【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第66—70题(含答案解析)
配套K122018数学高考一轮复习刺金四百题：第271—275题(含答案解析)
感知高考刺金271题在ABC ∆中，若tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，则cos C 的最小值为 ． 解：常规思路“切化弦”sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B B C A C C A B C A B B A A B B C A C C A B C A B +⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222222sin sin sin 3cos 2C c A B ab a b c C a b cab=⇒=⇒+=+- 222222cos 233a b c a b C ab ab +-+==≥感知高考刺金272题在平面直角坐标系中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异的三点，若存在正实数,λμ，使得OC OA OB λμ=+，则()223λμ+-的取值范围是 ．解：设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则22111x y +=，22221x y +=，22001x y += 于是由OC OA OB λμ=+得()()()001122,,,x y x y x y λμ=+故012012x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，两式平方相加得()22121212x x y y λμλμ=+++， 即22121212x x y y λμλμ--+= 又[]1212cos 1,1x x y y OA OB θ+==∈-故222221,21λμλμλμλμ++≥+-≤即1110,0λμλμλμ+≥⎧⎪-≤-≤⎨⎪>>⎩，画出可行域如图，目标函数()223λμ+-视为可行域内的点到()0,3的距离的平方，所以的最小值为222d == 所以()2232λμ+-≥感知高考刺金273题若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式0)3()3(222>-+-+-t t x t t x 恒成立，则x 的取值范围为 ．解：原不等式化为0)]3()[(2>---t x t x ，∵22211(3)3()3024t t t t t --=-+=-+->， ∴3x t <-或2x t >，∴()min 34x t <-=-或()2max 9x t >=点评：本题常规的解法应该是将t 视为主元，将x 视为系数去解，但这个关于t 的不等式是三次不等式，不好处理，所以本题的解法是将不等式因式分解后先化简，在转为恒成立问题。
配套K122018数学高考一轮复习刺金四百题：第201—205题(含答案解析)
感知高考刺金201题解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ． 解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52 解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12b =-，2λ= 感知高考刺金202题解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN ='1cos PN PP PM m PN m PM PMθ=⇒===，其中'MPP NMP θ=∠=∠要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2PMP MPP π∠=-∠最小，此时MP 是抛物线的切线．设MP 的方程为2y kx =-，与28x y =联立得()2820x kx --=因为相切，故264640k ∆=-=，解得1k = 故()4,2P，24a PM PN =-= 由24c =，得1e =感知高考刺金203题解析几何模块6． 已知斜率为1的直线l 过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F ，且与双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为 ．解：由题意知122y y =()222222422120x y b a y b cy b a b x y c ⎧-=⎪⇒--+=⎨⎪=-⎩ 2121224212122232b c y y y b a b y y y b a ⎧+==⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩所以222492c b a =-，所以2218c a e =⇒=感知高考刺金204题解析几何模块7． 已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的动点，12,F F 是其左、右焦点，O 坐标原点，若12PF PF OP +，则此双曲线的离心率是 ．解：设12,PF m PF n ==，则()22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+- ()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+ 所以22244m n b OP OP +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以m n OP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a+=所以222b a =，即e =感知高考刺金205题解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22119x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围是 ． 解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ，所以1d ≥，解得34k ≥-。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第166170
函数模块3．设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使得()f x 在[],a b 上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“半缩函数”．若函数()()ln x f x e t =+为“半缩函数”，则t 的取值范围是 ．解：()()ln x f x e t =+为单调递增函数由已知由()()()222a f a x f xb f b ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，即()ln 2x x e t += 变形得2x x e e t -=-，令20x m e =>，进一步转化为1y t =-与()220y m m m =->两个函数图象的交点，结合图象，可得10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点评】本题是函数两域一致问题的应用．感知高考刺金167函数模块4．已知,a t 为正实数，函数()22f x x x a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()a f x a -≤≤成立．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，则函数()g a 的值域是 ． 解：作出()22f x x x a =-+的图象，由图象可知当1a a -≥-，即12a ≥时，2t ≤，即()2g a = 当1a a -<-，即102a <<时，1t <，且()22f t t t a a =-+≥-解得11t ≥>（舍去）或1t ≤()1g a =所以()1221102a g a a ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩，故()g a 的值域是(){}0,12【点评】这里“对任意[]0,x t ∈，都有()a f x a -≤≤恒成立”与“当[]0,x t ∈时，()f x 的值域为[],a a -”是不一样的．一个是恒成立问题，一个是值域问题，注意区分．函数模块5．已知()22f x x x =-，若关于x 的方程()()0f x f a x t +--=有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则t 的取值范围是 ． 解：构造()()()F x f x f a x =+-，显然()()F a x F x -=可知()y F x =的图象关于2a x =对称，()y F x =与y t =的图象四个横坐标之和应为2a ，故1a = 由此可知，当312t <<时满足条件．感知高考刺金169函数模块6．当且仅当()(),,x a b c d ∈（其中b c ≤）时，函数()222f x x x =++的图象在函数()21g x x x t =++-的图象下方，则()()b a d c -+-的取值范围是 ．解：令()222121,222211233,2x x x h x x x x x x x ⎧-+≥-⎪⎪=++-+=⎨⎪++<-⎪⎩，(),,x t x t m x x t x t x t -+≤⎧=-=⎨->⎩ 画出图象如图当直线y x t =-+分别与221y x x =-+，2233y x x =++相切时，1t =直线y x t =-分别与221y x x =-+相切时，12t =-结合图象可知， 直线()3,,1,2m x x t x t t ⎛⎤=-+≤∈ ⎥⎝⎦，符合题意 又,a b 是方程22430x x t ++-=的两个根；,c d 是方程2210x t +-=的两个根所以b a -==，d c -=所以(]0,2b a d c -+-=【点评】这个题目难度很大，不过其中带给我们的启示是将方程的根问题转变为两个能方便画图的函数看交点的问题。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题含答案解析)
