常微分方程课件2.1
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常微分方程基本概念PPT讲稿
的解.
y + 2y + y = 0
解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， 得
y = - 4e – x + xe - x, y = 5e – x - xe - x,
将 y，y 及 y 代入原方程的左边，有 (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程，所以该函数是 所给二阶微分方程的解.
语言. 2020/8/21
2
一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 称为微分方程，有 时 简 称 为 方 程 ， 未 知 函 数 是 一 元 函数的微分方程称做常微分方程，未 知 函 数 是 多 元 函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微 分方程，并简称为微分方程.
2020/8/21
4
二、微分方程的解
定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的 函数，都叫做该方程的解. 若微分方程的解中含有 任意常数的个数与方程的阶数相同，且 任 意 常 数 之 间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解). 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称 为方程的特解.
2020/8/21
7
例 2 验证方程 y 2 y 的通解为 y = Cx2 (C 为
x
任意常数)，并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解.
解 由 y = Cx2 得 y = 2Cx,
将 y 及 y 代入原方程的左、右两边，左边有 y= 2Cx，
而右边 2 y 2Cx, 所以函数 y = Cx2 满足原方程.
第五讲常微分方程PPT课件
5. 求lim x0
1 cos x
.
1
6.
求
lim
xe
x e
xe
.
7.
设
y
x2
sin
1 x
,
x 0,
存在. 0,
x 0,
求y 0
8. 计算积分
x3 dx.
1 x2
并讨l论im y x x0
是否
第37页/共47页
综合练习
9. 计算下列积分.
1
arctan x
x dx;
2
ln x 1 x2 dx.
任给有理数a,
函数
f(x)满足 f
x
x
0
f
a t dt 1,
求
f(x).
练 (2008年高数二)
求微分方程
d2y dx 2
dy dx
0
的通解.
第26页/共47页
3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 二阶常系数非齐次线性微分方程：
ay by cy f x
的通解为
y Y x y* x
y 4 y 0 的通解.
例: 求齐次方程
4
d2x dt 2
20
dx dt
25 x
0
的通解.
例: 求初值问题
y 4 y 29 y 0
y
x0
0
,
y
x0
15
的解.
第25页/共47页
练 (2006年高数二)
微分方程
y 4 y 5 y 0 的通解为___________
练 (2007年高数一)
第16页/共47页
二阶齐次线性方程解的结构
常微分方程 第二章.
两边同时关于 x 求不定积分：
dy( x ) ( y( x )) ( x )dx
写出通解：(结果含有一个任意常数)
( x) ( x) C
® 需要注意 ( y ) 的零点 y y0有可能
是方程的解，不可遗漏，见以下分析。
例1 解方程 y (sinx )(siny ) .
0
(e x y)dx ( x 2 sin y)dy 0
是恰当方程,并求它的通解.
解: 这里M ( x, y) e y, N ( x, y) x 2sin y. N ( x, y ) M ( x, y) , 所以 1 x y 故所给方程是恰当方程.
x
由于所求函数 u( x, y)满足 u u x e y, x 2 sin y, x y
du( x, y) M ( x, y)dx N ( x, y)dy,
从而(1)为恰当方程。
这时, 取( x0 , y0 ) R, 则
u( x, y)
( x, y )
( x0 , y0 )
M ( x, y)dx N ( x, y)dy
y y0
M ( x, y0 )dx N ( x, y)dy,
二、恰当方程的求解
1 不定积分法
10 判断M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0是否为恰当方程 , 若是进入下一步 .
20 求u ( x, y ) M ( x, y )dx ( y )，
u 3 由 N ( x, y )求 ( y ). y 例1 验证方程
N N M [ M ( x, y )dx] 0. x y x x y
于是, (7)右端的确只含有 y, 积分之得
常微分方程(王高雄)第三版 2.1教学教材
（I）齐次方程
ddyxg(yx)
(II) 形如 ddyxfaa21xxbb12yycc12的方,程 其中 a1,b1,c1,a2,b2,c2为任意.常数
(I) 形如
dyg(y) dx x
(2.5)
方程称为齐次方程, 这里g(u)是u的连续函. 数
求解方法: 10 作变量代换(引入新变量)u y ,方程化为
x
du g(u)u, (这里d由 yx于 duu)
dx x
dx dx
20 解以上的变量分离方程
30 变量还原.
