高二数学选修4-4文科综合测试卷 新课标 人教版
(完整版)【人教A版】高中数学选修4-4模块综合检测卷(含答案解析)
模块综合检测卷（测试时间：120分钟评价分值：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 将点的极坐标（n,—2 n）化为直角坐标为（)A.(n, 0)B. ( n, 2 n )C.(—n, 0)D.(—2n, 0)1.Ae ex= cos — + sin —,2. 参数方程（e为参数，o w e < 2 n ）表示（）1 y= —（1 + sin e）、1A. 双曲线的一支，这支过点 1 ,—1B. 抛物线的一部分，这部分过点1,—1c.双曲线的一支，这支过点一1,—1D.抛物线的一部分，这部分过点—1, 22.Bx = a +1 cos e ,3. 在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有y = b+1 sin e参数值分别为「、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（玄阜系是B C两点，它们对应的A. B. 11+ 122C. |t1—t2|2D.I t1 + t2|23.B4.设r > 0,那么直线x cos e + y sin e = r 与圆x=rcos y =r si n （0为参数）的位置关5.在极坐标系中与圆 p = 4sin B 相切的一条直线的方程为 （ ）4A. 相交B .相切C. 相离D .视r 的大小而定 4. B5.在极坐标系中与圆 p = 4sin B 相切的一条直线的方程为 （ ）46. Cx = 3 + 2sin e ,7.原点到曲线C y_2+2^ e （°为参数）上各点的最短距离为（C. 3+ 13D. 137. A8 .圆 p = 5cos e — 5 3sine 的圆心是( )B.A. 1 B 10. C11.集合 M = (x ,x = 3cos e , y= 3si n e(e 是参数，0< e < n), N = {( x , y )| y = x + A. p cos e = 2 B . p sin e = 2nC. p = 4si n e + ㊁ nD . p = 4sin e ——5. A6.若双曲线的参数方程为 x = — 2+ ta n ey =1 + 2sec e （ °为参数），则它的渐近线方程为（1A. y — 1 = ± ^(x + 2) C. y — 1 = ± 2( x + 2).y =±2 xnC. 5, - D.—5,8.A9.曲线x = cos y = sin（e 为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是1A” B .1 D. 29. D 10.若曲线p = 2 2上有n 个点到曲线p cos e +nn = ,2的距离等于 2，则n =（b ｝，若集合Mn NM ?，贝y b 应满足（）A. — 3 2 w b w 3 2 B 3 2<b <— 3 C. O w b w 3 2 D . — 3<b <3 211. 解析：集合M 表示x 2+ y 2= 9的圆，其中y > 0,集合N 表示一条直线，画出集合 M 和N 表示的图形，可知一3v b w3 2.答案：D 12.点P （x ，y ）是曲线3x 2 + 4y 2— 6x — 8y — 5 = 0上的点，贝U z = x + 2y 的最大值和最小 值分别是（ ）A. 7，— 1 B . 5，1 C . 7，1 D . 4，— 1（X - 1） 2 （V - 1） 2X = 1 + 2cos 0，12.解析：将原方程配方得（X/ +（VQ ）= 1,令（0为参数），43y = 1 3sin 0兀” 兀r n则 x + 2y = 3+ 4sin 0 + §，二当 sin 0 + § = 1 时，（x + 2y ）max = 7，当 sin 0 + § =一 1 时，（X + 2y ）min = — 1.答案：A13. _____________________________________________________ 设点p 的直角坐标为（1，1,、/2），则点P 的柱坐标是 __________________________________ ，球坐标是 ________x = 1 — 2t ，x = s ，14.若直线11 ：（t 为参数）与直线12： （s为参数）垂直，则k =y = 2 + kt y = 1 — 2s14. — 1 15.（2015 •深圳市高三第一次调研考试， 理数）在极坐标系中，曲线C : p cos 0 =羽2与曲线Q ： p cos 2 0 = 1相交于A ，B 两点，则| AEB = _____________ .15. 2、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分•将正确答案填在题中的横线上13.2，4， 22,x=J2cos t，16. （2013 •广东卷）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，y=Q2sin t1）处的切线为I，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则I的极坐标方程为_____________ .16. p cos B + p sin 0 = 2三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17. (本题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极— n n轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为2,—，直线I的极坐标方程为p cos 0 —牙=a,且点A在直线I 上.(1) 求a的值及直线I的直角坐标方程；x = 1 + cos a ,(2) 圆C的参数方程为(a为参数)，试判断直线I与圆的位置关系.y = sin a17. 解析：⑴由点A“』2, 4在直线p cos 0 —4 = a上，可得a=“J2.所以直线I的方程可化为p cos 0 + p sin 0 = 2，从而直线I的直角坐标方程为x + y—2 = 0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为2 2(x —1) + y = 1.所以圆心为(1 , 0)，半径r = 1,贝U圆心到直线I的距离d= ¥<1，所以直线I与圆C相交.x= t cos a ,18. （2015 •全国卷n,数学文理23）在直角坐标系xOy中，曲线C: （ty= t sin a ,为参数，且t丰0)，其中O W a <n,在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: p = 2sin 0 , C3: p = 2 3cos 0 .(1) 求G与G交点的直角坐标；(2) 若C与Q相交于点A, C与G相交于点B,求| AB最大值.18. 解析：(1)曲线G的直角坐标方程为x2+ y2—2y= 0,曲线C3的直角坐标方程为x2+ y23x =十x= 0 2—2叮3 x= 0，联立两方程解得或，所以C2与G交点的直角坐标为(0 , 0), y= 0 3(2)曲线C极坐标方程为0= a ( p € R, p工0)，其中0W a V n，因此点A的极坐标为（2sin a , a ），点B 的极坐标为（2』3C0S a , a ）.大值为4.x = 1 + 专t ,⑵把直线代入X 2+ y 2= 4得1 +1y = 1 + 2t••• t 2 + ( 3 + 1)t — 2= 0,••• t 1t 2=— 2,故点P 到A , B 两点的距离之积为 2.20.(本小题满分14分)(2013 •辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C : x 2+ y 2= 4,圆C 2:2 2(X — 2) + y = 4.（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C , Q 的极坐标方程,并求出圆C , C 2的交点坐标（用极坐标表示）；（2）求圆C 与C 2的公共弦的参数方程. 20.解析：（1）圆C 的极坐标方程为 p = 2. 圆C 2的极坐标方程为 p = 4cos 9 .p = 2, p = 4cosnn故圆C 与圆G 交点的坐标为 2, — , 2,——.注：极坐标系下点的表示不唯一.x = p cos 9 ,f-⑵ 解法一 由得圆C 与C 2交点的直角坐标分别为（1 ,、3） , （1 ,—y = p sin 9所以 | AB = |2sina — 2 3C0S a |7t=4sin a3 ，当5 n6时| AB 取得最大值，最19.（本小题满分 14分）已知直线I 经过R1， 1），倾斜角7t6⑴写出直线 I 的参数方程;（2）设I 与圆X 2+ y 2 = 4相交于 A B 两点, 求点 P 到A B 两点的距离之积. 19.解析：（1）直线的参数方程为nX= 1 + tC0S6，x = 1 +7ty = 1 +1 sin1y = 1 + 2t（t 为参数）.21+ 1 + 2t11cos e •sin e— tan e,原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程是的顶点都在 G 上，且A B, C, D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为⑴ 求点A B, C, D 的直角坐标;⑵设P 为C 上任意一点，求|PA 2 + |PB 2+ |PC 2+ I PD 2的取值范围.令 S =| PA 2+ | PB 2+ I PC 2+ I PD 2，贝U S = 16COS 20 + 36sin 2 0 + 16= 32 + 20sin 2 0 .因为O w sin 20 w 1,所以S 的取值范围是[32 , 52].1 x =2 22.（本小题满分14分）分别在下列两种情况下， 把参数方程1 y=2化为普通方程.于是圆C 与C 2的公共弦的参数方程为x = 1, y = tane 为参数,21.（本小题满分14分）已知曲线C 的参数方程是x = 2cos y = 3sin为参数），以坐标故圆C 与C 2的公共弦的参数方程为x = 1, y = t(t 为参数，—3 < t w 3)x = 解法二 将x = 1代入y =p cosp sin p cos e = 1,从而cos e ? y —p = 2，正方形ABCDA 2cos3 , 2sin 3 ,nnn nB 2cos —+ 2 , 2sin 一 +— 332 ，nnC 2cos 3 + n , 2sin3 + n,n3n n 3 nD 2cos 3 + 2 , 2sin —+------3十2,即 A (1,3) ,B ( — 3 , 1), q — 1 ,3) , Q 3,— 1).(e t+ e —t ) cos e , 21.解析：（1）由已知可得冗冗⑵设 F(2cos 0 , 3sin 0 ),1（1）e为参数，t为常数;（2）t为参数，e为常数.22 .解析： ⑴ 当 t = 0 时，y = 0, x = cos B ,即 | x | < 1,且 y = 0;/当t 工0时，cos x0 = 1--------------------， t —t 、 2 (e + e ) sin 0 y 2 (e t — e -1) ，而 x 2+ y 2= 1, 即 ------------ +1 t — t2 .(e t + e t ) 2 4 2= 1. I t — t 2 4 ( e — e ) 0= k n, k € Z 时，y = o , 1 —x =± 2(e t + e —t)，即 | x | > 1,且 y = 0;n r , 2 , k € Z 时, x = 0, y =± 2(e t — e — t )，即 x = 0;k € Z 时, t 2e —t 2e t — t 2x e + e = cos 0， t —t 2y e — e = sin 0， t 2x 2y 2e = ------ 2e cos 0 sin 0 ' 2x cos 0 sin 0 2y 2x 2y cos 0 sin 0 2y cos 0 sin 0 ' 2 2 即 —■ ^2 = 1.cos 0 sin 02e -t 2x。
人教版高中数学选修4-4_综合质量评估 Word版含答案
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综合质量评估第一、二讲(分钟分)一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).极坐标方程ρρ表示曲线的中心在( ).第一象限.第二象限.第三象限.第四象限【解析】选.极坐标方程ρρ,即ρρθρθ,化为直角坐标方程为,标准方程为()(),圆心坐标为(),在第四象限..(·北京高二检测)极坐标方程ρθ化为直角坐标方程是( ).() ()【解析】选.极坐标方程ρθ即ρρθ,所以化为直角坐标方程是,即()..(·淮南高二检测)在极坐标系中,曲线ρθ围成的图形面积为( ) .ππ【解析】选.由ρθ得ρρθ,直角坐标方程为,所以(),所以ππ.【补偿训练】已知直线将曲线(θ为参数)平分,则曲线围成图形的面积为( )ππππ【解析】选.直线的普通方程为,曲线(θ为参数)的普通方程为()(),所以圆的圆心的坐标为(),依题意,得,即,所以圆的面积为π..与普通方程等价的参数方程为( )....【解析】选.所谓与方程等价,是指将参数方程化为普通方程时,形式一致,且的变化范围对应相同,按照这一标准逐一验证.选项化为普通方程为∈∈.选项化为普通方程为∈.选项化为普通方程为∈∈.选项化为普通方程为∈∈(∞]..极坐标方程ρθ与参数方程(为参数)所表示的图形分别是( ).直线、直线.直线、圆.圆、直线.圆、圆【解析】选.由ρθ得ρρθ,即,即,对应图形为圆.将参数方程消去参数,得,所以对应图形为直线.。
高中数学 模块综合试卷 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题
模块综合试卷(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．极坐标方程ρ＝－4cos θ化为直角坐标方程是( ) A ．x －4＝0B ．x ＋4＝0C ．(x ＋2)2＋y 2＝4D ．x 2＋(y ＋2)2＝4 答案 C2．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin θ围成的图形面积为( ) A ．πB．4C ．4πD．16 答案 C3．设点P 的直角坐标为(－3,3)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(0≤θ<2π)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3π4 答案 A解析 由已知得ρ＝(－3)2＋32＝32，tan θ＝3－3＝－1，又点P 在第二象限，∴θ＝3π4，∴点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4.4．已知抛物线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率为1的直线过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r 等于( ) A ．1B.22C.2D ．2 答案 C解析 抛物线C 1的普通方程为y 2＝8x ，焦点为(2,0)，故直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意|－2|12＋(－1)2＝r ，得r ＝ 2.5．曲线x2＋y 2＝4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ∈[0,2π))关于直线l 对称，则l 的方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝－x ＋2D ．y ＝x ＋2 答案 D解析 设圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ，θ∈[0,2π)的圆心为C (－2,2)，∵⊙O 与⊙C 关于直线l 对称， ∴l 为线段OC 的垂直平分线． ∵k OC ＝－1，∴k l ＝1，∴l 的方程为y －1＝x －(－1)，即y ＝x ＋2. 6．已知曲线C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 不经过第二象限的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥2B．a >3 C ．a ≥1D．a <0 答案 B 7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝t ＋1(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.1255 C.925 D.9105答案 B解析 直线的普通方程为x －2y ＋3＝0， 圆的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝3， ∴圆心到直线的距离d ＝35＝355，∴所求弦长为2r 2－d 2＝1255.8．过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则1m ＋1n的值为( )A.23B.43C.83D ．不能确定 答案 B解析 曲线C 为椭圆x 24＋y 23＝1，右焦点为F (1,0)，设l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)代入椭圆方程，得(3＋sin 2θ)t 2＋6cos θ·t －9＝0， ∴t 1t 2＝－93＋sin 2θ，t 1＋t 2＝－6cos θ3＋sin 2θ， ∴1m ＋1n ＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝43. