人教A版高中数学必修五课件解三角形复习(1).pptx
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高中数学第1章解三角形课件新人教A版必修5(2024)
的面积。 • 解析：根据正弦定理$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，代入已知条件可得
$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sin C}$，解得$a = \frac{2\sqrt{6}}{3}, b = \sqrt{2}$。再根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$，代入已知条件可得$S = \frac{\sqrt{3} + 1}{3}$。
例2
已知△ABC中，D、E分别是AB、AC上的 点，且AD/AB=AE/AC，求证： △ADE∽△ABC。
例3
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， 若AD=3，BD=4，求CD的长。
28
06
2024/1/28
三角函数在解三角形中的应用
29
三角函数基本概念回顾
2024/1/28
角度与弧度的定义及转换 正弦、余弦、正切函数的定义域、值域及 性质 诱导公式及周期性质 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
19
利用面积公式解决实际问题
2024/1/28
01
在测量工程中，经常需要计算不 规则地块的面积，可以通过测量 地块边界的长度，利用海伦公式 或向量叉积计算面积。
02
在建筑设计中，计算房间面积或 建筑物占地面积时，也可以利用 三角形面积公式进行计算。
20
面积公式在几何中的应用
在几何证明题中，有时需要计算某个 三角形的面积，以证明两个三角形面 积相等或成比例等关系。
解决几何问题中的最值问题
通过正弦定理可以解决一些几何问题中的最值问题，如求三角形中的最大角或最 小角等。
$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sin C}$，解得$a = \frac{2\sqrt{6}}{3}, b = \sqrt{2}$。再根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$，代入已知条件可得$S = \frac{\sqrt{3} + 1}{3}$。
例2
已知△ABC中，D、E分别是AB、AC上的 点，且AD/AB=AE/AC，求证： △ADE∽△ABC。
例3
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， 若AD=3，BD=4，求CD的长。
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三角函数在解三角形中的应用
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三角函数基本概念回顾
2024/1/28
角度与弧度的定义及转换 正弦、余弦、正切函数的定义域、值域及 性质 诱导公式及周期性质 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
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利用面积公式解决实际问题
2024/1/28
01
在测量工程中，经常需要计算不 规则地块的面积，可以通过测量 地块边界的长度，利用海伦公式 或向量叉积计算面积。
02
在建筑设计中，计算房间面积或 建筑物占地面积时，也可以利用 三角形面积公式进行计算。
20
面积公式在几何中的应用
在几何证明题中，有时需要计算某个 三角形的面积，以证明两个三角形面 积相等或成比例等关系。
解决几何问题中的最值问题
通过正弦定理可以解决一些几何问题中的最值问题，如求三角形中的最大角或最 小角等。
新版高中数学人教A版必修5课件：第一章解三角形 1.2.1
Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
题型一 题型二
测量两个不可到达的点之间的距离问题 【例 2】 如图,隔河看到两个目标 A,B,但均不能到达,在岸边选取 相距 3 km 的������, ������两点, 并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC= 30°,∠ADB=45°(A,B,C,D 在同一平面内),求两个目标 A,B 之间的距 离.
反思如图,不可到达的A,B是地面上两点,要测量A,B两点之间的距 离,步骤是:
(1)取基线CD; (2)测量CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠BDA; (3)在△ACD中,解三角形得AC;在△BCD中,解三角形得BC; (4)在△ABC中,利用余弦定理得 AB= ������������2 + ������������2-2������������·������������·cos∠������������������ .
且∠
ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这
两支精锐部队之间的距离.
解法一∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,
又∠ACD=60°,∴∠DAC=60°.
∴AD=CD=AC=
3 2
������.
在△BCD 中,∠DBC=180°-30°-105°=45°.
题型一 题型二
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Z 知识梳理 HISHISHULI
Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
反思如图,设A(可到达),B(不可到达)是地面上两点,要测量A,B两 点之间的距离,步骤是:
(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;
高一数学必修5课件《解三角形复习(一)》
②先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （3）知两边及其夹角： 求法：先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （4）知三边： 求法：用余弦定理求三个角.
例 1、在△ABC 中，若 sin A : sin B : sin C 5 : 7 : 8 ，
则最大角与最小角之和是___1_2__0____.
