数电第三章

A ( A = B)
A B
A C B C
A 鬃A B = A 鬃B A AB = A
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常用公式证明
(1) A + A ⋅ B = A 证明：A + A B
A 1 A =B A (1 B) A1 A
两乘积项相加时，若其中一项为另一项因子，则该项多余
(2) A + A ⋅ B = A + B 证明：A + A B + ( A A) = ( A B ) = 1 + ( A B) ( A B )
证明： A ⋅ A ⋅ B = A ⋅ ( A + B) = A ⋅ A + A ⋅ B = A + A ⋅ B = A
如果乘对加的分配率成立 A (B = C) A B A C


则对偶式－－加对乘的分配率也成立 A + B C + ( A B) ( A C )
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2.2.3 若干常用公式
A + A⋅ B = A
A+ A B + A B
A B
A B
A
A
A B A C A ⋅ B + A ⋅ C + BCD = A ⋅ B + A ⋅ C
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1

例：已知真值表如下，写出与或逻辑表达式。
F = ABC + ABC + ABC
= A ⋅ ( BC + BC + BC ) = A ⋅ ( BC + B )
20





7
与非
逻辑表达式
A 0
F = A⋅ B
B 0 1 0 1 F 1 1 1 0
真值表
0 1 1
图形符号
8
&
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或非
逻辑表达式
A 0
F = A+ B
B 0 1 0 1 F 1 0 0 0
真值表
0 1 1
图形符号
9
≥1
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条件具备时，结果不会发生；条件不具备时，结果一定发 生；这种因果关系叫做 逻辑非。
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逻辑运算的真值表和逻辑运算符
A
A E
B F
E
B F
A E
F

A ， B 表示开关的状态： 1 －闭合， 0 －断开； F 表示灯的状态： 1 －亮， 0 －灭。
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 0 0 0 1 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 0 1 1 1 A 0 1 F 1 0
注意： 1 、运算优先级：“（）” > “ · ” > “ ＋” 2 、 A·B 常简略为 AB
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2.2.2 三个重要规则

代入规则

反演规则

对偶规则
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代入规则

任一包含变量 A 的逻辑等式中，如果用另外一个逻辑式代 入所有 A 的位置，等式仍成立。 例：三变量狄摩根定律的证明
F = A ⋅ (B + C)
A B C
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≥1
&Baidu Nhomakorabea
F
A B C
F
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各种表示方法之间的互相转换

真值表 → 逻辑式

逻辑式 → 真值表

逻辑式 → 逻辑图

逻辑图 → 逻辑式
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1 、真值表

→ 逻辑式
真值表→与或式的方法与步骤： 1 、真值表中函数值找“ 1” ； 2 、输入变量， 1 －原变量； 0 －反变量，组成与项； 3 、将与项相加，化简，得到与或式。

F = A ⋅ (B + C)
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3 、逻辑式

→ 逻辑图
方法：用图形符号代替逻辑式中的运算符号。 例：已知逻辑表达式 F = A + BC + ABC + C ，画出逻辑图。

A B C
A
ABC
B
F
A+ B⋅ C
C
B⋅ C
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= A ⋅ (B + C)
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1 、真值表

→ 逻辑式
真值表→或与式的方法与步骤： 1 、真值表中函数值找“ 0” ； 2 、输入变量， 0 －原变量； 1 －反变量，组成或项； 3 、将或项相与，化简，得到或与式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1
数字电子技术基础
第二章 逻辑代数基础
2.1 逻辑代数三种基本运算
布尔代数（逻辑代数） 布尔代数：描述客观事物逻辑关系的数学方法。


二值逻辑中，每个逻辑变量的取值只有“ 0”“1” 两种可 能；此时 0 ， 1 不表示大小，只代表两种不同的逻辑状态 。
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逻辑代数三种基本运算
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F = A⋅ B
F = A+ B
F= A
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逻辑运算的图形符号
&
≥1
1
F = A⋅ B
与
6
F = A+ B
或
F= A
非
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2.3 复合逻辑

与非 或非 与或非 或与非 异或 同或
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真值表
0 1 1
“ 相异为 1”
图形符号
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=1
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同或
逻辑表达式
F = Ae B = A
A B 0 1 0 1
B + AB
F 1 0 0 1
AB
真值表
0 0 1 1
“ 相同为 1”
图形符号
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=
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补充：逻辑函数

什么是逻辑函数
B A


C E F
F = A ⋅ ( B + C )－－A, B, C到F的映射
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逻辑函数的表示方法

逻辑真值表

逻辑函数式

逻辑图

卡诺图（后面讨论）
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逻辑真值表
A
B A
B 0 0 1 1 0 0 1 1
2 、逻辑式 → 真值表

方法：将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求 出函数值，即得真值表。 例：已知逻辑表达式 F=A·(B ＋ C) ，写出真值表。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 0 0 0 1 1 1
1 、优先次序：“（）” > “ · ” > “ ＋” ； 2 、不属于单个变量上的反号应保留。
例：已知求 F F
F = AB + C + D + C
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则F = ( A + B ) ⋅ C ⋅ D ⋅ C
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对偶规则

