新高考二轮数学理科金版学案专题复习同步练习7.2概率、随机变量及其分布列(含答案解析)
2025年高考数学一轮复习-7.2-离散型随机变量及其分布列【导学案】
2025年高考数学一轮复习-7.2-离散型随机变量及其分布列学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系. 3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.4.理解两点分布．知识点一随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点．(2)所有可能取值是明确的．知识点二离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．知识点三离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.知识点四两点分布如果P(A)＝p，则P(A)＝1－p，那么X的分布列为X01P1－p p我们称X服从两点分布或0－1分布．思考随机变量X只取两个值，该分布是两点分布吗？答案不一定，如果X只取0和1，则是两点分布，否则不是．1．离散型随机变量的取值是任意的实数．(×)2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(√)3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(×)4．手机电池的使用寿命X是离散型随机变量．(×)一、随机变量的概念及分类例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(4)一瓶果汁的容量为500±2mL.解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．(4)由于果汁的容量在498mL～502mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量．反思感悟判断离散型随机变量的方法(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．跟踪训练1指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(3)某林场的树木最高达30m，则此林场中树木的高度；(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．解(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．二、求离散型随机变量的分布列例2一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；(2)用X 表示摸出的2个球中的白球个数，求X 的分布列．解一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C 25＝10(种)情况．(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A ，P (A )＝C 13C 1210＝35，即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为35.(2)用X 表示摸出的2个球中的白球个数，X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 2210＝110，P (X ＝1)＝C 13C 1210＝35，P (X ＝2)＝C 2310＝310.故X 的分布列为X 012P11035310反思感悟求离散型随机变量的分布列关键有三点(1)随机变量的取值．(2)每一个取值所对应的概率．(3)用所有概率之和是否为1来检验．跟踪训练2袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X 的分布列．解X 的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P (X ＝1)＝15，第2次取到白球的概率为P (X ＝2)＝4×15×4＝15，第3次取到白球的概率为P (X ＝3)＝4×3×15×4×3＝15，第4次取到白球的概率为P (X ＝4)＝4×3×2×15×4×3×2＝15，第5次取到白球的概率为P (X ＝5)＝4×3×2×1×15×4×3×2×1＝15，所以X 的分布列为X 12345P1515151515三、分布列的性质及应用例3设随机变量X 的分布列ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值；(2)求解由题意，所给分布列为X 152535451Pa2a3a4a5a(1)由分布列的性质得a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115.(2)方法一P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45.方法二1－1＝45.延伸探究本例条件不变，求X 解∵110<X <710，∴X ＝15，25，35.∴X＋＝115＋215＋315＝25.反思感悟分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．跟踪训练3若离散型随机变量X 的分布列为X 01P9c 2－c3－8c试求出离散型随机变量X 的分布列．解由已知可得9c 2－c ＋3－8c ＝1，∴9c 2－9c ＋2＝0，∴c ＝13或23.检验：当c ＝13时，9c 2－c ＝9－13＝23>0，3－8c ＝3－83＝13>0；当c ＝23时，9c 2－c ＝9－23>1，3－8c ＝3－163<0(不适合，舍去)．故c ＝13.故所求分布列为X 01P23131．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是()A.X 012P 0.70.150.15B.X －2024P 0.50.20.3C.X123P－131223D.X 123P lg 1lg 2lg 5答案C解析C 项中，P (X ＝1)<0不符合P (X ＝x i )≥0的特点，也不符合P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1的特点．所以C 项不是随机变量的分布列．2．(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是()A ．到2020年5月1日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数B ．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C ．某人在车站等出租车的时间D ．某人投篮10次，可能投中的次数答案ABC3．设离散型随机变量X 的分布列如下：X 1234P161316p则p 的值为()A.12B.16C.13D.14答案C解析由分布列的性质可知p ＝1－16－13－16＝13.4．已知X ，Y 均为离散型随机变量，且X ＝2Y ，若X 的所有可能取值为0,2,4，则Y 的所有可能取值为________．答案0,1,2解析由题意Y ＝12X 且X ∈{0,2,4}，得Y ∈{0,1,2}．5．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________.答案0.8解析因为Y ＝3X －2，所以当Y ＝－2时，X ＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.1．知识清单：(1)随机变量的概念、特征．(2)离散型随机变量的概念．(3)离散型随机变量的分布列的概念及其性质．(4)两点分布．2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误．1．(多选)下面是离散型随机变量的是()A．某机场候机室中一天的游客数量XB．某外卖员一天内收到的点餐次数XC．某水文站观察到一天中长江的最高水位XD．某立交桥一天经过的车辆数X答案ABD解析ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量，C中X可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变量．2．设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7答案A解析由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D ．第4次击中目标答案C解析ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于()A ．0 B.13C.12D.23答案B解析设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p .依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故p (ξ＝0)＝1－p＝13.5．离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，y (x ，y ∈N )代替，分布列如下：X 123456P0.200.100.x 50.100.1y0.20则P X ()A ．0.25B ．0.35C ．0.45D ．0.55答案B解析根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，可解得x ＝2，y ＝5，故X P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.35.6．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码所用的次数为X ，随机变量X 的可能值有________个．答案24解析后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A 34＝24(个)．7．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么P (X ＝1)＝________，n ＝________.答案0.110解析由题意知P (X <4)＝3P (X ＝1)＝0.3，∴P (X ＝1)＝0.1，又nP (X ＝1)＝1，∴n ＝10.8．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则P (X <2)＝________.答案2527解析P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 15C 15C 15C 16C 16C 16＋C 23C 15C 15C 16C 16C 16＝200216＝2527.9．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．解(1)ξ0123结果取得3个黑球取得1个白球，2个黑球取得2个白球，1个黑球取得3个白球(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值为0,1,2,3，所以η对应的各值是5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21，显然η为离散型随机变量．10．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．解ξ的所有可能取值为0,1,2，“ξ＝0”表示入选3人全是男生，则P (ξ＝0)＝C 38C 310＝715，“ξ＝1”表示入选3人中恰有1名女生，则P (ξ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，“ξ＝2”表示入选3人中有2名女生，则P (ξ＝2)＝C 22C 18C310＝115.因此ξ的分布列为ξ012P71571511511．已知随机变量X 的分布列如下：X 12345678910P23232233234235236237238239m则P (X ＝10)等于()A.239B.2310C.139D.1310答案C 解析P (X ＝10)＝1－23－…－239＝139.12．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果数为()A ．18B ．21C ．24D ．10答案B解析ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C 27种方法，即21种．13．(多选)已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，则()X －101Pa bcA.a ＝13B ．b ＝13C ．c ＝13D ．P (|X |＝1)＝23答案BD解析∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13.∴P (|X |＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝－1)＝1－P (X ＝0)＝1－13＝23.14．若随机变量X 的分布列如下表所示：X 0123P14a14b则a 2＋b 2的最小值为________．答案18解析由分布列的性质，知a ＋b ＝12，而a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝18(当且仅当a ＝b ＝14时等号成立)．15．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是()A.0，13 B.－13，13C ．[－3,3]D ．[0,1]答案B 解析设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.16．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件；(2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列．解(1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为ξ0149P 16131316。
金版新学案新编高三总复习第十一章第1课时计数原理、频率、随机变量及其分布
两个计数原理的综合应用
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理， 又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用， 并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理 解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情 的含义和标准是什么． (2)明 确 完 成 这 件 事 情 需 要 “ 分 类 ” 还 是 “ 分
第十一章 计数原理、概率、 随机变量及其分布
知识点
考纲下载
1.理解分类加法计数原理和分步乘法
两个 计数原理．
原理 2.会用分类加法计数原理和分步乘法
计数原理解决一些简单的实际问题．
排列 组合
1.理解排列、组合的概念． 2.能利用计数原理推导排列数公式、 组合数公式． 3.能解决简单的实际问题．
二项式 定理
名方法共有( A．10 种
) B．20 种
C．25 种
D．32 种
解析： 因为每人均有两种选择方法，所以
不同的报名方法有 25＝32 种． 答案： D
3．设 P、Q 是两个非空集合，定义 P*Q＝{(a，
b)|a∈P，b∈Q}．若 P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3,4}，
则 P*Q 中元素的个数是( )
1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持本
班的某次主题班会，则不同的选法为( )
A．6
B．5种
C．3种
D．2种
解析： “完成这件事”即选出一人作主持
人，可分选女主持人和男主持人两类进行，
分别有 3 种和 2 种，共有 3＋2＝5 种． 答案： B
2．5 位同学报名参加两个课外活动小组，
每位同学限报其中的一个小组，则不同的报
高考数学(理)二轮复习专题突破课件：1-7-2概率、随机变量及其分布列
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
[探究提升] 1.一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则 一般利用对立事件进行求解．尤其是涉及到“至多”、“至 少”等问题常常用这种方法求解(如第(1)问)． 2．求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事 件能转化为几个彼此互斥的事件的和还是事件能转化为几个相 互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(如第(2) 问)．
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”， 则 P(C)＝CC2435＝35， 依题意，A、B、C 相互独立，A ，B ，C 相互独立，且 AB C ，A B
ห้องสมุดไป่ตู้
C， A BC，ABC 彼此互斥．
又 P(X＝2)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
解 (1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1，“甲队以 3∶1 胜利” 为事件 A2，“甲队以 3∶2 胜利”为事件 A3， 由题意知，各局比赛结果相互独立，
故 P(A1)＝233＝287， P(A2)＝C322321－23×23＝287， P(A3)＝C422321－232×12＝247. 所以，甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为287，以 3∶2 胜 利的概率为247.