D． 0 k 12 或 k 8 3
已知两边及其中一边对角的三角形的解的情况：
A的范围 A为钝角或直角
a,b关系 a＞b
a≤b a＜bsinA
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
a≥b
解的情况 一解 无解 无解 一解 两解 一解
a
b A
a b
bsinA A
例3、在ABC中，BC 5，AC 4，cos CAD 31 32
整理得 a2 4a 3 0
解得 a=1或a=3
练习、已知在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的 对边长，若( a b c )(sin A sin B sin C ) 2a sin B ，
则 C ＝ 90o .
变题：若是 ( a b c )(sin A sin B sin C ) 3a sin B 呢？
sin(B C ) sin( A) sin A
例 5、在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C
的对边，且 cos B b . cos C 2a c
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 b= 13 ，a＋c=4，求 a 的值.
2sin Acos B sin A 0
小结论：
任意△ABC中，a : b : c =__si_n_A__:_s_in__B_:__si_n_C__
例 1、在△ABC 中，若 sin A : sin B : sin C 5 : 7 : 8 ，
则最大角与最小角之和是___1_2__0____.
D． 0 k 12 或 k 8 3
已知两边及其中一边对角的三角形的解的情况：
A的范围 A为钝角或直角
a,b关系 a＞b
a≤b a＜bsinA
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
a≥b
解的情况 一解 无解 无解 一解 两解 一解
a
b A
a b
bsinA A
例3、在ABC中，BC 5，AC 4，cos CAD 31 32
整理得 a2 4a 3 0
解得 a=1或a=3
练习、已知在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的 对边长，若( a b c )(sin A sin B sin C ) 2a sin B ，
则 C ＝ 90o .
变题：若是 ( a b c )(sin A sin B sin C ) 3a sin B 呢？
sin(B C ) sin( A) sin A
例 5、在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C
的对边，且 cos B b . cos C 2a c
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 b= 13 ，a＋c=4，求 a 的值.
2sin Acos B sin A 0
小结论：
任意△ABC中，a : b : c =__si_n_A__:_s_in__B_:__si_n_C__
人教版2017高中数学(必修五)第一课 解三角形 模块复习课 1PPT课件
(3)A+B+C=π .
(4)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB.
(5)a=b⇔A=B.
(6)A为锐角⇔cosA>0⇔a2<b2+c2；
A为钝角⇔cosA<0⇔a2>b2+c2； A为直角⇔cosA=0⇔a2=b2+c2. (7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC. (8)
AB C AB C sin cos ，cos sin . 2 2 2 2
【易错提醒】 解三角形中易忽视的三点 (1)解三角形时，不要忽视角的取值范围. (2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽 视两角互补情况. (3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记
出现失解情况.
类型一
利用正、余弦定理解三角形
【典例1】(1)△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC= ，BC= ，则
4.三角形中的计算问题 在△ABC中，边BC，CA，AB记为a，b，c，边BC，CA，
AB上的高分别记为ha，hb，hcபைடு நூலகம்则
(1)ha=bsinC=______. csinB (2)hb=csinA=______. asinC (3)hc=asinB=______.
bsinA
a bcos C ccos B， (4) b a cos C ccos A， c a cos B bcos A. (5) 1 1 1 abc S absin C acsin B bcsin A . 2 2 2 4R
2 -1，所以 b=15 ，所以a= 2 2
，2 c=
.
2
5
【方法技巧】应用正、余弦定理解决解三角形问题的 类型及方法 已知条件 应用定理 一般解法 由A+B+C=180°，求角A；由正
高中数学 第一章 解三角形阶段复习课课件 新人教A版必修5
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2020秋新版高中数学人教A版必修5课件：第一章解三角形 1.2.4 .pptx
在三角形中,当涉及两边的和、两边的积或两边的平方和或三角
形的面积时,常用余弦定理解答.
-11-
第4课时 几何计算问题
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Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
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典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且
(1)若△ABC 的面积等于 3, 求������, ������的值;
(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积. 分析(1)利用余弦定理和面积公式列关于a,b的方程组求解; (2)先利用正弦定理得a与b的关系,再利用余弦定理得a与b的另一 个关系,列方程组求解a,b,进而求面积.
