2014实战演练·高三数学附加分 参考答案与解析
山东省青岛市2014届高三第二次模拟考试数学(理科)试题(有答案)
高三自评试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 1231. R ()AB =A ．{|x 10}x -<≤ 2. 为虚数单位，则a b += A ．4-3. 数列A ．5B ．1-C ．0D ．14. 函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则()4f π的值为A B ．0 C ．1 D5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =A ．2-B ．1-C ．0D ．16.值是A ．0 7. 设n 中x A ．4 8. 且a >A ．(9. 10. 方程(f A. 4个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线214y x =的焦点坐标为 ；； 已知||2, |4a b =，以, a b ，则a 和b 的夹角在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中位男生.如果2位男（Ⅰ）求函数(3)1y f x =-+的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知ABC ∆中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A 满足()26A f π-=7a =，sin sin B C +=ABC ∆的面积．17．（本小题满分12分）某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了18名学生作为志愿者，参加相关的活 动事宜．学生来源人数如下表：学院 外语学院生命科学学院化工学院艺术学院人数4 6 3 518．⊥AE 19．2n 20．OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）试探究||MN 和2||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；A（Ⅲ）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值. 21．（本小题满分14分）已知函数32()(R)f x x x x =-+∈，()g x 满足()(R,>0)ag x a x x'=∈，且()g e a =，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）已知1()()x h x ef x -=，求()h x 在(1,(1))h 处的切线方程；（Ⅱ）若存在[1,]x e ∈，使得()g x ≥2(2)x a x -++成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数(),1()(),1f x x F x g x x <⎧=⎨≥⎩，O 为坐标原点，若对于()y F x =在1x ≤-时的图象上的任一点P ，在曲线()y F x =(R)x ∈上总存在一点Q ，使得0OP OQ ⋅<，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．高三自评试题数学（理科）参考答案及评分标准11.16. 解：（Ⅰ）sin 2= y f ∴=y f ∴= 由2k πy f ∴=∵02A π<<，∴3A π=．由正弦定理得：sin sin sin b cB C A a++=，即1472b c +=⨯，∴13b c += ……………………………………………………9分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：22()22cos a b c bc bc A =+--，即491693bc =-，∴40bc = ………………………………………………………11分∴11sin 4022ABC S bc A ∆==⨯=…………………………………………12分 17．解: (Ⅰ)则()P A (Ⅱ) ξ(P η=(P η=(P η=所以η 所以9156217()135153153519E η=⨯+⨯+⨯=. ……………………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：(Ⅰ)连结BD 和AC 交于O ，连结OF ， …………………………………………1分ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，BE OF //∴，…………………………………………………………………………………3分BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面ACF ．…………………………………………………………………………4分(Ⅱ)AE ∴AE∴CD DE ∴以D 则E AE AE 22CD =，(0,22,0)C ∴由为正方形可得：(2,2DB DA DC =+=设平面的法向量为111(,n x y =(0,22,BE =--(1,0,0)FE =由1100n BE n FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111220y z x -⇒=1(0,1,n ∴= ……………………………………………………………………………8分设平面BCF 的法向量为2222(,,)n x y z =，(2,0,2)BC =--，(1,CF =-由222222220000x z n BC x n CF ⎧--=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩，令21y =，则2x =，2z =-2(22,1,n ∴=- ……………………………………………………………………10分设二面角C BF E --的平面角的大小为θ，则1212||||n n ⋅=-是以a =21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++1111()[1()]322231121122n n n --=+=--- ………………………………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动 圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切||PF ⎧∴⎨⎩ ∴圆心a∴=故圆心 （II由216x x ⎧⎪⎨⎪⎩||OQ ∴由216x x =⎧⎪⎨⎪⎩1212224249,716716m y y y y m m ∴+=-=-++ ∴||MN ==21|y y =-=千教网（ ） 千万份课件，学案，试题全部免费下载千教网（ ） 打造全国最全最大的教育资源免费下载基地2256(1)716m m +==+………………………………8分 ∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++ ∴ （到直线:MN 令S 7t t +≥ ∴ （Ⅰ）h (1)0h ∴=，(1)1h '=-∴()h x 在(1,(1))h 处的切线方程为：(1)y x =--，即1y x =-+………………………4分 （Ⅱ）()(R,>0)a g x a x x'=∈，()ln g x a x c ∴=+ ()ln 0g e a e c a c a c ∴=+=+=⇒=，从而()ln g x a x =……………………………5分千教网（ ） 千万份课件，学案，试题全部免费下载千教网（ ） 打造全国最全最大的教育资源免费下载基地由()g x ≥2(2)x a x -++得：2(ln )2x x a x x -≤-． 由于[1,]x e ∈时，ln 1x x ≤≤，且等号不能同时成立，所以ln x x <，ln 0x x ->． 从而22ln x x a x x -≤-，为满足题意，必须2max 2()ln x x a x x-≤-． ………………………………6分 设()t x x ∈从而(t '所以(t x PQ t ≤-2OP OQ t at ⋅=--由于0OP OQ ⋅<，所以 当t =- 当t <-令()(1)ln()t t t ϕ=--(1)t <-，则2()[(1)ln()]t t t t ϕ'=-- 1t <-，10, ln()0t t t ∴-<-<，()0t ϕ'∴>，从而1()(1)ln()t t t ϕ=--在(,1)-∞-上为增函数，由于t →-∞时，1()0(1)ln()t t t ϕ=→--，()0t ϕ∴>，0a ∴≤千教网（ ） 千万份课件，学案，试题全部免费下载千教网（ ） 打造全国最全最大的教育资源免费下载基地 综上可知，a 的取值范围是(,0] ．……………………………………………………14分。
2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)
2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I ． 【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】5 4．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ．【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ．【答案】6π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}na 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ． 【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S=，则12VV 的值是 ． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ．【答案】25510．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y axx=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的 值是 ． 【答案】22 13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x xx =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()102， 14．若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C=，则cos C 的最小值是 ． 【答案】62-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14 分)已知()2απ∈π，，5sin α=．（1）求()sin 4απ+的值； （2）求()cos 26α5π-的值． 【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分14分. （1）∵()5sin 2ααπ∈π=，，， ∴225cos 1sin αα=-()210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=；（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=． 16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =． （1）求证：直线PA ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥PA ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴PA ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥∵AC EF E =I ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ． 17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =求椭圆的方程； （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b +=∵22222BFb c a =+=，∴22(2)2a==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y +=（2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，， ∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x+=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即2xc by c -+=②①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b cb c --，∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b --+=，化简得225ca =，∴5c a = 5 18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=-- k AB =603,04b a -=- 解得a =80，b=120. 所以BC 22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60).由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d d r --==.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m, 所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035d r -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F .因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803. CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD rMF OF OM d ===--所以68035d r -=.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035d r -=最大，即圆面积最大.所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()e e xxf x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式()e 1xmf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得30()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x xf x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x xm --+--≤∵(0)x ∈+∞，，∴e e10xx-+->，即e 1e e 1xxx m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)xt t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤（3）'()e e xxf x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =-- ∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减∵存在0[1)x ∈+∞，，使得30()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2ea >+ ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a a a a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2e a m a a aa ---=-=>+， 当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增； 当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<；当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题满分16分)设数列{}na 的前n 项和为nS ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得nmS a =，则称{}na 是“H 数列”． （1）若数列{}na 的前n 项和2()nnS n *=∈N ，证明：{}na 是“H 数列”；（2）设{}na 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}na 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}na ，总存在两个“H 数列”{}nb 和{}nc ，使得()nnna b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分. （1）当2n ≥时，111222nn n nnn a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}na 是“H 数列”（2）1(1)(1)22nn n n n Sna d n d --=+=+对n *∀∈N ，m *∃∈N 使nmSa =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-取2n =得1(1)d m d +=-，12m d =+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}na 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+ 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n nb c ，为等差数列{}n b 的前n 项和11(1)()2nn n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}nb 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2nn n R a d -=+，令1(1)()n mc m ad R =-+=，则(1)12n n m -=+∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得nmR c =成立，即{}nc 为“H 数列”因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点证明:∠OCB =∠D .本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分.证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24yx=交于A B ，两点，求线段AB 的长．【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥0>，1+x 2+y ≥0>，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P == （2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-== ∴X 的概率分布列为故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯= 23．(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n fx -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值； （2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n nnff -πππ+成立． 23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得0()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nfx xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.(i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+.因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kfx xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()kk k f x fx +++(1)sin[]2k x π+=+.所以当n=k +1时,等式也成立. 综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).所以1()()444n n nf f πππ-+(n ∈*N ).。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—江苏卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解析版数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A I . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位)，则z 的实部为 . 3. 右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 .4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 .100 80 90 110 120 130 底部周长/cm（第6题）（第3题）9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长 为 .10. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u r u u u r ，2AP BP ⋅=u u u r u u u r ，则AB AD ⋅u u u r u u u r的值是 .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，21()22f x x x =-+. 若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知),2(ππα∈，55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥，6PA =，8BC =，5DF =.求证：(1) 直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .（第16题）PDCEFBA（第12题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1) 若点C 的坐标为)31,34(，且22=BF ，求椭圆的方程；(2) 若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.18. (本小题满分16分)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO . (1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？19. (本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. (1) 证明：)(x f 是R 上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立. 试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1) 若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明：}{n a 是“H 数列”；(2) 设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d . 若}{n a 是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.数学Ⅱ（附加题）21．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠ OCB ＝∠ D ．22．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x ，y 为实数．若=A αB α，求x ＋y 的值． 23．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程21,2)(2;xt t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．24．[选修4—4：不等式证明选讲]（本小题满分10分） 已知x ＞0，y ＞0，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥． 25. (本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1) 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2) 从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1、x 2、x 3， 随机变量X 表示x 1、x 2、x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )． 26. (本小题满分10分)已知函数sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意n ∈*N ，等式1πππ2()()444n n nf f -+=都成立．(第21—A 题)参考答案一、选择题 1．【答案】{1,3}-解析：由题意得{1,3}A B =-I 【考点】交集、并集、补集 (B). 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
江苏高三数学20套数学附加题
实战演练·高三数学附加分20套江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为 ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知点A(1，2)在抛物线Γ：y 2＝2px 上．(1) 若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2) 若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB 、BC 、CD 、DA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．23. 设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中a i ＝2或－2(1≤i ≤2m)．(1) 求满足“对任意的k(k ∈N *，1≤k ≤m)，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；(2) 若对任意的k 、l(k 、l ∈N *，1≤k ≤l ≤m)，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立，求满足“存在k(k ∈N *，1≤k ≤m)，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23.记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*)．性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i>a i＋1(i∈{1，2，…，n－1})．(1) 求f(3)；(2) 求f(n)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD ＝BC·DE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求点M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 、y 、z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1) 求证：MN ⊥AD ；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．23.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1) 求概率P(ξ＝0)；(2) 求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝34AD·AE，求∠BAC的大小．B. (选修4-2：矩阵与变换)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002M⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1成立的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a、b、c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．23.从集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE ＝∠BAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为55，求PA.23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)求经过极坐标为O(0，0)、A ⎝⎛⎭⎫6，π2、B ⎝⎛⎭⎫62，π4三点的圆的直角坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程； (2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝⎛⎭⎫25n －1(其中n ∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD ＝∠DBM ；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆．(1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc ≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t ≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .22. (本小题满分10分)已知直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，圆M 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ是参数)．(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程； (2) 求圆上的点到直线l 上点距离的最小值．23. (本小题满分10分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m.(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本小题满分10分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X 0 2 3 4 5 Pp 1p 2p 3p 4p 5(1) 若p ＝0.25，p 1＝0.03，求该同学用上述方式投篮得分是5分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某品牌汽车4S 店经销A 、B 、C 三种排量的汽车，其中A 、B 、C 三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．23. 已知点A(－1，0)，F(1，0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M 、N ，问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，求矩阵M 的特征值，并任选择一个特征值，求其对应的特征向量．22.(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝2，试判断圆C 是否通过极点，并求圆C 的极坐标方程．23. (本小题满分10分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别是2、1.又P是SC的中点，E是BC上一点，CE＝1，SO＝3，过O在底面内分别作AB、BC垂线Ox、Oy，分别以Ox、Oy、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE的一个法向量；(2) 问在棱SA上是否存在一点Q，使直线BQ∥平面PDE？若存在，请给出点Q在棱SA上的位置；若不存在，请说明理由．24.(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y，在直线y＝－1上任取一点M，过M作抛物线C的两条切线MA、MB.(1) 求证：直线AB过一个定点，并求出这个定点；(2) 当弦AB中点的纵坐标为2时，求△ABM的外接圆的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，有f(n)∈Z；②任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m ，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n2；当n 为奇数时，m ＝n －12. (1) 证明：当n ∈N *，n ≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP ∥CA ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE ∽△BDE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB ＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．23. 设数列{a n }共有n(n ≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i ≤n －1，i ∈N )，均有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a 、k 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，…，集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，…，数组T 中所有数的平均值记为m(T)．(1) 若S ＝{1，2}，求m(T)；(2) 若S ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥2)，求m(T)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)．圆A 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C 在极轴的上方，∠AOC ＝π6.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1) 写出点C1、P、D1的坐标；(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．23.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n.(1) 写出a2，a3，a4的值；(2) 写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F.求证：△DEF ∽△EAF.B. (选修4-2：矩阵与变换)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(0，1)，曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA·PB 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y .【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1，0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0.(1) 求动点N 的轨迹C 的方程；(2) 设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS 、QT ，切点分别为S 、T ，设切线QS 、QT 的斜率分别为k 1、k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证：k 1＋k 2＝2k 0.23.各项均为正数的数列{x n }对一切n ∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.证明：(1) x n ＜x n ＋1； (2) 1－1n＜x n ＜1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．B. (选修42：矩阵与变换) 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设x 、y 、z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求证：x ＋y ＋z ＝3147.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．23.已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n －19，b n ＝2n .将{a n }与{b n }中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }．(1) 试写出c 1，c 2，c 3，c 4的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式； (2) 证明你在(1)所猜想的结论．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为圆O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1) 求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2) 求二面角BAB1C平面角的余弦值．23.在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．(1) 当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2) 求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知AB ＝6，CD ＝25，求线段AC 的长度．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A 、B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．。
山东省2014届高三高考仿真模拟冲刺考试(三)数学理 Word版含答案.pdf
