浅谈两个重要极限的应用型教学
两个重要极限的推广及应用
两个重要极限的推广及应用极限在微积分中占有重要的地位，是微积分的基石。
两个重要极限是极限内容中的重点和难点。
因此本文结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广应用。
标签：重要极限；推广；应用0 引言极限概念是微积分学的理论基础，极限方法是微积分学的基本分析方法，掌握和运用好极限方法是学好微积分学的关键。
在极限这部分内容的教学中，两个重要极限是重点、也是难点。
在极限计算、导数公式推导过程中，两个重要极限占有极其重要的地位。
两个重要极限能够简化复杂的极限运算，使我们更容易深刻理解并記忆导数公式；进而体现了两个重要极限的“重要性”。
1 两个重要极限的基本形式及其推广形式极限贯穿了微积分的全部内容，是微分和积分的基石。
利用两个重要极限求极限是极限内容中的重点和难点。
本文将通过实例对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳。
1.1 第一个重要极限的基本形式：运用这个极限时，我们应注意以下几点：（1）分数线上面与下面的x要保持一致；（2）x→0当时，分子、分母都趋于0，即型未定式；（3）x可以是一个未知数，也可以是一个函数：如当时，有。
因此，这一重要极限可以推广为，其中Δ代表一个未知量。
1.2 第二个重要极限的基本形式：运用这个极限时，我们应注意以下几点：（1）x可以是一个未知数，也可以是一个函数：（2）括号内1后面的部分与括号外的幂次互为倒数，这个重要极限可以转化为1∞这种未定式。
因此，这一重要极限可以推广为或，其中Δ代表一个未知量。
2 两个重要极限在微分学中的应用极限在微分学中应用非常广泛，其中导数定义就是由极限来定义的；而两个重要极限则是推导一些重要极限的有力工具，比如三角函数和对数函数导数的推导。
以上实例说明运用两个重要极限可以推导一些导数公式，而且有些时候必须用两个重要极限求导数，比如（sinx）/=cosx等用其他方法很难求出。
由此可见，在推导基本初等函数的求导公式的过程中，尤其是有关三角函数的求导过程中，两个重要极限起到了非常关键的作用。
高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限(优秀版)word资料
高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
浅谈两个重要极限的教学
INTELLIGENCE
浅谈两个重要极限的教学
辽源职业技术学院 吉林师范大学辽源分院
lim
闫运和 罗洪艳
x sin x 1⎞ ⎛ 1+ ⎟ = e = 1 lim ⎜ x⎠ 摘 要： 两个重要极限 x →0 x 、 x →∞ ⎝ 在高等数学中所占的地位虽然 并不显赫，但从教学法的角度来讲，它和其他各节具有同等重要的地位。我们采取如下的 教学过程：１、细心观察，认清基本型 2、利用换元，得到扩展型 3、补充此极限的适用类 型 4、 适当检查学生的掌握情况， 实践证明效果很好， 达到了既传授知识， 又培养能力的目的。 关键词 : 两个重要极限 教学过程 传授知识 培养能力
sin [
x
1 ⎞ ⎛ 2− x⎞ ⎛ lim ⎜ ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ x →∞ 3 − x ⎝ ⎠ x→∞ ⎝ x − 3 ⎠
x
1 ⎞ ⎛ = lim ⎜1 + ⎟ x →∞ ⎝ x−3⎠
x −3
1 ⎞ ⎛ ⋅ lim ⎜ 1 + ⎟ = e ⋅1 = e x →∞ ⎝ x−3⎠
3
, 以后直接将其扩展为
；
x →0 x →0 ② x →0 x x x x →0 显然，①解是对此极限的正确理解，②解虽然也正确， 但并没有掌握此重要极限的实质，说明其思想还局限在基本 型上。对这样的解法我们要立即予以纠正，指出问题所在， sin [ ] 使其真正掌握 [ ] 这一公式。
lim cos x = 2
⎟ 二．极限 x →∞ ⎜ x⎠ ⎝ 此极限的教学方法也按上极限的模式进行，即 g( x) ∞ 1、认清基本型 lim (1 + f ( x) ) ，属 (1) g( x) lim 1 + f x ( )) ( 2、利用换元得到扩展型： ；其中 f ( x ) , g ( x ) 为倒数关系，且 f ( x ) 为某趋势下得无穷小量，也 ⎛ 1 ⎞ ⎜1 + [ ] ⎟ ⎟ 作一简化： lim ⎜ ；[] 的内容必须相同，函数的框架 ⎝ ⎠ 可叙述为：底是 1 与趋向于零的项之和，指数为此项的倒数。 g( x) ⎣ f ( x )⎤ ⎦ ， 3、确定适用类型。若所求的函数类型为： lim ⎡
高职院校经济数学课程中的思政教学设计——以第二个重要极限为例
高职院校经济数学课程中的思政教学设计——以第二个重要极限为例摘要:在大思政的教育背景下，各学科的课程思政教学改革是教育的重要发展方向，经济数学积极响应政策进行课程思政教学。
本文以第二个重要极限的教学为例，结合生活案例，融入思政元素，进行教学设计，培养学生利用数学知识分析与解决实际问题的能力。
关键词：课程思政；教学设计；第二个重要极限；连续复利引言2020年5月28日，教育部印发了《高等学校课程思政建设指导纲要》，提出全面推进课程思政建设是落实立德树人根本任务的战略举措，把思想政治教育贯穿于人才培养体系，全面推进高校课程思政建设，发挥好每门课程的育人作用，提高高校人才的培养质量。
