2019年春八年级数学下册小专题一利用二次根式的非负性进行求值计算课时作业新版新人教版
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一：二次根式的非负性
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一（含答案）二次根式的非负性【方法技巧】 a 表示非负数a 算术平方根，它具有双重非负性：（1）二次根式的结果是非负数，即a ≥ 0.（2）二次根式的被开方数是非负数，即a ≥0.一、利用二次根式的非负性求范围1. 二次根式4-x 有意义，则实数x 的取值范围是 .2. 若m m -=-1)1(2 ， 则m 的取值范围是 .二、利用二次根式的非负性化简3. 若a>2，则=+---12)2(22a a a . 4.化简：yy 1-- ＝ . 5.当 x<0时，化简 ： xx x x 24422-+-＝ 6.实数在数轴上的位置如图所示，化简：222)()2()2(b a b a ++--+三、利用二次根式的非负性求值7. 若| x+y-1|+0102=+-y x , 则4y-3x 的平方根是8. 311+=-+-a a a 求a 值。
9. 若433+---=x x y ， 求222244()2(y xy x y xy x +-++-的值.10. 已知实数x 、y 满足,0256102=+++-y x x ，求2020)(y x +的值.b-2-112参考答案1.∵ x-4≥0 ∴x ≥42.∵0)1(2≥-m 1.∴1-m ≥0 ∴m ≤1 3. ∵a >2 ∴=+---12)2(22a a a 22)1()2(---a a =1)1()2(-=---a a 4.∵01≥-y ∴y <0 ∴ y y y y y -=-=--215.∵x<0时x x x x x x x x x x x 1)2(2)2()2(244222-=--=--=-+-6. 如图可知:a+2>0 b-2<0 :a+b>0∴a b a b a b a b a 2)()2()2()()2()2(222=++--+=++--+ 7. ∵| x+y-1|≥0 ,0102≥+-y x∴ | x+y-1|＝0且 0102=+-y x∴ x+y-1＝0，2x-y+10=0解之得： x= -3 , y=4 , ∴4y-3x =25,则4y-3x 的平方根是58. 由，1≥a ,有321111+==-+-=-+-a a a a a a3=a 9. 由433+---=x x y 得4,3==y x O x ba -2-112321)2()(44()2(222222=+=-+-=+-++-y x y x y xy x y xy x 10. 1)y x (,6y ,5x ,0)6(y )5x (,025*********=+∴-===++-=+++-所以有：得：由y x x。
人教版八年级数学下册期末复习课件：专项训练一 二次根式的性质及运算 (共13张PPT)
专项训练一 二次根式的性质及运算
重难突破
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类型 1 二次根式的非负性
1．要使 4－a2＝a－4 成立，则 a 的取值范围是
A．a≤4
B．a≤－4
C．a≥4
D．一切实数
2．已知实数 x、y 满足1－x＋ y－2＝0，则代数式(x－y)2019 的值为
A．1
B．－1
C．2019
D．－2019
类型 2 二次根式的化简 6．化简： (1) －144×－169； 解：原式＝ 144×169＝ 144× 169＝12×13＝156. (2)－13 225； 解：原式＝－13×15＝－5.
(3)－12 1024×5； 解：原式＝－12 322×5＝－12×32 5＝－16 5. (4) 18m2n.
11．计算： (1)14－1－ 12＋( 2＋1)( 2－1)＋ 2× 18； 解：原式＝4－2 3＋2－1＋ 2×3 2＝5－2 3＋6＝11－2 3. (2)(1＋ 3)( 2－ 6)－(2 3－1)2.
解：原式＝ 2－ 6＋ 6－3 2－(12－4 3＋1)＝－2 2－12＋4 3－1＝－2 2＋ 4 3－13.
解：根据新定义，得 7※( 2※ 3)＝ 7※ 3＝ 72－ 32＝ 7－3＝2.
15．先化简，再求值：6x xy＋3y xy3－4y xy＋ 36xy，其中 x＝ 21－1，y＝ 1 2＋1.
解：原式＝(6 xy＋3 xy)－(4 xy＋6 xy)＝－ xy.∵x＝ 21－1＝ 2＋1，y＝ 21＋1＝ 2－1，∴－ xy＝－ 2＋1 2－1＝－1.