高考仿真模拟冲刺考试（三）数学理 满分150分 考试用时120分钟 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）; 如果事件A，B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）． 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的 第Ⅰ卷（选择题 共0分）一、选择题：（本大题共1小题，每小题5分，共0分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（） A． B． C． D．2．下列有关命题的叙述错误的是（ ） A．若p且q为假命题，则p，q均为假命题 B．若是q的必要条件，则p是的充分条件 C．命题“≥0”的否定是“＜0” D．“x＞2”是“”的充分不必要条件 ．设集合则等于（ ） A．{1, 2,5} B．{l, 2，4, 5} C．{1，4, 5}D．{1，2，4} 4．在样本的频率分布直方图中，一共有个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m-1个小矩形面积和的，且样本容量为100，则第3组的频数是（ ） A．10 B．25C．20 D．40 5．是上的一点,若,则实数的值为 （ ） A．B．C．D．6．，若，则y=，y=在同一坐标系内的大致图象是（ ） ．已知为R上的可导函数，且均有，则有（ ）A． B． C． D． 8．（ ）A．B．C．D．9．将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有（ ） A．192 B．144 C．288D．240 1．l过点，并且l与圆C：相离，则点（a,b）与圆C的位置关系是（ ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 第Ⅱ卷（非选择题 共0分） 二、填空题：（本大题共个小题，每小题分，共分．将答案填在题中横线上） 1．等差数列{an}中，a4+ a10+ a16=30，则a18-2a14的值为 ． ．满足，则的最大值是 ．13．二项式（1+sinx）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x在[0，2]内的值为 ． 1． ； 15．下列结论中正确的是 ． ① 函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=- f（x），则函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称； ② ③ ④ 线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱． 16．（本小题满分12分）设△的内角所对的边分别为,且,.（Ⅰ）求的值; （Ⅱ）求的值.17．（本小题满分12分）如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点.求证（）平面平面; （）. 18．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：,,，，，． （Ⅰ）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。
2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)
2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式：圆柱的侧面积公式：S 圆柱=cl ， 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长。
圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =+（i 为虚数单位），则z 的实部为 ． 【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点,则ϕ的值是 ． 【答案】6π 6．为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位:cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+, 则6a 的值是 ． 【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，,体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等,且1294S S =,则12V V 的值是 ． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 25510．已知函数2()1f x x mx =+-,若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2by ax x=+（a b ，为常数）过点(25)P -，,且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，,32CP PD AP BP =⋅=，,则AB AD ⋅的 值是 ． 【答案】2213．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时,21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()102，14．若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．624- 二、解答题：本大题共6小题， 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省2014届高三高考仿真模拟冲刺考试(二)数学理 Word版含答案.pdf
高考仿真模拟冲刺考试（二）数学（理）试题 满分150分 考试用时120分钟 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）; 如果事件A，B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）． 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概 率： 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合和，则 A．或 B． C． D． 2．下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ） 的共轭复数为 的虚部为 A． ． ． ． 3．“”是“直线与圆相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ） A． B． C． D． 5．，，，且，和的夹角是 （ ） A． B．C． D． 6． A．20 B．24 C．16 D．12 7．函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意，，则的解集为（ ） A．（-1，1） B．（-1，+∞）C．（-∞，-l）D．（-∞，+∞） 8．若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为 A． B． C． D． 9．内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为D，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域D内的概率是（ ） A．B． C．D． 10．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则满足的的值是 A．B． C．D．第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．方程的实数解为_________________; 12．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，，则=________. 13．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为______________; 14．设二项式的展开式中常数项为，则________. 15．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数： ①②③中满足“倒负”变换的函数是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且. （Ⅰ）求的值; （Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影.17．（本小题满分12分） 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天. （Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率; （Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望; （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（结论不要求证明）18．（本小题满分12分） 在如图1所示的等腰梯形中，，且，为中点．若沿将三角形折起，使平面平面，连结，得到如图2所示的几何体，在图2中解答以下问题： （Ⅰ）设为中点，求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值．19．（本小题满分12分） 设是数列（）的前项和，已知，，设． （Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）令，求数列的前项和．20．（本小题满分13分） 已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围．21．（本小题满分14分） 已知椭圆：的左焦点为，其左、右顶点为、，椭圆与轴正半轴的交点为，的外接圆的圆心在直线上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知直线，是椭圆上的动点，，垂足为，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．理科数学（二） 二、填空题：1． ．3× 1． 1． 1．①③ 三、解答题： 17．解：设表示事件“此人于3月日到达该市”(=1,2,,13). 根据题意, ,且. (I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则, 所以. (II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且 P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=, P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=, 所以X的分布列为: 故X的期望. (III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 1．证明： （Ⅰ）取中点，连结，连结， 面平面， 所以平面，平面， 所以，因为为平行四边形，， 所以,为菱形，， ；因为平面，平面，且， 所以平面，又平面，所以。
2014届江苏高考数学最后一讲及实战演练(含标准答案)
２０14届江苏高考数学最后一讲及实战演练一、主要考点:（一）、填空题1.复数，2．集合（简易逻辑),３．双曲线与抛物线，4．统计,５．概率,6．流程图，7．立体几何,８．导数，9．三角，10.向量,11.数列,１2.解析几何，13.不等式，1４．杂题（函数)填空题的能力题体现在考试说明中的C级（8个)以及B级（36个）中，近几年,主要体现在：导数,三角计算，解析几何(直线与圆),平面向量(基本定理与数量积)，不等式(线性规划、基本不等式或函数），数列综合，函数综合等.（二）、解答题１5.三角与向量,16.立体几何，１7.应用题,18.解析几何,19．数列,20.函数综合二:时间安排(参考意见）填空题(用时３５分钟左右)：1—6题防止犯低级错误,平均用时在2分钟左右。
７—1２题防止犯运算错误,平均用时在２.５分钟左右。
13—１4防止犯耗时错误，平均用时在４分钟左右。
解答题（用时在８5分钟左右):１５—1６题防止犯运算和表述错误,平均用时10分钟左右。
１7—１8题防止犯审题和建模错误,平均用时在15分钟左右。
19—2０题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在17分钟左右。
三:题型分析(一)填空题:解题的基本方法一般有：①直接求解法;②数形结合法；③特殊化法（特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；④整体代换法；⑤类比、归纳法;⑥图表法等.(二)解答题：是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点,解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力,分值占90分,主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇）、数列(或与不等式交汇）、解析几何(或与平面向量交汇）.从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律,从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况,最后几天时间里，能不断回顾之前做过的典型题目，从知识、方法等层面进行反思做到触类旁通，举一反三；考场上能将平时所掌握的知识、学到的方法体现在你的解题中，将你会做的做对,相信你的高考数学一定能取得满意成绩!！！四:特别提醒:(1)对会做的题目:要解决“会而不对,对而不全”这个老大难的问题,要特别注意表达准确,考虑周密，书写规范,关键步骤清晰，防止分段扣分.解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分.（2)对不会做的题目:对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分.我们说,有什么样的解题策略,就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略：①缺步解答：如遇到一个不会做的问题,将它们分解为一系列的步骤,或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少,能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出,但分数却已过半．②跳步解答:解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论,往后推,看能否得到结论.若题目有两问,第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”,先做第(2)问，跳一步再解答.③辅助解答:一道题目的完整解答,既有主要的实质性的步骤,也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式,根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现,切不可以不写,对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略.书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．④逆向解答:对一个问题正面思考发生思维受阻时,用逆向思维的方法去探求新的解题途径,往往能得到突破性的进展.顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证．考试过程力争做到：1.难易分明,决不耗时; ２.慎于审题,决不懊悔;3．必求规范，决不失分； ４．细心运算,决不犯错;５.提防陷阱,决不上当； ６．愿慢求对，决不快错;７．遇新不慌，决不急躁； 8．奋力拼杀，决不落伍；2014届高考数学最后一讲-－--－-－实战演练（一)、填空题1．设集合Ａ=｛(ｘ,y ）错误!},B ＝{(x ，ｙ)|y =3x ｝，则A ∩B 的子集的个数是_＿__＿___．2．如果复数２-b i 1＋2i(其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b 等于_____. 3．某个容量为Ｎ的样本频率分布直方图如右图所示,已知在区间[4,5)上频数为60,则N =___＿＿_＿_.4.若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有1，2,3，４,5,６个点的正方体玩具)先后抛掷两次，向上的点数依次为m ，n ，则方程x ２＋２mｘ+n =0无实数根的概率是____＿___.５.有四个关于三角函数的命题:p 1:∃x ∈R ，sin 2x 2＋c ｏs ２x ２=错误!；p 2：∃x ,y ∈R ，sin(x －ｙ)=ｓin ｘ－ｓin y ；p 3:∀x ∈[0,π]， 错误!＝ｓin ｘ;p 4:ｓin x =ｃos y ⇒x +y =错误!.其中假命题的是_____＿__．6.若c ｏs αｃｏs(α+β)＋ｓｉn αsin(α＋β)＝-35，β是第二象限的角，则tan ２β＝________. 7．若一个正方形的四个顶点都在双曲线C 上,且其一边经过C 的焦点,则双曲线C 的离心率是8.不等式228()a b b a b λ+≥+对于任意的,a b R ∈恒成立，则实数λ的取值范围为 。
20套数学附加题答案
实战演练·高三数学附加分参考答案与解析南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试(一)21. A ．解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ， 所以PB ＝r 2－OP 2＝32.(5分) 因为PC·PD ＝PA·PB ＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.(10分)B. 解：设曲线C 上一点(x′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋22y ′＝y.(5分) 所以x′＝x ＋y 2，y ′＝y －x 2，所以x′y′＝x ＋y 2·y －x2＝1， 所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2.(10分)C. 解：直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a)2＋y 2＝a 2，(5分)依题意，得|4a －2|42＋（－3）2＝|a|，解得a ＝－2或29.(10分)D. 证明：因为x 1、x 2、x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2， 当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取等号．所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.(10分)22. 解：(1) 由点A(1，2)在抛物线上，得p ＝2， 所以抛物线方程为y 2＝4x.(3分) 设B ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1、C ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，所以 1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1.(7分) (2) 另设D ⎝⎛⎭⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.(10分) 23. 解：(1) 因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1，则(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)，共有2种情况，所以(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )共有2m 种不同的选择，所以A ＝2m .(5分)(2) 当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由(1)知有2m －1，所以共有2C 1m 2m －1种；当存在两个k 时，因为条件对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立得这两组共有2C 2m种，其余的由(1)知有2m －2种，所有共有2C 2m 2m －2种；…， 依次类推得B ＝2C 1m 2m －1＋2C 2m 2m －2＋…＋2C m m ＝2(3m －2m)．(10分)南通市2014届高三第一次调研测试(二)21. A. 证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的平分线，所以AC BC ＝AMBM.①(3分)因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM·BA ＝BN·BC ，即BA BC ＝BNBM .(6分)又BN ＝2AM ，所以BA BC ＝2AMBM .②(8分)由①②，得AB ＝2AC.(10分)B. 解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 因为(BA )－1＝A －1B －1，(2分)所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，(6分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(10分) C. 解：设直线l 的方程为θ＝θ0(ρ∈R )， A(0，0)、B(ρ1，θ0)，(2分) 则AB ＝|ρ1－0|＝|2sin θ0|.(5分) 又AB ＝3，故sin θ0＝±32.(7分)解得θ0＝π3＋2k π或θ0＝－π3＋2k π，k ∈Z .所以直线l 的方程为θ＝π3或θ＝2π3(ρ∈R )．(10分)D. 证明：因为x 、y 、z 均为正数，所以x yz ＋y zx ≥1z ⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥2z .(4分) 同理可得z xy ＋y zx ≥2x ，x yz ＋z xy ≥2y.(7分)当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式左、右两边分别相加，并除以2，得 x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.(10分) 22. 解：(1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C 36种不同选法，其中S ＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种，所以P ⎝⎛⎭⎫S ＝32＝12C 36＝35.(3分) (2) S 的所有可能取值为34，32，334. S ＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)，共6种， 所以P ⎝⎛⎭⎫S ＝34＝6C 36＝310.(5分) S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)，共2种，所以P ⎝⎛⎭⎫S ＝334＝2C 36＝110.(7分)又由(1)知P ⎝⎛⎭⎫S ＝32＝12C 36＝35，故S 的分布列为所以E(S)＝34×310＋32×35＋334×110＝9320.(10分) 23. 解：(1) 当n ＝3时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得a i >a i ＋1的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以f(3)＝4.(3分)(2) 在1，2，…，n 的所有排列(a 1，a 2，…，a n )中，若a i ＝n(1≤i ≤n －1)，从n －1个数1，2，3，…，n －1中选i －1个数按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…，a i －1，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为C i －1n －1.(6分)若a n ＝n ，则满足题意的排列个数为f(n －1)．(8分)综上所述，f(n)＝f(n －1)＋i ＝1n －1C i －1n －1＝f(n －1)＋2n －1－1. 从而f(n)＝23（1－2n －3）1－2－(n －3)＋f(3)＝2n －n －1.(10分)苏州市2014届高三调研测试(三)21. A. 证明：由相交弦定理，得 AC ·CD ＝MC·NC ， BC ·CE ＝MC·NC ， ∴ AC ·CD ＝BC·CE.(3分) 即(AB ＋BC)·CD ＝BC·(CD ＋DE)，(6分) 即AB·CD ＋BC·CD ＝BC·CD ＋BC·DE ， ∴ AB ·CD ＝BC·DE.(10分)B. 解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，则⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y.(3分) ∵ 2x ′－y′＝3，∴ 2(－x ＋ay)－(bx ＋3y)＝3. 即(－2－b)x ＋(2a －3)y ＝3.(6分) 此直线即为2x －y ＝3， ∴ －2－b ＝2，2a －3＝－1. 则a ＝1，b ＝－4.(10分)C. 解：M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点为N ⎝⎛⎭⎫2，π3.(3分)故MN ＝2OMsin π12(6分)＝4×6－24＝6－ 2.(10分) D. 证明：∵ x 、y 、z 都是为正数， ∴x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z.(3分) 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y.(6分)将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.(10分) 22. (1) 证明：∵ 正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32， ∴ OA ＝3，OP ＝3.(2分)则A(3，0，0)，B(0，3，0)，D(0，－3，0)，P(0，0，3)， ∴ M(1，0，2)，N(0，1，0)．则MN →＝(－1，1，－2)，AD →＝(－3，－3，0)．(4分) ∵ MN →·AD →＝(－1)×(－3)＋1×(－3)＋(－2)×0＝0， ∴ MN ⊥AD.(5分)(2) 解：设平面PAD 的法向量n ＝(x ，y ，z)， ∵ AD →＝(－3，－3，0)，AP →＝(－3，0，3)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x －3y ＝0，－3x ＋3z ＝0.取z ＝1，得x ＝1，y ＝－1.∴ n ＝(1，－1，1)．(7分)则cos 〈n ，MN →〉＝n ·MN →|n |·|MN →|＝（－1）×1＋1×（－1）＋（－2）×13×6＝－223.(9分)设MN 与平面PAD 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，MN →〉|＝223.∴ MN 与平面PAD 所成角的正弦值为223.(10分)23. 解：(1) 从正方体的八个顶点中任取四个点，共有C 48＝70种不同取法． 其中共面的情况共有12种(6个侧面，6个对角面)，则 P(ξ＝0)＝1270＝635.(3分)(2) 任取四个点，当四点不共面时，四面体的体积只有以下两种情况： ① 四点在相对面且异面的对角线上，体积为1－4×16＝13，这样的取法共有2种．(5分)② 四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为16.这样的取法共有70－12－2＝56种．(7分) ∴ ξ的分布列为(8分)数学期望E(ξ)＝13×135＋16×2835＝17.(10分)无锡市2013年秋学期普通高中期末考试试卷(四)21. A. 解：连结BE ，由AD 是∠BAC 的平分线， ∴ ∠BAE ＝∠CAE.由圆周角结论，得∠AEB ＝∠ACB ， ∴ △ABE ∽△ADC ， ∴ AD ·AE ＝AB·AC.(5分) ∴ S △ABC ＝12AB ·ACsin ∠BAC＝34AD ·AE ， ∴ sin ∠BAC ＝32. ∵ ∠BAC ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ ∠BAC ＝π3.(10分)B. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ，(3分) ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d .(6分)∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ，2＝－b ，3＝2c ，4＝－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝32，d ＝－2.∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－232－2.(10分)C. 解：设M(ρ，θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则OP ＝2cos θ，PB ＝2sin θ.∴ ρ＝OP ＋PB ＝2cos θ＋2sin θ，(4分) ∴ ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ.转化为普通方程：x 2＋y 2＝2x ＋2y ，(8分)∴ M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2(x>0，y>0)．(9分) ∴ 点M 的轨迹长度为2π.(10分) D. 解：∵ a ＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10.(3分) ∵ a 、b 、c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·(1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1)≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2，等号成立．(6分) 1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210，∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027.(10分)22. 解：(1) 凸四边形的对角线条数为2条；凸五边形的对角线条数为5条；凸六边形的对角线条数为9条．(3分)(2) 猜想f(n)＝n （n －3）2(n ≥3，n ∈N *)．(4分)证明：当n ＝3时，f(3)＝0成立；(5分) 设当n ＝k(k ≥3)时猜想成立， 即f(k)＝k （k －3）2，则当n ＝k ＋1时， 考察k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1，① k 边形A 1A 2…A k 中原来的对角线也都是k ＋1边形中的对角线，且边A 1A k 也成为k ＋1边形中的对角线；② 在A k ＋1与A 1，A 2，…，A k 连结的k 条线段中，除A k ＋1A 1、A k ＋1A k 外，都是k ＋1边形中的对角线，共计有f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝k （k －3）2＋1＋(k －2) ＝k 2－3k ＋2k －22＝k 2－k －22＝（k ＋1）（k －2）2＝（k ＋1）（k ＋1－3）2，即猜想对n ＝k ＋1时也成立．(9分)综上，得f(n)＝n （n －3）2对任何n ≥3，n ∈N *都成立．(10分)23. 解：(1) 从9个不同的元素中任取3个不同元素，为古典概型．记“a 、b 、c 中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A ，其基本事件总数为n ＝C 39.(2分)由题意，a 、b 、c 均不相邻，利用插空法得，事件A 包含基本事件数m ＝C 37.(4分) 故P(A)＝C 37C 39＝512.∴ a 、b 、c 中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为512.(6分)(2)(9分)∴E(ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.(10分)常州市2014届高三上学期期末考试(五)21. A. 证明：∵ ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴ AD ＝BC.从而AD ︵＝BC ︵.∴ ∠ACD ＝∠BAC.(4分)∵ AE 为圆的切线，∴ ∠EAD ＝∠ACD.(8分) ∴ ∠DAE ＝∠BAC.(10分) B. 解：设P(x ，y)为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l′上的点P ′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x′＋y′，y ＝x′.(4分)代入ax －y ＝0，整理，得－(2a ＋1)x′＋ay′＝0.(8分)将点(1，1)代入上述方程，解得a ＝－1.(10分) C. 解：点P 的直角坐标为(3，3)，(4分) 直线l 的普通方程为x －y －4＝0，(8分) 从而点P 到直线l 的距离为|3－3－4|2＝2＋62.(10分)D. 证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1 ＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1](4分) ＝(1－y)(xy －1)(x －1)，(6分) ∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y ≤0，xy －1≥0，x －1≥0.(8分) 从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.(10分) 22. 解：连结OC.∵ 平面PAB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ， ∴ PO ⊥平面ABC.从而PO ⊥AB ，PO ⊥OC.∵ AC ＝BC ，点O 是AB 的中点， ∴ OC ⊥AB ，且OA ＝OB ＝OC ＝2a.(2分) 如图，建立空间直角坐标系Oxyz.(1) PA ＝2a ，PO ＝2a.A(0，－2a ，0)，B(0，2a ，0)，C(2a ，0，0)，P(0，0，2a)，D ⎝⎛⎭⎫0，2a 2，2a 2.(4分) 从而PA →＝(0，－2a ，－2a)，CD →＝⎝⎛⎭⎫－2a ，22a ，22a .∵ cos 〈PA →，CD →〉＝PA →·CD →|PA →||CD →|＝－2a 22a ·3a ＝－33，∴ 异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小为33.(6分) (2) 设PO ＝h ，则P(0，0，h)．∵ PO ⊥OC ，OC ⊥AB ，∴ OC ⊥平面PAB. 从而OC →＝(2a ，0，0)是平面PAB 的一个法向量． 不妨设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，∵ PB →＝(0，2a ，－h)，BC →＝(2a ，－2a ，0)，⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·BC →＝0， ∴ ⎩⎨⎧2ay ＝hz ，x ＝y.不妨令x ＝1，则y ＝1，z ＝2ah， 则n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，2a h .(8分) 由已知，得 55＝OC →·n |OC →||n |＝2a 2a 2＋2a 2h2，化简，得h 2＝23a 2.∴ PA ＝PO 2＋OA 2＝23a 2＋2a 2＝263 a.(10分) 23. 解：(1) 110.(3分)(2) 集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ，B)有2n (2n －1)个． 若A ÍB ，并设B 中含有k(1≤k ≤n ，k ∈N *)个元素，则满足A B 的有序集合对(A ，B)有1(21)2nn nkkk kk nnn k k k CC C ===-=-邋?＝3n －2n 个．(6分)同理，满足B A 的有序集合对(A ，B)有3n －2n 个．(8分)故满足条件的有序集合对(A ，B)的个数为 2n (2n －1)－2(3n －2n )＝4n ＋2n －2×3n .(10分)镇江市2014届高三上学期期末考试(六)21. A. 证明：∵ DE 是圆O 的切线， ∴ OD ⊥DE.又DE ⊥AC ，∴ OD ∥AC.(4分) ∵ O 是AB 的中点，∴ OD 是△ABC 的中位线，(7分) ∴ OD ＝12AC ，即AC ＝2OD.(10分)B. 解：矩阵的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－3 λ－x ＝(λ－1)(λ－x)－6，(2分)因为λ1＝4是方程f(λ)＝0的一个根，所以x ＝2.(4分) 由(λ－1)(λ－2)－6＝0得λ2＝－1.(6分)设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝0，2x ＋2y ＝0，得x ＝－y ，(8分) 令x ＝1，则y ＝－1，(9分)则矩阵的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)C. 解：将点的极坐标化为直角坐标，点O 、A 、B 的直角坐标分别为(0，0)、(0，6)、(6，6)；(3分)∴ △OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，(5分)∴ 经过O 、A 、B 三点的圆的圆心为(3，3)，半径为32，(7分) ∴ 圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18， 即x 2＋y 2－6x －6y ＝0.(10分)D. 解：∵ (a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)(3分) ≥3·3a ·3·3b ·3·3c(6分) ＝27·3abc ＝27，(7分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．(9分) ∴ (a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.(10分) 22. 解：(1) ∵ 当y>0时y ＝f(x)＝2x －4，∴ y ′＝222x －4＝12x －4，(3分)∴ k ＝f′(3)＝22，(4分) ∴ 切线为y －2＝22(x －3)，即x －2y －1＝0.(5分) (2) 设l ：y ＝kx ，线段AB 的中点M(x ，y)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x －4，得k 2x 2－2x ＋4＝0，(6分) ∴ Δ＝4－16k 2>0，∴ 16k 2<4， 即k 2<142k 2<1212k 2>2.(7分) 设直线l 与曲线C 的交点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－－22k 2＝1k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＝1k，由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝12k 2，y ＝12k ，(9分)消去k ，得y 2＝12x ，即所求轨迹方程为y 2＝12x(x>2)．(10分)23. 解：(1) 由已知计算得a 2＝35，a 3＝58，a 4＝813，a 5＝1321.(2分)(2) 由(1)得|a 2－a 1|＝115，|a 3－a 2|＝140，|a 4－a 3|＝1104，|a 5－a 4|＝1273， 而n 分别取1，2，3，4时，115⎝⎛⎭⎫25n －1分别为115，275，4375，81 875，故猜想|a n ＋1－a n |≤115⎝⎛⎭⎫25n －1.(4分)下面用数学归纳法证明以上猜想： ① 当n ＝1时，已证；(5分) ② 当n ＝k ≥1时，假设|a k ＋1－a k |≤115⎝⎛⎭⎫25k －1，对n ∈N *：由a 1＝23，a n ＋1＝11＋a n ，得a n >0，∴ 0<a n ＋1＝11＋a n<1，且0<a 1＝23<1，∴ 0<a n <1，∴ 12<a n ＋1＝11＋a n <1，且12<a 1＝23<1，∴ 12<a n <1.(6分)则当n ＝k ＋1时，∵ (1＋a k ＋1)(1＋a k )＝⎝⎛⎭⎫1＋11＋a k (1＋a k )＝2＋a k >2＋12＝52，(7分)∴ |a k ＋2－a k ＋1|＝⎪⎪⎪⎪11＋ak ＋1－11＋a k＝|a k＋1－a k|（1＋a k＋1）（1＋a k）≤115⎝⎛⎭⎫25k－1（1＋a k＋1）（1＋a k）≤115⎝⎛⎭⎫25k－125＝115⎝⎛⎭⎫25k.(9分)∴当n＝k≥1时，结论成立．由①和②知，以上猜想成立．(10分)泰州市2013～2014学年度第一学期期末考试(七)21. A. 证明：(1) ∵ AB 是圆O 的直径， ∴ ∠ADB ＝90°.而BN ＝BM △BNM 为等腰三角形BD 为∠NBM 的角平分线∠DBN ＝∠DBM.(5分)(2) BM 是圆O 的切线，⎭⎪⎬⎪⎫∠DBM ＝∠DAB ∠CBD ＝∠CAD ∠DBC ＝∠DBM ∠DAB ＝∠DAC AM 是∠CAB 的角平分线．(10分)B. 解：(1) 由题意得：A α＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2m ＋2＝4⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2.