[1]这为高校实施课程思政教育和落实立德树人任务指明了方法和方向，也引起了各教育专家和高校教育工作者对课程思政的高度关注，各高校、各专业学科开始重视课程思政的建设。
经济数学是高等职业学校财经类、管理类等专业学生的一门重要公共基础课，也是一门工具课，在高职教育人才培养中起着其他课程无法替代的专业服务及素质培养功能，是培养学生思维品质、数学应用能力、探索精神和创造意识的重要途径。
课程思政的融入使得经济数学内容丰富化、思想方法多样化，可以更好的提高学生的爱国主义思想与创新创造能力。
该课程面向大一新生，大一是进行思想政治教育的良好时段，故经济数学课程思政化教学迫在眉睫。
在经济数学教学中，两个重要极限的教学一直都是重点和难点内容。
本文以“第二个重要极限”为例进行课程思政教学设计。
一、教学设计1.1创设情境导入新课课程开始以社会热点问题“校园贷”进行情境引入。
“校园贷”是一种网络平台贷款，主要是为大学生提供分期消费贷款和小额现金贷款，主要以收取分期手续费和利息的方式盈利。
以“非法校园贷是如何利滚利，从几千变成几十万的？”引出本节课需探究的问题。
让同学们对该课题进行探究。
引导学生正确对待消费与网贷，通过学习了解网络信贷常识，提高对非法校园贷的防范意识，从根源上正确认识校园贷。
两个重要极限教案
公开课教案教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型时间地点教材分析《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
教学目标知识与技能：让学生了解公式1sinlim=→xxx的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
教学重点正确理解公式1sinlim=→xxx，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点公式1sin lim0=→xxx 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。
通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。
在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。
对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。
在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧极限是高等数学中的一个重要概念，它是指一个函数在一个点上趋近于某一值的过程。
在实际的解题中，常常会遇到需要求解极限的问题，因此，掌握一些极限的解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将浅谈两个重要的极限解题技巧，供广大同学参考学习。
一、夹逼准则夹逼准则也称为挤压定理，它是解决极限问题的一种经典方法。
夹逼准则的思路是通过比较原函数与其他两个已知的函数之间的关系，来推导出原函数的极限。
通常情况下，夹逼准则适用于以下两种情况：1. 原函数与其他两个函数都趋近于同一个值，且中间的那个函数能够通过比较确定原函数的上限或下限。
2. 原函数在某个区间内“夹在”两个已知函数之间，且这两个函数具有相同的极限。
例如，假设我们需要求解函数$f(x)=\frac{x^3+3x^2-1}{x^2+2}$在$x=2$处的极限。
我们可以通过夹逼准则来求解该极限。
具体步骤如下：首先找到两个函数$g(x)$和$h(x)$，它们满足$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$，且$g(x)$和$h(x)$在$x=2$处的极限相等，即$\lim_{x\to 2}g(x)=\lim_{x\to 2}h(x)$。
其次，我们需要确定$g(x)$和$h(x)$的表达式。
由于当$x$趋近于2时，分母$x^2+2$的值变得非常接近于4，因此我们可以令$g(x)=3x-1$和$h(x)=\frac{x^3+3x^2+5x+1}{x^2+2}$。
这样，在$x=2$处，$g(x)=5$，$h(x)=5$，且$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$。
最后，我们需要证明$\lim_{x\to 2}g(x)=\lim_{x\to 2}h(x)$。
对于函数$g(x)$，我们可以使用极限的定义来证明：$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 2}g(x) &=\lim_{x\to 2}(3x-1)\\ &=5 \end{aligned} $$对于函数$h(x)$，我们可以将其进行分解，得到：因此，根据夹逼准则，可以得到：$$ \lim_{x\to 2}\frac{x^3+3x^2-1}{x^2+2}=5 $$二、洛必达法则洛必达法则是解决极限问题的另一种有效方法，它是通过求函数在某一点处的导数来确定函数的极限。
两个重要极限的应用探讨