感知高考刺金361题设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，22t ⎡⎤=⎣⎦，…，n t n⎡⎤=⎣⎦同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 ． 解：由[]1t =得12t ≤<由22t ⎡⎤=⎣⎦得223t ≤< 由44t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，所以22t ≤<由33t ⎡⎤=⎣⎦得334t ≤<，所以56t ≤<由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<与56t ≤<n 的最大值是4感知高考刺金362题过点()1,1M -的直线l 交圆()22:11C x y -+=于点,A B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ = ． 解：设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q m n ，直线():11l y k x =++则11MA +，21MB =+，1MQ + 由112MA MB MQ +=得12112111x x m +=+++ 由()()221111x y y k x ⎧-+=⎪⎨=++⎪⎩得()()()2222122210k x k k x k +++-++= 所以21222221k k x x k +-+=-+，()212211k x x k +=-+ 所以421k m =-+所以()42111n m m ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭整理得点(),Q m n 满足的轨迹方程为210m n --=所以min OQ ==感知高考刺金363题如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =u u u r u u u r，()*n E n ∈N 为AC 边上一列点，满足()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，其中数列{}n a 满足0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为 ．解：由3BD DC =u u u r u u u r可得1344n n n E D E B E C =+u u u u r u u u u r u u u u r又()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，且n n E C E A λ=u u u u r u u u u r故()113132444n n n n n n E D E B a E B a E D λ+⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r即()131********n n n n a E B a E D λλ+⎛⎫⎡⎤+=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭u u u u r u u u u r 因为,n n E B E D u u u u r u u u u r 不共线，故()1310416313204n na a λλ+⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩， 两式相除消去λ得132n n a a +=+，又11a =，所以1231n n a -=⋅-感知高考刺金364题若点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上运动,点B 在y 轴上运动,则对定点(3,2)P 而言,||PA PB +u u u r u u u r的最小值为 ．解法1：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.若设||r PA PB =+u u u r u u u r ,则由题意可得222112(6)(4)x y y r -++-=.即,点A 在以2(6,4)D y -为圆心,以r 为半径的圆D :2222(6)(4)x y y r -++-=上.由圆C与圆D 有公共点A 可得2222||(61)(6)5r CD y +≥=-+-≥,从而3r ≥.解法2：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.从而,22211211||(6)(4)(6)63PA PB x y y x x +=-++-≥-=-≥u u u r u u u r.解法3：由点A 在圆C 上可设(12cos ,22sin )A θθ+-+,(0,)B t ,则(2cos 5,2sin 6)PA PB t θθ+=-+-u u u r u u u r.故222||(2cos 5)(2sin 6)(2cos 5)52cos 3PA PB t θθθθ+=-++-≥-=-≥u u u r u u u r. 解法4：设Q 为AB 的中点,则2PA PB PQ +=u u u r u u u r u u u r,过,,P Q A 作y 轴的垂线,垂足分别为',','P Q A .由于13|'||||'||||'|||22PP PQ QQ PQ AA PQ ≤+=+≤+, 因此33|||'|22PQ PP ≥-=,即||2||3PA PB PQ +=≥u u u r u u u r u u u r .解法5：设'B 为点B 关于点P 的对称点，则|||'||'|PA PB PA PB B A +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'B 在直线6x =上,点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上可得|'|523B A ≥-=u u u u r.解法6：同解法5，设'A 为点A 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PB PA A B +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'A 在圆'C :22(5)(6)4x y -+-=上,点B 在y 轴上可得|'|523A B ≥-=u u u u ryxB'PCOA B感知高考刺金365题设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112u x y =+的取值范围为 ．解：可行域如图所示，()1,2A ，()4,2B ，()3,1C ， 所以14,12x y ≤≤≤≤设点(),P x y 是可行域内一动点， 目标函数112u x y=+既是关于x 的减函数，又是关于y 的减函数 所以当点P 与点C 重合时，此时x 取得最大值4， 同时y 取得最大值2，此时u 取得最小值为1114222+=⋅ 对于每一个固定的y 的值，要使u 取得最大值，应使x 取得最小值，即点P 应位于线段AB 上，此时()5212x y y =-≤≤()()111152522252u y x y y y y y =+=+=--()12y ≤≤ 所以()max 54u y =，此时()1,2P 与点A 重合 综上所述，1524u ≤≤感知高考刺金366题已知点,A B 是双曲线22122x y -=右支上两个不同的动点，O为坐标原点，则OA OB u u u r u u u rg的最小值为 ．解法一：韦达定理当AB k 存在时，设:AB l y kx b =+()222221122022x y k x kbx b y kx b⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩212122222,11kb b x x x x k k ++==-- ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b =+=+++=++++u u u r u u u r g()2222222222222241221111b k b k k b k k k k ++=+++==+>----当AB k 不存在是，222x y x m⎧-=⎨=⎩，则22121222OA OB x x y y m m =+=+-=u u u r u u u r g综上，2OA OB ≥u u u r u u u rg解法二：由于,A B 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B 点确定的情况下，让A 点运动到最小值，然后再让B 点运动，即取最小值的最小值。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第66—70题含解析
