想x,y,z满足的关系式是________.二、同底数幂的乘法法则的应用同底数幂的乘法法则既可以正用,也可以逆用. 当其逆用时a m+n=a m• a n.(1)同底数幂的乘法法则对于三个同底数幂相乘同样适用.即:a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p都是正整数).(2)同底数幂的乘法法则可逆用,即a m+n=a m·a n(m,n都是正整数).(3)底数可以是一个单项式,也可以是一个多项式;在幂的运算中常用到下面两种变形:①(-a)n=a n(n为偶数)-a n(n为奇数)②(a-b)n=(b-a)n(n为偶数)-(b-a)n(n为奇数)1. 一种电子计算机每秒可做4×109次运算,它工作5 ×102s可做多少次运算?2.【中考·大庆】若a m=2,a n=8,则a m+n=________.3. 计算(a+b)3·(a+b)2m·(a+b)n的结果为()A.(a+b)6m+n B.(a+b)2m+n+3C.(a+b)2mn+3D.(a+b)6mn 4.x3m+3可以写成()A.3x m+1B.x3m+x3C.x3·x m+1D.x3m·x35. 计算(-2)2 019+(-2)2 018的结果是()A.-22 018B.22 018C.-22 019D.22 0196.一个长方形的长是4.2×104cm,宽是2×104cm,求此长方形的面积及周长.7.已知2x=5,2y=7,2z=35.试说明:x+y=z.三、知识小结1. 同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即:a m• a n = a m+n (m,n 都是正整数)2. 同底数幂的乘法法则可逆用.即a m+n=a m·a n(m,n 都是正整数).第一讲 同底数幂乘法习题1.同底数幂相乘,底数________,指数________;用式子表示为a m •a n =__________(m ,n 都是正整数).应用此法则必须明确两点:一是必须是________相同的幂的乘法;二是______个同底数幂相乘同样适用.2.(2018•温州)计算a 6•a 2的结果是( )A .a 3B .a 4C .a 8D .a 123.(中考•呼伦贝尔)化简(-x )3•(-x )2,结果正确的是( )A .-x 6B .x 6C .x 5D .-x 54.下列各式能用同底数幂的乘法法则进行计算的是( )A .(x +y)2•(x -y )3B .(-x -y )•(x +y )2C .(x +y )2+(x +y )3D .-(x -y )2•(-x -y )35.逆用法则法:a m +n =a m •a n (m ,n 都是正整数).如a 16可写成( )A .a 8+a 8B .a 8•a 2C .a 8•a 8D .a 4•a 4 6.计算:(1)10m ×1 000=________; (2)3n -4×(-3)3×35-n =________;(3)(x +y )3•(-x -y )4=________; (4)(2x -3y )2•(3y -2x )3=__________.7.计算(-2)2 019+(-2)2 018的结果是( )A .-22 018B .22 018C .-22 019D .22 0198.若25=m •22,则m 的值为( )A .2B .6C .8D .129.已知x +y -3=0,则2y •2x 的值是( )A .6B .-6C. D .8 10.已知3x =a ,3y =b ,则3x +y 的值是( )A .a +bB .a -bC .ab D. 11.某市2017年底机动车的数量是2×106辆,2018年新增3×105辆,用科学记数法表示该市2018年底机动车的数量是( )A .2.3×105辆B .3.2×105辆C .2.3×106辆D .3.2×106辆 12.已知2a =m ,2b =n ,求2a+b +3的值.13.已知x m =3,x m +n =81,求x n 的值.a b1814.计算:(1)(-2)2•(-2)3•(-2)4;(2)(a-b)•(b-a)3•(b-a)4;(3)-x•(-x)2•(-x)3;(4)x2•(-x)3+x•x4.15.已知y m-2•y5-n=y5,求(m-n)2-5(m-n)+7的值.16.阅读下面的材料:求1+2+22+23+24+…+22 017+22 018的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22 017+22 018,①将等式两边同时乘2,得2S=2+22+23+24+25+…+22 018+22 019.②②-①,得2S-S=22 019-1,即S=22 019-1.所以1+2+22+23+24+…+22 017+22 018=22 019-1.请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+…+29+210;(2)1+3+32+33+34+…+3n-1+3n(其中n为正整数).。
第1讲 同底数幂的乘法及幂的乘方!
