江苏省苏州市2017年中考数学复习指导：识别圆形结构 谋定解题策略
九年级数学圆几何题小妙招
九年级数学圆几何题小妙招一、了解圆的基本概念在解决九年级数学圆几何题时，首先要掌握圆的基本概念，包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。
这些基本概念是解决圆几何题的基础，只有熟练掌握这些概念，才能更好地分析问题和解决问题。
二、善于运用性质定理圆的性质定理是解决圆几何题的重要工具，包括弦长定理、切割线定理、相交弦定理、同弧所对的圆周角相等等。
在解题过程中，要善于运用这些定理，将复杂的问题转化为简单的问题，从而提高解题效率。
三、明确题目要求在解决九年级数学圆几何题时，要明确题目的要求，包括求解什么、已知什么条件等。
只有明确了题目要求，才能有针对性地进行分析和解答。
同时，要注意审题，避免因为看错题目而出现错误。
四、画图辅助解题在解决九年级数学圆几何题时，画图是一种非常有效的解题方法。
通过画图，可以将抽象的问题具体化，从而更好地分析问题和解决问题。
画图时要尽量准确，遵循题目的条件，不要随意添加或减少条件。
五、分类讨论在解决九年级数学圆几何题时，有时候需要对问题进行分类讨论。
例如，当涉及到弦与直径的关系时，可以分为弦是直径的情况和非直径的情况；当涉及到圆周角与圆心角的关系时，可以分为圆周角等于圆心角的情况、圆周角大于圆心角的情况和圆周角小于圆心角的情况等。
通过分类讨论，可以更好地解决问题。
六、利用对称性在解决九年级数学圆几何题时，可以利用对称性简化问题。
例如，当涉及到两个圆的位置关系时，可以考虑将其中一个圆关于另一个圆的直径进行对称，从而将问题转化为求解一个圆上的几何问题；当涉及到多个圆的位置关系时，可以考虑将多个圆进行适当的旋转和平移，使得问题变得简单。
七、利用代数方法在解决九年级数学圆几何题时，有时候可以利用代数方法简化问题。
例如，当涉及到弦长和半径的关系时，可以利用勾股定理求解；当涉及到弧长和半径的关系时，可以利用弧长公式求解；当涉及到角度和弧度的关系时，可以利用角度制和弧度制的转换公式求解等。
通过代数方法，可以更快地解决问题。
2017年江苏省苏州市中考数学试题(含答案)
江苏省苏州市2017年中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2017•苏州）（﹣3）×3的结果是（）A．﹣9 B．0C．9D．﹣6考点：有理数的乘法．分析：根据两数相乘，异号得负，可得答案．解答：解：原式=﹣3×3=﹣9，故选：A．点评：本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行绝对值得运算．2．（3分）（2017•苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（）A．30°B．60°C．70°D．150°考点：对顶角、邻补角分析：根据对顶角相等可得∠β与∠α的度数相等为30°．解答：解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．故选：A．点评：本题主要考查了对顶角相等的性质，比较简单．3．（3分）（2017•苏州）有一组数据：1，3，3，4，5，这组数据的众数为（）A．1B．3C．4D．5考点：众数分析：根据众数的概念求解．解答：解：这组数据中3出现的次数最多，故众数为3．故选B点评：本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．4．（3分）（2017•苏州）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣4 B．x≥﹣4 C．x≤4 D．x≥4考点：二次根式有意义的条件分析：二次根式有意义，被开方数是非负数．解答：解：依题意知，x﹣4≥0，解得x≥4．故选：D．点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．5．（3分）（2017•苏州）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概率．分析：设圆的面积为6，易得到阴影区域的面积为4，然后根据概率的概念计算即可．解答：解：设圆的面积为6，∵圆被分成6个相同扇形，∴每个扇形的面积为1，∴阴影区域的面积为4，∴指针指向阴影区域的概率==．故选D．点评：本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=．6．（3分）（2017•苏州）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°考点：等腰三角形的性质分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选B．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．7．（3分）（2017•苏州）下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C 进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．解答：解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．故选C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8．（3分）（2017•苏州）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．2D．5考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：把点（1，1）代入函数解析式求出a+b，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），∴a+b﹣1=1，∴a+b=2，∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．故选B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．9．（3分）（2017•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．（3分）（2017•苏州）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB 在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B′，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）考点：坐标与图形变化-旋转．分析：过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．解答：解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A（2，），∴OC=2，AC=，由勾股定理得，OA===3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×=，BD=4×=，∴OD=OB+BD=4+=，∴点O′的坐标为（，）．故选C．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2017•苏州）的倒数是．考点：倒数．分析：根据乘积为1的两个数倒数，可得一个数的倒数．解答：解：的倒数是，故答案为：．点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．12．（3分）（2017•苏州）已知地球的表面积约为510000000km2，数510000000用科学记数法可表示为 5.1×108．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于510000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．解答：解：510 000 000=5.1×108．故答案为：5.1×108．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．13．（3分）（2017•苏州）已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为4．考点：正方形的性质．分析：根据正方形的对角线等于边长的倍求出边长，再根据正方形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵正方形ABCD的对角线AC=，∴边长AB=÷=1，∴正方形ABCD的周长=4×1=4．故答案为：4．点评：本题考查了正方形的性质，比较简单，熟记正方形的对角线等于边长的倍是解题的关键．14．（3分）（2017•苏州）某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解个门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有240人．考点：用样本估计总体；条形统计图．分析：根据样本的数据，可得样本C占样本的比例，根据样本的比例，可C占总体的比例，根据总人数乘以C占得比例，可得答案．解答：解：C占样本的比例，C占总体的比例是，选修C课程的学生有1200×=240（人），故答案为：240．点评：本题考查了用样本估计总体，先求出样本所占的比例，估计总体中所占的比例．15．（3分）（2017•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．16．（3分）（2017•苏州）某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则（x+y）的值为20．考点：二元一次方程组的应用．分析：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，就有4x+9y=120，8x+3y=120，由此构成方程组求出其解即可．解答：解：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，由题意，得，解得：．∴x+y=20．故答案为：20．点评：本题考查了列二元一次房产界实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，工程问题的数量关系的运用，解答时由工程问题的数量关系建立方程组求出其解是关键．17．（3分）（2017•苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为5．考点：矩形的性质；勾股定理．分析：连接BE，设AB=3x，BC=5x，根据勾股定理求出AE=4x，DE=x，求出x的值，求出AB、BC，即可求出答案．解答：解：如图，连接BE，则BE=BC．设AB=3x，BC=5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，由勾股定理得：AE=4x，则DE=5x﹣4x=x，∵AE•ED=，∴4x•x=，解得：x=（负数舍去），则AB=3x=，BC=5x=，∴矩形ABCD的面积是AB×BC=×=5，故答案为：5．点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出x的值，题目比较好，难度适中．18．（3分）（2017•苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是2．考点：切线的性质．分析：作直径AC，连接CP，得出△APC∽△PBA，利用=，得出y=x2，所以x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2．解答：解：如图，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，∵AB是切线，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，∴△APC∽△PBA，∴=，∵PA=x，PB=y，半径为4∴=，∴y=x2，∴x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2，故答案为：2．点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．三、解答题（共11小题，共76分）19．（5分）（2017•苏州）计算：22+|﹣1|﹣．考点：实数的运算．专题：计算题．分析：原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=4+1﹣2=3．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．20．（5分）（2017•苏州）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：，由①得：x＞3；由②得：x≤4，则不等式组的解集为3＜x≤4．点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（5分）（2017•苏州）先化简，再求值：，其中．考点：分式的化简求值．分析：分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．解答：解：=÷（+）=÷=×=，把，代入原式====．点评：此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．22．（6分）（2017•苏州）解分式方程：+=3．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x﹣2=3x﹣3，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．（6分）（2017•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．解答：（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．24．（7分）（2017•苏州）如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D．（1）求点A的坐标；（2）若OB=CD，求a的值．考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：（1）先利用直线y=x上的点的坐标特征得到点M的坐标为（2，2），再把M（2，2）代入y=﹣x+b可计算出b=3，得到一次函数的解析式为y=﹣x+3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为（6，0）；（2）先确定B点坐标为（0，3），则OB=CD=3，再表示出C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a），所以a﹣（﹣a+3）=3，然后解方程即可．解答：解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，∴点M的坐标为（2，2），把M（2，2）代入y=﹣x+b得﹣1+b=2，解得b=3，∴一次函数的解析式为y=﹣x+3，把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6，∴A点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3，∴B点坐标为（0，3），∵CD=OB，∴CD=3，∵PC⊥x轴，∴C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a）∴a﹣（﹣a+3）=3，∴a=4．点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．25．（7分）（2017•苏州）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：画树状图得出所有等可能的情况数，找出A与C中颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：画树状图，如图所示：所有等可能的情况有8种，其中A、C两个区域所涂颜色不相同的有4种，则P==．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．（8分）（2017•苏州）如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．（1）求△OCD的面积；（2）当BE=AC时，求CE的长．考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得D 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（2）根据BE的长，可得B点的纵坐标，根据点在函数图象上，可得B点横坐标，根据两点间的距离公式，可得答案．解答：解；（1）y=（x＞0）的图象经过点A（1，2），∴k=2．∵AC∥y轴，AC=1，∴点C的坐标为（1，1）．∵CD∥x轴，点D在函数图象上，∴点D的坐标为（2，1）．∴．（2）∵BE=，∴．∵BE⊥CD，∴点B的横坐标是，纵坐标是．∴CE=．点评：本题考查了反比例函数k的几何意义，利用待定系数法求解析式，图象上的点满足函数解析式．27．（8分）（2017•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．考点：圆的综合题．分析：（1）利用圆心角定理进而得出∠BOD=120°，再利用弧长公式求出劣弧的长；（2）利用三角形中位线定理得出BF=AC，再利用圆心角定理得出=，进而得出BF=BD；（3）首先过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，得出BP⊥AE，进而证明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．解答：（1）解：连接OB，OD，∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD=120°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3=2π；（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定与性质和弧长公式以及圆心角定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．28．（9分）（2017•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD 沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．考点：圆的综合题．分析：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．解答：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键．29．（10分）（2017•苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a ＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）由C在二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a与c的关系式．（2）求证为定值，一般就是计算出AD、AE的值，然后相比．而求其长，过E、D作x轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值．（3）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中=，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F点都易固定，且G 在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．解答：（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），解得a=．（2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，解得x1=﹣m，x2=3m，则A（﹣m，0），B（3m，0）．∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，﹣3）．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴==．设E坐标为（x，），∴=，∴x=4m，∴E（4m，5），∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，∴==，即为定值．（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH ⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，∴OG=3m．∵GF===4，AD===3，∴=．∵=，∴AD：GF：AE=3：4：5，∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．点评：本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，总体来说本题虽难度稍难，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目．。
2017年中考数学备考-几何题解法总汇(4)_答题技巧
2017年中考数学备考:几何题解法总汇(4)_答题技巧
初中数学的学习是非常重要的，数学成绩也决定了我们中考成绩的好坏，在数学大大小小的考试中，几何证明题是必考知识点，但是很多同学对于这种题型不知道如何下手，几何题型在将来的高中数学中也是基础内容，所有应该引起大家的重视。
5.利用一些定理(三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。
证明角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
2017年中考数学关键考题分析及应试策略
含参抛物线(动抛物线)与区间定直线(线段) ①区间交点个数或区间有（几）解： 含参直线(动直线)与区间定抛物线 ； 区间条件下含参抛物线与含参直线
②增减性与对称性； ③含参抛物线区间最值或区间函数值的取值范围； （3）绝对值函数：分段函数（可能性不大） 2．应试技巧： （1）区间交点个数或区间有（几）解： ①关键是分析“动中有定” ，按“定”索“动”极限位置（切点、界点）画图分析 ②对于区间条件下的双含参（抛物线含参、直线含参） ，采用等价转化法，例如：
S第二动点 k (定值) ； S第一动点
（2）折线段路径长 ①构题：第一动点的运动路径发生转折或第一动点的参照量发生转折； ②三点作图法：勾股或建立坐标系直接求三定点（起点、拐点、终点）的坐标； （3）弧线形路径长 隐藏的定弦定角或第一动点在圆弧上运动，可能性不大； 3．考查结论的可变性： （1）动点与定点扫过的面积（以动点的路径长为底，定点到动点的路径的距离为高求面积 （2）速度比等于路径长之比； （3）第二动点在运动过程中的几何定性进行计算. 【例题分析】 1．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，O 为正方形 ABCD 的中心，过 O 点的直线交正方形的一组对边于 P、 Q 两点，以 PQ 为边作等边△PQM，当直线 PQ 从 AC 所在的直线开始绕 O 点顺时值旋转一周时，动点 M 的 运动路径长为 . P D A
P N M B
A
C
5．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（0， 3 ） ，B（-1，0） ，C（0，-2） ，P 从 B 点出发向（4，0）运 动，Q 为平面上一点，且△ABC∽△APQ. （1）Q 点的运动路径长为 ； .
