【数学】2011年北京市各区一模试题分类解析(19)：创新题

十九、创新题1．（2011朝阳一模理8）定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5) 的长度(21)(53)d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中x ∈R .设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，若用123,,d d d 分别表示不等式()()f x g x >，方程()()f x g x =，不等式()()f x g x <解集区间的长度，则当02011x ≤≤时，有 （B ）（A ）1231, 2, 2008d d d === （B ）1231, 1, 2009d d d === （C ）1233, 5, 2003d d d === （D ）1232, 3, 2006d d d ===2．（2011朝阳一模理14）对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈ ，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 4 ；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i - 中的逆序数为232n n - .3（2011丰台一模理8）．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则f 的n 阶周期点的个数是(C)(A) 2n (B) 2(2n -1) (C) 2n(D) 2n 24(2011丰台一模理14)．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 13 57 9 11 13 15 17 19……按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为．n 2-n +5 ．5(2011海淀一模理14)．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且A C =2，P 为线段C B 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设C P =x ， △C PD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 (2,4) ； '()f x 的零点是 3 .6(2011门头沟一模理14)．设S 为非空数集，若,x y S ∀∈，都有,,x y x y xy S +-∈，则称S为封闭集．下列命题①实数集是封闭集；②全体虚数组成的集合是封闭集； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则一定有0S ∈；⑤若,S T 为封闭集，且满足S U T ⊆⊆，则集合U 也是封闭集， 其中真命题是 ①④ ．7（2011石景山一模理13）．已知两定点)0,1(-M ，)0,1(N ，若直线上存在点P ，使得4=+PN PM ，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是 ① ④ ．①1+=x y ②2=y ③3+-=x y ④32+-=x y8(2011朝阳一模文14)．对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于2的正整数)，对于任意,{1,2,3,,}p q n ∈ ，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 4 .9(2011丰台文8)．若函数()f x 满足条件：当12, [1,1]x x ∈-时，有1212|()()|3||f x f x x x -≤-成立，则称()f x ∈Ω．对于函数3()g x x =，1()2h x x =+，有(C)(A) ()g x ∈Ω且()h x ∉Ω (B) ()g x ∉Ω且()h x ∈Ω (C) ()g x ∈Ω且()h x ∈Ω (D) ()g x ∉Ω且()h x ∉Ω10(2011丰台文14)．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数2()([])f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为[0,1]； ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称； ③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1； ④函数()y f x =在(0,1)上是增函数．其中正确命题的序号是③④ ．（写出所有正确命题的序号）11(2011海淀一模文14)．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且A C =2，P 为线段C B 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设C P =x ， △C PD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为____(2,4) ，____；()f x 的最大值为_ 22_______.解答1（2011西城一模理20）.（本小题满分13分）定义=),,,(21n a a a τ12231||||||n n a a a a a a --+-++- 为有限项数列{}n a 的波动强度.（Ⅰ）当(1)nn a =-时，求12100(,,,)a a a τ ；（Ⅱ）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤； （Ⅲ）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列.（Ⅰ）解：12100122399100(,,,)||||||a a a a a a a a a τ=-+-++- ………………1分222299198=+++=⨯= . (3)分（Ⅱ）证明：因为(,,,)||||||a b c d a b b c c d τ=-+-+-，A C P BD(,,,)||||||a c b d a c c b b d τ=-+-+-，所以(,,,)(,,,)||||||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+-----. (4)分因为()()0a b b c -->，所以a b c >>，或a b c <<.若a b c >>，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+--+--||||c b c d b d =-+---当b c d >>时，上式()2()0c b c d b d c b =-+---=-<，当b d c ≥≥时，上式()2()0c b d c b d d b =-+---=-≤， 当d b c >>时，上式()0c b d c d b =-+---=，即当a b c >>时，(,,,)(,,,)0a b c d a c b d ττ-≤. (6)分若a b c <<，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d b a c d c a b d ττ-=-+--+--，||||0b c c d b d =-+---≤.