两个重要极限的应用探讨学生：牛玺娟指导教师：郭媛摘要微积分中的两个重要极限是:;,这两个重要极限是微积分学的基础.本文阐述了两个重要极限的思想意义,讨论了关于两个重要极限的变形极限的判断方法及应用,在分析重要极限的6 个基本特征的基础上,给出了4个推广命题,指出了应用对型极限的快捷计算方法,并给出了该重要极限公式与实际应用的结合.关键词: 两个重要极限;推广;应用AbstractTwo important limits are the basis of calculus. This paper discussed the essential meaning of two important limits and proved them using different method. Finally，the paper shows the application of two important limits in limits calculation and elaborated the relation between two important limits and Hospital's Rule.Key words：Two important limits; calculus; application;第1章绪论极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的. 两个重要极限的证明必须以极限存在准则为基础，所以有必要首先介绍函数极限存在的两个准则。
准则1（夹逼准则）：如果（1）当x∈U（x0，r）或（｜x｜>M）时，（2）或那么或存在，且等于A.准则2：单调有界数列必有极限。
1.3 两个重要极限的形式通过极限存在准则的应用，得到两个重要极限。
第一个重要极限的形式为：（1.1）第二个重要极限的形式为：（1.2）第一个重要极限的数值意义实际上就是函数y=sin x在x=0处的导数，或者是正弦曲线在原点处的斜率.根据单调有界数列必有极限可知，第二个重要极限的极限存在，《高等数学》教材上通常用字母e表示它，其实这个极限值就是无理数e。
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧数学中的极限是指函数在某一点趋于无限接近于某个值的情况，它是许多数学问题的基础。
在解题过程中，有两个重要极限解题技巧，它们分别是夹逼定理和洛必达法则。
1. 夹逼定理夹逼定理，也称为夹挤准则，通常用于解决极限存在性和唯一性问题。
该定理的原理是：如果存在两个函数在某一点附近夹住一个待求极限函数，那么这个待求极限函数的极限也必须在相同的范围内。
夹逼定理的具体应用方式是：（1）先找到一个上界函数和较小的下界函数；（2）证明当自变量趋于无穷或趋近于某个特定值时，这两个函数都趋于相同的极值；（3）再用这两个函数夹住待求函数，证明它的极限也必须在两个函数的极值之间。
以下是一个夹逼定理的求解例子：先考虑如下无穷级数：$${\sum}_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$$通过比级数原型，我们已经得知该级数是收敛的。
现在我们使用夹逼定理证明该级数的和为2：而级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}$是等比数列，它的总和是 2. 因此，$$0\leq{\sum}_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\leq{\sum}_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}=2$$2. 洛必达法则洛必达法则是解决函数极限问题中的常用方法之一，通常用于解决不定式的极限问题。
该方法的原理是：如果一个函数的极限值不易确定，但它可以表示成两个导数之比的形式，那么这两个导数的极限必须存在，且该比的极限值等于两个导数的比值的极限值。
具体应用方式如下：（1）求出函数的导数；（2）将导数表达式分别表示成分子分母两个函数的形式；（4）如果分母函数的极限为0或发散，则寻找一种不同的解决方法；（5）利用极限值相等的洛必达法则，得出函数极限。
我们知道，当$x\to1$时，$x-1$趋于0。
因此，将式子重写为：$$\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$$抵消$x-1$后，我们得到：使用洛必达法则代替极限，我们必须求出分子和分母的导数：当$x\to1$时，$2x$趋近于2，因此该极限等于2。
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧【摘要】本文将讨论两个重要的极限解题技巧：利用夹逼准则和使用换元法。
首先解释了这两种技巧的基本原理和应用方法，然后进一步讨论了如何在实际问题中灵活运用这两种技巧。
通过具体例题的分析演示了这两个技巧在解决极限问题中的重要性和有效性。
同时提醒读者在使用这些技巧时需要注意的问题，避免在解题过程中出现错误或误解。
通过本文的介绍和讨论，读者将能够更好地掌握和运用这些重要的极限解题技巧，提高解题效率和准确性。
【关键词】极限解题技巧、夹逼准则、换元法、实例分析、注意事项、引言、结论1. 引言1.1 引言极限是高等数学中重要的概念之一，它在微积分、数学分析等领域中都有着广泛的应用。
在求解极限时，常常需要运用一些技巧和方法来辅助计算，提高求解的效率和准确性。
本文将重点讨论两个重要的极限解题技巧：利用夹逼准则和使用换元法。
在学习极限的过程中，我们经常会遇到一些难以直接计算的极限表达式，这时可以考虑利用夹逼准则来近似求解。
夹逼准则是一种常用的极限方法，通过构造一个夹在待求极限函数和已知函数之间的函数序列，来逼近待求极限的值。
这种方法常常可以简化复杂的极限计算，提高求解的效率。
使用换元法也是解决极限问题的重要技巧之一。