感知高考刺金661．已知离心率为e 的椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线221xy -=有相同的焦点，且直线y ex =分别与椭圆相交与,A B 两点,与双曲线相交于,C D 两点，若,,C O D 依次为线段AB的四等分点，则e = ． 解：设()0,D x ex ，则()02,2B x ex所以2222002111x e x x e -=⇒=-且2220022441x e x a b+=，222a b =+所以化简得42480b b --=,解得2223b=+,所以222622322423e b -===-=++ 2． 5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 。
解：31122133521531332222550381C C C C C C A A A A +=感知高考刺金671．已知双曲线()222210x y a b a b -=>>，圆222:O xy a +=，过双曲线第一象限内任意一点()0,P x y 作圆C 的两条切线，其切点分别为,A B ．若AB 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点,则2222b a OMON-=（ ）A 、22b aB 、22b a- C 、22a bD 、22c a 解：直线2:AB x x y y a+=当0y =，20a x x =，2a OM x =当0x =,2a y y =，2a ON y =2222200442b x a y b a a a-= 2．将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 种不同的染色方法。
解：解第一行染2个黑格有246C =种染法，第一行染好后，有如下三种情况：(1）第二行染的黑格与第一行同列，这时其余两行只有1种染法； (2）第二行染的黑格与第一行均不同列，这时第三行有246C =种染法，第四行随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行同列,这样的染法有4种，而第一、第二行染好后，第三行染的黑格必然有一个于上面的黑格均不同列,这是第三行的染法有2种，第四行随之确定. 因此共有()6164290⨯++⨯=种。
【K12教育学习资料】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第61—65题(含答案解析)
感知高考刺金611．不等式()()22cos 11sin 0x x x x θθ--+->对[]0,1x ∈恒成立，则θ的取值范围是 ．解：经整理为()()()2sin cos 112sin sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[]0,1x ∈恒成立， 当0x =时，()0sin 0f θ=>；当1x =时，(1)cos 0f θ=>所以sin cos 10θθ++>，二次函数开口向上对称轴()()12sin 0,12sin cos 1x θθθ+=∈++ 所以需满足12sin 205sin 022,1212cos 0k k k θππθπθπθ∆=-<⎧⎪>⇒+<<+∈⎨⎪>⎩Z 2．有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是 ．答案：58感知高考刺金621．已知O 为ABC ∆的外心，且3A π=，cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=，则m = ． 解：cos cos 2sin sin B C AB AC AO mAO AO C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以222cos cos 2sin 2sin 2B cC b R m C B ⋅+⋅= 由正弦定理得cos cos 2c B b C Rm a +==，所以sin 2a m A R ===2． 将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为 种．答案：12感知高考刺金631．已知115k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <，函数()2121x k g x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为 ． 解：由题可知312421,21,21,212121x x x x k k k k k k =-=+=-=+++ 所以()()4243213112213142123221112121x x x x x x x x k k k k k k k k k -+-++++=⨯=⋅==-+≥----+ 当且仅当15k =时，()()4321min 1x x x x ⎡-+-⎤=⎣⎦ 2．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是 ．（用数字作答）答案：16感知高考刺金641．已知实数,,a b c 满足2a b c ++=，2224a b c ++=，且a b c >>，则a 的取值范围是 。
【K12教育学习资料】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第356—360题(含答案解析)
感知高考刺金356题已知实数,x y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值是 ．解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。
()()()2222221223x y x y xy xy xy xy +=+-=--=--由()()()2224146103x y xy xy xy xy xy xy +≥⇒-≥⇒-+≥⇒≥+3xy ≤-所以()()2222233236x y xy +=--≥--=-点评：这里注意因为题干中没有告诉我们,x y 的正负性，所以不能直接用1x y xy +=-≥xy 的取值范围，所以改为用重要不等式来222a b ab +≥来做。
虽然答案正好一样，但做法要注意。
解法二：遇到xy 结构，所以用代数的极化恒等式变形。
令,x a b y a b =+=-，则问题转变为已知22210a b a ---=，求()222a b +的最小值。
因为()2222442a b a a +=--所以还需要计算定义域，即2221011b a a a a =--≥⇒≤≥所以()(2min 44216a a f --=-=-解法三：设,1x y a xy a +==+，则,x y 视为210z az a -++=的两根所以2440a a ∆=--≥所以2a ≥+或2a ≤-()()22222222136x y x y xy a a a +=+-=--=--≥-当且仅当2a =-时取得最小值。
感知高考刺金357题已知点P 为圆1O 与圆2O 的公共点，圆()()2221:1O x a y b b -+-=+，圆()()2222:1O x c y d d -+-=+，若8ac =，a c b d=，则点P 与直线:34250l x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为 ．解：设(),P m n ，1a c b d k==，则b ak =，d ck = 所以()()22221m a n ka k a -+-=+，即()2222210a m kn a m n -+++-=同理()2222210c m kn c m n -+++-=所以,a c 是方程()2222210x m kn x m n -+++-=的两个实根所以2218ac m n =+-=所以点P 的轨迹方程为229x y +=所以点P 到直线:34250l x y --=的最短距离为min 532PM =-=感知高考刺金358题已知向量,a b 满足23a b +=，22a b -=，则a b 的取值范围是 ． 解：（一）几何角度 由()223a b a b +=--=和12b a -=可以画图，找到向量模长的几何意义。
教育最新K122018数学高考一轮复习刺金四百题：第91—95题(含答案解析)
