酉空间介绍
矩阵的有关知识
1.1酉空间 1.1.1酉空间的定义定义1 设V 是复数域上线性空间，在V 上定义二元函数，称为内积，记作(,)αβ，它具有以下性质：1．(,)(,)αββα=，这里(,)βα是复数(,)αβ的共轭复数； 2．(,)(,)k k αβαβ=； 3．(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；4．(,)0αα≥，且(,)0αα=当且仅当α=0。
这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 为任意复数，这样的线性空间称为酉空间. 例1 设T T 1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==是n中的任意向量，定义内积为H 1122(,)n n a b a b a b αββα=+++=。
则n是一个酉空间，其中H β表示向量β的共轭转置向量。
1.1.2酉空间的有关概念（1）2α=称为向量α的长度或模或范数.（2）若21α=，则称α为单位向量；α≠0时，称21αα为将向量α单位化.（3）(,)αβ=0时，称向量α与向量β正交.（4）如果n 维酉空间V 的一个基中的向量两两正交，则称该基为V 的一个正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基. （5）设n n⨯∈A ，HA 表示矩阵A 的共轭转置矩阵， 即TH =A A 。
若A 满足H =A A ，则称A 是Hermite 矩阵； 若A 满足H =A A E ，则称A 是酉矩阵. （6）设12,,,n ααα是V 的一组基，称矩阵1112121222122(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为基12,,,n ααα的度量矩阵.（7）设V α∈，如果对于任意β∈ W 1，恒有(,)αβ=0，则称α与子空间W 1正交，记为1W α⊥.如果对于任意α∈W 1和任意β∈W 2，恒有(,)αβ=0，则称子空间W 1与子空间W 2正交，记为12W W ⊥.如果12W W ⊥，且12W +W =V ，则称W 2是W 1的正交补，记作1W ⊥.显然，11V W W ⊥=⊕。
第4讲-复内积空间-(酉空间)
第4讲复内积空间 (酉空间)内容：1. 复内积空间2. 正规矩阵3. Hermite二次型欧氏空间是针对实线性空间而言的，本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质，然后将实二次型推广为复二次型，介绍厄米（Hermite）二次型.§1 复内积空间(酉空间)1. 复内积空间(酉空间)定义1.1设V是复线性空间,若对于V中任意两个元素（向量）x和y,总能对应唯一的复数，记作),(y x,且满足以下的性质：（1）对称性;),(),(_____x yx=y（2）可加性);,(),(),=x++(z yz xz y（3）齐次性;ykkx∈),=x∀y),,(k(C（4）非负性,0x),(=xx),(≥x当且仅当0=x时,0则称该复数是V中元素（向量）x和y的内积.称定义了内积的复线性空间V为酉空间(或称U空间或复内积空间).例1.1 在n维向量空间n C中，任意两个向量T n x x x x ),,,(21Λ=，T n y y y y ),,,(21Λ=，若规定 ∑==+++=n k kk n n y x y x y x y x y x 1____2__21__1),(Λ，则容易验证，它是nC 中向量x 和y 的内积.2. 酉空间的性质：(1)V x x x ∈∀==,0)0,(),0( (2)C k V y x y x k ky x ∈∀∈∀=,,),,(),(__ (3) V z y x z x y x z y x ∈∀+=+,,),,(),(),((4) ),(),(11__11∑∑∑∑=====n j n i j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k3. 酉空间的一些结论(1) 向量的长度),(x x x =(2) Cauchy-Schwarz 不等式: y x y x ≤),((3) 两个非零向量的夹角)2,0(,)),)(,((arccos ,21π≤><≤>=<y x y x x y y x y x (4) 当0),(=y x 时，称x 与y 正交，积作y x ⊥.与欧氏空间一样，在酉空间中也可类似定义正交基，标准正交基，而且V 中的任一组基均可通过Schmidt 方法化为一组标准正交基.4. 酉变换和复对称变换定义1.2 设σ是U 空间中的一个线性变换，若对U ∈∀βα,，均有),())(),((βαβσασ=成立，则称σ为U 空间上的酉变换，而满足1-=A A H 的矩阵A 称为酉矩阵.定理1.1 设σ是酉空间V 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1) σ是一个酉变换(2) 保持元素的长度不变,即对任意的V ∈α，有αασ=)((3) V 中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即E A A AA H H ==定义1.3 设σ是U 空间中的一个线性变换，若对U ∈∀βα,，均有))(,()),((βσαβασ=成立，则称σ为U 空间上的复对称变换，满足A A A A H H -==,的矩阵分别称为Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵.§2 正规矩阵定义2.1 设n n C A ⨯∈,若满足A A AA H H=,则称A 为正规矩阵.特别,当n n R A ⨯∈时，若满足A A AA T T =,称A 为实正规矩阵.显然，对角矩阵, Hermite 矩阵，反Hermite 矩阵和酉矩阵都是正规矩阵，而正交矩阵，实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.定义2.2 设)(,n n n n C R B A ⨯⨯∈，如果存在n 阶正交（酉）矩阵U ，使得B AU U AU U T ==-1，（B AU U AU U H ==-1），则称A 正交（酉）相似于B ．定理2.1 设A 为正规阵,则与A 酉相似的矩阵都是正规阵；A 必有n 个线性无关的特征向量；A 的属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。
酉空间介绍
§8 酉空间介绍一、 酉空间1．定义14 设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数， 称为内积, 记作),(βα，它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=，),(αβ 是 ),(αβ 的共轭复数; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) ),(αα是非负实数, 且0),(=αα 当且仅当0=α这里γβα,,是V 中任意的向量, k 是任意复数, 这样的线性空间称为酉空间. 2．例1 在线性空间n C ,对向量()()n n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα定义内积为n n b a b a b a +++= 2211),(βα, (1)显然内积（1）满足定义14中的条件.这样nC 就成为一个酉空间. 3．基本性质由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这里 简单地列出重要的结论，而不详细论证. 1) ),(),(βαβαk k =. 2) ),(),(),(γαβαγβα+=+. 