当遇到形式复杂的极限表达式时，可以尝试通过换元的方式将问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
换元法可以帮助我们找到一些隐含的规律和关联，为极限计算提供新的思路和方法。
通过深入学习和实践这两种极限解题技巧，我们可以更加灵活地处理各种复杂的极限计算问题，并提高解题的效率和准确性。
接下来，我们将详细讨论如何应用这两个技巧来解决不同类型的极限问题，并通过实例分析和具体例题演示技巧的运用。
我们也将介绍在使用这些技巧时需要注意的问题和注意事项。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握极限解题的方法和技巧，提升数学分析的能力和水平。
2. 正文2.1 技巧一：利用夹逼准则夹逼准则是解决极限问题时非常重要且常用的一种技巧。
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧在高等数学的学习中，极限是一个非常重要的概念，也是解题中常见的一个步骤。
对于求解极限的过程中，有许多技巧和方法可以帮助我们更好地理解和计算极限。
在下面的文章中，我将简要介绍两个重要的极限解题技巧。
第一个技巧是使用夹逼定理。
夹逼定理是解决极限问题时非常重要的一个方法，它是通过将待求极限和已知的两个极限进行比较，从而确定待求极限的值。
具体步骤如下：找到一个与待求极限函数相夹的两个函数，使得这两个函数的极限分别为L1和L2，并且L1和L2相等。
然后，利用夹逼定理的推论，即如果一个函数上下夹逼着另外一个函数，并且两个函数极限相等，则夹逼函数的极限也等于这个极限。
通过这个推论将待求极限转化为两个已知极限的比较，从而求得极限的值。
举个例子来说明夹逼定理的运用。
假设我们要求解极限lim(x->0)(sinx)/x。
由于这个极限是一个不定式0/0型，我们可以将它转化为一个可以计算的形式，即利用等式sinx/x=1。
然后，我们可以找到两个极限函数g(x)=x和h(x)=1，使得g(x)<=sinx/x<=h(x)。
当x>0时，我们有sinx/x<=1，所以g(x)<=sinx/x<=1；当x<0时，我们有sinx/x>=1，所以g(x)>=sinx/x>=1。
对于任意的x，都有g(x)<=sinx/x<=h(x)成立。
由于lim(x->0)g(x)=lim(x->0)h(x)=0，根据夹逼定理，我们可以得到lim(x->0)(sinx)/x=0。
第二个技巧是使用洛必达法则。
洛必达法则是解决函数极限问题时一个非常有用的工具，它可以求出函数在某个点的导数的极限。
其基本思想是通过求函数的导数来逼近函数的极限，从而化简问题。
洛必达法则的公式如下：若函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域内可导，且g'(x)在该去心邻域内不为零，那么当x->a时，f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)当x->a时的极限。
极限存在准则,两个重要极限
极限存在准则 两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则；2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】1、夹逼准则；2、单调有界准则；3、两个重要极限。
【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。
首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。
【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim ，其中13nn x x ，13x ，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证：,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当取12max{,},N N N 上两式同时成立,,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n当nN 时，恒有 ,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞→上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则Ⅰ′ 如果当),(0δx U x o∈ (或M x >)时,有,)(lim ,)(lim )2(),()()()1()()(00A x h A x g x h x f x g x x x x x x ==≤≤∞→→∞→→那么)(lim )(0x f x x x ∞→→存在, 且等于A .准则 I 和准则 I '称为夹逼准则。
浅谈两个重要极限的应用_彭英
[ 1] [ 2] [ 3] [4]
参考文献 同济大学应用数 学系 . 高 等数 学 ( 上 ) [ M ] . 北 京 : 高等 教 育出版社 , 2004. 北京大学 数学 科学学 院 . 高等 数学辅 导 [ M ] . 北京 : 科 学 技术文献出版社 , 1990. 王荷芬 , 等 . 高等数学试题汇 解 [ M] . 上海 : 同 济大学出 版 社 , 1990. 郎 宏 志 . 对 两 个 重 要 极 限 的 讨论 [ J] . 中 国 科 技 信 息 , 2006.