(5分) (2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12b ＝02a ＋c ＝02b ＋d ＝1⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 120－11.(10分) C. 解：(1) 圆M ：⎝⎛⎭⎫x －5322＋(y －72)2＝4，⎝⎛⎭⎫3，π3对应直角坐标系下的点为⎝⎛⎭⎫32，32，⎝⎛⎭⎫2，π2对应直角坐标系下的点为(0，2)，∴ 圆N ：⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1.(5分)(2) PQ ＝MN －3＝4－3＝1.(10分)D. 证明：(1) a ＋b ＋c ≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1，abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．(5分)(2) 柯西不等式a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．(10分)22. (1) 证明：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x A(4，4)、B(1，－2)，设A 1⎝⎛⎭⎫m 24，m 、B 1⎝⎛⎭⎫n 24，n ，k AT ＝kA 1T 44－t ＝mm24－t m 2－4t ＝4m －tmm(m －4)＝t(4－m)m ＝－tA 1⎝⎛⎭⎫t 24，－t ，同理：B 1(t 2，2t)k ＝3t t 2－t 24＝4t kt ＝4为定值．(5分)(2) 解：A 1B 1：y －2t ＝4t (x －t 2)，令y ＝0得N ⎝⎛⎭⎫t 22，0，而M(2，0)，S 1S 2＝⎪⎪⎪⎪y A y B ＝2S 2＝12S 1，S 4S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yA 1TM ·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 22－t t －2·t 4＝t 28S 4＝t 28S 1，S 3S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yB 1TM ·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（t －2）t －2·2t 4＝t 24S 3＝t 24S 1，S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，∴ t 2＝1而t>0t ＝1.(10分)23. 解：如图以CB 、CA 分别为x 、y 轴，过C 作直线Cz ∥BC 1，以Cz 为z 轴， ∴ B(3，0，0)，C(0，0，0)，A(0，3，0)，C 1(3，0，3)， CB 1→＝CC 1→＋CB →＝(6，0，3)B 1(6，0，3)， CA 1→＝CC 1→＋CA →＝(3，3，3)A 1(3，3，3)．(1) T 是△ABC 1重心T(2，1，1)TA 1→＝(1，2，2)，设平面ABC 1的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，AB →＝(3，－3，0)，AC 1→＝(3，－3，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－3y 1＝03x 1－3y 1＋3z 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0x 1＝y 1n 1＝(1，1，0)，∴ cos 〈TA 1→，n 1〉＝33·2＝22〈TA 1→，n 1〉＝π4.设TA 1与平面ABC 1所成的角为 αα＝π2－〈TA 1→，n 1〉＝π4.(5分)(2) T 在平面ABC 1内，CT →＝CB →＋BT →＝CB →＋mBC 1→＋nBA →＝(3－3n ，3n ，3m)，即T(3－3n ，3n ，3m)．由TB 1＝TC ，得(3－3n)2＋(3n)2＋(3m)2＝(3n ＋3)2＋(3n)2＋(3m －3)2－2m ＋4n ＝－1， ①设平面CAA 1C 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，CA →＝(0，3，0)，CC 1→＝(3，0，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＝03x 2＋3z 2＝0取n 2＝(1，0，－1)．设平面TA 1C 1法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)，C 1A 1→＝(0，3，0)，C 1T →＝(－3n ，3n ，3m －3)，⎩⎪⎨⎪⎧y 3＝0－3nx 3＋（3m －3）z 3＝0取n 3＝(m －1，0，n)．由平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1，得cos 〈n 2，n 3〉＝m －1－n2·（m －1）2＋n 2＝0m ＝n ＋1. ②由①②解得n ＝12，m ＝32，∴ 存在点T ⎝⎛⎭⎫32，32，92，TC ＝3112.(10分)扬州市2013～2014学年度第一学期期末检测试题(八)21. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，(4分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，c ＋d ＝5，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，(7分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝2，d ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4123.(10分) 22. 解：(1) 由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，得22ρcos θ－22ρsin θ＝42，即x －y －8＝0.(4分) (2) 由⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，消去参数θ，得(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，故圆的圆心为M(1，－1)，半径为2，(6分)所以圆心M 到直线l 的距离为d ＝|1－（－1）－8|2＝32，(8分)所以圆上的点到直线l 上点的距离的最小值是32－2＝2 2.(10分)23. 解：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B 1(1，1，2)，D 1(0，0，2)．(2分)所以BD 1→＝(－1，－1，2)，AP →＝(－1，1，1)．cos 〈BD 1→，AP →〉＝BD 1→·AP →|BD 1→|×|AP →|＝26·3＝23，即异面直线AP 与BD 1所成角的余弦是23.(5分)(2) 假设存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成的角的正弦值等于13，则D 1B 1→＝(1，1，0)，AD 1→＝(－1，0，2)，AP →＝(－1，1，m)． 设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥D 1B 1→，n ⊥AD 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋2z ＝0，取x ＝2，得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2，1)．(7分)由直线AP 与平面AB 1D 1所成的角的正弦值等于13，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－2＋m 3·m 2＋2＝13，解得m ＝74. 因为0≤m ≤2，所以m ＝74满足条件，所以当m ＝74时，直线AP 与平面AB 1D 1所成的角的正弦值等于13.(10分)24. 解：(1) 设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A 、B 相互独立，且p ＝0.25，P(A －)＝0.75 ，P(B)＝q ，P(B －)＝1－q.P(X ＝0)＝P(A －B －B －)＝P(A －)P(B －)P(B －)＝0.75(1－q)2＝0.03， 所以q ＝0.8，(2分)P(X ＝5)＝P(AB －B ＋AB) ＝P(AB －B)＋P(AB)＝P(A)P(B －)P(B)＋P(A)P(B) ＝0.25q(1－q)＋0.25q ＝0.24.(4分) (2) 依题意，随机变量X 的分布列为数学期望为E(X)＝4(1－p)(1－q)q ＋3p(1－q)2＋4(1－p)q 2＋5[pq ＋pq(1－q)]＝3p ＋4q －2pq 2，(6分) 随机变量Y 的分布列为数学期望为E(Y)＝6(1－q)2q ＋4(3q 2－3q 3)＋6q 3＝6q.(8分) E(X)－E(Y)＝－2pq 2＋3p －2q ＝p(3－2q 2)－2q. 因为p<23q 且3－2q 2>0，所以E(X)－E(Y)<2q 3(3－2q 2)－2q ＝－4q 33<0，所以，p<23q 时，该同学选择三次都在B 处投篮的数学期望较大．(10分)苏北三市2013～2014学年度高三第一次质量检测(九)21. A. 解：由圆D 与边AC 相切于点E ，得∠AED ＝90°. 因为DF ⊥AF ，得∠AFD ＝90°， 所以A 、D 、F 、E 四点共圆， 所以∠DEF ＝∠DAF.(5分)又∠ADF ＝∠ABD ＋∠BAD ＝12(∠ABC ＋∠BAC)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C ， 所以∠DEF ＝∠DAF ＝90°－∠ADF ＝12∠C.由∠C ＝50°，得∠DEF ＝25°.(10分)B. 解：设曲线C ：x 2＋y 2＝1上任意一点P(x ，y)在矩阵M 所对应的变换作用下得到点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x 1，by ＝y 1.(5分) 又点P 1(x 1，y 1)在曲线C′：x 24＋y 2＝1上，所以x 214＋y 21＝1， 则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故a 2＝4，b 2＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＝3.(10分)C. 解：∵ ρ＝2cos θ－2sin θ， ∴ ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1， ∴ 圆心直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22.(4分) 直线l 上的点向圆C 引切线长是⎝⎛⎭⎫22t －222＋⎝⎛⎭⎫22t ＋22＋422－1＝t 2＋8t ＋40＝（t ＋4）2＋24≥26，所以直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是2 6.(10分) D. 证明：(证法1)因为a 、b 、c 均为正数，由均值不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc)23，(2分) 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc)－13， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc)－23.(5分)故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc)23＋9(abc)－23. 又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，所以原不等式成立．(10分)(证法2)因为a 、b 、c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca. 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.(2分) 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ca，(5分)故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ca ＋3ab ＋3bc ＋3ca≥6 3. 所以原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车为事件M ，则 P(M)＝C 34C 312＝155.所以该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率为155.(4分)(2) 随机变量X 的所有可能取值为1，2，3.P(X ＝1)＝C 35＋C 34＋C 33C 312＝344， P(X ＝3)＝C 15C 14C 13C 312＝311，P(X ＝2)＝1－P(X ＝1)－P(X ＝3)＝2944.所以X 的分布列为(8分)数学期望E(X)＝1×344＋2×2944＋3×311＝9744.(10分)23. 解：(1) 设P(x ，y)，则AP →＝(x ＋1，y)，FP →＝(x －1，y)，AF →＝(2，0)， 由AP →·AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2（x －1）2＋y 2， 化简得y 2＝4x.故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x.(5分) (2) 直线l 的方程为y ＝2(x ＋1)，设Q(x 0，y 0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．过点M 的切线方程设为x －x 1＝m(y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0，由Δ＝16m 2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12， 所以过点M 的切线方程为 y 1y ＝2(x ＋x 1)，(7分) 同理过点N 的切线方程为 y 2y ＝2(x ＋x 2)．所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x)．(9分) 又MN ∥l ，所以2y 0＝2，即y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)，故点Q 的坐标为(－12，1)．(10分)如皋市2014届高三年级第一学期期末考试(十) 21. 解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ321－λ＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，(2分)即λ2－3λ－4＝0，∴ λ＝4或－1.(5分)当λ＝4时，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3y ＝0，2x －3y ＝0，令x ＝3，则y ＝2，∴ α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(9分)(或当λ＝－1时，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝0，2x ＋2y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，∴ β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.)(9分) ∴ M 的特征值为4，－1，对应的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分) 22. 解：任取圆C 上一点M(ρ，θ)，由于OC ＝2，R ＝2， ∴ 圆C 通过极点O.(4分)连结OC 并延长交圆C 于点D ，连DM ，在△ODM 中，OM ⊥DM ， ∴ OM ＝OD·cos ∠DOM ，(8分) ∴ ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ， 即圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ.(10分)23. 解：(1) 由题意知：E(－1，3，0)，D(－2，－1，0)，P(－1，32，32)，S(0，0，3)．∴ DP →＝⎝⎛⎭⎫1，52，32，DE →＝(1，4，0)．(2分) 设n ＝(x ，y ，z)是平面PDE 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DP →＝x ＋52y ＋32z ＝0，n ·DE →＝x ＋4y ＝0，令x ＝－4，则y ＝z ＝1，∴ n ＝(－4，1，1)．(5分) (2) 设点Q(x ，y ，z)，AQ →＝λAS →(x －2，y ＋1，z)＝λ(－2，1，3)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2λ，y ＝－1＋λ，z ＝3λ，点Q 的坐标为(2－2λ，－1＋λ，3λ)， ∴ BQ →＝(－2λ，λ－4，3λ)．(8分) 要使BQ ∥平面PDE ，则BQ →⊥n ， ∴ (－4)×(－2λ)＋1×(λ－4)＋1×3λ＝0λ＝13.由于上述过程可逆，故当AQ AS ＝13时，BQ ∥平面PDE.(10分)24. (1) 证明：设A ⎝⎛⎭⎫a ，a 24、B ⎝⎛⎭⎫b ，b24， ∵ y ＝x 24，∴ y ′＝x2，∴ k AM ＝a 2，k BM ＝b2，(2分)AM ：y ＝a 2x －a 24，BM ：y ＝b 2x －b 24.由⎩⎨⎧y ＝a 2x －a 24，y ＝b 2x －b 24，解得⎩⎨⎧x ＝a ＋b2，y ＝ab 4，∴ab4＝－1ab ＝－4.(4分)k AB ＝a 24－b 24a －b ＝14(a ＋b)，∴ AB ：y －a 24＝a ＋b4(x －a)，即y ＝a ＋b4x ＋1， 直线AB 过抛物线C 的焦点(0，1)．(6分) (2) 解：由(1)可知：k AM ·k BM ＝a 2·b 2＝－44＝－1，∴ AM ⊥BM.∴ △ABM 的外接圆的方程为(x －a)(x －b)＋(y －a 24)(y －b 24)＝0，(8分)即x 2＋y 2－(a ＋b)x －14(a 2＋b 2)y －3＝0，由条件知：12⎝⎛⎭⎫a 24＋b 24＝2a 2＋b 2＝16，而ab ＝－4，∴ (a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab ＝16＋2×(－4)＝8a ＋b ＝±22，∴ △ABM 的外接圆的方程为 x 2＋y 2±22x －4y －3＝0.(10分)南京市2014届高三第二次模拟考试(十一)21. A. (1) 证明：因为AE 与圆相切于点A ， 所以∠BAE ＝∠ACB.因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB. 所以∠ABC ＝∠BAE. 所以AE ∥BC. 因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．(4分)(2) 解：因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB·(EB ＋BD)，即62＝EB·(EB ＋5)，解得BE ＝4.根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6.设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x， 解得x ＝83，即CF ＝83.(10分)B. 解：(1) 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4. 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14.(5分)(2) (解法1)A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.(10分)(解法2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14，所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －1316 16.(7分)因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －1316 16⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.(10分)C. 解：(解法1)以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，且圆心C 为(1，0)．(4分)直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心C(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆C 关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.(8分)所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(10分)(解法2)设曲线ρ＝2cos θ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝π4对称点为(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ.(6分) 将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，即ρ＝2sin θ. 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(10分)D. 证明：因为|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|.(5分) 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|≤|3(x ＋y)|＋|2(x －y)| ＝3|x ＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y|≤1.(10分)22. 解：(1) 记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P(A)＝C 24×2234＝2481＝827.答：恰有2人申请A 大学的概率为827.(4分)(2) X 的所有可能值为1，2，3. P(X ＝1)＝334＝127，P(X ＝2)＝C 34×A 23＋3×A 2334＝4281＝1427， P(X ＝3)＝C 24×A 3334＝3681＝49. X 的概率分布列为所以X 的数学期望E(X)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527.(10分)23．解：(1) 因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5f(1)＝10，则f(1)＝2.(1分)因为f(n)是单调增函数，所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5.因为f(n)∈Z ，所以f(2)＝3，f(3)＝4.(3分) (2) 由(1)可猜想f(n)＝n ＋1.因为f(n)单调递增，所以f(n＋1)＞f(n)．又f(n)∈Z，所以f(n＋1)≥f(n)＋1.首先证明：f(n)≥n＋1.因为f(1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n＝k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k＋1.则f(k＋1)≥f(k)＋1≥k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立．综上，f(n)≥n＋1.(5分)由已知可得f(2)f(n)＝f(2n)＋f(n＋1)，而f(2)＝3，f(2n)≥2n＋1，所以3f(n)≥f(n＋1)＋2n ＋1，即f(n＋1)≤3f(n)－2n－1.下面证明：f(n)＝n＋1.因为f(1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n＝k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k＋1，则f(k＋1)≤3f(k)－2k－1＝3(k＋1)－2k－1＝k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立．所以f(n)＝n＋1.(10分)苏锡常镇四市2013～2014学年度高三教学情况调研(一)(十二)21. A. 证明：连结AC. ∵ EA 是圆O 的切线， ∴ ∠EAB ＝∠ACB.(2分) ∵ AB ＝AD ，∴ ∠ACD ＝∠ACB.∴ ∠ACD ＝∠EAB.(4分)∵ 圆O 是四边形ABCD 的外接圆， ∴ ∠D ＝∠ABE.(6分) ∴ △CDA ∽△ABE.(8分) ∴CD AB ＝DA BE . ∵ AB ＝AD ， ∴CD AB ＝ABBE.(10分) B. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(5分)令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.M 6β＝M 6(4α1－3α2) ＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919.(10分)C. 解：(1) 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(5分)(2) 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(10分)D. 解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，(5分)由题设，得|a 2－2a|<3，解得a ∈(－1，3)．(10分) 22. 解：(1) 设甲同学在5次投篮中，恰有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则P ＝P(x ＝4)＋P(x ＝5)(2分) ＝C 45⎝⎛⎭⎫234⎝⎛⎭⎫1－231＋C 55(23)5(1－23)0＝112243.(4分) (2) 由题意ξ＝1，2，3，4，5. P(ξ＝1)＝23，P(ξ＝2)＝13×23＝29，P(ξ＝3)＝13×13×23＝227，P(ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫133×23＝281， P(ξ＝5)＝⎝⎛⎭⎫134＝181. ξ的分布列为ξ的数学期望Eξ＝1×23＋2×29＋3×227＋4×281＋5×181＝12181.(10分)23. (1) 证明：当n 为奇数时，n ＋1为偶数，n －1为偶数，∵S n ＋1＝C 0n ＋1－C 1n ＋…＋(－1)n ＋12Cn ＋12n ＋12，S n ＝C 0n －C 1n －1＋…＋(－1)n －12Cn －12n ＋12，S n －1＝C 0n －1－C 1n －2＋…＋(－1)n －12Cn －12n －12，∴S n ＋1－S n ＝(C 0n ＋1－C 0n )－(C 1n －C 1n －1)＋…＋(－1)n －12(C n ＋12－1n ＋12＋1－C n －12n ＋12)＋(－1)n ＋12Cn ＋12n ＋12(2分)＝－[C 0n －1－C 1n －2＋…＋(－1)n －12Cn －12n －12]＝－S n －1.∴ 当n 为奇数时，S n ＋1＝S n －S n －1成立．(5分)同理可证，当n 为偶数时，S n ＋1＝S n －S n －1也成立．(6分)(2) 解：由S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，得 2 014S ＝C 02 014－2 0142 013C 12 013＋2 0142 012C 22 012－2 0142 011C 32 011＋…－2 0141 007C 1 0071 007＝C 02 014－⎝⎛⎭⎫C 12 013＋12 013C 12 013＋(C 22 012＋22 012C 22 012)－(C 32 011＋32 011C 32 011)＋…－⎝⎛⎭⎫C 1 0071 007＋1 0071 007C1 0071 007 ＝(C 02 014－C 12 013＋C 22 012－…－C 1 0071 007)－(C 02 012－C 12 011＋C 22 010－…＋C 1 0061 006) ＝S 2 014－S 2 012.(9分)又由S n＋1＝S n－S n－1，得S n＋6＝S n，所以S2 014－S2 012＝S4－S2＝－1，S＝－12 014.(10分)南通市2014届高三第二次调研测试(十三)21. A. 证明：因为PA 是圆O 在点A 处的切线， 所以∠PAB ＝∠ACB.因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE.又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE.(10分)B. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，c －d ＝－1. 再由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝1. 联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1， 故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1.(10分) C. 解：由题设可知P(1＋2cos α，2sin α)，Q(1＋2cos2α，2sin2α)，(2分) 于是PQ 的中点M(1＋cos α＋cos2α，sin α＋sin2α)．(4分)从而d 2＝MA 2＝(cos α＋cos2α)2＋(sin α＋sin2α)2＝2＋2cos α.(6分) 因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α≤1，(8分)于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[0，2)．(10分) D. 证明：因为|m|＋|n|≥|m －n|，所以|x －1＋a|＋|x －a|≥|x －1＋a －(x －a)|＝|2a －1|.(8分) 又a ≥2，故|2a －1|≥3.所以|x －1＋a|＋|x －a|≥3.(10分)22. (1) 证明：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系． 不妨设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AE EB ＝λ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，0， 于是D 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1，A 1D →＝(－1，0，－1)． 所以D 1E →·A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1·(－1，0，－1)＝0.故D 1E ⊥A 1D.(5分)(2) 解：因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)． 又CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ－2，0，CD 1→＝(0，－2，1)． 设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·CE →＝x ＋y ⎝⎛⎭⎫2λ1＋λ－2＝0，n 2·CD 1→＝－2y ＋z ＝0，所以向量n 2的一个解为⎝⎛⎭⎫2－2λ1＋λ，1，2.因为二面角D 1ECD 的大小为π4，则n 1·n 2|n 1||n 2|＝22.解得λ＝±233－1.又E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1.(10分)23. 解：(1) 当n ＝3时，a 1＝a 3＝1. 因为a 2a 1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，a 3a 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，即a 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，1a 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，所以a 2＝12或a 2＝1或a 2＝2.故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1，12，1；1，1，1；1，2，1.(3分)(2) 令b i ＝a i ＋1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件： b 1·b 2·b 3·…·b i ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a i ＋1a i ＝a 8a 1＝1，且b i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2(1≤i ≤7)．反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．(7分) 记符合条件的数列{b n }的个数为N.显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1.当k 给定时，{b n }的取法有C k 7C k7－k 种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，故N ＝1＋C 17C 16＋C 27C 25＋C 37C 34＝393.因此，符合条件的数列{a n }的个数为393.(10分)南京市2014届高三第三次模拟考试(十四)21. A. 证明：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD ＝∠CAE.(2分) 因为△ACD 为等边三角形， 所以∠ADC ＝∠ACD ， 所以∠ADB ＝∠ECA ， 所以△ABD ∽△EAC.(6分)所以AD BD ＝ECCA，即AD·CA ＝BD·EC.(8分)因为△ACD 为等边三角形， 所以AD ＝AC ＝CD ， 所以CD 2＝BD·EC.(10分)B. 解：设特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1，对应的特征值为λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，即⎩⎪⎨⎪⎧ak －k ＝λk ，λ＝1. 因为k ≠0，所以a ＝2.(5分) 因为A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， 所以2＋k ＝3，解得k ＝1. 综上，a ＝2，k ＝1.(10分)C. 解：设M(2cos θ，23sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.由题知OA ＝2，OB ＝23，(2分)所以四边形OAMB 的面积S ＝12×OA ×23sin θ＋12×OB ×2cos θ＝23sin θ＋23cos θ＝26sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.(8分)所以当θ＝π4时，四边形OAMB 的面积的最大值为2 6.(10分)D. 解：由柯西不等式，得[a 2＋(2b)2＋(3c)2]⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫132≥(a ＋b ＋c)2.(8分)因为a 2＋2b 2＋3c 2＝6，所以(a ＋b ＋c)2≤11，－11≤a ＋b ＋c ≤11.故a ＋b ＋c 的最大值为11，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝61111.(10分)22. 证明：连结AC 、BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空间直角坐标系．因为PA ＝AB ＝2，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．(1) 由BN →＝13BD →，得N ⎝⎛⎭⎫0，13，0，由PM →＝13PA →，得M ⎝⎛⎭⎫13，0，23，所以MN →＝⎝⎛⎭⎫－13，13，－23，AD →＝(－1，－1，0)． 因为MN →·AD →＝0，所以MN ⊥AD.(4分)(2) 因为M 在PA 上，可设PM →＝λPA →，得M(λ，0，1－λ)． 所以BM →＝(λ，－1，1－λ)，BD →＝(0，－2，0)． 设平面MBD 的法向量n ＝(x ，y ，z)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＝0，λx －y ＋（1－λ）z ＝0，其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n ＝(λ－1，0，λ)．(8分) 因为平面ABD 的法向量为OP →＝(0，0，1)， 所以cos π4＝|n ·OP →||n ||OP →|，即22＝λ（λ－1）2＋λ2，解得λ＝12， 从而M ⎝⎛⎭⎫12，0，12，N ⎝⎛⎭⎫0，13，0， 所以MN ＝⎝⎛⎭⎫12－02＋⎝⎛⎭⎫0－132＋⎝⎛⎭⎫12－02＝226.(10分) 23. 解：(1) S ＝{1，2}的所有非空子集为：{1}，{2}，{1，2}，所以数组T 为：1，2，32.因此m(T)＝1＋2＋323＝32.(3分)(2) 因为S ＝{a 1，a 2，…，a n }，n ∈N *，n ≥2，所以m(T)＝1211111111123111()()()23n n n n n n n n i i i i nn n n nai C ai C ai C ai n C C C C ----====轾犏++++犏臌+++邋邋L L ＝1＋12C 1n －1＋13C 2n －1＋…＋1n C n －1n －1C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn ∑i ＝1na i .(6分) 因为1k C k －1n －1＝1k ·（n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝（n －1）！k ！（n －k ）！＝1n ·n ！（n －k ）！k ！＝1n C k n，(8分)。
江苏省2014届高三高考模拟专家卷 数学(2) Word版含答案
23．已知Sn＝1＋＋＋…＋．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn＝，试比较 与Tn的大小，并给出证明．
参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．(0，1]2．33．84．72%5．
20．（本题满分16分）
已知数列 满足 （n∈N*），且a2=6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 （n∈N*，c为非零常数），若数列{bn}是等差数列，记cn＝，Sn＝c1＋c2＋…＋cn，求Sn．
数学附加题
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC＝AC＝1．求⊙O的半径．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0, 2)，B(1，1)，C(1，3)．若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A1B1C1，其中B(1，1)在变换T作用下变为点B1(1，－1)．
化简，得a2＋c2－b2＝ac．
18．（本题满分16分）
已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（－3，0），过点F1作一条直线l交椭圆于A，B两点，点A关于坐标原点O的对称点为A1，两直线AB，A1B的斜率之积为－．
（1）求椭圆C的方程；高考资源网
（2）已知D（m，0）为F1右侧的一点，连AD，BD分别交椭圆左准线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好过点F1，求m的值．
2014实战演练·高三数学参考答案与解析