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
【变式训练2】 (2013·陕西高考改编)在一场娱乐晚会上，有5位 民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最 受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手， 其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3 至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏 爱，因此在1至5号中选3名歌手． (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 “X≥2”的事件概率．
新广东高考数学理科步步高二轮复习专题突破7.2概率、随机变量及其分布(含答案解析)
第2讲 概率、随机变量及其分布(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.78 答案 D解析 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78. 2．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 答案 D解析 P ＝4×4×sin 150°－π×124×4×sin 150°＝1－π8.3．已知Ω＝{(x ，y )|⎩⎨⎧y ≥0，y ≤4－x2}，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈[π－22π，1]，则实数m 的取值范围为( )A ．[12，1]B ．[0，33] C ．[33，1] D ．[0,1]答案 D解析 如图，由题意得m ≥0，根据几何概型的意义， 知P (M )＝S 弓形S 半圆＝S 弓形2π，又P (M )∈[π－22π，1]，所以S 弓形∈[π－2,2π]．故0≤m ≤1.4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是( ) A.310 B.29 C.78 D.79 答案 D解析 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”， 则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P ABP A ＝730310＝79.5．将三个骰子各掷一次，设事件A 为“三个骰子掷出的点数都不同”，事件B 为“至少有一个骰子掷出3点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( ) A.6091，12 B.12，6091 C.518，6091 D.91216，12答案 A解析 根据条件概率的含义，P (A |B )的含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少有一个骰子掷出3点”的情况下，“三个骰子掷出的点数都不同”的概率．因为“至少有一个骰子掷出3点”的情况共有6×6×6－5×5×5＝91(种)，“三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个3点”的情况共有C 13×5×4＝60(种)， 所以P (A |B )＝6091. P (B |A )的含义为在A 发生的情况下，B 发生的概率，即在“三个骰子掷出的点数都不同”的情况下，“至少有一个骰子掷出3点”的概率，所以P (B |A )＝C 13×5×46×5×4＝12，故选A.6．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c )＝P (ξ<c －2)，则c 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 因为ξ服从正态分布N (2,9)即μ＝2为图象的对称轴，而P (ξ>c )＝P (ξ<c －2)即c 与c －2关于2对称，则有c ＋c －22＝2⇒c ＝3.二、填空题7．(2014·江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________． 答案 12解析 从10件产品中取4件，共有C 410种取法，取到1件次品的取法为C 13C 37种，由古典概型概率计算公式得P ＝C 13C 37C 410＝3×35210＝12.8．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 答案1132解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，故所求的概率P ＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132.9．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.10．连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，点数不是3的倍数，1，点数是3的倍数，S n 是其前n 项和，则S 5＝3的概率是________． 答案10243解析 该试验可看作一个独立重复试验，结果为－1发生的概率为23，结果为1发生的概率为13，S 5＝3即5次试验中－1发生一次，1发生四次，故其概率为C 15·(23)1(13)4＝10243. 三、解答题11．一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球(假设取到任一小球的可能性相等)． (1)求取出的小球中有相同编号的概率；(2)记取出的小球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解 (1)设取出的小球中有相同编号的事件为A ，编号相同可分成一个相同和两个相同．P (A )＝12C 13＋C 23＋1C 47＝1935. (2)随机变量X 的可能取值为3,4,6. P (X ＝3)＝1C 47＝135，P (X ＝4)＝C 12C 34＋C 24C 47＝25，P (X ＝6)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望E (X )＝3×135＋4×25＋6×47＝17935.12.(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．解 (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16.记B j 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意得D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，得 P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3) ＝12×15＋16×15＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3) ＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为 所以所以数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.13．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望． (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率． 解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知，X ～B (6，23)P (X ＝k )＝C k 6·(23)k ·(13)6－k(k ＝0,1,2,3,4,5,6) X 的分布列为E (X )＝1729(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝2 916729＝4. 或因为X ～B (6，23)，所以E (X )＝6×23＝4.即X 的数学期望为4.(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则 P (A )＝C 24·(13)2·(23)4＋C 14·13·(23)5＋(23)6＝3281. 答 教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.。
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7.2 离散型随机变量及其分布列(精讲)考点一随机变量的辨析【例1】(2021·全国·高二课时练习)一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为( )A．所取球的个数 B．其中含红球的个数C．所取白球与红球的总数 D．袋中球的总数【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )A．两次掷得的点数 B．两次掷得的点数之和C．两次掷得的最大点数 D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差2．(2021·全国·高二课时练习)一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到1个红球D．至少取到1个红球或1个黑球3．(2021·全国·高二专题练习)下面给出三个变量:(1)2013年地球上发生地震的次数ξ.(2)在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.(3)在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.其中是随机变量的是____.考点二离散型随机变量及取值【例2-1】(2021·全国·高二课时练习)下列X是离散型随机变量的是( )①某座大桥一天经过的车辆数X；②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；③一天之内的温度X；④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④【例2-2】(2021·全国·高二课时练习)抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为( )A．第一枚为5点，第二枚为1点B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点C．第一枚为6点，第二枚为1点D．第一枚为4点，第二枚为1点【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)给出下列各量：①某机场候机室中一天的游客数量；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；③某同学离开自己学校的距离；④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；⑤体积为83m的正方体的棱长.其中是离散型随机变量的是( )A．①②④B．①②③C．③④⑤D．②③④2．(2021·全国·高二单元测试)袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )A．5 B．9 C．10 D．253．(2021·河北·辛集中学高二期中)袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( ) A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7 C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，54．(2021·全国·高二课时练习)已知小王钱夹中有20元、10元、5元和1元面额的人民币各一张，他决定随机抽出两张，用来买晚餐．若用X表示所抽两张人民币的金额之和，求出随机变量X的取值范围，并分别说明这些取值所表示的随机试验结果．考点三分布列的性质的应用【例3-1】(2021·全国·高二课时练习)随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝－2)＝14，P(X＝3)＝12，P(X＝5)＝112，则P(X＝0)的值为( )A．0 B．14C．16D．18【例3-2】(2021·全国·高二课时练习)(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则( )A．a＝13B．b＝13C．c＝13D．P(|X|＝1)＝23【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为( )A．1110B．155C．110 D．552．(2021·全国·高二课时练习)下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( )A．B．C．D．3．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A．10,3⎛⎫⎪⎝⎭B．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[－3，3]D ．[0，1]4．(2021·全国·高二单元测试)已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，{}3,2,1,0,1,2,3c ∈---，在这些抛物线中，记随机变量a b ξ=-，则()11P ξ-==( ) A ．59B ．35C ．25D ．13考点四 离散型随机变量的分布列【例4】(2021·全国·高二课时练习)某品牌汽车的4S 点，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如表所示．已知分9期付款的频率为0.4，该店销售一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．(1)若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3位顾客，求事件A “至多有1位采用分6期付款”的概率()P A ；(2)按分层抽样方式从这100位顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列．【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A 水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理如表所示．以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．(1)求该超市A水果日需求量n(单位：千克)的分布列；(2)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列．2．(2021·全国·高二课时练习)某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的A，B，C三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．(1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；(2)记A，B，C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，求X的分布列．3．(2021·全国·高二课时练习)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和，求X的分布列．4．(2021·全国·高二课时练习)写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)某市医院明天接到120急救电话的次数X．(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X是一个随机变量．5(2021·江苏·立人高中高二期中)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数.(1)这3个数组成一个三位数，求这个三位数能够被5整除的概率；(2)设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布列.。
【金版学案】2016高考数学理科二轮复习习题：专题7第二讲 概率、随机变量及其分布列
专题七概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数第二讲概率、随机变量及其分布列1．若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．若事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．一般地，设A ，B 为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．特别地，对于古典概型，由于组成事件A 的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率也可表示为：P(B|A)＝n （AB ）n （A ）.1．事件A 与事件B 相互独立．设A ，B 为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．2．独立重复试验．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P(X ＝k)＝C k n p k (1－p)n －k，k ＝0，1，2，…，n.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(√) (2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)(4)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．(×)(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)1．(2014·新课标Ⅰ卷)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(D )A.18B.38C.58D.78解析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有24＝16种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：①一天一人，另一天三人，有C 14A 22＝8种不同的结果；②周六、周日各2人，有C 24＝6种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8＋6＝14种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1416＝78.故选D.2．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为(D )A.16B.14 C.13 D.12解析：所有可能的比赛分组情况共有4×C 24C 222！＝12种，甲、乙相遇的分组情况恰好有6种．故选D.3．(2015·广东卷)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(B )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：记3件合格品为a 1，a 2，a 3，2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．故其概率为P(A)＝610＝0.6.4．(2015·新课标Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312解析：3次投篮投中2次的概率为P(k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k ＝2)＋P(k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.5．