感知高考刺金911．若,x y 满足()()22221log 4cos 434cos xy y y xy ⎡⎤+=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则cos4y x = 。
解：()()()222221log 4cos 432114cos xy y y y xy ⎡⎤+=-+-=--+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦又()()22221log 4cos log 214cos xy xy ⎡⎤+≥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以()()2221log 4cos 14cos xy xy ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即()()2214cos 24cos 2xy xy y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得()1cos 22xy y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或()1cos 22xy y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以()2cos422cos 211y x x =-=-评注：本题是夹逼原理的应用。
2．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 个。
解：33371035n n C C C -≥，即()()12310985n n n --≥⋅⋅，解得9n ≥感知高考刺金921．已知ABC ∆是边长为的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME MF 的取值范围是 。
解：ABC ∆的外接圆O 的半径为2 由极化恒等式可得22244EF ME MF MO MO =-=- 由图易得[]1,2OM ∈，所以[]3,0ME MF ∈-2．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再 从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于 。
解：121219************C C C C P C C =⋅=感知高考刺金931．在ABC ∆中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+，其中01,01x y ≤≤≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第121—125题(含答案解析)
感知高考刺金1211．在ABC ∆中,若()4AB AC CB -⊥,则sin A 的最大值为 。
解：()()()2204445AB AC CB AB ACCA AB ABAC AB AC =-=-+=+-()2245cos 45cos 45cos AB AC AB AC A AB AC AB AC A AB AC A =+-≥-=-即4cos 5A ≥,则3sin 5A ≤ 2．现有4人去旅游,旅游地点有A 、B 两个地方可以选择。
但4人都不知道去哪里玩,于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩,掷出能被3整除的数时去A 地,掷出其他的则去B 地；（1）求这4个人中恰好有1个人去B 地的概率；（2）求这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数的概率。
解：依题意,这4个人中,每个人去A 地旅游的概率为13,去B 地的人数的概率为23设“这4个人中恰有k 人去A 地旅游”为事件()0,1,2,3,4i A i =∴()441233i ii i P A C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）这4个人中恰有1人去A 地游戏的概率为()1311412323381P A C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设“这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数”为事件B,则34B A A =,314034441212133339P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭感知高考刺金1221．已知{}1234,,,A x x x x =,()212sin14x B x R x π+⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭,且1234x x x x +++的最小值为 。
解：sin4xy π=的周期为8,图象关于点()12,0中心对称,()1212y x =-图象也关于点()12,0中心对称,故要123x x x x +++最小,在y 轴右侧最靠近y 轴的四个点123441248x x x x +++=⨯=2．将3个不相同的黑球和3个相同白球自左向右排成一排,如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向右数,数到最末一个球,黑球的个数大于或等于白球的个数,就称这种排列为“有效排列”,则出现有效排列的概率为 。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第326—330题(含答案解析)
感知高考刺金326在△ABC 中，已知BC = 4，AC = 3，cos (A - B ) =34，则△ABC 的面积为 ． 解：在角A 中作出A - B ，即在BC 上取一点D ，使DB = DA ，设DB = x ，则DC = 4 - x ．在△ACD 中，cos ∠CAD = cos (A - B ) = 34， ∴223(4)9234x x x -=+-⨯⨯⨯，得x = 2．则DA = DC = DB ，∠BAC = 90︒，AB = △ABC． 感知高考刺金327若ABC ∆的外接圆是半径为1的圆O ，且120AOB ∠=，则AC CB 的取值范围是 。
解法一：AC CB CA CB =-是同一个C点出发的两个向量作点积，且终点连线AB =222344AB AC CB CA CB CD CD =-=-+=-（其中D 为AB 中点）点C 在圆上运动，故R OD CD R OD -≤≤+，即1322CD ≤≤故31,22AC CB ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 又C 不与,A B 重合，所以0AC CB ≠，所以31,00,22AC CB ⎡⎫⎛⎤∈-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 解法二：如图建系设点。
()1,0A ，12B ⎛-⎝⎭，()cos ,sin C θθ ()1cos 1cos sin sin 2111cos sin 2262AC CB θθθθπθθθ⎫⎛⎫=---+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭因为202,0,3πθπθ≤≤≠，所以31,00,22AC CB ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 解法三：基底角度，一问三不知转基底()()()111cos 222AC CB OC OA OB OC OC OA OB OC OD θ=--=+-=-=-由于C 不与,A B 重合，所以31,00,22AC CB ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦感知高考刺金328如图，点,,A B C 是以O 为圆心，1为半径的圆O 上任意三点，则AC BC 的最小值是 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第96—100题(含答案解析)
感知高考刺金961．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且BC,则c b b c+的最大值为 ,此时内角A 的值为 。
解法一：由21sin 2ABC S bc A ∆==所以2222cos 2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭ 所以当3A π=时,max4c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解法二：以BC 为x 轴,BC 中点为原点建系,则,0,,022a a B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ABAC =所以b c ==当0x =时,1b c= 当0x >时,b c =,当且仅当x =时取等号所以令2b t⎡⎤=∈⎣⎦,1y t=+单调递减,所以当2t =时,即x =时,max 4y = 此时AB =,AC =,则2221cos 22b c a A bc +-==,所以3A π= 由对称性可知,0x <时也一样。