（同前）所以，当()()0a b b c -->时，(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤成立. …………………7分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）下面来证明当12a a >时，{}n a 为递减数列.（ⅰ）证明23a a >.若231a a a >>，则由引理知交换32,a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾. 若2a a a >>３１，则1212212121(,,)||||||||(,,)a a a a a a a a a a a a a a ττ=-+->-+-=３３３３，与已知矛盾.所以，321a a a >>. ………………………9分（ⅱ）设12(32)i a a a i n >>>≤≤- ，证明1i i a a +>.若i i i a a a >>+-11，则由引理知交换1,+i i a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若i i i a a a >>-+11，则211211(,,,)(,,,)i i i i i i i i a a a a a a a a ττ--+--+=，与已知矛盾. 所以，1+>i i a a . …………………11分（ⅲ）设121n a a a ->>> ，证明1n n a a ->. 若1n n a a ->，考查数列121,,,,n n a a a a - ，则由前面推理可得122n n n a a a a -->>>> ，与121n a a a ->>> 矛盾.所以，1n n a a ->. …………………12分综上，得证.同理可证：当12a a <时，有{}n a 为递增数列. ……………………13分2（2011西城一模文20）.（本小题满分13分）将n ,,3,2,1 这n 个数随机排成一列，得到的一列数n a a a ,,,21 称为n ,,3,2,1 的一个排列.定义=),,,(21n a a a τ||||||13221n n a a a a a a -+-+-- 为排列n a a a ,,,21 的波动强度.（Ⅰ）当3=n 时，写出排列321,,a a a 的所有可能情况及所对应的波动强度； （Ⅱ）当10=n 时，求1210(,,,)a a a τ 的最大值，并指出所对应的一个排列； （Ⅲ）当10=n 时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列1210,,,a a a ，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明.解：（Ⅰ）3=n 时，排列321,,a a a 的所有可能为1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1. (2)分2)3,2,1(=τ；3)2,3,1(=τ；3)3,1,2(=τ；3)1,3,2(=τ；3)2,1,3(=τ；2)1,2,3(=τ. ………………4分（Ⅱ）1210(,,,)a a a τ= 1223910||||||a a a a a a -+-++- 上式转化为1223910a a a a a a ±±±±±±± ，在上述18个±中，有9个选正号，9个选负号，其中110,a a 出现一次，239,,,a a a 各出现两次.………………6分所以1210(,,,)a a a τ 可以表示为9个数的和减去9个数的和的形式， 若使1210(,,,)a a a τ 最大，应使第一个和最大，第二个和最小. 所以1210(,,,)a a a τ 最大为：(10109988776)(112233445)49++++++++-++++++++=. (8)分所对应的一个排列为：5,7,1,8,2,9,3,10,4,6.（其他正确的排列同等给分） ………9分（Ⅲ）不可以.例如排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6，除调整1,2外，其它调整都将使波动强度增加，调整1,2波动强度不变. ……………11分所以只能将排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6调整为排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6. 对于排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6，仍然是除调整2,1外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整1,2两个数字.如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为9. ……………13分3(2011东城一模理20) （本小题共14分）对于)2(≥∈n n *N ，定义一个如下数阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n nna a a a a a a a a A212222111211 其中对任意的n i ≤≤1，n j ≤≤1，当i 能整除j 时，1=ij a ；当i 不能整除j 时，0=ij a ．设nj j j ni ija a a aj t +++==∑= 211)(．（Ⅰ）当6=n 时，试写出数阵66A 并计算∑=61)(j j t ；（Ⅱ）若][x 表示不超过x 的最大整数，求证：∑=nj j t 1)(∑==ni in1][；（Ⅲ）若∑==nj j t nn f 1)(1)(，dx xn g n⎰=11)(，求证：()1()()1g n f n g n -<<+．（Ⅰ）解：依题意可得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10001000000100010010010101011111166A ．14423221)(61=+++++=∑=j j t ．（Ⅱ）解：由题意可知，)(j t 是数阵nn A 的第j 列的和，因此∑=nj j t 1)(是数阵nn A 所有数的和．而数阵nn A 所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的n i ≤≤1，不超过n 的倍数有i 1，i 2，…，i i n][．因此数阵nn A 的第i 行中有][in 个１，其余是0，即第i 行的和为][in．所以∑=nj j t 1)(∑==ni in 1][． （Ⅲ）证明：由][x 的定义可知，ini n i n≤<-][1， 所以∑∑∑===≤<-ni ni ni in i nn i n 111][．所以∑∑==≤<-ni ni i n f i111)(11．