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示：X －1 0 1 2 Pabc112若E(X)＝0，D(X)＝1，则a ＝512，b ＝14．解析：由题知a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，12×a ＋12×c ＋22×112＝1，解得a ＝512，b ＝14.一、选择题1．若x ∈A ，且1x∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，在集合M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为(A )A.117B.151C.7255D.42552．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为(C )A.1180B.1288C.1360D.1480解析：四个数字之和为23的情况有：09：59，18：59，19：58，19：49四种，基本事件总数为60×24＝1 440，故所求概率为P ＝41 440＝1360. 3．(2014·陕西卷)设样本数据x 1，x 2，…， x 10的均值和方差分别为1和4，若 y i ＝x i ＋a(a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…， y 10的均值和方差分别为(A )A ．1＋a ，4B ．1＋a ，4＋aC ．1，4D ．1，4＋a解析：由题得：x 1＋x 2＋…＋x 10＝10×1＝10；(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2＝10×4＝40.y 1，y 2，…y 10的均值和方差分别为：均值y －＝110(y 1＋y 2＋…＋ y 10)＝110[(x 1＋a)＋(x 2＋a)＋…＋(x 10＋a)] ＝110[(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋10a] ＝10＋10a 10＝1＋a.方差＝110[(y 1－y －)2＋(y 2－y －)2＋…＋(y 10－y －)2]＝110[(x 1＋a)－(1＋a)]2＋[(x 2＋a)－(1＋a)]2＋…＋[(x 10＋a)－(1＋a)]＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2]＝4010＝4.故选A.4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为(C )A.16B.112C.18D.110解析：设事件A 表示“任选一名同学是男生”，事件B 表示“任选一名同学为三好学生”，则所求概率为P(B|A)．依题意得P(A)＝4060＝23，P(AB)＝560＝112.故P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝11223＝18.5．(2015·福建卷改编)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(A)A.57B.79C.512D.713 解析：由题意知，阴影部分的面积 S ＝⎠⎛12(4－x 2)dx ＝(4x －13x 3)|21＝53，∴ 所求概率P ＝S S 矩形ABCD＝531×4＝512.6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(A )A.13B.12C.23D.34 二、填空题7．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率是516． 解析：点P 移动5次后到达点(2，3)可看作是5次移动中选择2次右移、3次上移，故有C 25种不同的移动方法，而所有的移动方法有25种，故所求的概率为P ＝C 2525＝516. 8．(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为56． 解析：由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P ＝C 24－C 22C 24＝56. 三、解答题9．(2014·全国大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望． 分析：(1)首先用字母表示有关的事件，A i 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．将D 分解为互斥事件的和；D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －＋A 2·B －·C ＋A 2·B ·C ，再利用互斥事件的概率加法公式计算P(D)；(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，先用分解策略分别求P(X ＝i)(i ＝0，1，2，3，4)，最后利用离散型随机变量数学期望公式求E(X)的值．解析：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －＋A 2·B －·C ＋A 2·B ·C ，又P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，∴P(D)＝P(A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －＋A 2·B －·C ＋A 2·B ·C)＝P(A 1·B ·C)＋P(A 2·B ·C －)＋P(A 2·B －·C)＋P(A 2·B ·C)＝P(A 1)P(B)P(C)＋P(A 2)P(B)P(C －)＋P(A 2)P(B －)P(C))＋P(A 2)P(B)·P(C)＝0.31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4.P(X ＝0)＝P(B －·A 0·C －)＝P(B －)P(A 0)P(C －)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X ＝1)＝P(B·A 0·C －＋B －·A 0·C ＋B －·A 1·C －)＝P(B)P(A 0)P(C －)＋P(B －)P(A 0)P(C)＋P(B －)P(A 1)P(C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X ＝4)＝P(A 2·B ·C)＝P(A 2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X ＝3)＝P(D)－P(X ＝4)＝0.25，P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)－P(X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38.∴数学期望E(X)＝0×P(X ＝0)＋1×P(X ＝1)＋2×P(X ＝2)＋3×P(X ＝3)＋4×P(X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.10．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立，求： (1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)．解析：令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A 1C 2B 3)＋P(B 1C 2A 3)＝123＋123＝14. (2)ξ的所有可能值有2，3，4，5，6，且P (ξ＝2)＝P(A 1A 2)＋P(B 1B 2)＝122＋122＝12， P (ξ＝3)＝P(A 1C 2C 3)＋P(B 1C 2C 3)＝123＋123＝14，P (ξ＝4)＝P(A 1C 2B 3B 4)＋P(B 1C 2A 3A 4)＝124＋124＝18， P (ξ＝5)＝P(A 1C 2B 3A 4A 5)＋P(B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝116， P (ξ＝6)＝P(A 1C 2B 3A 4C 5)＋P(B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝116. 故ξ的分布列为：从而E(ξ)＝2×12＋3×14＋4×18＋5×116＋6×116＝4716.。
高三数学(理科)二轮复习教案专题五第一讲概率 随机变量及其分布列
第一讲概率随机变量及其分布列研热点〔聚焦突破〕类型一古典概型古典概型<1>特点：等可能性、有限性；<2>概率求法：P＝错误![例1]<20##高考##卷改编>设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ＝0；当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时,ξ＝1.求概率P<ξ＝0>．[解析]若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8C错误!对相交棱,因此P<ξ＝0>＝错误!＝错误!＝错误!.跟踪训练从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则a<b的概率为<>A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：取出的两个数用数对表示,则数对<a,b>的不同选法共有15种,即：<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,3>,<4,4>,<5,1>,<5,2>,< 5,3>,其中a<b的情形有<1,2>,<1,3>,<2,3>,共3种,故所求事件的概率P＝错误!＝错误!.答案：D类型二几何概型1．特点：等可能性、无限性．2．概率求法P<A>＝错误!.[例2]<20##高考##卷>如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为<>A.错误!B.错误!C.错误!D.错误![解析]利用积分求出阴影部分的面积,应用几何概型的概率计算公式求解．∵S阴影＝错误!<错误!－x>dx＝错误!x错误!－错误!x2错误!＝错误!－错误!＝错误!,又S正方形＝1,∴由几何概型知,P恰好取自阴影部分的概率为错误!＝错误!.OABC[答案]C跟踪训练<20####月考>已知函数f<x>＝－3x2＋ax＋b,若a,b都是区间[0,4]中任取的一个数,则f<1>>0的概率是________解析：由f<1>>0得－3＋a＋b>0,即a＋b>3.在0≤a≤4,0≤b≤4的约束条件下,作出a＋b>3满足的可行域,如图所示,则根据几何概型概率公式可得,f<1>>0的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!类型三相互独立事件的概率与条件概率[例3]<20##高考课标全国卷>某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命<单位：小时>均服从正态分布N<1 000,502>,且各个元件能否正常工作相互独立,则该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．[解析]利用独立事件和对立事件的概率公式求解．设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A,B,C,显然P<A>＝P<B>＝P<C>＝错误!,∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为<A错误!＋错误!B＋AB>C,∴该部件的使用寿命超过 1 000小时的概率P＝<错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!>×错误!＝错误!.[答案]错误!跟踪训练1．<20####师大附中月考>一个盒子里有6支好晶体管,4支坏晶体管,任取两次,每次取一支,每次取后不放回,已知第一支是好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为<>A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：记"第i<i＝1,2>支晶体管是好的"为事件A i<其中i＝1,2>,依题意知,要求的概率为P<A2|A1>．由于P<A1>＝错误!,P<A1A2>＝错误!＝错误!,所以P<A2|A1>＝错误!＝错误!＝错误!.答案：C2．<20####模拟>在三次独立重复试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率为错误!,则事件A恰好发生一次的概率为<>A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：设事件A在每次试验中发生的概率为x,由题意有1－C错误!<1－x>3＝错误!,得x＝错误!,则事件A恰好发生一次的概率为C错误!×错误!×<1－错误!>2＝错误!.答案：C类型四离散型随机变量及其分布列1．期望：Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.2．方差：Dξ＝<x1－Eξ>2p1＋<x2－Eξ>2p2＋…＋<xn－Eξ>2pn.3．标准差：δξ4．E<aξ＋b>＝aEξ＋b,D<aξ＋b>＝a2Dξ,Dξ＝Eξ2－<Eξ>2.5．正态分布<1>N<μ,σ2>的分布密度曲线关于直线x＝μ对称,该曲线与x轴之间的图形的面积为1；<2>若X～N<μ,σ2>,则P<μ－σ <X≤μ＋σ>＝0.682 6,P<μ－2σ <X≤μ＋2σ>＝0.954 4,P<μ－3σ <X≤μ＋3σ>＝0.997 4,即3σ原则．[例4]<20##高考##卷>现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏．<1>求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；<2>求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；<3>用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ＝|X－Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.[解析]依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为错误!,去参加乙游戏的概率为错误!.设"这4个人中恰有i人去参加甲游戏"为事件A i<i＝0,1,2,3,4>．则P<A i>＝C错误!<错误!>i<错误!>4－i.<1>这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P<A2>＝C错误!<错误!>2<错误!>2＝错误!.<2>设"这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数"为事件B,则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥,故P<B>＝P<A3>＋P<A4>＝C错误!<错误!>3×错误!＋C错误!<错误!>4＝错误!.所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为错误!.<3>ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P<ξ＝0>＝P<A2>＝错误!,P<ξ＝2>＝P<A1>＋P<A3>＝错误!,P<ξ＝4>＝P<A0>＋P<A4>＝错误!.所以ξ的分布列是0 2 4P 82740811781随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×错误!＋2×错误!＋4×错误!＝错误!.跟踪训练1．<20####模拟>设随机变量X～N<1,52>,且P<X≤0>＝P<X>a－2>,则实数a的值为<> A．4 B．6C．8 D．10解析：由正态分布的性质可知P<X≤0>＝P<X≥2>,所以a－2＝2,故a＝4,选A.答案：A2．<20##高考##卷>某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束；若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束．试题库中现共有n＋m道试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类型试题的数量．<1>求X＝n＋2的概率；<2>设m＝n,求X的分布列和均值<数学期望>解析：以A i表示第i次调题调用到A类型试题,i＝1,2.<1>P<X＝n＋2>＝P<A1A2>＝错误!·错误!＝错误!<2>X的可能取值为n,n＋1,n＋2.P<X＝n>＝P<A1A2>＝错误!·错误!＝错误!,P<X＝n＋1>＝P<A1A2>＋P<A1A2>＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!,P<X＝n＋2>＝P<A1A2>＝错误!·错误!＝错误!,从而X的分布列是EX＝n×错误!＋<n＋1>×错误!＋<n＋2>×错误!＝n＋1.析典题〔预测高考〕高考真题[真题]<20##高考##卷>现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分；向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．<1>求该射手恰好命中一次的概率；<2>求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.[解析]<1>记："该射手恰好命中一次"为事件A,"该射手射击甲靶命中"为事件B,"该射手第一次射击乙靶命中"为事件C,"该射手第二次射击乙靶命中"为事件D.由题意知P<B>＝错误!,P<C>＝P<D>＝错误!,由于A＝B C D＋B C D＋B C D,根据事件的独立性和互斥性得P<A>＝P<B C D＋B C D＋B C D>＝P<B C D>＋P<B C D>＋P<B C D>＝P<B>P<C>P<D>＋P<B>P<C>P<D>＋P<B>P<C>P<D>＝错误!×<1－错误!>×<1－错误!>＋<1－错误!>×错误!×<1－错误!>＋<1－错误!>×<1－错误!>×错误!＝错误!.<2>根据题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性得P<X＝0>＝P<B C D>＝[1－P<B>][1－P<C>][1－P<D>]＝<1－错误!>×<1－错误!>×<1－错误!>＝错误!.P<X＝1>＝P<B C D>＝P<B>P<C>P<D>＝错误!×<1－错误!>×<1－错误!>＝错误!P<X＝3>＝P<BC D＋B C D>＝P<BC D>＋P<B C D>＝错误!×错误!×<1－错误!>＋错误!×<1－错误!>×错误!＝错误!,P<X＝4>＝P<B CD>＝<1－错误!>×错误!×错误!＝错误!,P<X＝5>＝P<BCD>＝错误!×错误!×错误!＝错误!.故X的分布列为所以EX＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＋4×错误!＋5×错误!＝错误!.[名师点睛]本题主要考查互斥事件和相互独立事件同时发生的概率的求法,以及分布列和期望的计算．对于本题<1>中该射手恰好命中一次要理解到位,应分为三个互斥事件,去求概率,尤其是对"恰好"的理解要注意．考情展望本节内容在高考中多以解答题形式考查,将概率与分布列、均值求法相融合,难度中档名师押题[押题]为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛,选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．<1>求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；<2>若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X,求X的分布列和数学期望．[解析]<1>设"甲、乙两支队伍恰好排在前两位"为事件A,则P<A>＝错误!＝错误!＝错误!.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为错误!.<2>由题意知随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P<X＝0>＝错误!＝错误!＝错误!,P<X＝1>＝错误!＝错误!＝错误!,P<X＝2>＝错误!＝错误!＝错误!,P<X＝3>＝错误!＝错误!＝错误!.所以随机变量X的分布列为：从而有EX错误!错误!错误!错误!所以随机变量X的数学期望为1.。