解：∵a＝
2＋1，b＝
2－1，∴a＋b＝2
2，a－b＝2，ab＝
浙教版数学八年级下册微专题突破《微专题1二次根式的双重非负性及其应用》
二 ( a)2 与 a2的化简 【教材母题2】 (教材P7课内练习第1题) 填空：(1) （－1）2＝_____1_____， (－ 3)2＝_____3_____，
1312＝____1_31_____， （－4）2＝______4____.
(2)数 a 在数轴上的位置如图所示，则 a2＝____－__a____.
解：由数轴，得b<－2，1<a<2， ∴a＋2>0，b－2<0，a＋b<0， ∴原式＝a＋2＋(b－2)＋(－a－b)＝0.
5. 先化简，再求值：x－1 y＋x2－2 xy÷x＋2x2，其中 x，y 满足 y ＝ x－2－ 4－2x＋1. 解：x－1 y＋x2－2 xy÷x＋2x2＝x（xx＋－2y）·x2＋x2＝x－2 y. ∵y＝ x－2－ 2（2－x）＋1，
【解析】 ∵ a－6＋|b－8|＋(c－10)2＝0，
∴a－6＝0，b－8＝0，c－10＝0， ∴a＝6，b＝8，c＝10. 又∵62＋82＝102，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
3. 若实数 x 满足|x－3|＋( x＋4)2＝7，则化简 2|x＋4|－ （2x－6）2的结果是( A )
A. 4x＋2 C. －2
B. －4x－2 D. 2
【解析】 ∵|x－3|＋( x＋4)2＝7， ∴|x－3|＋|x＋4|＝7， ∴－4≤x≤3， ∴2|x＋4|－ （2x－6）2＝2(x＋4)－|2x－6| ＝2(x＋4)－(6－2x)＝4x＋2.
4．实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，化简： （a＋2）2－ （b－2）2＋ （a＋b）2.
∴原式＝ （a－－a1）2＝1－－aa＝a－a 1.
(2)由三角形的三边关系得，隐含条件a＋b＋c＞0，b＋c＞a，a ＋c＞b，a＋b＞c， ∴a－b－c＜0，b－a－c＜0，c－b－a＜0， ∴原式＝(a＋b＋c)－(a－b－c)－(b－a－c)－(c－b－a) ＝a＋b＋c－a＋b＋c－b＋a＋c－c＋b＋a ＝2a＋2b＋2c.
详解：八年级下册二次根式的计算专题
详解：八年级下册二次根式的计算专题
一、引言
本文将详细讨论八年级下册数学课程中关于二次根式的计算专题。
我们将介绍如何计算二次根式以及相关的基本概念和规则。
通过本文的学习，您将能够更好地掌握和应用二次根式的计算方法。
二、基本概念
1. 二次根式
二次根式是指形如√a的数学表达式，其中a为一个非负实数。
在二次根式中，根号下的数被称为被开方数。
2. 二次根式的计算
计算二次根式时，我们可以遵循以下基本规则：
- 如果被开方数是一个完全平方数，那么二次根式的结果就是这个数的平方根。
- 如果被开方数不是完全平方数，那么我们需要将其分解为质因数的乘积，然后将每个质因数的二次根式计算出来，最后将它们相乘。
三、计算示例
1. 计算完全平方数的二次根式
例如，计算√16的值：
- 16是一个完全平方数，它的平方根为4。
- 因此，√16的值为4。
2. 计算非完全平方数的二次根式
例如，计算√18的值：
- 首先，将18分解为2和9的乘积。
- √2和√9分别为不完全平方数2和完全平方数3。
- 因此，√18可以计算为√2 × √9，即2√3。
四、总结
通过本文的介绍，我们了解了八年级下册二次根式的计算专题。
我们学习了二次根式的基本概念和计算方法，并通过示例进行了实
际操作。
掌握这些知识后，我们可以更加熟练地计算二次根式，并
在解决数学问题时应用它们。
希望本文对您的学习有所帮助！。
人教版八年级数学下册优秀作业课件 第十六章 二次根式 专题训练(一) 二次根式的运算与化简求值技巧
(3)若 a＋4 3 ＝(m＋n 3 )2，且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值．