第4课时 几何计算问题 题型一 题型二 题型三 题型四
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典例透析
IANLITOUXI
反思1.有关长度问题,要有方程意识.设未知数,列方程求解是经常 用到的方法.列方程时,要注意一些隐含关系的应用.
2.要灵活运用正、余弦定理及三角形面积公式.
-18-
第4课时 几何计算问题 题型一 题型二 题型三 题型四
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典例透析
IANLITOUXI
解(1)由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.
又因为△ABC 的面积等于 3,
所以
1 2
������������sin
人教高中数学必修五 第一章 解三角形复习课件(共18张PPT)
应用举例
某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后
立即测出该渔船在方向角为北偏东45o，距离10海里的C处，
渔船沿着方位角为105o的方向以v海里 / 小时的速度向小岛靠拢， 我海军艇舰立即以4v海里 / 小时的速度前去营救。设艇舰在B处 与渔船相遇，求AB方向的方位角的正弦值
方向角
C B
1.在ＡＢＣ中，AC= 3,A 45 ,C 75 ,则BC A
A. 2 B. 3 C.2 D. 5
2.在ABC中，A 60 ，a 6,b 3,则ABC解得情况是A
A.无解 B.有一解 C.有两解 D.不能确定
３.ＡＢＣ中，a,b,c分别为A、B、C的对边，
如果a、b、c成等差数列，B=30 ，ABC的面积
C
b
一、正弦定理及其变形：
A
2R a
o
a
b
c
2R
B’
B
(R为三角形外接圆半径）
sin A sin B sin C
变 形
a : b : c sin A: sin B : sinC
正弦定理解决的题型：
1.已知两角和任意一边，求其他的两边及角. 2.已知两边和其中一边的对角，求其他边角.
a 2R sin A b 2R sin B c 2R sin C
且 tan A tan B 3 tan A • tan B 3，又ABC的面积为
SABC
3 3 ，求a 2
b的值
解：由已知 tan A tan B 3(tan A • tan B 1)
得 tan（A B） tan A tan B 3， C 60o
1 tan A• tan B
SABC
(sin A a ) 2R
高中数学必修5高中数学复习课《解三角形》PPT
用正余弦定理解 三角形
题型分析 高考展望
正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角 形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点 主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形 的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形 状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题； 三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命 题的重点和热点.（本节课复习一、三，二应用下节 课复习）
点评
解析答案
变式训练 1 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsin A ＝ 3acos B. (1)求角B的大小；
解 ∵bsin A＝ 3acos B，
由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得 tan B＝ 3.
(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；
解
f(x)＝2cos
2x(
3cos
2x－sin
2x)＝2
3cos22x－2sin
2xcos
x 2
＝ 3＋ 3cos x－sin x＝ 3＋2sin(π3－x)，
由 f(A)＝ 3＋1，可得 3＋2sin(π3－A)＝ 3＋1，
所以 sin(π3－A)＝12.
∵B∈(0，π)，∴B＝π3.
解析答案
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解 ∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即 9＝a2＋4a2－2a·2acos π3， 解得 a＝ 3，∴c＝2a＝2 3.
解析答案
2．设 G 是△ABC 的重心，且 7sin A·G→A＋3sin B·G→B＋3 7sin C·G→C＝0，则角 B 的大小为_______．
题型分析 高考展望
正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角 形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点 主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形 的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形 状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题； 三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命 题的重点和热点.（本节课复习一、三，二应用下节 课复习）
点评
解析答案
变式训练 1 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsin A ＝ 3acos B. (1)求角B的大小；
解 ∵bsin A＝ 3acos B，
由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得 tan B＝ 3.
(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；
解
f(x)＝2cos
2x(
3cos
2x－sin
2x)＝2
3cos22x－2sin
2xcos
x 2
＝ 3＋ 3cos x－sin x＝ 3＋2sin(π3－x)，
由 f(A)＝ 3＋1，可得 3＋2sin(π3－A)＝ 3＋1，
所以 sin(π3－A)＝12.
∵B∈(0，π)，∴B＝π3.