2019-2020年高考数学二轮复习专题检测十八概率与统计随机变量及其分布列理
2019-2020年高考数学二轮复习专题检测十八概率与统计随机变量及其分布列理一、选择题1．已知某一随机变量ξ的分布列如下表所示，若E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A 根据随机变量ξ的分布列可知b ＋0.1＋0.4＝1，所以b ＝0.5.又E (ξ)＝0.5×a ＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a ＝4.2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.3．(2017·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29 B.13 C.49D.59解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，∴P (A |B )＝24108＝29.4．(2017·惠州三调)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的概率为( )A.13B.14C.15D.16解析：选A 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A ，B ，C ，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a ，b ，c ，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，共9种，田忌获胜有Ab ，Ac ，Bc ，共3种，所以田忌获胜的概率为13.5．(2017·西安八校联考)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤4}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤x 2的概率为( )A.12 B.13 C.23D.34解析：选 B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4表示的平面区域的面积为2×4＝8，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4，y ≤x 2表示的平面区域的面积为⎠⎛02x 2d x ＝13⎪⎪⎪20＝83，因此所求的概率P ＝838＝13.6．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．记X 为比赛决出胜负时的总局数，则X 的数学期望是( )A.20183 B.21483 C.22481D.23981解析：选C 用A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”， 则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.X 的所有可能取值为2,3,4,5，且P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)·P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)·P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为：E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.二、填空题7．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率P ＝3－－5－－＝59. 答案：598.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为________．解析：由茎叶图可知6名工人加工零件数分别为17,19,20,21,25,30，平均值为16×(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，则优秀工人有2名，从该车间6名工人中，任取2人共有C 26＝15种取法，其中至少有1名优秀工人的共有C 14C 12＋C 22＝9种取法，由概率公式可得P ＝915＝35.答案：359．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的均值E (η)>74，则p 的取值范围是________．解析：由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2， 则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 三、解答题10．某市教育局为了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市高三学生的体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)．已知P (X ≤75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学在该次体能测试中的成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位的概率；(2)记抽到的3位同学在该次体能测试中的成绩在区间(75,85)内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解：(1)由题意知，P (80≤X <85)＝0.5－P (X ≤75)＝0.2，P (85≤X <95)＝0.3－0.1＝0.2， 所以所求概率P ＝A 33×0.2×0.2×0.1＝0.024. (2)P (75<X <85)＝1－2P (X ≤75)＝0.4， 所以ξ服从二项分布B (3,0.4)，P (ξ＝0)＝0.63＝0.216，P (ξ＝1)＝C 13×0.4×0.62＝0.432， P (ξ＝2)＝C 23×0.42×0.6＝0.288，P (ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列为：数学期望E (ξ)11．(2018届高三·云南11校跨区调研)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照[27.5,32.5)，[32.5,37.5)，[37.5,42.5)，[42.5,47.5)，[47.5,52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中a的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实，用样本估计总体．若从这种植物果实中随机抽取3个，其中优质果实的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)组距d＝5，由5×(0.02＋0.04＋0.075＋a＋0.015)＝1，得a＝0.05.(2)各组中点值和相应的频率依次为x＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40，s2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.(3)由已知，这种植物果实的优质率p＝0.9，且X服从二项分布B(3,0.9)，P(X＝0)＝0.13＝0.001，P(X＝1)＝C13×0.9×0.12＝0.027，P(X＝2)＝C23×0.92×0.1＝0.243，P(X＝3)＝0.93＝0.729，所以X的分布列为：故数学期望E(X)＝np＝2.7.12．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：①若规定记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01)，若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ^＝y －b ^x .解：(1)依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为742×24＝4,18名男同学中应抽取的人数为742×18＝3，故不同的样本的个数为C 424C 318.(2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3， ∴ξ的取值为0,1,2,3.∴P (ξ＝0)＝C 34C 37＝435，P (ξ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝3)＝C 33C 37＝135.∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97.②∵b ^＝526812≈0.65，a ^＝y －b ^x ＝83－0.65×76＝33.60.∴线性回归方程为y ^＝0.65x ＋33.60. 当x ＝96时，y ^＝0.65×96＋33.60＝96. ∴可预测该同学的物理成绩为96分．B 卷——大题增分专练1．(2018届高三·湖南十校联考)为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的A 县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率.的数学期望；(2)已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1 000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？解：(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ，则P (A )＝35.由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，35，故E (X )＝10×35＝6.(2)设该县山区居民户年均用电量为E (Y )，由抽样可得E (Y )＝100×550＋300×1550＋500×1050＋700×1550＋900×550＝500(度)．则该自然村年均用电量约150 000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150 000度，能为该村创造直接收益150 000×0.8＝120 000 元．2．《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《Super Brain 》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4. (1)请将上述列联表补充完整；(2)判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由；(3)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．下面的临界值表仅供参考：⎝⎛ 参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝)a ＋b ＋c ＋d解：(1)因为在100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4，所以不喜欢《最强大脑》的大学生人数为100×0.4＝40，其中男生有10人，则女生有30人，列联表补充如下：(2)由表中数据得K 2＝－260×40×50×50≈16.667>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下能认为喜欢《最强大脑》与性别有关．(3)X 的所有可能取值为0,1,2. 依题意知，X 服从超几何分布，所以P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35，P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝310.所以X 的分布列为故数学期望E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝65.3．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X ). 解：(1)记事件A ：“甲第一轮猜对”， 记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”， 记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ，由事件的独立性与互斥性， 得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )·P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236. 4．(2017·昆明模拟)某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日营业额y (单位：万元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6 ℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额；(3)设该地1月份的日最低气温X ～N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2，求P (3.8＜X ≤13.4)．附：①回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .②10≈3.2， 3.2≈1.8.若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 5.解：(1)x ＝15×(2＋5＋8＋9＋11)＝7，y ＝15×(1.2＋1＋0.8＋0.8＋0.7)＝0.9.∑i ＝15x 2i ＝4＋25＋64＋81＋121＝295， ∑i ＝15x i y i ＝2.4＋5＋6.4＋7.2＋7.7＝28.7，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5xy∑i ＝15x 2i －5x 2＝28.7－5×7×0.9295－5×72＝－2.850＝－0.056， a ^＝y －b ^x ＝0.9－(－0.056)×7＝1.292.∴线性回归方程为y ^＝－0.056x ＋1.292.(2)∵b ^＝－0.056＜0，∴y 与x 之间是负相关．当x ＝6时，y ^＝－0.056×6＋1.292＝0.956.∴该店当日的营业额约为9 560元．(3)样本方差s 2＝15×(25＋4＋1＋4＋16)＝10， ∴最低气温X ～N (7,3.22)，∴P (3.8＜X ≤10.2)＝0.682 7， P (0.6＜X ≤13.4)＝0.954 5，∴P (10.2＜X ≤13.4)＝12×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. ∴P (3.8＜X ≤13.4)＝P (3.8＜X ≤10.2)＋P (10.2＜X ≤13.4)＝0.682 7＋0.135 9＝0.818 6.。
2020高考数学二轮复习 专题七 概率与统计 第二讲 概率、随机变量及其分布列学案 理
第二讲 概率、随机变量及其分布列考点一 古典概型、几何概型、条件概率1．古典概型的概率公式P (A )＝m n ＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A ).[对点训练]1．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上随机取一个数x ，则cosπx 的值介于22与32之间的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.16[解析] 区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12的长度为1，满足cosπx 的值介于22与32之间的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－16∪⎝ ⎛⎭⎪⎫16，14，区间长度为16，由几何概型概率公式得P ＝161＝16.[答案] D2．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和\”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A.112 B.114 C.115 D.118[解析] 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从这10个素数中随机选取两个不同的数，有C 210＝45种情况，其和等于30的情况有3种，则所求概率等于345＝115.故选C.[答案] C3．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为________．[解析] 解法一：记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B ＝{第二次取到0的是合格高尔夫球}．由题意可得P (AB )＝3×24×3＝12，P (A )＝3×34×3＝34，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1234＝23.解法二：记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}， 事件B ＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (A ∩B )＝3×2＝6种，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝69＝23. [答案] 234．(2018·郑州一模)某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．[解析] 设银行的营业时间为x ，甲去银行的时间为y ，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P ＝4×85×8＝45.[答案] 45[快速审题] 看到区域长度和面积问题，想到几何概型；看到计数问题，想到古典概型；看到有条件的概率问题，想到条件概率．解答古典概型、几何概型、条件概率的关键(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(3)求条件概率时，关键弄清在哪种条件下发生的概率，以便正确使用公式求解．考点二 相互独立事件与独立重复试验[解] (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124.P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P14 1124 14 124随机变量X 的数学期望E (X )＝0×4＋1×24＋2×4＋3×24＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14 ＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.[解题指导](1)判断事件关系―→判断概率类型―→利用公式求解 (2)弄清X 的含义―→确定X 的取值―→符合二项分布特征―→利用公式求解[解] 记第i 名工人选择的项目属于基础设施类， 民生类，产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3. 