考查定积分dx xn⎰11，将区间],1[n 分成1-n 等分，则dx xn⎰11的不足近似值为∑=ni i21，dx xn⎰11的过剩近似值为∑-=111n i i．所以∑=ni i 21dx xn⎰<11∑-=<111n i i．所以111-∑=ni i)(n g <∑=<ni i11．所以<-1)(n g ∑=<-ni n f i 1)(11<≤∑=ni i111)(+n g ．所以()1()()1g n f n g n -<<+． 4（2011东城一模文20）(本小题共13分)对于)2(≥∈n n *N ，定义一个如下数阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n nna a a a a a a a a A212222111211 其中对任意的n i ≤≤1，n j ≤≤1，当i 能整除j 时，1=ij a ；当i 不能整除j 时，0=ij a ．（Ⅰ）当4n =时，试写出数阵44A ；（Ⅱ）设nj j j ni ija a a aj t +++==∑= 211)(．若][x 表示不超过x 的最大整数，求证：∑=nj j t 1)(∑==ni in1][．解：（Ⅰ）依题意可得，4411110101001001A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………4分（Ⅱ）由题意可知，)(j t 是数阵nn A 的第j 列的和，因此∑=nj j t 1)(是数阵nn A 所有数的和．而数阵nn A 所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的n i ≤≤1，不超过n 的倍数有i 1，i 2，…，i in][．因此数阵nn A 的第i 行中有][in 个１，其余是0，即第i 行的和为][in ．所以∑=nj j t 1)(∑==ni in 1][．……………………13分 5(2011丰台一模理20).（本小题共13分）已知123{(,,,,)n n S A A a a a a == ，0i a =或1，1,2,,}i n = (2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值；（Ⅱ）令0(0,0,0,,0)n W =个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥；（Ⅲ）令123(,,,,)n U a a a a = ，若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和．解：（Ⅰ）2510C =； ………3分（Ⅱ）证明：令123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……∵0i a =或1，0i b =或1；当0i a =，0i b =时，||i a +||0i b =||i i a b =- 当0i a =，1i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =- 当1i a =，0i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =- 当1i a =，1i b =时，||i a +||2i b =||0i i a b ≥-= 故||i a +||i b ||i i a b ≥-∴(,)(,)d u w d v w +=123()n a a a a ++ ++123()n b b b b +++ ++123(||||||)n a a a a =++ |++|123(||||||)n b b b b +++ |++|112233(||||||)n n a b a b a b a b ≥-+-+-- |++|(,)d u v = ………8分（Ⅲ）解：易知n S 中共有2n 个元素，分别记为(1,2,,2)nk v k = 123(,,)n v b b b b =……∵0i b =的k v 共有12n -个，1i b =的k v 共有12n -个．∴21(,)nk k d u v =∑=1111111122(2|0|2|1|2|0|2|120|21|)n n n n n n n n a a a a a a -------+-+-+--- |++|+|=12n n - ……13分∴21(,)nk k d u v =∑=12n n - ． 法二：根据（Ⅰ）知使(,)k d u v r =的k v 共有rn C 个∴21(,)nk k d u v =∑=012012nn n n n C C C n C ++++21(,)nkk d u v=∑=12(1)(2)0n n n n nnn n C n C n C C --+-+-++两式相加得 21(,)nkk d u v=∑=12n n -6(2011丰台文20)．（本小题共13分）已知123{(,,,,)n n S A A a a a a == ，0i a =或1，1,2,,}i n = (2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）如果(0,0,0,0)U =，存在m 个4V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）如果0(0,0,0,,0)n W =个，,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥．解：（Ⅰ）6. ……………………4分（Ⅱ）证明：令123(,,,,)n U a a a a = ，123(,,,,)n V b b b b = .∵0i a =或1，0i b =或1；当0i a =，0i b =时，||i a +||0i b =||i i a b =-； 当0i a =，1i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =-； 当1i a =，0i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =-； 当1i a =，1i b =时，||i a +||2i b =||0i i a b ≥-=． 故||i a +||i b ||i i a b ≥-．∴(,)(,)d U W d V W +=123()n a a a a ++ ++123()n b b b b +++ ++123(||||||)n a a a a =++ |++|123(||||||)n b b b b +++ |++|112233(||||||)n n a b a b a b a b ≥-+-+-- |++|(,)d U V = ……………- 11 - ………13分法二：记U V 、中对应项同时为0的项的个数为p ，对应项同时为1的项的个数为q ，则对应项一个为1，一个为0的项的个数为n p q --；()p q N p q n ∈+≤、，． (,)d U W 即是U 中1的个数，(,)d V W 即是V 中1的个数，(,)d U V 是U V 、中对应项一个为1，一个为0的项的个数．于是有(,)d U V n p q =--．U V 、中1一共有2()q n p q +--个，即(,)(,)d U W d V W n p q +=-+． 所以有(,)(,)(,)20d U W d V W d U V q +-=≥，于是(d U +≥． ……………………13分。