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)过定点P ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|PA |·|PB |的值为________． 答案 1解析 将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)代入曲线C ：ρ＝2sin θ的直角坐标方程x 2＋y 2－2y ＝0，整理，得t 2－(3＋1)t ＋1＝0，设直线l 与曲线C 的交点A ，B 的对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝1，即|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝1.10．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若P点为直线ρcos θ－ρsin θ－4＝0上一点，点Q 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝14t 2(t 为参数)上一点，则|PQ |的最小值为________． 答案322解析 直线ρcos θ－ρsin θ－4＝0的直角坐标方程为x －y －4＝0，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝14t 2(t为参数)的普通方程为y ＝14x 2，依题意，设与直线x －y －4＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，即y ＝x ＋c ，代入y ＝14x 2，得x 2－4x －4c ＝0，依题意，Δ＝16＋16c ＝0，所以c ＝－1，即直线x －y －1＝0与抛物线y ＝14x 2相切，所以平行线间的距离d ＝|－4－(－1)|2＝322.11．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数，且t >0)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝cos2θ＋1(θ为参数)的交点坐标是________． 答案 (1,2)解析 将参数方程化为普通方程分别为y ＝x ＋1(x >0)，y ＝2x 2.将y ＝x ＋1代入y ＝2x 2，得2x 2－x －1＝0，解得x ＝1(x ＝－12舍去)，则y ＝2，所以交点坐标是(1,2)．12．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t为参数)．设直线l 与x 轴的交点为M ，N 是曲线C 上一动点，则|MN |的最大值为________． 答案5＋1解析 曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 将直线l 的参数方程化成普通方程为y ＝－43(x －2)．令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1， 则|MC |＝5，∴|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 三、解答题(本大题共6小题，共60分)13．(10分)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．解 因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，所以直线l 的普通方程为y ＝3x .①又因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2,2])．②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6.根据x 的X 围应舍去⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6，故P 点的直角坐标为(0,0)．14．(10分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)圆上所有点(x ，y )中，xy 的最大值和最小值． 解 (1)原方程可化为ρ2－42ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，即为所求圆的普通方程．设⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝2(x －2)2，sin θ＝2(y －2)2，所以参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)(2＋2sin θ) ＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ ＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2. 设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，t ∈[－2，2]． 所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1.当t ＝－2时，xy 有最小值1；当t ＝2时，xy 有最大值9.15．(10分)设A ，B 为椭圆x 24＋y 2＝1上满足OA ⊥OB (O 为原点)的两点，O 为垂足．(1)以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆的极坐标方程； (2)求1|OA |2＋1|OB |2的值；(3)判断直线AB 与圆C ：x 2＋y 2＝45的位置关系．解 (1)以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得椭圆的极坐标方程为1ρ2＝cos 2θ4＋sin 2θ.①(2)由条件可设A (ρ1，α)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，α＋π2并代入①，得1ρ21＝cos 2α4＋sin 2α，1ρ22＝sin 2α4＋cos 2α， ∴1ρ21＋1ρ22＝cos 2α4＋sin 2α＋sin 2α4＋cos 2α＝54， 即1|OA |2＋1|OB |2＝54. (3)设原点O 到直线AB 的距离为d ， 则由|OA |·|OB |＝d |AB |， 得d ＝|OA |·|OB ||AB |＝ρ1ρ2ρ21＋ρ22＝11ρ21＋1ρ22＝45＝255＝r ， 因此直线AB 与圆C 相切．16．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (－1，0)，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋1＝0.(1)写出直线l 的参数方程，若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值X 围； (2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值X 围． 解 (1)因为曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋1＝0， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋1＝0. 因为直线l 经过点P (－1,0)，其倾斜角为α，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2－6x ＋1＝0，整理得t 2－8t cos α＋8＝0， 因为直线l 与曲线C 有公共点， 所以Δ＝64cos 2α－32≥0， 即cos α≥22或cos α≤－22， 因为α∈[0，π)，所以α的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)已知M (x ，y )是曲线C ：(x －3)2＋y 2＝8上一点， 则⎩⎨⎧x ＝3＋22cos θ，y ＝22sin θ(θ为参数)．所以x ＋y ＝3＋22(sin θ＋cos θ)＝3＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以x ＋y 的取值X 围是[－1,7]．17．(10分)(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.18．(10分)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解 (1)C 1是圆，C 2是直线，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心为C 1(0,0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0，因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1， 所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和原来相同．。
高二第二学期文科数学练习试卷(选修4-4以及函数概率统计等)
高二数学(文) 测试卷（选修4-4为主）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.集合{1,0,1}M =-，{0,12}N =，，N M P =，则集合P 的子集的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个2.在复平面内，复数()i i +2对应的点位于（ ）A ．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为125，则第1组中按此抽签方法确定的号码是（ ） A ．7 B ．5 C ．4 D ．34.函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31,B ．⎪⎭⎫⎝⎛-31,31 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,31D ．),31(+∞-5.下列函数为奇函数的是（ ）A. x y ln =B. xy 2= C. x x y sin 2= D. x x y cos 2= 6.设R x ∈，则“21<<x ”是“022<--x x ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件7. 函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=31)(21的零所在的区间是（ ）A. )21,0( B. )1,21( C. )2,1( D. )3,2(8.已知命题:p R m ∈∃，使()3421)(+--=m m x m x f 是幂函数，且在()∞+，0上单调递减；命题:q R ∈∀ϕ，函数()ϕ+=x x f 2cos )(都不是奇函数.则下列命题是真命题的是（ ） A.p q ∧ B.()p q ⌝∨ C.()p q ∧⌝ D.()p q ⌝∧9.函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )10.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系b kx e y += （ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）若该食品在0C 的保鲜时间是192小时，在22C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33C 的保鲜时间是（ ） A. 20小时 B. 24小时 C. 28小时 D.32小时11.已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，4()log h x x x =+的零点依次为a ，b ，c ，则（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. a c b <<12.设)(x f 与)(x g 是定义在同一区间[]b a ,上的两个函数，若函数)()(x g x f y -=在[]b a x ,∈上有两个不同的零点，则称)(x f 和)(x g 在[]b a ,上是“关联函数”，区间[]b a ,称为“关联区间”.若43)(2+-=x x x f 与m x x g +=2)(在[]3,0上是“关联函数”，则m 的取值范围是 ( )A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--2,49 B ．[]0,1- C ．(]2,-∞- D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--2,49二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.函数()6log 231--=x x y 的单调递增区间为 ___________.14.曲线x x y ln +=在点()11，处的切线方程为___________. 15.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于 ．16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=,1,log ,1,)(312x x x x x x f 若关于x 的不等式m m x f 43)(2-≥有解，则实数m的取值范围是___________.三、解答题：（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（10分）设集合{}0322≤--=x x x A ，{}09222≤-+-=m mx x x B ，R m ∈. （1）若3=m ，求B A ；（2）已知命题A x p ∈:，命题B x p ∈:，若q 是p 的必要条件求实数m 的取值范围.18.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160、第二组[)160,165；…第八组[]190,195，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．（Ⅰ）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（Ⅱ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x y 、，求满足5x y -≤的事件概率；19.（12分）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数），直线l 的极坐标方程为92)4ρπθ=+．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值．20.（12分）已知函数23)(x ax x f +=()R a ∈在34-=x 处取得极值. （1）确定a 的值；（2）若x e x f x g )()(=，求)(x g 的单调区间.21.（12分）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数x ，恒有())(2x f x f -=+.当[]2,0∈x 时，.2)(2x x x f -=（1）求证：)(x f 是周期函数；（2）求)2015(f 的值；（3）当[]8,6∈x 时，求)(x f 的解析式.22.（12分）已知函数xax x f -=ln )(. （1）若0>a ，试判断)(x f 在定义域内的单调性； （2）若)(x f 在区间[]e ,1上的最小值为23，求a 的值.高二数学(文)参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C C A A C BBDA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. )2,(--∞ 14. 12-=x y 15. 2116. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,41 三、解答题(本大题70分)17.（10分）解：（1）由题意知{}31≤≤-=x x A ，{}33+≤≤-=m x m x B ……3分 当3=m 时，{}60≤≤=x x B ，∴{}30≤≤=x x B A ……………………………………6分（2）由q 是p 的必要条件知B A ⊆，结合（1）知⎩⎨⎧≥+-≤-3313m m ，解得20≤≤m所以实数m 的取值范围是[]2,0 ……………………………………10分 18.（12分）解：【答案】（Ⅰ）0．08，0．06；（Ⅱ）715【解析】（Ⅱ）第六组4人，第八组2人，从2中任抽2人有15种，满足5x y -≤的有：从第六组中抽2人，有6种，从第8组中抽2人，有1种∴ 7(5)15P x y -<=19.（12分）解：（1）将⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数）消参得曲线C 的普通方程为()1122=+-y x ……………………………………3分由ρ=9)4πθ+，得ρ=9sin cos θθ+, ∴ sin cos ρθρθ+=9.∴直线l 的直角坐标方程为9=+y x . ……………………………………6分 （2）由（1）知曲线C 为圆，其圆心坐标为()0,1.