由题意知A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3，C 1，C 2，C 3均相互独立． 则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：P 1＝A 33P (A 1B 2C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P 2＝30＋1060＝23， 由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，得P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233－k (k ＝0,1,2,3)，∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P1272949827∴X 的数学期望E (X )＝3×3＝2.求复杂事件概率的2种方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解，对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．[对点训练]1．[角度1](2018·湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 甲种产品的件数 5 10 34 11 乙种产品的件数812319(2)生产一件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元．在(1)的前提下，记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望．[解] (1)甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23.(2)随机变量X 的所有可能取值为190,85,70，－35，且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14， P (X ＝70)＝14×23＝16， P (X ＝－35)＝14×13＝112.所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝1902＋854＋6－12＝125.2．[角度2]某公司为了提高员工的演讲能力，加强员工之间的互动，特举行“我是演说家”活动，规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么不接受挑战，并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在公司的网站上发布自己不超过10分钟的演讲视频内容，公司给予一定的资金，然后他便可以邀请另外3个人参与该项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．(1)若被邀请者接受挑战后，对另外3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？(2)假定(1)中被邀请到的3个人中恰有2个人接受挑战．根据活动规定，现记X 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X 的分布列、期望和方差．[解] 因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12.(1)设事件M 为“邀请到的3个人中至少有2个人接受挑战”，则P (M )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝12. (2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.因为X 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12. 所以P (X ＝0)＝C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫120⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，P (X ＝1)＝C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫12·⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝664＝332，P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝1564， P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝2064＝516， P (X ＝4)＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫124·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1564， P (X ＝5)＝C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫125·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝664＝332， P (X ＝6)＝C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝164. 故X 的分布列为所以E (X )＝6×2＝3，D (X )＝6×2×2＝2.故所求的期望为3，方差为32.考点三 随机变量的分布列、均值与方差 1．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为实数)． 2．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．【例】 高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3＋3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分为750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“A 市某一届学生在物理、化学、生物3个科目中至少选考一科的学生\”记作学生群体B ，从学生群体B 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计表如下.[解] (1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件M ，则P (M )＝C 25＋C 225＋C 220C 250＝2049， 所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为P (M －)＝1－P (M )＝2949.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 25＋C 225＋C 220C 250＝2049，P (X ＝1)＝C 15C 125＋C 120C 125C 250＝2549，P (X ＝2)＝C 15C 120C 250＝449. 从而X 的分布列为X 0 1 2 P20492549449E (X )＝0×2049＋1×2549＋2×49＝49.(3)所调查的50名学生中选考物理、化学、生物中的2个科目的学生有25名，被抽取的概率为P ＝2550＝12，所以Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12， 所以事件“Y ≥2”的概率为P (Y ≥2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝1116.[探究追问1] 其他条件不变，若从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数为1的人数，求X 的数学期望．[解] X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 245C 250＝198245，P (X ＝1)＝C 15C 145C 250＝45245，P (X ＝2)＝C 25C 250＝2245，故E (X )＝0×198245＋1×45245＋2×2245＝49245.[探究追问2] 其他条件不变，(3)中求Y 的数学期望和方差．[解] 由题知，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，故E (Y )＝4×12＝2，D (Y )＝4×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝1.[对点训练](2018·武汉二模)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：(1)当p ＝14时，求q 的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果并说明理由．[解] (1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋13＋q ＝1.又因为p ＝14，所以q ＝512.1．(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3[解析] 不妨设BC ＝5，AB ＝4，AC ＝3，则△ABC 三边所围成的区域Ⅰ的面积S 1＝12×3×4＝6，区域Ⅲ的面积S 3＝π2×⎝ ⎛⎭⎪⎫522－S 1＝25π8－6，区域Ⅱ的面积S 2＝π2×22＋π2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫25π8－6＝6，所以S 1＝S 2>S 3，由几何概型的概率公式可知p 1＝p 2>p 3，故选A.[答案] A2．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3[解析] 由题知X ～B (10，p )，则D (X )＝10×p ×(1－p )＝2.4，解得p ＝0.4或0.6.又∵P (X ＝4)<P (X ＝6)，即C 410p 4(1－p )6<C 610p 6(1－p )4⇒(1－p )2<p 2⇒p >0.5，∴p ＝0.6，故选B.[答案] B3．(2018·浙江卷)设0<p <1，随机变量ξ的分布列是( )则当p 在(0,1)内增大时A ．D (ξ)减小 B ．D (ξ)增大 C ．D (ξ)先减小后增大D ．D (ξ)先增大后减小[解析] 由题意得E (ξ)＝0×1－p 2＋1×12＋2×p 2＝12＋p ，D (ξ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 2·1－p2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 2·12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 2·p 2＝18[(1＋2p )2(1－p )＋(1－2p )2＋(3－2p )2·p ]＝－p 2＋p ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧0<1－p2<1，0<p 2<1，1－p 2＋12＋p 2＝1，得0<p <1，∴D (ξ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，故选D. [答案] D4．(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽取的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(ⅰ)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； (ⅱ)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．[解] (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)(ⅰ)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k3C 37(k ＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P13512351835435随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×35＝127.(ⅱ)设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由(ⅰ)知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)， 故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以，事件A 发生的概率为67.1.概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．2．选择或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．3．概率的解答题多在第18或19题的位置，难度中等．热点课题18 利用均值与方差进行决策[感悟体验](2018·南宁联考)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？[解] (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15；P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35；P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0,1,2,3.P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127；P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝627； P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1227；P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827. 应聘者乙正确完成题数η的分布列为E (η)＝0×127＋1×627＋2×27＋3×27＝2.⎝ ⎛⎭⎪⎫或因为η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23，所以E (η)＝3×23＝2(2)因为D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，D (η)＝3×23×13＝23.所以D (ξ)<D (η)．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．专题跟踪训练(二十九)一、选择题1．(2018·广东茂名一模)在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )A.14B.13C.12D.34[解析] 在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，基本事件总共有4个，分别为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)．数字2是三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3)，共1个． ∴数字2是三个不同数字的平均数的概率P ＝14.故选A.[答案] A2．(2018·广东深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )A.12B.14C.13D.16[解析] 两名同学分3本不同的书，基本事件有(0,3)，(1a,2)，(1b,2)，(1c,2)，(2,1a )，(2,1b )，(2,1c )，(3,0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P ＝28＝14.故选B.[答案] B3．(2018·河南濮阳二模)如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )A.316 B.34 C.1316 D.14[解析] 灯泡不亮包括两种情况：①四个开关都开，②下边的2个都开，上边的2个中有一个开，∴灯泡不亮的概率是12×12×12×12＋12×12×12×12＋12×12×12×12＝316，∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是1－316＝1316，故选C.[答案] C4．(2018·河南安阳一模)在边长为a 的正三角形内任取一点Q ，则点Q 到三个顶点的距离均大于a2的概率是( )A.1112－36π B ．1－36πC.13 D.14[解析] 设边长为a 的正三角形为三角形ABC ，如图所示：∵AB ＝a ，∴S 三角形ABC ＝12·a 2·sin π3＝34a 2，满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于或等于a2的所有点组成的平面区域如图中阴影部分所示，各部分组合起来构成一个半径为a2的半圆，∴S 阴影＝12·π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝πa 28，∴使点Q 到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于a 2的概率P ＝1－πa283a24＝1－36π.故选B. [答案] B5．在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为( )A.956 B.928 C.914 D.59[解析] 设事件A 为“数字4是取出的五个不同数的中位数”．“从八个数字中取出五个数字”的种数为n ＝C 58＝C 38＝56.对事件A ，先考虑数字4在五个数的中间位置，再考虑分别从数字1,2,3和5,6,7,8中各取两个数字，则事件A 包含的基本事件种数为m ＝C 23C 24＝3×6＝18.由古典概型的概率计算公式，得P (A )＝m n ＝1856＝928.[答案] B6．(2018·重庆一中一模)将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少有一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是( )A.2158 B.1229 C.2164 D.727[解析] 根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子的放法为44＝256.若没有空盒，有A 44＝24(种)放法，有1个空盒的放法有C 14C 24A 33＝144(种)，有3个空盒的放法有C 14＝4种，则至少有一个盒子为空的放法有256－24＝232(种)，故“至少有一个盒子为空”的概率p 1＝232256，恰好有两个盒子为空的放法有256－24－144－4＝84(种)，故“恰好有两个盒子为空”的概率p 2＝84256，则在至少有一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率p ＝p 2p 1＝2158.故选A. [答案] A 二、填空题7．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．[解析] 解法一：设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P (B |A )，因为P (AB )＝C 25C 2100，P (A )＝C 15C 1100，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝5×4100×995100＝499.解法二：第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格的，因此第二次取到不合格品的概率为499.