固体物理第五章习题ppt课件
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固体物理-第五章1
Kx Ky
L L
0 0
K K
x y
L L
nx ny
sin Kz L 0 Kz L nz
即：
Kx
nx
L
Ky
ny
L
其中nx,ny,nz为正整数
Kz
nz
L
5.2.1 Somerfield 电子模型
➢方盒势阱中运动的粒子
得到： (x, y, z) Asin kx x sin ky y sin kz z
论
速度分布服从Maxwell-Boltzman经典分布（就是微观状
内
态数最大的那种分布，也称最可几分布 ）。
容
f E eEEF / kT
5.1金属中自由电子经典理论
经典自由电子理论的成功之处
➢ 对金属电导率的解释
成
✓ 电导率有限性
功
之
金属的导电可理解为金属的自由电子在外加电场的影
处
响下，沿外加电场的电势梯度定向流动，形成电流。一般
情况下金属是良导体，可认为没有电阻存在。但实验事实
告诉我们，随温度的上升金属的电导率下降。
5.1金属中自由电子经典理论
➢ 对金属电导率的解释
✓ 电导率有限性
成
当温度升高的时候，金属电导率的变化主要取决于电子 运动速度。因为晶格中的原子和离子不是静止的，它们在
理 V (x, y, z) 0
0 x, y, z L
b
论 V (x, y, z) x, y, z 0 x, y, z L
y
推 导
方盒型势阱内粒子的能量E和波函数ψ(x,y,z)由薛定谔方
高二物理固体(PPT)5-4
非晶体则没有】不妥当；跟当时的情况不符合：他刚说了一句，觉得～，就停住了。 【不对劲】（～儿）①不称心合意；不合适：新换的工具，使起来～。② 不情投意合；不和睦：俩人有点儿～，爱闹意见。③不正常：他越琢磨越觉得这事～，其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。 【不…而…】……表 示虽不具有某条件或原因而产生某； 嘉定代理记账 嘉定代理记账； 结果：～寒～栗｜～劳～获｜～谋～合｜～期～遇｜～言～喻｜～ 约～同｜～翼～飞｜～胫～走。 【不二法门】佛教用语，“不二”指不是两极端，“法门”指修行入道的门径。意思是说，观察事物的道理，要离开相对的 两个极端而用“处中”的看法，才能得其实在。后用来比喻独一无二的门径。 【不二价】定价划一，卖给谁都是一样的价钱：童叟无欺，言～。 【不贰过】 〈书〉犯过的错误不重犯。 【不乏】动不缺少，表示有相当数量：～其人｜～先例。 【不法】形属性词。违反法律的：～行为｜～分子。 【不凡】形不平 凡；不平常：出手～｜自命～（自以为很了不起）。 【不妨】副表示可以这样做，没有什么妨碍：这种办法没有用过，～试试｜有什么意见，～当面提出来。 【不菲】形（费用、价格等）不少或不低：价格～｜待遇～。 【不费吹灰之力】īīī形容做事情非常容易，不费什么力气。 【不忿】（～儿）形不服气；不平： 心里～。 【不服】动①不顺从；不信服：～管教｜说他错了，他还～。②不习惯；不能适应：～水土｜气候～。 【不服水土】指不能适应某地的气候、饮食 等。 【不符】动不相合：名实～｜账面与库存～。 【不甘】动不甘心；不情愿：～落后｜～示弱。 【不甘寂寞】指不甘心冷落清闲、置身事外。 【不尴不 尬】－〈方〉左右为难，不好处理。 【不敢当】谦辞，表示承当不起（对方的招待、夸奖等）。 【不公】形不公道；不公平：办事～｜分配～。 【不共戴 天】不跟仇敌在一个天底下活着，形容仇恨极深。 【不苟】形不随便；不马虎：～言笑（形容人态度庄重）｜一丝～。 【不够】①动在数量或条件上比所要 求的差些：人数～｜～资格。②副表示程度上比所要求的差些：材料～丰富｜分析得还～深入。 【不顾】动①不照顾：只顾自己，～别人。②不考虑；不顾 忌：置危险于～｜～后果地一味蛮干｜他～一切，跳到河里把孩子救了起来。 【不管】连不论?：～远不远他都不去｜～困难多大，我们也要克服。 【不管 不顾】①不照管：他对家里的事全都～。②指人莽撞：他～地冲上去，抡起拳头就打。 【不管部长】－某些国家的内阁阁员之一，不专管一个部，出席内
《固体物理学》房晓勇主编教材课件-第五章 金属电子论基础
索末菲(A.Sommerfld)的量子自由电子理论
价电子由于受原子实的束缚较弱，而成为能在晶体内部
大
海 自由运动的自由电子。索末菲进一步假定，在自由电子的运 大
道
纳 动过程中，晶格周期场的影响可以忽略，电子间彼此无相互 道
致
百 作用。因此可将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在平 致
川 均势场中运动的单电子问题，在首先求得单电子的能级的基