y A Q B O P x
（2）若动点 P 的运动速度为 1 单位/秒，则动点 Q 的运动速度为
初三数学圆答题技巧
初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆题型分类
1.基础题型：包括圆的性质、圆与直线的关系、圆与圆的关系等。
2.复合题型：涉及圆与三角函数、解析几何、概率与统计等知识的综合运用。
3.创新题型：如动态问题、几何构造、最值问题等。
二、答题技巧详解
1.审题要细：抓住题干中的关键信息，如圆的半径、圆心坐标等。
2.画图辅助：对于复杂题目，可以借助画图工具，将问题直观化。
3.公式运用：熟练掌握圆的相关公式，如圆的周长、面积、弧长等。
4.数学方法：灵活运用三角函数、解析几何等知识解题。
5.化简运算：在进行计算时，尽量化简复杂表达式，提高解题效率。
三、应对策略与实战演练
1.强化基础：通过练习基础题型，巩固圆的相关知识。
2.综合训练：多做复合题型，提高知识运用能力和解题技巧。
3.分析总结：在做题后，及时总结经验教训，查找自己的不足。
4.创新思维：尝试解答创新题型，拓宽解题思路。
5.考试策略：在考试中，先解答自己熟悉的题目，最后处理难题。
通过以上分析，我们可以看出，掌握初三数学圆答题技巧，需要在基础知识、解题方法和应试策略等方面下功夫。
江苏省苏州市2017中考《动圆问题分类探究》
江苏省苏州市2017中考《动圆问题分类探究》(共7页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-中考复习专题八之《动圆问题探究》动圆问题是各地中考中关于圆知识考查的热点问题，而且经常会以综合题的形式出现，有关动圆的题目通常以直线相切等位置关系的讨论和形成特殊图形的形式出现，主要以下面两种思想来解决这类问题:1.化动态为静态:一般的运动问题总是要化动态为静态，把动的问题作静态分析，完成问题的求解.2.分类讨论:把一些运动问题分成“段”来考虑，化整体为小局部，化繁为简.类型一 函数背景下的动圆探究问题1.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(3,0)A -，点B ，点P 的坐标为(1,0),⊙P 与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左平移，平移后得到⊙P '(点P 的对应点为点P ')，当⊙P '与直线l 相交时，横坐标为整数的点P '共有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.如图，在平面直角坐标系中，直线:28l y x =--分别与x 轴，y 轴相交于,A B 两点，点(0,)P k 是y 轴负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P . (1)若⊙P 与x 轴有公共点，求k 的取值范围;(2)连接PA ，若PA PB =，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由; (3)当⊙P 与直线l 相切时，求k 的值.3.如图，已知直线l 的表达式为6y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持//n l ，直线n 与x 轴、y 轴分别相交于,D C 两点，线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ，当直线n 与直线l 重合时，运动结束.(1)求,A B 两点的坐标;(2)求S 与t 的函数表达式及自变量t 的取值范围; (3)直线n 在运动过程中，①当t 为何值时，半圆与直线l 相切?②是否存在这样的t 值，使得半圆面积12ABCD S S=梯形若存在，求出t 的值;若不存在说明理由.类型二 三角形、四边形背景下的动圆探究问题4.射线QN 与等边ABC ∆的两边,AB BC 分别交于点,M N ，且//,AC QN AM MB = =2 cm ，QM =4 cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1 cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P cm 为半径的圆与ABC ∆的边相切(切点在边上)，请求出t 可取的一切值(单位:秒).5.如图所示，菱形ABCD 的顶点,A B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上，60BAD ∠=︒，点A 的坐标为(－2,0). (1)求线段AD 所在直线的函数表达式;(2)动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒，求t 为何值时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切.6.如图，在ABCD 中， 60,DAB AB ∠=︒ = 15 cm.已知⊙O 的半径等于3 cm,,AB AD 分别与⊙O 相切于点,E F .⊙O 在ABCD 内沿AB 方向滚动，与BC 边相切时运动停止.试求⊙O 滚过的路程.7.等腰直角ABC ∆和⊙O 如图放置，已知1,90AB BC ABC ==∠=︒,⊙O 的半径为1，圆心O 与直线AB 的距离为5.现ABC ∆以每秒2个单位的速度向右移动，同时ABC ∆的边长AB 、BC 又以每秒0. 5个单位沿BA 、BC 方向增大. (1)当ABC ∆的边(BC 边除外)与圆第一次相切时，点B 移动了多少距离?(2)若在ABC ∆移动的同时，⊙O 也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC ∆从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间?(3)在(2)的条件下，是否存在某一时刻，ABC ∆与⊙O 的公共部分等于⊙O 的面积若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间若不存在，请说明理由.类型三 函数与圆1（枣阳）如图8，在直角坐标系中，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A （x1，0），B（x2,0）两点，其中x1，x2是方程x2-10x+16=0的两个根，且x1<x2，连接MC，过A、B、C三点的抛物线的顶点为N.（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）判断直线NA与⊙M的位置关系，并说明理由；（3）一动点P从点C出发，以每秒t个单位长的速度沿CM向点M运动，同时，一动点Q从点B出发，沿射线BA以每秒4t个单位长度的速度运动，当P运动到M点时，两动点同时停止运动，当t为何值时，以Q、O、C为顶点的三角形与△PCO相似？2(南充)．如图，⊙C的内接△AOB中．AB=AO= 4，tan∠AOB=34，抛物线2y ax bx=+经过点A(4，0)与点(－2，6)，（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O 出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒l个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R 的坐标，图83 （宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（—1,0），B （2,0），交y轴于C（0，—2），过A，C画直线。
初三数学圆答题技巧
初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆的基本概念和重要性
初三数学圆是数学中的一块重要内容，它不仅在各类考试中占据一定比例，而且对于培养学生的几何思维和空间想象力也具有重要意义。
因此，掌握好圆的相关知识和解题技巧至关重要。
二、解题技巧：步骤和方法
1.审题：仔细阅读题目，提取关键信息，判断题目类型。
2.画图：根据题目要求，作出相应的图形，便于理解问题。
3.列方程：根据题目所给条件，建立合适的数学模型，列出方程。
4.解方程：运用恰当的解方程方法，求解方程组。
5.检验：将求得的解代入原方程，检验是否符合题意。
6.总结：梳理解题过程，提炼方法技巧。
三、常见题型及解题策略
1.圆的性质和计算：熟练掌握圆的性质，如圆心、半径、角度等，运用公式进行计算。
2.圆与直线的关系：了解圆与直线的位置关系，如相交、相切、相离，根据题意求解。
3.圆与圆的关系：掌握两圆位置关系的判断方法，如内切、外切、相离。
4.三角形的几何问题：利用三角形面积公式、角度和周长公式等解决实际问题。
5.圆中的最值问题：利用二次函数在圆中的性质，求解最值问题。
四、应试技巧：时间分配和答题顺序
1.时间分配：合理安排时间，确保每道题都有足够的时间思考和解答。
2.答题顺序：先易后难，遇到不会的题目可以先跳过，等其他题目完成后再回来解决。
五、总结与建议
掌握初三数学圆的解题技巧，需要不断地练习和总结。
在学习过程中，要注重理论知识与实际应用的结合，培养自己的几何思维和空间想象力。
同时，参加各类模拟考试，了解考试题型和难度，增强自己的应试能力。
江苏省苏州市2017年中考数学复习指导：速解选择题有妙法
速解选择题有妙法选择题是中考中常出现的题型.由于无需写出解题过程，因此如何快速、简捷地找出正确的选项是解题的目标.经验告诉我们，通过对题目的合理分析和推断，采用灵活多变的解题方法，常常可以收到事半功倍的解题效果.一、直接法从题设条件出发，通过推理或演算，直接得出结论，并把结果与选择支对比，从而找出正确答案的方法.它是经常被采用的一种方法.例1 使关于x 的方程22440(2)(3)x x a x x -++=--只有一个实数根的a 的取值是( ) (A)–4 (B) –10，–2 (C) –2 (D) –4，–10解析 不难看出方程的增根只能是2x =和3x =.分别代入22440x x a -++=，解 得4a =-和10a =-，经检验它们符合条件，故应选D.点评 有些同学误由△=0推得2a =-，而错选C.这是由于把方程有两个相同的实根，与只有一个实根混淆了所致.二、验证法对于某些选择题，由于其选项的答案具体，因此可采用验证的方法快速获解.例2 方程22(1)4(2)x x +=-的解是( )(A) 1x = (B) 5x = (C) 121,5x x == (D) 121,2x x ==- 解析 观察题后，将1,5,2x x x ===-分别代入原方程的左边与右边.当1x =时，左边=2(11)4+=，右边=24(12)4⨯-=;当5x =时，左边=2(51)36+=,右边=24(52)36⨯-=;当2x =-时，左边=2(21)1-+=，右边=24(22)64⨯--=. 综上可知应选C.三、特例法此法是从研究众多的大范围的一般对象中，捕捉和研究那些在不改变本质属性条件下的小范围中个别的、特殊的对象，从而解决问题，找出正确的选项.例3 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那 么实数m 的取值范围是( )(A) 01m ≤≤ (B) 34m ≥ (C) 314m <≤ (D) 314m ≤≤ 解析 分析各选项，不难看出34是一个特例.取34m =，有23204x x -+=, 解得1213,22x x ==. 又有31x =，从而132x x x +=，不可作为一个三角形三边之长，所以34m ≠. 故应选C.例4 一个三角形的底边长度增加1%,底边上的高减少1 %，则这个三角形的面积(A)减少1% (B)增加1% (C)减少10% (D)不变解析 取底边为20，高为10的特例，则由11201020(110%)10(110%)1000.011%22⎡⎤⨯⨯-⨯+⨯⨯-÷==⎢⎥⎣⎦. 故应选A.四、估算法对于有些选择题利用不等式或相关定理、法则，便可估算求值对象的取值范围，从而快速、简捷找出正确选项.例5 上午九点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是( )(A) 9点30分 (B) 10点5分 (C) 10点5511分 (D ) 9点83211分 解析 如图1所示，时针OB 与分针OA 在9点时恰好成直角，此时也可看成优角(优弧所对角) 270AOB ∠=︒.当分针继续转动，优角AOB ∠慢慢变小，直到OA 与OB 重合，故下一次时针OB 与分针OA 成直角的时间应在9点与10点之间，而9点30分时，时针与分针成105︒，不合题意.故应选D.五、逆推法从选项出发，逆向推理，找出符合已知条件的结论.此法主要适合子已知条件复杂而结论简单的选择题.例6 用配方法解一元二次方程26110x x +-=，则方程可变形为( )(A) 2(3)20x += (B) 2(3)20x -= (C) 2(3)2x += (D ) 2(3)2x -= 解析 由选项A ，得26920x x ++=,即26110x x +-=,它与题设相同，故应选A.例7 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是223y x =，则原抛物线是( ) (A) 22(2)33y x =-+ (B) 22(2)33y x =+- (C) 22(2)33y x =++ (D) 22(2)33y x =-- 解析 将223y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得22(2)33y x =+-. 故应选B.六、度量法例8 如图2，凸五边形ABCDE 中，120,A B EA AB BC ∠=∠=︒=== 12DC = 12DE ,则D ∠=( ) (A) 30︒ (B) 45︒ (C) 60︒ (D)67.5︒解析 通过作出准确的图形，可直接量出60D ∠=︒.故应选C.七、相互关系法例9 如图3所示，在ABCD Y 中，点M 是AD 的中点, BM 平分ABC ∠，则( )(A) CM 可能垂直于AD (B) AC 可能等于CD(C) CM 不可能垂直于AD (D) CM 可能平分ACD ∠解析 分析各选项，选项A 与选项C 之中必有一个成立;再结合已知可得CM 是线段AD 的中垂线，故选项B 与选项D 都能成立，这与单选项不符.故选项A 错误，只能选C. 事实上，由已知可得AM AB =，若CM 也垂直AD 的话，由中垂线性质可知CD AC =，于是得AM AB CD AC ===.因此，在Rt ACM ∆中，出现斜边AC 与直角边AM 相等的矛盾，故CM 不可能垂直AD .。
2017中考圆的解题技巧总结
2017中考圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD 的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=？例3如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．1．忽视点的可能位置．例5△ABC是半径为2的圆的内接三角形，若3BC cm，则∠A的度数为______．22．忽视点与圆的位置关系．例6点P到⊙0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm，则⊙0的半径是______．3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7已知四边形ABCD是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，⊙0的半径是5 cm，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8点P在⊙0外，OP=13 cm，PA切⊙0于点A，PA=12 cm，以P为圆心作⊙P与⊙0相切，则⊙P的半径是______．例9若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24 cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13 cm和15 cm，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10 如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD⊥OA 于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P，试说明OB 是⊙P 的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11 如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12 已知：如图，⊙O 为Rt△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13 如图，⊙0为Rt△ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长．例14 如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15 若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( )A ．180° B．90° C．120° D．135°例16 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是( )A.2:1 B.2π:1 C ．2：1 D ．3：1例17 如图，小红要制作一个高4 cm ，底面直径是6 cm 的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是( )A ．15πcm 2B ．6π13cm 2C ．12π⋅13cm 2D ．30 cm 2例18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm 2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD ，BC= CD,AB= 2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．(1)求∠C 的度数；(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD ，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC ＝a ，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20 如图，△ABC 中，内切圆⊙I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190；(2)A BIC o ∠+=∠2190．例21 如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为( ).A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21C ．r c b a ）（++31D ．r c b a ）（++41 七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例22 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为( )A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( )A ．π323-B ．33π-C ．332π- D ．π-32 3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24 如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6cm ，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25 如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O ' 相切，点O ' 在CD 上，且AB∥CD，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法例27 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( )A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π- C ．22.21a a π+- D ．2221a a π- 7．折叠法例28 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法例29 如图所示，将半径为2 cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝______cm ．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点0为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．(1)求证：BN BC BM AB ⋅=⋅(2)如果CM 是⊙0的切线，N 为OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，⊙02与半圆O l内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3 ⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O 的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5（2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。