3)),(αα叫做向量α的长度，记为||α.4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量βα,有|(,)|||||αβαβ≤,当且仅当βα,线性相关时等号成立.注意：酉空间中的内积),(βα一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入 5) 向量βα,，当0),(=βα时称为正交的或互相垂直二、酉变换.1．在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基， 2．关于标准正交基也有下述一些重要性质：1) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基. 2）对n 级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足E A A A A ='='，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵. 3) 酉空间V 的线性变换A ，满足(A α,A β)=(α,β),就称为V 的一个酉变换. 酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.三、对称变换1．矩阵A 满足A A ='则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵. 在酉空间n C 中令A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A x x x 2121则(A α,β)=(α,A β).A 也是对称变换.10）V 是酉空间，1V 是子空间，⊥1V 是1V 的正交补，则⊥⊕=11V V V 又设1V 是对称变换的不变子空间，则⊥1V 也是不变子空间.11）埃尔米特矩阵的特征值为实数. 它的属于不同的特征值的特征向量必正交. 12）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C ，使AC C AC C '=-1是对角形矩阵.13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数X A X x x a x x x f ni nj j i ij n '==∑∑==1121),,,(叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时CY X =n n n n y y d y y d y y d x x x f +++= 22211121),,,(.第九章 欧几里得空间 (小结)一、欧氏空间1. 内积、欧氏空间的概念及其简单性质.2. 柯西—布涅可夫斯基不等式:2(,)(,)(,)αβααββ≤.3. 向量的长度:α=.4. 两个非零向量α与β的夹角:(,)arccos αβθαβ=.).0(πθ≤≤若(,)0αβ=,则α与β正交. 二、标准正交基 １. 标准正交基的概念.２. 标准正交基的求法—施密特正交化方法.３. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假如两个基之间的 过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基. 三、正交补 内射影 1. 向量与集合正交的概念.2. 欧氏空间的子空间1V 的正交补的概念.3. 设1V 是V 的子空间,则⊥⊕=11V V V ,且V ∈∀α可以唯一写成21ααα+=, 其中⊥∈∈1211,V V αα,则称1α是α在1V 上的内射影. 四、欧氏空间的线性变换 1.正交变换(1) V 的线性变换σ是正交变换⇔ ① σ保持向量的长度不变. ② σ保持向量的内积不变.③ σ把规范正交基仍变为规范正交基. ④ σ关于规范正交基的矩阵是正交矩阵. (2) 正交矩阵的性质① 正交矩阵为可逆矩阵,其逆仍为正交矩阵. ② 正交矩阵的行列式为1或-1. ③ 正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵. 2. 对称变换(1) 假如欧氏空间V 的线性变换σ满足:))(,()),((βσαβασ=,V ∈∀βα,那么σ叫做对称变换.(2) n 维欧氏空间V 的线性变换是对称变换⇔σ在V 的标准正交基下的矩阵是对称矩阵. (3) 设σ是欧氏空间V 的对称变换,若W 是σ的不变子空间,则⊥W 也是σ的不变子空间.(4) 实对称矩阵的特征值都是实数, 相应地有对称变换的特征值都是实数. (5) 设A 是实对称矩阵,则属于A 的不同特征值的特征向量是正交的.(6) 任一个n 阶实对称矩阵A 都可以正交对角化,即存在正交矩阵U ,使得AUU AU U 1-='是对角形式,相应地有对于欧氏空间V 的任一个对称变换σ,存在V 的标准正交基,σ在这个标准正交基下的矩阵是对角形式.六、欧氏空间的同构 1. 欧氏空间同构的概念.2. 两个有限维欧氏空间同构⇔它们的维数相同.3. 每个n 维欧氏空间都与n R 同构.本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、 对称变换与对称矩阵.难点是正交变换、正交补、对称变换.。
欧几里得空间与酉空间
施米特（Schmidt）正交化方法．
3 1,0,0 施行正交化方法，求出 R 3 的一个标准正交基． 解 取 1 = 1 1,1,1 ，由施米特正交化方法： 2 , 1 1 1 2 2 2 1 , , ， 1 , 1 3 3 3 3 , 1 3 , 2 1 1 1 2 = , ,0 ， 3 = 3 1 , 1 2 , 2 2 2 1 , 2 , 3 是 R 3 的一个正交基； 所以 1 1 1 1 再令 = ， 1 , , 1 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 = ， = 2 , , , ,0 3 2 6 6 3 2 6 2
f xg xdx ．
b a
设 V 是实数域 P 上的欧式空间， 对于任意的 , , V ，
a P ，不难导出如下性质．
（1） , , , ； （2） ( , a ) a( , ) ；
（3） ( ,0) (0, ) 0 ． 定义 在欧式空间 V 中， 非负实数
1 , 2 ,, n 是 V 的 一 个 标 准 正 交 基 ， 则 T (1 ),T ( 2 ),, T ( n ) 也是 V 的一个标准正交基；
（3）如果 （4） T 在 V 的任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵． 证明 (1) (2) 在定义中取 即得． (2) (3) 取 i j (i, j 1,2,, n) ，则
i 0, i , j 0, i j; i, j 1,2,, k ， 则 1 , 2 ,, k 必线性无关．
2-1.欧氏空间和酉空间
且若 f ( x ) ≠ 0, 故
从而 ( f , f ) > 0.
( f , f ) = 0 ⇔ f ( x ) = 0.
( 因此， 为内积， 为欧氏空间. 因此， f , g ) 为内积， C (a , b )为欧氏空间
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补充:复共轭转置矩阵 补充 复共轭转置矩阵 定义： 定义：设 A ∈ C ， 用 A 表示以 A 的元素的共 H T 轭复数为元素组成的矩阵， 轭复数为元素组成的矩阵，记 A = ( A)
i =1 i =1 t t t
(4) (α , ∑ ki βi ) = ∑ ki (α , βi )
i =1 i =1
t
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3Байду номын сангаас 定理 定理: 是实的或复的内积空间,设 ∈ 设V是实的或复的内积空间 设x, y∈V, c为常数 是实的或复的内积空间 为常数 (实数或复数 则 实数或复数), 实数或复数 (1).