圆心到直线l 的距离为24291=- ……………………………………8分设曲线C 上的点到直线l 的距离 为d 则124max +=d ，124min -=d ……………………………………10分故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为124+最小值为124- ………………12分20.（12分）解：（1） ()x ax x f 232+=' ……………………………………1分因为)(x f 在34-=x 处取得极值，所以034=⎪⎭⎫⎝⎛-'f ……………………………………3分 即0383163429163=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅a x a ，解得21=a ……………………………………5分（2）由（1）得()x e x x x g ⎪⎭⎫⎝⎛+=2321 ∴()x x e x x e x x x g ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+='23221223 x e x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2252123()()x e x x x 4121++=……………………………………7分 令()0='x g ，解得0=x 或1-=x 或4-=x ……………………………………8分 由()0>'x g ，解得14-<<-x 或0>x由()0<'x g ，解得01<<-x 或4-<x ……………………………………10分∴)(x g 的单调递增区间为)1,4(--和),0(+∞，单调递减区间为)4,(--∞和)0,1(-……12分21.（12分） （1）证明：由题意的()[]22)4(++=+x f x f )2(+-=x f )(x f =即对任意的实数x 都有()x f x f =+)4(，所以)(x f 是以4为周期的周期函数. ……………………………………4分（2）由（1）得)(x f 是以4为周期的周期函数∴())3(34503)2015(f f f =+⨯= 又因为)1()3(f f -=而1)1(=f∴1)2015(-=f ……………………………………8分（3）当[]0,2-∈x 时[]2,0∈-x ∴22)(x x x f --=- 而)(x f 是定义在R 上的奇函数∴x x x f x f 2)()(2+=--=当[]8,6∈x 时[]0,28-∈-x ∴()()4814828)8(22+-=-+-=-x x x x x f又)()8(x f x f =- ∴当[]8,6∈x 时4814)(2+-=x x x f ……………………………………12分22.（12分）解：（1）由题意知)(x f 的定义域为),0(+∞，且221)(xa x x a x x f +=+=' ……………………………………2分 又0>a ，∴0)(>'x f故)(x f 在),0(+∞上是增函数 ……………………………………4分（2）由（1）知2)(x a x x f +=' ①若1-≥a ，则当()e x ,1∈时，0>+a x ，即0)(>'x f ，故)(x f 在[]e ,1上是增函数 ∴23)1()(min =-==a f x f ，∴23-=a （舍去） …………………………………7分 ②若e a -≤，则当()e x ,1∈时，0<+a x ，即0)(<'x f ，故)(x f 在[]e ,1上是减函数 ∴231)()(min =-==e a e f x f ，∴2ea -=（舍去） ………………………………9分 ③若1-<<-a e ，令0)(='x f ，得a x -=当a x -<<1时， 0)(<'x f ，)(x f 在()a -,1上是减函数； 当e x a <<-时， 0)(>'x f ，)(x f 在()e a ,-上是增函数. ∴()231ln )()(min =+-=-=a a f x f ，∴e a -=. 综上所述，e a -= ………………………………12分。
高中数学人教a版高二选修4-4_模块综合测评 有答案
高中数学人教a 版高二选修4-4_模块综合测评 有答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R )表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线D ．一条射线【解析】 由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R ，故为两条过极点的直线． 【答案】 A2．极坐标系中，过点P (1，π)且倾斜角为π4的直线方程为( ) A ．ρ＝sin θ＋cos θ B ．ρ＝sin θ－cos θ C ．ρ＝1sin θ＋cos θD ．ρ＝1sin θ－cos θ【解析】 设M (ρ，θ) 为直线上任意一点，则 在△OPM 中，由正弦定理得ρsin π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴ρ＝1sin θ－cos θ.【答案】 D3．已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θy ＝bt ＋λsin θ(a 、b 、λ均不为零，0≤θ≤2π)，分别取①t 为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( )A ．①、②、③均是直线B ．只有②是直线C ．①、②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆【解析】 ①t 为参数，原方程可化为：y －λsin θ＝ba (x －λcos θ)，②λ为参数，原方程可化为：y －bt ＝(x －at )·tan θ，③θ为参数，原方程可化为： (x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，即①、②是直线，③是圆． 【答案】 C4．将曲线x 23＋y 22＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的曲线的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ B.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θy ＝12sin θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θy ＝22sin θ【解析】 x 23＋y 22＝1→(3x ′)23＋(2y ′)22＝1→(3x ′)2＋(2y ′)2＝1→⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝cos θ，2y ′＝sin θ→⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θ，y ＝22sin θ，故选D.【答案】 D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1【解析】 由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0， 又ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝0或x ＝1.【答案】 C6．柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A ．(3，－1,1)B ．(3，1,1)C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1，故应选C.【答案】 C7．直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)的公共点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解析】 圆C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心C (－1,2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离 d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75，因此d <r ，直线与圆C 相交于两点． 【答案】 C8．双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θy ＝2tan θ(θ为参数)上，当θ＝2π3时对应的点为P ，O 为原点，则OP 的斜率为( )A.34B.32C. 3D ．2【解析】 ∵x ＝4sec θ＝4cos 2π3＝－8，y ＝2tan θ＝2tan 2π3＝－23， ∴k OP ＝y x ＝34. 【答案】 A9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0－2×3＋1|12＋(－2)2＝5，∴直线l 与圆C 相交所得弦长为 2r 2－d 2＝29－5＝4.【答案】 D10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【解析】 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．故选B.【答案】 B11．已知曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2，y ＝12sin α(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( )A ．ρ＝sin θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝cos θ【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)得普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径r ＝12，所以极坐标方程为ρ＝cos θ. 【答案】 D12．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ b 24＋4 (0<b ≤4)2b (b >4) B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 (0<b <2)2b (b ≥2)C.b 24＋4 D ．2b【解析】 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)， 代入x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ－b 22＋4＋b 24，当0<b ≤4时，(x 2＋2y )max ＝b 24＋4；当b >4时，(x 2＋2y )max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 22＋4＋b 24＝2b .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)； 当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)． 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5214．极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ()cos θ＋3sin θ＝8的距离的最大值是________．【解析】 曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，化为：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2,0)，半径为r ＝2，直线方程化为：x ＋3y －8＝0，圆心到直线的距离为：d ＝|－2－8|2＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.【答案】 715．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．【解析】 直线与曲线的普通方程分别为 x ＋y －1＝0， ① x 2＋y 2＝9, ②②表示圆心为O (0,0)，半径为3的圆， 设O 到直线的距离为d ，则d ＝|－1|2＝22，∵22<3，∴直线与圆有2个交点． 【答案】 216．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．【解析】 由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，化简得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.【答案】 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)法一 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3. 法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，－3)或(1，3)．故圆C 1与C 2公共弦的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，(－3≤t ≤3)． 21．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 【解】 (1)曲线C ：y 2＝2ax ，直线l ：x －y －2＝0. (2)将直线的参数表达式代入抛物线得 12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0， 所以t 1＋t 2＝82＋22a ，t 1t 2＝32＋8a . 因为|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|， 由题意知，|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|⇒(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2， 代入得a ＝1.22．(本小题满分12分)如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．图1(1)求证：1|F A |＋1|FB |为定值； (2)求AB 的中点M 的轨迹方程．【解】设直线AB 的方程为⎩⎨⎧x ＝p2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α≠0)，代入y 2＝2px 整理，得t 2sin 2α－2pt cos α－p 2＝0.第- 11 -页 共11页 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝2p cos αsin 2α，t 1t 2＝－p 2sin 2α.(1)1|F A |＋1|FB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2| ＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p cos αsin 2α2＋4p 2sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2sin 2α＝2p (定值)． (2)设AB 的中点M (x ，y )，则M 对应的参数为t ＝t 1＋t 22＝p cos αsin 2α，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝p 2＋p cos 2αsin 2α，y ＝p cos αsin α(α为参数)，消去α，得y 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2为所求的轨迹方程．。
人教版高中数学选修4-4 模块综合评价