苏州市中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)
B yC x A OD B O C A 与圆有关的最值〔取值范围〕问题引例1：在坐标系中,点A 的坐标为<3,0>,点B 为y 轴正半轴上的一点,点C 是第一象限内一点,且AC=2．设tan ∠BOC=m,则m 的取值范围是_________．引例2：如图,在边长为1的等边△OAB 中,以边AB 为直径作⊙D,以O 为圆心OA 长为半径作⊙O,C 为半圆弧AB 上的一个动点〔不与A 、B 两点重合〕,射线AC 交⊙O 于点E,BC=a ,AC=b ,求a b 的最大值.引例3：如图,∠BAC=60°,半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切,P 为圆O 上一动点,以P为圆心,PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点,连接DE,则线段DE 长度的最大值为< >.A ．3B ．6C ．332D ．33一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法,注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆〔高中轨迹的定义〕,寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律,转化为特殊位置〔相切〕进行线段、角度有关计算,同时对三角函数值的变化〔增减性〕进行了延伸考查,其实质是高中"直线斜率"的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质,寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件,结合不等式的性质进行转化,其实质是高中"柯西不等式"的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点,增加为三个动点,从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度,解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件〔∠DAE=60°〕,构造弦DE 、直径所在的直角三角形,从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系,其实质是高中"正弦定理"的直接运用；综合比较、回顾这三个问题,知识本身的难度并不大,但其难点在于学生不知道转化的套路,只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解,但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉,画出图形；2．特殊位置,比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量〔常量〕之间的关系,建立等式,进行转化.三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图,A 点的坐标为〔﹣2,1〕,以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B,P 〔m,n 〕为⊙A 上的一个动点,请探索n+m 的最大值．B AC MD DOPC B A例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D 是平面内的一个动点,且AD=2,M 为BD 的中点,在D 点运动过程中,线段CM 长度的取值范围是.2．如图,⊙O 的直径为4,C 为⊙O 上一个定点,∠ABC=30°,动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动〔点P 与点C 在直径AB 的异侧>,当P 点到达B 点时运动停止,在运动过程中,过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．〔1〕在点P 的运动过程中,线段CD 长度的取值范围为；〔2〕在点P 的运动过程中,线段AD 长度的最大值为.例三、正弦定理 1．如图,△ABC 中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=22是线段BC 上的一个动点,以AD 为直径作⊙O 分别交AB,AC 于E,F 两点,连接EF,则线段EF 长度的最小值为．2. 如图,定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动〔点C 、D 与点A 、B 不重合〕,M 是CD 的中点,过点C 作CP ⊥AB 于点P,若CD=3,AB=8,则PM 长度的最大值是．例四、柯西不等式、配方法O A B C E B A C O D OD CE A B 1．如图,已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A,点P 是直径AB 左侧半圆上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为C,PC 与⊙O 交于点D,连接PA 、PB,设PC 的长为x 〔2＜x ＜4〕,则当x=时,PD•CD 的值最大,且最大值是为.2．如图,线段AB=4,C 为线段AB 上的一个动点,以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE,⊙O 外接于△CDE,则⊙O 半径的最小值为< >.A.4B.233C.322D.23．在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为圆心,2为半径画⊙O,P 是⊙O 上一动点,且P 在第一象限内,过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A,与y 轴相交于点B,线段AB 长度的最小值是.例四、相切的应用〔有公共点、最大或最小夹角〕1．如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D 为AB 边上一点,过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E,则线段CE 长度的最小值是.2．如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O,若⊙O 与边BC 始终有交点〔包括B 、C 两点〕,则线段AO 的取值范围是.3．如图,⊙O 的半径为2,点O 到直线l 的距离为3,点P 是直线l 上的一个动点,PQ 切⊙O 于点Q,则PQ 的最小值为〔 〕A ． B ． C ．3 D ．2例五、其他知识的综合运用1.〔2015•##〕抛物线y=ax2+bx+4〔a≠0〕过点A〔1,﹣1〕,B〔5,﹣1〕,与y轴交于点C．〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕如图1,连接CB,以CB为边作▱CBPQ,若点P在直线BC上方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点,且▱CBPQ的面积为30,求点P的坐标；〔3〕如图2,⊙O1过点A、B、C三点,AE为直径,点M为上的一动点〔不与点A,E重合〕,∠MBN为直角,边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值．2.〔2013秋•相城区校级期末〕如图,已知A、B是⊙O与x轴的两个交点,⊙O的半径为1,P 是该圆上第一象限内的一个动点,直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点,E为线段CD 的中点．〔1〕判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；〔2〕求线段CD长的最小值；〔3〕若E点的纵坐标为m,则m的范围为．[题型训练]1．如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C,若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,则⊙O的半径r的取值范围为.2．已知：如图,RtΔABC中,∠B=90º,∠A=30º,BC=6cm,点O从A点出发,沿AB3cm 的速度向B点方向运动,当点O运动了t秒<t＞0>时,以O点为圆心的圆与边AC相切于点D,A P l Q P N M O A D BC E F C AD B Q P O A B D CP y P 与边AB 相交于E 、F 两点,过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G.〔1〕若点G 在线段BC 上,则t 的取值范围是；〔2〕若点G 在线段BC 的延长线上,则t 的取值范围是.3．如图,⊙M,⊙N 的半径分别为2cm,4cm,圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点,Q 为⊙N 上的任意一点,直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α,当P 、Q 在两圆上任意运动时,tan α∠的最大值为< >.<A>612； <B>43； <C>33； <D>344．如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,O 为矩形ABCD 的中心,以D 为圆心1为半径作⊙D,P 为⊙D 上的一个动点,连接AP 、OP,则△AOP 面积的最大值为< >.<A>4 <B>215 <C>358 <D>1745．如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q,则线段PQ 长度的最小值是< >.A ．194B ．245C ．5D ．426．如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=BC=4,D 是AB 的中点,点E 在AB 边上运动〔点E 不与点A 重合〕,过A 、D 、E 三点作⊙O,⊙O 交AC 于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF 长度的最小值为．7．如图,A 、B 两点的坐标分别为<2,0>、<0,2>,⊙C 的圆心的坐标为<-1,0>,半径为1,若D 是⊙C 上的一个动点,线段DA 与y 轴交于点E,则△ABE 面积的最小值是< >.A ．2B ．1 C.22- D.228．如图,已知A 、B 两点的坐标分别为<-2,0>、<0,1>,⊙C 的圆心坐标为<0,-1>,半径为1,D 是⊙C 上的一个动点,射线AD 与y 轴交于点E,则△ABE 面积的最大值是< >.A ．3B ．113C ．103D ．4 9．如图,等腰Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,⊙C 的半径为1,点P 在斜边AB 上,PQ 切⊙O 于点Q,则切线长PQ 长度的最小值为< >.7 B.2210．如图∠BAC ＝60°,半径长1的⊙O 与∠BAC 的两边相切,P 为⊙O 上一动点,以P 为圆心,PA 长为半径的⊙P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点,连接DE,则线段DE 长度的范围为.O A B xy P11．在直角坐标系中,点A 的坐标为〔3,0〕,点P 〔m n ，〕是第一象限内一点,且AB=2,则m n -的范围为.12．在坐标系中,点A 的坐标为〔3,0〕,点P 是y 轴右侧一点,且AP=2,点B 上直线y=x+1上一动点,且PB ⊥AP 于点P,则tan ABP m ∠=,则m 的取值范围是.13．在平面直角坐标系中,M 〔3,4〕,P 是以M 为圆心,2为半径的⊙M 上一动点,A 〔-1,0〕、B〔1,0〕,连接PA 、PB,则PA 2+PB 2最大值是.蔡老师点评：与圆有关的最值问题,看着无从下手,但只要仔细观察,分析图形,寻找动点与定点之间不变的维系条件,构建关系,将研究的问题转化为变量与常量之间的关系,就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量与变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量<如线段长度、角度大小、图形面积>等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理<公理>法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中,由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性<目标不明确>,解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1. 解：C 在以A 为圆心,以2为半径作圆周上,只有当OC 与圆A 相切〔即到C 点〕时,∠BOC 最小,AC=2,OA=3,由勾股定理得：OC=,∵∠BOA=∠ACO=90°,∴∠BOC+∠AOC=90°,∠CAO+∠AOC=90°,∴∠BOC=∠OAC,tan ∠BOC=tan ∠OAC==,随着C 的移动,∠BOC 越来越大,∵C 在第一象限,∴C 不到x 轴点,即∠BOC ＜90°, ∴tan ∠BOC ≥,故答案为：m ≥．引例1图引例2图 引例2.2a b +≤；原题：〔2013•##模拟〕如图,在边长为1的等边△OAB 中,以边AB 为直径作⊙D,以O 为圆心OA 长为半径作圆O,C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点,射线AC 交⊙O 于点E,BC=a,AC=b ．〔1〕求证：AE=b+a ；〔2〕求a+b 的最大值；〔3〕若m 是关于x 的方程：x 2+ax=b 2+ab 的一个根,求m 的取值范围．[考点]圆的综合题．[分析]〔1〕首先连接BE,由△OAB 为等边三角形,可得∠AOB=60°,又由圆周角定理,可求得∠E 的度数,又由AB 为⊙D 的直径,可求得CE 的长,继而求得AE=b+a ；〔2〕首先过点C 作CH ⊥AB 于H,在Rt △ABC 中,BC=a,AC=b,AB=1,可得〔a+b 〕 2= a 2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CH •AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2,即可求得答案；〔3〕由x 2+ax=b 2+ab,可得〔x ﹣b 〕〔x+b+a 〕=0,则可求得x 的值,继而可求得m 的取值范围．[解答]解：〔1〕连接BE,∵△OAB 为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠AEB=30°,∵AB 为直径,∴∠ACB=∠BCE=90°,∵BC=a,∴BE=2a,CE=a,∵AC=b,∴AE=b+a ； 〔2〕过点C 作CH ⊥AB 于H,在Rt △ABC 中,BC=a,AC=b,AB=1,∴a 2+b 2=1,∵S △ABC =AC •BC=AB •CH,∴AC •BC=AB •CH,∴〔a+b 〕 2=a 2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CH •AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2,∴a+b ≤, 故a+b 的最大值为,〔3〕∵x 2+ax=b 2+ab,∴x 2﹣b 2+ax ﹣ab=0,∴〔x+b 〕〔x ﹣b 〕+a 〔x ﹣b 〕=0, ∴〔x ﹣b 〕〔x+b+a 〕=0,∴x=b 或x=﹣〔b+a 〕,当m=b 时,m=b=AC ＜AB=1,∴0＜m ＜1,当m=﹣〔b+a 〕时,由〔1〕知AE=﹣m,又∵AB ＜AE ≤2AO=2,∴1＜﹣m ≤2,∴﹣2≤m＜﹣1,∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．[点评]此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以与一元二次方程的解法．此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP,DP,过P点作PM垂直DE于点M,过O做OF⊥AC与F,连接AO,如图,∵∠BAC=60°,∴∠DPE=120°．∵PE=PD,PM⊥DE,∴∠EPM=60°,∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时,且在O点右侧时,⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切,且∠BAC=60°,∴∠OAF=30°,OF=1,∴AO==2,AP=2+1=3,∴DE=PA=3．故答案为：D。