(
当 n = 3 时，1）即为几何空间 R 3 中内积在直角 ） 坐标系下的表达式 . (α , β ) 即 α ⋅ β .
)
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例2． C (a , b )为闭区间 [a , b]上的所有实连续函数 ． 所成线性空间， 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g ( x ) ，定义
二, 内积的简单性质 1. 欧氏空间的性质： 欧氏空间的性质：
(1) (α , k β ) = k (α , β ) (2) (α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ) (3) ( ∑ kiαi , β ) = ∑ ki (αi , β )
矩阵论-欧式空间和酉空间
4)定义AH
=
T
A
(共轭转秩),
如果A
H
A=AA
H
=I,则称A为酉矩阵，
A = 1，两组标基的过渡矩阵为酉矩阵,共轭转秩有以下性质：
( A B)H AH BH , (kA)H k AH , ( AB)H BHAH ,
注：由柯西公式引入两个非零向量的夹角:
<x，y> =
arccos (x, y) [0, ]
xy
二、正交性
在欧式空间中，如果（x，y）= 0，则称x与y正交 （垂直）， 记为 x ⊥ y.
注： x ⊥ y y ⊥ x， 0与任何向量正交. x ⊥ y ||x+y||2 = ||x||2+||y||2 勾股定理，可以推
第四节 欧式空间和酉空间
一、定义
设V是R上的线性空间，在V上定义了一个二元函数， 称为内积，记为（x，y），满足以下性质： 1)对称性（x，y）=（y，x）； 2)可加性（x+y，z）=（x，z）+（y，z）； 3)齐次性（k x，y）=k（x，y），k为任意实数； 4)非负性（x，x）≥ 0，当且仅当x=0时有（x，x）= 0. 此时称V为欧式空间（有限维或无限维）
b
例： f, g∈ C [a，b]，令 （f, g）= f (x)g(x)dx ,
则C [a，b]为欧氏空间.
a
定义：非负实数 (x, x) 称为x的长度（模），记 为 ||x||. 欧氏空间中有：
1)||k x|| = |k| ||x||; 2)||x+y||2+||x-y||2 = 2（||x||2+||y||2）平行四边形公式 3)|（x，y）|≤||x||•||y|| 柯西公式 4)||x+y|| ≤ ||x||+||y|| 三角不等式
酉空间与酉变换分析
酉空间与酉变换分析酉空间和酉变换是量子力学中非常重要的概念，它们在描述量子系统的性质和演化过程中起到了至关重要的作用。
本文将介绍酉空间和酉变换的基本概念、性质及其在量子力学中的应用。
一、酉空间的基本概念与性质1.1 酉空间的定义在量子力学中，酉空间是描述量子系统状态的数学空间。
对于一个由$n$维复向量空间表示的系统，其酉空间由所有满足以下条件的复向量构成：$$|\psi\rangle = \sum_{i=1}^{n}c_i |i\rangle, \quad \text{且} \quad\langle\psi|\psi\rangle=1$$其中，$|i\rangle$是向量空间的一组正交归一基。
酉空间中的向量是满足相关条件的复向量。
1.2 酉空间的性质（1）酉空间是线性空间，即满足线性叠加和数乘运算的闭合性。
（2）酉空间的内积和范数满足性质：$$\langle\psi|\phi\rangle= \sum_{i=1}^{n}c_i^*d_i$$其中，$|\psi\rangle$和$|\phi\rangle$是酉空间中的两个向量。
（3）酉空间是希尔伯特空间的子空间，具有完备性。
二、酉变换的基本概念与性质2.1 酉变换的定义酉变换是酉空间中向量的变换操作，将一个向量变换为另一个向量。
设$U$为一个$n$阶酉矩阵，对应于一个酉变换操作。
对于一个在酉空间中的向量$|\psi\rangle$，经过酉变换$U$后变为$U|\psi\rangle$。
2.2 酉变换的性质（1）酉变换保持内积不变：$$\langle U\psi|U\phi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle$$其中，$|\psi\rangle$和$|\phi\rangle$是酉空间中的两个向量。
（2）酉变换的逆变换是其共轭转置：$$U^{-1} = U^{\dagger}$$其中，$U^{\dagger}$表示酉变换矩阵的共轭转置。
酉空间的内积计算公式
酉空间的内积计算公式在我们探索酉空间这个奇妙的数学领域时，内积计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开理解和解决问题的大门。
先来说说酉空间是啥。
简单来讲，酉空间就是一种具有特殊性质的向量空间。
而内积呢，就是在这个特殊空间里衡量两个向量之间关系的重要工具。
酉空间的内积计算公式长啥样呢？它通常表示为：(α,β) = ∑(αj * 共轭(βj)) ，这里的α和β是酉空间中的向量，j 表示向量的分量。
为了让大家更好地理解这个公式，我给大家讲个我自己教学时候的事儿。
有一次上课，我给学生们讲这个酉空间内积计算公式，有个学生一脸懵地问我：“老师，这一堆符号看着就头疼，到底有啥用啊？”我笑了笑，拿出了一个实际的例子。
假设我们有一个二维酉空间，向量α = (2 + 3i, 1 - i) ，向量β = (4 - i, 2 + 2i) 。
那按照内积计算公式，先算第一个分量的乘积：(2 + 3i) * 共轭(4 - i) ，共轭(4 - i) 就是 (4 + i) ，相乘得到 (2 + 3i) * (4 + i) = 8 + 2i +12i + 3i²。
因为 i² = -1 ，所以就是 8 + 14i - 3 = 5 + 14i 。
再算第二个分量的乘积：(1 - i) * 共轭(2 + 2i) ，共轭(2 + 2i) 是 (2 -2i) ，相乘得到 (1 - i) * (2 - 2i) = 2 - 2i - 2i + 2i²，也就是 2 - 4i - 2 = - 4i 。
最后把这两个结果相加：(5 + 14i) + (- 4i) = 5 + 10i ，这就是这两个向量的内积。
讲完这个例子，刚才提问的那个学生眼睛一下子亮了起来，说：“哎呀，老师，原来这么有用啊，一下子就清楚多了！” 从那以后，这个学生对酉空间的内积计算公式再也不头疼了，反而还能自己举一反三地去解决问题。
其实啊，这个内积计算公式在很多领域都有大用处。
为什么酉空间内积复共轭
为什么酉空间内积复共轭
酉空间内积为什么是复共轭？这个问题涉及到线性代数和复数
的知识。
首先，我们来解释一下酉空间和内积的概念。
酉空间是指一个带有内积的复向量空间，满足一定的条件。
内
积是定义在向量空间中的一种运算，它将两个向量映射为一个复数。
在酉空间中，内积满足线性、共轭对称和正定性三个性质。
现在来解释为什么酉空间内积是复共轭的。
在内积空间中，两
个向量的内积可以表示为一个矩阵的乘积。
对于酉空间来说，内积