模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z) 解析：点M 的极径是2，点M 在第二象限，故点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.答案：C2．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R)表示的曲线是( )A ．两条相交直线B ．两条射线C ．一条直线D ．一条射线解析：由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R ，故为两条过极点的直线．答案：A3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝π4对称的曲线的方程是( )A ．ρsin θ＋1＝0B ．ρcos θ＋1＝0C ．ρsin θ＝2D ．ρcos θ＝2解析：因为M (ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点是N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π2－θ，从而所求曲线方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0. 答案：A4．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：将x ＝1＋t2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 所以t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6， 因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，所以x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)． 答案：D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝x ＝1. 答案：C6．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ的两个圆的圆心距是( )A ．2 B.2 C ．5 D. 5解析：ρ＝2cos θ是圆心为(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心为()0，2，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是 5.答案：D7．已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意易知圆的圆心M (1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|3×1－4×2－5|32＋42＝2.答案：B8．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－7π6解析：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，再化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，4π3. 答案：A9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程⎩⎨⎧x ＝tan θ，y ＝2cos θ(θ为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、射线和圆B ．圆、射线和双曲线C ．两直线和椭圆D ．圆和抛物线解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程⎩⎨⎧x ＝tan θ，y ＝2cos θ(θ为参数)化为普通方程为y 24－x 2＝1，表示双曲线．答案：B10．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝a 2t －1(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，且它们总有公共点．则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0，＋∞) B ．(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，4 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧at ＝1＋cos θ，a 2t －1＝2sin θ，则4(at －1)2＋(a 2t －1)2＝4， 即a 2(a 2＋4)t 2－2a (a ＋4)t ＋1＝0，Δ＝4a 2(a ＋4)2－4a 2(a 2＋4)＝16a 2(2a ＋3)． 直线l 与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0， 即a ≥－32.答案：C11．已知圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF 2的极坐标方程为( )A ．ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3B ．ρcos θ－3ρsin θ＝ 3 C.3ρcos θ＋ρsin θ＝ 3 D.3ρcos θ－ρsin θ＝ 3解析：圆锥曲线为椭圆，c ＝1，故F 2的坐标为(1，0)，直线AF 2的直角坐标方程是x ＋y3＝1，即3x ＋y ＝3，化为极坐标方程就是3ρcos θ＋ρsin θ＝ 3.答案：C12．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0， 即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－2×3＋1|12＋（－2）2＝5，所以直线l 与圆C 相交所得弦长为2r 2－d 2＝ 29－5＝4. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________．解析：结合图形不难知道点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，π414．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，当φ＝π4时，对应的曲线上的点的坐标为________．解析：当φ＝π4时，代入渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos π4＋3·π4·sin π4，y ＝3sin π4－3·π4·cos π4，x ＝322＋32π8，y ＝322－32π8，所以当φ＝π4时，对应的曲线上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8 15．若直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．解析：直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为d max ＝|0＋0－6|2＋1＝32＋1. 答案：32＋116．在直角坐标系Oxy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a >b >0)．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则a ＝________.解析：椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 的直角坐标方程为x －3y －3＝0，令x ＝0，则y ＝－1，令y ＝0，则x ＝3，所以c ＝3，b ＝1，所以a 2＝3＋1＝4，所以a ＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1. 18．(本小题满分12分)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sinθ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得⊙O ：x 2＋y 2－x －y ＝0， 由l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，得：22ρsin θ－22ρcos θ＝22，ρsin θ－ρcos θ＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得：x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，又⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，得ρ＝1，tan θ不存在， 又因为θ∈(0，π)，则θ＝π2，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)当m ＝2时，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 由⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t 得x ＝3y ＋m ，即x －3y －m ＝0，所以直线l 的普通方程为x －3y －m ＝0. (2)设圆心到直线l 的距离为d ， 由(1)可知直线l ：x －3y －2＝0， 曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1， 则圆心到直线l 的距离为d ＝|1－3×0－2|1＋（3）2＝12. 所以|AB |＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3.因此|AB |的值为 3.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1，0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB 面积的最大值．解：(1)圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4. (2)直线l 的普通方程为22x －y －1＝0，圆心到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|3＝223， 所以|AB |＝22－89＝2103， 点P 到直线AB 距离的最大值为2＋223＝523，故最大面积S max ＝12×2103×523＝1059. 22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点、x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.。
新课标人教版高二数学选修4-4_坐标系_练习题①②(附答案)
第一讲 测试题①一、选择题1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )．A ．(4，32π)B ．(－4，32π)C ．(－4，3π)D ．(4，3π) 2．极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆C ．两条直线D ．一条射线或一个圆3．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )4．点P 在曲线 ρcos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤4π，ρ＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ．圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段5．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为A ．2B ．1C ．3D ．06．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线D ． 圆7．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )． A ．22B ．2C ．52D ．328．ρ＝2(cos θ －sin θ )(ρ＞0)的圆心极坐标为( )． A ．(－1，4π3) B ．(1，4π7) C ．(2，4π)D ．(1，4π5) 9．极坐标方程为lg ρ＝1＋lg cos θ，则曲线上的点(ρ，θ)的轨迹是( )． A ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆B ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆，除去极点C ．以点(5，0)为圆心，5为半径的上半圆D ．以点(5，0)为圆心，5为半径的右半圆10．方程θθρsin ＋ cos 11＝ －表示的曲线是( )．A ． 圆B ．椭圆C ．双曲线D ． 抛物线二、填空题11．在极坐标系中，以(a ，2π)为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为 ．12．极坐标方程 ρ2cos θ－ρ＝0表示的图形是 ． 13．过点(2，4π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是 ． 14．曲线 ρ＝8sin θ 和 ρ＝－8cos θ(ρ＞0)的交点的极坐标是 ．15．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ cos θ ＝3，ρ＝4cos θ (其中0≤θ＜2π)，则C 1，C 2交点的极坐标为 ． 16．P 是圆 ρ＝2R cos θ上的动点，延长OP 到Q ，使|PQ |＝2|OP |，则Q 点的轨迹方程是 ．第一讲 测试题②一．选择题1．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π2．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π3．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πD ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为A 、正三角形B 、直角三角形C 、锐角等腰三角形D 、直角等腰三角形 7、)0(4≤=ρπθ表示的图形是A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是 A 、平行 B 、垂直 C 、相交不垂直 D 、与有关，不确定 9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是 A.214-πB.2-πC.12-πD.2π10.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二．填空题（每题5分共25分）11、曲线的θθρcos 3sin -=直角坐标方程为_ 12．极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是13．圆心为⎪⎭⎫⎝⎛6,3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为14．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到直线的距离是 15、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。
人教版高中数学选修4-4_综合质量评估 Word版含答案
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综合质量评估第一、二讲(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.极坐标方程ρ2+2ρsin=1表示曲线的中心在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.极坐标方程ρ2+2ρsin=1,即ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ=1,化为直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=1,标准方程为(x-1)2+(y+1)2=3,圆心坐标为(1,-1),在第四象限.2.(2016·北京高二检测)极坐标方程ρ=-4cosθ化为直角坐标方程是( )A.x-4=0B.x+4=0C.(x+2)2+y2=4D.x2+(y+2)2=4【解析】选C.极坐标方程ρ=-4cosθ即ρ2=-4ρcosθ,所以化为直角坐标方程是x2+y2=-4x,即(x+2)2+y2=4.3.(2016·淮南高二检测)在极坐标系中,曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为( ) A.π B.4 C.4π D.16【解析】选C.由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,直角坐标方程为x2+y2=4x,所以(x-2)2+y2=4,所以S=πr2=4π.【补偿训练】已知直线将曲线(θ为参数)平分,则曲线围成图形的面积为( )A.3πB.4πC.6πD.9π【解析】选D.直线的普通方程为y=-2x+b+4,曲线(θ为参数)的普通方程为(x-2)2+(y-3)2=b2,所以圆的圆心的坐标为(2,3),依题意,得3=-4+b+4,即b=3,所以圆的面积为9π.4.与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程为( )A. B.C. D.【解析】选D.所谓与方程x2+y-1=0等价,是指将参数方程化为普通方程时,形式一致,且x,y的变化范围对应相同,按照这一标准逐一验证.选项A化为普通方程为x2+y-1=0,x∈,y∈.选项B化为普通方程为x2+y-1=0,x∈.选项C化为普通方程为x2+y-1=0,x∈,y∈.选项D化为普通方程为x2+y-1=0,x∈R,y∈(-∞,1].5.极坐标方程ρ=sinθ与参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )A.直线、直线B.直线、圆C.圆、直线D.圆、圆【解析】选C.由ρ=sinθ得ρ2=ρsinθ,即x2+y2=y,即x2+=,对应图形为圆.将参数方程消去参数t,得2x-y-5=0,所以对应图形为直线.6.已知直线l1的极坐标方程为ρsin=2016,直线l2的参数方程为(t为参数)则l1与l2的位置关系为( )A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.重合【解析】选A.由ρsin=2016,得ρ=2016,ρsinθ-ρcosθ=2016,所以y-x=2016,即y=x+2016,把直线l2的参数方程化为普通方程为==-1,即y=-x,所以·=1×(-1)=-1,所以l1⊥l2.7.