离散数学第四章

第四章关系和有向图Relations and Digraphs关系是计算机科学和离散数学中的一个非常重要的概念，分为二元，多元关系，正如集合的运算一样，关系也有其相应的运算，在理论和应用上具有十分重要的意义。

其中，De Morgan和Russell做了很多工作。

4.1乘积集合和划分Product sets and Partions乘积集合Product sets 又称为卡氏积。

有序对，元素a1, a2,……a n根据一定的顺序排列的元素组合，又称为序偶，记为(a1, a2,……a n)。

其中，a1是第一元素, a2是第二元素，依次类推。

元素的有序性。

特别地， n=2,称为二元组，一般，称为n元组。

(a,b)=(x,y) if and only if a=x and b=y.平面直角坐标系，空间直角坐标系，n维空间。

下面，以n=2 为例。

A,B是两个非空集合，称A⨯B ={(a,b) | a∈A, b∈B}为A与B的乘积集合或笛卡尔乘积。

例如，A={a,b,c}, B={d,e},则A⨯B={(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e)}一般来说，我们可以用列表或矩阵的形式来表示。

反之，B⨯A={(d,a),(e,a),(d,b),(e,b),(d,c),(e,c)}考虑到元素的有序性，一般来说，A⨯B≠B⨯A当A，B是有限的非空集合时，则我们有| A⨯B|=|A|⨯|B|进一步，我们考虑一般情形，A1⨯A2⨯……⨯A n ={ (a1, a2,……a n)| 其中，a i∈A i,i=1,2,……,n}接下来，我们考虑乘积集合与集合运算∪，∩的性质A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)注记：(A∪B)×(C∪D)≠(A×C)∪(B×D)(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×C)∪(A×D)∪(B×D)数据库是n元组的一个重要应用。

划分或商集 Partion or Quotient set设A为一个非空集合，A的划分P指的是由A的非空子集所组成的一个集合，满足：A= A1∪A2∪……∪A n, A i≠∅ , A i∩A j=∅, i=1,2,……,n .记P= {A1, A2, ……,A n }，称P是A的一个划分。

.例如，A={a,b,c,d,e,f,g},若A1 ={a,b,c},A2={d,e},A3={f,g},则P={A1，A2，A3}是A的一个划分。

我们还可以有这样的划分，例如，A1 ={a,b},A2={c,d,e,f},A3={g},则P={A1，A2，A3}也是A的一个划分。

显然，划分不是唯一的。

对于一个集合来说，我们允许有多种划分。

HomeworkP114-115 17,264.2关系和有向图Relations and Digraphs关系指的是集合中元素之间的某种相关性。

很显然，两个元素之间的相关就称为二元关系，三个元素之间的相关就称为三元关系，n个元素之间的相关就称为n元关系。

对于关系，我们用符号R来表示。

关系R⊆A⨯B, R称为A到B上的关系, a Relation from A to B. 指的是A⨯B的一个子集。

R⊆A⨯A, R称为A上的关系, a Relation on A. 指的是A⨯A的一个子集.特殊情形，空关系R=Φ，全关系R=A⨯A。

(a,b)∈R,称a与b是R相关的，记作aRb；否则，(a,b)∉R ，称a与b不是R相关的，记作b Ra/.按照特征函数的记法，我们有R(a,b)=1或0例1设A={1,2,3,4}，I A ={(a,a)| a∈A}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}是A上的相等关系。

例2 设A={1,2,3,4},Q={(1,2), (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} Q是A上的小于关系。

例3 P= I A∪{(1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}, P是A上的整除关系。

类似于，集合可以由特征函数来刻画一样。

显然，关系也可以由关系矩阵来刻画。

矩阵中的元素是1或0，满足关系为1，不满足关系为0。

由关系派生的集合Sets Arising from Relations定义域Dom(R) domain of R假定关系R⊆A⨯B，Dom(R)={x| ∃y∈B, (x,y) ∈R}，即，关系R中所有有序对的第一个元素组成的集合；Dom(I A)={1,2,3,4}=A Dom(Q)={1,2,3}=A-{4} Dom(P)={1,2,3,4}=A值域Ran(R) range of RRan(R)= {y∈B|∃x∈A, (x,y) ∈R}，即，关系R中所有有序对的第二个元素组成的集合。