若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 对偶式的定义：任一逻辑式 F ，如果将所有的“ ·” 换成“ ＋”、 “＋”换成“ ·” 、 0 换成 1 、 1 换成 0 ，而变量保 F′ 持不变，得出的就是 F 的对偶式 。 例：逻辑代数基本定律中的分配率
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0
C F E
0 0 1
F = A ⋅ (B + C)
1 1 1
将输入变量所有组合的状态及对应的逻辑结果一一列出， 即为真值表。
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逻辑图

将逻辑函数中的各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图 形符号表示出来。
A B A C
证明：A B A =C BCD A + B A C BCD( A A) = A ⋅ B + A ⋅ C + ABCD + ABCD = A ⋅ B (1 + CD ) + A ⋅ C (1 + BD)
= A⋅ B + A⋅ C
若两乘积项中包含和两个因子， A A 则这两个乘积项其余因子组成的第三个乘积项是多余的，可以消去
与或非
逻辑表达式
F = A⋅ B + C ⋅ D
& ≥1
图形符号
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或与非
逻辑表达式
F = ( A + B) ⋅ (C + D)
≥1 &
图形符号
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异或
逻辑表达式
A 0
F = A ⊕ B = AB + AB
B 0 1 0 1 F 0 1 1 0

狄摩根定律： A + D = A ⋅ D和 A ⋅ D = A + D
A + (B + C) = A (B = C) 鬃 A B C A鬃 (B C) = A + (B C) + A + B C
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反演规则

任一逻辑式 F ，如果将所有的“ ·” 换成“＋”、 “＋” 换成“ ·” 、 0 换成 1 、 1 换成 0 、原变量换成反变量、反 变量变成原变量，则结果就是 。 F

逻辑函数的表示方法

逻辑函数各种表示方法之间的转化
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逻辑函数

输入的逻辑变量和输出的运算结果之间的映射关系，形成 一种逻辑关系，即逻辑函数。 写作 F =f (A,B,C…) 数字电路中讨论的一般是二值逻辑函数。
例子：裁判电路－举重比赛规则规定一名主裁判和两名副裁判中，必须有两人 以上（必须包括主裁判）认定通过，试举才算成功。

逻辑代数的基本运算有三种：与、或、非。 例：请注意以下三种电路：
A

A E
B
B
F
E
F
A E
F
与
3
或
非
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逻辑代数三种基本运算

只有决定结果的全部条件同时具备时，结果才发生，这种 因果关系叫做 逻辑与。

在决定结果的各个条件中只要任何一个满足，结果就会发 生，这种因果关系叫做 逻辑或。
常用公式证明
(4) A ⋅ ( A + B ) = A
证明：A ⋅ ( A + B) = A ⋅ A + A ⋅ B = A + A ⋅ B = A ⋅ (1 + B) = A
变量和包含的或项相与时，其结果等于，即将或项消去。 A A A
(5) A B A C B 鬃 C
A + B A =C 和 A B A C BCD
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常用公式证明
(6) A ⋅ A ⋅ B = A ⋅ B和 A ⋅ A ⋅ B = A
证明：A ⋅ A ⋅ B = A ⋅ ( A + B ) = A ⋅ A + A ⋅ B = 0 + A ⋅ B = A ⋅ B
变量和乘积项的非相乘，若为乘积项的因子，则因子可以消去 A A A
两乘积项相加时，若一项取反后是另一项的因子，则该因子多余
(3) A ⋅ B + A ⋅ B = A 证明：A ⋅ B + A ⋅ B = A( B + B ) = A ⋅ 1 = A
两乘积项相加时，若分别包含和两因子而其他因子相同， B B 则两项可消去和后合并。 B B
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4 、逻辑图

→ 逻辑式
方法：将输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻 辑式。 例：已知逻辑图，写出逻辑表达式。
F = ( A + B) + ( A + B) = ( A + B) ⋅ ( A + B)
F

A B
= ( A + B) ⋅ A + ( A + B) ⋅ B = A A + AB + A B + B B = AB + A B = A⊕ B
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2.2 逻辑代数的基本定律和规则

基本定律

三大规则

常用公式
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2.2.1 逻辑代数基本定律
名称 求反规则
常、变量运算规则
公式
对偶式
重叠律 互补律 交换率 结合律 分配率 狄摩根定律 还原律
1= 0 0= 1 1+ A = 1 0 + A = A 0 A 0 1 A A A⋅ A = A A+ A = A A+ A = 1 A⋅ A = 0 A+ B = B + A A⋅ B = B ⋅ A A + ( B + C ) = ( A + B) + C A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B) ⋅ C A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C A + B ⋅ C = ( A + B) ⋅ ( A + C ) A + B = A⋅ B A⋅ B = A + B A= A
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1

例：已知真值表如下，写出或与逻辑表达式。
F = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )
= A (B C)
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