还需要满足共轭对称性，即内积的结果需要满足共轭对称。
这是因
为内积的定义中包含了共轭运算，也就是其中一个向量需要取复共轭。
这样才能保证内积的结果是一个复数，并且满足内积的线性性
质和正定性质。
另外，酉空间内积为复共轭还可以从几何的角度来解释。
在复
向量空间中，内积可以用来衡量向量之间的夹角和长度。
而复共轭
则可以保证内积的正定性，也就是说它可以确保内积的结果始终是
非负实数，这与我们对向量长度的直观认识是一致的。
总之，酉空间内积为复共轭是因为内积的定义需要满足共轭对称性，这样才能保证内积的结果是一个复数，并且满足内积的线性性质和正定性质。
同时，从几何的角度来看，复共轭可以确保内积的结果始终是非负实数，与向量长度的直观认识相符合。
这就是为什么酉空间内积是复共轭的原因。
酉空间介绍
§8 酉空间介绍定义14 设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积,记作),(βα，它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=，),(αβ是),(αβ的共轭复数;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) ),(αα是非负实数,且0),(=αα当且仅当0=α这里γβα,,是V 中任意的向量,k 是任意复数,这样的线性空间称为酉空间.例1 在线性空间n C ,对向量()()n n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα定义内积为n n b a b a b a +++= 2211),(βα, (1)显然内积（1）满足定义14中的条件.这样n C 就成为一个酉空间.由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要的结论，而不详细论证.1) ),(),(βαβαk k =.2) ),(),(),(γαβαγβα+=+. 3) ),(αα叫做向量α的长度，记为||α.4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量βα,有|||||,|βαβα≤,当且仅当βα,线性相关时等号成立.注意：酉空间中的内积),(βα一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入5) 向量βα,，当0),(=βα时称为正交的或互相垂直.在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基.7）对n 级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足E A A A A ='='，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.8) 酉空间V 的线性变换A ，满足(A α,A β)=(α,β),就称为V 的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.9）如矩阵A 满足A A ='则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间n C 中令A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A x x x 2121 则(A α,β)=(α,A β).A 也是对称变换.10）V 是酉空间，1V 是子空间，⊥1V 是1V 的正交补，则⊥⊕=11V V V又设1V 是对称变换的不变子空间，则⊥1V 也是不变子空间.11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.12）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C ，使AC C AC C '=-1是对角形知阵.13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数X A X x x a x x x f n i nj j i ij n '==∑∑==1121),,,(叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时CY X =n n n n y y d y y d y y d x x x f +++= 22211121),,,(. 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
4. 酉空间
§4 酉空间一、 酉空间的定义与性质[酉空间与欧氏空间] 设V 为一个复数域F 上的线性空间，若在V 中定义了两个矢量βα,的内积（数量积），记作（βα,），且满足：(i) （βα,）=（_____,αβ），其中（_____,αβ）是（αβ,）的共轭复数；(ii) （αα,）0≥，等号当且仅当0=α时成立；(iii) ),(),(),(22112211βαβαβααa a a a +=+，对任意,,,21V ∈βααF a a ∈21,成立；则称V 为一酉（U ）空间，又称为内积空间.若F 是实数域，这时内积是可交换的. 有限维实酉空间称为欧氏空间.例 n 维线性空间n V 中，若规定)(),(2211n n b a b a b a +++= βα式中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n b b b a a a 2121β,α 则n V 是一个酉空间.酉空间Ｖ中的内积具有性质：1o （βαb a ,）＝),(βαb a2o ),(),(),(βγαγβαγ+=+3o 一般，V F b a i i i i ∈∈βα,,,),,2,1(n i =则∑∑∑====n i i i i i n i i i n i i i b a b a 111),(),(βαβα4o000==),(),(αα[模(范数)] 由于_____),(),(αααα=，所以),(αα是实的. 令),(ααα=称它为酉空间Ｖ中矢量α的模或范数. 模为１的矢量称为单位矢量或标准矢量.设α，β为酉空间的矢量，c 为一复数，则1o ααc c =2o βαβα≤),( （柯西-施瓦兹不等式）等号当且仅当α和β线性相关时成立.3o βαβα+≤+这些性质与空间的维数无关.[正交与标准正交基] 酉空间V 中，若0),(=βα，则称矢量α正交于β. 显然，若α正交于β，则β也正交于α.酉空间中，任意一组两两正交非零矢量是线性无关的.如果一组单位矢量两两正交，则称它为一个标准正交组. 若这矢量组又生成整个空间V ，则称它为V 的标准正交基.