解：(3)根据题意，得a4＝＝m2m2＋n，3n2， ∵2mn＝4，且 m，n 为正整数， ∴m＝2，n＝1 或 m＝1，n＝2. 当 m＝2，n＝1 时，a＝22＋3×12＝7； 当 m＝1，n＝2 时，a＝12＋3×22＝13， ∴a 的值为 7 或 13
数学 八年级下册 人教版
第十六章 二次根式
专题训练(一) 二次根式的运算与化简求值技巧
1．已知 a－b ＋|b－1|＝0，求 a＋b 的值．
解：∵ a－b ＋|b－1|＝0，∴a－b＝0，b－1＝0， 解得 a＝1，b＝1，∴ a＋b ＝ 2
2．已知 y＝ x－2 ＋ 2－x ＋38 ，求 xy 的值．
当 x＝ 5 －2，y＝ 5 ＋2 时，
原式＝（
1 5－2）－（
2－ 3 ，求代数式(7＋4 3 )x2＋(2＋ 3 )x＋ 3 的值．
解：当 x＝2－ 3 时，原式＝(7＋4 3 )(2－ 3 )2＋(2＋ 3 )(2－ 3 )＋ 3 ＝ (7＋4 3 )(7－4 3 )＋4－3＋ 3 ＝49－48＋1＋ 3 ＝2＋ 3
y (1)x
＋xy
－4＝（x＋yx）y 2－6xy
＝62－16×1
＝30
1 (2)(x
＋1y
1 )(x
－1y
)＝（x＋（y）xy（）y2－x）
＝－6×1 4
2
＝－24
2
14．小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：3＋2 2 ＝(1＋ 2 )2.善于思考的小明进行了以下探索：
八年级下册：二次根式的详细计算专题
八年级下册：二次根式的详细计算专题一、引言本文档将详细介绍八年级下册关于二次根式的计算知识点。
二次根式是数学中的一个重要内容，它涉及到了平方根和一些基本的运算法则。
通过研究本专题，学生将能够掌握二次根式的计算方法，并能够灵活运用于解决实际问题。
二、基本概念1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a (a≥0) 的表达式，其中√表示平方根，a表示被开方数。
例如√4表示对4开方，即2。
2. 二次根式的运算法则- 二次根式的加减法：对于同一个被开方数的二次根式，可以直接进行相加或相减。
例如√2+ √2 = 2√2。
- 二次根式的乘法：将二次根式的被开方数相乘，系数相乘。
例如√2 × √3 = √6。
- 二次根式的除法：将二次根式的被开方数相除，系数相除。
例如√6 ÷ √2 = √3。
三、计算示例1. 加减法示例计算以下二次根式的和与差：- √5 + √3- √8 - √22. 乘法与除法示例计算以下二次根式的乘积与商：- √7 × √2- √20 ÷ √5四、解决实际问题二次根式在实际问题中的应用非常广泛，例如在几何中的勾股定理、物理中的速度计算等。
通过研究二次根式的计算方法，我们可以灵活运用于解决这些实际问题。
以下是一个例子：例题：小明骑自行车以每小时10公里的速度行驶，他行驶了t小时后，所行驶的距离可以表示为√(100t)（单位：千米）。
求小明行驶了多少千米？解答：根据题意，小明行驶的距离为√(100t)。
我们可以将该式子化简为10√t。
因此，小明行驶了10√t千米。
五、总结通过本专题的研究，我们学会了二次根式的定义、运算法则以及如何将其应用于解决实际问题。
掌握二次根式的计算方法对于我们的数学研究和实际生活都具有重要意义。
在今后的研究中，我们应该加强练，熟练掌握二次根式的计算技巧，为进一步研究数学打下坚实的基础。
专题：八年级下册二次根式的精算
专题：八年级下册二次根式的精算简介本文档旨在介绍八年级下册关于二次根式的精算内容。
通过简洁明了的语言，帮助学生理解二次根式的概念和运算规律，以及掌握相关的计算方法。
二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
当a为正实数时，√a也是正实数；当a为零时，√a等于零；当a为负实数时，√a是一个虚数。
在二次根式中，根号下的数称为被开方数。
二次根式的化简对于二次根式的化简，主要有以下几个规则：1. 将二次根式中的完全平方因式提出根号，使根号下的数尽可能小。