第一讲 同底数幂的乘法及幂的乘方模块一 同底数幂的乘法法则考点1:同底数幂的乘法公式的顺用 【例1】计算:(1)35x x -=______ ; (2) 231mm b b +⋅=________; (3)()()7633-⨯-=_______.(4)()()()22223+∙+∙+b b b =_________; (5)()()37a b a b -⋅-=__________. ◎变式提升训练◎ 1、计算些列各式: (1)234aa a a (2) ()8382322⨯⨯⨯-(3)32()()()mm x y x y x y +⋅+⋅+ (4)12343m m m m m x x x x x x +-+⋅-⋅-⋅2、下列计算是否正确?错误的指出错误的原因,并加以改正.⑴339a a a ⋅=;⑵4482a a a ⋅=;⑶336x x x +=;⑷22y y y ⋅=;⑸34x x x ⋅=;⑹236x x x ⋅=考点2:同底数幂的乘法公式变形应用()()b a a b -=-- ()()22b a a b -=- ()()33b a a b -=--()()44b a a b -=-★小结:()21n b a +-=________; ()2nb a -=_______ ;在幂的运算中,经常会用到以下的一些变形:()()()nn a n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数为奇数;()()()nn b a n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数为奇数1、同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即nm nmaa a +=⋅ (m ,n 都是正整数).2、法则推广: 三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质. 如:p n m p n ma a a a++=⋅⋅ (m ,n ,p 都是正整数).★ 注意:a 可以表示任意有理数,也可表示代数式。
m n m a a a +=⋅n m p n m a a a a ++=⋅⋅【例2】计算:(1)()()48x x x ---(2)()()()21221222n nn x y y x x y +----(3)3242().().()().()a a a a a ---+-- (4)()()()37x y y x y x ---◎变式提升训练◎:324(1)()()x x x -⋅-⋅- 234(2)()()()m n n m n m ---考点3:同底数幂的乘法公式的逆用2+3110,10,;(2)10m n m n m n a b +++==【例3】已知求下列各式的值(用含a ,b 的代数式表示)。
同底数幂的乘法法则
a
m
b
n
a
34
∵四种方案算出的面积相等
∴( a + m )( b + n ) = a ( b + n ) + m ( b + n ) =a b + a n + b m +b n
或( a + m )( b + n ) = b ( a + m ) + n ( a+m) =ab+bm+an+mn
观察上述式子,你能的得到(x-3)(x-6)的结果吗? ( x – 3 )( y – 6 ) = x ( y – 6 ) – 3 ( y – 6 ) = x y – 6x – 3y + 18
√ ③2a3b4(-ab2c)2=-2a5b8c2 ④(-7x) ·4 x2y=-
4x3y中,正确的有( B )个。
7
A、1 B、2 C、3 D、4
1
4么、这如两果个单单项项式式-3的x积4a-b是y2(与D)3x3ya+b是同类项,那 A、x6y4 B、-x3y2 C 、x3y2 D、 -x6y4
②按照单项式的乘法法则运算。
1四.③计点再算把注时所意,得要:的注积意相符加号.问题,多项式中每一项都
包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一 项相乘时,同号相乘得正,异号相乘得负。 2.不要出现漏乘现象。 3.运算要有顺序:先乘方,再乘除,最后加减。 4.对于混合运算,注意最后应合并同类项。
a
29
本节课我们学习了那些内 单项容式?与多项式相乘 法则:
单项式与多项式相乘,就
是用单项式去乘多项式的每一 项,再把所得的积相加。
a
28
同底数幂的乘法法则课件
例题三:实际应用
总结词:实际应用
详细描述:该例题将同底数幂的乘法法则与实际问题相结合,通过解决实际问题,让学习者深入理解 幂的乘法规则在实际生活中的应用。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
同底数幂的乘法法则的 练习题
基础练习题
01
02
03
04
总结词:考察基本概念和运算 规则
未来展望
深入理解幂的性质
在未来的学习中,学生需要进一步深入理解幂的性质,包括交换律、结合律、分配律等, 以便更好地应用这些性质解决实际问题。
探索同底数幂的除法法则
在掌握了同底数幂的乘法法则之后,学生可以开始探索同底数幂的除法法则,了解如何进 行同底数幂的除法运算。
应用同底数幂的乘法法则解决实际问题
难点解析
理解同底数幂的乘法法则
对于初学者来说,理解同底数幂的乘法法则可能有一定的难度, 需要强调指数相加而非数值相加的概念。
掌握幂的性质
掌握幂的性质是理解同底数幂乘法法则的基础,需要让学生充分理 解并掌握这些性质。
灵活运用法则
在掌握同底数幂的乘法法则的基础上,需要让学生学会如何在实际 问题中灵活运用这个法则。
学生可以在实际问题的解决中应用同底数幂的乘法法则,提高解决实际问题的能力。
REPORT
THANKS
感谢观看
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
同底数幂的乘法法则的 例题解析
例题一:基础应用
总结词:基础运算
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法
例1 计算 (1)82004×0.1252004; (2)(-8)2005×0.1252004.