远
dN
=
2
⎛ ⎜⎝
L 2π
⎞3 ⎟⎠
dk
=
V 4π
3
dk
(5 − 13)
？ 根据泡刺不和容原理，每一个波矢状态只 可以容纳两个自旋方向相反的电子。 海南大学
第
2. 能级密度分布
(1)电子能级密度定义:
lim G (E ) =
ΔZ = dZ
海
ΔE →0 ΔE dE
E + dE ky ds
(5 − 16)
第
第五章 金属电子论基础
在固体材料中，三分之二以上的固态纯元素物质属于金
属材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械 海 性能．是一种非常重要的实用材料，所以，通过对金属材料 大
纳 功能的研究，可以了解金属材料的性质，同时椎动现代固体 道
百 川
理诧的发展。另一方面．对金属材料的了解，也是认识非金 属材料的基础。
道
百
每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：
致
川
2
− ∇ 2ψ (r ) = Eψ (r ) (5 − 4 )
远
2m
E---电子的能量
ψ----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
海南大学
第
价电子由于受原子实的束缚较弱，而成为能在晶体内部
大
海 自由运动的自由电子。索末菲进一步假定，在自由电子的运 大
道
纳 动过程中，晶格周期场的影响可以忽略，电子间彼此无相互 道
致
百 作用。因此可将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在平 致
川 均势场中运动的单电子问题，在首先求得单电子的能级的基
远
dN
=
2
⎛ ⎜⎝
L 2π
⎞3 ⎟⎠
dk
=
V 4π
3
dk
(5 − 13)
？ 根据泡刺不和容原理，每一个波矢状态只 可以容纳两个自旋方向相反的电子。 海南大学
第
2. 能级密度分布
(1)电子能级密度定义:
lim G (E ) =
ΔZ = dZ
海
ΔE →0 ΔE dE
E + dE ky ds
(5 − 16)
第
第五章 金属电子论基础
在固体材料中，三分之二以上的固态纯元素物质属于金
属材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械 海 性能．是一种非常重要的实用材料，所以，通过对金属材料 大
纳 功能的研究，可以了解金属材料的性质，同时椎动现代固体 道
百 川
理诧的发展。另一方面．对金属材料的了解，也是认识非金 属材料的基础。
道
百
每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：
致
川
2
− ∇ 2ψ (r ) = Eψ (r ) (5 − 4 )
远
2m
E---电子的能量
ψ----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
海南大学
第
固体物理第五章习题及答案
.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 m* 变 为 . 此时电子的加速度
a= 1 F =0
m*
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?
[解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为
m* = 1 m 1 + 2Tn
Vn <1.
10. 电子的有效质量 m* 变为 的物理意义是什么?
[解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功 = (dE)外场力对电子作的功 + (dE)晶格对电子作的功
m*
m
m
=
1 m
(dE ) 外场力对电子作的功
− (dE)电子对晶格作的功
i 2 nx
V (x) = Vne a
n
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性, 即
V (x) = Vneinx
n
显然
V (x + a) = Vnein (x+a) = Vneinx (eina ) = V (x) = Vneinx
Es (k)
=
E
at s
− Cs
−
Js
e ik Rn
n
即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 Esat 是主项, 是一负值, − Cs和 − J s 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?