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为( )A. B.2 C. D.2【解析】选D.直线l的普通方程为y=x-4,圆C的直角坐标方程是(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)到直线l的距离d==,所以直线l被圆C截得的弦长为2=2.8.已知抛物线C1:(t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r>0),若斜率为1的直线过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r= ( )A.1B.C.D.2【解题指南】把抛物线的参数方程、圆的极坐标方程统一成在直角坐标系下的方程后,求出直线的方程,利用直线与圆的位置关系求r.【解析】选C.抛物线C1的普通方程为y2=8x,焦点为(2,0),故直线方程为y=x-2,即x-y-2=0,圆的直角坐标方程为x2+y2=r2,由题意=r,得r=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2016·唐山高二检测)已知直线l:(t为参数)过定点P,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,直线l与曲线C交于A,B两点,则|PA|·|PB|值为________.【解析】将直线l:(t为参数)代入曲线C:ρ=2sinθ的直角坐标方程x2+y2-2y=0,整理,得t2-(+1) t+1=0,设直线l与曲线C交于A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=1,即|PA|·|PB|==1.答案:110.若直线(t为参数)与曲线(θ为参数,a>0)有且只有一个公共点,则a=________.【解析】直线一般方程为x+y-2=0,曲线方程为(x-4)2+y2=a2.由题可知,直线与圆相切,即圆心到直线的距离d===a.答案:【补偿训练】(2016·襄阳高二检测)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程是以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρsin=1,则两曲线交点间的距离是________.【解析】曲线C1的普通方程为y2-x2=4,由曲线C2的极坐标方程ρsin=1,得直角坐标方程x+y-2=0,将y=-x+2代入y2-x2=4,得x2-2x=0,解得x1=0,x2=2,y1=2,y2=-4,则两曲线的交点坐标分别为A(0,2),B(2,-4),所以|AB|==4.答案:411.(2016·衡水高二检测)设直线l:(t为参数),曲线C:(θ为参数),直线l 与曲线C交于A,B两点,则|AB|=________.【解题指南】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,利用直线参数方程参数的几何意义以及公式求弦长.【解析】将直线l:(t为参数)代入曲线C:x2+y2=1,整理,得t2+t=0,设直线l与曲线C交于A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-,t1t2=0,则|AB|=|t1-t2|==.答案:12.(2016·黄冈高二检测)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若P点为直线ρcosθ-ρsinθ-4=0上一点,点Q为曲线(t为参数)上一点,则|PQ|的最小值为________.【解题指南】将直线的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线的参数方程化为普通方程,转化为直线和曲线相切求解,也可以利用导数的几何意义求出切点的坐标解决.【解析】直线ρcosθ-ρsinθ-4=0的直角坐标方程为x-y-4=0,曲线(t为参数)的普通方程为y=x2,依题意,设与直线x-y-4=0平行的直线方程为x-y+c=0,即y=x+c,代入y=x2,得x2-4x-4c=0,依题意,Δ=16+16c=0,所以c=-1,即直线x-y-1=0与抛物线y=x2相切,所以平行线间的距离d==.答案:【一题多解】直线ρcosθ-ρsinθ-4=0的直角坐标方程为x-y-4=0,曲线(t为参数)的普通方程为y=x2,设抛物线y=x2上一点P(x0,y0),则y′=x=x0=1,得x0=2,即P(2,1),依题意,P(2,1)到直线x-y-4=0的距离d==为所求.答案:三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)(2016·衡水高二检测)在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为(α为参数)求直线l与曲线C的交点P的直角坐标.【解析】因为直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),所以直线l的普通方程为y=x,①又因为曲线C的参数方程为(α为参数)所以曲线C的直角坐标方程为y=x2(x∈),②联立①②得或根据x的范围应舍去故P点的直角坐标为(0,0).14.(10分)(2016·全国卷Ⅰ)在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程.(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)(t为参数),所以x2+(y-1)2=a2. ①所以C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆.方程为x2+y2-2y+1-a2=0.因为x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,即为C1的极坐标方程.(2)C2:ρ=4cosθ,两边同乘ρ,得ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.②C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.15.(10分)(2016·大连高二检测)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,以原点O 为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+1=0.(1)写出直线l的参数方程,若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围.(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.【解析】(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+1=0,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.因为直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,所以直线l的参数方程为(t为参数),将代入x2+y2-6x+1=0,整理,得t2-8tcosα+8=0,因为直线l与曲线C有公共点,所以Δ=64cos2α-32≥0,即cosα≥或cosα≤-,因为α∈.16.(10分)(2015·陕西高考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)写出☉C的直角坐标方程.(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的坐标.【解题指南】(1)利用直角坐标与极坐标的关系进行代换即得.(2)直角坐标与极坐标进行坐标代换后,利用两点间的距离公式可求解.【解析】(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|==,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时P点的坐标为(3,0).17.(10分)(2016·天水高三检测)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程.(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.【解析】(1)由曲线C的极坐标方程是:ρ=,得ρ2sin2θ=2ρcosθ.所以曲线C的直角坐标方程是:y2=2x.由直线l的参数方程(t为参数)得:x-y-4=0,所以直线l的普通方程为: x-y-4=0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x,得t2-8t+7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,所以====6,因为原点到直线x-y-4=0的距离d==2,所以△AOB的面积是·d=×6×2=12.18.(10分)(2016·西安高二检测)已知曲线C1:(θ为参数),曲线C2:(t 为参数).(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数.(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C1′,C2′,写出C1′,C2′的参数方程.C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?说明你的理由.【解析】(1)C1是圆,C2是直线,C1的普通方程为x2+y2=1,圆心C1 (0,0),半径r=1.C2的普通方程为x-y+=0,因为圆心C1到直线x-y+=0的距离为1,所以C1与C2只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C′1:(θ为参数),C′2:(t为参数),化为普通方程为C1′:x2+4y2=1,C2′:y=x+,联立消元得:2x2+2x+1=0,其判别式Δ=-4×2×1=0,所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点,和原来相同.【补偿训练】(2016·淮南高二检测)已知直线l:(t为参数)曲线C1:x2+y2=1.(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|.(2)若曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.【解析】(1)将直线与曲线的方程联立得t2+t=0,解得t1=0, t2=-1,由t的几何意义知|AB|=|t1-t2|=1.(2)C2:(θ为参数)设P,直线l:x-y-=0,点到直线的距离d==.当cos=1时,d取最小值,d min=-(解题方法不唯一).关闭Word文档返回原板块。
人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案
人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案章末综合测评(一) 坐标系(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y 后得到曲线方程为( )A ．y ′＝3sin x ′B ．y ′＝3sin 2x ′C ．y ′＝3sin 12x ′D ．y ′＝13sin 2x ′【解析】 由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3. 代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′. 【答案】 A2．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 如图所示，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝π6，所以S △AOB ＝12×3×4×12＝3.【答案】 C3．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θ D ．ρ＝1cos θ【答案】 C4．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6，知∠AOB ＝π3，∴△AOB 为等边三角形，因此|AB |＝2. 【答案】 B5．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【解析】 由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y 2－2x ＝5，化简得y 2＝5x ＋254，∴该方程表示抛物线． 【答案】 D6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x ＋2y ＝1， ∴直线x ＋2y ＝1不过第三象限． 【答案】 C7．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3 【解析】 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则⎩⎨⎧3＝r sin φcos θ，1＝r sin φsin θ，－2＝r cos φ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22，φ＝3π4，θ＝π6.【答案】 A8．在极坐标系中，直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 化圆的极坐标方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6为直角坐标方程得⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，半径长为1，化直线θ＝π6(ρ∈R )的直角坐标方程为x －3y ＝0，由于32－3×12＝0，即直线x －3y ＝0过圆⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的圆心，故直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长为2.【答案】 B9．若点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，则P 到直线Oy 的距离为( ) A ．1 B ．2C. 3【解析】 由于点P 的柱坐标为(ρ，⎭⎪⎫，π6，3，故点P 在平面xOy 内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos π6＝3，可得P 到直线Oy 的距离为 6.【答案】 D10．设正弦曲线C 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y 后得到曲线方程为y ′＝sin x ′，则正弦曲线C 的周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π【解析】 由伸缩变换知3y ＝sin 12x ， ∴y ＝13sin 12x ，∴T ＝2π12＝4π.【答案】 D11．已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是( )A ．1 B.32 C.52 D.72【解析】 曲线ρ＝2cos θ即(x －1)2＋y 2＝1，表示圆心为(1,0)，半径等于1的圆，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即x ＋3y －8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于|1＋0－8|2＝72，所以点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是72－1＝52.【答案】 C12．极坐标方程ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )【解析】 法一 圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4是把圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向旋转π4而得，圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，故选C.法二 圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，半径为1，故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．在极坐标系中，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．【解析】 圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，化成标准方程得x 2＋(y －2)2＝4，表示以点(0,2)为圆心，以2为半径长的圆，点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4的直角坐标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即点(2,2)在圆上，故过点且与圆相切的直线的方程为x ＝2，其极坐标方程为ρcos θ＝2.【答案】 ρcos θ＝214．