2014实战演练·高三数学参考答案与解析南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试1. {0，2} 解析：本题主要考查集合的基本概念、运算等基础知识，属于容易题．2. －3＋4i 解析：(1－2i)2＝1－4i ＋(2i)2＝－3－4i ，共轭复数为－3＋4i. 本题主要考查复数的基本概念和运算、共轭复数等基础知识，属于容易题．3. 45 解析：这组数据的平均数为9，s 2＝15[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝45. 本题主要考查统计中方差的计算，属于容易题．4. 23解析：记两个红球为A 1、A 2，两个白球为B 1、B 2，那么取出的两个球为A 1A 2、A 1B 1、A 1B 2、A 2B 1、A 2B 2、B 1B 2，共6种情况，其中两球颜色不同的有4种情况，所求概率为46＝23.本题主要考查古典概型，属于容易题．5. 27 解析：由a 3＋a 5＋a 7＝9，得a 5＝3，S 9＝a 1＋a 92³9＝a 5³9＝27.本题主要考查等差数列的概念和性质、前n 项和公式等简单的计算，属于容易题．6. 26 解析：画出可行区域，得到最优解是直线3x －y －6＝0与直线x －y ＋2＝0的交点(4，6)，代入目标函数得最大值为26.本题考查线性规划问题，涉及到求直线交点，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于容易题． 7. 3 解析：s ＝6＋5＋4＝15，n －1＝3.本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题． 8. π6 解析：f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－π3，因为函数f(x)为奇函数，故2φ－π3＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π6.当k ＝0时，φ取最小正值π6.本题主要考查函数图象的移动、三角函数的性质——奇偶性及周期性，属于中等题． 9. ①③④ 解析：本题主要考查空间线线、线面、面面之间的位置关系，属于中等题．10. 23解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝23.本题主要考查三角形中的正弦定理及三角公式的灵活使用等基础知识，属于中等题．11. －43 解析：(解法1)由已知AD →＝DC →，则D 为AC 中点，BD →＝12(BC →－AB →)，AC →＝BC →＋AB →.BD →²AC →＝－12即12(BC →－AB →)·(BC →＋AB →)＝－12，故AB 2－BC 2＝1.又BC ＝2，所以AB ＝AC ＝5，cosA ＝5＋5－42³5＝35，所以CE →²AB →＝(AE →－AC →)·AB →＝⎝⎛⎭⎫13AB →－AC →²AB →＝－AC →²AB →＋13AB →2＝53－5³35＝－43.(解法2)取BC 中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则B(－1，0)、C(1，0)．设A(0，m)，由AD →＝DC →，得D ⎝⎛⎭⎫12，m 2，BD →＝⎝⎛⎭⎫32，m 2，AC →＝(1，－m)．由BD →²AC →＝－12，得32－m 22＝－12，解得m ＝2.这样E ⎝⎛⎭⎫－13，43，则CE →＝⎝⎛⎭⎫－43，43，AB →＝(－1，－2)，所以CE →²AB →＝－43.本题考查向量的有关概念、向量的数量积等运算能力及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题． 12. [0，22＋2]解析：PF 1＋PF 2＝42，|PF 1－PF 2|PF 1＝⎪⎪⎪⎪2－42PF 1，a －c ≤PF 1≤a ＋c ，a ＝22，c ＝2，－2－22≤2－42PF 1≤22－2，|PF 1－PF 2|PF 1∈[0，2＋22]．本题考查椭圆的有关概念及性质、函数的单调性及绝对值等基础知识及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．13. －1 解析：设f(y)＝lny －y 2＋ln e 22，则f′(y)＝1y －12＝2－y2y.当y ∈(0，2)时，f ′(y)>0；当y ∈(2，＋∞)时，f ′(y)<0，所以y ＝2时，f(y)取最大值1，所以f(y)＝lny －y 2＋ln e 22≤1；又由基本不等式得⎣⎡⎦⎤4cos 2（xy ）＋14cos 2（xy ）≥2，当且仅当4cos 2(xy)＝14cos 2（xy ）时取等号，即cos 2(xy)＝14， 所以log 2⎣⎡⎦⎤4cos 2（xy ）＋14cos 2（xy ）≥1，所以log 2[4cos 2(xy)＋14cos 2（xy ）]＝lny －y 2＋ln e22成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，cos 2（xy ）＝14，所以cos4x ＝－12，ycos4x ＝－1. 本题考查函数、三角、基本不等式等基础知识，考查函数与方程、不等式的思想，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于难题．14. ⎣⎡⎭⎫－4125，－1 解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]， [2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根为t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝2524t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝7225＞3，g(t)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫7225＝－4125， 直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故124<k 2<18，而k 2＝124时，直线与半圆相切，由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝1－（x －3）2，得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0， 取k 2＝124，得2524x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝2524t 2－6t ＋7＜－1.本题考查分段函数、函数的周期、直线方程等知识，考查函数与方程、数形结合及转化的思想，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力，属于难题．15. 证明：(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， 所以A 1B 1∥AB.(3分)而A 1B 1 平面ABD ，AB 平面ABD ， 所以直线A 1B 1∥平面ABD.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， 所以BB 1⊥平面ABC. 因为AB 平面ABC ， 所以AB ⊥BB 1.(8分)因为AB ⊥BC ，BB 1 平面BB 1C 1C ，BC 平面BB 1C 1C ，且BB 1∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面BB 1C 1C.(11分) 又AB 平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BB 1C 1C.(14分)16. 解：(1) 因为cos ⎝⎛⎫A ＋π6＝sinA ，即cosAcos π6－sinAsin π6＝sinA ，所以32cosA ＝32sinA.(4分)显然cosA ≠0，否则，由cosA ＝0，得sinA ＝0，与sin 2A ＋cos 2A ＝1矛盾，所以tanA ＝33.因为0＜A ＜π，所以A ＝π6.(7分)(2) 因为cosA ＝14，4b ＝c ，根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝15b 2， 所以a ＝15b.(10分)因为cosA ＝14，所以sinA ＝1－cos 2A ＝154.由正弦定理，得15b sinA ＝bsinB，所以sinB ＝14.(14分)17. 解：(1) C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时，即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．(2分)由C(0)＝k100＝24，得k ＝2 400.(4分)因此F ＝15³k 20x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5x ，x ≥0.(7分)(2) 由(1)知，F ＝1 800x ＋5＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5(x ＋5)－2.5≥2 1 800x ＋5·0.5（x ＋5）－2.5＝57.5.(10分)当且仅当1 800x ＋5＝0.5(x ＋5)＞0，即x ＝55时取等号．所以当x 为55时，F 取得最小值为57.5万元．(14分) (说明：第(2)题用导数求最值的，相应给分)18. 解：(1) 由e ＝223，得c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝89，即a 2＝9b 2，故椭圆的方程为x 29b 2＋y2b2＝1.(3分)又椭圆过点M(32，2)，所以189b 2＋2b2＝1，解得b 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 236＋y 24＝1.(5分)(2) ① 记△MAF 2的外接圆的圆心为T.因为直线OM 的斜率k OM ＝13，所以线段MA 的中垂线方程为y ＝－3x.又由M(32，2)、F 2(42，0)，得线段MF 2的中点为N ⎝⎛⎭⎫722，22. 而直线MF 2的斜率kMF 2＝－1，所以线段MF 2的中垂线方程为y ＝x －3 2. 由⎩⎨⎧y ＝－3x ，y ＝x －32，解得T ⎝⎛⎭⎫324，－924.(8分) 从而圆T 的半径为⎝⎛⎭⎫42－3242＋⎝⎛⎭⎫0＋9242＝552，故△MAF 2的外接圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －3242＋⎝⎛⎭⎫y ＋9242＝1254.(10分)(说明：该圆的一般式方程为x 2＋y 2－322x ＋922y －20＝0.)② 设直线MA 的斜率为k ，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．由题意知，直线MA 与MB 的斜率互为相反数，故直线MB 的斜率为－k. 直线MA 的方程为y －2＝k(x －32)， 即y ＝kx ＋2－32k.由方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－32k ，x 236＋y 24＝1，消去y ，整理得(9k 2＋1)x 2＋182k(1－3k)x ＋162k 2－108k －18＝0.(*) 由题意知，方程(*)有两解32，x 1，所以x 1＝182k （3k －1）9k 2＋1－32＝182（3k 2－k ）9k 2＋1－3 2.同理可得x 2＝182（3k 2＋k ）9k 2＋1－3 2.(13分)因此x 2－x 1＝362k 9k 2＋1，x 2＋x 1＝1082k 29k 2＋1－6 2.又y 2－y 1＝－kx 2＋2＋32k －(kx 1＋2－32k) ＝－k(x 2＋x 1)＋62k＝－1082k 39k 2＋1＋122k＝122k 9k 2＋1， 所以直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝122k 9k 2＋1362k 9k 2＋1＝13，为定值．(16分)19. 解：(1) 因为函数f(x)＝x －1在区间[－2，1]上单调递增， 所以当x ∈[－2，1]时，f(x)的取值范围为[－3，0]．(2分) 而[－3，0] [－2，1]，所以f(x)在区间[－2，1]上不是封闭的．(4分)(2) 因为g(x)＝3x ＋a x ＋1＝3＋a －3x ＋1.① 当a ＝3时，函数g(x)＝3，显然{3} [3，10]，故a ＝3满足题意； ② 当a ＞3时，在区间[3，10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的取值范围为⎣⎡⎦⎤30＋a 11，9＋a 4.由⎣⎡⎦⎤30＋a 11，9＋a 4 [3，10]，得⎩⎨⎧30＋a11≥3，9＋a 4≤10，解得3≤a ≤31，故3＜a ≤31；(7分) ③ 当a ＜3时，在区间[3，10]上，有g(x)＝3＋a －3x ＋1＜3，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是区间[3，31]．(9分) (3) 因为h(x)＝x 3－3x ，所以h′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．因为当x ＜－1或x ＞1时，h ′(x)＞0；当x ＝－1或1时， h ′(x)＝0；当－1＜x ＜1时，h ′(x)＜0，所以h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增． 从而h(x)在x ＝－1处取得极大值2，在x ＝1处取得极小值－2.(11分) 解法1：① 当a ＜b ≤－1时，因为h(x)在区间[a ，b]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3－3a ≥a ，h （b ）＝b 3－3b ≤b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋2）（a －2）≥0，b （b ＋2）（b －2）≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2，此时无解．② 当a ≤－1＜b ≤1时，因为h(－1)＝2＞b ，与“h(x)在区间[a ，b]上封闭”矛盾，即此时无解． ③ 当a ≤－1且b ＞1时， 因为h(－1)＝2，h(1)＝－2， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，b ≥2. 由⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3－3a ≥a ，h （b ）＝b 3－3b ≤b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2， 从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.④ 当－1≤a ＜b ≤1时，h(x)在区间[a ，b]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧h （b ）＝b 3－3b ≥a ，h （a ）＝a 3－3a ≤b.(*) 又a 、b ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1.分别代入(*)检验，均不合要求，即此时无解．⑤ 当－1≤a ≤1且b ≥1时，因为h(1)＝－2＜a ，与“h(x)在区间[a ，b]上封闭”矛盾，即此时无解． ⑥ 当1≤a ＜b 时，因为h(x)在区间[a ，b]上递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3－3a ≥a ，h （b ）＝b 3－3b ≤b ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2， 此时无解．综上所述，a ＝－2，b ＝2.(16分) 解法2：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3－3a ≥a ，h （b ）＝b 3－3b ≤b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋2）（a －2）≥0，b （b ＋2）（b －2）≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2.因为a ＜b ，所以－2≤a ≤0，0≤b ≤2.又a 、b ∈Z ，故a 只可能取－2，－1，0，b 只可能取0，1，2. ① 当a ＝－2时，因为b ＞0，故由h(－1)＝2，得b ≥2. 因此b ＝2.经检验，a ＝－2，b ＝2满足题意．② 当a ＝－1时，由于h(－1)＝2，故b ＝2，此时h(1)＝－2，不满足题意． ③ 当a ＝0时，显然不满足题意． 综上所述，a ＝－2，b ＝2.(16分) 20. (1) 解：因为{a n }是等差数列，所以a n ＝(6－12t)＋6(n －1)＝6n －12t(n ∈N *)．(2分) 因为数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n －t ，所以当n ≥2时，b n ＝(3n －t)－(3n －1－t)＝2³3n －1.又b 1＝S 1＝3－t ，故b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－t ，n ＝1，2³3n －1，n ≥2.(4分) (2) 证明：因为{b n }是等比数列，所以3－t ＝2³31－1，解得t ＝1.从而a n ＝6n －12，b n ＝2³3n －1(n ∈N *)． 对任意的n ∈N *，由于b n ＋1＝2³3n ＝6³3n －1＝6(3n －1＋2)－12，令c n ＝3n －1＋2∈N *，则ac n ＝6(3n －1＋2)－12＝b n ＋1， 所以命题成立．(7分)从而数列{c n }的前n 项和T n ＝2n ＋1－3n 1－3＝12³3n ＋2n －12.(9分)(3) 解：由题意得d n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6（3－t ）（1－2t ），n ＝1，4（n －2t ）·3n，n ≥2. 当n ≥2时，d n ＋1－d n ＝4(n ＋1－2t)·3n ＋1－4(n －2t)·3n ＝8⎣⎡⎦⎤n －⎝⎛⎭⎫2t －32²3n . ① 若2t －32＜2，即t ＜74时，d n ＋1＞d n .由题意得d 1≤d 2，即6(3－t)(1－2t)≤36(2－2t)，解得－5－974≤t ≤－5＋974.因为－5＋974＜74，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－974≤t ≤－5＋974.(12分) ② 若2≤2t －32＜3，即74≤t ＜94时，d n ＋1＞d n (n ∈N ，n ≥3)． 由题意得d 2＝d 3，即4(2t －2)³32＝4(2t －3)³33，解得t ＝74.③ 若m ≤2t －32＜m ＋1(m ∈N ，m ≥3)，即m 2＋34≤t ＜m 2＋54(m ∈N ，m ≥3)时，d n ＋1≤d n (n ∈N ，2≤n ≤m)；d n ＋1≥d n (n ∈N ，n ≥m ＋1)．由题意得d m ＝d m ＋1，即4(2t －m)³3m ＝4(2t －m －1)³3m ＋1，解得t ＝2m ＋34.综上所述，t 的取值范围是{t|－5－974≤t ≤－5＋974或t ＝2m ＋34，m ∈N ，m ≥2}．(16分)南通市2013届高三第一次调研测试1. (－∞，－1] 解析：∵ A ＝{x|x>－1}，U ＝R ，∴ ∁U A ＝(－∞，－1]．2. 三 解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ）＝－2－3i.本题考查复数的基本概念及运算、复数的几何意义等基础知识，属于容易题．3. 48 解析：正四棱锥的斜高为32＋（7）2＝4，故S 侧＝12³(6³4)³4＝48.4. 14 解析：由已知，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2 013)＝f(2³1 007－1)＝ f(－1)＝4－1＝14.本题考查函数关系与函数的性质等基础知识，属于容易题．5. 否命题 解析：命题p 与q 符合互为否命题的关系．6. x 25－y 220＝1 解析：圆心(5，0)，也是双曲线的焦点，即c ＝5.又e ＝ca ＝5，则a ＝5，b ＝25，故该双曲线的标准方程为x 25－y220＝1.本题考查圆的方程、圆锥曲线的方程和几何性质等基础知识，属于容易题．7. ±42 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a 5＝－36，13a 7＝－104，即⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝－4，a 7＝－8，故a 5与a 7的等比中项为±a 5a 7＝±4 2.8. 38解析：由流程图知，当输入x 时，各次循环输出的结果分别是2x ＋1，2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3，2(4x ＋3)＋1＝8x ＋7，此时退出循环．由⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋7≥55，1≤x ≤9，解得6≤x ≤9，故输出的x 不小于55的概率为P ＝9－69－1＝38.9. 12解析：∵ |AB →＋AC →|＝|BC →|，|AB →＋AC →|＝|AC →－AB →|，∴ |AB →＋AC →|2＝|AC →－AB →|2，即|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →²AC →＝|AB →|2＋|AC →|2－2AB →²AC →，即AB →²AC →＝0，∴ AB →⊥AC →，即AB ⊥AC.又AB ＝1，AC ＝3，∴ BC ＝AB 2＋AC 2＝2，cosB ＝12，∴ BA →²BC →＝|BA →||BC →|cosB ＝1³2³12＝1，故BA →·BC →|BC →|＝12.10. －2 解析：因为0＜a ＜1，所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，3y －x ＋2>0，2x －y ＋1<3y －x ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，3y －x ＋2>0，3x －4y －1<0.画出可行域(如图)，考查z＝x ＋y 的取值范围，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，3y －x ＋2＝0，得解为(－1，－1)，从而z>－1－1＝－2，故满足λ＜x ＋y 的λ的最大值为－2.本题主要考查线性规划知识、等价转化及数形结合等数学思想，属于中等题．11. y ＝ex －12 解析：由已知得f(0)＝f′（1）e ，∴ f(x)＝f′（1）e e x －f′（1）e x ＋12x 2，∴ f ′(x)＝f′（1）e e x －f′（1）e ＋x ，∴ f ′(1)＝f′（1）e e －f′（1）e ＋1，即f′(1)＝e ，从而f(x)＝e x －x ＋12x 2，f ′(x)＝e x －1＋x ，∴ f(1)＝e －12，f ′(1)＝e ，故切线方程为y －⎝⎛⎭⎫e －12＝e(x －1)，即y ＝ex －12.本题主要考查导数的计算、导数的几何意义，考查等价转化、函数与方程等数学思想，属于中等题．12. －1.5 解析：因简谐振动的物体的位移s 与时间t 之间的函数关系为s ＝Asin (ωt ＋φ)，且由题意，A ＝3，2πω＝3，所以ω＝2π3，s ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋φ.又当t ＝0时，s ＝3，所以3＝3sin φ，即sin φ＝1，φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以s ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋π2＝3cos 2π3t.故当t ＝5时，s ＝3cos 10π3＝－32.13. (－1，0)∪(0，2) 解析：由题意，圆心C(－1，0)，点P(x 0，2x 0)．因为PA ＝PB ，所以CP ⊥AB ，从而有k CP k AB ＝－1，所以2x 0x 0＋1²a ＝－1，即a ＝－x 0＋12x 0.又把y ＝ax ＋3代入x 2＋y 2＋2x －8＝0，得(a 2＋1)x 2＋(6a ＋2)x ＋1＝0，则有Δ＝(6a＋2)2－4(a 2＋1)＝8a(4a ＋3)>0，解得a>0或a<－34，所以－x 0＋12x 0＞0或－x 0＋12x 0<－34.由此解得－1<x 0<0或0<x 0<2.本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系及不等式的有关知识及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力，属于难题．14. (2，3) 解析：∵ m ＝3x ＋y －5x －1＋x ＋3y －7y －2＝3（x －1）＋y －2x －1＋3（y －2）＋x －1y －2＝6＋y －2x －1＋x －1y －2，又x>3，y ＝x 2－1>2，∴ x －1>0，y －2>0，∴ y －2x －1＋x －1y －2≥2，当且仅当y －2x －1＝x －1y －2时等号成立，即y ＝x ＋1，与y ＝x 2－1联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.故m 的最小值为8，此时点P(2，3)．本题主要考查函数的性质及基本不等式的运用，考查函数与方程、等价转化等数学思想，属于难题．15. 证明：(1) 连结A 1B 和A 1C.因为E 、F 分别是侧面AA 1B 1B 和侧面AA 1C 1C 的对角线的交点，所以E 、F 分别是A 1B 和A 1C 的中点．所以EF ∥BC.(3分)又BC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为正三棱柱，所以A 1A ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1A.故由EF ∥BC ，得EF ⊥A 1A.(8分) 又D 是棱BC 的中点，且△ABC 为正三角形，所以BC ⊥AD. 故由EF ∥BC ，得EF ⊥AD.(10分)而A 1A ∩AD ＝A ，A 1A 、AD 平面A 1AD ， 所以EF ⊥平面A 1AD.(12分)又EF 平面AEF ，故平面AEF ⊥平面A 1AD.(14分)16. 解：(1) 因为tanC ＝sinA ＋sinB cosA ＋cosB，即sinC cosC ＝sinA ＋sinBcosA ＋cosB ，所以sinCcosA ＋sinCcosB ＝cosCsinA ＋cosCsinB ， 得sin(C －A)＝sin(B －C)．(4分)所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C)(不成立)．即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3.(7分)(2) 由C ＝π3，设A ＝π3＋α，B ＝π3－α，0＜A 、B ＜2π3，知－π3＜α＜π3.因为a ＝2RsinA ＝sinA ，b ＝2RsinB ＝sinB ，(8分)所以a 2＋b 2＝sin 2A ＋sin 2B ＝1－cos2A 2＋1－cos2B2＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝1＋12cos2α.(11分)由－π3＜α＜π3，知－2π3＜2α＜2π3，－12＜cos2α≤1，故34＜a 2＋b 2≤32.(14分) 17. 解：(1) 由题意，AB ＝x ，BC ＝2－x. 因为x ＞2－x ，故1＜x ＜2.(2分) 设DP ＝y ，则PC ＝x －y.因为△ADP ≌△CB′P ，故PA ＝PC ＝x －y.由PA 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y)2＝(2－x)2＋y 2 y ＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ，1＜x ＜2.(5分) (2) 记△ADP 的面积为S 1，则S 1＝⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x)(6分) ＝3－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ≤3－22， 当且仅当x ＝2∈(1，2)时，S 1取得最大值．(8分)故当薄板长为 2 m ，宽为(2－2) m 时，节能效果最好．(9分) (3) 记凹多边形ACB′PD 的面积为S 2，则S 2＝12x(2－x)＋⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x)＝3－12⎝⎛⎭⎫x 2＋4x ， 1＜x ＜2.(10分)于是S 2′＝－12⎝⎛⎭⎫2x －4x 2＝－x 3＋2x 2＝0 x ＝32.(11分) 关于x 的函数S 2在(1，32)上递增，在(32，2)上递减． 所以当x ＝32时，S 2取得最大值．(13分)故当薄板长为32 m ，宽为(2－32) m 时，制冷效果最好．(14分)18. (1) 解：令n ＝1，则a 1＝S 1＝1·（a 1－a 1）2＝0.(3分)(2) 证明：由S n ＝n （a n －a 1）2，即S n ＝na n2， ①得S n ＋1＝（n ＋1）a n ＋12. ②②－①，得(n －1)a n ＋1＝na n . ③ 于是na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1. ④③＋④，得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.(7分) 又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，a n ＝n －1.(9分)(3) 解：假设存在正整数数组(p ，q)，使b 1、b p 、b q 成等比数列，则lgb 1、lgb p 、lgb q 成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q3q .(11分)所以q ＝3q ⎝⎛⎭⎫2p 3p －13.(*)易知(p ，q)＝(2，3)为方程(*)的一组解．(13分)当p ≥3，且p ∈N *时，2（p ＋1）3p ＋1－2p 3p ＝2－4p 3p ＋1＜0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列，于是2p 3p －13≤2³333－13＜0，所以此时方程(*)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p ，q)＝(2，3)，使b 1、b p 、b q 成等比数列．(16分) 19. (1) 解：依题设c ＝1，且右焦点F′(1，0)．所以，2a ＝EF ＋EF′＝（1＋1）2＋⎝⎛⎭⎫2332＋233＝23，b 2＝a 2－c 2＝2， 故所求的椭圆的标准方程为x 23＋y22＝1.(4分)(2) 解：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 213＋y 212＝1，①x 223＋y 222＝1.② ②－①，得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）3＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）2＝0.所以k 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝－2（x 2＋x 1）3（y 2＋y 1）＝－4x P 6y P ＝－23.(9分)(3) 证明：依题设，k 1≠k 2.设M(x M ，y M )，直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －1)，即y ＝k 1x ＋(1－k 1)，亦即y ＝k 1x ＋k 2，代入椭圆方程并化简得(2＋3k 21)x 2＋6k 1k 2x ＋3k 22－6＝0.于是x M ＝－3k 1k 22＋3k 21，y M ＝2k 22＋3k 21.(11分) 同理x N ＝－3k 1k 22＋3k 22，y N ＝2k 12＋3k 22. 当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k ＝y M －y N x M －x N ＝4＋6（k 22＋k 2k 1＋k 21）－9k 2k 1（k 2＋k 1）＝10－6k 2k 1－9k 2k 1.(13分)直线MN 的方程为y －2k 22＋3k 21＝10－6k 2k 1－9k 2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－3k 1k 22＋3k 21， 即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－6k 2k 1－9k 2k 1²3k 1k 22＋3k 21＋2k 22＋3k 21， 亦即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x －23.此时直线过定点⎝⎛⎭⎫0，－23.(15分) 当k 1k 2＝0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点⎝⎛⎭⎫0，－23. 综上，直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23.(16分) 20. 解：(1) 因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，所以f′(x)＝lnx －1（lnx ）2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立．(2分)所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)max ≤0.又f′(x)＝lnx －1（lnx ）2－a ＝－⎝⎛⎭⎫1lnx 2＋1lnx －a ＝－⎝⎛⎭⎫1lnx －122＋14－a ，故当1lnx ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x)max ＝14－a.所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14.(6分)(2) 命题“若 x 1、x 2∈[e ，e 2]，使f(x 1)≤f′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤f ′(x)max ＋a ”．(7分)由(1)，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x)max ＝14－a ，∴ f ′(x)max ＋a ＝14.问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤14”．(8分)① 当a ≥14时，由(1)，f(x)在[e ，e 2]上为减函数，则f(x)min ＝f(e 2)＝e 22－ae 2≤14，故a ≥12－14e2.(10分)② 当a ＜14时，由于f′(x)＝－⎝⎛⎭⎫1lnx －122＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数，故f′(x)的值域为[f′(e)，f ′(e 2)]，即⎣⎡⎦⎤－a ，14－a . (ⅰ) 若－a ≥0，即a ≤0，f ′(x)≥0在[e ，e 2]恒成立，故f(x)在[e ，e 2]上为增函数，于是，f(x)min ＝f(e)＝e －ae ≥e ＞14，不合．(12分)(ⅱ) 若－a ＜0，即0＜a ＜14，由f′(x)的单调性和值域知存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f′(x 0)＝0，且满足：当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x)＜0，f(x)为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x)＞0，f(x)为增函数．所以，f(x)min ＝f(x 0)＝x 0lnx 0－ax 0≤14，x 0∈(e ，e 2)．所以，a ≥1lnx 0－14x 0＞1lne 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合．(15分)综上所述，实数a 的取值范围为a ≥12－14e 2.(16分)苏州市2013届高三调研测试1. {－1，2} 解析：根据交集的意义得A ∩B ＝{－1，2}．2. 1 解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝0－5i5＝－i ，故|z|＝1.本题主要考查复数的基本概念及基本运算、复数的模等基础知识，属于容易题．3. 2 解析：样本的平均数为x －＝15(8＋12＋10＋11＋9)＝10，所以s 2＝15[(8－10)2＋(12－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2.4. 25解析：不妨设成等差数列的5个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d(d>0)，则这5个数的和为5a ＝15，即a ＝3，从而这5个数中小于3的数有2个，故从这5个数中随机抽取一个数小于3的概率是25.5. 1e 解析：设过坐标原点作函数y ＝lnx 图象的切线的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝lnx 0，切线的斜率为y′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x.又切线过切点(x 0，lnx 0)，所以lnx 0＝1x 0²x 0，解得x 0＝e ，故切线斜率为1x 0＝1e.本题主要考查导数的计算、导数的几何意义与切线的求法，属于容易题．6. 3 解析：因为BB 1∥平面ADD 1，所以V 三棱锥A B 1D 1D ＝V 三棱锥B 1 AD 1D ＝V 三棱锥B AD 1D ＝13S △ADD 1²AB＝13³12³3³2³3＝3. 7. 6.6 解析：由题意，从今年起到第五年的年产值构成首项为1.1，且公比也为1.1的等比数列，所以这个厂五年的总产值为S ＝1.1³（1－1.15）1－1.1＝11³(1.15－1)≈11³(1.6－1)＝6.6.本题主要考查等比数列的概念、等比数列的前n 项和等基础知识，属于容易题．8. 2 解析：当输入m ＝6，n ＝4时，Int ⎝⎛⎭⎫m n ＝Int ⎝⎛⎭⎫64＝1，m n ＝64，∴ Int ⎝⎛⎭⎫m n ≠m n ，进入循环体，使c ＝6－4³1＝2，m ＝4，n ＝2，此时Int ⎝⎛⎭⎫m n ＝2＝mn，退出循环，输出n 的值2. 9. 2 解析：将x ＝c 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，当△ABC 为直角三角形时，有BF ＝AF ，∴ b 2a＝a ＋c ，∴ c 2－a 2＝a 2＋ac ，即2a 2＋ac －c 2＝0，(a ＋c)(2a －c)＝0，∴ 2a －c ＝0，故离心率e ＝ca＝2.本题主要考查圆锥曲线的方程与几何性质，考查数形结合思想与方程思想，属于中等题．10. ⎝⎛⎭⎫－∞，34 解析：f ⎝⎛⎭⎫12＝12⎪⎪⎪⎪12＋1＝34，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋1），x ≥－1，－x （x ＋1），x<－1，当x<－1时，f(x)＝－x(x ＋1)＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14≤f(－1)＝0，此时f(x)<f ⎝⎛⎭⎫12；当x ≥－1时，f ⎝⎛⎭⎫x －14＜f ⎝⎛⎭⎫12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x （x ＋1）<34，解得－1≤x ≤12，所以不等式f(x)≤f ⎝⎛⎭⎫12的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，12，所以不等式f ⎝⎛⎭⎫x －14＜f ⎝⎛⎭⎫12等价于x －14<12，故此不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，34.本题主要考查分段函数、二次函数的性质，解简单的不等式等基础知识，考查函数思想、等价转化思想．属于中等题．11. 17250 解析：因为θ为锐角，且sin (θ＋15°)＝45∈⎝⎛⎭⎫22，32，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos (2θ＋30°)＝1－2sin 2(θ＋15°)＝1－2³⎝⎛⎭⎫452＝－725，从而sin (2θ＋30°)＝1－cos 2（2θ＋30°）＝2425，所以cos (2θ－15°)＝cos [(2θ＋30°)－45°]＝cos (2θ＋30°)cos45°＋sin (2θ＋30°)sin45°＝－725³22＋2425³22＝17250.12. ⎣⎡⎦⎤3，559 解析：令z ＝2x 3＋y 3x 2y ＝2·x y ＋y 2x 2，y x ＝k ，则z ＝2k＋k 2.因k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3表示的平面区域(如图)知13≤k ≤2.利用导数求函数z ＝2k ＋k 2，k ∈⎣⎡⎦⎤13，2的最值，由z 对k 求导，z ′＝－2k 2＋2k ＝2k 3－2k2＝2（k －1）（k 2＋k ＋1）k2，令z′＝0得k ＝1，且当k ∈⎝⎛⎭⎫13，1时，z ′<0，当k ∈(1，2)时，z ′>0，所以当k ＝1时，z min ＝3.又当k ＝13时，z ＝559，当k ＝2时，z ＝5，所以当k ＝13时，z max ＝559.故z ＝2x 3＋y 3x 2y∈⎣⎡⎦⎤3，559.