《固体物理·黄昆》第五章(1)
每个代表点的体积
1 1 1 b1 ( b2 b3 ) N1 N2 N3
l1 l3 l2 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
( 2 ) Vc
3
状态密度
Vc 3 ( 2 )
3
( 2 ) N N 简约布里渊区的波矢数目 3 ( 2 )
§5.2 周期势场下电子波函数的一般特性:布洛赫定理
布洛赫定理：当势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，波动
方程的解具有以下性质
ik Rn (r Rn ) e (r )
了位相因子 e
k 为一矢量。当平移晶格矢量为 Rn ，波函数只增加
ik R n
H i ( r i ) E i ( r i )
能带理论的基本近似和假设:
3)周期性势场假设: 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
V ( r ) ( r ) u( r )
V ( r ) V ( r Rn )
在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多 电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子 问题:
1 2 3
布洛赫定理
ik Rm (r Rm ) e (r )
平移算符本征值的物理意义
（1） 1
e
ik a1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
表征原胞之间电子波函数位相的变化 （2）平移算符本征值量子数
T和 H存在对易关系，则 H的本征函数同时也是各平移 算符T的本征函数 H E T1 1 , T2 2 , T3 3
平移算符的本征值 周期性边界条件
三个方向 a1 , a 2 , a 3 上的原胞数目
1 1 1 b1 ( b2 b3 ) N1 N2 N3
l1 l3 l2 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
( 2 ) Vc
3
状态密度
Vc 3 ( 2 )
3
( 2 ) N N 简约布里渊区的波矢数目 3 ( 2 )
§5.2 周期势场下电子波函数的一般特性:布洛赫定理
布洛赫定理：当势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，波动
方程的解具有以下性质
ik Rn (r Rn ) e (r )
了位相因子 e
k 为一矢量。当平移晶格矢量为 Rn ，波函数只增加
ik R n
H i ( r i ) E i ( r i )
能带理论的基本近似和假设:
3)周期性势场假设: 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
V ( r ) ( r ) u( r )
V ( r ) V ( r Rn )
在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多 电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子 问题:
1 2 3
布洛赫定理
ik Rm (r Rm ) e (r )
平移算符本征值的物理意义
（1） 1
e
ik a1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
表征原胞之间电子波函数位相的变化 （2）平移算符本征值量子数
T和 H存在对易关系，则 H的本征函数同时也是各平移 算符T的本征函数 H E T1 1 , T2 2 , T3 3
平移算符的本征值 周期性边界条件
三个方向 a1 , a 2 , a 3 上的原胞数目
固体物理课件——第五章 共86页
根据前面所得热能和热容表达式：
U9NkBTT3
xD x3 dx 0 ex1
CV9NBk T3 0xD(exx4e1x)2dx
在低温情况下，即T«θ时，则x»1，
xD T
x xD
3
积分： dx x e dx 0 x
第五章 声子Ⅱ: 热学性质
本章是从量子角度讨论 内能 热容
晶体的比热实验规律
(1)在高温时，晶体的比热为3NkB (N为晶体中原子的个
数, kB=1.3810-23JK-1为玻尔兹曼常量) ；