2. 如果一个二次根式的根号下有多个因式的乘积，可以将这些因式分别提出根号，使每个根号下只有一个因式。
3. 如果二次根式的根号下有相同的因式，可以将它们合并为一个因式并提出根号。
二次根式的运算对于二次根式的运算，常见的有以下几种情况：1. 二次根式与非零实数的乘法：可以将二次根式中的根号与实数相乘，并合并同类项。
2. 二次根式的加减法：对于具有相同根号下的因式的二次根式，可以合并同类项进行加减运算。
3. 二次根式的乘法：可以将二次根式的根号下的因式相乘，并合并同类项。
4. 二次根式的除法：可以将二次根式的根号下的因式相除，并合并同类项。
5. 二次根式的有理化：对于分母中包含二次根式的有理数，可以通过乘以适当的有理化因子，将分母中的二次根式消去。
注意事项在进行二次根式的精算时，需要注意以下几个问题：1. 对于根号下的因式，要尽可能将其分解为最简形式。
2. 在各种运算中，需要合并同类项，注意符号的变化。
3. 使用适当的有理化因子进行有理化运算。
4. 在计算过程中，注意检查结果的合理性，特别是虚数部分的计算。
通过掌握二次根式的定义、化简和运算规则，学生可以更好地理解和应用二次根式，提高精算的准确性和效率。
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专题训练一 利用二次根式的非负性进行求值计算-人教版八年级数学下册
专题一 利用二次根式的非负性进行求值计算1．已知|2018−x|+√x −2019=x ，则x ﹣20182＝ ．2．已知有理数a 满足|2019﹣a |+√a −2020=a ，求a ﹣20192的值．3．已知：（m ﹣2）2+n 3＝0，则m +n 的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．5D ．﹣54．已知等腰三角形的两边长分别为a ，b ，且a ，b 满足√2a −3b +5+（2a +3b ﹣13）2＝0，求此等腰三角形的周长．【类型1】二次根式与绝对值组合求值 【类型2】二次根式与完全平方式组合求值【类型3】二次根式组合求值5．若x，y都是实数，且y=√x−3+√3−x +8，则x+3y的立方根为．6．已知√a−17+2√17−a=b+8，则√a−b的值是（）A．±3B．3C．5D．±5【类型4】综合类求值7．已知x，y为实数，且y=2√x−5+3√5−x−2．求2x﹣3y的值．8．若实数x、y满足y＞√x−2+√6−3x+3，求|y−3|−√(x−y)2的值．9．已知：|x﹣1|+（y﹣2）2+√z−3=0，求x+y+z值的平方根．参考答案1．解：∵x﹣2019≥0，∴x≥2019，∴|2018﹣x|+√x−2019=x，x ﹣2018+√x −2019=x ，√x −2019=2018，x ﹣2019＝20182，x ﹣20182＝2019，2．解：由题意可知：a ﹣2020≥0，即a ≥2020， ∴2019﹣a ＜0，∴|2019﹣a |+√a −2020=a ﹣2019+√a −2020， ∴a ﹣2019+√a −2020=a ，∴√a −2020=2019，∴a ﹣2020＝20192，∴a ﹣20192＝2020，3．B ．解：由题意得，m ﹣2＝0，3+n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣3，所以，m +n ＝2+（﹣3）＝﹣1．4．解：∵√2a −3b +5+（2a +3b ﹣13）2＝0， ∴{2a −3b +5=02a +3b −13=0， 解得{a =2b =3． 当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当b 为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7． 故三角形的周长为7或8．5．3．解：根据题意得，x ﹣3≥0且3﹣x ≥0， 解得x ≥3且x ≤3，所以，x ＝3，y ＝8，x +3y ＝3+3×8＝27，∵33＝27，∴x +3y 的立方根为3．