本题主要考查线性规划、导数的计算及应用导数求函数的最值．考查了数形结合、化归等数学思想方法．属于中等题．13. 60° 解析：如图，已知圆的圆心为C(3，1)，半径为r ＝2，直线的倾斜角为120°.因为k OC ²k AB ＝33²(－3)＝－1，所以OC ⊥AB ，易知∠xOC ＝30°.由图象的对称性知∠AOC ＝∠BOC ，即∠xOA －∠xOC ＝∠xOC －∠xOB ，所以∠xOA ＋∠xOB ＝2∠xOC ＝60°.本题主要考查直线方程、圆的方程和性质，考查了探索推理能力及数形结合思想，属于难题．14. 12解析：设a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，所以a 2－a·b －2b 2＝0，即1－|b |cosθ－2|b |2＝0，所以cos θ＝1－2|b |2|b |，所以－1≤1－2|b |2|b |≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧2|b|2＋|b|－1≥0，2|b|2－|b|－1≤0，解得12≤|b |≤1，故|b |的最小值为12.本题主要考查向量的数量积、不等式的解法，灵活运用相关知识解决问题的能力，属于难题．15. 解：(1) 由2πω＝π，得ω＝2.(2分)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－3，得A ＝3.(4分)且2³2π3＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，0＜φ＜π2，∴ φ＝π6.∴ f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(7分)(2) y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(9分)＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12，(11分)∴ y max ＝3 2.(12分)此时，2x ＋5π12＝2k π＋π2，x ＝k π＋π24，k ∈Z .(14分)16. (1) 证明：∵ BC ⊥平面PAB ，AD 平面PAB ， ∴ BC ⊥AD.(3分)∵ PA ＝AB ，D 为PB 中点，∴ AD ⊥PB.(6分) ∵ PB ∩BC ＝B ，∴ AD ⊥平面PBC.(7分)(2) 解：连结DC ，交PE 于G ，连结FG . ∵ AD ∥平面PEF ，AD 平面ADC ， 平面ADC ∩平面PEF ＝FG ， ∴ AD ∥FG .(10分)∵ D 为PB 中点，E 为BC 中点，连结DE ，则DE 为△BPC 的中位线，△DEG ∽△CPG. ∴ DG GC ＝DE PC ＝12.(12分) ∴ AF FC ＝DG GC ＝12.(14分)17. 解：(1) ∵ ∠ABC ＝120°，∠ACB ＝θ，∴ ∠BAC ＝60°－θ. ∵ ∠BAD ＝90°，∴ ∠CAD ＝30°＋θ.∵ ∠ACD ＝60°，∴ ∠ADC ＝90°－θ.(2分)在△ACD 中，∵ AD sin ∠ACD ＝ACsin ∠ADC，∴ AC ＝24cos θsin60°＝163cos θ.(5分)在△ABC 中，∵ AB sin ∠ACB ＝ACsinB，∴ AB ＝ACsin θsin120°＝16sin2θ，即h ＝16sin2θ.(7分)(2) 在△ABC 中，∵ BC sin ∠BAC ＝ACsinB，∴ BC ＝ACsin （60°－θ）sin120°＝32cos θsin(60°－θ)＝83＋83cos2θ－8sin2θ.(10分)则S ＝AB ＋BC ＝83＋83cos2θ＋8sin2θ＝83＋16sin (2θ＋60°)．(12分) ∵ 30°≤θ≤45°，∴ 120°≤2θ＋60°≤150°. ∴ 当θ＝45°时，S 取得最小值为(83＋8) m ．(14分)18. 解：(1) 设F(－c ，0)，∵ A(a ，0)，B(0，－b)，C(0，b)，∴ FC →＝(c ，b)，BA →＝(a ，b)．∵ FC →²BA →＝5，∴ ac ＋b 2＝5. ①(2分) ∵ c a ＝12， ② 由①②，得a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.∴ 椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 线段FC 的方程为y ＝3x ＋3(－1≤x ≤0)，设P(x ，y)，则PA →²PB →＝x(x －2)＋y(y ＋3)＝x(x －2)＋3(x ＋1)(x ＋2)＝4⎝⎛⎭⎫x ＋782＋4716.(8分)当PA →²PB →取得最小值时，x ＝－78，则P ⎝⎛⎭⎫－78，38.(10分)(3) 设M(0，m)，由NF →＝λFM →，得N(－1－λ，－λm)．(12分) 代入椭圆E 的方程，得3(－1－λ)2＋4(－λm)2－12＝0. 即4(λm)2＝12－3(1＋λ)2.(14分)∵ m ∈[－3，3]，∴ 0≤4(λm)2≤12λ2. 则0≤12－3(1＋λ)2≤12λ2.解得35≤λ≤1，即实数λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤35，1.(16分) 19. 解：(1) 分别令n ＝1、2，代入条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝A ＋B ＋1，2a 2＋a 1＝4A ＋2B ＋1.(2分)又a 1＝32，a 2＝94，解得⎩⎨⎧A ＝12，B ＝32.(4分)∵ a n ＋S n ＝12n 2＋32n ＋1， ①∴ a n ＋1＋S n ＋1＝12(n ＋1)2＋32(n ＋1)＋1. ②②－①，得2a n ＋1－a n ＝n ＋2.(6分)则a n ＋1－(n ＋1)＝12(a n －n)．∵ a 1－1＝12≠0，∴ 数列{a n －n}是首项为12，公比为12的等比数列．(8分)a n －n ＝12n ，则a n ＝n ＋12n .(10分)(2) ∵ 数列{a n }是等差数列，∴ 可设a n ＝dn ＋c ，则S n ＝n （d ＋c ＋dn ＋c ）2＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋d 2n.∴ a n ＋S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋3d 2n ＋c.(13分) 则A ＝d 2，B ＝c ＋3d2，c ＝1.∴ B －1A＝3.(16分)20. 解：(1) f(1)≤f(0)，即1－2(1－a)φ(1－a)≤0.当a ＞1时，φ(1－a)＝－1，∴ 1＋2(1－a)≤0，a ≥32；(2分)当a ≤1时，φ(1－a)＝1，∴ 1－2(1－a)≤0，a ≤12.综上，a ≤12或a ≥32.(4分)(2) 当x ＝1时，f(x)＝f(1)．由题意， x ∈[0，1)，f(x)≥f(1)恒成立．(5分) 1° 当a ≥1时，由f(x)≤f(1)，得x 2＋2x(x 2－a)≥3－2a ，即2a(x －1)≤2x 3＋x 2－3. ①∵ x ∈[0，1)，①式即2a ≥2x 3＋x 2－3x －1，即2a ≥2x 2＋3x ＋3.(7分)上式对一切x ∈[0，1)恒成立，∴ 2a ≥2＋3＋3，则a ≥4.(8分)2° 当0＜a ≤1时，由f(x)≤f(1)，得x 2－2x(x 2－a)φ(x 2－a)≥2a －1. (ⅰ) 当a ≤x ≤1时，x 2－2x(x 2－a)≥2a －1，即2a(x －1)≥2x 3－x 2－1. ②∵ x ∈[0，1)，②式即2a ≤2x 3－x 2－1x －1，即2a ≤2x 2＋x ＋1.(10分)上式对一切x ∈[0，1)恒成立，∴ 2a ≤2a ＋a ＋1，此式恒成立．(11分) (ⅱ) 当0≤x ＜a 时，x 2＋2x(x 2－a)≥2a －1，即2a(x ＋1)≤2x 3＋x 2＋1. ③∵ x ∈[0，1)，③式即2a ≤2x 3＋x 2＋1x ＋1，即2a ≤2x 2－x ＋1.(13分)1) 当a ≤14，即0＜a ≤116时，2a ≤2(a)2－a ＋1，∴ a ≤1.结合条件得0＜a ≤116.(14分)2) 当a ＞14(0＜a ≤1)，即 116＜a ≤1时，2a ≤1－18，∴ a ≤716.结合条件得116＜a ≤716.由1)、2)，得0＜a ≤716.(15分)综上，得0＜a ≤716或a ≥4.(16分)无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷1. {x|0＜x ≤1} 解析：集合A ＝(0，2)，∁U B ＝(－∞，1]，A ∩∁U B ＝{x|0＜x ≤1}．2. －i 解析：1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝2－2－5i5＝－i.3. 64 解析：320400＋320＋280³200＝64.本题主要考查统计中的抽样方法及运算能力，属于容易题．4. 17 解析：S ＝2³7＋3＝17.5. 1 解析：∠B ＝30°，根据正弦定理得BC sinA ＝AC sinB ，AC ＝2sin45°³sin30°＝1. 本题主要考查三角形中的正弦定理及三角形内角和公式等基础知识，属于容易题．6. [－6，2] 解析：a ＋b ＝(3，2＋k), |a ＋b|＝9＋k 2＋4k ＋4≤5，k 2＋4k －12≤0，－6≤k ≤2.本题主要考查向量的模及解一元二次不等式；考查转化运算能力．属于中等题．7. －1≤a ≤6 解析：綈p 是綈q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，命题p 对应的实数集合为A ＝(a －4，a ＋4), 命题q 对应的实数集合为B ＝(2，3)，B A ，⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，上面两个等号不能同时成立，所以－1≤a ≤6.本题考查命题及真假判定，考查等价转化的思想．属于中等题．8. 2 解析：画出区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤4是一个等腰直角三角形，其面积为8，当直线x ＋y ＝a 与y 轴正半轴相交时，所经过平面区域的面积才可能为7，x ＋y ＝a 与y 轴交点坐标为(0，a)，与直线y －x ＝4的交点横坐标为a －42，那么12⎪⎪⎪⎪（4－a ）·a －42＝1，所以a ＝2，则t ＝2.本题考查线性规划问题，涉及到求直线交点、三角形面积等．属于中等题．9. (x －2)2＋(y ＋2)2＝1 解析：圆C 1的圆心(－1，1)，半径为1，设圆C 2的圆心(a ，b)，半径也为1，则⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1³1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 10. －30 解析：a 23＝a 1a 4，即(a 1－4)2＝a 1(a 1－6) a 1＝8，a 20＝8－(20－1)³2＝－30.11. y 2＝3x 解析：过点B 作准线的垂线，垂足为D ，则根据抛物线定义，BF ＝BD ，在直角三角形BCD 中，BC ＝2BD ，故∠DBC ＝60°，所以直线AF 的倾斜角为60°，直线AF 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2.又AF ＝3，所以x A ＝3－p2，y A ＝3(3－p)．代入抛物线方程得p ＝32，故抛物线方程为y 2＝3x.本题考查抛物线的定义、方程、直线方程．属于中等题．12. π6 解析：f′(x)＝－3sin(3x ＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x ＋φ) －3sin(3x ＋φ)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ－π6是奇函数，所以φ－π6＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又0＜φ＜π，所以k ＝0，φ＝π6.本题考查复合函数的导数、三角函数的性质及三角变换．属于中等题．13. 85 解析：A 、B 两点分别位于x 轴的上方和下方，在对应法则f ：P(m ，n)→P′(m ，2|n|)变换下，A ′、B′的坐标分别为(－2，12)、(6，4)，线段AB 与x 轴的交点为N(4，0)，点N 在对应法则f ：P(m ，n)→P′(m ，2|n|)变换下不变，点M 的对应点M′经过的路线的长度为A′N ＋B′N ＝（4＋2）2＋122＋（6－4）2＋42＝8 5.本题考查点的坐标及平面上两点间距离问题．考查了数形结合与变换的思想及阅读理解与推理运算能力．属于难题．14. 233 解析：y ＝（1－t ）x －t 2x ＝(1－t)－t 2x ，显然t ≠0，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ′＝t 2x2>0，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调增，所以[a ，b] (－∞，0)或[a ，b] (0，＋∞)，所以⎩⎨⎧a<b<0，（1－t ）a －t 2a ＝a ，（1－t ）b －t 2b ＝b ，或⎩⎨⎧0<a<b ，（1－t ）a －t 2a ＝a ，（1－t ）b －t2b ＝b.所以方程（1－t ）x －t 2x＝x 有两个不同的负实根或两个不同的正实根，即方程x 2－(1－t)x ＋t 2＝0有两个不同的负实根或两个不同的正实根，所以Δ＝(1－t)2－4t 2>0，－1<t<13，a ＋b ＝1－t ，ab ＝t 2，所以方程只能有两个不同的正实根，所以b －a ＝（a ＋b ）2－4ab ＝－3t 2－2t ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫t ＋132＋43≤233.本题主要考查函数的性质及应用．考查了函数与方程、不等式的思想及灵活运用相关基础知识解决问题的能力．属于难题．15. 解：(1) f(x)＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sinxcosx ＋12＝1－cos2x 2＋1＋32sin2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2，(6分)∵ ω＝2，∴ T ＝2π2＝π.(8分)(2) ∵ x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴ π3≤2x －π6≤5π6，(9分)∴ 12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，(11分) ∴ 52≤f(x)≤3.(12分) ∵ 方程f(x)－t ＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，∴ 52≤t ≤3，∴ 实数t 的取值范围为⎣⎡⎦⎤52，3.(14分) 16. (1) 证明：∵ BD ⊥平面PAC ，PC 平面PAC ， ∴ PC ⊥BD.(2分)在△PAC 中，AC ＝10，PA ＝6，cos ∠PCA ＝45，∴ PA 2＝PC 2＋AC 2－2PC ³ACcos ∠PCA ，即36＝PC 2＋100－16PC ，∴ PC ＝8. ∴ AC 2＝PC 2＋PA 2， ∴ PC ⊥PA.(4分) 连结MO ，∵ M 是PC 的中点，O 是AC 的中点， ∴ PA ∥MO ，∴ PC ⊥MO.(6分) 又BD ∩MO ＝O ，∴ PC ⊥平面BMD.(8分)(2) 解：由题意，得V M BCD ＝V C MBD ＝13S △MBD CM ＝16BD ³MO ³CM ＝14，(10分)∵ CM ＝12PC ＝4，MO ＝12PA ＝3，∴ BD ＝7，(12分)∴ 菱形ABCD 的边长AB ＝AO 2＋OB 2＝1492.(14分)17. 解：(1) 如图，在等腰梯形CDEF 中，DH 是高．依题意：DH ＝12AB ＝12x ，EH ＝DH tan ∠FED ＝43³12x ＝23x ，(3分)∴ 392＝xy ＋12⎝⎛⎭⎫x ＋x ＋43x 12x ＝xy ＋56x 2，∴ y ＝392x －56x.(6分) ∵ x ＞0，y ＞0，∴ 392x －56x ＞0，解之得0＜x ＜3655.∴ 所求表达式为y ＝392x －56x ⎝⎛⎭⎫0＜x ＜3655.(7分)(2) 在Rt △DEH 中，∵ tan ∠FED ＝34，∴ sin ∠FED ＝35，∴ DE ＝DH sin ∠FED ＝12x ³53＝56x ，(9分)∴ l ＝(2x ＋2y)＋2³56x ＋⎝⎛⎭⎫2³23x ＋x ＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x ＝39x ＋133x ≥239x ³133x ＝26，(11分) 当且仅当39x ＝133x ，即x ＝3时取等号，(12分)此时y ＝392x －56x ＝4，∴ AB ＝3 m ，BC ＝4 m 时，能使整个框架所用材料最少．(14分)18. 解：(1) 由题意：c 2a 2＝34，∴ c 2＝34a 2，b 2＝14a 2.(2分)又P(2，1)在椭圆上，∴ 4a 2＋1b 2＝1，∴ a 2＝8，b 2＝2，∴ 椭圆C 方程为x 28＋y22＝1.(4分)(2) 设直线PA 的方程为y －1＝k(x －2)，代入椭圆方程，得 (1＋4k 2)x 2－8(2k －1)x ＋16k 2－16k －4＝0.(6分)∵ 方程一根为2，∴ x A ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y A ＝－4k 2－4k ＋11＋4k 2，∴ A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－8k －21＋4k 2，－4k 2－4k ＋11＋4k 2.(8分)∵ PA 与PB 倾斜角互补，∴ k PA ＝－k PB ，∴ 同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋8k －21＋4k 2，－4k 2＋4k ＋11＋4k 2，(10分)∴ k AB ＝y B －y A x B －x A ＝12，(12分)设直线AB 的方程为y ＝12x ＋m ，即x －2y ＋2m ＝0，M(－2m ，0)，N(0，m)(m ＜0)， d ＝|2－2＋2m|5＝|2m|5，MN ＝4m 2＋m 2＝5|m|，∴ S △PMN ＝12|2m|55|m|＝32，∴ m ＝－62，m ＝62(舍去)，(15分)∴ 所求直线AB 的方程为x －2y ＋6＝0.(16分) 19. 解：(1) ∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴ (S n ＋1－S n )(S n ＋1＋S n －2)＝2，即S 2n ＋1－S 2n －2(S n ＋1－S n )＝2，∴ (S n ＋1－1)2－(S n －1)2＝2，且(S 1－1)2＝1， ∴ {(S n －1)2}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴ S n ＝1＋2n －1.(4分)(2) ① n ＝1时，S 1＝1＋1＝2＝b 1， n ＝5时，S 5＝1＋3＝4＝b 2，n ＝13时，S 13＝1＋5＝6＝b 3.(10分)② ∵ 2n －1是奇数，S n ＝1＋2n －1为有理数，则2n －1＝2k －1，∴ n ＝2k 2－2k ＋1，(12分) 当k ＝20时，n ＝761；当k ＝21时，n ＝841；(14分)∴ 存在N ∈[761，840]，当n ≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项．(16分) 20. 解：(1) 由P(2，c)为公共切点，可得 f(x)＝ax 2＋1(a ＞0)，则f′(x)＝2ax ，k 1＝4a ，g(x)＝x 3＋bx ，则g′(x)＝3x 2＋b ，k 2＝12＋b ，(2分) 又f(2)＝4a ＋1，g(2)＝8＋2b ，(3分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝12＋b ，4a ＋1＝8＋2b ，解得a ＝174，b ＝5.(5分)(2) ① h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，则h′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.∵ 函数f(x)＋g(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a 2，－b3，∴ x ∈⎣⎡⎦⎤－a 2，－b3时，有3x 2＋2ax ＋b ≤0恒成立．(6分)此时x ＝－b3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的一个根，∴ 3⎝⎛⎭⎫－b 32＋2a ⎝⎛⎭⎫－b3＋b ＝0，得a 2＝4b ，(7分)∴ h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.又函数h(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞上单调递增， (ⅰ) 若－1≤－a 2，即a ≤2时，最大值为h(－1)＝a －a24；(8分)(ⅱ) 若－a 2＜－1＜－a6，即2＜a ＜6时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1；(9分) (ⅲ) 若－1≥－a6时，即a ≥6时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1.(10分) 综上所述，M(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －a 24，0＜a ≤2，1，a ＞2.(11分)② 由①可知h(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞上单调递增， ∴ h ⎝⎛⎭⎫－a 2为极大值，h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1，h ⎝⎛⎭⎫－a 6为极小值，h ⎝⎛⎭⎫－a 6＝－a354＋1.(13分) ∵ |f(x)＋g(x)|≤3，在x ∈[－2，0]上恒成立， 又h(0)＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧h （－2）≥－3，h ⎝⎛⎭⎫－a 6≥－3，即⎩⎨⎧－12a 2＋4a －7≥－3，－a 354＋1≥－3， 解得⎩⎨⎧4－22≤a ≤4＋22，a ≤6，(15分)∴ a 的取值范围是4－22≤a ≤6.(16分)。
上海市2014届高三高考数学系列模拟卷(2)答案--含答案
2013学年上海高考数学模拟试卷答题卡B一、填空题 1. {}0,2 2. i 3. 04.89 5. 30- 6. 33(,)33-7. 2± 8. 30 9. 120010. 322-+ 11. 1：24 12. ()()+∞⋃-,50,513. [2,)+∞ 14. )111(222210nx x x a +++ 62π二、选择题15. A B C D 16. A B C D 17. A B C D 18. A B C D21.(本题满分12分）（I ）．因为34cos ,sin 55θθ==,所以24sin 22sin cos 25θθθ==（6分）（II ）因为AOB ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=,所以cos cos(60)∠=∠+BOC AOC 34310-=同理, 433sin 10BOC +∠=,故点A 的坐标为343433(,)1010-+（6分）19.(本题满分14分）（I ）由题设AB AC SB SC====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以22OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △ 为等腰三角形，SO BC ⊥，且22SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所 以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ．（7分）（II ）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SOSO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM⊥，又32AM SA =，故26sin 33AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为33（7分）20.(本题满分14分）（I ）157a b =．证明如下：设11a b a ==，则0a ≠，且22a d aq +=……⑴，46a d aq +=……⑵，由⑴，⑵得：()2423a a q q =-，从而42320q q -+=，∴22q =或21q =．（∵0q >，∴1q =，此时0d =，不可，舍之）∴2 2.q =代入⑴得2a d =．61517148,8a a d a b aq a =+===，因此，157a b =．（7分）（II ）假设存在正整数,m n ，使得n m a b =，即()11m a n d aq-+-=，由(1)可知：22,2q a d ==，∴()1212m d n d dq -+-=，∴112m n q -+=，∴()()1221114422m m m n q--++==⨯=， 即存在正整数,m n ，使得n m a b =，,m n 之间所满足的关系式为()2112m n ++=，,m n N +∈．事实上，当()2112m n ++=，,m n N +∈时，有()()121n a a n d d n d =+-=+-()1212m n d d +=+=⋅()11212222m m m m d qa aqb ---=⋅=⋅==．故知结论成立． （7分）22.(本题满分16分）（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．23.(本题满分18分）（I ）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b 2，则226b =，∴2log 9b =（4分）。
2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)
2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为． 【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是． 【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点，则ϕ的值是． 【答案】6π6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是． 【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为． 【答案】255510．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是． 【答案】202⎛⎫- ⎪⎝⎭，11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是． 【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的 值是． 【答案】2213．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是． 【答案】()102，14．若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是．【答案】624- 二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14 分)已知()2απ∈π，，5sin 5α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分14分.（1）∵()5sin 25ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin 5αα=--=-()210sin sin cos cos sin (cos sin )444210αααααπππ+=+=+=-；（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666252510ααα5π5π5π+-=+=-⨯+⨯-=-．16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC ==∴222DE EF DF +=∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵ACEF E =∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y += （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，∵2B F A ，，三点共线，∴b y b c x +=--，即0bx cy bc --=① ∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c ⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， ∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a cbc b c b c a b --+=，化简得225c a =，∴55c a =, 故离心率为5518．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=． （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=--k AB =603,04b a -=- 解得a =80，b=120. 所以BC =22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F . 因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35.因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803. CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45， 又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ， 故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2ea >+ ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a aa a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2ea m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->； 当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-（3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点 证明:∠OCB =∠D .本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值． 【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为212222x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB = D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X === 3131453639C C C C 13(3)C 63P X +=== 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==∴X 的概率分布列为X 2 3 4 P111413631126故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=23．(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()124442n n nf f -πππ+=成立．23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+. 下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. (i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+， 所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ). 所以12()()4442n n nf f πππ-+=(n ∈*N ).。
2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)
2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点，则ϕ的值是 ．【答案】6π6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ． 【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是 ． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 【答案】255510．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】202⎛⎫-⎪⎝⎭， 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是 ． 【答案】2213．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a=-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()102， 14．若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．【答案】624-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14 分)已知()2απ∈π，，5sin 5α=．（1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分14分.（1）∵()5sin 25ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin 5αα=--=-()210sin sin cos cos sin (cos sin )444210αααααπππ+=+=+=-；（2）∵2243sin 22sin cos cos2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666252510ααα5π5π5π+-=+=-⨯+⨯-=-．16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b += ∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y += （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，， ∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c ⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， ∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a cbc b c b c a b --+=，化简得225c a =，∴55c a =, 故离心率为5518．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=--k AB =603,04b a -=- 解得a =80，b=120. 所以BC =22(17080)(0120)150-+-=.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F . 因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803. CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=.因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45， 又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半 径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ， 故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10xx-+->，即e 1e e 1xx x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立 令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2e a >+∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a a a a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2e a m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->； 当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点 证明:∠OCB =∠D .本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值． 【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为212222x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长． 【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB = D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ． 22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==（2）X 的所有可能取值为432，，，则 4449C 1(4)C 126P X === 3131453639C C C C 13(3)C 63P X +=== 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==∴X 的概率分布列为X 2 3 4 P111413631126故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=23．(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x =>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ． （1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()124442n n nf f -πππ+=成立．23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+. 下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. (i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+， 所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ). 所以12()()4442n n nf f πππ-+=(n ∈*N ).。
2014实战演练·高三数学附加分-参考答案与解析