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3.【答案】 2315．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.【答案】 2216．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1， ∴弦长为2× 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3.【答案】3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ， 直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．【解】 ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.18．(本小题满分12分)已知直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求极点到直线的距离． 【解】 ∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又极点的直角坐标为(0,0)， ∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22. 19．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程； (2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程． 【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ，则ρ＝|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2，即ρ＝－2sin(1－θ)．20．(本小题满分12分)如图1，正方体OABC D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标．图1【解】 设点C 的柱坐标为(ρ1，θ1，z 1)， 则ρ1＝|OC |＝3，θ1＝∠COA ＝π2，z 1＝0， ∴C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，0；设点B ′的柱坐标为(ρ2，θ2，z 2)，则ρ2＝|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋32＝32， θ2＝∠BOA ＝π4，z 2＝3， ∴B ′的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，3；如图，取OB 的中点E ，连接PE ，设点P 的柱坐标为(ρ3，θ3，z 3)，则ρ3＝|OE |＝12|OB |＝322，θ3＝∠AOE ＝π4，z 3＝3， 点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，π4，3.21．(本小题满分12分)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系．【解】 将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程得： C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2， 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32＞2，∴曲线C 1与C 2相离．22．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程．【解】 (1)∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4. 又∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2. (2)∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1， 即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.章末综合测评(二) 参数方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A ．(－1,2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3,2)【解析】 直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， 因此点(－3,2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 【答案】 D2．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2,23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A.π3B.23πC.43πD.53π 【解析】 ∵点Q (－2,23)在圆上， ∴⎩⎨⎧－2＝4cos θ，23＝4sin θ且0≤θ<2π，∴θ＝23π.【答案】 B3．直线⎩⎨⎧x ＝3＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)斜率为( )A ．2B ．－2 C.32D ．－32【解析】 直线的普通方程为2x ＋y －8＝0， ∴斜率k ＝－2. 【答案】 B4．已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6【解析】 当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92， ∴k OA ＝tan α＝yx ＝－3，且0≤α<π， 因此α＝2π3. 【答案】 C5．已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【解析】 设线段AB 的中点为M (x ，y )， 则⎩⎨⎧ x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)， ∴⎩⎨⎧3x ＋2y ＝12sin θ，3x －2y ＝－12cos θ. ∴(3x ＋2y )2＋(3x －2y )2＝144， 整理得x 28＋y 218＝1，表示椭圆． 【答案】 C6．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74 B.73 C.72D.75【解析】 椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝74.故选A.【答案】 A7．已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎨⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意易知圆的圆心M (1,2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d2.【答案】 B8．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D ．－π6或－5π6 【解析】 直线的普通方程为y ＝tan α·x ，圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，由于直线与圆相切，则|4tan α|tan 2x ＋1＝2.∴tan α＝±33，∴α＝π6或5π6.故选A. 【答案】 A9．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)，化简得 2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0， 解得2－2<b <2＋ 2. 【答案】 D10．实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的最大值是( ) A ．2 B ．4 C.92D ．5【解析】 由3x 2＋2y 2＝6x ，得3(x －1)2＋2y 2＝3， 令x ＝1＋cos θ，y ＝62sin θ，代入x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝(1＋cos θ)2＋32sin 2θ＝－12(cos θ－2)2＋92，∴当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max ＝4. 【答案】 B11．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12【解析】 由y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ 得x 2－1＝sin θ， ∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D. 【答案】 D12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t (t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋3【解析】将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ′y(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′、t 2′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．双曲线⎩⎨⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________．【解析】 化参数方程为普通方程，得y 2－x 2＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 【答案】 x ±y ＝014．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线极坐标方程为________．【解析】 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线是过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化为极坐标方程ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.【答案】 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1或ρcos θ＋3ρsin θ＝115．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2可化为y ＝(x －2)2，射线θ＝π4可化为y ＝x (x ≥0)，联立这两个方程得：x 2－5x ＋4＝0，点A ，B 的横坐标就是此方程的根，线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5216．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．【解析】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m .又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 右焦点(c,0)，则得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 离心率为e ＝63.【答案】 63三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标． 【解】 (1)由⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ<2π)，平方得x 2＋y 2＝4， ∴圆心O (0,0)，半径r ＝2.(2)当θ＝5π3时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－3， ∴点M 的坐标为(1，－3)．18．(本小题满分12分)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围． 【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1即x 216＋y 29＝1.(2)2x ＋y ＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ由tan θ＝83确定， ∴2x ＋y ∈[－73，73]，∴2x ＋y 的取值范围是[－73，73]．19．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得x 2＋y 2＝16，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋33t －9＝0. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝37.20．(本小题满分12分)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)， Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围． 【解】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，则有⎩⎨⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1·t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)， 所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，t 1<0，t 2<0. 而|PM |＋|PN |＝(4＋t 1cos α－4)2＋(2＋t 1sin α－2)2＋ (4＋t 2cos α－4)2＋(2＋t 2sin α－2)2＝|t 1|＋|t 2| ＝－t 1－t 2＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，所以|PM |＋|PN |的取值范围为(4,42]．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2 B 1的面积．【解】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1.当α＝π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝31010.当α＝－π4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为(2x′＋2x)(x′－x)2＝25.模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R)表示的曲线是()A．两条相交直线B．两条射线C．一条直线D．一条射线【解析】由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R，故为两条过极点直线．【答案】A2．极坐标系中，过点P(1，π)且倾斜角为π4直线方程为() A．ρ＝sin θ＋cos θB．ρ＝sin θ－cos θC．ρ＝1sin θ＋cos θD．ρ＝1sin θ－cos θ【解析】设M(ρ，θ) 为直线上任意一点，则在△OPM 中，由正弦定理得ρsin π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴ρ＝1sin θ－cos θ.【答案】 D3．已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θy ＝bt ＋λsin θ(a 、b 、λ均不为零，0≤θ≤2π)，分别取①t 为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( )A ．①、②、③均是直线B ．只有②是直线C ．①、②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆【解析】 ①t 为参数，原方程可化为：y －λsin θ＝ba (x －λcos θ)，②λ为参数，原方程可化为：y －bt ＝(x －at )·tan θ，③θ为参数，原方程可化为： (x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，即①、②是直线，③是圆． 【答案】 C4．将曲线x 23＋y 22＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的曲线的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ B.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θy ＝12sin θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θy ＝22sin θ【解析】 x 23＋y 22＝1→(3x ′)23＋(2y ′)22＝1→(3x ′)2＋(2y ′)2＝1→⎩⎨⎧3x ′＝cos θ，2y ′＝sin θ→⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θ，y ＝22sin θ，故选D.