随堂练习
0.2520×240-32003·( )2002+
类型四积的乘方在生活中的应用
例1地球可以近似的看做是球体,如果用V、r分别代表球的体积和半径,那么V= πr3。地球的半径约为 千米,它的体积大约是多少立方千米?
知识点一
同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘
am·an=(m、n都是正整数)
当三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,用公式表示为
am·an·ap= am+n+p(m、n、p都是正整数)
知识点精讲
1.同底数幂相乘法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字.
2.解题时要注意a的指数是1.
3.解题时,是什么运算就应用什么法则.同底数幂相乘,就应用同底数幂的乘法法则;整式加减就要合并同类项,不能混淆.
4.-a2的底数a,不是-a.计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4,而不是(-a)2+2=a4.
5.若底数是多项式时,要把底数看成一个整体进行计算
4、拓展:
(1)已知n为正整数,且x2n=4.求(3x3n)2-13(x2)2n的值.
(2)已知xn=5,yn=3,求(xy)2n的值
(3)若m为正整数,且x2m=3,求(3x3m)2-13(x2)2m的值.
知识点四
同底数幂相除, 底数,指数.
即:am÷an=( ,m,n都是正整数,并且m>n)
规定:a0=1(a≠0)即:任何非0的数的0次幂都等于1
典型例题讲解
例一、填一填
⒈ =;
⒉ =;
⒊ ;
同底数幂的乘除法法则
同底数幂的乘除法法则在数学中,同底数的幂的乘除法法则就是说,当两个幂的底数相同时,乘法和除法的结果也是一个幂。
公式如下:$a^m times a^n = a^{m + n} $$a^m div a^n = a^{m - n} $其中,m和n都是自然数,a是底数,^是指数的缩写。
以上就是同底数的幂的乘除法法则的简单说明,接下来将介绍更多关于同底数的幂的乘除法法则的知识。
首先,可以利用同底数的幂的乘除法法则,快速计算结果。
例如,$2^{4} times 2^{3}$以被快速计算出结果 $2^7$ 。
而且,当指数的值为负数的时候,也可以利用同底数的幂的乘除法法则。
如果有$a^{-3} times a^{4} $,只需将它表示为 $a^{-3} times a^{4} times a^{-4} times a^{4} $,就可以将计算结果简化为 $a^{-7}$ 。
其次,同底数的幂的乘除法法则可以帮助我们解决网格绘图中的问题。
例如,如何只使用一次函数定义,在网格上画出两个圆,其中横轴是$x^{2} $,纵轴是$y^{2} $。
时,可以先利用同底数的幂的乘除法法则,将 $x^{2} $和$y^{2} $表示为一个新的函数$x^{2} times y^{2} $,然后根据原理,用 $x^{2} times y^{2} $来绘制圆点,这样就可以用一个函数来定义两个圆。
最后,同底数的幂的乘除法法则在解决代数题目中也十分有用。
例如,有一个表达式 $a^{m} times a^{n} times a^{-2m} times a^{2n} $,可以利用同底数的幂的乘除法法则,将它简化为 $a^{n - m}$。
样,还可以用同底数的幂的乘除法法则计算高次幂表达式的值,例如$a^{10} $ $a^{20} $ 。
总之,同底数的幂的乘除法法则非常重要且有用,可以帮助我们快速计算结果,解决网格绘图和代数题目中的问题。
因此,学习同底数的幂的乘除法法则十分重要,这也是学习数学的基础。
幂的运算法则公式
幂的运算法则公式
幂运算法则公式:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即a m×a n=a(m+n);同底数幂相除,底数不变,指数相减,即a m÷a n=a(m-n)。
(1)同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
a m×a n=a(m+n)(a≠0,m,n均为正整数,并且m>n)
(2)同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减。
a m÷a n=a(m-n)(a≠0,m,n均为正整数,并且m>n)
(3)幂的乘方:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(a m)n=a(mn),(m,n都为正整数)
(4)积的乘方:等于将积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
(ab)n=a n b n,(n为正整数)
(5)分式的乘方:把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果
(a/b)n=(a n)/(b n),(n为正整数)
(6)零指数:
a0=1 (a≠0)
(7)负整数指数幂
a-p=1/a p(a≠0, p是正整数)
(8)负实数指数幂
a(-p)=1/(a)p或(1/a)p(a≠0,p为正实数)(9)正整数指数幂
①a m a n=a m+n
②(a m)n=a mn
③a m/a n=a m-n(m大于n,a≠0)
④(ab)n=a n b n。
同底数幂乘法经典例题讲解-知识复习
9、明确乘方的底数: -a 2 和-a3底数都是a;(-a)2和(-a)3底数都是-a
注意 条件:①乘法
②底数相同
结果:①底数不变 ②指数相加
练一练
下面的计算对不对?如果不对,应当怎样改正.