k
D
1+ 1+
9z 9x
2
2
+
9z 9y
2
dxdy
k
D
x2 y2 dxdy 2 + 2 x + y x + y2
综上所述 , 转化思想 是一种 非常重 要的数学 思想 , 掌握 了 这一思想 , 有利于数学知识的理解 , 有利于数学知识的记忆 , 也 有利于/ 原理和态度 的迁移0 。 也正 因为如 此 , 在数 学课的 教 学中应注重数学思想的培养。 著名日本科学家米山国藏指出 : / 作为知识的数学 , 出校门 不到两年可能就忘了 , 唯有深 深铭记 在头脑中 的数学 的精髓、 数学的思想研究方法和着 眼点等 , 这 些都随时 随地发 生作用 , 使人们终身受益。 0 这句话揭示了数学的精髓不在于知识本身 , 而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法 ; 数学教学的目的不 在于学生掌握多少数学知识 , 而 在于掌握和运用数学思想方法 来解决实际问题。因此 , 数学教学的重点应放在数 学思想方法 教育上。 参考文献 [ 1] 高淑君 . 数学课 应注重 数学思 想方法 的教 育 [ J] . 辽宁 教 育行政学院学报 , 2006( 4) : 99- 101. [ 2] 许 筱 红 . 谈 数 学思 想 与数 学 方法 在 教 学中 的 渗透 环 节 [ J] . 襄樊职业技术学院学报 , 2006( 3) : 49- 50.
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
准则的适用范围与注意事项
适用范围
夹逼准则适用于被夹逼的数列或函数在某点的极限求解；单调有界准则适用于单调且有界的数列极限求解。
注意事项
在使用夹逼准则时，需要找到合适的夹逼数列，并确保它们的极限相等；在使用单调有界准则时，需要证明数列 的单调性和有界性。同时，两个准则都只能用于求解数列或函数的极限值，不能用于求解其他数学问题。
数列极限存在的条件可以归结为数列 的单调性和有界性。如果数列单调增 加（或减少）且有上界（或有下界） ，则数列收敛，即存在极限。
03
序列极限的求法
可以通过对数列进行变形、放缩、裂 项、分组等方法来求解数列的极限。
其他相关的重要极限
第一个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，这个极限在三角 函数的求导以及某些复杂极限的求解 过程中有重要作用。
第一个重要极限可以用于求解三角函数的极限问题，也可以用于证明一 些三角恒等式和不等式。
第二个重要极限是自然对数的底数e的定义基础，也是求解一些复杂极限 问题的重要工具。同时，它也与指数函数、对数函数等有着密切的联系。
准则一：夹逼准则
01 02
定义
如果数列${x_n}$、${y_n}$和${z_n}$满足条件$y_n leq x_n leq z_n$， 且$lim_{n to infty} y_n = lim_{n to infty} z_n = a$，则数列${x_n}$ 的极限存在且等于$a$。
02 两个重要极限的详解
第一个重要极限：sinx/x的极限
01
02
03
定义与表达式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限值为1，即lim(x->0) sinx/x = 1。
几何意义
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧极限是高等数学中非常重要的一个概念，它在数学和物理等领域中都有着广泛的应用。
在解题过程中，掌握一些重要的极限解题技巧对于提高解题效率和准确性都有着非常重要的意义。
本文将从两个重要的极限解题技巧进行浅谈，希望能够对大家在学习和应用极限时起到一定的帮助和指导。
一、变量代换法变量代换法在解极限题时是一种非常常用且有效的技巧。
它常常适用于那些包含复杂变元的极限题目，通过合理的变量代换，可以将原极限题目转化成更加简单的形式，从而更容易求解。
对于极限\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^n，我们可以用变量代换方法进行解题。
首先令a=\frac{1}{n}，则当n \to \infty时，a \to 0。
这样原极限题目就可以转化成\lim_{a \to 0} (1+\frac{1}{a})^{1/a}。
这时候再用一些常用的极限公式和技巧，就能够比较容易地求解出极限的值。