2014实战演练·高三数学附加分参考答案与解析南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试21. A.解：连结OC ，BE.因为AB 是圆O 的直径， 所以BE ⊥AE.因为AB ＝8，BC ＝4，所以OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形． 所以∠BOC ＝60°.(4分) 又直线l 切圆O 与于点C ， 所以OC ⊥l.因为AD ⊥l ，所以AD ∥OC.所以∠BAD ＝∠BOC ＝60°.(8分)在Rt △BAE 中，因为∠EBA ＝90°－∠BAE ＝30°， 所以AE ＝12AB ＝4.(10分)B. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x)－4.(2分)因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x ＝1.(4分)由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.(6分)设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，从而y ＝－x.(8分) 取x ＝1，得y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)C. 解：圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4， 所以圆心的直角坐标为(－1，0)，半径为2.(4分) 又直线方程可化为x ＋y －7＝0，(6分)所以圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝42，所以AB 的最小值为42－2.(10分) D. 证明：因为a 1是正数，所以1＋a 1≥2a 1＞0.(5分)同理1＋a k ≥2a k ＞0(k ＝2，3，4，…，n)．因此(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时等号成立． 因为a 1·a 2·…·a n ＝1，所以(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2n .(10分)22. 解：(1) 记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P ， 则P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13⎝⎛⎭⎫C 12·12·12＋⎝⎛⎭⎫23·23(12·12)＝13. 故该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为13.(4分)(2) 该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝⎛⎭⎫23·23P 22＝89P 2－49P 22. 因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数X ～B(12，P)，所以EX ＝12P.(7分) 由EX ≥5，得12⎝⎛⎭⎫89P 2－49P 22≥5，解得34≤P 2≤54. 因为P 2≤1，所以P 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤34，1.(10分)23. (1) 解：因为T r ＋1＝C r n ·2n －r x r2. 令r2＝3，得r ＝6， 故x 3的系数为C 6n ·2n －6＝14，解得n ＝7.(4分) (2) 证明：由二项式定理可知(2＋3)n ＝C 0n 2n ＋C 1n 2n －1(3)＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C r n 2n －r (3)r ＋…＋C n n (3)n ＝[C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…]＋3(C 1n 2n －1＋C 3n ·2n －3·3＋…)．(6分) 令x ＝C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…， y ＝C 1n 2n －1＋C 3n·2n －3·3＋…， 显然x ∈N *，y ∈N *.则(2＋3)n ＝x ＋3y ，(2－3)n ＝x －3y ， 所以(2＋3)n ·(2－3)n ＝x 2－3y 2＝1. 令s ＝x 2，则必有s －1＝x 2－1＝3y 2.从而(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.(10分)南通市2013届高三第一次调研测试21. A. 证明：(1) 连BE ，则∠E ＝∠C. 又∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴ △ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC. ∴ AB ·AC ＝AE·AD.(5分)(2) 连结OF ，∵ F 是BC ︵的中点，∴ ∠BAF ＝∠CAF.由(1) 得∠BAE ＝∠CAD ，∴ ∠FAE ＝∠FAD.(10分)B. 解：设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，(3分)设P(x′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上的对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y′ x′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y′，y ＝x′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝－12x.(7分)又点P(x′，y ′)在曲线C ：y 2＝2x 上， ∴ ⎝⎛⎭⎫－12x 2＝2y ，即y ＝18x 2.(10分) C. 解：曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1.(2分)直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.(4分)设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是 d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3|2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1|2.(7分)因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，即θ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 综上所述，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大．(10分) 注：凡给出点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－62，－22，不扣分． D. 解：∵ a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴ 4a 2＋b 2＝(2a ＋b)2－4ab ＝1－4ab ，(2分) 且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，(5分) ∴ S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab)＝2ab ＋4ab －1≤2－12，当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．(10分)22. (1) 解：解法1：设M(x ，y)，P(x 1，0)，Q(0，y 2)，则 由PR →·PM →＝0，PQ →＝12QM →及R(0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1（x －x 1）＋（－3）y ＝0，－x 1＝12x ，y 2＝12y －12y 2，化简，得x 2＝4y.(4分)所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分) 解法2：设M(x ，y)．由PQ →＝12QM →，得P ⎝⎛⎭⎫－x 2，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，y 3. 所以，PR →＝⎝⎛⎭⎫x 2，－3，PM →＝⎝⎛⎭⎫3x 2，y . 由PR →·PM →＝0，得⎝⎛⎭⎫x 2，－3·⎝⎛⎭⎫32x ，y ＝0，即34x 2－3y ＝0，化简得x 2＝4y.(4分) 所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分)(2) 证明：由题意，得AB →·CD →＝AB·CD ，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F. 设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则AB ＝FA －FB ＝y 1＋1－1＝y 1.(7分) 同理CD ＝y 2.设直线l 的方程为x ＝k(y －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k （y －1），y ＝14x 2，得y ＝14k 2(y －1)2，即k 2y 2－(2k 2－4)y ＋k 2＝0.所以，AB →·CD →＝AB·CD ＝y 1y 2＝1.(10分)23. 解：(1) 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1. 令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .因为b 1＝－5为奇数，b n 也是奇数且只能为－1，所以，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，n ＝1，0，n ≥2.(3分)(2) 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.(4分)下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k(k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，故a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14（t －1）·44t －5＋…＋(－1)r C r 4（t －1）·44t －4－r ＋…－C 4t －34（t －1）·4，即m ∈Z ，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．所以由数学归纳法原理知命题对n∈N*成立．(10分)苏州市2013届高三调研测试21. A. 证明：连结OP ，∵ 直线l 切圆O 于点P ， ∴ OP ⊥l.(2分)∵ AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴ OP ∥AC ∥BD.又OA ＝OB ，∴ PC ＝PD.(5分) ∵ OP ∥AC ，∴ ∠OPA ＝∠CAP.(8分) ∵ OP ＝OA.∴ ∠OPA ＝∠OAP. 则∠CAP ＝∠OAP.∴ AP 平分∠CAB.(10分)B. 解：设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 21属于特征值－1的一个非零特征向量．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 x 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，(2分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋xb ＝－a ，2a ＋b ＝－b ，解得b ＝－a(由条件知a ≠0)，x ＝2.(5分) 因此M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221.特征方程为λ2－2λ－3＝0.(8分) ∵ λ≠－1，∴ λ＝3.(10分)C. 解：A(4，0)，B(0，2)，AB ＝2 5. 则直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.(2分) 设P(4cos θ，2sin θ)，θ为锐角． 则点P 到直线AB 的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－4|5＝|42sin （θ＋45°）－4|5.(5分)∵ θ为锐角，∴ 45°＜θ＋45°＜135°. ∴22＜sin (θ＋45°)≤1，0＜42sin (θ＋45°)－4≤42－4. 则当θ＝45°时，d 取得最大值为42－45.(8分)此时，△PAB 面积S 取得最大值为 12×25×42－45＝42－4.(10分)D. 证明：∵ a 、b 、x 、y 都是正数，∴ (ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)(2分) ≥ab(2xy)＋xy(a 2＋b 2)(5分) ＝(a ＋b)2xy.(8分)∵ a ＋b ＝1，∴ (a ＋b)2xy ＝xy.则(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy 成立．(10分)22. 解：(1) “第一次取得正品且第二次取得次品”的概率为 8×210×9＝845.(2分) (2) X 的取值为0、1、2，则 P(X ＝0)＝8×7×610×9×8＝715；(4分)P(X ＝1)＝8×7×2×310×9×8＝715；(6分)P(X ＝2)＝8×2×1×310×9×8＝115.(8分)故X 的分布列为：数学期望E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.(10分)23. 解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0)．(2分)设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)． ∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3，0，1)．(4分) 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ， ∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535.(6分)(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， ∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，m ＝(0，3，2)．(8分) 设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|m |＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265， 则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.(10分)无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷21. A. 证明：连结OD ，∵ OD ＝OA ，∴ ∠OAD ＝∠ODA. ∵ AD 平分∠BAE ，∴ ∠OAD ＝∠EAD ，(3分) ∴ ∠EAD ＝∠ODA ，∴ OD ∥AE.(5分) 又AE ⊥DE ，∴ DE ⊥OD ，(8分)又OD 为半径，∴ DE 是圆O 的切线．(10分)B. 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2.(4分)设A(a ，b)，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4.(8分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A(－2，3)．(10分)C. 解：圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2，即ρ＝－2sin θ，ρ2＝－2ρsin θ，(2分)∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，∴ 圆心C(0，－1)．(4分) 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，∴ 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.(7分)∵ 圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－1－2|2＝322，(9分)∴ 动点M 到直线l 距离的最大值为322＋1.(10分)D. 证明：∵ |x ＋1|＋|x －1|＜4，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，2＜4，(2分) 解得－2＜x ＜－1或－1≤x ≤1或1＜x ＜2，(4分)∴ 4(a ＋b)2－(4＋ab)2＝－a 2b 2＋4a 2－16＋4b 2＝(a 2－4)(4－b 2)． ∵ a 、b ∈M ，即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2， ∴ (a 2－4)(4－b 2)＜0，(8分) ∴ 4(a ＋b)2＜(4＋ab)2， ∴ 2|a ＋b|＜|4＋ab|.(10分)22. 解：(1) 设Y Y 的分布列如下：A 表示事件“银行工作人员在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A 对应两种情形： ① 办理第一位业务所需的时间为2 min ，且办理第二位业务所需的时间为3 min ； ② 办理第一位业务所需的时间为3 min ，且办理第二位业务所需的时间为2 min ； ∴ P(A)＝P(Y ＝2)P(Y ＝3)＋P(Y ＝3)P(Y ＝2)＝15×310＋310×15＝325.(3分)(2) X 的取值为0、1、2，X ＝0对应办理第一位业务所需的时间超过4 min ， ∴ P(X ＝0)＝P(Y ＞4)＝110，(5分)X ＝1对应办理第一位业务所需的时间为2 min 且办理第二位业务所需的时间超过2 min ，或办理第一位业务所需的时间为3 min 或办理第一位业务所需的时间为4 min ，∴ P(X ＝1)＝P(Y ＝2)P(Y ＞2)＋P(Y ＝3)＋(Y ＝4)＝15×45＋310＋25＝4350.(6分)X ＝2对应办理两位顾客业务时间均为2 min ， ∴ P(X ＝2)＝P(Y ＝2)P(Y ＝2)＝15×15＝125.(7分)∴ X 的分布列为：(9分)E(X)＝0×110＋1×4350＋2×125＝4750.(10分)23. (1) 解：由已知，得f′(x)＝x ＋1x.当x ∈[1，e]时，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，(2分) 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f(e)、f(1)．因为f(1)＝12，f(e)＝e 22＋1，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为e 22＋1、最小值为12.(4分)(2) 证明：当n ＝1时，不等式成立，(5分) 当n ≥2时，[g(x)]n －g(x n )＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x n－⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n＝C 1n xn－11x ＋C 2n x n －21x 2＋…＋C n －1n x 1x n －1＝C 1n x n －2＋C 2n x n －4＋…＋C n－1n1x n－2＝12[C 1n ⎝⎛⎭⎫x n －2＋1x n －2＋C 2n⎝⎛⎭⎫x n －4＋1x n －4＋…＋ C n －1n⎝⎛⎭⎫1x n －2＋x n －2]．(9分) 由已知x ＞0，所以[g(x)]n －g(x n )≥C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＝ 2n －2.(10分)常州市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：连结OF. 因为OC ＝OF ，所以∠OCF ＝∠OFC. 因为DF 切圆O 于F ， 所以∠OFD ＝90°.所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°.(4分)因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°. 所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ，所以DF ＝DE.(8分) 因为DF 是圆O 的切线，所以DF 2＝DB·DA. 所以DE 2＝DB·DA.(10分)B. 解：因为矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 化简，得c ＋d ＝6.(4分)因为矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，化简，得3c －2d ＝－2.(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，故A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12.(10分)C. 解：将曲线C 1、C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2，(4分) ∵ 圆心C 2到直线C 1的距离 d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32＞2，(8分) ∴ 曲线C 1与C 2相离．(10分)D. 证明：x 、y 、z 均为正实数，由柯西不等式，得[(y ＋z)＋(x ＋z)＋(x ＋y)]⎝⎛⎭⎫x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z2x ＋y ≥(x ＋y ＋z)2，(6分)∵ x ＋y ＋z ＝1，∴ x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ≥12.(10分)22. 解：(1) 设口袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C 2nC 29，由题意知C 2nC 29＝512，化简得n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故口袋中原有白球的个数为6.(4分)(2) 由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. P(X ＝1)＝69＝23；P(X ＝2)＝3×69×8＝14；P(X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114；P(X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.(8分)所以取球次数X 的概率分布列为：X 1 2 3 4 P2314114184所求数学期望为：E(X)＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.(10分)23. 解：(1) a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，a 4＝15.(2分) (2) a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(4分)证明如下：当n ＝1时显然成立；设n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝16(k 3＋5k ＋6)．(5分)则当n ＝k ＋1时，再添上第k ＋1个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第k ＋1个平面最多划分成12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个，(7分)从而a k ＋1＝a k ＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]＝16(k 3＋5k ＋6)＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2] ＝16[(k ＋1)3＋5(k ＋1)＋6]， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 综上所述，对n ∈N *，a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(10分)镇江市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：∵ AE ＝AC ，∠CDE ＝∠AOC ，(2分)又 ∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，(6分) 从而∠PFD ＝∠OCP.(7分)在△PDF 与△POC 中，∠P ＝∠P ，∠PFD ＝∠OCP ， 故△PDF ∽△POC.(10分)B. 解：设P(x 0，y 0)为曲线xy ＝1上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点P′(x′0，y ′0)， 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－2222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，(4分) 即⎩⎨⎧x′0＝22（x 0＋y 0），y ′0＝22（y 0－x 0），(6分)所以⎩⎨⎧x 0＝22（x′0－y′0），y 0＝22（x′0＋y′0），(8分)又点P 在曲线xy ＝1上，所以x 0y 0＝1，故有x′20－y′20＝2，即所得曲线方程为x 2－y 2＝2.(10分) C. 解：将极坐标方程转化成直角坐标方程： ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94；(4分) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t ，即2x －y ＝3，(6分) d ＝|2×32－0－3|22＋（－1）2＝0，(8分)即直线经过圆心，所以直线截得的弦长为3.(10分)D. 解：(1) 由题设知：|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象(如图所示)，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(5分)(2) 由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0， 即|x ＋1|＋|x －2|≥－a.由图知|x ＋1|＋|x －2|≥3， ∴ －a ≤3，∴ a ≥－3.(10分)22. 解：设直线方程为y ＝x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)， 将y ＝x ＋m 代入y 2＝2x ，得x 2＋(2m －2)x ＋m 2＝0，(2分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －2）2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝2－2m ，x 1x 2＝m 2，(6分) ∴ m ＜12，x ＝x 1＋x 22＝1－m ＞12，y ＝x ＋m ＝1，(9分)线段AB 中点M 的轨迹方程为y ＝1⎝⎛⎭⎫x ＞12.(10分) 23. (1) 解：∵ 函数f(x)＝ln(2－x)＋ax 在区间(0，1)上是增函数， ∴ f ′(x)＝－12－x ＋a ≥0在区间(0，1)上恒成立，(2分)∴ a ≥12－x.又g(x)＝12－x在区间(0，1)上是增函数，∴ a ≥g(1)＝1，即实数a 的取值范围为a ≥1.(3分) (2) 证明：先用数学归纳法证明0＜a n ＜1. 当n ＝1时，a 1∈(0，1)成立，(4分) 假设n ＝k 时，0＜a k ＜1成立，(5分)当n ＝k ＋1时，由(1)知a ＝1时，函数f(x)＝ln(2－x)＋x 在区间(0，1)上是增函数， ∴ a k ＋1＝f(a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴ 0＜ln2＝f(0)＜f(a k )＜f(1)＝1，(7分) 即0＜a k ＋1＜1成立，∴ 当n ∈N *时，0＜a n ＜1成立．(8分) 下证a n ＜a n ＋1.∵ 0＜a n ＜1，∴ a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )＞ln1＝0.(9分) ∴ a n ＜a n ＋1.综上所述，0＜a n ＜a n ＋1＜1.(10分)。
江苏省2014届高考数学附加题专项测试题
江苏省2013届高考数学附加题专项测试题(1)江苏高考考试说明中附加题圆锥曲线与方程中抛物线为B 级要求，2011年、2012年高考中均没有考查，预测2013年高考中可能会考查；(2)江苏高考考试说明附加题中对空间向量与立体几何是B 级要求，2009年、2010年、2012年高考没有考查，2011年高考考查空间角的概念，求线段的长.预测2013年高考会考[典例1]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过焦点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；(3)设过点M (m,0)(m >0)的直线交抛物线C 于D ，E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．[解] (1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px .因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.(3)法一：设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0.将x ＝yk ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1,2＝1±1＋2mk 2k.由ME ＝2DM ，知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)， 化简得k 2＝4m，因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 24(1＋2mk 2)k 2＝94(m 2＋4m )． 所以f (m )＝32m 2＋4m (m >0)．法二：设D ⎝⎛⎭⎫s 22，s ，E ⎝⎛⎭⎫t22，t ， 由点M (m,0)及ME ＝2DM得 12t 2－m ＝2⎝⎛⎭⎫m －s 22，t －0＝2(0－s )．因此t ＝－2s ，m ＝s 2，所以 f (m )＝DE ＝ ⎝⎛⎭⎫2s 2－s 222＋(－2s －s )2 ＝32m 2＋4m (m >0)．本小题主要考查直线、抛物线方程及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力． [演练1](2012·徐州信息卷)过直线x ＝－2上的动点P 作抛物线y 2＝4x 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)若切线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值； (2)求证：直线AB 恒过定点．证明：(1)不妨设A (t 21，2t 1)(t 1>0)，B (t 22，2t 2)(t 2<0)，P (－2，m )．因为y 2＝4x ，所以当y >0时，y ＝2x ，y ′＝1x，所以k 1＝1t 1.同理k 2＝1t 2.由k 1＝2t 1－m t 21＋2＝1t 1，得t 21－mt 1－2＝0. 同理t 22－mt 2－2＝0.所以t 1，t 2是方程t 2－mt －2＝0的两个实数根． 所以t 1t 2＝－2.所以k 1k 2＝1t 1t 2＝－12为定值．(2)直线AB 的方程为y －2t 1＝2(t 2－t 1)t 22－t 21(x －t 21)， 即y ＝2t 1＋t 2x ＋2t 1－2t 21t 1＋t 2，即y ＝2t 1＋t 2x ＋2t 1t 2t 1＋t 2，由于t 1t 2＝－2，所以直线方程化为y ＝2t 1＋t 2(x －2)，所以直线AB 恒过定点(2,0)． [典例2](2012·泰州期末)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面ABC ⊥平面APC ，AB ＝BC ＝AP ＝PC ＝2，∠ABC ＝∠APC ＝90°.(1)求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值；(2)若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M －P A －C 的余弦值为31111，求BM 的最小值．[解] (1)取AC 中点O ，∵AB ＝BC ，∴OB ⊥OC . ∵平面ABC ⊥平面APC ， 平面ABC ∩平面APC ＝AC ， ∴OB ⊥平面P AC . ∴OB ⊥OP .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系． ∵AB ＝BC ＝P A ＝2，∴OB ＝OC ＝OP ＝1.从而O (0,0,0)，B (1,0,0)，A (0，－1,0)，C (0,1,0)，P (0,0，1)，∴BC ＝(－1,1,0)，PB ＝(1,0，－1)，AP＝(0,1,1)．设平面PBC 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，由BC ·n 1＝0，PB ·n 1＝0得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －z ＝0.取n 1＝(1,1,1)，∴cos 〈AP ，n 1〉＝AP·n 1| AP ||n 1|＝63.设P A 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AD ，n 1〉|＝63.∴直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为63. (2)由题意平面P AC 的法向量n 2＝(1,0,0)．设平面P AM 的法向量为n 3＝(x ，y ，z )，M (m ，n,0)．∵AP ＝(0,1,1)，AM＝(m ，n ＋1,0)，又∵AP ·n 3＝0，AM ·n 3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，mx ＋(n ＋1)y ＝0，取n 3＝⎝⎛⎭⎫n ＋1m ，－1，1.∴cos 〈n 2，n 3〉＝n 2·n 3|n 2||n 3|＝n ＋1m ⎝⎛⎭⎫n ＋1m 2＋2＝31111.∴⎝⎛⎭⎫n ＋1m 2＝9.∴n ＋1＝3m 或n ＋1＝－3m (舍去)．∴AM＝(m,3m,0)． 又AB＝(1,1,0)，∴cos 〈AM ，AB 〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(m ，3m ，0)·(1，1，0)10m 2·2＝255.则sin 〈AM ，AB 〉＝53，∴d ＝AB ·55＝105.∴B 点到AM 的最小值为垂直距离d ＝105.考查空间向量在立体几何中的应用，求出平面的法向量是解题的关键． [演练2](2012·苏北四市二模)在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 的中点，点P 在平面A 1B 1C 1D 1中，D 1P ⊥平面PCE .(1)试求：线段D 1P 的长；(2)直线DE 与平面PCE 所成角的正弦值．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，E (2,1,0)，C (0,2,0)．设P (x ，y,2)，则1D P＝(x ，y,0)， EP＝(x －2，y －1,2)， EC＝(－2,1,0)．因为D 1P ⊥平面PCE ，所以D 1P ⊥EP .D 1P ⊥EC .所以1D P ·EP＝0，1D P ·EC ＝0， 故⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －2)＋y (y －1)＝0，－2x ＋y ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)或⎩⎨⎧x ＝45，y ＝85.即P ⎝⎛⎭⎫45，85，2，所以1D P ＝⎝⎛⎭⎫45，85，0，所以D 1P ＝1625＋6425＝455.(2)由(1)知，DE＝(2,1,0)，1D P ＝⎝⎛⎭⎫45，85，0，1D P ⊥平面PEC ，设DE 与平面PEC 所成角为θ，1D P 与DE 所成角为α，则sin θ＝|cos α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1D P ·DE | 1D P ||DE |＝1655·8025＝45. 所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为45.[专题技法归纳](1)抛物线与直线的位置关系中重点考查顶点在原点的抛物线与过焦点的直线的位置关系，熟练掌握抛物线的几何性质，利用几何性质解决问题较为简单；(2)空间向量与立体几何主要考查向量的坐标表示、向量运算、平面的法向量、空间角及距离的计算．对于点的位置的探索问题，可以利用向量共线定理设元确定．1.(2012·苏北四市三模)在三棱锥S —ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点，侧棱SA 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SA 上一点，当SDDA 为何值时，BD ⊥AC ；(2) 求二面角S —AC —B 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系．因为△ABC 是边长为23的正三角形，又SA 与底面所成角为45°，所以∠SAO ＝45°.所以SO ＝AO ＝3.所以O (0,0,0)，C (3，0,0)，A (0,3,0)，S (0,0,3)，B (－3，0，0)．(1)设AD ＝a ，则D ⎝⎛⎭⎫0，3－22a ，22a ，所以BD ＝⎝⎛⎭⎫3，3－22a ，22a ，AC ＝(3，－3,0)．若BD ⊥AC ，则BD·AC ＝3－3⎝⎛⎭⎫3－22a ＝0，解得a ＝22，而AS ＝32，所以SD ＝ 2.所以SD DA ＝222＝12.(2)因为AS ＝(0，－3,3)，BC＝(23，0,0)．设平面ACS 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·AC ＝(x ，y ，z )·(3，－3，0)＝3x －3y ＝0，n 1·AS＝(x ，y ，z )·(0，－3，3)＝－3y ＋3z ＝0， 令z ＝1，则x ＝3，y ＝1，所以n 1＝(3，1,1)． 而平面ABC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋(3)2·1＝15，显然所求二面角的平面角为锐角， 故所求二面角的余弦值的大小为55.2.(2012·镇江5月)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .(1)若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； (2)若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以DA ，DC ，1DD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .则A (1,0,0)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫14，14，12， 于是DE ＝⎝⎛⎭⎫14，14，12，1CD ＝(0，－1,1)． 由cos 〈DE ，1CD 〉＝DE ·1CD | DE|·| 1CD |＝36. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. (2)设平面CD 1O 的向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧12x 1－12y 1＝0，－y 1＋z 1＝0，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1， 即m ＝(1,1,1)．由D 1E ＝λEO ，则E ⎝⎛⎭⎫λ2(1＋λ)，λ2(1＋λ)，11＋λ，DE ＝⎝⎛⎭⎫λ2(1＋λ)，λ2(1＋λ)，11＋λ.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝0，λx 22(1＋λ)＋λy 22(1＋λ)＋z 21＋λ＝0，取x 2＝2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2,0，λ)． 因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以m ·n ＝0，得λ＝2.3.(2012·南通密卷)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足1A P ＝λ11A B.(1)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？(2)若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，试确定点P 的位置． 