(1)b3·b3=2b3
× b6
(2)b3+b3=b6
(2)已知an-3·a2n+1=a10,求n的值; 解:n-3+2n+1=10,
n=4; (3) 3×27×9 = 32x-4,求x的值;
解:3×27×9 =3×33×32=32x-4,
2x-4=6;
x=5.
课堂小结
am·an=am+n (m,n都是正整数)
同底数幂 的乘法
法则
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数)
=x2 x(3 -x)2 =-x7
例3 (1) (-x)3 (-x)5 (-x6)+4 x10 x4
= (-x3) (-x5) (-x6)+4x14
= -x14 +x14
=0
(3) 2n +2n -3×2n+1
整式的乘法 复习总结
1、同底数幂相乘运算法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即 a m ·a n= a m+n(m,n都是正整数)
2、会逆用法则: 即 a m+n=a m ·a n (m,n都是正整数)
3、注意 am ·an 与am + an的区别 4、不能疏忽指数为1的情况:如a·an =an+1 5、若底数不同,先将底数化为一致 6、注意: 注意负数分数的乘方要加括号 7、区分: -a 2和(-a)2、-a3和(-a)3
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法
例1计算
⑴(54)3⑵-(a2)3⑶⑷[(a+b)2]4
随堂练习
(1)(a4)3+m; (2)[(-)3]2;⑶[-(a+b)4]3
类型二幂得乘方公式得逆用
例1已知ax=2,ay=3,求a2x+y;ax+3y
随堂练习
(1)已知ax=2,ay=3,求ax+3y
(2)如果,求x得值
随堂练习
3。积得乘方得推广(abc)n=(n就是正整数).
例题精讲
类型一积得乘方得计算
例1计算
(1)(2b2)5;(2)(-4xy2)2(3)-(-ab)2(4)[-2(a—b)3]5.
随堂练习
(1)(2)(3)(-xy2)2(4)[-3(n-m)2]3、
类型二幂得乘方、积得乘方、同底数幂相乘、整式得加减混合运算
(2)[—(-x)5]2·(—x2)3=________;(xm)3·(—x3)2=________。
(3)(—a)3·(an)5·(a1—n)5=________;-(x-y)2·(y—x)3=________.
(4)x12=(x3)(_______)=(x6)(_______)、
(5)x2m(m+1)=()m+1。若x2m=3,则x6m=________、
2、解题时要注意a得指数就是1.
3、解题时,就是什么运算就应用什么法则.同底数幂相乘,就应用同底数幂得乘法法则;整式加减就要合并同类项,不能混淆.