二、夹逼定理夹逼定理也是解极限题时经常用到的一种重要技巧。
夹逼定理适用于那些求解极限题目时比较难以直接求解的情况，通过构造一个上下夹逼的序列，可以找到目标极限值的范围，从而更容易求解出极限的值。
对于极限\lim_{n \to \infty} \frac{sin n}{n}，我们可以通过夹逼定理进行解题。
由于-1 \leq sin n \leq 1，所以-\frac{1}{n} \leq \frac{sin n}{n} \leq \frac{1}{n}，根据夹逼定理，当n \to \infty时，-\frac{1}{n} \to 0，\frac{1}{n} \to 0，所以\lim_{n \to \infty} \frac{sin n}{n}=0。
在进行极限题的解题过程中，变量代换法和夹逼定理都是非常重要的解题技巧。
希望大家在学习和应用极限过程中，能够灵活运用这些技巧，提高解题效率和准确性。
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧在数学中，极限是一个非常重要的概念，有着广泛的应用。
因此，学好极限的解题技巧对于数学学习非常重要。
下面我们将讨论两个重要的极限解题技巧。
第一个极限解题技巧是利用夹逼准则。
夹逼准则是非常常用的一种极限解题方法，它通常用于求解两个极限相同的式子的极限值。
夹逼准则的思想是，在某一个区间内，如果一个函数夹在两个比它小的函数之间，那么这个函数的极限值也一定夹在这两个函数的极限值之间。
具体来说，如果在某一区间内，函数 f(x) <= g(x) <= h(x) 且 lim{f(x)} = lim{h(x)} = L ,那么 lim{g(x)} = L。
夹逼准则的应用范围非常广泛，可以用来证明各种有关极限的结论。
例如，当计算某个复杂函数的极限值时，我们可以使用夹逼准则，将该函数拆分为若干个简单的函数，从而求解。
第二个极限解题技巧是利用无穷小量。
无穷小量是指在某一极限点处函数取值无限接近于某个数，但不等于这个数的量。
无穷小量通常可以表示为f(x) = α(x)·g(x)，其中α(x) 为一个趋近于0的函数，g(x) 为一个在极限点 x0 处不为0的函数。
根据无穷小量的定义，我们可以得到以下结论：1. 无穷小量与常量的积依然是无穷小量；利用无穷小量的性质，我们可以简化复杂函数的运算，从而求出它们的极限值。
通常，我们将一个复杂函数分解为若干个无穷小量，然后通过无穷小量的性质，求解其极限值。
例如，假设要求解 f(x) = (2x+1)/(x+3) 在 x=1 处的极限值。
我们可以将其拆分为两个无穷小量：f(x) = [(2x+1)/x]·[1/(1+3/x)]通过无穷小量的运算，我们可以很容易地求解出该函数在 x=0 处的极限值，从而得到答案。
综上所述，利用夹逼准则和无穷小量这两个极限解题技巧，可以帮助我们简化复杂函数的运算，快速求解极限值。
在数学学习中，应该积极掌握并熟练应用这两个方法。
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧极限是微积分中的一个重要概念，关于极限的解题技巧在微积分中起着重要作用。
本文将重点介绍两个重要的极限解题技巧。
第一个技巧是利用夹逼准则。
夹逼准则是指当极限函数存在时，如果能找到两个函数，它们的极限都等于这个极限，且它们的值分别小于或大于该极限函数，那么这个极限就等于这两个函数的极限。
我们可以用夹逼准则解决一些难以通过代数运算求得极限的问题，例如：$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$我们可以选取两个函数：$$y_1=x$$当$x$趋近于$0$时，$y_1$和$y_2$都趋近于$0$，此时：$$y_2 < \frac{\sin x}{x} < y_1$$第二个技巧是变量代换。
变量代换是说为了得到一个复杂的极限问题的答案，我们试图用一个新的变量来代换这个复杂的极限，将其变成一个简单的极限问题来求解。
例如：如果我们直接代入$x=1$，分母就是$0$，无法求解。
此时，我们可以用变量代换来简化这个问题，设$t=\sqrt{x}$，则：$$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\lim_{t\rightarrow 1}\frac{(t^2-1)}{(t-1)}$$这样，我们就能将问题简化成一个容易求解的极限，即：因此：变量代换技巧的优势在于，能将复杂的极限问题化简为简单的极限问题，但代换的变量需要合理选择，需要根据题目特点适当选择。