6．C ．解：由题可得{a −17≥017−a ≥0， 解得a ＝17，∴0＝b +8，∴b ＝﹣8，∴√a −b =√25=5，7．解：由题意可知：{x −5≥05−x ≥0， ∴x ＝5，∴当x ＝5时，y ＝﹣2，∴原式＝2×5﹣3×（﹣2）＝16．8．解：由题意得，x ﹣2≥0，6﹣3x ≥0， 解得，x ＝2，则y ＞3，则|y −3|−√(x −y)2=y ﹣3﹣y +2＝2﹣3＝﹣1．9．解：∵|x﹣1|+（y﹣2）2+√z−3=0，∴{x−1=0 y−2=0 z−3=0，解得x＝1，y＝2，z＝3，∴x+y+z＝1+2+3＝6，∴x+y+z的平方根为±√6．。
2019年春八年级数学下册第十六章二次根式章末小结与提升课时作业(新版)新人教版
二次根式章末小结与提升二次根式概念 二次根式最简二次根式性质- 运算 乘法 除法 加减法 合并被开方数相同的二次根式混合运算类型1 非负数在二次根式中的应用典例1 若x ,y 为实数,且- - +y=4,则xy= .【解析】根据二次根式的定义可知被开方数是非负数,于是 - - 解得即x=,y=4,把x ,y 的值代入可得xy=×4=.【答案】【针对训练】1.若 - 有意义,则(-2)a= 1 .2.求 - - - 的值. 解:∵-a 2≥ a 2≥∴a=0.∴ - - - - - +0=2-3+1+0=0.3.已知a ,b 为实数,且a= - - +3,求 -的值.解:由二次根式非负性的特征可得 3b- ≥ 且7-b ≥ 即b ≥ 且b ≤∴b=7,∴a=3,∴--=4.类型2二次根式的化简与计算典例2已知a=,b=-,求的值.【解析】原式=.当a=,b=-时,原式=-.【针对训练】1.已知m=1+,n=1-,则代数式-的值是(C)A.9B.±3C.3D.52.计算下列各式:(1)×()-2;解:原式=3+2-2=3.(2)4+5.解:原式=4-2=3.3.已知x=1-,y=1+,求x2+y2-xy-2x+2y的值.解:∵x=1-,y=1+,∴x-y=(1-)-(1+)=-2,xy=(1-)(1+)=-2,∴x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2-2(x-y)+xy=(-2)2-2×(-2)+(-2)=10+4.。
浙教版八年级数学下册第一章专题一 二次根式非负性的应用
变式 5 求证：无论 x，y 为何实数， 多项式 x2＋y2－4x＋2y＋5＋ x2的值恒大于或等于 0. 证明：x2＋y2－4x＋2y＋5＋ x2 ＝x2－4x＋4＋y2＋2y＋1＋ x2＝(x－2)2＋(y＋1)2＋ x2， ∵(x－2)2≥0，(y＋1)2≥0， x2≥0，
∴x2＋y2－4x＋2y＋5＋ x2≥0.
变式 2 已知 a，b，c 为△ABC 的三边长， 若 a－b• (b－c)(c－a)＝0，则这个三角形是 __等__腰__三__角__形__________________； 若 (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则这个三角形是 ___等__边__三__角__形___．
变式 3 已知实数 x，y，m 满足 x＋2＋|3x＋y＋m|＝0， 且 y 为负数，则 m 的取值范围是__m__>_6___．
解：∵ x－a中 x－a≥0， a(x－a)中 a(x－a)≥0，∴a≥0. ∵ a－y中 a－y≥0， a(y－a)中 a(y－a)≥0， ∴a≤0，∴a＝0. ∴原式＝ x－ －y＝0，即 x＝ －y， ∴x＝－y，∴3xx22－＋xxyy＋－yy22＝13.
变式 4 化简：(a－1) 1－1 a. 解：∵ 1－1 a≥0，∴1－a>0，∴a－1<0， ∴原式＝－ (a－1)2·1－1 a＝－ 1－a.
【答案】 A
3 母题 3 若|a－3|＋(5＋b)2＋ c＋1＝0， 求代数式b＋a c的值． 解：∵|a－3|≥0，(5＋b)2≥0， c＋1≥0，其和为 0， ∴a－3＝0，5＋b＝0，c＋1＝0， ∴a＝3，b＝－5，c＝－1.∴b＋a c＝－12.