解析答案
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解 ∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即 9＝a2＋4a2－2a·2acos π3， 解得 a＝ 3，∴c＝2a＝2 3.
解析答案
2．设 G 是△ABC 的重心，且 7sin A·G→A＋3sin B·G→B＋3 7sin C·G→C＝0，则角 B 的大小为_______．
人教A版数学高二必修5第1章解三角形复习课课件 (共29张PPT)
-1)n mile的B处有一
艘走私船,在A处北偏西75°方向距A为2n mile的C处的我方缉私 艇奉命以10 n mile/h的速度追截走私船,此时走私船正以10
n mile/h的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私艇沿什么
方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.
练一练
【解析】如图,设缉私艇 th 后在 D 处追上走私船, 则 BD=10tn mile,CD=10 tn mile,因为∠BAC=45°+75°=120°,
【规范解答】(1)依题意，∠BAC=120°，AB=12， AC=10×2=20，∠BCA=α.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos120°=784,
解得,BC=28,所以渔船甲的速度为
答：渔船甲的速度为14海里/小时.
归纳总结
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的 原有数据，尽量减少计算中误差的积累； (5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确 定答案并注明单位. 【特别提醒】画示意图时，一定要根据题目中现北偏东45°方向距A为(
ab = (C ) sin A sin B
A.3 3 B.6 3 C.6
6
D.18
【解析】由正弦定理
4 sin
a b 可得sinB= sin A sin B
bsin A a
所以
ab 3 4 6 2， 6． 1 2 sin A sin B 3 3
2
3
典例精析
a 2 b2 c2 b2 c2 a 2 a 2 c2 b2 2ab cosA=_________ 2bc ；cosB=_________ 2ac ；cosC=_________.
高中数学人教A版必修五教学课件：第一章 《解三角形》 1.1.2 余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和 减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的 二 倍 在△ABC 中，
符号 语言
a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2accos B，
2 2 c2＝ a ＋b －2abcos C ．
在△ABC 中， 推论 b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 cos A＝ ，cos B＝ ， 2bc 2ac
)
a2＋c2－b2 1 解析：由题意知，cos B＝ ＝cos 120° ＝－ ，∴a2＋c2－b2 2ac 2 ＝－ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝－ac＋ac＝0.
答案：C
1 3．在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A＝ . 4 若 a＝4，b＋c＝6，且 b<c，求 b，c 的值．
[解]
设 BD＝x.在△ABD 中， 根据余弦定理， AB2＝AD2＋BD2－2AD· BDcos
∠BDA， ∴142＝102＋x2－2×10×xcos 60° ，………………………………3 分 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ………………………6 分 ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ，∴∠CDB＝30° . ……………………9 分 在△BCD 中，由正弦定理， BC BD ＝ ， sin∠CDB sin ∠BCD
答案：120°
探究三
利用正余弦定理判断三角形的形状
[典例 3] 在△ABC 中，若 B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状．
[解析] ∵B＝60° ， ∴b2＝a2＋c2－2accos 60° ， 1 ∴ (a＋c)2＝a2＋c2－ac， 4 ∴(a－c)2＝0， ∴a＝c， ∴a＝b＝c. 故△ABC 为等边三角形．
人教版必修五第一单元解三角形复习课课件
(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(8)在ABC中，A B a b sinA sinB.