【答案】 D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1【解析】 由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0， 又ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝0或x ＝1. 【答案】 C6．柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A ．(3，－1,1)B ．(3，1,1)C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z，可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1，故应选C.【答案】 C7．直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)的公共点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解析】 圆C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心C (－1,2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75，因此d <r ，直线与圆C 相交于两点． 【答案】 C8．双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θy ＝2tan θ(θ为参数)上，当θ＝2π3时对应的点为P ，O 为原点，则OP 的斜率为( )A.34B.32C.3D ．2【解析】 ∵x ＝4sec θ＝4cos 2π3＝－8， y ＝2tan θ＝2tan 2π3＝－23， ∴k OP ＝y x ＝34. 【答案】 A9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0－2×3＋1|12＋(－2)2＝5，∴直线l 与圆C 相交所得弦长为 2r 2－d 2＝29－5＝4.【答案】 D10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【解析】 直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．故选B.【答案】 B11．已知曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2，y ＝12sin α(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( )A ．ρ＝sin θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝cos θ【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)得普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径r ＝12，所以极坐标方程为ρ＝cos θ. 【答案】 D12．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ b 24＋4 (0<b ≤4)2b (b >4) B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 (0<b <2)2b (b ≥2)C.b 24＋4D ．2b【解析】 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)， 代入x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ－b 22＋4＋b 24，当0<b ≤4时，(x 2＋2y )max ＝b 24＋4；当b >4时，(x 2＋2y )max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 22＋4＋b 24＝2b .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)； 当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)． 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5214．极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ()cos θ＋3sin θ＝8的距离的最大值是________．【解析】 曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，化为：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2,0)，半径为r ＝2，直线方程化为：x ＋3y －8＝0，圆心到直线距离为：d ＝|－2－8|2＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.【答案】 715．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)交点个数为________．【解析】 直线与曲线的普通方程分别为 x ＋y －1＝0， ① x 2＋y 2＝9, ②②表示圆心为O (0,0)，半径为3的圆， 设O 到直线的距离为d ，则d ＝|－1|2＝22，∵22<3，∴直线与圆有2个交点． 【答案】 216．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．【解析】 由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，化简得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.【答案】 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜．【解】 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3. 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)法一 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3. 法二 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，－3)或(1，3)．故圆C 1与C 2公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，(－3≤t ≤3)． 21．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 【解】 (1)曲线C ：y 2＝2ax ，直线l ：x －y －2＝0. (2)将直线的参数表达式代入抛物线得 12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0，所以t 1＋t 2＝82＋22a ，t 1t 2＝32＋8a . 因为|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|， 由题意知，|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|⇒(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2， 代入得a ＝1.22．(本小题满分12分)如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．图1(1)求证：1|F A |＋1|FB |为定值； (2)求AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 设直线AB 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α≠0)，代入y 2＝2px 整理，得t 2sin 2α－2pt cos α－p 2＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则由根与系数的关系，得 t 1＋t 2＝2p cos αsin 2α，t 1t 2＝－p 2sin 2α. (1)1|F A |＋1|FB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p cos αsin 2α2＋4p 2sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2sin 2α＝2p (定值)．(2)设AB 的中点M (x ，y )，则M 对应参数为t ＝t 1＋t 22＝p cos αsin 2α，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋p cos 2αsin 2α，y ＝p cos αsin α(α为参数)，消去α，得y 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2为所求轨迹方程．。
人教版高二数学选修4-4单元测试题二及答案
高二数学（文科）选修4-4单元测试题（二）班级______________姓名______________1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos y x （α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ．2．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s=+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．3．在直角坐标系xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数截圆22cos 30ρρθ+-=的弦长等于__________．4．化参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 22sin cos ，0(∈t ，]2π为普通方程为 ．5．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆35cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩ ()θθπ∈为参数,[0,2)所截得的 弦长为 ．6．已知直线l ：40x y -+=与圆C ：12cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则C 上各点到l 的距离的最小值为___________.7.已知直线112:2x tl y kt=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数），若1l //2l ，则k = ；若12l l ⊥，则k = ．8.直线3470x y +-=截曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）的弦长为___________．9.已知两曲线参数方程分别为()πθθθ<≤⎩⎨⎧==0sin cos 5y x 和 ⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 245（t R ∈），它们的交点坐标为 ．10.已知直线314x aty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则该直线恒过定点__________.11.两直线2)4sin(=+πθρ与1)4sin(=-πθρ的位置关系是 .12. 球坐标(2,,)63ππ对应的点的直角坐标是 ___，对应点的柱坐标是 _ __.13.自极点O 向直线l 作垂线，垂足为(2,)3H π，则直线l 的极坐标方程是 .14.极坐标方程 24sin 3θ= 化为直角坐标方程是 ；它表示的图形是 .15.在极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B 两点，则线段AB 的长度 为 ．16.在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的普通方程为 __ __，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则 圆C 的圆心极坐标为 __ _．17.参数方程⎩⎨⎧-==αα2cos 2cos 2y x (α是参数)表示的曲线的普通方程是_________________．18.参数方程sin cos sin 2x y θθθ=-⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是 ．19.若直线340x y m ++=与圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）相切，则实数m 的值是 ．20.已知曲线sin (11cos 222y x θθθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数)与直线x a =有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是_________________.21．已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数), 则点()4,4P 与圆C 上的点的最远距离是 ．22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为],0[sin ,cos πθθθ∈⎩⎨⎧==y x ，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为θθρcos sin -=b．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是 ．23．已知圆锥曲线2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ是参数)和定点A(0)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF 2的极坐标方程为__________________________．24.若直线⎩⎨⎧+=-=,32,21t y t x （t 为参数）与直线14=+ky x 垂直，则常数k =__ __.25.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ=⎧∈⎨=⎩R 经过点1(,)2m ，则m =______，离心率e =______.26. (2012深圳二模文）在极坐标系中，直线:cos l t ρθ=（常数0)t >）与曲线:2sin C ρθ=相切，则t = ．27. (2012深圳二模理）在极坐标系中，已知直线l ：(sin cos )a ρθθ-=把曲线C ：2cos ρθ= 所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是 ．28. (2012广州二模文、理）在极坐标系中，若等边三角形ABC (顶点A ，B ，C 按 顺时针方向排列)的顶点A ，B 的极坐标分别为(2，6π)，(2，76π)，则顶点C 的极 坐标为 ．参考答案1．θρsin 2=2 3．44．1=+y x （10≤≤x ）56．2 7．4；1- 8．1659．(1,510．(3,1)- 11．垂直12．1(2；(1,3π13．cos()23πρθ-=14．x y 3±=(或223x y =) ； 两条直线（或两条相交直线） 15．3216．22(2)4x y +-=； )2,2(π17．322+-=x y (2||≤x )18．21,x y x ⎡=-∈⎣19．10或0 20．01a <≤ 21．622．1b ≤<23．sin cos ρθθ=24．－625．415±，226．1 27．1-28．2)3π；或))(232,32(Z k k ∈+ππ。
高中数学选修4-4模块测试题和答案(新课标人教版)
高中数学选修4-4模块测试题和答案（新课标人教版）选修4-4模块模拟检测本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）A.①、②、③均是直线 B.只有②是直线C.①、②是直线，③是圆D.②是直线，①、③是圆 (1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移为参数的参数方程是 A. B. C. D. 3.直线的倾斜角是 A. B. C.D. 4.圆的圆心到直线的距离为 A. B. C.2 D. 5.若直线与圆相交于B,C两点，则的值为 A. B. C. D. 6.极坐标方程表示的曲线为 A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆 7.已知P得极坐标为，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 A. B. C. D. 8.极坐标方程分别是和，两个圆的圆心距离是A.2 B. C.5 D. 9.在极坐标系中，曲线关于 A.直线对称 B.直线对称 C.点中心对称 D.极点中心对称 10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线与曲线相交，则的取值范围是 A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.直线与曲线的公共点个数是。