苏州市初三数学中考复习专题八圆
八、圆杨春东张家港市妙桥中学【近三年江苏省十三大市中考圆的分值与比率】(仅供参考)【课标要求】1.了解圆及其有关概念2.了解弧、弦、圆心角之间的关系3.了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系4.掌握圆周角与圆心角的关系以及直径所对圆周角的特征5.了解三角形的内心和外心6.了解切线的概念7.掌握切线与过切点的半径之间的关系8.掌握判定一条直线是否为圆的切线以及会过圆上一点画圆的切线9.掌握切线长定理10.掌握计算弧长及扇形的面积以及计算圆锥的侧面积和全面积【课时分布】本单元在第一轮复习时大约需要8个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排(2.基础知识 (1)圆的认识①圆可由圆心与半径确定.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都与自身重合，其旋转对称中心为圆心．圆还是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.②弦是连接圆上任意两点的线段.经过圆心的弦叫做直径，它是圆中最长的弦.③弧是圆上任意两点间的部分.圆上直径两端点之间的部分叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧.如果两段(圆)弧能够完全重合，则称它们为等弧. ④圆心角是顶点在圆心的角.圆周角是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. (2)与圆有关的位置关系①点与圆有三种位置关系：点在圆外；点在圆上；点在圆内.设点与圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则三种位置关系的判断方法为： 点在圆外d r ⇔>；点在圆上d r ⇔=；点在圆内d r ⇔<．经过三角形的三个顶点的圆叫三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．②直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离．如果一条直线与一个圆有且只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切． 如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交． 设圆心与直线l 间的距离为d ，圆的半径为r ，则直线和圆的三种位置关系的判断方法为：直线与圆相离d r ⇔>；直线与圆相切d r ⇔=；直线与圆相交d r ⇔<． 圆的切线上的某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．③圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含．设两圆圆心的距离为d ，两圆的半径为R r 、，那么两圆外离d R r ⇔>+；两圆外切d R r ⇔=+；两圆相交()R r d R r R r ⇔-<<+≥；两圆内切()d R r R r ⇔=->；两圆内含()d R r R r ⇔<->．两个圆构成轴对称图形，连心线(经过两圆圆心的直线)是对称轴.由对称性知，当两圆相切，连心线经过切点；当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦. (3)与圆有关的定理①“弧、弦、圆心角的关系”定理：在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余两组量也分别对应相等.②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论:Ⅰ．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． Ⅱ．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．Ⅲ．平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ③圆周角定理及其推论：Ⅰ.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． Ⅱ.90°的圆周角所对的弦是圆的直径．Ⅲ.半圆或直径所对的圆周角都相等，等于90°(直角)．④圆内接四边形的性质定理:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.⑤过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．一个三角形有且只有一个外接圆．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． ⑥圆的切线的性质:Ⅰ．与圆只有一个公共点；Ⅱ．圆心到切线的距离等于半径； Ⅲ．圆的切线垂直于过切点的半径．⑦切线的判定:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ⑧从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．⑨三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等． ⑩相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. ⑪割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(4)与圆有关的计算①由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．弧长公式：180n r l π=；扇形面积公式：2360n r S π=扇形=lr 21．其中为n 圆心角的度数，r 为半径．②圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱的侧面可以看成是由一个矩形围成的．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边所在的直线为轴旋转而形成的几何体． 圆柱的侧面积=底面周长×高；圆柱的全面积=侧面积＋２×底面积． ③圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高． 圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面可以看成是由一个扇形围成的．圆锥体可以看成是方法二： 连结EF∵AE 直径， ∴AF ⊥EF ． ∵AD ⊥BC ， ∴BC ∥EF ， ∴BE =CF ，∴BE =CF ． （2）方法一：∵△ABE ∽△ADC ， ∴∠BAE =∠DAC ，∴BE =CF ， ∴BE =CF ．由一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转而形成的几何体． 圆锥的侧面积=12×底面周长×母线；圆锥的全面积=侧面积＋底面积． 3．能力要求例1 如图8-1，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，AE 是直径. 说明：(1)AB ·AC =AD ·AE ；(2)延长AD 交圆于点F ，连结BE ，CF ，则BE =CF ．【分析】(1)如图8-1，连结BE ，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ABE =∠ADC ，又根据同弧所对的圆周角相等，可得∠AEB =∠ACD ，从而通过证△AB E ∽△ADC 可证．(2)方法一：如图8-2，由第(1)问的△ABE ∽△ADC 可得∠BAE =∠DAC ，根据相等的圆周角所对的弧相等，可得BE =CF ，可得BE =CF ．方法二：如图8-2，连结EF ，由于AE 直径，所以AF ⊥EF ，因AD ⊥BC ，故BC ∥EF ，根据圆的平行弦所夹的弧相等，可得BE =CF ，再根据等对等定理，可得BE =CF ． 【解】 (1)连结BE∵AE 直径，AD ⊥BC ， ∴∠ABE =∠ADC =90°． ∵∠AEB =∠ACD ， ∴△ABE ∽△ADC ， ∴ACAE ADAB ，∴AB ·AC =AD ·AE ．【说明】此题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等、相等的圆周角所对的弧相等、平行弦所对夹的弧相等、等弧所对的弦相等等知识．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”和“等弧所对的弦相等”，另一方面将“特殊的弦”(直径)转化为“特殊的角”(直角)，体现了“转化”的思想方法．本题出现了圆中常见的辅助线，教师要有意识地引导一题多解，使学生熟知他们各自的作用，同时引导学生解题时要注意题目中的隐含条件．例2 如图8-3，已知AB 是⊙O 的弦，OB =2，∠B =30°，C 是弦AB 上的任意一点 (不与点A 、B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD ．(1)弦长AB 等于 (结果保留根号)；图8-1图8-2图8-3(2)当∠D =20°时，求∠BOD 的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A ，C ，D 为顶点的三角形与以B ，C ，O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程． 【分析】(1)如图8-4，过点O 作OE ⊥AB 于E ，由垂径定理即可求得AB 的长； (2)如图8-5，连接OA ，由OA =OB ，OA =OD ，可得∠BAO =∠B ，∠DAO =∠D ，则可求得∠DAB 的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB 的度数；(3)由∠BCO 是△DAC 的外角，得∠BCO ＞∠A ，∠BCO ＞∠D ，因此要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA =∠BCO =90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案． 【解】(1)过点O 作OE ⊥AB 于E ，则AE =BE =21AB ，∠OEB =90°， ∵OB =2，∠B =30°，∴BE =OB •cos ∠B =2×23=3. ∴AB=(2)连接OA ，∵OA =OB ，OA =OD ， ∴∠BAO =∠B ，∠DAO =∠D .∴∠DAB =∠BAO +∠DAO =∠B +∠D . 又∵∠B =30°，∠D =20°，∴∠DAB =50°. ∴∠BOD =2∠DAB =100°.(3)∵∠BCO =∠A +∠D ，∴∠BCO ＞∠A ，∠BCO ＞∠D . ∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA =∠BCO =90°.此时∠BOC =60°，∠BOD =120°. ∴∠DAC ==60°. ∴△DAC ∽△BOC . ∵∠BCO =90°，即OC ⊥AB .∴AC =21AB =3． 【说明】此题考查了垂径定理、解直角三角形、圆周角的性质、三角形外角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．圆中有关弦的问题，通常利用垂径定理，由半径、弦的一半、弦心距构成直角三角形．圆中有许多常见的辅助线和基本图形，教师在复习时应与学生一起归纳整理．本题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．例3 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、CD 为弦，∠ACD =60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD =30°．(1)求证：DP 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积． 【分析】(1)如图8-6，连接OD ，求出AOD ∠，求出DOB ∠，求出ODP ∠，根据切线判定推出即可； (2)求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案．【解】图8-5 图8-6图8-8(1)连接OD ，∵060ACD ∠=， ∴AOD ∠=2ACD ∠=120°， ∴DOB ∠=180°-120°=60°. ∵030APD ∠=，∴ODP ∠=180°−30°−60°=90°.∴OD ⊥DP . ∵OD 为半径，∴DP 是⊙O 切线. (2)∵030APD ∠=，ODP ∠=90°，OD =3cm ， ∴OP =6cm ，DP =，∴图中阴影部分的面积POD OBDS S S ∆=-=扇形2160π332360⋅⋅⨯⨯32π-． 【说明】本题考查了扇形面积，三角形面积，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．例4 如图8-7，ABC ∆内接于⊙O ，弦AD AB ⊥交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF =∠ABC ．(1)求证：AB AC =； (2)若4AD =， cos 45ABF ∠=，求DE 的长． 【分析】(1)连接BD ，可得BD 是直径，根据同角的余角相等的性质得ABF D ∠=∠，根据同弧所对的圆周角相等得D C ∠=∠，再根据∠ABF =∠ABC ，可证得ABC C ∠=∠，即可得AB =AC ； (2)在Rt △ABD 中，解直角三角形求出AB 的长度；然后在Rt △ABE 中，解直角三角形求出AE 的长度；最后利用DE =AD −AE 求得结果．【解】(1)证明：连接BD ．∵AD AB ⊥，∴090DAB ∠=，∴BD 必过圆心O ． ∵FB 为⊙O 的切线，∴OB BF ⊥.∴090D DBA ABF DBA ∠+∠=∠+∠=. ∴ABF D ∠=∠．∵D C ∠=∠，∠ABF=∠ABC ，∴ABC C ∠=∠，∴AB =AC ． (2)解：如图8-8，在Rt △ADB 中，∠BAD =90°， ∵cos∠ADB =ADBD，∴BD =44cos cos 5AD AD ADB ABF ==∠∠=5.∴AB =3． 在Rt △ABE 中，∠BAE =90°， ∵cos ∠ABE =AB BE，∴BE =3154cos 45AB ABE ==∠，∴AE 94， ∴DE =AD −AE =49744-=．【说明】图8-7此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．例5 如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O 于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=9，BC=6，求PC的长．【分析】(1)如图8-9，连接CO并延长交⊙O于N，连接NB，得到090NBC∠=，再证BCP BNC∠=∠；(2)先求出AM，再求出⊙O的半径，最后证OMC∆～OCP∆，从而求得PC的长．解法一：(1)直线PC与圆O相切．如图8-9，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN．∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD．∵∠BAC=∠BNC，∴∠BNC=∠ACD．∵∠BCP=∠ACD，∴∠BNC=∠BCP．∵CN是圆O的直径，∴∠CBN=90︒．∴∠BNC+∠BCN=90︒，∴∠BCP+∠BCN=90︒．∴∠PCO=90︒，即PC⊥OC．又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切．(2)∵AD是圆O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90︒．∵BC//AD，∴∠OMC=180︒-∠OAD=90︒，即OM⊥BC．∴MC=MB．∴AB=AC．在Rt△AMC中，∠AMC=90︒，AC=AB=9，MC= 12 BC=3，由勾股定理，得AM=AC 2-MC 2 =92-32 =62．设圆O的半径为r，在Rt△OMC中，∠OMC=90︒，OM=AM-AO=62-r，MC=3，OC=r，由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(62-r)2+32=r2．解得r= 278 2．在△OMC和△OCP中，∵∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP，∴△OMC～△OCP．∴OMOC=CMPC，即62-278 2278 2=3PC．∴PC= 27 7 ．解法二：(1)直线PC与圆O相切．如图8-10，连接OC．∵AD是圆O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90︒．∵BC//AD，∴∠OMC=180︒-∠OAD=90︒，图8-9图8-10即OM⊥BC．∴MC=MB．∴AB=AC．∴∠MAB=∠MAC．∴∠BAC=2∠MAC．又∵∠MOC=2∠MAC，∴∠MOC=∠BAC．∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD．∴∠MOC=∠ACD．又∵∠BCP=∠ACD，∴∠MOC=∠BCP．∵∠MOC+∠OCM=90︒，∴∠BCP+∠OCM=90︒．∴∠PCO=90︒，即PC⊥OC．又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切．(2)在Rt△AMC中，∠AMC=90︒，A C=AB=9，MC= 12 BC=3，由勾股定理，得AM=AC 2-MC 2 =92-32 =62．设圆O的半径为r．在Rt△OMC中，∠OMC=90︒，OM=AM-AO=62-r，MC=3，OC=r，由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(62-r)2+32=r2．解得r= 278 2．在△OMC和△OCP中，∵∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP，∴△OMC～△OCP，∴OMOC=CMPC，即27622382728PC-=，∴PC= 27 7 ．【说明】此题考查了平行线的性质、直径所对的圆周角是直角、切线的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，相等的角的转化．本题中的辅助线是圆中常见的，教师要有意识地加以引导．例6 如图8-11，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为(8，0)、(0，6)．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t(秒)(0＜t≤5)．以P为圆心，PA的长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．