例4 求解方程 xdy 2xyy dx
(x0)
解: 方程变形为 dy2 yy dx x x
(x0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
x du u 2 uu 即 x du 2 u
dx
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10解方 程 aa21xx 组 bb1 2yy cc1200,
得解yx
,
20 作变换 YXyx,方程化为
dY a1Xb1Y dX a2Xb2Y
g
(
Y X
)
30再经变 u换 Y,将以上方程化离 为方 变程 量分
X
40 求解
50 变量还原
dx
10 分离变量, 当 (y)0时 ,将 (2.1)写成
dy f (x)dx,
(y)
这样变量就“分离”开了.
20 两边积分得
dy
(y)f(x)d xc (2.2)
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
由 (2.2)所确定 y的 (x,c)就 函 (2 为 .数 1)的.解
例：
分离变量:
常微分方程 PPT课件
分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将
在第4章详细讨论.
最后，我们要指出，本书中按习惯用
代替
而 分别代表
本节要点： 1．常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程. 2．常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分. 3．初值问题及初值问题解的求法. 4．解的几何意义，积分曲线.
所以它们都是一阶齐次方程．因此，一阶齐次微分方程可以 写为
(1.27)
1.3.1 齐次方程的解法 方程(1.27)的特点是它的右端是一个以为
变元的函数，经过如下的变量变换，它能化 为变量可分离方程.
令 则有 代入方程(1.27)得
（1.28）
方程(1.28)是一个 变量可分离方程，当 时，分离 变量并积分，得到它的通积分 （1.29）
常微分方程课件
第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 线性微分方程 第四章 线性微分方程组 第五章 定性与稳定性概念 第六章 一阶偏微方程初步
第1讲 微分方程与解 微分方程
什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹 (Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
常微分方程2.1 线性方程
仍为非齐次方程的解。 4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。 5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程
的通解之和是非齐次方程的通解。
11
y e p( x)dx[ g( x)e p( x)dxdx C]
求方程 y 1 y sin x 的通解. p( x) ? g( x) ?
x
x
解
y
e
1 dx x
[
sin x x
e
1 dx
x dx
C
]
cos x
x
C x
考虑：dy dx , yx
对应齐通解：y C , x
设非齐通解：y u( x) , x
u( x) sin x ,
x
x
u( x) cos x C.
12
解初值问题:
( x2 1) y 2xy cos x 0
1
本章的主要内容
2.1 线性方程 2.2 变量可分离方程 2.3 全微分方程 2.4 变量替换法
2.5 一阶隐式方程 2.6 近似解法 2.7 一阶微分方程1 线性方程
一阶线性微分方程 y ' p(x) y g(x)
一、 线性齐次方程
若 y ' p(x) y g(x) 中 g(x) 0 时，
先解：dx dy , x y ln y
ln x ln ln y lnC,
设 : x u( y) , u( y) 1 , u( y) 1 ln2 y C,
ln y ln y y
2
x 1 ln y C .
2
ln y
此外, y = 1 也是原方程的解.
16
解微分方程 dy sin y x cos y x 0 dx
的通解之和是非齐次方程的通解。
11
y e p( x)dx[ g( x)e p( x)dxdx C]
求方程 y 1 y sin x 的通解. p( x) ? g( x) ?
x
x
解
y
e
1 dx x
[
sin x x
e
1 dx
x dx
C
]
cos x
x
C x
考虑：dy dx , yx
对应齐通解：y C , x
设非齐通解：y u( x) , x
u( x) sin x ,
x
x
u( x) cos x C.
12
解初值问题:
( x2 1) y 2xy cos x 0
1
本章的主要内容
2.1 线性方程 2.2 变量可分离方程 2.3 全微分方程 2.4 变量替换法
2.5 一阶隐式方程 2.6 近似解法 2.7 一阶微分方程1 线性方程
一阶线性微分方程 y ' p(x) y g(x)
一、 线性齐次方程
若 y ' p(x) y g(x) 中 g(x) 0 时，
先解：dx dy , x y ln y
ln x ln ln y lnC,
设 : x u( y) , u( y) 1 , u( y) 1 ln2 y C,
ln y ln y y
2
x 1 ln y C .
2
ln y
此外, y = 1 也是原方程的解.