12.当取一切实数时，双曲线的中心的轨迹方程为。
13.已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是。
14.若方程与表示同一条直线，则的关系是。
15.若是椭圆的焦点，P为椭圆上不在轴上的点，则的轨迹方程为。
三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16.（本小题满分12分）将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程。
17.（本小题满分12分）A,B两点相距12，动点M满足求点M的轨迹的极坐标方程。
18.（本小题满分12分）分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程。
2021年高中数学 综合测试卷(B)新人教版选修4-4
2021年高中数学综合测试卷（B）新人教版选修4-4一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线与坐标轴的交点是（）．A． B． C． D．2．把方程化为以参数的参数方程是（）．A． B． C． D．3．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A． B． C． D．4．点在圆的（）．A．内部B．外部C．圆上 D．与θ的值有关5．参数方程为表示的曲线是（）．A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线6．两圆与的位置关系是（）．A．内切 B．外切 C．相离 D．内含7．与参数方程为等价的普通方程为（）．A． B．C． D．8．曲线的长度是（）．A． B． C． D．9．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（）．A． B． C． D．10．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）．A． B． C． D．11．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）．A． B． C． D．12．直线被圆所截得的弦长为（）．A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．参数方程的普通方程为__________________．14．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______．15．直线与圆相切，则_______________．16．设，则圆的参数方程为____________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离．18．（本小题满分12分）过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值．19．（本小题满分12分）已知中，(为变数)，求面积的最大值．20．（本小题满分12分）已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程．（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．21．（本小题满分12分）分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数．22．（本小题满分12分）已知直线过定点与圆：相交于、两点．求：（1）若，求直线的方程；（2）若点为弦的中点，求弦的方程．参考答案1．B 当时，，而，即，得与轴的交点为；当时，，而，即，得与轴的交点为．2．D ，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制．3．D ．4．A ∵点到圆心的距离为(圆半径)∴点在圆的内部．5．D 表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线．6．B 两圆的圆心距为，两圆半径的和也是，因此两圆外切．7．D22222,11,1,0,011,0244y yx t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得．8．D 曲线是圆的一段圆弧，它所对圆心角为．所以曲线的长度为．9．D 椭圆为，设，24sin) x yθθθϕ+=+=+≤10．D ，得，，中点为．11．C 抛物线为，准线为，为到准线的距离，即为．12．C ，把直线代入，得，，弦长为．13．22()()422222tt tt ttyx ex e ey yx xy ye e x e---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩．14．,或22221 ()),,22t t+===±．15．，或直线为，圆为，作出图形，相切时，易知倾斜角为，或．16．，当时，，或；而，即，得．17．解：将，代入，得，得，而，得．18．解：设直线为，代入曲线并整理得，则，所以当时，即，的最小值为，此时．19．解：设点的坐标为，则，即为以为圆心，以为半径的圆．∵，∴，且的方程为，即，则圆心到直线的距离为．∴点到直线的最大距离为，∴的最大值是．20．解：（1）直线的参数方程为，即，（2）把直线，代入，得2221(1)(1)4,1)202t t t ++=+-=， ，则点到两点的距离之积为．21．解：（1）当时，，即；当时，，而，即；（2）当时，，，即；当时，，，即；当时，得， 即，得222222()()cos sin cos sin t t x y x y e eθθθθ-⋅=+-， 即．22．解：（1）由圆的参数方程，设直线的参数方程为①，将参数方程①代入圆的方程得，∴△，所以方程有两相异实数根、，∴12||||8AB t t =-==，化简有，解之或，从而求出直线的方程为或．（2）若为的中点，所以，由（1）知，得，故所求弦的方程为．备用题：1．已知点在圆上，则、的取值范围是（ ）．A ．B ．C ．D ．以上都不对1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C ．2．直线被圆截得的弦长为（ ）．A ．B ．C ．D ．2．B ，把直线代入得，1212||5t t -===，弦长为． 3．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么_______________．3． 显然线段垂直于抛物线的对称轴，即轴，．4．参数方程表示什么曲线？4．解：显然，则， 2222112tan cos sin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=+=⨯++， 即，，得，即．5．已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围．5．解：（1）设圆的参数方程为，22cos sin 1)1x y θθθϕ+=++=++， ∴．（2），∴(cos sin )1)14a πθθθ≥-+-=+-恒成立，即．39163 98FB 飻-0[24151 5E57 幗,37015 9097 邗[ 26214 6666 晦q]~38716 973C 霼33443 82A3 芣。
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高二数学选修4-4综合测试卷第 I 卷一、选择题：本大题共10题，每小题3分，共30分。
在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在．．．．．．．．．．．第．II ．．卷的选择题答案表中．．．．．．．．．。
1.曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（ ）。
A.4)2(22=++y x B. 4)2(22=-+y x C. 4)2(22=+-y x D. 4)2(22=++y x 2.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）。
A.1=ρ B. θρcos = C. θρcos 1-= D. θρcos 1= 3.直线12+=x y 的参数方程是（ ）。
A.⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数）B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数）D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 4.方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x （t 为参数）表示的曲线是（ ）。
A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分5.参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）。
A.042=+-y xB. 042=-+y xC. 042=+-y x ]3,2[∈xD. 042=-+y x]3,2[∈x6.设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A.(23，π43) B. (23-，π45) C. (3，π45) D. (-3，π43) 7.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）。
A.34k <-B. 43-≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k8. 已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是A 、（3，4）B 、1212(,)55--C 、(-3，-4)D 、1212(,)559.若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）。
A. 相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离10.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。
A B C D二、填空题：本大题共有4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在第．．．．．．II ．．卷指定的横线上。
．．．．．．．． 11.在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是 。
12.在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则|AB|= 。
13.设直线参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 23322（t 为参数），则它的斜截式方程为 。
14. 22213x tt x y y t=+⎧⎪-=⎨=⎪⎩直线（为参数）被双曲线上截得的弦长为________ 三、解答题：本大题有6题,，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
把答案．．．填在第．．．II ．．卷指定的横线上。
．．．．．．．．(8分+8分+8分+10分+10分+10分) 15. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（8分）xyxyxyxy⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=ty t x 431（t 为参数）16.求以椭圆22416x y +=内一点A(1，－1)为中点的弦所在直线的方程。
（8分）17. 已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ，求y x S -=3的最值。
（8分）18. 如图，点A 在直线x=5上移动，等腰△OPA 的顶角∠OPA 为120°（O ，P ，A 按顺时针方向排列），求点P 的轨迹方程。
yP AO x19. 如图，过抛物线px y 22=（p ＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB 。
⑴设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A 、B 的坐标； ⑵求弦AB 中点M 的轨迹方程。
（10分）20. 在气象台A 正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响。
问：从现在起，大约多长时间后，气象台A 所在地将遭受台风影响？持续多长时间？（10分） （注：65.27=，41.12=）0 xyAMB[参考答案]一．选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCCBDAADBD二．填空题（每小题4分，共16分）11．⎩⎨⎧='='yy xx 4； 12．32； 13．3233-+=x y ； 14．10三．解答题（8分+8分+8分+10分+10分+10分,共54分）15．（8分）解：⑴．∵⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x两边平方相加，得ϕϕ2222sin cos 1625+=+y x 即 1162522=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆。
⑵．∵⎩⎨⎧=-=ty tx 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431y x ⋅-=∴0434=-+y x∴它表示过（0，43）和(1, 0)的一条直线。
16．（8分）解：设以A(1，－1)为中点的弦所在的直线方程为{()1cos 1sin x t y t θθθ=+=-+为参数，把它代入22416x y +=得22(1cos )4(1sin )16t t θθ++-+=即222(cos4sin )2(cos 4sin )110t t θθθθ++--=∵弦以A(1，－1)为中点，∴交点所对应的参数1t 和2t 有：1t ＋2t ＝0∴22cos 4sin 0cos 4sin θθθθ--=+ ∴cos 4sin θθ-＝0，∴1tan 4θ= ∴所求的直线方程为11(1)4y x +=-即x －4y －5＝017．（8分）解：由4)2()1(22=++-y x 可知曲线表示以（1，-2）为圆心，半径等于2的圆。
令θcos 21+=x θsin 22+-=y ，则)sin(1025sin 2cos 65)sin 22()cos 21(33ϕθθθθθ++=-+=+--+=-=y x S（其中326tan -=-=ϕ）∵-1≤1)sin(=+ϕθ≤1 ∴当1)sin(=+ϕθ时，S 有最大值，为1025max +=S 当1)sin(-=+ϕθ时，S 有最小值，为1025min -=S∴S 最大值为1025max +=S ；S 最小值为1025min -=S 。
18．（10分）解：取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=5的极坐标方程为ρcos θ=5 设A （ρ0，θ0），P （ρ，θ） 点在直线上A ρθcos =5 ∴=<>ρθ0051cos∆OPA OPA OP OA POA 为等腰三角形，且，而，以及∠=︒==∠=︒120300ρρ ∴==-︒<>ρρθθ003302，且把<2>代入<1>，得点P 的轨迹的极坐标方程为： ()3305ρθcos -︒=19．（10分）解：⑴．∵依题意可知直线OA 的斜率存在且不为0 ∴设直线OA 的方程为kx y =（0k ≠）∴联立方程⎩⎨⎧==pxy kx y 22 解得 22k p x A = k py A 2= 以k 1-代上式中的k ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy x k y 212解得 22pk x B= pk y B 2-=∴A （22kp ，k p 2），B （22pk ，pk 2-）。
⑵．设AB 中点M （x ，y ），则由中点坐标公式，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)1()1(22k k p y k k p xxyA MB消去参数k ，得222p px y -= ；即为M 点轨迹的普通方程。
20．（10分）解：如图，以气象台为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B 1的坐标为（-300，0）。
根据题意，可知，t 小时后，B 的坐标为（︒+-45cos 40300t ，︒45sin 40t ），即（t 220300+-，t 220），因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B 在圆上或圆内时，气象台将受台风影响。
所以令250||≤AB ，即222250)220()220300(≤++-t t整理得027********≤+-t t 解得475215475215+≤≤-t ，61.899.1≤≤t故大约2小时后，气象台A 所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时。
B 2B 1y x0 A。