设{n ααα,,,21 }为酉空间V 的一组标准正交矢量，V ∈α，则1o 222221),(),(),(ααααααα≤+++n （贝塞耳不等式） 2o []n n ααααααααααβ),(),(),(2211+++-= 正交于),,2,1(n i i =α3o 当V 是有限维空间时，{n ααα,,,21 }成为V 的基底的充分必要条件是：任一个矢量V ∈α可表示为[]n n αααααααααα),(),(),(2211+++=且 222212),(),(),(n ααααααα+++=[子空间的正交补空间] 设V 为复数域上的酉空间，S 为V 的一个子空间，若(i) V T S =⊕(ii) 对S ∈α和T ∈β有0),(=βα则称T 为S 的正交补空间.由(i)立刻可知Φ=T S （空集）.若S 是一个有限维酉空间n V 的一个子空间，则n V 中有一个子空间T 为S 的正交补空间. 二、 酉空间上的特殊线性变换[共轭变换] 对域F 上酉空间V 上的一个线性变换L ，由关系式V ∈=βαβαβα,)),(,()),((*L L所定义的变换*L 是线性变换, *L 称为L 的共轭变换. 若L L LL **=，则称L 为正规变换.共轭变换有以下性质：1o L L =**)(2o F a a a ∈=,)(**L L3o ***)(M L M L +=+4o ***)(L M LM =5o 若L 是非奇异线性变换，则*L 也是非奇异线性变换，并且*11*)()(--=L L6o 若在某一标准正交基下L 的矩阵为A ，则共轭变换*L 关于这同一基底的矩阵为A 的共轭转置矩阵__τA .[自共轭变换（埃尔米特变换）] 若*L L =，则称L 为自共轭变换或埃尔米特变换.自共轭变换有以下性质：1o 若L ，M 为自共轭变换，F a ∈则L M L a ,+也是自共轭变换. 当L ，M 可交换时，LM 也是自共轭变换.2o 在标准正交基下，自共轭变换的矩阵是埃尔米特矩阵. 反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是埃尔米特矩阵，则必为自共轭变换.3o 自共轭变换的特征值是实的.4o 有适当的标准正交基使自共轭变换L 对应于一个实对角线矩阵，其主对角线上的元素是L 的全部特征值.[酉变换] 若对酉空间V 中的任意βα,，有线性变换L ，使),())()),((βαβα=L L则称L 为酉变换.酉变换有以下性质：1o 恒等变换为酉变换.2o 若L ，M 为酉变换，则LM 也为酉变换.3o 若L 为酉变换，则1-L 也为酉变换.4o L 为酉变换的充分必要条件是：I LL =* 或 1*-=L L5o 在标准正交基下，酉变换L 的矩阵是酉矩阵. 反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是酉矩阵，则必为酉变换.6o 酉变换的特征值的绝对值都是1.三、射影[射影及其性质] 对线性空间V 上的一个线性变换P ，若有V 的两个互补子空间S 和T 使得若T S V ∈∈+=∈βαβαγγ,,,，则αγ=)(P这种变换P 称为V 沿T 在S 上的射影.射影有以下性质：1o 若P 是一个射影，则P P =2因此射影是一个幂等变换；反之，幂等变换必为射影.2o 若21,P P 是线性空间V 分别沿1T 在1S 上和沿2T 在2S 上的射影，则(i) 21P P +是一个射影，当且仅当若O P P P P ==1221时，则Φ=21S S ，并且21P P +是沿21T T T =在21S S S +=上的射影.(ii) 若P P P P P ==1221，则P 是沿21T T T +=在21S S S =上的射影.3o 设T ，S 为有限维线性空间n V 的两个互补子空间，P 为沿子空间T 在子空间S 上的射影，则P 的矩阵可化为如下形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000A P 式中A 是k 阶方阵.[正射影] 设S ，T 为复数域上一酉空间 V 的互补子空间，则V 沿T 在S 上的射影称为V 在S 上的正射影.[自共轭变换的分解] 设L 是有限维酉空间V 上一个自共轭变换. 令k λλλ,,,21 为L 的不同特征值，令i S 为使ααi λ=)(L ),,2,1(k i =的矢量α的集合，则i S 是V 的子空间. 显然对j i ≠，i S 和j S 是V 的正交补空间. 若{i in i αα,,1 }是S i 的一个标准正交基，其中i n 是i S 的维数，则由一切这些ij α所组成的集{ij α}是V 的一个标准正交基. 最后使P i 为V 在S i 上的射影，则关于上面的基底，L 的矩阵有如下的形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡k kλλλλλλ002211 =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡k n k n n I I I λλλ002121 式中i n I 表示i n 阶单位矩阵. 另一方面，关于这个基底射影P i 的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ k i n n n I O O 001 式中i n O 表示j n 阶的零矩阵. 因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合.k k P P P L λλλ+++= 2211四、酉空间中的度量在本节第一段中，已经引入酉空间中的每个矢量α的模（范数）. 酉空间中两“点”（即矢量）α，β的距离),(βαd 与任二矢量α，β之间的角度ϕ的定义如下： βαβαβαβαβαβα),(cos ))((),(=--=-=ϕd由上述方程所定义的函数满足尺度空间（见第二十一章，§4，一）中的一切条件. 若V 是一个实酉空间，则对一切V ∈βα,，角度ϕ必须是实的.。
12.酉空间的定义与性质,酉变换
A (aij )nn , 则 ei aki ek , e j akj ek ,
k 1 k 1
n
n
x1e1 x2e2 xnen , y1e1 y2e2 ynen V ,
( , )
i x y (e , e ) ( , )
1 1 1 2 1 2 4 1 1 1 2 0 . 1 3 3 3 1 1 2 1
12
1 1 1 1 1 1 再单位化: 1 1 , 2 6 2 , 3 2 0 . 3 1 1 1 酉矩阵
n n n ( , ) xi i , y j j xi yi X T Y . j 1 i 1 i 1
14
定理5 设 W 是酉空间 V 的子空间, 则 V W W . 证明 设 dim V = n, 1, 2,, n 是 V 的一组标准正交基, dim W = m, 1,, m 为 W 的一组标准正交基, 它们在 1, , n 下的坐标为 X1,, Xm, 以它们的共轭转置为行组成 的 m 行 n 列的矩阵记为 A, r(A) = m, 齐次线性方程组 AX = 0 的解空间 N(A) 的维数为 n-m, 记 N(A) 的一组标准正 交基为 Xm+1, Xm+2,, Xn, 并设 m+1,, n 在 1, 2,, n 下的坐标为 Xm+1, Xm+2,, Xn, 则 m+1,, n 即为 W 的 一组标准正交基. 故 V W W .