(9)sin sin 或 若、是 三角 形 的内 角 则有
正余弦推论的应用
sinA
sinA sinB
b
2
2
又b a, B A, A 60或120
当A 60时 ，C 75 c b sinC s i nB
2 sin75 sin45
6 2
2
当A 120时 ，C 15 c b sinC s i nB
2 sin15 sin45
6 2
2
方 法 二用 余 弦 定 理
k k 1 2k
与 第 三 边 得k 1 2k k k 2k k 1
解 得k 1 由 两 边 2
之 差 小 于 第 三 边 解 得k 1 k范 围 是( 1 , )
2
2
例3. 钝 角ABC中 ，a 1, b 2,则 最 大 边c的 取 值 范围是 5 c3
解：由余弦定理得cosC a2 b2 c2 5 c2
2ab
4
C是最大角钝角 5 c2 0c 5 4
a b c c 3 5 c 3
二、三角形解的个数的确定
解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件 应用 定理
一般解法
一边和两角 正弦 由A+B+C=180求出角A；根据正弦
(如a、B、C)
定理求出b与c;在有解时只有一解
两边和夹角 余弦 由余弦定理求出c；由正弦定理求 (如a、b、C) 正弦 出A、B；在有解时只有一解
高中数学必修5全册(人教A版)PPT课件
q
q
q 1 三个数为 4,1,2 或 2,1,4 2
（3）若 2为2q,2 的等差中项，则 q 1 2 即：q2q20
q
q
q2 三个数为 4,1,2 或 2,1,4
综上：这三数排成的等差数列为. : 4,1,2或 2,1,4 30
Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质
例2（1）已知等差数列{ a n } 满足 a1a2a1010，则 ( C )
域.在点E正北55海里处有一个雷达观测站A，
某时刻测得一艘匀速直线行驶的船，位于点A
北偏东45°方向，且与点A相距
海4 0里2的
位置B.经过40分钟又测得该船已行驶到
点A北偏东45°＋θ（其中sin 2266,0
90）
方向，且与点A相距1 0 1 3 海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断
.
9
例5 （2006年湖南卷）如图，D是直 角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记 ∠CAD=α，∠ABC=β. （Ⅰ）证明sinα+cos2β=0； （Ⅱ）若AC=DC，求β的值.
A
β=60°
α
β B
D
C
.
10
作业： P19习题1.2A组：3，4，5.
.
11
第一章 解三角形 单元复习
第二课时
Aa.1a10 10B.a2a10 00 Ca .3a990 D.a5151
（2）已知等差数列{ a n } 前 m项和为30，前 2m 项和为100，
则前 项和3m为
(C )
A.130
B. 170
C. 210
D. 260
（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后 四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.
人教版高中数学必修5第1章《解三角形》PPT课件
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
由sina A＝sinc C得，
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
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当B＝60°时，C＝90°， c＝ a2＋b2＝4 3； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2 3. 所以B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
8分 10分
12分
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
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第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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解析： 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦 的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正 确．
答案： B
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第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a； (2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1. ∵30°<C<150°，∴C＝90°， 从而A＝180°－(B＋C)＝60°， a＝ c2－b2＝4 3.
高中数学必修5《解三角形》章节复习——魅力三角形PPT
a b c 2R(R为外接圆的半径) sin A sin B sin C
变形： a 2R sin A
边角互化
a sin A b sin B
a b sin A sin B
（大边对大角，小边对小角）
【知识回顾二】
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边
【余弦定理】 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
已知A ，b2 a2 1 c2
4
2
(1)求 tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值
3、(2016 浙江)在ABC中，内角A,B,C的边分别为a,b,c,已知b c 2ac cos B. (1)证明：A 2B(2)若ABC的面积S= a2 ,求角A的大小
4
4.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角
1、(2014 • 浙江)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知a b, c 3,cos2 A cos2 B 3 sin Acos A 3 sin B cos B (1)求角C的大小；(2)若sinA= 4 ,求ABC的面积.
5
2、(2015 • 浙江)在ABC中，内角A, B,C所对的边分别为a, b, c.
【知识回顾一】
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边
解斜三角形的主要依据：
（1）角与角关系：
A+B+C （三角形内角和为180 ）
（2）边与边关系：三角形两边之和大于第三边，二边之差小于第三边 （3）角与边关系：
【正弦定理】 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
人教A版高中数学必修五课件：第一章解三角形本章整合1
6
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三
应用1若a,b,c是△ABC的三边,直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离, 则△ABC一定是( ).
A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 提示:由直线与圆相离,得圆心到直线的距离大于半径,列出关于 a,b,c的不等式,再用余弦定理来确定角的范围. 解析:由直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 相离,得 ������ > 1,
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
综合应用
真题放送 12
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 正弦定理、余弦定理与三角函数的综合运用 以三角形为载体,以正弦定理、余弦定理为工具,以三角恒等变 换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型.在具 体解题中,通常交替使用正弦定理、余弦定理,以达到简化解题的 目的.
π
∴ 2 − ������ > ������.