Ran(I A)={1,2,3,4}=A Ran(Q)={2,3,4}=A-{1} Ran(P)={1,2,3,4}=A设R 是A 到B 的一个关系，R ⊆A ⨯B ，A 1⊆A ，则A 1关于关系R 的像集R(A 1)为 R(A 1)={y ∈B| ∃x ∈ A 1, (x,y) ∈R}, the R-relative set of A 1. 特别地，R(x)={y ∈B| (x,y)∈R}, 称为x 关于关系R 的像集。

定理1假定关系R ⊆A ⨯B,A 1⊆A, A 2⊆A, 则 (a) If A 1⊆A 2, then R(A 1)⊆R(A 2). (b) R(A 1∪A 2)=R(A 1)∪R(A 2). (c) R(A 1∩A 2)⊆R(A 1)∩R(A 2).定理2 假定关系R ⊆A ⨯B, S ⊆A ⨯B. 如果∀a ∈A,R(a)=S(a), 则R=S.关系矩阵M R The Matrix of a Relation ，由关系R 诱导的矩阵，称为关系矩阵M R 。

设},,,,{},,,,,{321321n m b b b b B a a a a A ==关系R ⊆A ⨯B, 关系R 可以用矩阵M R =[m ij ]来表示，⎩⎨⎧=01ij mR b a R b a j i j i ∉∈),(),( ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010000100001AI M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100011001110Q M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010010101111p M 反之，给定一个矩阵M ，我们可以得到一个关系,记为R M 。

例如，设},,,{},,,{4321321b b b b B a a a A ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********M 则，)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(33422241312111b a b a b a b a b a b a b a R =关系有向图The Digraph of a Relation设A 是一个有限集合，R 是A 上的一个关系，关系R ⊆A ⨯A ，我们可以使用图形来表达。

G=(V,E),其中，V 表示顶点集合，E 表示边集合（顶点之间的连线，称之为边）。

如果顶点之间的连线具有方向性，故，该图称为有向图。

例如，A={1,2,3,4}，R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1)}则，我们可以得到如下的关系矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100011110011R M其图形见书120页图4.4。

关于顶点的入度，指的是以顶点为终点的边数；关于顶点的出度，指的是离开该顶点的边数。

关于图的详细了解，我们将在第七章讲述。

由关系可以确定矩阵和图由矩阵可以确定关系和图由图可以确定关系和矩阵HomeworkP122-123 18,22,24,284.3关系和图的路径Paths in Relations and Digraphs假定R是集合A上的一个关系，从a到b的长度为n的路径a path of length n 是一个序列π：a,x1,x2,……,x n-1,ba为起点，b为终点，且满足aRx1, x1Rx2,……, x n-1Rb它们将构成一条链，其间包含n+1个元素，当然n+1个元素不是必要条件。

例如，见书上124页的例1。

1,2,5,4,3是长度为4的路径；1,2,5,1是长度为3的路径。

特别地，起点和终点为同一个顶点的路径称之为环。

如上例中的1,2,5,1.由R出发，我们可以定义,,,,32nRRR其中2(2)1,()nij ik kj k R R R r r r ===∧∨R R R n n 1-=Ryx Rx x Rx x xRx x x x y xR Ry x xRx x y xR n n n1322111211112,,,,,,,,,,--∃⇔∃⇔特别地，我们有：R ∞关联关系 connectivity relation for Rx R ∞y 表示在R 中存在从x 到y 的某条路径。

例如，A={a,b,c,d,e},R={(a,a),(a,b),(b,c), (c,d), (c,e), (d,e)}，其图如下。

一方面，我们可以从图中来寻找路径。

因为aRa 和aRa,所以a aR 2, 因为aRa 和aRb,所以b aR 2,因为aRb 和bRc,所以c aR 2, 因为bRc 和cRd,所以d bR 2,因为bRc 和cRe,所以e bR 2, 因为cRd 和dRe,所以e cR 2. 于是，我们有，2R ={(a,a),(a,b),(a,c), (b,d),(b,e),(c,e)}另一方面，我们也可以通过计算来得到。

我们知道，关系R 可以由矩阵M R 来表示,简单来说，我们仍然用R 表示。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0100000000110000010000011R ，2(2)1,()nijik kj k R R R rr r ===∧∨ ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000001000011000001112R ， 于是，我们有，2R ={(a,a),(a,b),(a,c), (b,d),(b,e),(c,e)}显然，计算方法相对来说，更好一些。

因为有时图形复杂，容易出现错误。

因此，我们有n n R R ∞=∞=1假定R 是集合A 上的关系，*R 是R 的可达关系，x *R y 指的是x=y 或x R ∞y ，即，x=y或存在从x 到y 的某条路径。