2．某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是12,构造数列{}n a ,使11n n a n ⎧=⎨-⎩（当第次出现正面时）（当第次出现反面时）,记()12*n n S a a a n =+++∈ N ,则42S =时的概率为 。
解：42S =,需四次中有3次正面,1次反面,故344124C P ==感知高考刺金971．点P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限的弧上的任意一点,过P 引x 轴,y 轴的平行线,分别交直线b y x a=-于,Q R 两点,交y 轴,x 轴于,M N 两点,记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ,当2ab =时,2212S S +的最小值为 。
解：设()cos ,sin ,0,2P a b πααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 则()()0,sin ,cos ,0M b N a αα,()()sin ,sin ,cos ,cos Q a b R a b αααα-- 所以()()()()1211sin sin ,cos cos 22S a b S a b αααα== ()()22224444122222221sin cos sin cos 411sin cos 2sin cos 1sin 222S S a b ααααααααα+=+=+=+-=-≥ 当且仅当4πα=时取得最小值。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第201—205题含解析
感知高考刺金201题解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ．解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-,所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52 解法二：作为小题,由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-,解得12b =-，2λ= 感知高考刺金202题解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．解：作''PP M P ⊥，由抛物线定义'PP PN ='1cos PN PP PM m PN m PM PMθ=⇒===,其中'MPP NMP θ=∠=∠要使m 取得最小值,即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2PMP MPP π∠=-∠最小，此时MP 是抛物线的切线． 设MP 的方程为2y kx =-，与28x y =联立得()2820x kx --=因为相切，故264640k ∆=-=，解得1k =故()4,2P ，2424a PM PN =-=-由24c =，得1e感知高考刺金203题解析几何模块6． 已知斜率为1的直线l 过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F ,且与双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为 ． 解：由题意知122y y =()222222422120x y b a y b cy b a b x y c ⎧-=⎪⇒--+=⎨⎪=-⎩ 2121224212122232b c y y y b a b y y y b a ⎧+==⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩所以222492c b a =-,所以2218c a e =⇒=感知高考刺金204题解析几何模块7． 已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的动点,12,F F 是其左、右焦点,O 坐标原点，若12PF PF OP +则此双曲线的离心率是 ． 解：设12,PF m PF n ==，则()22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+- ()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+ 所以22244m n b OP OP +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以m n OP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a += 所以222b a =，即e =感知高考刺金205题解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22119x y -+-=,直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点,则实数k 的取值范围是 ． 解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ,所以1d =≥，解得34k ≥-。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第136—140题(含答案解析)
感知高考刺金136设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值（1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。
证明：（1）因为对称轴012a x =-≤-或012ax =-≥ ()()(){}{}max max 1,1max 1,1f x f f a b a b =-=++-+证法一：规划视角()()()()()22221112112110a b a b b a b a b a b a a b ++≤-+⇔++++≤+-++⇔+≤故(){}()()max1,410max 1,11,410b a a b f x a b a b b a a b ⎧+++>⎪=++-+=⎨+-+≤⎪⎩，又结合2a ≥， 可以从规划视角来解题，以a 为横坐标，b 为横坐标建系，画出可行域()4102a b a +>⎧⎪⎨≥⎪⎩如图1所示，目标函数1122b ab a ++++=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y ++=的距离的2倍，显然当(),a b 取点()2,1--时min 1222b a ++=⋅=同理，可行域()4102a b a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩如图2所示，目标函数1a b -+=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y -++=的距离(),a b 取点()2,1-时min 12b a +-=综上，(),2M a b ≥ 证法二：绝对值不等式()()(){}{}()()max max 1,1max 1,11111222f x f f a b a b a b a b a b a b a =-=++-+++--++++-+≥≥=≥解法三：(){},max 1,1M a b a b a b =++-+令1b t +=，则()(){},max ,M a b g t t a t a ==+-在同一个坐标系中画出1y t a =+和2y t a =-的图象，两者取其大，则显然当0t =时，()min 2g t a =≥故(),2M a b ≥ （2）解法一：规划视角()()()222211221231,211221231848122424424f a b a b a b a M a b f a b a b a b a a b a a a b f a b ⎧⎧⎪=++≤⎪⎧-≤++≤--≤≤-+⎪⎪⎪⎪≤⇔-=-++≤⇔-≤-++≤⇔-≤≤+⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤-≤⎩⎛⎫⎪⎪-≤≤+-=-≤ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩显然又是一个规划问题了。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第91—95题(含答案解析)
感知高考刺金911．若,x y 满足()()22221log 4cos 434cos xy y y xy ⎡⎤+=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则c o s y x = 。