在复向量空间 Cn 中这样定义的内积称为 Cn 的标准内积. 3
定义2 由于 ( ) 0, 在酉空间中可引出向量 的长 度的概念. 向量 的长度 |||| 定义为 ( , ).
第4讲复内积空间(酉空间)
第4讲 复内积空间 (酉空间)内容：1. 复内积空间2. 正规矩阵3. Hermite 二次型欧氏空间是针对实线性空间而言的，本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质，然后将实二次型推行为复二次型，介绍厄米（Hermite ）二次型.§1 复内积空间 (酉空间)1. 复内积空间 (酉空间)概念 设V 是复线性空间,假设关于V 中任意两个元素（向量）x 和y ,总能对应唯一的复数，记作),(y x ,且知足以下的性质：（1）对称性 ;),(),(_____x y y x =（2）可加性 );,(),(),(z y z x z y x +=+（3）齐次性 ;),,(),(C k y x k y kx ∈∀=（4）非负性 ,0),(≥x x 当且仅当0=x 时,0),(=x x那么称该复数是V 中元素（向量）x 和y 的内积.称概念了内积的复线性空间V 为酉空间(或称U 空间或复内积空间).例1.1 在n 维向量空间n C 中，任意两个向量T n x x x x ),,,(21 =，T n y y y y ),,,(21 =，假设规定 ∑==+++=n k k k n n y x y x y x y x y x 1____2__21__1),( ，那么容易验证，它是n C 中向量x 和y 的内积.2. 酉空间的性质：(1) V x x x ∈∀==,0)0,(),0((2) C k V y x y x k ky x ∈∀∈∀=,,),,(),(__(3) V z y x z x y x z y x ∈∀+=+,,),,(),(),((4) ),(),(11__11∑∑∑∑=====n j n i j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k3. 酉空间的一些结论(1) 向量的长度),(x x x =(2) Cauchy-Schwarz 不等式: y xy x ≤),((3) 两个非零向量的夹角 )2,0(,)),)(,((arccos ,21π≤><≤>=<y x y x x y y x y x (4) 当0),(=y x 时，称x 与y 正交，积作y x ⊥.与欧氏空间一样，在酉空间中也可类似概念正交基，标准正交基，而且V 中的任一组基都可通过Schmidt 方式化为一组标准正交基.4. 酉变换和复对称变换概念 设σ是U 空间中的一个线性变换，假设对U ∈∀βα,，均有),())(),((βαβσασ=成立，那么称σ为U 空间上的酉变换，而知足1-=A A H 的矩阵A 称为酉矩阵.定理 设σ是酉空间V 上的一个线性变换，那么以下命题是等价的：(1) σ是一个酉变换(2) 维持元素的长度不变,即对任意的V ∈α，有αασ=)((3) V 中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即E A A AA H H ==概念 设σ是U 空间中的一个线性变换，假设对U ∈∀βα,，均有))(,()),((βσαβασ=成立，那么称σ为U 空间上的复对称变换，知足A A A A H H -==,的矩阵别离称为Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵.§2 正规矩阵概念 设n n C A ⨯∈,假设知足A A AA H H=,那么称A 为正规矩阵.专门,当n n R A ⨯∈时，假设知足A A AA T T =,称A 为实正规矩阵.显然，对角矩阵, Hermite 矩阵，反Hermite 矩阵和酉矩阵都是正规矩阵，而正交矩阵，实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.概念 设)(,n n n n C R B A ⨯⨯∈，若是存在n 阶正交（酉）矩阵U ，使得B AU U AU U T ==-1，（B AU U AU U H ==-1），那么称A 正交（酉）相似于B ．定理 设A 为正规阵,那么与A 酉相似的矩阵都是正规阵；A 必有n 个线性无关的特点向量；A 的属于不同特点值的特点子空间是相互正交的。
第八章欧氏空间与酉空间
1, 2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1, 2,,r 的任意一个线性组合也正交.
证 令
a 是 1,2 ,
i 1 i i
r
,r 的一个线性组合，因为
,i 0, i 1,2, , r, 所以
, aii ai ,i 0
2
注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积.
定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量 , . 有不等式
, 2 , ,
证
(6)
当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.
如果 与 线性相关，那么或者 0 ，或者
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
f ( x), g ( x),
b
有不等式
b 2
a f ( x) g ( x)dx a f
( x)dx
g a
b
2
( x)dx .
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.