(2)在低温时，晶体的比热按T3趋于零。
下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。
晶体比热的一般理论
<2> 德拜模型的热容
模式密度：
U0 DdD s()ns(.T)s
则点阵热能为:
U0 Dd2 3V 2v2 3e 1 式 中 ， kBT
直接导出结论即可，下页ppt及课本（27-29）式无甚必要
补充：德拜温度的定义
由于ћω、 kBT均具有能量的量纲，可令ћω=kBTω
d3N
D3
62v3N
V
D(62n)1/3v
与德拜截止频率相对应的波矢定义为德拜截止波矢:
KD
D
v
1
KD 62n 3
kD是晶体中格波的最大波矢，以KD为半径在波矢 空间画一个球，称为德拜球，球内应包含所有的 简正模式，即 3N个模式，球外的短波振动在晶体 中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质 中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所
vg K
这实际上是（低温） 长声学支模式
球体分布
将Vg带入上页D(ω)公式即得对应的 模式密度
固体物理讲义第五章
第五章晶体中的缺陷主要内容介绍晶体缺陷及其运动的基本知识●缺陷的定义、分类和运动●扩散的宏观定律和微观机制缺陷的定义和分类●原子排列具有严格周期性的晶体称为理想晶体，实际的晶体中总是存在各种缺陷。
●缺陷是对原子排列严格周期性的破坏。
●缺陷对晶体的性质有重要影响。
●根据缺陷的几何尺度，缺陷分为三类：点缺陷、线缺陷、面缺陷(在前面的讨论中，我们一直假定晶体是理想的，即原子或离子的排列具有严格的周期性。
因此晶体具有平移不变性，或称为长程有序（long-range order）但实际上，缺陷总是存在的，产生缺陷的原因或是温度引起的热涨落使原子离开格点、或是化学组分与理想晶体偏离。
本章我们讨论静态缺陷。
晶格振动导致原子瞬间位置对平衡位置的偏离，但从时间的平均上看并不破坏晶体的长程有序，对晶格振动和格波的讨论仍以此为基础)5.1 点缺陷缺陷尺度只有一个或几个原子大小主要形式有：空位、间隙原子、杂质原子、色心空位、间隙原子◆格点缺少原子，称为空位◆间隙位置中有原子，称为间隙原子空位和间隙原子产生的原因空位、间隙原子是由于原子的热运动而产生的，因而又称为热缺陷空位和间隙原子的产生方式●体内产生●与表面交换原子费伦克耳缺陷肖特基缺陷（空位）热缺陷的运动热缺陷是处在不断的产生和消失过程中空位和间隙原子不停地作做无规则的热运动,其位置不断发生变化.在运动中,间隙原子与空位相遇复合而消失在一定温度下,产生和消失达到平衡,晶体内空位和间隙原子的浓度将保持稳定 热缺陷的平衡数目平衡时单位体积中空位的数目单位体积中格点的数目 形成一个空位所需的能量平衡时单位体积中间隙原子的数目单位体积中间隙的数目 形成一个间隙原子所需的能量 空穴和间隙原子的浓度和运动都依赖于温度。
在一般情况下，空位是晶体中主要的热缺陷。
（这些公式的重要性在于说明：1、晶体的无序从本质上讲是不可避免的，由于u 并非无穷大，在T 不等于零的有限温度下，必定有空位和间隙原子存在，尽管其数目未必和统计平衡值一致，例如从高温迅速冷冻到室温，可使高温下的点缺陷数：冻结“下来，数目远大于平衡值。
固体物理第五章
l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
第一布里ห้องสมุดไป่ตู้区体积
l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点
每个代表点的体积
Vc 状态密度 ( 2 ) 3
(2 ) N 简约布里渊区的波矢数目 N 3 (2 )
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 能量本征值的计算 —— 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合 晶体中的电子的波函数按此函数集合展开 —— 将电子的波函数代入薛定谔方程 确定展开式中的系数应满足的久期方程 求解久期方程得到能量本征值
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 电子波函数的计算
实际上,受晶体的 离子和电子产生的 晶体势场的影响.