16
解微分方程 dy sin y x cos y x 0 dx
《常微分方程指导与实验》第2章：一阶微分方程的解的存在定理
第二章 一阶微分方程的解的存在定理§2.1 一阶微分方程解的基本理论主要内容一 导数已解出方程初值问题解的存在唯一性定理 考虑导数已解出的一阶DE 的初值问题()()00,y f x y y x y '=⎧⎪⎨=⎪⎩(2.1)(2.2)这里()y x f ,是在闭矩形域R ： a x x ≤-0，b y y ≤-0上的连续函数。
定义2.1 如果存在常数0>L ，使得对于所有的点()1,y x ，()2,y x R ∈，都有不等式()()2121,,y y L y x f y x f -≤-成立，则称函数()y x f ,在R 上关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件。
1定理2.1 （毕卡存在唯一性定理） 如果()y x f ,在R 上满足条件： 1）连续；2）关于y 满足李普希兹条件，则初值（2.1）和（2.2）在区间h x x ≤-0上存在唯一解()x y y =，其中()M b a h ,m in=，()y x f M R y x ,max ),(∈=。
注1 取数h 的意义。
注意到()y x f M R y x ,max ),(∈=，从而积分曲线()x y y =在任一点()()R x y x ∈,处的切线斜率()M x y ≤'。
于是从点()o y x p ,0引两条斜率分别为M 和M -的直线1l 和2l ，便知过点P 的积分曲线必限制在图2.1和图2.2的阴影区域内。
而直线1l 和2l 相交情形有如下两种可能。
（i ）若相交成如图 2.1所示的情况，则a Mb>，积分曲线()x y y =在a x x ≤-0上不越出R ,从而应取a h =。
（ii ）若相交成如图 2.2所示的情况，则a Mb >，积分曲线()x y y =在Mb x x ≤-0上不越出R ,从而应取Mb h =。
总之，取()M ba h ,min =，就是为了使初值问题（2.1）和（2.2）的解在h x x ≤-0上总存在。
常微分方程全册ppt课件
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程 注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称 为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为 微分方程的阶数.
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样 的微分方程称为常微分方程
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系 统 从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未 知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合， 不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质
如:
dy (1) 2x dx
是一阶微分方程
(2) xdy ydx 0
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程
是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
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教学课件
常微分方程
常微分方程ppt
1.微分方程的基本概念 2.一阶常微分方程 3.二阶线性微分方程
学科背景
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程
dv m mg kv
dt
初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
分离变量
cot u du dx x
两端积分
ln| sinu | ln| x | C1
sinu eC1x Cຫໍສະໝຸດ (C 0)由此又得到 y x arcsinC( x) (C 0)
注意: y 0 也是原方程的一个解, 所以可以有C 0
通解
y x arcsinC( x) (C R)
[例2] dy x y dx x y
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学科背景
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程
dv m mg kv
dt
初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
分离变量
cot u du dx x
两端积分
ln| sinu | ln| x | C1
sinu eC1x Cຫໍສະໝຸດ (C 0)由此又得到 y x arcsinC( x) (C 0)
注意: y 0 也是原方程的一个解, 所以可以有C 0
通解
y x arcsinC( x) (C R)
[例2] dy x y dx x y
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常微分方程课件
n 阶隐式方程的一般形式为 n 阶显式方程的一般形式为
（1.11）
(1.12)
在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数 y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为 非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性 微分方程具有如下形式：
而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹. 产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个 自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初 始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何 一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的 高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹. 为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个 初始值条件，即 初始位置 x(0)= H 初始速度 代入到通解中，推得 于是，得到满足上述初值条件的特解为 (1.14)
上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分
本节要点：
1．变量可分离方程的特征． 2．分离变量法的原理：微分方程（1.18） 与分离变量后的积分方程（1.26）当 时 是同解方程． 3．变量可分离方程一定存在常数解 y=y_0, 并且满足 ．
第3讲 齐次微分方程 1．什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们 形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后， 就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离 的方程. 如果一阶显式方程 （1.9） 的右端函数可以改写为的函数，那么称方程(1.9)为一阶齐次 微分方程.