解：()()()222221log 4cos 432114cos xy y y y xy ⎡⎤+=-+-=--+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦又()()22221log 4cos log 214cos xy xy ⎡⎤+≥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以()()2221log 4cos 14cos xy xy ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即()()2214cos 24cos 2xy xy y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得()1cos 22xy y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或()1cos 22xy y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以()2cos422cos 211y x x =-=-评注：本题是夹逼原理的应用。
2．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 个。
解：33371035n n C C C -≥，即()()12310985n n n --≥⋅⋅，解得9n ≥感知高考刺金921．已知ABC ∆是边长为的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME MF 的取值范围是 。
解：ABC ∆的外接圆O 的半径为2 由极化恒等式可得22244EF ME MF MO MO =-=- 由图易得[]1,2OM ∈，所以[]3,0ME MF ∈-2．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再 从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于 。
解：121219************C C C C P C C =⋅=感知高考刺金931．在ABC ∆中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+，其中01,01x y ≤≤≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第1—5题(含答案解析)
感知高考刺金11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1APx y AQ +=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈． 解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形,所以不妨设为等腰直角三角形,则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中,x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点,将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个感知高考刺金21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故 (1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两倍同学要站在一起,则不同的站法有 种．答案：192种感知高考刺金31．已知直线l ⊥平面α,垂足为O ．在矩形ABCD 中,1AD =,2AB =,若点A 在l 上移动,点B 在平面α上移动,则O ,D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ,则E 点的轨迹是球面的一部分,1OE =,DE所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中,则不同的放法有 种．答案：30种感知高考刺金41． 在平面直角坐标系xOy 中,设定点(),A a a ,P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为0x >,则12x x+≥,分两种情况： （1）当2a ≥时,min AP =,则a（2）当2a <时,min AP =则1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 种．答案：90种感知高考刺金51．已知,x y ∈R ,则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =,22y x=-,则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上,故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方, 令222080222y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩,所以y x =+1y x =平行的22y x =-的切线,故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为4 2． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会,其中甲、乙两位教师不能同时参加,则邀请的不同方法有 种．答案：140种。
【K12教育学习资料】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第66—70题(含答案解析)
感知高考刺金661．已知离心率为e 的椭圆()222210x y a b a b+=>>与双曲线221x y -=有相同的焦点，且直线y ex =分别与椭圆相交与,A B 两点，与双曲线相交于,C D 两点，若,,C O D 依次为线段AB 的四等分点，则e = ．解：设()00,D x ex ，则()002,2B x ex 所以22220002111x e x x e -=⇒=-且2220022441x e x a b +=，222a b =+ 所以化简得42480b b --=，解得22b =+所以e === 2． 5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 。
解：311221335215313322550381C C C C C C A A A A +=感知高考刺金671．已知双曲线()222210x y a b a b-=>>，圆222:O x y a +=，过双曲线第一象限内任意一点()00,P x y 作圆C 的两条切线，其切点分别为,A B ．若AB 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点，则2222b a OM ON -=（ ）A 、22b aB 、22b a -C 、22a bD 、22c a解：直线200:AB x x y y a +=当0y =，20a x x =，2a OM x = 当0x =，20a y y =，2a ON y =2222200442b x a y b a a a-= 2．将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 种不同的染色方法。
解：解第一行染2个黑格有246C =种染法，第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格与第一行同列，这时其余两行只有1种染法；（2）第二行染的黑格与第一行均不同列，这时第三行有246C =种染法，第四行随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行同列，这样的染法有4种，而第一、第二行染好后，第三行染的黑格必然有一个于上面的黑格均不同列，这是第三行的染法有2种，第四行随之确定。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第106—110题(含答案解析)
感知高考刺金1061．在平面直角坐标系中有两点((,A B -,以原点为圆心,以()0r r >为半径作圆,与射线()0y x =<交于点M ,与x 轴正半轴交于点N ,则当r 变化时,AM BN +的最小值为 。
解：设(),,02r M N r ⎛- ⎝⎭所以AM BN +=问题等价于点((,E F 与x 轴上的点(),0P r 连线段长的和最短作('5,E ,则''EP FP E P FP E F +=+≥=当且仅当3r =时,取得最小值。
2．一副扑克牌（有四色,同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌,则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 （用数值作答）．解：12141339352234425C C C C =感知高考刺金1071．在ABC ∆中,22AC AB==,BC =,P 是ABC ∆内部一点,且满足P B C PC A PAB S S S PA PB PB PC PC PA ∆∆∆==⋅⋅⋅,则PA PB PC ++= 。