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍 性的特点 —— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的 间距 —— 半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的 发展
—— 根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数
得到具体的波函数
—— 在不同的能带计算模型和方法中 采取的理论框架相同，只是选取不同的函数集合
能带理论的局限性 一些过渡金属化合物晶体 —— 价电子的迁移率小 自由程与晶格间距相当, 电子不为原子所共有 周期场失去意义，能带理论不适用了 非晶态固体 —— 非晶态固体和液态金属只有短程有序 两种物质的电子能谱显然不是长程序的周期场的结果
第一节 布洛赫定理
布洛赫波
晶体电子在规则排列的正离子势场中运动， 势场具有晶格周期性． 周期场中运动的单电子的波函数不再是平面波， 而是调幅平面波，其振幅不再是常数。
固体物理第五章 课件
3、布里渊区的特点 布里渊区的特点 （1）空间点阵相同 ） 倒格子点阵相同 布里渊区形状相同 （2）在同一倒格子点阵中，各布里渊区 ）在同一倒格子点阵中， 的形状不同， 体积”相同， 的形状不同，但“体积”相同，都 等 于倒格子元胞的体积。 于倒格子元胞的体积。
正格子） 一、二维正方格子(正格子） 正格子
禁带宽度为
Eg = 2 Vn
晶体能带结构的特点
（1）在周期性势场中，电子有带状结 构的能 ）在周期性势场中， 允带与禁带交替排列； 带，允带与禁带交替排列； (2) E 是 K 的偶函数 E(K) = E(-K)； ； （3）能量越高，允带越宽； ）能量越高，允带越宽； （4）禁带宽度为 Eg = 2 Vn ； ） （5）能量是波矢的周期函数 ）
i
ik Rn
a i k xi +k y j +kz k i k 2 i k xi +k y j +kz k
=e
a i (kx kz ) 2 i a (kx kz ) 2
ik Rn
) a (i k ) 2
=e
①②③④
∑ e
ik Rn
=e
i
a (kx +kz ) 2
+e
i
a (kx +kz ) 2
例：一维周期势场为 1 mW 2 [b 2 ( x na ) 2 ] 当na b ≤ x ≤ na + b V ( x) = 2 0 当( n 1)a b ≤ x ≤ na b 如图， 求第一， 如图，其中 a = 4b, 求第一，第二禁带宽度 。
V ( x)
o b
a
2a
3a
x
En = 2 Vn 1 Vn = ∫ V ( x) e a a/2 Eg1 = 2 V 1 1 mW2 2 2 i 2π n x =2 [b x ]e a dx ∫ 4b b 2
教科版八年级物理上册第5章第2节熔化和凝固(共27张PPT)
如图两种物质从固态温度随 时间的变化曲线。请根据图
温度/℃
甲
象回答下列问题。 240
（1）由图判断出 乙 图线是晶 220 体，该晶体的熔点是 210℃ ，
B的物质可能是 非晶体 。
200
180A 1
2
34
5
6
时间/min
7
（2）温度升高的是 AB、CD 段，温度不变的是 BC 段，
怎样作图
1、描点
2、用光滑线 连接各点
40 0海2波熔4 化6的图8 象10 12 14 时间/分
55 温度/℃
D
55 温度/℃
50
50
B
C
45
45
40A
时间/分
0 2 4 6 8 10 12 14
海波熔化的图象
40
时间/分
0 2 4 6 8 10 12 14
蜂蜡的熔化图像
１、如图1，AB段曲线对应的一段时间内，海波什么状态？
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
思考：
它们在结构上有什么共同点？
• 它们都有规则的结构，它 们都属于晶体
玻璃
蜂
橡蜡胶
塑料
1·提出问题：不同物质的熔化与温度关系是 否相同？
AB段处于 固 态，BC段处于 固液共存 状态，
CD段处于 液 态，吸热的是 AB、BC、CD段，
1、既然冰作为晶体，有一定的熔化温度，冰的熔点 是0℃，那么水有一定凝固温度吗？