[答案]4998. (2018·青岛模拟)如图所示的阴影部分是由x 轴，直线x ＝1及曲线y ＝e x－1围成的，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是__________．[解析] 由几何概型的概率计算公式可知，所求概率为⎠⎛01(e x－1)d x 1×(e －1)＝e －2e －1.[答案]e －2e －19．(2018·皖南八校联考)某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D (ξ)＝________.[解析] 从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，选出的男生人数ξ可能为1,2,3，其中，P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.所以ξ的数学期望E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.[答案] 25三、解答题10．(2018·广州综合测试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3)． 所以P (X ＝0)＝C 04·C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14·C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24·C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34·C 06C 310＝130.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×6＋1×2＋2×10＋3×30＝65.11．某学校组织知识测试，设置A ，B ，C 三组测试项目供参赛同学选择．甲、乙、丙三名同学参加比赛，其中甲参加A 组测试，甲通过测试的概率为13；乙参加B 组测试，乙通过测试的概率为12；丙参加C 组测试，C 组共有6道试题，丙只能答对其中4道题．根据规则，丙只能且必须选择4道题作答，至少答对3道才能通过测试．(1)求丙通过测试的概率．(2)记A ，B ，C 三组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望． [解] (1)设丙通过测试为事件A ， 则P (A )＝C 44＋C 34C 12C 46＝35. (2)依题意得，1－13＝23，1－12＝12，1－35＝25，ξ的可能取值为0,1,2,3，则有P (ξ＝0)＝23×12×25＝215，P (ξ＝1)＝13×12×25＋23×12×25＋23×12×35＝25， P (ξ＝2)＝13×12×25＋13×12×35＋23×12×35＝1130， P (ξ＝3)＝13×12×35＝110.则ξ的分布列为所以ξ的期望E(ξ)＝0×215＋1×25＋2×1130＋3×110＝4330.12．(2018·南昌第一次质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A1A2A3A4A5A6数量10552015 5以这60(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a＝950.记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；(数学期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值． [解] (1)由题意可知，X 的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a ，a,1.1a,1.3a . 由统计数据可知：P (X ＝0.9a )＝16，P (X ＝0.8a )＝112，P (X ＝0.7a )＝112，P (X ＝a )＝13，P (X ＝1.1a )＝14，P (X＝1.3a )＝112.所以X 的分布列为所以E (X )＝0.9a ×6＋0.8a ×12＋0.7a ×12＋a ×3＋1.1a ×4＋1.3a ×112＝11.9a12＝1130512≈942. (2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＋C 1313⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2027.②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为－5000,10000. 所以Y 的分布列为所以E (Y )＝－5000×3＋10000×3＝5000，所以该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100×E (Y )＝500000元．。
数学-随机变量及其分布 试题版
第七章随机变量及其分布目录第七章随机变量及其分布 27.1条件概率与全概率公式 27.1.1条件概率 27.1.2全概率公式 3习题7.1 47.2离散型随机变量及其分布列 5习题7.2 67.3离散型随机变量的数字特征 77.3.1离散型随机变量的均值 77.3.2离散型随机变量的方差 9习题7.3 107.4二项分布与超几何分布 117.4.1二项分布 117.4.2超几何分布 13习题7.4 147.5正态分布 15习题7.5 16复习参考题7 17随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率思考原理一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B∣A)=P(AB) P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率(conditional probability ).思考原理由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B∣A)我们称上式为概率的乘法公式(multiplication formula).1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：(1)第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率；(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？3银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.练习1.设A⊆B，且P(A)=0.3，P(B)=0.6.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出P(B∣A)和P(A∣B)的值再由条件概率公式进行验证.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：(1)在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；(2)两次都摸到白球的概率.7.1.2全概率公式探究公式一般地,设A 1,A 2,⋯,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω,且P A i >0,i =1,2,⋯,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,有P (B )=ni =1 P A i P B ∣A i .我们称上面的公式为全概率公式(t otalprobability formula ).4某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.5有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第式£=1，2，3)台车床加工的概率.探究公式贝叶斯公式(Bayes formula )：设A 1,A 2,⋯,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω,且P A i >0,i =1,2,⋯,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T .Bayes ,1702-1761)发现的,它用来描述两个条件概率之间的关系.P (B )>0,有P A i ∣B =P A i P B ∣A iP (B )=P A i P B ∣A ink =1P A k P B ∣A k,i =1,2,⋯,n6在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.练习1.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.2.两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.(1)求这件产品是合格品的概率；(2)已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.习题7.1复习巩固1.为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示.男女合计色盲60262非色盲11407981938合计12008002000从这2000人中随机选择1个人.(1)已知选到的是男生，求他患色盲的概率；(2)已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率.2.从人群中随机选出1人，设B=“选出的人患有心脏病”，C=“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断P(B)和P(C)的大小，并说明理由.3.甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.4.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.5.在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%、5%、4%的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一个人.(1)求这个人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.6.已知P(A)>0，P(B)>0，P(B∣A)=P(B)，证明：P(A∣B)=P(A).综合运用7.一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.8.在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD、Dd、dd，其中D为显性基因，d为隐性基因，且这三种基因型的比为1:2:1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为dd的概率是多大？9.证明条件概率的性质(1)和(2).拓广探索10.证明：当P(AB)>0时，P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB).据此你能发现计算P A1A2⋅⋅⋅A n的公式吗？7.2离散型随机变量及其分布列思考原理一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X (ω)与之对应,我们称X 为随机变量(random var iable ).思考原理可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量(discrete random var iable ).通常用大写英文字母表示随机变量,例如X ,Y ,Z ;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x ,y ,z .思考原理一般地,设离散型随机变量X 的可能取值为x 1,x 2,⋯,x n ,我们称X 取每一个值x i 的概率P X =x i =p i ,i =1,2,⋯,n为X 的概率分布列(list of probability distribution ),简称分布列.探究公式对于只有两个可能结果的随机试验,用A 表示“成功”,A表示“失败”,定义X =1,A 发生,0,A发生.如果P (A )=p ,则P (A)=1-p ,那么X 的分布列如表7.2-3所示.表7.2-3X 01P1-pp我们称X 服从两点分布(two -po int distribution )或0-1分布.1一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义X =1,抽到次品,0,抽到正品. 求X 的分布列.2某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表7.2-4所示.表7.2-4等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X 的分布列，以及P (X ≥4).3一批笔记本电脑共有10台，其中A 品牌3台，B 品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A 品牌台数的分布列.练习1.举出两个离散型随机变量的例子．2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和；(2)某足球队在5次点球中射进的球数；(3)任意抽取一瓶标有1500mL的饮料，其实际含量与规定含量之差．3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列．4.抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列．习题7.2复习巩固1.张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯．(1)写出随机试验的样本空间；(2)设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件．2.某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为：X0123P0.20.30.150.45试说明该同学的计算结果是否正确．3.在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某位同学跑1km所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？4.某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为：X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？综合运用5.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．6.某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：(1)李明在一年内参加考试次数X的分布列；(2)李明在一年内领到资格证书的概率．7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值探究公式一般地,若离散型随机变量X的分布列如表7.3-2所示,表7.3-2X x1x2⋯x nP p1p2⋯p n则称E(X)=x1p1+x2p2+⋯+x n p nn=x i p ii=1为随机变量X的均值(m ean)或数学期望(mathematical exp ectation),数学期望简称期望.1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示．表7.3-3歌曲A B：C 猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．探究公式一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=aE(X)+b.4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1运走设备，搬运费为3800元；方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案3不采取措施．工地的领导该如何决策呢？练习1.已知随机变量X的分布列为：X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2)．2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，求得分X的均值．3.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为X1，X2其分布列分别为：甲机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20.1乙机床次品数的分布列X2012P0.30.50.2哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？7.3.2离散型随机变量的方差探究公式我们称D (X )=x 1-E (X ) 2p 1+x 2-E (X ) 2p 2+⋯+x n -E (X ) 2p n=ni =1 x i -E (X ) 2p i为随机变量X 的方差(va r iance ),有时也记为V ar (X ),并称D (X )为随机变量X 的标准差(s ta n dard deviation ),记为σ(X ).探究公式在方差的计算中,利用下面的结论经常可以使计算简化.D (X )=ni =1 x i -E (X ) 2p i=n i =1 x 2i -2E (X )x i +(E (X ))2p i=ni =1x 2i p i -2E (X )ni =1x i p i +(E (X ))2ni =1p i=ni =1x 2i p i -(E (X ))2.5抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X 的方差．6投资A ，B 两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示．表7.3-9股票A 收益的分布列收益X /元-102概率0.10.30.6表7.3-10股票B 收益的分布列收益Y /元012概率0.30.40.3(1)投资哪种股票的期望收益大？(2)投资哪种股票的风险较高？练习1.已知随机变量X 的分布列为：X 1234P0.20.30.40.1求D (X )和σ(2X +7)．2.若随机变量X 满足P (X =c )=1，其中c 为常数，求D (X )．3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差(精确到1cm )X 和Y 的分布列如下：甲班的目测误差分布列X-2-1012P0.10.20.40.20.1乙班的目测误差分布列Y-2-1012P0.050.150.60.150.05先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断．!习题7.3复习巩固1.某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况．按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润-300元．据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1.求每部手机获利的均值和方差．2.现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？3.随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=a，P(X=2)=b，若E(X)=1，求a和b．4.在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项正确．如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25．请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0．5.