回通解，即得所求初值问题的 例2 求方程 的满足初值条件 解 方程通解为 求导数后得
常微分方程2.1变量分离方程与变量变换
变量分离方程的解法
总结词
解变量分离方程的关键是找到一种方式将方程中的未知函数和其导数分离，然后分别求 解。
详细描述
解变量分离方程的一般步骤是先将方程变形为 f′(x)=u(x)v(y)f'(x) = frac{u(x)}{v(y)}f′(x)=v(y)u(x) 的形式，其中 u(x)u(x)u(x) 和 v(y)v(y)v(y) 是两个可导的 函数。然后分别求解 u(x)=0u(x) = 0u(x)=0 和 v(y)=0v(y) = 0v(y)=0，得到原方程的
在某些物理问题中，通过变量变换可以将实际问题转化为数学模型，从而 更好地理解和求解问题。
03
CATALOGUE
实例分析
实例一：变量分离方程的解法
总结词
变量分离法是一种求解常微分方程的有效方法，通过将方程中的变量分离，将问题转化为可求解的形式。
详细描述
变量分离法适用于具有特定形式的常微分方程，如形如dy/dx = f(x)g(y)的方程。通过对方程进行适当的变形， 使得变量x和y能够分开，从而将问题简化为可求解的形式。
02 注意变换后的新变量的取值范围和定义域，确保 变换的合法性和有效性。
03 在进行变量变换时，要保持方程的等价性，即变 换前后的方程应具有相同的解集。
ห้องสมุดไป่ตู้
变量变换的应用
在求解某些复杂或难以直接求解的常微分方程时，通过变量变换将其转化 为更简单的形式，从而更容易找到解。
通过变量变换可以将一些非线性微分方程转化为线性微分方程，或者将高 阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
实例二：变量变换的技巧
总结词
通过引入新的变量或函数，将原方程转 化为更易于求解的形式，是求解常微分 方程的一种常用技巧。
常微分方程Ch2.1
n (x) y0
x x0
f ( , n1 ( ))d
x0 x x0 h
命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 n (x) 在
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
n (x) y0 b (3.1.10)
证 明: （另半区间的证明类似）
命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求
初值问题的解
命题 5 证明唯一性
常微分方程
§ 2.1 解的存在唯一性
9/40
定理1的证明
命题1
y
(x)
是初值问题
dy
dx
f (x, y)........(.3.1.1)
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x
(
x0
x0 )n d
MLn (x (n 1)!
x0 ) n1
于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计:
k (x) k1 (x)
MLk 1 k!
(x
x0 )k
x0 x x0 h
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x
2 (x) y0 x0 f ( ,1( ))d
x
n (x) y0 x0 f (,n1( ))d
常微分方程
k 1 (x) 在 x0 x x0 h 上有定义、连续且
常微分方程167;2.1变量分离方程和变量变换
x
du g(u) u ,
dx
x
(这里由于dy x du u) dx dx
20 解以上的变量分离方程
2020/5/25
30 变量还原. 常微分方程
例4 求解方程 x dy 2 xy y dx
(x 0)
解: 方程变形为 dy 2 y y dx x x
(x 0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
2020/5/25
常微分方程
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
y(0) 1
解: 先求方程dy y2 cosx的通解，
dx
当y 0时, 将变量分离 ,得
dy cos xdx y2
两边积分得: 1 sin x c,
y
令u a2x b2 y,则方程化为
f (a2x b2 y)
du dx
a2 b2
dy dx
a2 b2 f (u)
这就是变量分离方程
2020/5/25
常微分方程
3
a1 b1
a2 b2
0且c1与c2不同时为零的情形
则aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 , 0
代表xy平面两条相交的直线 ,解以上方程组得交点 (, ) (0,0).
(II) 形如
dy a1x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
这里a1,b1, c1, a2 ,b2 , c2为常数.
的方程可经过变量变换化为变量分离方程.
分三种情况讨论
1
c1
c2 0的情形 dy a1x b1 y dx a2 x b2 y
du g(u) u ,
dx
x
(这里由于dy x du u) dx dx
20 解以上的变量分离方程
2020/5/25
30 变量还原. 常微分方程
例4 求解方程 x dy 2 xy y dx
(x 0)
解: 方程变形为 dy 2 y y dx x x
(x 0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
2020/5/25
常微分方程
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
y(0) 1
解: 先求方程dy y2 cosx的通解，
dx
当y 0时, 将变量分离 ,得
dy cos xdx y2
两边积分得: 1 sin x c,
y
令u a2x b2 y,则方程化为
f (a2x b2 y)
du dx
a2 b2
dy dx
a2 b2 f (u)
这就是变量分离方程
2020/5/25
常微分方程
3
a1 b1
a2 b2
0且c1与c2不同时为零的情形
则aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 , 0
代表xy平面两条相交的直线 ,解以上方程组得交点 (, ) (0,0).