(1)求当t为何值时，点Q与点D重合？(2)设QCD∆的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；(3)若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．【分析】(1)根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OA，然后求出OB，再根据直径所对的圆周角是直角得090ADC∠=，再利用BAO∠余弦表示出AD，然后列出方程求解即可；(2)利用BAO∠的正弦表示出CD的长，然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；(3)有两个时段内⊙P与线段QC只有一个交点：①运动开始至QC与⊙P相切时(0＜t≤167)；②重合分离后至运动结束(40513t<≤)．∴AD =AC •cos BAO ∠=2t ×5 =5t ． 当点Q 与点D 重合时，OQ +AD =OA ，即：t +85t =8，解得：t =4013．∴t =4013(秒)时，点Q 与点D 重合． ①当40013t <≤时，8138855DQ OA OQ AD t t t =--=--=-． ∴2111363924(8)2255255S DQ CD t t t t =•=-•=-+． ∵202040,02131313b a -=<<，∴当2013t =时，S 有最大值为4813 ； ②当40513t <≤时，8138855DQ OQ AD OA t t t =+-=+-=-． ∴2111363924(8)2255255S DQ CD t t t t =•=-•=-． ∵2020402131313b a -=<，，所以S 随t 的增大而增大， ∴当t =5时，S 有最大值为481513>． 综上所述，S 的最大值为15． (3)当CQ 与⊙P 相切时，有CQ ⊥AB ， ∵,BAO QAC AOB ACQ ∠=∠∠=∠=90°，∴ACQ ∆∽AOB ∆.∴AC AQ OA AB =.即28810t t -=.解得167t =． 图8-11【复习建议】1．圆的复习应紧紧围绕基本概念、基本图形、重要定理及圆的有关计算进行，重视“双基”，对“了解、理解、掌握、灵活运用”四个能级要求做到心中有数，教师在复习中要控制一定难度．通过复习，学生应熟练掌握有关圆的基本知识、基本方法和基本技能．2．教师在复习教学中要让学生熟悉基本图形，指导学生在复杂图形中分解出基本图形，或通过添加适当辅助线，构造或分解基本图形，学会将较复杂问题简单化．3．圆的许多性质由圆的对称性推出，在解决圆的有关问题时要指导学生注意利用圆的对称性．4．对于圆中常见的辅助线，如例1、例2、例3、例4、例5中添加的辅助线等，在解题中教师要加强引导，并让学生进行归纳整理，熟知它们的作用．5．复习教学中要让学生体会圆中一些隐含条件的作用，如：“同弧所对的圆周角相等”；“半径都相等”等，培养挖掘隐含条件的意识和能力．6．复习教学中要注意渗透转化的思想、方程的思想、由特殊到一般的思想、分类讨论等思想方法以及运动变化、变中含不变的观点，教师应指导学生及时做好例题教学后的反思，对有关思想方法进行归纳整理，以提高学生解决圆的综合性问题的能力．。
专题 点圆模型 中考数学答题技巧与模板构建
专题点圆模型题型解读｜模型构建｜通关试练动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力.该题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点.掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径.本专题就动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型01 定义型点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆.模型02 直径所对的角为直角（直角模型）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧.模型03 等弦对等角模型一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB 为定值，则动点P 的轨迹为圆弧.模型01 定义型考｜向｜预｜测点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题.答｜题｜技｜巧例1．（2022·广西）如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，点D 在AC 边上，且2AD =，动A B点P 在BC 边上，将△PDC 沿直线PD 翻折，点C 的对应点为E ，则△AEB 面积的最小值是（ ）A ．32B ．53C ．2D ．52例2．（2022·北京）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，6AC =，点E 是边AC 的中点，将ABC 绕点C 逆时针方向旋转得到A B C ''△，点P 是边A B ''上的一动点，则PE 长度的最大值与最小值的差为 ．模型02 直角模型考｜向｜预｜测点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对圆性质的的理解.实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键.许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题.答｜题｜技｜巧例1．（2021·山东）如图，在正方形ABCD中，2AB=，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE 和AF交于点G，连接BG．若AE BF=，则BG的最小值为__________．例2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B是第一象限内的一个动点并且使C，则BC的最小值为．∠=︒，点(0,3)OBA90模型03等弦对等角考｜向｜预｜测点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度.该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解.解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题．答｜题｜技｜巧例1．（2022·江苏）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点E 满足45BEC ∠=︒，则线段CE 长的最大值为 ．例2．（2023·重庆）如图，在边长为6的等边ABC ∆中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE CF =，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为 ．1. （2023·广东）如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，4BC =．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．ADM BAP ∠=∠，则BM 的最小值为（ ）A ．52B ．125C 32-D 22. （2023·湖南）如图，菱形ABCD 边长为4，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 的最小值是（ ）A．B C．﹣2D．33．（2023·山西）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）A．B．C．D．4．（2023·广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．5．（2023·云南）如图，在Rt△ABC中，90∠= ，30ACB∠= ，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，BAC连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是．6．（2023·贵州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G 为线段EF 的中点，连接BG 、CG ，则BG +12CG 的最小值为 ．7．（2022•天津）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝5，点E 在BC 上，且CE ＝4BE ，点M 为矩形内一动点，使得∠CME ＝45°，连接AM ，则线段AM 的最小值为 ．8．（2023·贵阳）如图，矩形ABCD 中，20AB =，30AD =，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的两个动点，且10EF =，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH 、GH ，则GH CH +的最小值为 ．9．（2023·安徽）等腰直角ABC 中，90BAC =︒，5AB =，点D 是平面内一点，2AD =，连接BD ，将BD 绕D 点逆时针旋转90︒得到DE ，连接AE ，当DAB = (填度数)度时，AE 可以取最大值，最大值等于 ．10．（2023·广西）如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是AB ，BC 边上的点，且AC ＝CD ＝3，连接AE ，DE ，∠CAE +∠AEB ＝180°．（1）当∠B ＝22.5°时，求证：CD 平分∠ACB ；（2）当CD ＝BD 时，求的值；（3）如图②，若点F 是线段AC 上一点，且AF ＝1，连接DF ，EF ，EF 交CD 于点G ，求△DEF 面积的最大值．1．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，BC ＝4，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．2．如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF BE ⊥于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC PF +的最小值为( )A ．5B ．2C ．6D ．2+3．如图，在Rt ABC 和Rt ADE V 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，3AC AD ==，AB =AE =5．连接BD ，CE ，将△ADE 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中当DBA ∠最大时，△ACE 的面积为（ ）．A．6B．C．9D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为（ ）A．2﹣3B．C．﹣2D．5．如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（ ）A．B．C．6D．6．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 ．7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝ ，CF的最小值是 ．8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，点E 是AC 的中点，点F 是斜边AB 上任意一点，连接EF ，将△AEF 沿EF 对折得到△DEF ，连接DB ，则△BDF 周长的最小值是 ．9．如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边上的一点，且AM ＝AD ，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ．则A ′C 长度的最小值是 ．10.如图，线段AB 为O 的直径，点C 在AB 的延长线上，4AB =，2BC =，点P 是O 上一动点，连接CP ，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt PCD ，且使60DCP ∠=︒，连接OD ，则OD 长的最大值为 ．11．如图，△ABC 为等边三角形，AB ＝2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB ＝∠ACP ，则点P 运动的路径长为 ．12．如图，Rt ABC ∆中，AB BC ⊥，12AB =，8BC =，P 是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，连接PC ，则线段CP 长的最小值为 ．13．（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是ABC ∆外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数，若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助圆A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠= ︒．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：ABD ∆的外接圆就是以BD 的中点为圆心，12BD 长为半径的圆；ACD ∆的外接圆也是以BD 的中点为圆心，12BD 长为半径的圆．这样A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出BAC ∠的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的高，且4BD =，2CD =，求AD 的长．专题点圆模型解析题型解读｜模型构建｜通关试练动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力.该题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点.掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径.本专题就动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型01 定义型点A 为定点，点B 为动点，且AB 长度固定，则点B 的轨迹是以点A 为圆心，AB 长为半径的圆.模型02 直径所对的角为直角（直角模型）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB=90°，则动点P 是以AB 为直径的圆或圆弧.模型03 等弦对等角模型一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB 为定值，则动点P 的轨迹为圆弧.模型01 定义型考｜向｜预｜测点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题.答｜题｜技｜巧A B结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题例1．（2022·广西）如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，点D 在AC 边上，且2AD =，动点P 在BC 边上，将△PDC 沿直线PD 翻折，点C 的对应点为E ，则△AEB 面积的最小值是（ ）A ．32B ．53C ．2D ．52∵90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =∵∠MAD =∠CAB ，AD =2，∴△∴25DM AD BC AB ==，DQ =DC =1．∴∵动点P 在BC 边上，△PDC 沿直线例2．（2022·北京）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，6AC =，点E 是边AC 的中点，将ABC 绕点C 逆时针方向旋转得到A B C ''△，点P 是边A B ''上的一动点，则PE 长度的最大值与最小值的差为 ．PC AB ⊥ ，30ABC ∠=︒1332P C C '''∴==，PE ∴最小值为333-模型02 直角模型考｜向｜预｜测点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对圆性质的的理解.实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键.许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题.答｜题｜技｜巧例1．（2021·山东）如图，在正方形ABCD中，2AB=，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE 和AF交于点G，连接BG．若AE BF=，则BG的最小值为__________．例2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4,0)，点B 是第一象限内的一个动点并且使90OBA ∠=︒，点(0,3)C ，则BC 的最小值为 ．2【详解】解：如图，以OA 为直径作D ，连接CD ，交D 于B ，此时BC 长最小，(4,0)A ，(0,3)C ，3OC ∴=，4OA =，2OD DB ∴==，CD ∴===2BC CD BD ∴=-=-，2-．模型03 等弦对等角考｜向｜预｜测点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度.该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解.解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题．答｜题｜技｜巧例1．（2022·江苏）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点E 满足45BEC ∠=︒，则线段CE 长的最大值为 ．CE ∵正方形ABCD 的边长为当点E 在BC 的下方时，例2．（2023·重庆）如图，在边长为6的等边ABC ∆中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE CF =，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为 ．