（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.即 (6) , 2 , ,
容易验证,关于内积的公理被满足,因而 R n 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. 例2 在 R n 里,对于任意向量
( x1, x2 ,..., xn ), ( y1 , y 2 ,..., y n )
规定 , x1 y1 2 x2 y2 ... nxn yn n 也作成一个欧氏空间. R 不难验证,
求酉空间的标准正交基
求酉空间的标准正交基酉空间的标准正交基是线性代数中的重要概念，它在量子力学、信号处理和图像处理等领域具有广泛应用。
本文将介绍酉空间的基本概念，然后讨论如何求解酉空间的标准正交基。
酉空间是指一个具有内积的向量空间，内积满足线性性、对称性和正定性。
酉空间中的向量可以表示为列向量，每个元素都是一个复数。
对于两个酉空间中的向量，内积定义为它们的共轭转置相乘的结果。
为了求解酉空间的标准正交基，我们首先需要了解正交性和标准性的概念。
在酉空间中，两个向量是正交的，如果它们的内积为零。
而标准正交基是一组两两正交的向量，且每个向量的模长为1。
求解酉空间的标准正交基的方法有多种，其中最常用的是Gram-Schmidt正交化过程。
这个过程可以将线性无关的向量组转化为正交向量组，然后再将每个向量单位化，从而得到标准正交基。
假设我们有一个酉空间的向量组V={v1, v2, ..., vn}，其中v1, v2, ..., vn是线性无关的向量。
首先，我们选择向量v1作为标准正交基的第一个向量。
然后，对于向量组V中的每个向量vi，我们通过以下步骤进行处理：1. 计算向量vi在前i-1个向量v1, v2, ..., vi-1的投影向量pi，即pi = vi - proj(vi,v1) - proj(vi, v2) - ... - proj(vi, vi-1)。
其中proj(vi, vj)表示向量vi在向量vj上的投影。
2. 将投影向量pi与前i-1个向量v1, v2, ..., vi-1相减，得到向量wi = vi - pi。
向量wi是与前i-1个向量正交的。
3. 对向量wi进行单位化，即wi = wi / ||wi||，其中||wi||表示向量wi的模长。
4. 重复步骤2和步骤3，直到处理完向量组V中的所有向量。
通过Gram-Schmidt正交化过程，我们可以得到一个由标准正交基向量组成的集合{w1, w2, ..., wn}，其中wi是向量vi经过正交化和单位化后的结果。
酉空间及其重要的线性变换
酉空间及其重要的线性变换酉空间定义1设V是复数域C上的一个向量空间．若V中任意一对向量α，β，有一个确定的复数<α,β>与它们对应，叫做α与β的内积，并且对于∀α，β，γ∈V，k∈C，以下条件成立：1)〈α,β〉=〈αβ,〉，〈αβ,〉是〈β,α〉的共轭复数；2)〈α+β,γ〉=〈α,γ〉+〈β,γ〉；3)〈kα,β〉=k〈α,β〉；4)〈α,α〉是非负实数，并且当α≠θ时〈α,α〉＞0，则称V对于这个内积是一个酉空间．例1在C n里，对于任意两个向量α= (x1，…，x n)，β= (y1，…，y n)，规定，〈α,β〉=n n y x+yx+11则C n对于这个内积作成一个酉空间．设V是一个酉空间．由定义可以直接推出，〈α,β＋γ〉=〈α,β〉＋〈α,γ〉；(1)〈α,k β〉=k 〈α, β〉 ,k是k 的共轭复数；(2)〈α, θ 〉=〈θ , α〉=0． (3)由(1)和(2)，设∀αi ，βj ∈V ，a i ，b j ∈C ，i =1，…，m ；j =1，…，n ，则 j i m i n j j i n j j j mi i i b a b a βαβα，，∑∑∑∑=====1111． (4)因为对于∀α∈V ，〈α, α〉是一个非负实数，所以在酉空间V 中，可以像Euclid 空间那样，定义向量α的长度为|α| =αα,．这样，V 中任意非零向量的长度总是一个正实数，长度是1的向量称为单位向量．显然，∀k ∈C ，α∈V ，都有||||||ααk k =． (5) 在一个酉空间中，Cauchy-Schwarz 不等式仍然成立．设∀α，β∈V ，则2βα，≤ββαα，，， (6)当且仅当α与β线性相关时等号成立．在一个酉空间中，内积一般是一个复数，因此不能像Euclid空间那样，合理地定义两个非零向量的夹角，但是仍然可以定义两个向量正交的概念．酉空间中两个向量α与β说是正交的，若〈α,β〉= 0．在一个酉空间里，同样可以定义正交组和标准正交组的概念．酉空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组．若一个正交组的每一个向量都是单位向量，则称这个正交组是一个标准正交组．定理1在酉空间里仍然成立．在一个有限维酉空间V中，同样可以定义正交基和标准正交基的概念．Gram-Schmidt正交化方法对于酉空间的向量仍然适用，并且对于V的任意一个基，可以通过正交化方法将它化为标准正交基．设W是酉空间V的一个有限维子空间，令W⊥={α∈V|〈α,β〉=0，∀β∈W}．则W⊥也是V的子空间，叫做W的正交补．与定理9.3.2相平行，我们有V=W⊕W⊥．(7)与正交矩阵相平行的概念是酉矩阵．设U =(u ij )nn ∈M n (C )，记nn ij u U )(=(ij u 是u ij 的共轭复数)，U U H '=．定义2 一个n 阶复矩阵U 叫做一个酉矩阵，若n I U U UU H H ==．定理2 n 维酉空间的一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵．2 酉变换与对称变换在酉空间中，与Euclid 空间的正交变换相平行的概念是酉变换．定义3 酉空间V 的一个线性变换σ叫做一个酉变换，若对于∀α，β∈V ，都有〈σ(α),σ(β)〉= 〈α, β〉．与定理9.4.2相平行，我们有定理3 设σ是n 维酉空间的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：1)σ是酉变换；2)若α1，…，αn 是V 的一个标准正交基，则σ(α1)，…，σ(αn )也是V 的一个标准正交基；3)σ在V的任一标准正交基下的矩阵是酉矩阵．进而介绍酉空间的对称变换，引入定义4酉空间V的一个线性变换σ叫做一个对称变换，若∀α,β∈V，都有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β) 〉．定义5设A∈M n( C)．若A H=A，则称A是一个Hermite矩阵．显然，实对称矩阵是Hermite矩阵的特殊情形．与定理9.5.1和9.5.2相平行，我们有定理4设σ是n维酉空间V的一个线性变换，则σ是对称变换，当且仅当σ在V 的任意标准正交基下的矩阵是Hermite矩阵．对称变换和Hermite矩阵还有以下性质．定理5设σ是n维酉空间的一个对称变换，那么1)σ的特征值都是实数；2)σ的属于不同特征值的特征向量彼此正交；3)存在V 的一个标准正交基，使得σ在这个基下的矩阵是实对角矩阵．证 我们只证1)，其余的证明留给同学们完成．设λ∈C 是σ的一个特征值，α是属于λ的一个特征向量．则ααλλααασααασαλαααλ,,)(,),(,,=====．因为〈α, α〉≠0，所以必须λλ=，即λ是实数．定理6 设A 是一个n 阶Hermite 矩阵，则存在一个n 阶酉矩阵U ，使得U H AU =U－1AU 是一个实对角矩阵，即任意Hermite 矩阵都“酉相似”于一个实对角矩阵． 3 Hermite 型在§1中，我们已经阐述了n 维Euclid 空间的度量矩阵．类似地，我们来看酉空间V 中的内积．在V 中取一个基nαα,,1 ，构造矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A αααααααααααααααααα,,,,,,,,,212221212111 ， (8)这个矩阵是由酉空间V 中的内积以及基n αα,,1 唯一决定的，叫做V 的基n αα,,1 的度量矩阵．由于A 的(i ，j )元素是j i αα,，而A H 的(i ，j )元素是i j αα,=j i αα,，所以A H =A ．这表明，酉空间V 的内积在V 的任意一个基下的度量矩阵A 是Hermite 矩阵．