(II) 形如
dy a1x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
这里a1,b1, c1, a2 ,b2 , c2为常数.
的方程可经过变量变换化为变量分离方程.
分三种情况讨论
1
c1
c2 0的情形 dy a1x b1 y dx a2 x b2 y
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此外还有解
x 0 或 x 0 之一中有意义
.
, 应补上 .
y 0 , 这个解未包含在通解中
例3 求微分方程
dy
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
第二章
p(x) y
dx
的通解 , 其中 p ( x ) 是 x 的连续函数
解: 将变量分离后得
.
dy y
p ( x ) dx
两边积分得: ln y 由对数的定义有
f ( a 2 x b2 y )
令 u a 2 x b 2 y , 则方程化为
du dx a 2 b2 dy dx
a 2 b2 f (u )
这就是变量分离方程
3
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
a1 b1
a2 b2
第二章
0 且 c1与 c 2 不同时为零的情形
1 u
1 u
将变量分离后得
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
(1 u ) du 1 u
2
第二章
dX X
两边积分得:
arctan u
1 2
ln( 1 u ) ln X c
2
变量还原并整理后得原方程的通解为
arctan y2 x 1 ln ( x 1) ( y 2 ) c .
,得
dy y
2
cos xdx
两边积分得:
1 y
sin x c ,
因而通解为:
y
1 sin x c
,
其中 c 为任意常数
.
此外 y 0 也是方程的解
, 且不能在通解中取适当
的 c 得到 .
再求初值问题的通解, 以 y ( 0 ) 1代入通解 , 得 c 1 1 1 . 所以所求的特解为: y sin x 1 1 sin x
du 2 u
du dx
2 u
将变量分离后得
dx x
两边积分得:
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
du 第二章
u ln( x ) c
2
dx x
2 u
即
u (ln( x ) c ) ,
ln( x ) c 0 , c 为任意常数
代入原来变量,得原方程的通解为
y , 再将常数记为
c, 得
第二章
y
y 10
10 1 ce
x
,
c 0.
y 0 和 y 10 ,
) 0 , 求出方程的所有解为
故方程的所有解为:
y
10 1 ce
x
, c 为任常数 , 和 y 0 .
y 10 y x c1
ln
例2 求微分方程 x
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.
2
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
a1 b1
设
a2 b2
a1 a2
第二章
0的情形
b1 b2 k , 则方程可改写成
dy dx
a 1 x b1 y c1 a 2 x b2 y c 2
k ( a 2 x b 2 y ) c1 a 2 x b2 y c 2
2
du
2 dx x
2
ln u ln x c
1 xy ln x y c.
变量还原得通解为
三、应用举例
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
第二章
例8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例， 且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的 半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求 雪球的体积随时间变化的关系。
此外,诸如
dy dx
f ( ax by c ) u ax by c
yf ( xy ) dx xg ( xy ) dy 0 u xy
x
2
dy
f ( xy )
dx dy y y xf ( 2 ) u 2 dx x x
u xy
以及
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
dy dx
3
y
2
第二章
的通解.
3 2
解:
分离变量后得
y
dy
1 x
dx
两边积分得: 2 y 整理后得通解为:
c1
1 2
ln x c1
2
y
4 (ln x c 1 )
3 2 1
4 (ln cx )
2
,
其中 c e ,由于函数 y
x 在 x 0 无意义 ,
故此解只在
,
这里 a 1 , b1 , c1 , a 2 , b 2 , c 2 为常数 .
的方程可经过变量变换化为变量分离方程. 分三种情况讨论
1 c1 c 2 0的情形
dy dx a 1 x b1 y a 2 x b2 y
a 1 b1 a 2 b2 y x g( y) y x x
这里 f ( x ), ( y ) 分别是 x , y 的连续函数 .