【答案】【详解】解：ABC ∆ 是等边三角形，AB AC BC ∴==，60CAB ACB ∠=∠=︒，在ABE ∆和CAF ∆中，AB AC BAC ACB AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CAF SAS ∴∆≅∆，ABE CAF ∴∠=∠，60BPF PAB ABP CAP BAP ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，120APB ∴∠=︒，如图，过点A ，点P ，点B 作O ，连接CO ，PO ，∴点P 在 AB 上运动，AO OP OB == ，OAP OPA ∴∠=∠，OPB OBP ∠=∠，OAB OBA ∠=∠，360120AOB OAP OPA OPB OBP ∴∠=︒-∠-∠-∠-∠=︒，30OAB ∴∠=︒，90CAO ∴∠=︒，AC BC = ，OA OB =，CO ∴垂直平分AB ，30ACO ∴∠=︒，cos AC ACO CO ∴∠==2CO AO =，CO ∴=AO ∴=，在CPO ∆中，CP CO OP -…，∴当点P 在CO 上时，CP 有最小值，CP ∴的最小值=-=，故答案为．1. （2023·广东）如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，4BC =．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．ADM BAP ∠=∠，则BM 的最小值为（ ）A ．52B ．125C 32-D 2∵四边形ABCD 为矩形∴+=90BAP MAD ︒∠∠∵ADM BAP∠=∠∴+=90MAD ADM ︒∠∠∴=90AMD ︒∠∴点M 在O 点为圆心，以AO故选：D．2. （2023·湖南）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN 沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（）A．B C．﹣2D．33．（2023·山西）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：∵AQ⊥BQ，∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴CO＝OA＝1，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴的长为，故选：D．4．（2023·广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．【答案】【详解】解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图，∵△ADE绕点A旋转，∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，∵AM+AN≥MN，∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，在Rt△ABN中，由勾股定理得，在Rt△ADM中，由勾股定理得，根据旋转的性质得，AM′＝AM＝，∴M′N＝AN+AM′＝，即MN的最大值为．故答案为：．5．（2023·云南）如图，在Rt△ABC中，90∠= ，30ACB∠= ，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，BAC连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是．【答案】3【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD＝2，∴11 BD=．6．（2023·贵州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为．【答案】5【详解】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，7．（2022•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为 ．【答案】5﹣2．【详解】解：如图，作△EMC的外接圆⊙O，连接AO，CO，EO，作OF⊥AB，ON⊥BC，∵BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，∴BE＝1，EC＝4，∵∠CME＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE＝OC＝2，ON＝EN＝CN＝2，∴BN＝OF＝3，AF＝6﹣2＝4，在Rt △AFO 中，AO ＝，当点M 是OA 与⊙O 的交点时，AM 最小，∴AM 的最小值＝OA ﹣OE ＝5﹣2．故答案为：5﹣2．8．（2023·贵阳）如图，矩形ABCD 中，20AB =，30AD =，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的两个动点，且10EF =，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH 、GH ，则GH CH +的最小值为 ．【答案】45【详解】解：由已知，点G 在以B 圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C 关于AD 的对称点C '，连接C B '，交AD 于H ，交以B 为圆心，以5为半径的圆于G由两点之间线段最短，此时C B '的值最小50==，则GH CH +的最小值50545=-=，故答案为：45．9．（2023·安徽）等腰直角ABC 中，90BAC =︒，5AB =，点D 是平面内一点，2AD =，连接BD ，将BD 绕D 点逆时针旋转90︒得到DE ，连接AE ，当DAB = (填度数)度时，AE 可以取最大值，最大值等于 ．ABC 是等腰直角三角形，AC BC ∴=，CBA ∠= 将BD 绕D 点逆时针旋转90︒得到DE ，ED BD ∴= 12AB DB BC BE==，ADB CEB ∴△∽△，∴2CE =180135DAB ECB ACB ∠=∠=︒-∠=︒，如图二，∴点E 在以点为圆心，CE 长为半径的圆周上运动，在同一直线上AE 最长，AE AC CE =+10．（2023·广西）如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是AB ，BC 边上的点，且AC ＝CD ＝3，连接AE ，DE ，∠CAE +∠AEB ＝180°．（1）当∠B ＝22.5°时，求证：CD 平分∠ACB ；（2）当CD ＝BD 时，求的值；（3）如图②，若点F 是线段AC 上一点，且AF ＝1，连接DF ，EF ，EF 交CD 于点G ，求△DEF 面积的最大值．C【答案】（1）证明过程见详解；（2）+1；（3）﹣3．【详解】（1）证明：∵∠CAE+∠AEB＝180°，∠CEA+∠AEB＝180°，∴∠CAE＝∠CEA，∴AC＝CE，∵AC＝CD，∴AC＝CD＝CE，∵∠B＝22.5°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CDA＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ACD＝180°﹣2×67.5°＝45°，∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACD＝∠BCD，∴CD平分∠ACB；（2）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，如图①，以点C为圆心，CA长为半径作圆，过点E作EP⊥AB于P，∵CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠CAD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠CAD，∴CD＝AD，∵AC＝CD，∴AC＝CD＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，CD＝AD＝BD＝3，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣×90°＝135°，∴∠EDP＝180°﹣135°＝45°，∴△DPE是等腰直角三角形，∴DP＝EP，设DP＝EP＝x，则BP＝3﹣x，在Rt△BEP中，tan B＝＝＝，解得：x＝，∵∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠CAE＝45°，∴∠CAE＝∠PDE，∵∠ACE＝∠DPE＝90°，∴△ACE∽△DPE，∴＝＝＝+1；（3）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，如图②，以点C为圆心，CA长为半径作圆，∵CE＝CD＝3，CF＝AC﹣AF＝3﹣1＝2，∠ACB＝90°，∴EF＝＝＝，为定值，∵CD为定值，∴当CD⊥EF时，CG取得最小值，此时，点D到EF的距离取得最大值，即△DEF的面积取得最大值，∵S△CEF＝CF•CE＝EF•CG最小，即×2×3＝××CG最小，解得：CG最小＝，∴DG最大＝CD﹣CG最小＝3﹣，∴S△DEF最大＝EF•G最大＝××（3﹣）＝﹣3．1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）A．2B．C．3D．【答案】A【详解】解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC ＝，AM ＝AB ＝3，∴CM ＝5﹣3＝2，故选：A ．2．如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF BE ⊥于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC PF +的最小值为( )A ．5B ．2-C ．6D ．2+【答案】B【详解】解：如图：取点C 关于直线DA 的对称点C '．以AB 中点O 为圆心，OA 为半径画半圆．连接OC '交DA 于点P ，交半圆O 于点F ，连AF ．连BF 并延长交DA 于点E ．由以上作图可知，AF EB ⊥于F ．PC PF PC EF C F''+='+=由两点之间线段最短可知，此时PC PF +最小．4C B ''= ，6OB '=C O '∴==2C F '∴=-，PC PF ∴+的最小值为2-，故选：B ．3．如图，在Rt ABC 和Rt ADE V 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，3AC AD ==，AB =AE =5．连接BD ，CE ，将△ADE 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中当DBA ∠最大时，△ACE 的面积为（ ）．A ．6B ．C ．9D ．4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，点D 是边BC 上一动点，连接AD ，在AD 上取一点E ，使∠DAC ＝∠DCE ，连接BE ，则BE 的最小值为（ ）A．2﹣3B．C．﹣2D．【答案】C【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC＝4，如图，取AC的中点O，连接OE，OB，∵∠DAC＝∠DCE，∠DCE+∠ACE＝90°，∴∠DAC+∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AD，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O，E，B三点在同一直线上时，BE最短，可得此时OE＝OC＝OA＝2，在Rt△OCB中，OB＝，故BE的最小值为：OB﹣OE＝﹣2，故选：C．5．如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（ ）A．B．C．6D．【答案】B【详解】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆弧上，如图，取AB的中点O，连接OD，当O、P、D三点共线时，PD有最小值，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，∵点O为AB的中点，∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，∵正六边形的每个内角为180°×（6﹣2）÷6＝120°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，∴BD＝，在Rt△OBD中，OD＝＝，∴PD的最小值为OD﹣OP＝．故选：B．6．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 ．【答案】7【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠ADP＝∠PAB，∴∠ADP+∠PAD＝∠PAB+∠PAD＝∠BAD＝90°，∴点P的运动路线为以AD为直径的圆，作以AD为直径的⊙O，作点M关于直线DC的对称点M′，连接OM′交⊙O于点P′，连接M′N，OP，则OP＝OP′＝3，M′N＝MN，∴PN+MN＝PN+M′N＝PN+M′N+OP﹣OP′≥OM′﹣OP′＝OM′﹣3，∴PN+MN的最小值为OM′﹣3；连接OM，∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，点M为BC的中点，∴OD＝AD＝BC＝CM＝3，OD∥CM，∠ODC＝90°，∴四边形OMCD是矩形，∴OM＝DC＝AB＝8，∵点M关于直线DC的对称点M′，∴M′M＝2MC＝6，在Rt△M′OM中，由勾股定理，得OM′＝，∴PN+MN的最小值为OM′﹣3＝10﹣3＝7，故答案为：7．7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝ ，CF的最小值是 ．【答案】120°，2．【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．故答案为：120°，2．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是 ．【答案】4+【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，∴AC＝＝＝，如图，以点E为圆心，AE为半径作圆，连接BE，交⊙E于点D′，此时BD的长度最小，∵将△AEF沿EF对折得到△DEF，且点E是AC的中点，∴AF＝D′F，AE＝A′E＝，∵C△BD′F＝D′F+FB+BD′＝AF+FB+BD′＝AB+BD′，∴此时△BDF的周长最小，过E作EM⊥AB于点M，∴EM＝＝，由勾股定理可得AM＝＝＝，∴BM＝AB﹣AM＝，由勾股定理可得BE＝＝＝，∴BD′＝BE﹣ED′＝，∴△BDF周长的最小值是4+．故答案为：4+．9．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．【答案】﹣1【详解】解：过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝3∴AM＝1，MD＝2∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝∴CH ＝4∴MC ＝＝∵将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，∴AM ＝A 'M ＝1，∴点A '在以M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴当点A '在线段MC 上时，A 'C 长度有最小值∴A 'C 长度的最小值＝MC ﹣MA '＝﹣1故答案为：﹣110.如图，线段AB 为O 的直径，点在AB 的延长线上，4AB =，2BC =，点P 是O 上一动点，连接CP ，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt PCD ，且使60DCP ∠=︒，连接OD ，则OD 长的最大值为 ．90CDP ∠=︒ ，60DCP ∠=︒，CP ∴∴2CO CP CE CD ==，COP CED ∴ ∽，即112ED OP ==（定长），点E 是定点，DE 是定长，C11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为．12．如图，Rt ABC ∆中，AB BC ⊥，12AB =，8BC =，P 是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，连接PC ，则线段CP长的最小值为 ．【答案】4【详解】解：90ABC ∠=︒ ，90ABP PBC ∴∠+∠=︒，PAB PBC ∠=∠ ，90BAP ABP ∴∠+∠=︒，90APB ∴∠=︒，∴点P 在以AB 为直径的O 上，连接OC 交O 于点P ，此时PC 最小，在Rt BCO ∆中，90OBC ∠=︒ ，8BC =，6OB =，10OC ∴==，1064PC OC OP ∴=-=-=．PC ∴最小值为4．故答案为：4．13．（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是ABC ∆外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数，若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助圆A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠= ︒．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：ABD ∆的外接圆就是以BD 的中点为圆心，12BD 长为半径的圆；ACD ∆的外接圆也是以BD 的中点为圆心，12BD 长为半径的圆．这样A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出BAC ∠的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的高，且4BD =，2CD =，求AD 的长．【答案】（1）45；（2）25°；（3）3AD AF DF ∴=+=+【详解】解：（1）如图1，AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1452BDC BAC ∴∠=∠=︒，故答案是：45；（2）如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）如图3，作ABC ∆的外接圆，过圆心O 作OE BC ⊥于点E ，作OF AD ⊥于点F ，连接OA 、OB 、OC ．45BAC ∠=︒ ，90BOC ∴∠=︒．在Rt BOC ∆中，426BC =+=，BO CO ∴==．OE BC ⊥ ，O 为圆心，132BE BC ∴==，1DE OF BD BE ∴==-=．在Rt BOE ∆中，BO =，3BE =，3OE DF ∴==．在Rt AOF ∆中，AO =，1OF =，AF ∴=，3AD AF DF ∴=+=．。
关注圆的特性巧构模型解题
以基于直径上的圆周角性质来构建直角三角形，即添
加辅助线，分别连接圆上一点与直径的两个端点，则
直径所对的圆周角就为直角 . 考虑到这样的圆周角有
很多，在实际解题时需要结合圆上的特殊点来构建 .
［例 2］如图 2 所示，已知⊙O 的 半径为 5，AB 和 CD 是圆的弦，两者 所 对 的 圆 心 角 分 别 为 ∠AOB 和 ∠COD. 如 果 ∠AOB+ ∠COD=180°，
和两线垂直，同时也可以逆向
思维来求证直线为圆的切线 .