解：(1)以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ，则N ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P (λ，0,1)，则PN ＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1， 平面ABC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，则sin θ＝|cos 〈PN ，n 〉|＝|PN·n || PN ||n |＝1⎝⎛⎭⎫λ－122＋54. 于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，当θ最大时，sin θ最大，所以当λ＝12时，sin θ最大，θ也最大．(2)已知给出了平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，即可得到平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA ＝(0,0,1)，设平面PMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，MP ＝⎝⎛⎭⎫λ，－1，12. 由⎩⎨⎧m ·NP ＝0，m ·MP ＝0，得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ－12x －12y ＋z ＝0，λx －y ＋12z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝2λ＋13x ，z ＝2(1－λ)3x .令x ＝3，得m ＝(3,2λ＋1,2(1－λ))，于是由 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n|＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12，故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12.4．(2012·泰州期末)对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C 经过两点A (a,2a )，B (4a,4a )(其中a 为正常数)．(1)求抛物线C 的方程；(2)设动点T (m,0)(m >a )，直线AT ，BT 与抛物线C 的另一个交点分别为A 1，B 1，当m 变化时，记所有直线A 1B 1组成的集合为M ，求证：集合M 中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．解：(1)当抛物线焦点在x 轴上时， 设抛物线方程y 2＝2px ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝2pa ，16a 2＝8pa ，∴p ＝2a . ∴y 2＝4ax .当抛物线焦点在y 轴上时，设抛物线方程x 2＝2py ，∵⎩⎪⎨⎪⎧16a 2＝8pa ，a 2＝4pa ，方程无解，∴抛物线不存在． 综上抛物线C 的方程为y 2＝4ax .(2)设A 1(as 2,2as )，B 1(at 2,2at )，T (m,0)(m >a )． ∵k TA ＝kTA 1，∴2a a －m ＝2as as 2－m ，∴as 2＋(m －a )s －m ＝0.∵(as ＋m )(s －1)＝0，∴s ＝－m a，∴A 1⎝⎛⎭⎫m 2a ，－2m . ∵k TB ＝kTB 1，∴4a 4a －m ＝2atat 2－m.∵2at 2＋(m －4a )t －2m ＝0，∴(2at ＋m )(t －2)＝0. ∴t ＝－m 2a.∴B 1⎝⎛⎭⎫m 24a ，－m . ∴直线A 1B 1的方程为y ＋2m ＝－2m ＋m m 2a －m 24a ⎝⎛⎭⎫x －m 2a . ∵直线的斜率为－4a3m 在(a ，＋∞)单调，∴集合M 中的直线必定相交．∵直线的横截距为－m 22a 在(a ，＋∞)单调，纵截距为－2m3在(a ，＋∞)单调，∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．5．(2012·常州)已知斜率为k (k ≠0)的直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且交抛物线于A ，B 两点．设线段AB 的中点为M .(1)求点M 的轨迹方程；(2)若－2<k <－1时，点M 到直线l ′：3x ＋4y －m ＝0(m 为常数，m <13)的距离总不小于15，求m 的取值范围．解：(1)焦点F (1,0)，直线AB 方程为y ＝k (x －1)， 因为k ≠0，所以x ＝yk ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y k ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，显然Δ>0恒成立，则y 0＝y 1＋y 22＝2k .又x 0＝y 0k ＋1，消去k ，得y 20＝2(x 0－1)， 所以点M 的轨迹方程为y 2＝2(x －1)． (2)由(1)知，点M ⎝⎛⎭⎫2k2＋1，2k . 因为m <13，所以d ＝15⎪⎪⎪⎪6k 2＋8k－m ＋3＝15⎝⎛⎭⎫6k 2＋8k －m ＋3. 由题意，得15⎝⎛⎭⎫6k 2＋8k －m ＋3≥15，m ≤6k 2＋8k ＋2对－2<k <－1恒成立． 因为－2<k <－1时，6k 2＋8k ＋2的最小值是－23，所以m ≤－23.6．(2012·南通密卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线x 2＝4y 上有两个动点A ，B ，且满足AF ＝λFB， 过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M .(1)求：OA ·OB的值； (2)证明：FM ·AB为定值．解：(1)设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224， ∵焦点F (0,1)，∴AF ＝⎝⎛⎭⎫－x 1，1－x 214，FB ＝⎝⎛⎭⎫x 2，x 224－1.∵AF ＝λFB，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2，1－x 214＝λ⎝⎛⎭⎫x 224－1，消λ，得x 1⎝⎛⎭⎫x 224－1＋x 2⎝⎛⎭⎫1－x 214＝0. 化简整理得(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 24＋1＝0. ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＝－4.∴y 1y 2＝x 214·x 224＝1.∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.(2)证明：抛物线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴过抛物线A ，B 两点的切线方程分别为 y ＝12x 1(x －x 1)＋x 214和y ＝12x 2(x －x 2)＋x 224， 即y ＝12x 1x －x 214和y ＝12x 2x －x 224.联立解出两切线交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－1. ∴FM ·AB ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－2·⎝⎛⎭⎫x 2－x 1，x 22－x 214 ＝x 22－x 212－x 22－x 212＝0(定值).7.(2012·淮阴联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,1)，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k P A .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ＝λOA ，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得△PQA 和△P AM 的面积满足S △PQA ＝2S △P AM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)设点P (x ，y )为所求轨迹上的任意一点，则由kOP ＋k OA ＝k P A得，y x ＋1－1＝y －1x ＋1，整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1)．(2)设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，由PQ＝λOA 可知直线PQ ∥OA ，则k PQ ＝k OA ，故x 22－x 21x 2－x 1＝1－0－1－0，即x 2＝－x 1－1. 直线OP 方程为y ＝x 1x .①直线QA 的斜率为(－x 1－1)2－1－x 1－1＋1＝－x 1－2，∴直线QA 方程为y －1＝(－x 1－2)(x ＋1)， 即y ＝－(x 1＋2)x －x 1－1.②联立①②，得x ＝－12，∴点M 的横坐标为定值－12.由S △PQA ＝2S △P AM ，得到QA ＝2AM ，因为PQ ∥OA ， 所以OP ＝2OM ，由PO ＝2 OM，得x 1＝1，∴P 的坐标为(1,1)．∴存在点P 满足S △PQA ＝2S △P AM ，P 的坐标为(1,1)．8.(2012·徐州一模)如图，过抛物线C ：y 2＝4x 上一点P (1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求y 1＋y 2的值；(2)若y 1≥0，y 2≥0，求△P AB 面积的最大值．解：(1)因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线C ： y 2＝4x 上，所以A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2， k P A ＝y 1＋2y 214－1＝4(y 1＋2)y 21－4＝4y 1－2， 同理k PB ＝4y 2－2，依题有k P A ＝－k PB ， 所以4y 1－2＝－4y 2－2，即y 1＋y 2＝4.(2)由(1)知k AB ＝y 2－y 1y 224－y 214＝1，设AB 的方程为 y －y 1＝x －y 214，即x －y ＋y 1－y 214＝0，P 到AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142，AB ＝2⎪⎪⎪⎪y 214－y 224＝2|y 1－y 2|＝22|2－y 1|，所以S △P AB ＝12×⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142×22|2－y 1|＝14|y 21－4y 1－12||y 1－2|＝14|(y 1－2)2－16||y 1－2|， 令y 1－2＝t ，由y 1＋y 2＝4，y 1≥0，y 2≥0，可知－2≤t ≤2.S △P AB ＝14|t 3－16t |，因为S △P AB ＝14|t 3－16t |为偶函数，只考虑0≤t ≤2的情况，记f (t )＝|t 3－16t |＝16t －t 3，f ′(t )＝16－3t 2>0，故f (t )在[0,2]是单调增函数，故f (t )的最大值为f (2)＝24，故S △P AB 的最大值为6.回顾2009～2012年的高考考题，附加题选做(四选二)中分别考查几何证明选讲、极坐标与参数方程、矩阵与变换、不等式选讲这四个内容，要求考生从中选择两个来完成，每题10分，难度不是很大，但是要求考生对所学知识点熟练掌握.[典例1](2012·江苏高考)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .[解] 证明：如图，连结AD .∵AB 是圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∴AD ⊥BD . 又∵BD ＝DC ，∴AD 是线段BC 的中垂线． ∴AB ＝AC . ∴∠B ＝∠C .又∵D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴∠B ＝∠E . ∴∠E ＝∠C .(1)本题利用中间量代换的方法证明∠E ＝∠C ，一方面考虑到∠B 和∠E 是同弧所对圆周角相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到∠B ＝∠C .(2)本题还可连结OD ，利用三角形中位线来证明∠B ＝∠C . [演练1](2012·泰州期末)已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC .(1)求证：FB ＝FC ；(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝33，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC . (2)∵AB 是圆的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠D ＝30°.在Rt △ACB 中，∵BC ＝33，∠BAC ＝60°，∴AC ＝3. 又在Rt △ACD 中，∠D ＝30°，AC ＝3，∴AD ＝6. [典例2](2012·江苏高考)已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值．[解] ∵A －1A ＝E ，∴A ＝(A －1)－1.∵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12 －12，∴A ＝(A－1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321.∴矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而可求出矩阵A 的特征值． [演练2](2012·泰州期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .解：由题意得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1，∵AX ＝B ，∴X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. [典例3](2012·江苏高考)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．[解] ∵圆C 圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，∴在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1.∴圆C 的圆心坐标为(1,0)． ∵圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， ∴圆C 的半径为PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1.∴圆C 经过极点，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.求圆的方程的关键是求出圆心坐标和圆的半径． [演练3](2012·南通二模)在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与圆C 2相切，求实数a 的值．解：C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝8， 圆心C 1(2,2)，半径r 1＝2 2. C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2， 圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝|a |. ∴圆心距C 1C 2＝3 2.两圆外切时，C1C2＝r1＋r2＝22＋|a|＝32，a＝±2；两圆内切时，C1C2＝|r1－r2|＝|22－|a||＝32，a＝±5 2.综上，a＝±2或a＝±5 2.[典例4](2012·江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<518.[证明]∵3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<13，|2x－y|<16，∴3|y|<13＋16＝56.∴|y|<518.解决本题的关键是用(x＋y)和(2x－y)表示y.[演练4](2012·南通二模)已知x，y，z均为正数．求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.证明：因为x，y，z都为正数，所以xyz＋yzx＝1z⎝⎛⎭⎫xy＋yx≥2z.同理，可得yzx＋zxy≥2x，zxy＋xyz≥2y.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.[专题技法归纳](1)几何证明选讲主要考查直线与圆的相切关系，弦切角定理是沟通角的桥梁，解决与圆有关的线段问题常利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，并结合三角形相似等知识；(2)矩阵与变换主要考查变换、矩阵的特征值与特征向量、逆矩阵、二阶矩阵的乘法；(3)极坐标与参数方程主要考查参数方程与普通方程的互化及应用参数方程求最值、范围等问题；(4)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号化为不含绝对值的不等式，其过程体现了分类讨论思想的应用．1.(2012·苏北四市三模)如图，圆O 的直径AB ＝4，C 为圆周上一点，BC ＝2，过C 作圆O 的切线l ，过A 作l 的垂线AD 分别与直线l ，圆O 交于点D ，E ，求线段AE 的长．解：在Rt △ABC 中，因为AB ＝4，BC ＝2，所以∠ABC ＝60°， 因为l 为过C 的切线，所以∠DCA ＝∠CBA ， 所以∠DCA ＝∠ABC ＝60°.又因为AD ⊥DC ，所以∠DAC ＝30°.在△AOE 中，因为∠EAO ＝∠DAC ＋∠CAB ＝60°，且OE ＝OA ， 所以AE ＝AO ＝12AB ＝2.2.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O上一点，AE ＝AC ，求证：∠PDE ＝∠POC .证明：因AE ＝AC ，AB 为直径， 故∠OAC ＝∠OAE .所以∠POC ＝∠OAC ＋∠OCA ＝∠OAE ＋∠OAC ＝∠EAC .又∠EAC ＝∠PDE ，所以∠PDE ＝∠POC .3．(2012·扬州期末)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 26的特征值和特征向量． 解：f (λ)＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，由f (λ)＝0，可得λ1＝7，λ2＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧(7＋1)x －4y ＝0，－2x ＋(7－6)y ＝0 可得属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12. 由⎩⎪⎨⎪⎧(－2＋1)x －4y ＝0，－2x ＋(－2－6)y ＝0 可得属于λ1＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1. 4．(2012·南通二模)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β.解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得它们对应的一个特征向量分别为 α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. 令β＝m α1＋n α2，所以求得m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4·35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.5．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 121，∴A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A 2α＝β⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y 4x ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.6．已知P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，求M ＝x ＋2y 的取值范围．解：∵x 24＋y 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)∴设P (2cos θ，sin θ)．∴M ＝x ＋2y ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∴M ＝x ＋2y 的取值范围是[－22，2 2 ]．7．(2012·泰州期末)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋1(t 为参数)，求直线l被曲线C 截得的线段长度．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9， 它表示以(0,3)为圆心，3为半径的圆． 直线方程l 的普通方程为y ＝3x ＋1， 圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|3－1|3＋1＝1，故直线l 被曲线C 截得的线段长度为232－12＝4 2.8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .解：(1)设直线l 的倾斜角为θ，则⎩⎨⎧cos θ＝12，sin θ＝32且θ∈[0，π)，∴θ＝π3，即直线l 的倾斜角为π3.(2)l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22， ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4的直角坐标方程为 ⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1， ∴圆心⎝⎛⎭⎫22，22到直线l 的距离d ＝64， ∴AB ＝102. 9．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －y ＋1|的最大值． 解：法一：|x －y ＋1|＝|(x －1)－(y －2)|≤|x －1|＋|y －2|≤2. 当且仅当x ＝2，y ＝3或x ＝0，y ＝1时，取等号． ∴|x －y ＋1|的最大值为2. 法二：∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2. ∵|y －2|≤1，∴1≤y ≤3. ∴－3≤－y ≤－1. ∴－2≤x －y ＋1≤2. ∴|x －y ＋1|的最大值为2.10．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．解：因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2，即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1， 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1.回顾2009～2012年的考题，离散型随机变量的概率分布与数学期望是考查的重点，但考查难度不大，考查的重点是根据题意分析写出随机变量的分布列.求解过程往往和排列、组合和概率相结合.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在数学证明中有着广泛的应用.[典例1](2012·江苏高考)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．[解] (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱． 因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2， 其中距离为2的共有6对， 故P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.所以随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 P (ξ)411611111则其数学期望E (ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.本题考查概率分布、数学期望等基础知识．解题的关键是确定ξ的取值． [演练1](2012·扬州期末)口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X .(1)若取到红球再放回，求X 不大于2的概率； (2)若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望． 解：(1)∵P (X ＝1)＝37，P (X ＝2)＝3×472＝1249，∴P ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝3349.(2)∵X 可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝A 13A 17＝37，P (X ＝2)＝A 14A 13A 27＝27，P (X ＝3)＝A 24A 13A 37＝635，P (X ＝4)＝A 34A 13A 47＝335，P (X ＝5)＝A 44A 13A 57＝135.∴X 的概率分布列为：X 1 2 3 4 5 P3727635335135∴E (X )＝1×37＋2×27＋3×635＋4×335＋5×135＝2.即X 的数学期望是2. [典例2]已知△ABC 的三边长为有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数． [证明] (1)由AB ，BC ，AC 为有理数及余弦定理知 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC是有理数．(2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数． ①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数，从而有sin A·sin A＝1－cos2A也是有理数．②假设当n＝k(k≥1)时，cos kA和sin A·sin kA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，sin A·sin(k＋1)A＝sin A·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA)＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综合①②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数．本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．[演练2](2012·常州)已知正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝1＋a n1＋a n(n∈N*)．用数学归纳法证明：a n<a n＋1(n∈N*)．证明：当n＝1时，a2＝1＋a11＋a1＝32，a1<a2，所以n＝1时，不等式成立；假设当n＝k(k∈N*)时，a k<a k＋1成立，显然a k>0. 则当n＝k＋1时，a k＋2－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－⎝⎛⎭⎫1＋a k1＋a k＝a k＋1－a k(1＋a k)(1＋a k＋1)>0，所以n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式a n<a n＋1(n∈N*)成立．[典例3](2012·盐城二模)某班级共派出n＋1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生(含男生甲)和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．(1)试求E n和F n；(2)判断ln E n和F n的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明．[解](1)由题意知E n＝A n n·A n n＝(n！)2，F n ＝C 1n ＋1·C 1n ＝n (n ＋1)．(2)因为ln E n ＝2ln n ！，F n ＝n (n ＋1)，所以ln E 1＝0<F 1＝2，ln E 2＝ln 4<F 2＝6，ln E 3＝ln 36<F 3＝12，…，因此猜想；当n ∈N *时都有ln E n <F n ，即2ln n ！<n (n ＋1)．下面用数学归纳法证明2ln n ！<n (n ＋1)(n ∈N *)． ①当n ＝1时，该不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即2ln k ！<k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，2ln(k ＋1)！＝2ln(k ＋1)＋2ln k ！<2ln(k ＋1)＋k (k ＋1)，要证当n ＝k ＋1时不等式成立，只要证2ln(k ＋1)＋k (k ＋1)≤(k ＋1)(k ＋2)，即只要证ln(k ＋1)≤k ＋1.令f (x )＝ln x －x ，x ∈(1，＋∞)，因为f ′(x )＝1－x x <0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递减，从而f (x )<f (1)＝－1<0，而k ＋1∈(1，＋∞)， 所以ln(k ＋1)≤k ＋1成立，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 综合①②，当n ∈N *时，都有ln E n <F n .本题考查排列组合等基础知识，考查数学归纳法的应用以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．这类问题以排列组合为主线，利用数学归纳法进行推理．利用导数研究函数的单调性证明ln(k ＋1)<k ＋1是关键．[演练3](2012·扬州期末)已知p (p ≥2)是给定的某个正整数，数列{a n }满足：a 1＝1，(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ，其中k ＝1，2,3，…，p －1.(1)设p ＝4，求a 2，a 3，a 4； (2)求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a p . 解：(1)由(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ， 得a k ＋1a k ＝p ×k －pk ＋1，k ＝1,2,3，…，p －1， 即a 2a 1＝－4×4－12＝－6，a 2＝－6a 1＝－6； a 3a 2＝－4×4－23＝－83，a 3＝16； a 4a 3＝－4×4－34＝－1，a 4＝－16. (2)由(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ， 得a k ＋1a k ＝p ×k －pk ＋1，k ＝1,2,3，…，p －1，即a 2a 1＝－p ×p －12，a 3a 2＝－p ×p －23，…， a ka k －1＝－p ×p －(k －1)k ，以上各式相乘得a k a 1＝(－p )k －1×(p －1)(p －2)(p －3)…(p －k ＋1)k ！， ∴a k ＝(－p )k －1×(p －1)(p －2)(p －3)…(p －k ＋1)k ！＝(－p )k －1×(p －1)！k ！(p －k )！＝(－p )k －1p ×p ！k ！(p －k )！＝－(－p )k －2×C k p ＝－1p 2C k p (－p )k，k ＝1,2,3，…，p . ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a p＝－1p 2[C 1p (－p )1＋C 2p (－p )2＋C 3p (－p )3＋…＋C p p (－p )p ] ＝－1p2[(1－p )p －1]．[专题技法归纳]离散型随机变量的概率分布与数学期望是建立在传统的概率问题的基础之上的内容，高考新课程对这一内容的考查是B 级要求，常以实际应用题的形式出现，与数学建模能力的考查结合在一起，考查学生的数学应用意识以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．解决这一类问题，一定要注意认真审题，不仅要能在弄清题意的基础上，迅速地寻找出正确的解题思路，还要能够规范地表述解题的过程．这些，需要在复习中引起足够的重视，注意做好针对性的训练，力求做到求解这一类问题时能够得心应手、准确无误．1．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成.第一排 明文字符ABCD密码字符 11 12 13 14 第二明文字符 E F G H 密码字符21222324排 第三排明文字符 M N P Q 密码字符1234设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数． (1)求P (ξ＝2)；(2)求随机变量ξ的分布列和它的数学期望．解：(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1,2列分别总是1,2，即只能取表格第1,2列中的数字作为密码．∴P (ξ＝2)＝2343＝18.(2)由题意可知，ξ的取值为2,3,4三种情形．若ξ＝3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1,2,3或1,2,4.∴P (ξ＝3)＝2(22A 132C 23＋1)43＝1932. P (ξ＝4)＝A 13＋A 22＋A 23A 2243＝932. ∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 P181932932∴E (ξ)＝2×18＋3×1932＋4×932＝10132.A BED2.用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)． 解：(1)设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”， 如图，当区域A 、D 同色时，共有5×4×3×1×3＝180种； 当区域A 、D 不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种； 因此，所有基本事件总数为：180＋240＝420种．又因为A 、D 为红色时，共有4×3×3＝36种；B 、E 为红色时，共有4×3×3＝36种；因此，事件M 包含的基本事件有：36＋36＝72种．所以P (M )＝72420＝635.(2)随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 P6352335635所以E (ξ)＝0×635＋1×2335＋2×635＝1.3．(2012·南通二模)某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)若射击4次，每次击中目标的概率为13且相互独立．设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(2)若射击2次均击中目标，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A 发生的概率．解：(1)依题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，ξ的分布列： ξ 0 1 2 3 4 P168132812481881181数学期望E (ξ)＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43.(2)法一：设A i 表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2,3. B i 表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2,3. 依题意，知P (A 1)＝P (B 1)＝0.1，P (A 2)＝P (B 2)＝0.3， A ＝A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2，所求的概率为 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28. 即事件A 发生的概率为0.28.法二：记“第一部分至少击中一次”为事件C ，“第二部分被击中二次”为事件D ， 则P (C )＝C 120.1×0.9＋0.1×0.1＝0.19， P (D )＝0.3×0.3＝0.09. P (A )＝P (C )＋P (D )＝0.28.即事件A 发生的概率为0.28.4.(2012·南通二模)已知函数f (x )＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x (a >0)．(1)若函数f (x )在x ＝0处取极值，求a 的值；(2)如图，设直线x ＝－12，y ＝－x 将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(不含边界)，若函数y ＝f (x )的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；(3)比较32×43×54×…×2 0122 011与23×34×45×…×2 0112 012的大小，并说明理由． 解：(1)f (x )＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x (a >0)， f ′(x )＝2ln(2x ＋1)－4a (2x ＋1)＋1. ∵f (x )在x ＝0处取极值， ∴f ′(0)＝－4a ＋1＝0. ∴a ＝14⎝⎛⎭⎫经检验a ＝14符合题意. (2)因为函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞， 且当x ＝0时，f (0)＝－a <0. 又直线y ＝－x 恰好通过原点，所以函数y ＝f (x )的图象应位于区域Ⅳ内， 于是可得f (x )<－x ，即(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x <－x . ∵2x ＋1>0，∴a >ln (2x ＋1)2x ＋1.令h (x )＝ln (2x ＋1)2x ＋1，∴h ′(x )＝2－2ln (2x ＋1)(2x ＋1)2.令h ′(x )＝0，得x ＝e －12.∵x >－12，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－12，e －12时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫e －12，＋∞时，h ′(x )<0，h (x )单调递减．∴h max (x )＝h ⎝⎛⎭⎫e －12＝1e .∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. (3)由(2)知，函数h (x )＝ln (2x ＋1)2x ＋1在x ∈⎝⎛⎭⎫e －12，＋∞时单调递减， 函数p (x )＝ln xx 在x ∈(e ，＋∞)时单调递减．∴ln (x ＋1)x ＋1<ln xx ， ∴x ln(x ＋1)<(x ＋1)ln x . ∴ln(x ＋1)x <ln x (x＋1)，即(x ＋1)x <x (x＋1)．∴令x ＝3,4，…，2011，则43<34,54<45，…，2 0122 011<2 0112 012，又32×43<23×34， 所以32×43×54…×2 0122 011<23×34×45…×2 0112 012.5．(2012·通州期末)求证：对于任意的正整数n ，(2＋3)n 必可表示成 s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.证明：由二项式定理可知，(2＋3)n ＝C 0n 2n (3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n，设(2＋3)n ＝x ＋3y ＝x 2＋3y 2， 而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *， 则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *，∵(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n ＝1， ∴令a ＝s ，s ∈N *，则必有b ＝s －1.∴(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.6．若(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n ，其中n ∈N *. (1)求a 0及S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；(2)试比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小，并说明理由． 解：(1)取x ＝1，则a 0＝2n ； 取x ＝2，则a 0＋a 1＋…＋a n ＝3n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －2n . (2)要比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小， 即比较3n 与(n －1)2n ＋2n 2的大小， 当n ＝1时，3n >(n －1)2n ＋2n 2； 当n ＝2,3时，3n <(n －1)2n ＋2n 2； 当n ＝4,5时，3n >(n －1)2n ＋2n 2， 猜想：当n ≥4时，3n >(n －1)2n ＋2n 2. 下面用数学归纳法证明：①由上述过程可知，n ＝4时结论成立， ②假设当n ＝k ，(k ≥4)时结论成立，即3k>(k－1)2k＋2k2，两边同乘以3得3k＋1>3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]，而(k －3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k＋1)＋6>0，所以3k＋1>()(k＋1)－12k＋1＋2(k＋1)2，即n＝k＋1时结论也成立．由①②知当n≥4时，3n>(n－1)2n＋2n2成立．综上所述，当n＝1时，S n＞(n－2)2n＋2n2；当n＝2,3时，S n＜(n－2)2n＋2n2；当n≥4时，S n＞(n－2)2n＋2n2.7．设二项展开式C n＝(3＋1)2n－1(n∈N*)的整数部分为A n，小数部分为B n.试用二项式定理推导A n和B n.解：因为C n＝(3＋1)2n－1＝C02n－1(3)2n－1＋C12n－1(3)2n－2＋…＋C2n－22n－13＋C2n－12n－1，①而(3－1)2n－1＝C02n－1(3)2n－1－C12n－1(3)2n－2＋…＋C2n－22n－13－C2n－12n－1，②①—②得：(3＋1)2n－1－(3－1)2n－1＝2(C12n－1·(3)2n－2＋C32n－1(3)2n－4＋…＋C2n－12n－1)∈N*. 而0<(3－1)2n－1<1，所以A n＝(3＋1)2n－1－(3－1)2n－1，B n＝(3－1)2n－1. 8．(2012·苏北四市一模)已知a n＝(1＋2)n(n∈N*)．(1)若a n＝a＋b2(a，b∈Z)，求证：a是奇数；(2)求证：对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得a n＝k－1＋k.证明：(1)由二项式定理，得a n＝C0n＋C1n2＋C2n(2)2＋C3n(2)3＋…＋C n n(2)n，所以a＝C0n＋C2n(2)2＋C4n(2)4＋…＝1＋2C2n＋22C4n＋…，因为2C2n＋22C4n＋…为偶数，所以a是奇数．(2)由(1)设a n＝(1＋2)n＝a＋b2(a，b∈Z)，则(1－2)n＝a－b2，所以a2－2b2＝(a＋b2)(a－b2)＝(1＋2)n(1－2)n＝(1－2)n.当n为偶数时，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k＋k－1，当n为奇数时，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k－1＋k，综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得a n＝k－1＋k.。