一、变量分离方程的求解
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
dy dx
第二章 f ( x) ( y )
(2.1)
1
0
分离变量, 当 ( y ) 0时 , 将 ( 2 . 1)写成 dy f ( x ) dx , 这样变量就“分离”开了. ( y)
解:
设在时刻 t 雪球的体积为 v ( t ), 表面积为 s ( t ), 则
x
2
y
2
1
2
分离变量: 两边积分:
dy y
2
1
x dx
dy y
2
1
x dx C
2
arctan y
1 3
x C
3
)的解 注: 若存在 y 0 , 使 ( y 0 ) 0 , 则 y y 0 也是 ( 2 . 1第二章 , 可能 它不包含在方程
河 北 例1 师 范 大 学 数 信 学 院
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换
先看例子：
dy dx
x
2
y
y
2
1
dy dx
ye
x y
ye e
x
dy
定义1 形如
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
F ( x, y )
第二章
dx
dy dx
f ( x ) ( y )
( 2 . 1)
方程,称为变量分离方程.
dy dx y x 1 ( y x )
2
这是齐次方程,
x du dx
令u 1 u
2
y x
代入方程得
将变量分离后得
du 1 u
2
dx x
第二章 du
1 u
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
2
dx x
两边积分得: ln u 1 u 2 ln x ln c 整理后得 变量还原得
X x 2 作变换 , 方程化为 Y y Y dY a 1 X b1Y g( ) X dX a 2 X b 2Y
0
3 再经变换 u
0
Y X
, 将以上方程化为变量分
离方程
4 求解 5 变量还原
0
0
例7
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
求微分方程
dy dx
p ( x ) dx c
1
y e
p ( x ) dx c1
y e
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
第二章x ) dx c p( 1
即
y e e
c1
p ( x ) dx
ce
p ( x ) dx
.
c 0,
此外 y 0 也是方程的解 即知 y 0 也包括在上式中
, 若在上式中充许 ,
故方程的通解为
y ce
p ( x ) dx
,
c 为任常数 .
例4
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
求初值问题
dy 2 y cos x 的特解 . dx y (0 ) 1
第二章
解:
先求方程
dy dx
y cos x 的通解 ，
2
当 y 0时 , 将变量分离
第二章
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
第二章
二、可化为变量分离方程类型
河 北 师 范 大 学 数 信 学
a 1 x b1 y c 1 形如 f a xb yc dx 2 2 2 dy
的方程 , .
其中 a 1 , b1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 为任意常数
2 2
的通解.
解:
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
令 u xy , 则 du xdy ydx
第二章
代入方程并整理得
u (1 u ) dx (1 u )( xdu udx ) 0
即
2 u dx x (1 u ) du 0
2
分离变量后得 两边积分得
u 1 u 1 u
x [ln( x ) c ] 2 , ln( x ) c 0 y , 0, ln( x ) c 0
x 0 或 x 0 之一中有意义
.
, 应补上 .
y 0 , 这个解未包含在通解中
例3 求微分方程
dy
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
第二章
p(x) y
dx
的通解 , 其中 p ( x ) 是 x 的连续函数
解: 将变量分离后得
.
dy y
p ( x ) dx
两边积分得: ln y 由对数的定义有
f ( a 2 x b2 y )
令 u a 2 x b 2 y , 则方程化为
du dx a 2 b2 dy dx
a 2 b2 f (u )
这就是变量分离方程
3
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
a1 b1
a2 b2
第二章
0 且 c1与 c 2 不同时为零的情形
1 u
1 u
将变量分离后得
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
(1 u ) du 1 u
2
第二章
dX X
两边积分得:
arctan u
1 2
ln( 1 u ) ln X c
2
变量还原并整理后得原方程的通解为
arctan y2 x 1 ln ( x 1) ( y 2 ) c .
,得
dy y
2
cos xdx
两边积分得:
1 y
sin x c ,
因而通解为:
y
1 sin x c
,
其中 c 为任意常数
.
此外 y 0 也是方程的解
, 且不能在通解中取适当
的 c 得到 .
再求初值问题的通解, 以 y ( 0 ) 1代入通解 , 得 c 1 1 1 . 所以所求的特解为: y sin x 1 1 sin x
du 2 u
du dx
2 u
将变量分离后得
dx x
两边积分得:
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
du 第二章
u ln( x ) c
2
dx x
2 u
即
u (ln( x ) c ) ,
ln( x ) c 0 , c 为任意常数
代入原来变量,得原方程的通解为
y , 再将常数记为
c, 得
第二章
y
y 10
10 1 ce
x
,
c 0.
y 0 和 y 10 ,
) 0 , 求出方程的所有解为
故方程的所有解为:
y
10 1 ce
x
, c 为任常数 , 和 y 0 .
y 10 y x c1
ln
例2 求微分方程 x
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.