证明：D(aX+b)=a2D(X)．综合运用6.有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元，规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？7.甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为：甲品牌的走时误差分布列X-101P0.10.80.1乙品牌的走时误差分布列Y-2-1012P0.10.20.40.20.1试比较甲、乙两种品牌手表的性能．拓广探索8.设E(X)=μ，a是不等于μ的常数，探究X相对于μ的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意义．7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布思考原理我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials ).思考原理我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.显然,n 重伯努利试验具有如下共同特征：(1)同一个伯努利试验重复做n 次;(2)各次试验的结果相互独立.探究公式一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为P (X =k )=C k n p k (1-p )n -k ,k =0,1,2,⋯,n如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量X 服从二项分布(binomialdistribution ),记作X ∼B (n ,p ).1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在0.4,0.6 内的概率.2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，⋯，10，用X 表示小球最后落入格子的号码，求X 的分布列.3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？归纳一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X∼B(n,p).探究公式一般地,可以证明:如果X∼B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).练习1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列；(2)E(X)=，D(X)=.2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：(1)没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.3.判断下列表述正确与否，并说明理由：(1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12,0.25)；(2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6,0.1).4.举出两个服从二项分布的随机变量的例子.7.4.2超几何分布探究公式一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X 表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=C k M C n-k N-kC n N,k=m,m+1,m+2,⋯,r其中n,N,M∈N∗,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric distribution).探究公式随机变量X服从超几何分布，则E(X)=nM N4从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.5一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.6一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率：练习1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.3.举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.习题7.4复习巩固1.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差.2.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大.3.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.(1)质点回到原点；(2)质点位于4的位置.4.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有2张A牌的概率(精确到0.00001).综合运用5.某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)：(1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率.6.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率(精确到0.001).7.一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.(1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；(2)这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%.拓广探索8.某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%.随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂的宣传.7.5正态分布思考原理取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量(continuous random var iable).思考原理对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如图7.5-4所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal distribution ),记为X∼Nμ,σ2.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.思考原理由X的密度函数及图象可以发现,正态曲线还有以下特点:(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值1;σ2π(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.探究公式若X∼Nμ,σ2,则E(X)=μ,D(X)=σ2.1李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布．(1)估计X，Y的分布中的参数；(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；(3)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由．练习1.设随机变量X~N(0,1)，则X的密度函数为，P X≤0≈，P X ≤1≈，P X≤1≈，P(X>1)≈．(精确到0.0001．)2.设随机变量X~N0,22，随机变量Y~N0,32，画出分布密度曲线草图，并指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系，以及P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系．3.举出两个服从正态分布的随机变量的例子．习题7.5复习巩固1.对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布N72,82，女生成绩Y服从正态分布N74,62．请你从不同角度比较男、女生的考试成绩．2.某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N170,52，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：(1)165<X≤175；(2)X≤165；(3)X>175．3.若X~Nμ,σ2，则X位于区域[μ,μ+σ]内的概率是多少？综合运用4.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率．复习参考题7复习巩固1.举例说明P(B)与P(B∣A)没有确定的大小关系．2.抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1)两个点数都出现偶数的概率；(2)已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率．3.假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件．(1)求取出的零件是次品的概率；(2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率．4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：X012P0.361-2q q2求：(1)常数q的值；(2)E(X)和D(X)．5.已知随机变量X取可能的值1，2，⋯，n是等可能的，且E(X)=10，求n的值．6.已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次．(1)当n=10时，求恰好击中目标3次的概率(精确到0.001)；(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？综合运用7.长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．8.某商场要在国庆节开展促销活动，促销活动可以在商场内举行，也可以在商场外举行．统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得利润2万元；商场外的促销活动，如果不遇到有雨天气可获得利润8万元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3万元．9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是40%，商场应该选择哪种促销方式？9.一份某种意外伤害保险费为20元，保险金额为50万元．某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单，而需要赔付的概率为10-5．利用计算工具求(精确到0.0001)：(1)这家保险公司亏本的概率；(2)这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率．拓广探索10.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率．11.某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就。
2022届《金版学案》高考数学总复习 第五节 离散型随机变量及其分布列
1 3
k
，k＝1，
2，3，则a的值为( )
A．1
B．193
C．1113
D．2173
解析：因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a
1 3
k
(k＝
1，2，3)，
所以根据分布列的性质有a×13＋a132＋a133＝1，
所以a13＋19＋217＝a×1237＝1.所以a＝2173. 答案：D
2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，
设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于
()
A.15
B.25
C.35
D.45
解析：P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－CC14C36 22＝45.
答案：D
3．若随机变量η的分布列如下：
η －2 －1 0 1 2 3
P
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是( )
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的， 从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球 个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
解析：由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P(X＝4)＝CC23C13219＝22270.
答案：22270
考点1 离散型随机变量的分布列的性质
n（na＋1）(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(12<X<52)
的值为________．
解析：由
1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋4×1 5×a＝1，知
4 5
a＝
1，得a＝54.故P12<X<52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝12×54＋16× 54＝56.
高中数学 金版学案 2022二轮复习 专题强化练(十)随机变量及其概率分布
专题强化练(十) 随机变量及其概率分布1．(2021·广东高三专题练习)某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市市区内甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查．现从中随机抽取100人作为样本，得到下表(单位：人)：(2)根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．针对甲、乙、丙三个景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X 为去乙景点的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由．解：(1)设事件“从样本中任取1人，这人没去丙景点”为事件A ， 由表格中所给数据可得，去甲、乙、丙旅游的人数分别为19，39，42，所以从样本中任取1个，这人没去丙景点的概率为P (A )＝19＋39100＝2950.(2)由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取1人，此人去乙景点的概率是1648＝13， 所以P (X ＝0)＝C 02×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49，P (X ＝1)＝C 12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝49，P (X ＝2)＝C 22×⎝⎛⎭⎪⎫132＝19，所以随机变量X 的分布列为故E (X )＝0×49＋1×49＋2×19＝23.(3)由题干所给表格中的数据可知，报团游、自驾游的总人数分别为52，48，得分为10分的报团游、自驾游总人数分别为31，25，得分为5分的报团游、自驾游的总人数分别为12，14，得分为0分的报团游、自驾游总人数分别为9，9，所以从满意度来看，报团游满意度的均值为31×10＋12×5＋9×052＝18526， 自驾游满意度的均值为25×10＋14×5＋9×048＝203， 因为18526>203，所以建议王某选报团游．2．(2021·广州第三次模拟)工厂经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有某甲、乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x (单位：mm)，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足：|x －12|≤1为一级品，1<|x －12|≤2为二级品，|x －12|>2为三级品．(1)现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，若从这40件产品中随机抽取2件产品，记Y 为这2件产品中一级品的个数，求Y 的分布列和数学期望；(2)为增加产量，工厂需增购设备，已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙设备生产的产品中一、二、三级品的概率分别是25，12，110，若将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率．以工厂的利润作为决策依据，应选购哪种设备，请说明理由．解：(1)根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的分法抽取的40件产品中，尺寸在[9，10)，[10，11)，[11，12)，[12，13)，[13，14)，[14，15)的产品数分别为4，6，12，8，7，3，所以随机变量Y 的取值为0，1，2， 则P (Y ＝0)＝C 220C 240＝1978，P (Y ＝1)＝C 120C 120C 240＝2039，P (Y ＝2)＝C 220C 240＝1978.所以随机变量Y 的分布列为：所以期望E (Y )＝0×1978＋1×2039＋2×1978＝1.(2)设甲乙设备生产该产品一件的平均利润y 1元、y 2元， 由频率分布直方图可知，甲设备生产一级品、二级品、三级品的概率分别为：0．3＋0.2＝0.5＝12，0.175＋0.15＝0.325＝1340，0.1＋0.075＝0.175＝740，所以y 1＝500×12＋400×1340＋200×740＝415， y 2＝500×25＋400×12＋200×110＝420， 可得y 2>y 1，所以应选购乙设备．3．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n (n ∈N *)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．(1)当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？(2)当n ＝4时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望．解：(1)对一个坑而言，要补播种的概率P ＝C 03⎝⎛⎭⎪⎫123＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝12，有3个坑要补播种的概率为C 3n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .欲使C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 最大，只需⎩⎨⎧C 3n ⎝⎛⎭⎪⎫12n ≥C 3n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1C 3n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥C3n ＋1⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1，解得5≤n ≤6因为n ∈N *，所以n ＝5，6. 当n ＝5时，C 35⎝⎛⎭⎪⎫125＝516；当n ＝6时，C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝516.