设A =(a ij )nn ，∑∑==ii i i y x αβαα,，则 ∑∑∑∑∑∑===i j i j j i ij j i j i j jj i i i y x a y x y x ),(,,ααααβα， (9)特别地，当β=α时，有∑∑=i j ji ij x x a αα,．定义6 n 个复变量x 1，…，x n 的表达式∑∑=i j ji ij n x x a x x f ),,(1 ， (10)其中a ji =ij a ，叫做一个n 元Hermite 型；矩阵A =(a ij )nn 称为Hermite 型f (x 1，…，x n )的矩阵，它是一个Hermite 矩阵．设X '=(x 1，…，x n )，则Hermite 型(10)可写成 ∑∑=i j H ji ij AX X x x a ． (11)因此，酉空间的内积与Hermite 型有着密切的联系．由于Hermite 型(10)的矩阵是Hermite 矩阵，因此AX X X A X AX X AX X AX X H H H H ==''='=)(．这表明X H AX 总是实数．再注意到上述定理，知道n 阶Hermite 矩阵A 酉相似于一个实对角矩阵D =diag{d 1，…，d n }，即存在一个酉矩阵U ，使得U －1AU =D ．令X =UY ，其中Y '= (y 1，…，y n )，则X H AX =Y H U H AUY =Y H U－1AUY =Y H DY =n n n y y d y y d y y d +++ 222111．(12) 这证明了定理7 对于Hermite 型f (x 1，…，x n )=XH AX ，存在酉线性替换X ＝UY (即U 是酉矩阵)，使得f (x 1，…，x n )=nn n y y d y y d ++ 111，(13)其中d 1，…，d n 是A 的全部特征值，它们都是实数．定义7 若对于∀α∈C n ，且α≠0，都有αH Aα＞0，(14) 则称X H AX是一个正定Hermite型．一个正定Hermite型X H AX的矩阵A称为正定Hermite矩阵．正定Hermite矩阵与第五章§4所说的实正定矩阵有相平行的结果，即定理8设A是一个n阶Hermite矩阵，则下列陈述彼此等价：1)A是正定Hermite矩阵；2)对于任意n阶复可逆矩阵P，P H AP 是正定Hermite矩阵；3)A的特征值全大于零；4)存在n阶可逆复矩阵P，使P H AP=I n；5)A可以分解成Q H Q，其中Q是n阶可逆复矩阵；6)A的所有顺序主子式全大于零．证1)⇒2) 任取α∈C n，且α≠0，则Pα≠0．因为A是正定Hermite矩阵，所以αH (P H AP)α=(Pα)H A(Pα)＞0．因此P H AP是正定Hermite矩阵．2) ⇒3) 由假设，A 是Hermite 矩阵．于是存在酉矩阵U ，使U －1AU =diag(n λλ，， 1)＝D其中λi 是实数，i =1，…，n ．由假设，U －1AU是正定Hermite 矩阵，由此推出e i H De i >0，即λi ＞0，i =1，…，n ．3) ⇒4) 因为A 是Hermite 矩阵，所以存在酉矩阵U ，使得U －1AU =diag(n λλ，， 1)其中λi >0，i =1，…，n ．令Q =diag(n λλ,,1 )则 U －1AU =QQ ，从而Q －1U －1AUQ －1=I n ．令P =UQ －1，则P H =(UQ －1)H = Q －1U H = Q －1 U －1．于是P H AP =I n ．4) ⇒5) 由假设P H AP =I n ，于是A =(P H )－1P －1．令Q =P －1，则11111)()()()()(-----='='='==H H H P P P P P Q 所以A =Q H Q ．5) ⇒1) 设A =Q H Q ，其中Q 可逆．任取α∈C n 且α≠0，有ααααQ Q A H H H =．设)()(1n c c Q ，， ='α，则22111n n n c c c c c c A H ++=++= αα＞0．所以A 是正定的Hermite 矩阵．1)⇔ 6)。
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§8 酉空间介绍
定义14 设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积,记作),(βα，它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=，),(αβ是),(αβ的共轭复数;
2) ),(),(βαβαk k =;
3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;
4) ),(αα是非负实数,且0),(=αα当且仅当0=α
这里γβα,,是V 中任意的向量,k 是任意复数,这样的线性空间称为酉空间.
例1 在线性空间n C ,对向量
()()n n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα
定义内积为
n n b a b a b a +++= 2211),(βα, (1)
显然内积（1）满足定义14中的条件.这样n C 就成为一个酉空间.
由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要的结论，而不详细论证.
1) ),(),(βαβαk k =.
2) ),(),(),(γαβαγβα+=+. 3) ),(αα叫做向量α的长度，记为||α.
4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量βα,有
|||||,|βαβα≤,
当且仅当βα,线性相关时等号成立.
注意：酉空间中的内积),(βα一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入
5) 向量βα,，当0),(=βα时称为正交的或互相垂直.
在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：
6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基.
7）对n 级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足E A A A A ='='，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.
两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.
8) 酉空间V 的线性变换A ，满足
(A α,A β)=(α,β),
就称为V 的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
9）如矩阵A 满足
A A ='
则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间n C 中令
A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A x x x 2121 则
(A α,β)=(α,A β).
A 也是对称变换.
10）V 是酉空间，1V 是子空间，⊥1V 是1V 的正交补，则⊥
⊕=11V V V 又设1V 是对称变换的不变子空间，则⊥1V 也是不变子空间.
11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.
12）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C ，使
AC C AC C '=-1
是对角形知阵.
13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数
X A X x x a x x x f n i n
j j i ij n '==∑∑==1121),,,(
叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时CY X =
n n n n y y d y y d y y d x x x f +++= 22211121),,,(.。