变式 1 已知三角形三边长分别为 a，b，c， 若 a－6＋|b－8|＋(c－10)2＝0，则△ABC 是( C ) A．以 a 为斜边的直角三角形 B．以 b 为斜边的直角三角形 C．以 c 为斜边的直角三角形 D．等边三角形
新人教版八年级数学下册小专题二二次根式运算规律的探究课时作业【精品】
小专题(二)二次根式运算规律的探究以二次根式的运算为载体的规律探究题是中考常考题型之一,这类题新颖、独特、综合性强.解此类题先要通过观察题目中所给出的若干个与二次根式有关的算式,从中寻找它们的共性,进而归纳、猜想出一般的结论,再利用探究的结论解决新的问题.类型1二次根式性质化简类1.一列二次根式①,②,③,…是按一定规律排列的.(1)这3个二次根式的整数部分分别是1,2,3.(2)根据上述规律,第8个符合规律的二次根式的整数部分是8.(3)写出第n个符合规律的二次根式,猜想它的整数部分,并说明理由.解(3)第n个符合规律的二次根式为,整数部分为n.理由∵n2<n2+2n<n2+2n+1,∴n<<n+1,∴的整数部分为n.2.观察下列各式①=2;②=3;③=4;…(1)请你猜想= 5;(2)请你写出第10个式子,并写出推导的过程.(3)根据你观察到的规律,请你写出第n个式子.解(2)=11.推导=11.(3)=(n+1).3.观察下列各式及验证过程①-,验证-;②-,验证-;③-,验证-;…(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想,猜想-的变形结果并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意的自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明.解(1)-,验证-.(2)-,验证-.类型2二次根式数列规律探究类4.将1,三个数按图中方式排列,若规定(a,b)表示第a排第b列的数,则(8,2)与(2018,2018)表示的两个数的积是(B)A. B.3C. D.15.下面是一个按某种规律排列的数阵根据数阵排列的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左向右数第n-2个数是-.(用含n 的代数式表示)6.现有一组有规律的数1,-1,,-,-,1,-1,,-,-,…,其中1,-1,,-,-这六个数按此规律重复出现.(1)第50个数是什么数?(2)把从第1个数开始的前2017个数相加,结果是多少?(3)从第1个数起,把连续若干个数的平方相加,如果和为520,那么一共是多少个数的平方相加?解(1)∵50÷6=8……2,∴第50个数是-1.(2)∵2017÷6=336……1,且1+(-1)++(-)++(-)=0,∴从第1个数开始的前2017个数的和是336×0+1=1.(3)∵12+(-1)2+()2+(-)2+()2+(-)2=12,520÷12=43……4,且12+(-1)2+()2=4,∴43×6+3=261,即一共是261个数的平方相加.类型3有理化因式化简类7.观察下面的变形规律-1,,…解答下面的问题(1)若n为正整数,请你猜想= ;(2)计算+…+×(+1).原式=[(-1)+()+()+…+()]×(+1)=(-1)×(+1)=()2-12=2019-1=2018.8.先阅读下面的解答过程,然后作答形如的化简,只要我们找到两个数a,b使a+b=m,ab=n,这样()2+()2=m, ,那么便有(a>b).例如化简.解首先把化为,这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12,即()2+()2=7,,∴=2+.由上述例题的方法化简(1);(2);(3).解(1)-.(2)-.(3)-.。
新人教版八年级数学下册小专题二二次根式运算规律的探究课时作业【精品】
小专题(二)二次根式运算规律的探究以二次根式的运算为载体的规律探究题是中考常考题型之一,这类题新颖、独特、综合性强.解此类题先要通过观察题目中所给出的若干个与二次根式有关的算式,从中寻找它们的共性,进而归纳、猜想出一般的结论,再利用探究的结论解决新的问题.类型1二次根式性质化简类1.一列二次根式①,②,③,…是按一定规律排列的.(1)这3个二次根式的整数部分分别是1,2,3.(2)根据上述规律,第8个符合规律的二次根式的整数部分是8.(3)写出第n个符合规律的二次根式,猜想它的整数部分,并说明理由.解(3)第n个符合规律的二次根式为,整数部分为n.理由∵n2<n2+2n<n2+2n+1,∴n<<n+1,∴的整数部分为n.2.观察下列各式①=2;②=3;③=4;…(1)请你猜想= 5;(2)请你写出第10个式子,并写出推导的过程.(3)根据你观察到的规律,请你写出第n个式子.解(2)=11.推导=11.(3)=(n+1).3.