2
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
a1 b1
设
a2 b2
a1 a2
第二章
0的情形
b1 b2 k , 则方程可改写成
dy dx
a 1 x b1 y c1 a 2 x b2 y c 2
k ( a 2 x b 2 y ) c1 a 2 x b2 y c 2
2
du
2 dx x
2
ln u ln x c
1 xy ln x y c.
变量还原得通解为
三、应用举例
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
第二章
例8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例， 且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的 半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求 雪球的体积随时间变化的关系。
此外,诸如
dy dx
f ( ax by c ) u ax by c
yf ( xy ) dx xg ( xy ) dy 0 u xy
x
2
dy
f ( xy )
dx dy y y xf ( 2 ) u 2 dx x x
u xy
以及
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dy dx
3
y
2
第二章
的通解.
3 2
解:
分离变量后得
y
dy
1 x
dx
两边积分得: 2 y 整理后得通解为:
c1
1 2
ln x c1
2
y
4 (ln x c 1 )
3 2 1
4 (ln cx )
2
,
其中 c e ,由于函数 y
x 在 x 0 无意义 ,
故此解只在
,
这里 a 1 , b1 , c1 , a 2 , b 2 , c 2 为常数 .
的方程可经过变量变换化为变量分离方程. 分三种情况讨论
1 c1 c 2 0的情形
dy dx a 1 x b1 y a 2 x b2 y
a 1 b1 a 2 b2 y x g( y) y x x
这里 f ( x ), ( y ) 分别是 x , y 的连续函数 .
一、变量分离方程的求解
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
dy dx
第二章 f ( x) ( y )
(2.1)
1
0
分离变量, 当 ( y ) 0时 , 将 ( 2 . 1)写成 dy f ( x ) dx , 这样变量就“分离”开了. ( y)
解:
设在时刻 t 雪球的体积为 v ( t ), 表面积为 s ( t ), 则
x
2
y
2
1
2
分离变量: 两边积分:
dy y
2
1
x dx
dy y
2
1
x dx C
2
arctan y
1 3
x C
3
)的解 注: 若存在 y 0 , 使 ( y 0 ) 0 , 则 y y 0 也是 ( 2 . 1第二章 , 可能 它不包含在方程
河 北 例1 师 范 大 学 数 信 学 院
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换
先看例子：
dy dx
x
2
y
y
2
1
dy dx
ye
x y
ye e
x
dy
定义1 形如
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
F ( x, y )
第二章
dx
dy dx
f ( x ) ( y )
( 2 . 1)
方程,称为变量分离方程.
dy dx y x 1 ( y x )
2
这是齐次方程,
x du dx
令u 1 u
2
y x
代入方程得
将变量分离后得
du 1 u
2
dx x
第二章 du
1 u
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
2
dx x
两边积分得: ln u 1 u 2 ln x ln c 整理后得 变量还原得
X x 2 作变换 , 方程化为 Y y Y dY a 1 X b1Y g( ) X dX a 2 X b 2Y
0
3 再经变换 u
0
Y X
, 将以上方程化为变量分
离方程
4 求解 5 变量还原
0
0
例7
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
求微分方程
dy dx
p ( x ) dx c
1
y e
p ( x ) dx c1
y e
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
第二章x ) dx c p( 1
即
y e e
c1
p ( x ) dx
ce
p ( x ) dx
.
c 0,
此外 y 0 也是方程的解 即知 y 0 也包括在上式中
, 若在上式中充许 ,
故方程的通解为
y ce
p ( x ) dx
,
c 为任常数 .
例4
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
求初值问题
dy 2 y cos x 的特解 . dx y (0 ) 1
第二章
解:
先求方程
dy dx
y cos x 的通解 ，
2
当 y 0时 , 将变量分离
第二章
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
第二章
二、可化为变量分离方程类型
河 北 师 范 大 学 数 信 学
a 1 x b1 y c 1 形如 f a xb yc dx 2 2 2 dy
的方程 , .
其中 a 1 , b1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 为任意常数
2 2
的通解.
解:
河 北 师 范 大 学 数 信 学 院
令 u xy , 则 du xdy ydx
第二章
代入方程并整理得
u (1 u ) dx (1 u )( xdu udx ) 0
即
2 u dx x (1 u ) du 0
2
分离变量后得 两边积分得
u 1 u 1 u
x [ln( x ) c ] 2 , ln( x ) c 0 y , 0, ln( x ) c 0