所以当n ＝5或n ＝6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516.(2)由已知，X 的可能取值为0，1，2，3，4，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，12，所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝4×12＝2.4．(2021·汕头第三次模拟)第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球——MIKSA －V200W.已知这种球的质量指标ξ(单位：g)服从正态分布N (270，52)．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分取得最后冠军，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分．已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0<p <1)．(1)若比赛准备了1 000个排球，请估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数)；(2)第10轮比赛中，记中国队3∶1取胜的概率为f (p )． (ⅰ)求出f (p )的最大值点p 0；(ⅱ)若以p 0作为p 的值，记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列及数学期望．参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则p (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.682 6，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.954 4.解：(1)因为ξ～N (270，52)所以P (260<ξ≤265)＝P （260<ξ<280）－P （265<ξ<275）2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9， 所以质量指标在(260，265]内的排球个数约 1 000×0.135 9≈136(个)．(2)(ⅰ)前三场赢两场，第四场必赢， 则f (p )＝3×p 3×(1－p )＝3(p 3－p 4)， f ′(p )＝3p 2(3－4p )，令f ′(p )＝0，得p ＝34，(p ＝0舍去)当p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34时，f ′(p )>0，函数f (p )单调递增， 当p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1时，f ′(p )<0，函数f (p )单调递减，所以f (p )的最大值点p 0＝34. (ⅱ)X 可能取的值为0、1、2、3，X ＝3，表示前三场均全赢，或者前三场赢两场，第四场必赢，p (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫343×14＝189256，X ＝2，表示前四场赢两场，第五场必赢，p (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎪⎫343×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝81512， X ＝1，表示前四场赢两场，第五场必输，p (X ＝1)＝C 24×⎝⎛⎭⎪⎫342×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝27512， X ＝0，表示前三场全输，或者前三场赢一场，第四场必输．p (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝13256，所以X 的分布列为：则E (X )＝3×189256＋2×81512＋1×27512＋0×13512＝1 323512.5．(2021·湛江第二次模拟)某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择．已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元．小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单(含20单)每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元．小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成如下直方图(如图2)．图1图2(1)分别求出“销售员”的日薪y 1(单位：元)与销售件数x 1的函数关系式、“送外卖员”的日薪y 2(单位：元)与所送单数x 2的函数关系式；(2)若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪X 1和“送外卖员”的日薪X 2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的数学期望，分析选择哪种工作比较合适，并说明你的理由．解：(1)“销售员”的日薪y 1(单位：元)与销售件数x 1的函数关系式为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧20x 1＋50，x 1≤5，x 1∈N ，30x 1，x 1>5，x 1∈N ，“送外卖员”的日薪y 2(单位：元)与所送单数x 2的函数关系式为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2，x 2≤20，x 2∈N ，4x 2－20，20<x 2≤40，x 2∈N ，4.5x 2－40，x 2>40，x 2∈N.(2)由柱状图知，日平均销售量满足如下表格：所以1所以E (X 1)180×0.4＋210×0.1＝162(元)．由直方图可知，日送单数满足如下表格：所以X 22×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元)．由以上计算得E (X 2)>E (X 1)，做“送外卖员”挣的更多， 故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适．6．出版商为了解某科普书一个季度的销售量y (单位：千本)和利润x (单位：元/本)之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据．x 2.4 3.1 4.6 5.3 6.4 7.1 7.8 8.8 9.5 10y18.1 14.1 9.1 7.1 4.8 3.8 3.2 2.3 2.1 1.4根据上述数据画出如图所示的散点图：(1)根据图中所示的散点图判断y ＝ax ＋b 和y ＝c ln x ＋d 哪个更适宜作为销售量y 关于利润x 的回归方程类型？(给出判断即可，不需要说明理由)(2)根据(1)中的判断结果及参考数据，求出y 关于x 的回归方程； (3)根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为z (单位：千元)，当季销售量y 为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？(季利润总额＝季销售量×每本书的利润)参考公式及参考数据：①对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^ u 的斜率和截距的公式分别为β^＝α^＝v －－β^u － ②参考数据：x － y － u －∑i ＝110（x i －x －） ∑i ＝110(u i －u －)∑i ＝110 （x i －x －）·（y i －y －） ∑i ＝110(u i －u －)· （y i －y －）6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 －143.25 －27.54表中u i ＝ln x i ，u ＝110 i ＝110u i .另：ln 4.06≈1.40.计算时，所有的小数都精确到0.01.解：(1)y ＝c ln x ＋d 更适宜作为销售量y 关于利润x 的回归方程类型．(2)令u ＝ln x ，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于c ^＝＝－27.542.70＝－10.20，d ^＝y －－c ^·u －＝6.6＋10.20×1.75＝24.45，所以y 关于u 的线性回归方程为y ^＝24.45－10.20u ，即y 关于x 的回归方程为y ^＝24.45－10.20ln x .(3)由题意得z ＝xy ＝x (24.45－10.20ln x )，z ′＝[x (24.45－10.20ln x )]′＝14.25－10.20ln x ，令z ′＝0即14.25－10.20ln x ＝0，解得ln x ≈1.40，所以x ≈4.06. 当x ∈(0，4.06)时，z ′>0，所以z 在(0，4.06)上单调递增，当x ∈(4.06，＋∞)时，z ′<0，所以z 在(4.06，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝4.06时，即季销量y ＝24.45－10.20ln 4.06＝10.17千本时，季利润总额预报值最大．。
2023年高考数学二轮复习专题五 第2讲 概率、随机变量及其分布
道,又寓五行、四象变化之理.一六在后,象甲乙木,青龙星象;二七在前,象南方丙丁火,朱雀星象;四九在右,象西
方庚辛金,白虎星象;五十在中,象中央戊己土,表示时空奇点;而中间五点,又
象太极含四象;中一点,又象太极含一气.若从这十个点数中任选两个数,则
A,B同时发生.
(2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍
为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).
2.两种特殊分布
(1)超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件
(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
中(其中n为非零自然数),数列{6n-1}中的合数叫阴性合数,其中的素数叫阴
性素数;数列{6n+1}中的合数叫阳性合数,其中的素数叫阳性素数.则从30
以内的素数中任意取出两个,恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率
是
.
答案 (1)D
1
(2)
3
解析 (1)由题意知,甲要得 4 分,即三局两胜,此时甲输:甲出 A2 或 A3,乙出 B1
局.若甲抽到的三张扑克牌分别是A1,A2,A3,乙抽到的三张扑克牌分别是
B1,B2,B3,且这六张扑克牌的大小顺序为A1>B1>B2>A2>A3>B3,则三局比赛
结束后甲得4分的概率为(
1
A.
6
1
B.
3
)
1
C.
2
2
D.
3
(2)(2021·山东泰安三模)已知大于3的素数只分布在{6n-1}和{6n+1}两数列
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第一部分 知识复习专题
专题七 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、
复数
第二讲 概率、随机变量及其分布列
一、选择题
1．若x ∈A ，且
1
x
∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，在集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“伙伴关系集合”
的概率为( )
A.117
B.151
C.7255
D.4255
答案：A
2．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )
A.1180
B.1288
C.1360
D.1480
解析：四个数字之和为23的情况有：09：59，18：59，19：58，19：49四种，基本事件总数为60×24＝1 440，故所求概率为P ＝41 440＝1360
.
答案：C
3．(2014·陕西卷)设样本数据x 1，x 2，…， x 10的均值和方差分别为1和4，若 y i ＝x i
＋a(a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…， y 10的均值和方差分别为( )
A ．1＋a ，4
B ．1＋a ，4＋a
C ．1，4
D ．1，4＋a
解析：由题得：x 1＋x 2＋…＋x 10＝10×1＝10；(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2＝10×4＝40.
y 1，y 2，…y 10的均值和方差分别为： 均值y －＝1
10(y 1＋y 2＋…＋ y 10)
＝1
10[(x 1＋a)＋(x 2＋a)＋…＋(x 10＋a)] ＝1
10[(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋10a] ＝
10＋10a
10
＝1＋a. 方差＝
110[(y 1－y －)2＋(y 2－y －)2＋…＋(y 10－y －
)2]＝110
[(x 1＋a)－(1＋a)]2＋[(x 2＋a)－(1＋a)]2＋…＋[(x 10＋a)－(1＋a)]＝
110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2]＝40
10
＝4. 故选A. 答案：A
4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占1
6，而且三好学生中女生
占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为( )
A.16
B.112
C.18
D.110
解析：设事件A 表示“任选一名同学是男生”，事件B 表示“任选一名同学为三好学生”，则所求概率为P(B|A)．
依题意得P(A)＝
4060＝23，P(AB)＝560＝1
12
. 故P(B|A)＝P （AB ）P （A ）
＝11223＝1
8.
答案：C
5．(2014·陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A.15
B.25
C.35
D.45
解析：从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，共有C 25＝10条线段，A ，B ，C ，D 四点中任意2点连线段都不小于该正方形边长，共有C 24＝6，所以这2个点的距离不小于该正方形边长的概率P ＝
610＝3
5
.故选C.
答案：C
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34 答案：A
二、填空题
7．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2，质点P 移动5次后位于点(2，3)的
概率是________．
解析：点P 移动5次后到达点(2，3)可看作是5次移动中选择2次右移、3次上移，故有
C 25种不同的移动方法，而所有的移动方法有25
种，故所求的概率为P ＝C 25
25＝516
.
答案：5
16
8．从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，则选出4女2男组成课外学习小组的概率是__________(精确到0.01)．
答案：0.42
三、解答题
9．(2014·大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．
分析：(1)首先用字母表示有关的事件，A i 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．将D 分解为互斥事件的和；D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －＋A 2·B －
·C ＋A 2·B ·C ，再利用互斥事件的概率加法公式计算P(D)；
(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，先用分解策略分别求P(X ＝i)(i ＝0，1，2，3，4)，最后利用离散型随机变量数学期望公式求E(X)的值．
解析：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
(1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －＋A 2·B －
·C ＋A 2·B ·C ，又P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，
∴P(D)＝P(A 1·B ·C ＋A 2·B ·C －＋A 2·B －·C ＋A 2·B ·C)＝P(A 1·B ·C)＋P(A 2·B ·C －
)＋P(A 2·B －·C)＋P(A 2·B ·C)＝P(A 1)P(B)P(C)＋P(A 2)P(B)P(C －)＋P(A 2)P(B －
)P(C))＋P(A 2)P(B)·P(C)＝0.31.
(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4.
P(X ＝0)＝P(B －·A 0·C －)＝P(B －)P(A 0)P(C －
)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06， P(X ＝1)＝P(B·A 0·C －＋B －·A 0·C ＋B －·A 1·C －)＝P(B)P(A 0)P(C －)＋P(B －)P(A 0)P(C)＋P(B －)P(A 1)P(C －
)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，
P(X ＝4)＝P(A 2·B ·C)＝P(A 2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P(X ＝3)＝P(D)－P(X ＝4)＝0.25，
P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)－P(X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38.
∴数学期望E(X)＝0×P(X ＝0)＋1×P(X ＝1)＋2×P(X ＝2)＋3×P(X ＝3)＋4×P(X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.
10．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为12，
且各局胜负相互独立，求：
(1)打满3局比赛还未停止的概率；
(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)．
解析：令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．
(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A 1C 2B 3)＋P(B 1C 2A 3)＝123＋123＝1
4
.
(2)ξ的所有可能值有2，3，4，5，6，且 P (ξ＝2)＝P(A 1A 2)＋P(B 1B 2)＝122＋122＝1
2，
P (ξ＝3)＝P(A 1C 2C 3)＋P(B 1C 2C 3)＝123＋123＝1
4，
P (ξ＝4)＝P(A 1C 2B 3B 4)＋P(B 1C 2A 3A 4)＝124＋124＝1
8，
P (ξ＝5)＝P(A 1C 2B 3A 4A 5)＋P(B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝1
16，
P (ξ＝6)＝P(A 1C 2B 3A 4C 5)＋P(B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝1
16.
故ξ的分布列为：
从而E(ξ)＝2×12＋3×14＋4×18＋5×116＋6×116＝47
16.。