2014江苏高考数学答案解析
函数的模型考查题型1．(2022届高三沭阳如东期初9月)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S ＝ae －k(a ，k 为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S (单位：克)代表1分钟末未溶解糖块的质量，则k ＝A ．ln2B ．ln3C ．ln25D ．ln35【答案】C【考点】新情景问题下的指对数的运算【解析】由题意可知，当t ＝0时，S ＝a ＝7，且3.5＝7e－5k，解得k ＝ln25，故答案选C ．2．(2022届高三江苏第一次大联考10月)航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K ．E ．Tsiolkovsky)于1903年给出火箭最大速度的计算公式v ＝V 0ln(1＋Mm 0)．其中，V 0是燃料相对于火箭的喷射速度，M 是燃料的质量，m 0是火箭(除去燃料)的质量，v 是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知V 0＝2km/s ，则当火箭的最大速度v 可达到10km/s 时，火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的()倍A ．e 5B ．e 5－1C ．e 6D ．e 6－1【答案】A【考点】新情景问题下的指对数运算【解析】由题意可知，2ln(1＋M m 0)＝10，则1＋M m 0＝M ＋m 0m 0＝e 5，即火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的e 5，故答案选A ．3．(2022届高三江苏连云港期中11月)已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A ：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B ：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t 小时后的电量为当前电量的12t 倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A 模式，并在m 小时后切换为B 模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m 的取值范围是A ．(5，6)B ．(6，7)C ．(7，8)D ．(8，9)【答案】D【考点】新情景问题下的指对数运算【解析】由题意可设，模式A 的函数关系为：y ＝－300t ＋3000，模式B 的函数关系为：y ＝p ⋅12t ，其中p 为初始电量，在模式A 下使用m 小时，其电量为3000－300m ，在模式B 下使用10－m 小时，则可得到(3000－300m )⋅1210－m ＞3000⋅5%，可化为2m －10(10－m )＞12，令x＝10－m ，可得2－x ⋅x ＞12，即2x －1＜x ，可结合图形得到1＜x ＜2，即1＜10－m ＜2，解得8＜m ＜9，即m ∈(8，9)，故答案选D ．4．(2022届高三江苏南通期中11月)经研究发现，某昆虫释放信息素t s 后，在距释放处x m 的地方测得信息素浓度y 满足ln y ＝－12ln t －K t x 2＋A ，其中A ，K 为非零常数．已知释放1s后，在距释放处2m 的地方测得信息素浓度为a ，则释放信息素4s 后，信息素浓度为a2的位置距释放处的距离为A ．14mB ．12mC ．2mD ．4m【答案】D【考点】新情景问题下的函数模型的应用【解析】由题意可知，当t ＝1，x ＝1，y ＝a 时，ln a ＝－4K ＋A ，当t ＝4，y ＝a 2时，ln a 2＝－12ln4－K 4⋅x 2＋A ，即ln a －ln2＝－ln2－K 4⋅x 2＋A ，则－4K ＋A ＝－K4⋅x 2＋A ，解得x ＝4，故答案选D ．5．(2022届高三江苏新高考基地学校第一次大联考11月)某火电厂对其使用的燃煤进行精细化碳排放污染物控制，产生的废气经过严格过滤后排放，己知过滤过程中废气的剩余污染物数量P (单位：mg/L )与过滤时间t (单位：小时)之间的关系式为P ＝P 0e－kt其中P 0为废气中原污染物总量，k 为常数．若过滤开始后经过3个小时废气中的污染物被过滤掉了原污染物总量的50%，那么要使废气中剩余污染物含量不超过5%，过滤开始后需要经过n 小时，则k ＝，正整数n 的最小值为．(参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609)【答案】13ln2；13【考点】双空题：指对数运算【解析】由题意可得：3t =时，050%P P =，所以30050%e k P P -=，解得：1ln 23k =，令005%e kt P P P -≤=可得：e 120kt-≤，即ln 20kt ≥，所以()32ln 2ln 5ln 20ln 203ln 203ln 53 1.6096612.97ln 2ln 2ln 2ln 20.6933t k +⨯≥====+≈+，所以正整数n 的最小值为13，故答案为：1ln 23；13.6．(2022届高三江苏靖江、丹阳、沭阳联考12月)酒驾是重危害交通安全的违法行为．根据规定：驾驶员的100mL 血液中酒精含量为[0，20)mg ，不构成饮酒驾车行为(不违法)，达到[20，80)mg 的即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，100mL 血液中酒精含量上升到了160mg ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过()(参考数据：lg2≈0.3，lg5≈0.7)A ．4小时B ．6小时C ．8小时D ．10小时【答案】D【考点】新情景问题下的指对数运算【解析】由题意可设酒后经过x 小时后就不构成酒驾，则可得160⋅(1－20%)x ＜20，即0.8x ＜0.125，解得x ＞log 4518＝－3lg22lg2－lg5≈9，则至少经过10小时，故答案选D ．7．(2022届高三江苏泰州兴化2.5模4月)《中华人民共和国国家标准综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L ．某企业生产废水中的氨氮含量为450ml/L ，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少13，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，至少要进行循环的次数为(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A ．3B ．4C ．8D ．9【答案】D【考点】新情景问题下的指对数运算【解析】由题意可知，循环n 次后氨氮含量为450×(1－13)n ，则450×(1－13)n ＜15，即(23)n＜130，两边取以10为底的对数可得，lg(23)n ＜lg 130，即n lg 23＜lg 130，所以n ＞lg130lg 23＝lg30lg3－lg2＝1＋lg3lg3－lg2≈8.39，所以n 的最小值为9，故答案选D ．8．(2022届高三江苏如东、姜堰、沭阳联考4月)著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(13，23)，记为第一次操作；再将剩下的两个区[0，13]，[23，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于1415，则需要操作的次数n 的最小值为参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【考点】新情景问题下的指对数的化简与运算【解析】由题意可知，第一次操作去掉13，可设为a 1，第二次操作去掉29，可设为a 2，第三次操作去掉427，可设为a 3，…，依次类推，可得a n ＝13 (23)n －1，则其前n 项和S n 1－23＝1－(23)n ≥1415，化简得115≥(23)n ，对两边取以10为底数的对数，可得lg 115≥lg(23)n ，即－lg15≥n (lg2－lg3)，即lg15≤n (lg3－lg2)，n ≥lg15lg3－lg2＝lg3＋lg5lg3－lg2＝lg3＋1－lg2lg3－lg2＝1＋1lg3－lg2≈6.7，所以n的最小值为7，故答案选B．。
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2014实战演练·高三数学附加分参考答案与解析南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试21. A.解：连结OC ，BE.因为AB 是圆O 的直径， 所以BE ⊥AE.因为AB ＝8，BC ＝4，所以OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形． 所以∠BOC ＝60°.(4分) 又直线l 切圆O 与于点C ， 所以OC ⊥l.因为AD ⊥l ，所以AD ∥OC.所以∠BAD ＝∠BOC ＝60°.(8分)在Rt △BAE 中，因为∠EBA ＝90°－∠BAE ＝30°， 所以AE ＝12AB ＝4.(10分)B. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x)－4.(2分) 因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根， 所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x ＝1.(4分)由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.(6分)设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，从而y ＝－x.(8分) 取x ＝1，得y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)C. 解：圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4， 所以圆心的直角坐标为(－1，0)，半径为2.(4分) 又直线方程可化为x ＋y －7＝0，(6分) 所以圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝42，所以AB 的最小值为42－2.(10分) D. 证明：因为a 1是正数，所以1＋a 1≥2a 1＞0.(5分)同理1＋a k ≥2a k ＞0(k ＝2，3，4，…，n)．因此(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2na 1·a 2·…·a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时等号成立．因为a 1·a 2·…·a n ＝1，所以(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2n .(10分)22. 解：(1) 记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P ， 则P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13⎝⎛⎭⎫C 12·12·12＋⎝⎛⎭⎫23·23(12·12)＝13. 故该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为13.(4分)(2) 该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝⎛⎭⎫23·23P 22＝89P 2－49P 22. 因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数X ～B(12，P)，所以EX ＝12P.(7分) 由EX ≥5，得12⎝⎛⎭⎫89P 2－49P 22≥5，解得34≤P 2≤54.因为P 2≤1，所以P 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤34，1.(10分) 23. (1) 解：因为T r ＋1＝C r n ·2n －r x r2. 令r2＝3，得r ＝6， 故x 3的系数为C 6n ·2n －6＝14，解得n ＝7.(4分) (2) 证明：由二项式定理可知(2＋3)n ＝C 0n 2n ＋C 1n 2n －1(3)＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C r n 2n －r (3)r ＋…＋C n n (3)n＝[C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…]＋3(C 1n 2n －1＋C 3n ·2n －3·3＋…)．(6分) 令x ＝C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…， y ＝C 1n 2n －1＋C 3n ·2n －3·3＋…， 显然x ∈N *，y ∈N *.则(2＋3)n ＝x ＋3y ，(2－3)n ＝x －3y ， 所以(2＋3)n ·(2－3)n ＝x 2－3y 2＝1. 令s ＝x 2，则必有s －1＝x 2－1＝3y 2. 从而(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.(10分)南通市2013届高三第一次调研测试21. A. 证明：(1) 连BE ，则∠E ＝∠C. 又∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴ △ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC. ∴ AB ·AC ＝AE·AD.(5分)(2) 连结OF ，∵ F 是BC ︵的中点，∴ ∠BAF ＝∠CAF. 由(1) 得∠BAE ＝∠CAD ，∴ ∠FAE ＝∠FAD.(10分) B. 解：设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，(3分) 设P(x′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上的对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y′ x′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y′，y ＝x′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝－12x.(7分) 又点P(x′，y ′)在曲线C ：y 2＝2x 上， ∴ ⎝⎛⎭⎫－12x 2＝2y ，即y ＝18x 2.(10分) C. 解：曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1.(2分)直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.(4分)设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3|2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1|2.(7分)因为－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1，即θ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 综上所述，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大．(10分)注：凡给出点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－62，－22，不扣分． D. 解：∵ a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴ 4a 2＋b 2＝(2a ＋b)2－4ab ＝1－4ab ，(2分) 且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，(5分) ∴ S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab)＝2ab ＋4ab －1≤2－12， 当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．(10分)22. (1) 解：解法1：设M(x ，y)，P(x 1，0)，Q(0，y 2)，则 由PR →·PM →＝0，PQ →＝12QM →及R(0，－3)，得⎩⎨⎧－x 1（x －x 1）＋（－3）y ＝0，－x 1＝12x ，y 2＝12y －12y 2，化简，得x 2＝4y.(4分)所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分) 解法2：设M(x ，y)．由PQ →＝12QM →，得P ⎝⎛⎭⎫－x 2，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，y 3. 所以，PR →＝⎝⎛⎭⎫x 2，－3，PM →＝⎝⎛⎭⎫3x 2，y . 由PR →·PM →＝0，得⎝⎛⎭⎫x 2，－3·⎝⎛⎭⎫32x ，y ＝0，即34x 2－3y ＝0，化简得x 2＝4y.(4分) 所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分)(2) 证明：由题意，得AB →·CD →＝AB·CD ，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F.设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则AB ＝FA －FB ＝y 1＋1－1＝y 1.(7分) 同理CD ＝y 2.设直线l 的方程为x ＝k(y －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k （y －1），y ＝14x 2，得y ＝14k 2(y －1)2，即k 2y 2－(2k 2－4)y ＋k 2＝0.所以，AB →·CD →＝AB·CD ＝y 1y 2＝1.(10分)23. 解：(1) 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1. 令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .因为b 1＝－5为奇数，b n 也是奇数且只能为－1，所以，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，n ＝1，0，n ≥2.(3分)(2) 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.(4分)下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k(k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，故a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14（t －1）·44t －5＋…＋(－1)r C r 4（t －1）·44t －4－r＋…－C 4t －34（t －1）·4， 即m ∈Z ，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．所以由数学归纳法原理知命题对 n ∈N *成立．(10分)苏州市2013届高三调研测试21. A. 证明：连结OP ，∵ 直线l 切圆O 于点P ， ∴ OP ⊥l.(2分)∵ AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴ OP ∥AC ∥BD.又OA ＝OB ，∴ PC ＝PD.(5分) ∵ OP ∥AC ，∴ ∠OPA ＝∠CAP.(8分) ∵ OP ＝OA.∴ ∠OPA ＝∠OAP. 则∠CAP ＝∠OAP.∴ AP 平分∠CAB.(10分)B. 解：设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 x 2 1属于特征值－1的一个非零特征向量．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 x 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，(2分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋xb ＝－a ，2a ＋b ＝－b ，解得b ＝－a(由条件知a ≠0)，x ＝2.(5分) 因此M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1.特征方程为λ2－2λ－3＝0.(8分) ∵ λ≠－1，∴ λ＝3.(10分) C. 解：A(4，0)，B(0，2)，AB ＝2 5. 则直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.(2分) 设P(4cos θ，2sin θ)，θ为锐角． 则点P 到直线AB 的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－4|5＝|42sin （θ＋45°）－4|5.(5分)∵ θ为锐角，∴ 45°＜θ＋45°＜135°. ∴22＜sin (θ＋45°)≤1，0＜42sin (θ＋45°)－4≤42－4. 则当θ＝45°时，d 取得最大值为42－45.(8分)此时，△PAB 面积S 取得最大值为 12×25×42－45＝42－4.(10分) D. 证明：∵ a 、b 、x 、y 都是正数，∴ (ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)(2分) ≥ab(2xy)＋xy(a 2＋b 2)(5分) ＝(a ＋b)2xy.(8分)∵ a ＋b ＝1，∴ (a ＋b)2xy ＝xy.则(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy 成立．(10分)22. 解：(1) “第一次取得正品且第二次取得次品”的概率为 8×210×9＝845.(2分) (2) X 的取值为0、1、2，则 P(X ＝0)＝8×7×610×9×8＝715；(4分)P(X ＝1)＝8×7×2×310×9×8＝715；(6分)P(X ＝2)＝8×2×1×310×9×8＝115.(8分)故X 的分布列为：数学期望E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.(10分)23. 解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0)．(2分)设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)． ∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3，0，1)．(4分) 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ， ∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535.(6分)(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， ∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝3.故m ＝(0，3，2)．(8分) 设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|m |＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.(10分)无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷21. A. 证明：连结OD ，∵ OD ＝OA ，∴ ∠OAD ＝∠ODA. ∵ AD 平分∠BAE ，∴ ∠OAD ＝∠EAD ，(3分) ∴ ∠EAD ＝∠ODA ，∴ OD ∥AE.(5分) 又AE ⊥DE ，∴ DE ⊥OD ，(8分)又OD 为半径，∴ DE 是圆O 的切线．(10分)B. 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2.(4分)设A(a ，b)，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4.(8分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A(－2，3)．(10分)C. 解：圆C ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，即ρ＝－2sin θ，ρ2＝－2ρsin θ，(2分)∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ， 即x 2＋(y ＋1)2＝1，∴ 圆心C(0，－1)．(4分) 直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，∴ 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.(7分)∵ 圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－1－2|2＝322，(9分)∴ 动点M 到直线l 距离的最大值为322＋1.(10分)D. 证明：∵ |x ＋1|＋|x －1|＜4，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，2＜4，(2分) 解得－2＜x ＜－1或－1≤x ≤1或1＜x ＜2，(4分)∴ 4(a ＋b)2－(4＋ab)2＝－a 2b 2＋4a 2－16＋4b 2＝(a 2－4)(4－b 2)． ∵ a 、b ∈M ，即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2，∴ (a 2－4)(4－b 2)＜0，(8分) ∴ 4(a ＋b)2＜(4＋ab)2， ∴ 2|a ＋b|＜|4＋ab|.(10分)22. 解：(1) 设Y Y 的分布列如下：A 表示事件“银行工作人员在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A 对应两种情形： ① 办理第一位业务所需的时间为2 min ，且办理第二位业务所需的时间为3 min ； ② 办理第一位业务所需的时间为3 min ，且办理第二位业务所需的时间为2 min ； ∴ P(A)＝P(Y ＝2)P(Y ＝3)＋P(Y ＝3)P(Y ＝2)＝15×310＋310×15＝325.(3分)(2) X 的取值为0、1、2，X ＝0对应办理第一位业务所需的时间超过4 min ， ∴ P(X ＝0)＝P(Y ＞4)＝110，(5分)X ＝1对应办理第一位业务所需的时间为2 min 且办理第二位业务所需的时间超过2 min ，或办理第一位业务所需的时间为3 min 或办理第一位业务所需的时间为4 min ，∴ P(X ＝1)＝P(Y ＝2)P(Y ＞2)＋P(Y ＝3)＋(Y ＝4)＝15×45＋310＋25＝4350.(6分)X ＝2对应办理两位顾客业务时间均为2 min ， ∴ P(X ＝2)＝P(Y ＝2)P(Y ＝2)＝15×15＝125.(7分)∴ X 的分布列为：(9分)E(X)＝0×110＋1×4350＋2×125＝4750.(10分)23. (1) 解：由已知，得f ′(x)＝x ＋1x.当x ∈[1，e]时，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，(2分) 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f(e)、f(1)．因为f(1)＝12，f(e)＝e 22＋1，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为e 22＋1、最小值为12.(4分)(2) 证明：当n ＝1时，不等式成立，(5分) 当n ≥2时，[g(x)]n－g(x n)＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x n－⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n ＝C 1n xn－11x ＋C 2n x n －21x 2＋…＋C n －1n x 1x n －1 ＝C 1n x n －2＋C 2n x n －4＋…＋C n －1n1x n －2＝12[C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2＋1x n －2＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －4＋1x n －4＋…＋ C n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －2＋x n －2]．(9分) 由已知x ＞0，所以[g(x)]n －g(x n )≥C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＝ 2n －2.(10分)常州市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：连结OF. 因为OC ＝OF ，所以∠OCF ＝∠OFC. 因为DF 切圆O 于F ， 所以∠OFD ＝90°.所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°.(4分)因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°. 所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ，所以DF ＝DE.(8分) 因为DF 是圆O 的切线，所以DF 2＝DB·DA. 所以DE 2＝DB·DA.(10分)B. 解：因为矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 化简，得c ＋d ＝6.(4分)因为矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，化简，得3c －2d ＝－2.(8分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，故A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－1312.(10分) C. 解：将曲线C 1、C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2，(4分) ∵ 圆心C 2到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32＞2，(8分)∴ 曲线C 1与C 2相离．(10分)D. 证明：x 、y 、z 均为正实数，由柯西不等式，得[(y ＋z)＋(x ＋z)＋(x ＋y)]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ≥(x ＋y ＋z)2，(6分) ∵ x ＋y ＋z ＝1，∴ x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ≥12.(10分) 22. 解：(1) 设口袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C 2nC 29，由题意知C 2nC 29＝512，化简得n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故口袋中原有白球的个数为6.(4分)(2) 由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. P(X ＝1)＝69＝23；P(X ＝2)＝3×69×8＝14；P(X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114；P(X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.(8分)所以取球次数X 的概率分布列为：所求数学期望为：E(X)＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.(10分)23. 解：(1) a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，a 4＝15.(2分)(2) a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(4分)证明如下：当n ＝1时显然成立；设n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝16(k 3＋5k ＋6)．(5分)则当n ＝k ＋1时，再添上第k ＋1个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第k ＋1个平面最多划分成12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个，(7分)从而a k ＋1＝a k ＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]＝16(k 3＋5k ＋6)＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2] ＝16[(k ＋1)3＋5(k ＋1)＋6]， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．综上所述，对 n ∈N *，a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(10分)镇江市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：∵ AE ＝AC ，∠CDE ＝∠AOC ，(2分)又 ∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，(6分) 从而∠PFD ＝∠OCP.(7分)在△PDF 与△POC 中，∠P ＝∠P ，∠PFD ＝∠OCP ， 故△PDF ∽△POC.(10分)B. 解：设P(x 0，y 0)为曲线xy ＝1上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点P′(x′0，y ′0)， 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－2222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，(4分) 即⎩⎨⎧x′0＝22（x 0＋y 0），y ′0＝22（y 0－x 0），(6分)所以⎩⎨⎧x 0＝22（x′0－y′0），y 0＝22（x′0＋y′0），(8分)又点P 在曲线xy ＝1上，所以x 0y 0＝1，故有x′20－y′20＝2，即所得曲线方程为x 2－y 2＝2.(10分) C. 解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94；(4分) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t ，即2x －y ＝3，(6分) d ＝|2×32－0－3|22＋（－1）2＝0，(8分)即直线经过圆心，所以直线截得的弦长为3.(10分)D. 解：(1) 由题设知：|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象(如图所示)，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(5分)(2) 由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0， 即|x ＋1|＋|x －2|≥－a. 由图知|x ＋1|＋|x －2|≥3， ∴ －a ≤3，∴ a ≥－3.(10分)22. 解：设直线方程为y ＝x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)， 将y ＝x ＋m 代入y 2＝2x ，得x 2＋(2m －2)x ＋m 2＝0，(2分)∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －2）2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝2－2m ，x 1x 2＝m 2，(6分)∴ m ＜12，x ＝x 1＋x 22＝1－m ＞12，y ＝x ＋m ＝1，(9分)线段AB 中点M 的轨迹方程为y ＝1⎝⎛⎭⎫x ＞12.(10分) 23. (1) 解：∵ 函数f(x)＝ln(2－x)＋ax 在区间(0，1)上是增函数， ∴ f ′(x)＝－12－x ＋a ≥0在区间(0，1)上恒成立，(2分)∴ a ≥12－x.又g(x)＝12－x在区间(0，1)上是增函数，∴ a ≥g(1)＝1，即实数a 的取值范围为a ≥1.(3分) (2) 证明：先用数学归纳法证明0＜a n ＜1. 当n ＝1时，a 1∈(0，1)成立，(4分) 假设n ＝k 时，0＜a k ＜1成立，(5分)当n＝k＋1时，由(1)知a＝1时，函数f(x)＝ln(2－x)＋x在区间(0，1)上是增函数，∴a k＋1＝f(a k)＝ln(2－a k)＋a k，∴0＜ln2＝f(0)＜f(a k)＜f(1)＝1，(7分)即0＜a k＋1＜1成立，∴当n∈N*时，0＜a n＜1成立．(8分)下证a n＜a n＋1.∵0＜a n＜1，∴a n＋1－a n＝ln(2－a n)＞ln1＝0.(9分)∴a n＜a n＋1.综上所述，0＜a n＜a n＋1＜1.(10分)。