解：由PBC PCA PAB S S S PA PB PB PC PC PA∆∆∆==⋅⋅⋅得 tan tan tan APC BPC APB ∠=∠=∠又360APC BPC APB ∠+∠+∠=故120APC BPC APB ∠=∠=∠=设BCP θ∠=,则60PCB θ∠=-,30ABP θ∠=+,30PAB θ∠=-故在PBC ∆中由正弦定理得BP =,()60sin120CPθ-=在PBA∆中由正弦定理得()sin30sin120BPθ-=,()sin30sin120APθ+=()sin30sin120θ-=,解得tanθ=所以sinθθ==所以PA PB PC++=()()sin303sin 603sin7sin120sin120θθθ+-=2．五位同学各自制作了一张贺卡,分别装入5个空白信封内,这五位同学每人随机地抽取一封,则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第6—10题(含答案解析)
感知高考刺金61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者 C ．12r r + D ．12r r -解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=-若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e +=2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种感知高考刺金71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ． 解：()222,x y c M a b by xa ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+，所以22221x y a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++=所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个感知高考刺金81． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c=+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种感知高考刺金91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种感知高考刺金101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ． 解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ，设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种．答案：45种When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tides But using one's indifferent heart To dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第171—175题(含答案解析)
感知高考刺金171三角模块3． ,C D 两点在PAB ∆的边AB 上，AC BD =，若90CPD ∠= ，且2210PA PB +=，则AB CD +的最大值为 ．解：取AB 中点为O ，则()222224PA PB PO AB +=+， 又12PO CD =，所以2220CD AB += 所以2221022AB CD AB CD ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以AB CD +≤【点评】本题是“平行四边形四边平方和等于对角线平方和”性质的应用，它是极化恒等式的对偶式．已知a ，b 是两个向量，则(a ＋b )2=a 2＋2a b ＋b 2 ①(a －b )2=a 2－2a b ＋b 2 ②①－②得“极化恒等式”：4a ·b ＝(a ＋b )2－(a －b )2．①＋②得“平行四边形对角线性质”：2(|a |2＋| b |2)＝(a ＋b )2＋(a －b )2．平行四边形对角线性质公式揭示的是平行四边形对角线的平方和等于其四边和的平方．感知高考刺金172三角模块4．在ABC ∆中，若()sin 22sin A B B +=，则tan B 的最大值为 ．解法一：胆子大！()11sin sin 222B A B =+≤，故tan B ≤ 当6B A π==解法二：sin 2cos cos 2sin 2sin A B A B B +=所以()sin 2cos2sin 2cos B A A B -=，所以222sin 22sin cos 2tan tan 2cos23sin cos 3tan 1A A A A B A A A ===-++ 因为若tan 0A <，则tan 0B <，,A B 均为钝角，不可能，故tan 0A >所以22tan tan 3tan 1A B =≤+感知高考刺金173三角模块5．在ABC ∆中，2AB AC =，1ABC S ∆=，AD 是角平分线，且AD kAC =，则当BC取最小值时k = ．解：设,2AC m AB m ==，BAC α∠=，AD km = 由角平分线定理得2BD AB DC AC== 所以23AC AB AD += ，即22222224488cos 99AC AB AC AB m m AD k m α+++=== 故288cos 9k α+= 又1ABC S ∆=，所以21sin m α= 再由余弦定理得22254cos 54cos 3sin BC m m ααα-=-=≥当且仅当4cos 5α=时，min BC k =感知高考刺金174三角模块6．如图，已知正ABC ∆边长为a ，点P 为ABC ∆外接圆的劣弧AB 上一点，记APB ∆与APC ∆的面积分别为12,S S ，则12S S +的最大值为 ． 解法一：设03ABP πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则ACP θ∠= 在APB ∆中，由余弦定理得2222cos AP AB PB AB PB θ=+-⋅即2222cos AP a PB a PB θ=+-⋅⋅ ①在APC ∆中，由余弦定理得2222c o s A PA C P C A C P C θ=+-⋅ 即2222cos AP a PC a PC θ=+-⋅⋅ ②①—②得222cos 2cos 0PB PC a PB a PC θθ--⋅⋅+⋅⋅=即2cos PB PC a θ+= 故()212111sin sin sin sin 2022223a S S PB AB PC AC PB PC a πθθθθθ⎛⎫+=⋅⋅+⋅⋅=+=<< ⎪⎝⎭ 所以21212S S a +≤ 解法二：设03ABP πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则ACP θ∠= 在PBC ∆中，3PBC πθ∠=+，3PCB πθ∠=-，由正弦定理得sin sin sin 333PB PC BC πππθθ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是sin ,sin 33PB PC ππθθ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故2cos PB PC a θ+=sin sin 2cos 33PB PC a ππθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭后续同解法一．解法三：如图建系，有A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2Ba ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，1,2B a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，于是圆方程为2223a x y +=直线AB0y -+=，直线AC0y +=，设7cos sin 26P ππααα⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭记1cos sin a d αα⎛⎫- ⎪=2cos sin a d αα⎛⎫- ⎪=故()2121212111cos 2222a S S AB d AC d a d d α+=⋅+⋅=⋅+=-故当απ=时，()212max 2a S S +=感知高考刺金175不等式模块1．已知,x y 为正实数，则44xyx y x y +++的最大值为 ．解：222222448334114934545x y x xy y xy xy x y x y xy x xy y x xy y +++==+≤+=++++++当且仅当2x y =时取得等号．评注：齐次化的应用。
教育最新K122018数学高考一轮复习刺金四百题：第336—340题(含答案解析)