∴A+B<
π 2
.
又A+B+C=π,
∴C>
π 2
,
∴△ABC
是钝角三角形.
答案:C
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
应用
3
在△ABC
中,若
������cos������ ������cos������
=
1+cos2������ 1+cos2������
2) ×
3 2
=
因为 15 2 − 5 6 > 8, 所以货轮无触礁危险.
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们的夹角，2b求c第 三边和a其2 他c两2 角b.2 cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
2ac cos C a2 b2 c2
三、角形的面积公式：
2ab
SABC
1 2
aha
1 2 bhb
1 2
chc
c
1
1
1
SABC
2
ab sin C
bc sin 2
A
2
ac sin
B
B
A
b
ha
小结：这种条件下解三角形注意多解的情况的判断方 法，同时注意正弦定理，余弦定理的选择。
典例分析
题型二、已知三边，解三角形。 2、 已知ABC中，a 1, b 7, c 3, 那么B等于1_5_0_°_
3
变式1、 已知ABC中，a 1, b 7, c 3, 那么SABC等于 __4__ 变式2、 已知ABC中， sinA : sin B : sin C 1: 7 : 3, 那么B等于1_5__0_°
aC
典例分析
题型一、已知两边及一边对角，解三角形。
1、 已知ABC中，a 2, b 3, B 60, 那么A等于（） C
A.135, B.135或45, C.45，D.30
变式、 已知ABC中， 根据下列条件有两个解的是（） D
A.b 10, A 45, C 70 B.a 5, c 4, B 60 C.a 7, b 5, A 80 D.a 14, b 16, A 45
变式3、 已知ABC中，(b c) : (c a) : (a b) 4 : 5 : 6,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ那么A等于 ____ 变式4、 已知ABC中，a 2 b2 c2 bc, 那么A等于 ____
小结：这种条件下解三角形注意灵活运用正弦定理， 特别注意余弦定理的变形。
典例分析
题型三、求三角形的面积。
3、 已知ABC中，a 4, c 2, B 75, 那么ABC的面积等于 _3___1
(参考数据： sin75 6 2 ) 4
变、 已知ABC中，a 4, c 4 2, A 30, 那么ABC的面积等于 ____
变、 已知ABC中，a 1, c 3, b 7, 那么ABC的面积等于 ____
变、 某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45距离10海里的C处， 此时得 知， 该渔船沿北偏东105方向， 以每小时9海里的速度向一小岛靠近， 舰艇时速21海里， 则舰艇到达渔船的最短时间是_______
小结：准确的将实际问题的条件画出三角形，转化为 解三角形问题，是关键。
课堂小结 本章知识框架图
正弦定理 余弦定理
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新课标人教版A必修5复习课 第一章 解三角形
C
b
一、正弦定理及其变形：
A
2R a
c
a b c 2R (R为三角形外接B’圆半径）B
sin A sin B sin C
变形
a : b : c sin A : sin B : sin C
正弦定理解决的题型：
1、已知两角和任意一边，求其他的两边及角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角.
a 2R sin A b 2R sin B c 2R sin C
(sin A a ) 2R
(sin B b ) 2R
(sin C c ) 2R
二、余弦定理及其推论： 余弦定理解决的题型：
cos12、、A已已知b知三2 两边边c求2三和角他a.2
a2 b2 c2 2bc cos A 推论 b2 a2 c2 2ac cos B
变、 已知ABC中，c 2, C ,
3 (1)若ABC的面积等于 3, 求a, b; (2)若sinB 2sinA,求ABC的面积
小结：求出一个角的余弦值是计算面积的关键。
典例分析
题型四、解三角形的实际应用（距离、角度）。
4变、 、某某舰舰艇艇在在A处A处测测得得遇遇险险渔渔船船在在北北偏偏东东4545距距离离101海0海里里的的C处C处， ，此此时时得 知得，知该， 渔该船渔沿船北沿偏北东偏1东0513方5向方，向以，1小每时小后时舰9海艇里测的得速渔度船向在一东小偏岛南靠15近方， 1向小上时,后渔，船渔与船舰与艇舰的艇距的离距是离多是少多？少？
解三角形 应用举例