2、既然水有一定的凝固温度，给它起个名字， 应该叫什么？
高二物理固体(PPT)5-3
一 .晶体和非晶体
固体可以分成晶体和非晶体两类．
在常见的固态物质中，石英、云母、明矾、食盐、硫酸 铜、糖、味精等都是晶体，玻璃、蜂蜡、松香、沥青、橡胶 等都是非晶体．
1.晶体、非晶体的外形和物理性质的差异
(1)晶体都具有规则的几何形状．
食盐的晶体呈立方体形，明矾的晶体呈八体形，石英的 晶体中间是一个六面棱柱，两端是六棱锥．冬季的雪花，是 水蒸气在空气中凝华时形成的冰的晶体，它们的形状虽然不 同，但一般是六角形的规则图案．
非晶体则没有规则的几何形状．
9.1《固体》
动改变；变动：～原定赛程｜修订版的内容有些～。 【变工】动老解放区和世纪年代初期曾经施行过的农业劳动互助的简单形式，是农民相互调剂劳动力的 方法，有人工换人工、牛工换牛工、人工换牛工等。 【变故】名意外发生的事情；灾难：不料他家竟然发生了～。 【变卦】∥动已定的事忽然改变（多含贬 义）：昨天说得好好的，今天； 少儿编程加盟 少儿编程加盟 ；怎么～了｜别人一说，他就变了卦。 【变化】动事物在形态上或本质上产 生新的状况：化学～｜～多端｜形势～得很快。 【变幻】动不规则地改变：风云～｜～莫测。 【变幻莫测】变化多端，难以揣测。 【变换】动事物的一种 形式或内容换成另一种：～位置｜～手法。 【变价】动①把实物按照时价折合（出卖）：～出售。②改变价格：～处理。 【变节】∥动改变自己的节操，在 敌人面前屈服：～分子｜～自首。 【变局】名变动的局势；非常的局面：采取紧急措施以应付～。 【变口】动北方曲艺表演中称运用各地方言为变口。 【变脸】∥动①翻脸：他一～，六亲不认｜两个人为了一点儿小事变了脸。②戏曲表演特技，表演时以快速的动作改变角色的脸色或面容。多用来表现人物 的极度恐惧、愤怒等。 【变量】名数值可以变化的量，如一天内的气温就是变量。 【变乱】①名战争或暴力行动所造成的混乱。②〈书〉动变更并使紊 乱：～祖制｜～成法。 【变卖】动出卖财产什物，换取现款：～家产。 【变盘】动指证券市场的整体行情走势发生变化。 【变频】动指改变交流电频 率：～空调。 【变迁】动情况或阶段的变化转移：陵谷～｜人事～｜时代～。 【变色】动①改变颜色：～镜｜这种墨水不易～◇风云～（比喻时局变化）。 ②改变脸色（多指发怒）：勃然～。 【变色镜】名镜片能随光线强弱而变色的眼镜。 【变色龙】名①脊椎动物，躯干稍扁，皮粗糙，四肢稍长，运动极慢。 舌长，可舔食虫类。表皮下有多种色素块，能随时变成不同的保护色。②比喻在政治上善于变化和伪装的人。 【变生肘腋】比喻事变发生在极近的地方。 【变声】动男女在青春期嗓音变粗变低。通常男子比女子显著。 【变数】名①表示变量的数，如＋＝ɑ，＝中，、都是变数。②可变的因素：事情在没有办 成之前，还会有新的～。 【变速器】名改变机床、汽车等机器运转速度或牵引力的装置，通常用的齿轮变速器由若干直径大小不同的齿轮组成，装在发动机 的主动轴和从动轴之间。 【变速运动】物体在单位时间内通过的距离不等的运动。 【变态】①动某些动物在个体发育过程中形态发生变化，如蚕变蛹，蛹变 蛾；蝌蚪变蛙等。②
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14
电子的有效质量
2
2
m
2E k2
2JSa2
cos(
2ka ) 2
有效质量曲线
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15
在[110]方向上有恒定电场情况下，电子受的力
Fe
电子的加速度
F e2JSa2cos(
am
2
2ka) 2
设电场方向与[110]方向相反，加速度曲线则如图
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16
7．用紧束缚方法处理体心立方晶体，求出 (1) s态电子的能带为
E s(k ) E s a t C S 8 J sc o sk 2 xa c o sk 2 ya c o sk 2 za ;
(2) 画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线；
(3) 求出带底和带顶电子的有效质量.