感知高考刺金336已知22252259x x ax ax c x x ++≤++≤++对任意x ∈R 恒成立，则a c += ．解：用两边夹逼的方法，令225259x x x x ++=++，解得2x =-故7447a a c ≤-+≤，即7c =所以()()22252712120x x ax ax a x a x ++≤++⇒-+-+≥对任意x ∈R 恒成立，所以 ()()()221013221810230a a a a a a ->>⎧⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨∆=---≤-≤⎪⎪⎩⎩ 故172a c += 点评：这又是夹逼形式的好题，解法中让不等号两边同时取到，求出临界点的方法要注意。
感知高考刺金337已知非零向量a 与向量 b 的夹角为钝角，2b =，当2t =-时，()b ta t -∈R 取最小值65，则()a b a -= ．解法一：由当2t =-时，()b ta t -∈R 取最小值65，可知本题是“神图”的应用，如图所示，设,a b θ=，则()635sin 25πθ-== 即4cos 5θ=- ()221425a b b a =--= 故()24825a b a a b a -=-=- 解法二：22222b ta b a bt a t -=-+当且仅当22a bt a ==-时，222364425b ta b a b a -=++= 所以22a b a =-且3644225a b a b +-=，得232225a b a =-=- 故()24825a b a a b a -=-=-感知高考刺金338已知椭圆()2211221110,0x y a b a b +=>>和双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若2222OF OP OF =，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 解：222222222cos ,OF OP OF OF OP OF OP OF =⇒= 2222222P P OF c x OF x a =⇒==> 故2222c e a =>感知高考刺金339已知函数()12x f x e x -=+-，()23g x x ax a =--+，若存在实数12,x x 使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数a 的取值范围是 ． 解：因为()f x 是增函数，且()10f =，故11x =，所以原条件等价于230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即231x a x +=+在[]0,2上有解 因为[]412,0,21y x x x =++-∈+的值域为[]2,3，所以实数a 的取值范围是[]2,3感知高考刺金340在ABC ∆中，1tan 3A =，4B π=，若椭圆E 以AB 为长轴，且过点C ，则椭圆E 的离心率是 ．解：如图，作CD AB ⊥于D ，则3tan CD AD CD A==，BD CD =设()2,0B ，则44AB AD BD CD ==+=， 所以1OD CD ==，所以()1,1C设椭圆的方程为22221x y a b+=，将2a =与()1,1C 代入可得24b=，28 3c=故e=。
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感知高考刺金66
1．已知离心率为e 的椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>与双曲线221x y -=有相同的焦点，且直线y ex =分别与椭圆相交与,A B 两点，
与双曲线相交于,C D 两点，若,,C O D 依次为线段AB 的四等分点，则e = ．
解：设()00,D x ex ，则()002,2B x ex 所以2
222000
2111x e x x e -=⇒=-且2220022441x e x a b +=，222a b =+ 所以化简得42480b b --=
，解得22b =+
所以e === 2． 5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率
为 。
解：311221335215313322550381
C C C C C C A A A A +=
感知高考刺金67
1．已知双曲线()22
2210x y a b a b
-=>>，圆222:O x y a +=，过双曲线第一象限内任意一点()00,P x y 作圆C 的两条切线，
其切点分别为,A B ．若AB 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点，则2
222b a OM ON -=（ ）
A 、22b a
B 、22b a -
C 、22a b
D 、2
2c a
解：直线200:AB x x y y a +=
当0y =，20a x x =，2
a OM x = 当0x =，20a y y =，2
a ON y =
22222
00442b x a y b a a a
-= 2．将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 种不同的染色方法。
解：解第一行染2个黑格有246C =种染法，第一行染好后，有如下三种情况：
（1）第二行染的黑格与第一行同列，这时其余两行只有1种染法；
（2）第二行染的黑格与第一行均不同列，这时第三行有246C =种染法，第四行随之确定；
（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行同列，这样的染法有4种，而第一、第二行染好后，
第三行染的黑格必然有一个于上面的黑格均不同列，这是第三行的染法有2种，第四行随
之确定。
因此共有()6164290⨯++⨯=种。
感知高考刺金68
1．已知函数()y f x =单调递减，函数()1y f x =-图象关于()1,0对称，实数,x y 满足不等
式()()22330f x x f y y -+--≥，则224613z x y x y =++++的最小值
为 ．
解：函数()1y f x =-图象关于()1,0对称，得到()y f x =图象
关于()0,0对称
所以()y f x =是奇函数，且是减函数
又()()
22330f x x f y y -+--≥，所以2233x x y y -≤+
所以()()30x y x y +--≤，画出可行域如图． ()()22
22461323z x y x y x y =++++=+++视为可行域内的点(),x y 与定点()2,3--之间
距离的最小值的平方，由图可知min 2z =
2．从m 个男生，n 个女生，410n m ≤<≤中任选2个人当组长，假设事件A 表示选出的2
个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同。
如果A 的概率和B 的概率相等，则()
,m n 的可能值为 。
解：()()221122,m n m n m n m n
C C C C P A P B C C +++== 由于()()221122m n m n m n m n
C C C C P A P B C C +++=⇒= 所以()2
m n m n -=+
即m n +是完全平方数，且919m n ≤+≤ 所以164m n m n +=⎧⎨-=⎩或93m n m n +=⎧⎨-=⎩
解得106m n =⎧⎨=⎩或63m n =⎧⎨=⎩
（不合条件，舍去）
感知高考刺金69
1．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222x y b +=相切于点A ，并与椭圆C 交于两点,P Q ，若12PF PF ⊥，则椭圆的离心率为 ．
解：连结OA ，由圆与直线相切得OA PQ ⊥
所以1//OA PF ，且12OF OF =，
所以12PF b =，222PF a b =-
在直角12PF F ∆中，由勾股定理得()()()222
2222a b b c -+= 化简得23a b =
，所以e =
2．某学校的数学课外小组有4个女生，3个男生，要从他们中挑选3人组成代表队去参加比赛，则代表队男生、女生都有的概率为 ． 解：334337617
C C C +-=
感知高考刺金
70
1．已知()()()()222221,0683,0
k x k a x f x x a a x a x ⎧+-≥⎪=⎨+-++-<⎪⎩，其中a ∈R ．若对任意的非零实数1x 总存在唯一的非零实数()212x x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则k 的取值范围是 ．
解：当0k =，显然不合题意，舍去
当0k ≠时，问题等价于()()222680231a a a k a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-=-⎩
，即()2231a k a -=-，[]2,4a ∈ 所以1,03k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
2．有4名优秀大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中3个科室上班，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为 ． 解：211334215322
360C C C C A A =。