观察下列各式及验证过程①-,验证-;②-,验证-;③-,验证-;…(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想,猜想-的变形结果并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意的自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明.解(1)-,验证-.(2)-,验证-.类型2二次根式数列规律探究类4.将1,三个数按图中方式排列,若规定(a,b)表示第a排第b列的数,则(8,2)与(2018,2018)表示的两个数的积是(B)A. B.3C. D.15.下面是一个按某种规律排列的数阵根据数阵排列的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左向右数第n-2个数是-.(用含n 的代数式表示)6.现有一组有规律的数1,-1,,-,-,1,-1,,-,-,…,其中1,-1,,-,-这六个数按此规律重复出现.(1)第50个数是什么数?(2)把从第1个数开始的前2017个数相加,结果是多少?(3)从第1个数起,把连续若干个数的平方相加,如果和为520,那么一共是多少个数的平方相加?解(1)∵50÷6=8……2,∴第50个数是-1.(2)∵2017÷6=336……1,且1+(-1)++(-)++(-)=0,∴从第1个数开始的前2017个数的和是336×0+1=1.(3)∵12+(-1)2+()2+(-)2+()2+(-)2=12,520÷12=43……4,且12+(-1)2+()2=4,∴43×6+3=261,即一共是261个数的平方相加.类型3有理化因式化简类7.观察下面的变形规律-1,,…解答下面的问题(1)若n为正整数,请你猜想= ;(2)计算+…+×(+1).原式=[(-1)+()+()+…+()]×(+1)=(-1)×(+1)=()2-12=2019-1=2018.8.先阅读下面的解答过程,然后作答形如的化简,只要我们找到两个数a,b使a+b=m,ab=n,这样()2+()2=m, ,那么便有(a>b).例如化简.解首先把化为,这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12,即()2+()2=7,,∴=2+.由上述例题的方法化简(1);(2);(3).解(1)-.(2)-.(3)-.。
浙教版八年级下专题一 二次根式的双重非负性
一(a≥0)的双重非负性教材P5课内练习第1题)求下列二次根式中字母x的取值范围：(1).(2).(3).(4).(2)0，所以a ＝1＝－6.∴|2013－x|＝|x－2013|＝x－2013，∴|2013－x|＋＝x可化简为x－2013＋＝x，即＝2013，两边平方，得x－2014＝20132，∴x－20132＝2014.已知a，b为实数，且－2＝b＋4.(1)求a，b的值；(2)求a－b的算术平方根．【解析】(1)根据被开方数大于等于0列式求出a的值，再代入即可求出b的值；(2)先代入a，b的值求出a－b，然后根据算术平方根的定义解答．解：(1)根据题意，得a－5≥0且5－a≥0，(2)数a在数轴上的位置如图1所示，则＝__－a__.图1【思想方法】根据二次根式的性质()2＝a(a≥0)，＝|a|＝进行化简．化简－()2得(A)A．2B．－4x＋4C．－2D．4x－4【解析】由题意，得2x－3≥0.由于2x－1＞2x－3，所以2x－1＞0，故原式＝－(2x－3)＝2x －1－2x＋3＝2.[2012·呼和浩特]实数a，b在数轴上的位置如图2所示，则＋a的化简结果为__－b__．图2(1)当a<0时，化简；(2)已知x满足的条件为化简＋；(3)实数a，b在数轴上的位置如图3所示，化简－＋.图3解：(1)∵a<0，(1)(－)2－＋.(2)－－.(3)()2＋(a≥0)．解：(1)3；(2)－0.2；(3)2a.【思想方法】本题主要考查二次根式的非负性，灵活运用公式＝|a|＝几个非负数的和为零，则这几个数都为零．[2012·青海]若m，n为实数，且|2m＋n－1|＋＝0，则(m＋n)2012的值为__1__．【解析】根据非负数的性质得到∴解得∴(m＋n)2012＝(2－3)2012＝1.[2013·新疆]若a，b为实数，且|a＋1|＋＝0，则(ab)2013的值是(C)的取值范已知S1＝1＋＋，S2＝1＋＋，S3＝1＋＋，…，S n＝1＋＋.设S＝＋＋…＋，求S.解：∵S n＝1＋＋＝1＋＋2·＝1＋＋2·＝，∴＝1＋，∴S＝＋＋＋…＋＝n＋＝n＋1－＝.。
小专题(一) 利用二次根式的非负性进行求值计算
二次根式与绝对值组合求值 1.若|a-3|+ ������-4=a,则 a 的值为 13 . 2.若 a,b 为实数,且|a+1|+ ������-1=0,求( ab )2018. 解:∵|a+1|+ ������-1=0,
∴a+1=0,b-1=0, ∴a=-1,b=1,ab=-1, ∴( ab )2018=( -1 )2018=1.