［例 3］如 图 4 所 示 ，已 知
AB 为⊙O 的直径，BC 是⊙O 的
一条切线，切点为点 B，现连接
图4
17
中学教学参考 2020·2 中旬
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长和切线外，还包括弧长、圆心角、弦心距和弓形高等
量 . 对于给出上述量的圆的问题，则可以考虑综合应
用几何定理来构建特殊模型 . 如相似模型、直角三角
形模型 . 基本的思路为：由已知出发探索垂直或相似
条件，建立对应模型，然后利用特殊模型的性质突破 .
［例 4］如图 6 所示 ，⊙O1 与`⊙O2 外切于点 A，BC 和 DE 是两圆的公切点，延长 BC 和
圆是初中数学重要的几何图形 . 由于圆的结构较
为 特 殊 ，其 性 质 和 定 理 与 常 规 的 图 形 存 在 一 定 的 差
异 . 关于圆的问题，在求解时需要结合图形结构、特殊
点和特殊关系，充分利用圆的性质和定理来合理添加
辅助线，通过构建相应的模型来解决 .
思路一：关注圆中弦，构建垂径关系
弦是圆中所特有的概念，当出现与弦相关的圆问
江苏省苏州市2017年中考数学复习指导：识别圆形结构 谋定解题策略
识别圆形结构 谋定解题策略圆，是几何中内涵极为丰富的图形.在初中数学中有一类几何问题，从表面上看不存在圆，但若能依据题目的特点，利用已知条件，借助图形把实际存在的圆找出来，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易、化繁为简的解题效果，现以各地中考试题为例，分类说明.一、若一个点到另三个点的距离相等，则这个点必是经过三点的圆的圆心例1 (2012北京)在ABC V 中，AB BC =，BAC α∠=，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转α得到线段PQ .(1)若60α=︒且点P 与点M 重合，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数;(2)在图1中，点P 不与点B 、M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明;(3)对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动刻某一位置(不与点B 、M 重合)时，能使线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围.解 (1)，(3)略.(2)作线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，连结PC 、AD .AB BC =Q ，M 是AC 的中点BM AC ∴⊥∴AP PC =又PQ PA =QPQ PC PA ∴==∴点P 是AQC V 的中心12ACQ APQ α∴∠=∠= 90CDB α∴∠=︒-.评注 第(2)小题有一定难度，注意到Q 由A 旋转得到，而PC PA =，所以是经过A 、Q 、C 三点的圆的圆心，利用圆周角与圆心角的关系，问题得解.二、不在同一条直线上的三点确定一个圆例 2. (2014武汉)如图2，在四边形A B C D 中，4AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为解 作ABC V 的外接圆⊙O ，延长DC 交⊙O 于点E ，连结AE 、BE ，则45CEA ABC ADC ∠=∠=︒=∠4AE AD ∴==，90DAE ∠=︒，DE ==又EAB DAC ≅V V ，3BE CD ∴==Q 180BEC BAC ∠+∠=︒90CEB ∴∠=︒故在Rt BED V 中，BD == 评注 要求BD 的长度，需构造以BD 为一边的直角三角形，注意到90CAB ∠=︒，作ABC V 的外接圆构造出Rt DBE V ，使问题得到巧妙解决.三、到定点的距离等于定长的点的集合是圆例3 (2015三明)如图3，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，P 是AB 上一个动点(与点B 不重合)，将BCP V 沿CP 所在直线翻折得到'B CP V ，连结'AB ，则'AB 长度的最小值是解 由翻折知'3CB CB ==,而C 为定点，故点'B 在以点C 为圆心、半径为3的⊙C 上.又A 为⊙C 外一定点，故当'B 落在AC 上时，'AB 最小.4AC ==Q ,'AB ∴的最小长度的值是431-=.评注 题中无圆，注意到C 为定点，'3CB CB ==为定长，根据圆的定义，点'B 在以点C 为圆心、半径为3的⊙C 上，根据圆的性质，问题得解.四、直角三角形的斜边是其外接圆的直径例4 (2015徐州)如图4，平面直角坐标系中，将含30︒的三角尺的直角顶点C 落在第 二象限，其斜边两端点A ，B 分别落在x 轴，y 轴上，且12AB cm =.(1)若6OB cm =.①求点C 的坐标;②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离.(2)点C 与点O 的距离的最大值= cm .解析 (1)略.(2)由90AOB ACB ∠=∠=︒知，点O 、A 、C 、B 在以12为直径的圆上，而O 为定点，所气OC 为直径时，OC 取最大值，最大值为12.评注 题中无圆，注意到90AOB ACB ∠=∠=︒，12AB cm =，知动点C 在直径为12的圆上;而O 为定点，根据圆的性质，当OC 为直径时最大.五、对角互补的四边形必有外接圆例5 ( 2012深圳)如图5，Rt ABC V 中，90C ∠=︒，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点D ，连结OC ，己知5AC =，OC =，则另一直角边BC 的长为解 作OF CA ⊥，垂足为F .180AOB ACB ∠+∠=︒Q∴A 、C 、B 、O 四点共圆，45ACO ABO ∴∠=∠=︒62OF CF ∴=== 从而1AF FC AC =-=，AO ==AB ==故在Rt ABC V 中,7BC ==.评注 题中无圆，注意到180AOB ACB ∠+∠=︒，确定A 、C 、B 、O 四点共圆，得到45ACO ∠=︒，结合5AC =，OC =AO ，进而解决问题.六、在公共边同侧且公共边所对角相等的两个三角形的顶点在同一个圆上例6 (2014重庆)如图6，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE =，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ，连结OF ，则OF 的长为 .解 作CG OF ⊥，交OF 的延长线于G ，易知OC =CF =90BOC BFC ∠=∠=︒Q∴O 、B 、C 、F 在以BC 为直径的圆上，180135CFO OBC ∴∠=︒-∠=︒18045CFG CFO ∴∠=︒-∠=︒2FG CG ∴===222CG OG OC +=Q ，又OC =222(OF ∴+=解得OF = 评注 题中无圆，注意到OBC V 与FBC V 在BC 的同侧，且90BOC BFC ∠=∠=︒，故点O 、B 、C 、F 在以BC 为直径的圆上，从而45CFG ∠=︒，再构造直角三角形得解.。
苏教版数学中考复习之专题十圆
苏教版数学中考复习之专题十-圆中考复习之专题十圆教学准备一. 教学目标（1）掌握圆的有关概念和计算①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性．②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素．③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理．④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理．⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念．⑦掌握圆内接四边形的性质（2）点与圆的位置关系①能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系．②知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图．（3）直线与圆的位置关系①能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系．②了解切线的概念．③能运用切线的性质进行简单计算和说理．④掌握切线的识别方法．⑤了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念．⑥能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算．（4）圆与圆的位置关系①了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系．②能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系．③掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算（5）圆中的计算问题①掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量．②掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用．③了解圆锥的高、母线等概念．④结合生活中的实例（模型）了解圆柱、圆锥的侧面展开图．⑤会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用．⑥能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积．二. 教学难点与重点：与圆的性质有关的计算、开放题以及与圆和多边形结合的探索题是本单元的重点也是难点．三. 知识要点：知识点1：知识点之间的关系知识点2：圆的有关性质和计算①弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．④圆内接四边形的性质：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角．知识点3：点与圆的位置关系①设点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则点在圆外d r⇔>；点在圆上d r⇔=；点在圆内⇔<．d r②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．一个三角形有且只有一个外接圆．③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．知识点4：直线与圆的位置关系①设圆心到直线l的距离为d，圆的半径为r，则直线与圆相离d r⇔>；直线与圆相切d r⇔=；直线与圆相交d r⇔<．②切线的性质：与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径．③切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点． 三角形的内心到三角形三边的距离相等．⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．⑥切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．知识点5：圆与圆的位置关系①圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．设两圆心的距离为d ，两圆的半径为12r r 、，则两圆外离12d r r ⇔>+ 两圆外切12d r r ⇔=+ 两圆相交1212r r d r r ⇔-<<+两圆内切12d r r ⇔=- 两圆内含12d r r ⇔<- ②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴．由对称性知：两圆相切，连心线经过切点．两圆相交，连心线垂直平分公共弦．③两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线．两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线．④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长． 知识点6：与圆有关的计算①弧长公式：180n r l π= 扇形面积公式：213602n r S lr π==扇形（其中n 为圆心角的度数，r 为半径）②圆柱的侧面展开图是矩形．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积＝底面周长×高圆柱的全面积＝侧面积＋2×底面积③圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．④圆锥的侧面积＝12×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积例1. △ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，以点C 为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，求AD的长．【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH⊥AB，这只要求出AH的长就能得出AD的长．【解】作CH⊥AB，垂足为H∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB＝10∵∠C＝90°，CH⊥AB∴ABAHAC⊥=2又∵AC＝6，AB＝10∴AH＝3.6∵CH⊥AB∴AD＝2AH∴AD＝7.2答：AD的长为7.2.【说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半构成的直角例题精讲三角形，它是解决此类问题的关键．定理的应用必须与所对应的基本图形相结合，同学们在复习时要特别注重基本图形的掌握．例2. （1）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE＝∠B，试说明AE与⊙O相切于点A．（2）在（1）中，若AB为非直径的弦，∠CAE＝∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？请说明理由．【分析】第（1）小题中，因为AB为直径，只要再说明∠BAE为直角即可．第（2）小题中，AB为非直径的弦，但可以转化为第（1）小题的情形．【解】（1）∵AB是⊙O的直径∴∠C＝90°∴∠BAC＋∠B＝90°又∵∠CAE＝∠B∴∠BAC＋∠CAE＝90°即∠BAE＝90°∴AE与⊙O相切于点A.（2）连结AO并延长交⊙O于D，连结CD.∵AD是⊙O的直径∴∠ACD＝90°∴∠D＋∠CAD＝90°又∵∠D ＝∠B ∴∠B ＋∠CAD ＝90°又∵∠CAE ＝∠B ∴∠CAE ＋∠CAD ＝90° 即∠EAD ＝90° ∴AE 仍然与⊙O 相切于点A.【说明】本题主要考查切线的识别方法．渗透了“由特殊到一般”的数学思想方法，这对于学生的探索能力的培养非常重要．例3. 如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5．（1）若sin ∠BAD =35，求CD 的长．（2）若∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）．【分析】图形中有 “直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD 的长就转化为求DE 的长．第（2）小题求扇形OAC 的面积其关键是求∠AOD 的度数，从而转化为求∠AOD 的大小．【解】（1）∵AB 是⊙O 的直径，OD ＝5∴∠ADB ＝90°，AB ＝10又∵在Rt △ABD 中，3sin 5BDBAD AB ==∠∴BD =6∵∠ADB ＝90°，AB ⊥CD ∴BD 2＝BE ·AB ∵AB ＝10 BD =6∴BE ＝185在Rt △EBD 中，由勾股定理得DE =245 ∴CD DE ==2485答：CD 的长为485． （2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD∴CBBD AC AD ⌒⌒⌒⌒，== ∴∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD ∵AO ＝DO ∴∠BAD ＝∠ADO ∴∠CDB ＝∠ADO设∠ADO ＝4k ，则∠CDB ＝4k ∵∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90° ∴4490k k k ++=︒ 得k ＝10°∴∠AOD ＝180°－（∠OAD ＋∠ADO ）＝100° ∴∠AOC ＝∠AOD ＝100° 则SOAC扇形=⨯⨯=1003605125182ππ答：扇形OAC 的面积为12518π 【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度．求DE长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形．解题中也运用了比例问题中的设k法，同时也渗透了“转化”的思想方法．例4. 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C 和动点P．已知BC：CA＝4 ：3，点P在半圆AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线，与PB 的延长线交于点Q.（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到半圆AB的中点时，求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．【分析】当点P与点C关于AB对称时，CP被直径垂直平分，由垂径定理求出CP的长，再由Rt△ACB∽Rt △PCQ，可求得CQ的长．当点P在半圆AB上运动时，虽然P、Q点的位置在变，但△PCQ始终与△ACB相似，点P运动到半圆AB的中点时，∠PCB＝45°，作BE⊥PC于点E，CP＝PE＋EC. 由于CP与CQ的比值不变，所以CP取得最大值时CQ也最大．