4、-a2得底数a,不就是—a.计算—a2·a2得结果就是—(a2·a2)=—a4,而不就是(—a)2+2=a4。
5.若底数就是多项式时,要把底数瞧成一个整体进行计算
2、若(x2)n=x8,则m=_____________。
同底数幂的乘法PPT
幂的性质
1 3
幂的乘法性质
同底数幂相乘时,指数相加。即a^m * a^n = a^(m+n)。
幂的除法性质
2
同底数幂相除时,指数相减。即a^m / a^n = a^(m-n)。
幂的乘方性质
幂的乘方时,指数相乘。即(a^m)^n = a^(mn)。
02
同底数幂的乘法法则
法则的推导
推导过程
同底数幂的乘法法则可以通过指数的加法运算性质推导出来。假设有两个同底数的 幂 $a^m$ 和 $a^n$,其乘积可以表示为 $(a^m) times (a^n)$。根据指数的加法 运算性质,可以将 $m$ 和 $n$ 相加,得到 $(a^m) times (a^n) = a^{m+n}$。
05
同底数幂乘法在生活中的应 用
在物理学中的应用
波的传播
在物理学中,波的传播可以用同 底数幂的乘法来表示,例如声波 的传播速度与介质和频率之间的
关系。
电磁波
电磁波的传播也可以用同底数幂的 乘法来表示,例如光速与频率之间 的关系。
原子结构
在描述原子结构时,同底数幂的乘 法可以用来表示电子的能量级和轨 道半径之间的关系。
运算的注意事项
01
02
03
底数必须相同
进行同底数幂的乘法时, 底数必须完全相同。
指数必须为整数
参与运算的幂的指数必须 为整数,不能包含小数或 分数。
运算优先级
同底数幂的乘法优先于加 减法,因此在有加减法混 合运算时,应先进行幂的 乘法。
运算的实例
$a^m times a^n = a^{m+n}$ $x^3 times x^5 = x^{3+5} = x^8$ $y^2 times y^4 = y^{2+4} = y^6$
底数幂的运算法则
底数幂的运算法则
底数幂的运算法则是数学中常见的运算规律之一,它指导我们在进行幂运算时如何处理不同底数的幂的乘除、幂的乘方等操作。
具体来说,底数幂的运算法则包括以下几个方面:
1.同底数幂的乘除法则:当两个底数相同时,它们的幂可以通过将指数相加或相减得到。
即a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n 次方,a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方。
2.幂的乘方法则:对于同一底数的幂,它们的幂次可以通过将指数相乘得到。
即(a的m次方)的n次方等于a的m×n次方。
3.幂的倒数和负指数法则:一个数的倒数是这个数的幂次为-1的值,即a的-1次方等于1/a。
同时,一个数的负指数是这个数的幂次为负数的值,即a的-n次方等于1/a的n次方。
这些底数幂的运算法则在数学中应用广泛,可以帮助我们简化计算、化简式子、推导公式等。
因此,熟练掌握这些运算法则对于学好数学至关重要。
- 1 -。
如何学好同底数幂的乘法
如何学好同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则是继有理数乘方后的一个极为重要的运算概念,是整式乘法的基础,所以同学们一定要学好这一知识点.那么如何才能抓住重点,灵活运用这一法则解题呢?笔者以为应重点掌握以下几个问题:一、正确理解同底数幂的乘法的概念,掌握同底数幂的乘法法则我们知道,102×103=100×1000=100000=105=102+3,212⎛⎫ ⎪⎝⎭×312⎛⎫ ⎪⎝⎭=1122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭×111222⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=512⎛⎫ ⎪⎝⎭=2312+⎛⎫ ⎪⎝⎭,等等.一般地,当m 、n 是正整数时,a m ×a n =n n a a a a ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ×m ma a a a ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=()m n aa a a +⋅⋅⋅=a m +n .即a m ×a n =a m +n (m 、n 都是正整数).就是说,同底数幂相乘,底数不变,指数相加.二、知道同底数幂的乘法法则的存在条件从法则的字母表达式我们可以看出,底数可以取任何数或代数式,即可以取正数,也可以取负数或分数,同时可以取单项式或多项式,但指数必须是正整数.三、知道同底数幂的乘法法则还可以推广使用我们知道,a m ×a n =a m +n (m 、n 都是正整数),事实上,当三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即a m ×a n ×…×a q =a m +n +…+q (m 、n 、…、q 都是正整数).四、 应注意同底数幂的乘法法则的灵活运用对于同底数幂的乘法法则,不仅要学会它们的正向运用,还要掌握它们的逆向运用.现举几例说明.例1 计算:231133⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 分析 将-13看成是底,利用法则即求. 解 323131⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.24313131532-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+例2 计算 20052005542145⎛⎫⎛⎫-• ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.分析 考虑指数较大,而底数的乘积则是一个较小的数,故逆用法则求解.解 ();=--=-=115141455421452005200520052005⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛- 例3 化简 (x +y )m (x +y )2m -1(x +y )2m +1.分析 考虑此式的结构特点,可视x +y 为一个整体,并对同底数幂的乘法法则还可以推广使用即求得.解 (x +y )m (x +y )2m -1(x +y )2m +1=(x +y )m +2m -1+2m +1=(x +y )5m . 例4 若m p =51,m q =7,m r =-75.求m p +q +r 的值. 分析 逆用同底数幂的乘法法则,把mp +q +r 写成m p ·m q ·m r ,再将已知条件分别代入即求.解 因为m p +q+r =m p ·m q ·m r ,又m p =51,m q =7,m r =-75, 所以m p +q+r =m p ·m q ·m r =51×7×(-75)=-1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
《同底数幂的乘法》教学设计
会宁县郭城驿初级中学黄进洲
一、教学内容解析
《整式的乘除》是七年级上册整式加减的延续和发展,也是后续学习因式分解、分式运算的基础.整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法,它们最后都转化为单项式乘法.单项式的乘法又以幂的运算性质为基础,其基本形式为:a m a n,(a m)n,(ab)m.因此,“整式的乘法”的内容和逻辑线索是:
同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式(特例)
由此可见,同底数幂的乘法是整式乘法的逻辑起点,是该章的起始课.作为章节起始课,承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用.