小专题
类型1 类型2
利用二次根式的非负性进行求值计算
-6类型3 类型4Fra bibliotek综合类求值 7.若实数 x,y 满足 y> ������-2 + 6-3������+3,求|y-3|- ( ������-������ )2 的值. ������-2 ≥ 0, 解:由题意得 解得 x=2,则 y>3, 6-3������ ≥ 0, 则|y-3|- ( ������-������ )2 =y-3-y+2=2-3=-1. 8.已知|x-1|+ ������ + 2+( z-3 )2=0,求( x+y )z 的值. 解:∵|x-1|+ ������ + 2+( z-3 )2=0, ∴x-1=0,y+2=0,z-3=0, 解得 x=1,y=-2,z=3, ∴( x+y )z=( 1-2 )3=-1.
小专题
类型1 类型2
利用二次根式的非负性进行求值计算
-5类型3 类型4
两个二次根式组合求值 5.已知 y= ������-2018 − 2018-������-2017,则 x+y 的平方根是 ±1 . 6.已知 a,b,c 为一个等腰三角形的三条边长,并且 a,b 满足 b=2 ������-3 + 3-������+5,求此等腰 三角形的周长. ������-3 ≥ 0, 解:由题意得 解得 a=3,则 b=5, 3-������ ≥ 0, 若 c=a=3,此时周长为 11; 若 c=b=5,此时周长为 13. 故等腰三角形的周长为 11 或 13.
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小专题(一)利用二次根式的非负性进行求值计算
由二次根式的定义知二次根式中的被开方数总是非负数,这是二次根式有意义的条件,也是进行二次根式运算的前提.二次根式的被开方数的非负性这个隐含条件,在解决某些问题时可以大显身手.
类型1二次根式与绝对值组合求值
1.若|a-3|+-=a,则a的值为13.
2.若a,b为实数,且|a+1|+-=0,求(ab)2018.
解:∵|a+1|+-=0,
∴a+1=0,b-1=0,
∴a=-1,b=1,ab=-1,
∴(ab)2018=(-1)2018=1.
类型2二次根式与完全平方式组合求值
3.若(m-5)2+=0,则m+n的值是(A)
A.-1
B.0
C.1
D.2
4.若-=-6,求a-b的值.
解:原式可化为-+6=0,
则a-=0,b+=0,
解得a=,b=-,
所以a-b=-=1.
类型3两个二次根式组合求值
5.已知y=--2017,则x+y的平方根是±1.
6.已知a,b,c为一个等腰三角形的三条边长,并且a,b满足b=2-+5,求此等腰三角形的周长.
解:由题意得-解得a=3,则b=5,
若c=a=3,此时周长为11;
若c=b=5,此时周长为13.
故等腰三角形的周长为11或13.
类型4综合类求值
7.若实数x,y满足y>-+3,求|y-3|--的值.
解:由题意得-
解得x=2,则y>3,
则|y-3|--=y-3-y+2=2-3=-1.
8.已知|x-1|++(z-3)2=0,求(x+y)z的值.解:∵|x-1|++(z-3)2=0,
∴x-1=0,y+2=0,z-3=0,
解得x=1,y=-2,z=3,
∴(x+y)z=(1-2)3=-1.。