【解】（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90° ∴AB ＝5，AC ：CA ＝4：3 ∴BC ＝4，AC ＝3S Rt △ACB ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ∴1224,.55CD PC == ∵ 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中， ∠ACB ＝∠PCQ ＝90°，∠CAB ＝∠CPQ∴ Rt △ACB ∽Rt △PCQ ∴ AC BC PC CQ =∴53234==⋅=PC AC PC BC CQ（2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）．∵P 是弧AB 的中点，又∠CPB ＝∠CAB ∴∠CPB ＝ tan ∠CAB ＝43 ∴332tan 4BE PE BE CPB ===∠从而722PC PE EC =+=由（1）得，414233CQ PC == （3）点P 在弧AB 上运动时，恒有PC ACPC BC CQ 34=⋅= 故PC 最大时，CQ 取到最大值．当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203【说明】本题从点P 在半圆AB 上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求CQ 的最大值，一方面渗透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”的观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt △ACB ∽Rt △PCQ ）往往是解题的关键．例5. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．【点评】本题用到的知识点较多，主要知识点有：①圆的切线的性质；②等腰三角形的性质；③四边形内角和定理；④垂径定理；⑤锐角三角函数等．【解】（1）•∵在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°，∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°，∵PA、PB是⊙O的切线，•∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP＝∠OBP＝90°∴∠AOB+∠APB=180°∴∠APB=60°（2）如图，作OD⊥AB交AB于点D，•AB，∵在△OAB中，OA＝OB，∴AD＝12∵在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，∴AD＝OA·cos30°33，AP＝AB＝3例6. 如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，•它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB＝12cm，高BC＝8cm，求这个零件的表面积．（结果保留根号）【解】这个零件的底面积＝π×（122）2＝36πcm 2• • 这个零件的外侧面积＝12π×8＝96πcm 2 圆锥母线长OC ＝22128()2+＝10cm这个零件的内侧面积＝12×12π×10＝60πcm 2，• ∴这个零件的表面积为：36π＋96π＋60π＝192πcm 2例7. 如图，O 是圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD ，•沿母线AB 剖开，得剖面矩形ABCD ，AD ＝24cm ，AB ＝25cm ，若AmD 的长为底面周长的23，如图所示：（1）求⊙O 的半径；（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留根号）【解】（1）连结OA 、OD ，作OE ⊥AD 于E ，易知∠AOD ＝120°，AE ＝12cm ，可得AO ＝r ＝sin 60AE ︒＝3（2）圆柱形木块的表面积＝2S 圆＋S圆柱侧＝（384π＋4003π）cm 2例8. 在图1和图2中，已知OA ＝OB ，AB ＝24，⊙O 的直径为10.（1）如图1，AB 与⊙O 相切于点C ，试求OA 的值；（2）如图2，若AB 与⊙O 相交于D 、E 两点，且D 、E 均为AB 的三等分点，试求tanA 的值．（1）【解】连结OC ，∵AB 与⊙O 相切于C 点， ∴∠OCA ＝90°，∵OA ＝OB ，∴AC ＝BC ＝12 在Rt•△ACO 中，OA ＝2222125AC OC +=+＝13（2）作OF ⊥AB 于点F ，连结OD ，∴DF ＝EF ；AF ＝AD ＋DF ＝8＋4＝12，在Rt•△ODF 中，OF 222254OD DF -=-3，在Rt △AOF 中，tanA ＝31124OFAF ==例9. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB•于点M ，交BC 于点N ． （1）求证：BA·BM ＝BC·BN ；（2）如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC＝3时，求AB的值．（1）【证明】连接MN则∠BMN＝90°＝∠ACB，•∴△ACB∽△NMB，∴BC AB，∴AB·BM＝BC·BNBM BN（2）【解】连接OM，则∠OMC＝90°，∵N为OC•中点，•∴MN＝ON＝OM，∴∠MON＝60°，∠MON＝30°．∵OM＝OB，∴∠B＝12∵∠ACB＝90°，∴AB＝2AC＝2×3＝6例10. 已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的，∠CAD＝30°．延长线上，sinB＝12（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC＝5，求AD的长．，（1）【证明】如图，连结OA，因为sinB＝12所以∠B＝30°，故∠O＝60°，又OA＝OC，•所以△ACO是等边三角形，故∠OAC＝60°，因为∠CAD＝30°，所以∠OAD＝90°，所以AD•是⊙O的切线（2）【解】因为OD⊥AB，所以OC垂直平分AB，则AC＝BC＝5，所以OA＝5，•在△OAD中，∠OAD＝90°，由正切定义，有tan∠AOD＝ADOA，所以AD＝53一、填空题1. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是_______cm，扇形的面积是________cm2．2. 如图，两个同心圆中，大圆的半径OA＝4cm，∠AOB ＝∠BOC＝60°，则图中阴影部分的面积是______cm2．3. 圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是_______cm2．课后练习4. 如图，⊙O的半径为4cm，直线l⊥OA，•垂足为O，•则直线l沿射线OA•方向平移_____cm时与⊙O相切．5. 两圆有多种位置关系，图中不存在的位置关系是______．6. 如图，从一块直径为a＋b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是_____．7. 如图，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC•交半圆O于点D，已知CD＝1，AD＝3，那么cos∠CAB＝________．8. 如图，BC为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O•的切线AD，BA⊥DA于A，BA交半圆于E，已知BC＝10，AD＝4，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是______．二、选择题1. 在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°，则r与R之间的关系是（）A. R＝2rB. R＝rC. R＝3rD. R＝4r2. 圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积是（）A. 60πcm2B. 45πcm2C. 30πcm2D. 15πcm23. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，•则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）A. 1：2B. 2：1C. 1：4D. 4：14. 将直径为64cm的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（）A. 815B. 817cmC. 163cmD. 16cm5. 如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，•OA＝3，OC＝1，分别连结AC、BC，则圆中阴影部分的面积为（）A. 1π B. π C. 2π D. 4π26. 如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm•的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°，若使容器中的水面与圆桶相接触，•则容器中水的深度至少应为（）A. 10cmB. 20cmC. 30cmD. 35cm7. 生活处处皆学问，如图，眼镜镜片所在的两圆的位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切8. ⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与⊙O的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定9. 如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于（）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°10. 已知圆A和圆B相切，两圆的圆心距为8cm，圆A 的半径为3cm，• 则圆B的半径是（）A. 5cmB. 11cmC. 3cmD. 5cm或11cm11. 如图PB为⊙O的切线，B为切点，连结PO交⊙O 于点A，PA＝•2，PO＝5，则PB的长度为（）A. 4B. 10C. 26D. 4312. 如图，AB与⊙O切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为（）A. 45cmB. 25cmC. 213cmD. 13m三、解答题1. 如图，已知正三角形ABC 的边长为2a ． （1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积． （2）根据计算结果，要求圆环的面积，•只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，•你能得出怎样的结论？（4）已知正n 边形的边长为2a ，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．2. 如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3），⊙A 的半径为2. 过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动．（1）当点P 在⊙A 上时，请你直接写出它的坐标； （2）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由．3. 如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．（1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C作CD AE⊥，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切．．，且使D点在⊙A的内部，B点在⊙A的外部，求r和R 的变化范围．4. 已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP 的延长线分别交⊙O′于点C、D，连接CD，则△PCD是三角形；（2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个．．作答：问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．我选择问题，结论：.5. 从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm×11cm，如图甲。
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识别圆形结构 谋定解题策略
圆，是几何中内涵极为丰富的图形.在初中数学中有一类几何问题，从表面上看不存在圆，但若能依据题目的特点，利用已知条件，借助图形把实际存在的圆找出来，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易、化繁为简的解题效果，现以各地中考试题为例，分类说明.
一、若一个点到另三个点的距离相等，则这个点必是经过三点的圆的圆心
例1 (2012北京)在ABC V 中，AB BC =，BAC α∠=，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转α得到线段PQ .
(1)若60α=︒且点P 与点M 重合，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数;
(2)在图1中，点P 不与点B 、M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明;
(3)对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动刻某一位置(不与点B 、M 重合)时，能使线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围.
解 (1)，(3)略.
(2)作线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，连结PC 、AD .
AB BC =Q ，M 是AC 的中点
BM AC ∴⊥
∴AP PC =
又PQ PA =Q
PQ PC PA ∴==
∴点P 是AQC V 的中心
12
ACQ APQ α∴∠=∠= 90CDB α∴∠=︒-.
评注 第(2)小题有一定难度，注意到Q 由A 旋转得到，而PC PA =，所以是经过A 、Q 、C 三点的圆的圆心，利用圆周角与圆心角的关系，问题得解.
二、不在同一条直线上的三点确定一个圆
例 2. (2014武汉)如图2，在四边形A B C D 中，4AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为
解 作ABC V 的外接圆⊙O ，延长DC 交⊙O 于点E ，连结AE 、BE ，则
45CEA ABC ADC ∠=∠=︒=∠
4AE AD ∴==，90DAE ∠=︒，
DE ==
又EAB DAC ≅V V ，
3BE CD ∴==
Q 180BEC BAC ∠+∠=︒
90CEB ∴∠=︒
故在Rt BED V 中，
BD = 评注 要求BD 的长度，需构造以BD 为一边的直角三角形，注意到90CAB ∠=︒，作ABC V 的外接圆构造出Rt DBE V ，使问题得到巧妙解决.
三、到定点的距离等于定长的点的集合是圆
例3 (2015三明)如图3，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，P 是AB 上一个动点(与点B 不重合)，将BCP V 沿CP 所在直线翻折得到'B CP V ，连结'AB ，则
'AB 长度的最小值是
解 由翻折知'3CB CB ==,
而C 为定点，故点'B 在以点C 为圆心、半径为3的⊙C 上.又A 为⊙C 外一定点，故当'B 落在AC 上时，'AB 最小.
4AC ==Q ,
'AB ∴的最小长度的值是431-=.
评注 题中无圆，注意到C 为定点，'3CB CB ==为定长，根据圆的定义，点'B 在以点C 为圆心、半径为3的⊙C 上，根据圆的性质，问题得解.
四、直角三角形的斜边是其外接圆的直径
例4 (2015徐州)如图4，平面直角坐标系中，将含30︒的三角尺的直角顶点C 落在第 二象限，其斜边两端点A ，B 分别落在x 轴，y 轴上，且12AB cm =.
(1)若6OB cm =.
①求点C 的坐标;
②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离.
(2)点C 与点O 的距离的最大值= cm .
解析 (1)略.
(2)由90AOB ACB ∠=∠=︒知，点O 、A 、C 、B 在以12为直径的圆上，而O 为定点，所气OC 为直径时，OC 取最大值，最大值为12.
评注 题中无圆，注意到90AOB ACB ∠=∠=︒，12AB cm =，知动点C 在直径为
12的圆上;而O 为定点，根据圆的性质，当OC 为直径时最大.
五、对角互补的四边形必有外接圆
例5 ( 2012深圳)如图5，Rt ABC V 中，90C ∠=︒，以斜边AB 为边向外作正方形
ABDE ，且正方形对角线交于点D ，连结OC ，己知5AC =，OC =边BC 的长为
解 作OF CA ⊥，垂足为F .
180AOB ACB ∠+∠=︒Q
∴A 、C 、B 、O 四点共圆，
45ACO ABO ∴∠=∠=︒
6OF CF ∴=== 从而1AF FC AC =-=，
AO =
AB ==故在Rt ABC V 中,
7BC ===.
评注 题中无圆，注意到180AOB ACB ∠+∠=︒，确定A 、C 、B 、O 四点共圆，
得到45ACO ∠=︒，结合5AC =，OC =AO ，进而解决问题.
六、在公共边同侧且公共边所对角相等的两个三角形的顶点在同一个圆上
例6 (2014重庆)如图6，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE =，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ，连结OF ，则OF 的长为 .
解 作CG OF ⊥，交OF 的延长线于G ，易知
OC =CF =90BOC BFC ∠=∠=︒Q
∴O 、B 、C 、F 在以BC 为直径的圆上，
180135CFO OBC ∴∠=︒-∠=︒
18045CFG CFO ∴∠=︒-∠=︒
FG CG ∴===
222CG OG OC +=Q ，又OC =
222(OF ∴+=
解得OF = 评注 题中无圆，注意到OBC V 与FBC V 在BC 的同侧，且90BOC BFC ∠=∠=︒，故点O 、B 、C 、F 在以BC 为直径的圆上，从而45CFG ∠=︒，再构造直角三角形得解.。