“同底数幂的乘法法则”从发现到验证,经历了“观察——实验——猜想——验证”过程,体现了从特殊到一般的归纳方法,这种方法在探究代数运算规律的时候经常用到.当学生理解和掌握了“同底数幂的乘法”的学习方法和研究路径后,学生就能运用类比的方法,自主地学习“幂的乘方”和“积的乘方”,真正实现由学会到会学的目的.基于教学内容特殊的地位和作用,本节课的教学重点确定为:
1.构建“先行组织者”,使学生明确本章的学习主线;
2.同底数幂乘法法则的探究与应用.
二、教学目标设置
1.通过类比学习,明确本章的学习主线和学习同底数幂乘法的必要性.
2.运用“从特殊到一般”的方法发现并归纳同底数幂的乘法法则,经历“观察——猜想——验证——概括”的过程,培养观察、发现、归纳能力以及语言表达能力.
3.理解法则的意义和适用条件,能熟练运用法则进行计算,体验化归思想,并能解决一些简单的实际问题.
三、学生学情分析
七年级的学生已掌握有理数的运算,并已初步具有用字母表示数的思想.但用字母表示数来归纳同底数幂的乘法法则,使其具有一般性,对学生的抽象思维能力和逻辑推理能力要求较高,因此,我们设计了从“特殊——一般”的方式,引导学生观察、发现、归纳.
七年级学生对已有知识具备直接运用的能力,但思维具有局限性,尚缺乏化未知为已知的转化能力,如通过相反数把多项式进行整体转化,是学生比较难处理的问题.对学生来说整体思想和转化思想是十分重要又困难的数学思维,对学生的数学素养、学习能力要求较高.本班学生基础比较好,能力也比较强.因此本节课的难点为:
1. 整式的乘法运化归为三种最基本的幂的运算——同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方;
2. 底数互为相反数的幂的乘法.
四、教学策略分析
基于对教学内容和学生学情的分析,我们采取以下的教学策略:
策略1:“先行组织者”教学策略.在“创设情境,引入新课”这一环节,引导学生类比有理数运算的学习内容和路径,引出本章学习内容《整式的乘除》一是为本节课及本单元学习提供了知识准备和研究素材,二是为新知学习提供研究线索和研究方法.策略2:“整体感悟”教学策略.在“创设情境,引入新课”环节中,让学生构造乘法算式,通过小组合作对所得算式进行分类,帮助学生整体感悟整式乘法的基本类型.在学生猜想多项式乘法运算后,通过展开,使学生感受到整式的乘法都是转化为单项式乘以单项式,其基础是幂的三种运算,再一次让学生整体感悟幂的乘法运算类型.
策略3:“长程两段式”教学策略.在“幂的运算”这一单元中,从方法性结构来看,都通过“从特殊到一般”的认知方法认识新知;从过程性结构来看,它们都需要经历“发现和猜想→验证和去伪→归纳与概括→应用与拓展”的知识形成过程.因此,我们对“同底数幂的乘法”的教学采取教学“结构”.这样,学生在“幂的乘方”“积的乘方”以及后面“同底数幂的除法”的学习过程中,就可以类比“同底数幂乘法”的学习过程和方法,开展自主学习,从而培养学生自主学习能力.