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17
[解答]
(1)用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最 近邻格点的相互作用时，其能带的表示式为
第五章 习题
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1
1. 晶格常数为a的一维晶体中，电子的波函数为
（1）
k
(x)
icos3
a
x
（2）
k
(x)
f
(xla)，f是某一函数，求电子在以
l
上状态中的波矢。
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2
[求解]
由《固体物理教程》（5.14）式
k(r R n) e ikR n k(r)
可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足
由此得 （1）
于是
k(xa)eikak(x)
k(xa)icos[3a(xa)]icos(3ax)
icos(3x)
a eika 1
k,3,5,
aa a
因此得 k,3,5,
aa a
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3
若只取布里渊区内的值： k
a
a
则有
k
a
（2）
k(x a ) f(x a la ) f[x (l 1 )a ]
4bb2
b
m W 2b2
2
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5. 对简立方结构晶体，其晶格常数为a。 （1）用紧束缚方法求出对应非简并s态电子能带； （2）分别画出第一布里渊区[110]方向的能带、电 子的平均速度、有效质量以及沿[110]方向有恒定电 场时的加速度曲线。
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[求解]
非简并s态电子的能带
E s(k) E sa t C S JS e ikR n n
式中Rn是晶格参考格点的最近邻格矢。 对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻，取 参考格点的坐标为(0, 0, 0)， 6个最近邻坐标为
(a,0,0) (0, a,0) (0,0, a)
简单立方晶体非简并s态电子的能带则为
E s ( k ) E s a t C S J S ( c o s k x a c o s k y a c o s k z a )
J
s
[e
i
a 2
k
x
k
y
k
z
Hale Waihona Puke a e2kx ky kz
i a e2
kx ky kz
i a e2
kx ky kz
i a e2
kx ky kz
e e e ] i a 2
kx ky kz
i a
2
kx ky kz
i a
2
kx ky kz
E
at s
Cs
2
J
s
[
e
i
a 2
k
x
k
其中a=4b，W为常数，试画出此势能曲线，并求
出势能的平均值。
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5
[求解] 图：一维周期势场
V(x) 1 2m W 2[b2(xna)2], nabxnab
0, (n1)abxnab
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6
由图所示，由于势能有周期性。因此只有一个周 期内求平均即可，于是得
V1a2V(x)dx1
4b b2
21b1m W 2(b 2 x2)c o s( x)d x8 m W 2 b 2
4 b b2
2 b
3
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9
第二禁带宽度为
Eg2
2V2
21 a
a2V(x)ei4axdx
a 2
2 1 b 1mW2(b2x2)eibxdx
4b b2
21 b1m W 2(b2x2)cos(x)dx
E s(k)E satC SJs eik•R n, n
R n 是最近邻格矢．
对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0, 0, 0） 则８个最近邻格点的坐标为
a 2
,
a 2
,
a 2
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18
将上述8组坐标代入能带的表示式，得
Es (k )
E
at s
Cs
Js
eik•Rn
n
E
at s
Cs
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8
[求解]
根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表达式为
Eg=2|Vn|，其中Vn是周期势场V(x)付里叶级数的系
数，该系数可由《固体物理教程》（5.22）式
求得 Vn
1 a
a 2
i2nx
V(x)e a dx
a
2
第一个禁带宽度为
Eg12V1
21 a
a2V(x)ei2axdx
a 2
2 1 b 1mW2(b2x2)ei2bxdx
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12
（2）在[110]方向上
kz
0,
ky
kx
2k 2
能带变成
Es(k)E04JS(cos
2ka) 2
其中
E0Esat CS2JS
在[110]方向上，在第一布里渊区内，电子的能
带如图所示
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13
电子的平均速度 v1E22JSasin( 2ka)
k
2
平均速度曲线
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y
cos
kza 2
e i a 2
kx ky
cos
kza 2
e
i
a 2
k
x
k
y
cos
kza
e i a 2
kx ky
cos
kza ]
2
2
E
at s
Cs
4Js
e
i
a 2
k
x
e
i
a 2
k
x
cos
kya 2
cos
kza 2
E
at s
Cs
8Js
cos
kxa 2
cos
kya 2
cos
kza 2
l
l
令
l' l 1
得
k(x a ) f(x l'a )k(x)eikak(x)
l
由上式知
eika 1
所以有
k0,2,4,6,
aaa
由此得在布里渊区内的值为k=0。
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4
2. 一维周期势场为
V(x) 1 2m W 2[b2(xna)2], nabxnab
0, (n1)abxnab
b
V(x)dx
aa2
4bb
1 b 1mW2[b2x2]dx
4b b2
mW 2 [b2 x
b
1 x3]
8b
3
b
1 mW 2b2 6
V(x) 1 2m W 2[b2(xna)2], nabxnab
0, (n1)abxnab
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3. 用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第 一及第二个禁带宽度。
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(2) 在[111]方向上
3 kx ky kz 3 k,
且第一布里渊区边界在
kx
ky
kz
a
于是能带化成
EE0 8Js cos3
3ka 6
其中 E0 Esat CS