策略4:“分层递进”教学策略.为了帮助学生理解法则意义、适用条件,突破运用法则计算底数互为相反数的幂的运算难点,遵循循序渐进教学设计原则,在运用法则环节设计了“辨一辨”“做一做”“判一判”“练一练”“用一用”五个步骤.在充分利用教材的基础上,作适当处理,突出本节教学重点,帮助学生突破难点.
下面结合具体的教学过程,对“问题”设置、学生学习机会创设和学习反馈处理进行分析:
五、教学过程设计
(一)创设情景,引入新课
1.前面我们学习了数的运算,学习了哪些内容?是怎样学习的(学习路径)?整式运算,我们已学习了什么运算?你能否类比数的运算,猜想我们将要学习的整式哪种运算?
2. 探究活动:下面有四个整式,从中任选两个构造乘法运算:
、、、
(1)你能写出哪些算式?(只需列式,不要求计算);
(2)试着将你写出的算式分类,你认为整式乘法有哪几种类型?
3. 小组讨论单项式乘多项式和多项式乘多项式的步骤.
【设计意图】1.通过类比数的运算,引出本章学习内容;2.让学生整体感知整式乘法的类型,并体验到整式的乘法运算最后都是化归为幂的基本运算——a m a n、(a m)n和(ab)m,引出课题.
(二)交流对话,探究新知
1. 运用乘方的意义计算
(1)103×104 = ( )( )= =10( )
(2)a3×a4= ( )( )= =a( )
(3)10 m×10n= ( )( )= =10( )
2. 通过对以上过程的观察,你能发现什么规律吗?你能用一个式子来表达这个规律吗?你能解释为什么a m·a n=a m+n 吗?
3. 回顾法则的探究过程,我们经历了怎样的过程?
4. 诵读法则并思考:运用法则的条件是什么?
【设计意图】法则的探究过程,在幂的意义的基础上,开展独立探索和交流对话,不但使学生体会知识的形成过程,而且体会到从特殊到一般的数学归纳方法.然后剖析法则,突出法则应用的条件.
(三)应用新知,体验成功
1.【辨一辨】
下列各式哪些是同底数幂的乘法?
【设计意图】辨析法则运用的条件.
2.【做一做】
计算下列各式,结果用幂的形式表示.
第(3)小题变式为x ·x5 ·x9
【设计意图】熟练并能灵活运用法则,并将法则推广为三个及三个以上同底数幂乘法.3.【判一判】
下面的计算对吗?如果不对,怎样改正?
(1) a3 ·a3= 2a3 (2) a2 ·a3 = a6
(3) a ·a6 = a6(4) 78 ×(-7)3 = 711
归纳运用法则时应注意的地方.
【设计意图】设置4种典型错题,让学生辨析,达到以错纠错目的,帮助学生进一步理解和掌握法则,优化算法,体验转化思想.
4.【做一做】
计算下列各式,结果用幂的形式表示.
【设计意图】帮助学生突破底数互为相反数的幂的乘法运算这一难点,优化底数为数或多项式两种情形算法,进一步体验化归思想,提高思维能力.
5.【用一用】
光年是长度单位,1光年是指光经过一年所行的距离.光的速度大约是3×105 km/s,一颗行星与地球之间的距离为100光年,若取一年大约为3×107秒,则这颗行星与地球之间的距离大约为多少千米?
【设计意图】同底数幂的乘法在实际生活中的应用.
(四)梳理小结,盘点收获
今天我们发现、归纳并运用了一个新的法则.
1.法则的内容是什么?
2.我们是怎么发现和归纳这个法则的?
3在运用法则过程中要注意什么?
(五)延伸思考,提升层次
幂的乘方、积的乘方也是计算单项式乘单项式的基础,它们的法则又是如何呢?请同学们类比同底数幂乘法的研究路径和方法自主探究.
(六)推荐作业,巩固拓展
1.必做题
2.选做题
(1)已知a m=2,a n=3,求a m+n的值
(2)已知2x+2=m,用含m的代数式表示2x
【设计意图】分层作业,使“人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展”.第1题“必做题”是帮助学生巩固基础知识和基本技能;第2题“选做题”是为学有余力同学设置的,主要是培养学生逆向思维能力和综合运用能力.。