总结：夹逼准则和变量代换是解决极限问题的重要技巧，能够成功解决一些难以通过代数运算求解的问题。
同学们可以通过练习，掌握这两个技巧并灵活应用。
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧在数学中，极限是数列或函数随着自变量趋近某个值而趋近的极限值。
求解极限问题在中学数学和大学数学中都有重要地位。
在实际应用中，极限也扮演着重要的角色。
在解题过程中，有些极限问题相对简单，有些则较为复杂，需要运用一些技巧求解。
本文将重点讨论两个重要极限解题技巧。
一、夹逼准则夹逼准则是求解极限的常用技巧之一。
夹逼准则的基本思想是将一个难以直接求解的极限沿着与它接近的两个易于处理的极限间侧面逼近。
夹逼准则主要有以下三个方面的应用：1.对于数列的夹逼准则若存在两个数列 $a_n$ 和 $b_n$ 以及一个数 $c$，满足对于所有 $n> N$ 都有 $a_n \leq c \leq b_n$，并且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = L$，则 $\lim\limits_{n \to \infty} c = L$。
这个参数有一个非常直接的解释：如果 $a_n$ 和 $b_n$ 这两个数列非常逼近某个恒定值 $L$，而 $c$ 又一直被夹在两者之间，那么 $c$ 最终也会逼近到 $L$。
例如：求证：$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^2+n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^ 2}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}=0$。
例如：求证：$\lim\limits_{x\to0}x^2\sin\dfrac{1}{x}=0$。
解：由于 $-1\leq \sin\dfrac{1}{x}\leq1$，所以 $-x^2\leqx^2\sin\dfrac{1}{x}\leq x^2$，当 $x\to0$ 时，$-x^2$ 和 $x^2$ 的极限都是 $0$，因此根据夹逼准则可知，当 $x\to0$ 时，$x^2\sin\dfrac{1}{x}$ 的极限也为 $0$，即$\lim\limits_{x\to0}x^2\sin\dfrac{1}{x}=0$。
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了数列或函数在无限接近某个值时的行为。
在解决极限问题时，有一些重要的技巧可以帮助我们更好地理解问题和找到解题的思路。
本文将浅谈两个重要的极限解题技巧。
首先是夹逼定理。
夹逼定理是一种用于确定极限存在和确定其值的方法。
当我们想要求解一个复杂的极限问题时，可以通过夹逼定理将其转化为一个更容易求解的问题。
夹逼定理的核心思想是通过将待求极限的函数夹在两个已知的函数之间，来确定极限的存在和值。
具体的操作步骤如下：1. 设待求极限的函数为f(x)，已知上下限函数分别为g(x)和h(x)，即有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
2. 如果已知当x趋向于某个值a时，g(x)和h(x)的极限存在且相等，即lim (x→a) g(x) = lim (x→a) h(x) = L。
那么我们可以得到lim (x→a) f(x) = L。
夹逼定理常用于解决一些无法直接计算的极限问题。
通过找出与待求极限函数相邻的两个已知函数，确定它们的极限存在且相等，从而确定待求极限的值。
当我们要求解极限lim (x→0) x·sin(1/x)时，可以利用夹逼定理将其转化为极限lim (x→0) –|x| ≤ x·sin(1/x) ≤ |x|，由于已知lim (x→0) –|x| = lim (x→0) |x| = 0，因此可以得到lim (x→0) x·sin(1/x) = 0。
第二个重要的极限解题技巧是分子有理化。
有时候，我们在计算一个极限时会遇到分母含有根式的情况，这时候通过分子有理化可以简化计算过程。
分子有理化的思想是通过一定的变换将包含根号的分子转化为一个有理式，从而方便计算极限。
具体的操作步骤如下：1. 先将分子的根式进行有理化。
有理化的方法包括乘以共轭式、利用等式、平方分解等。
2. 完成有理化后，可以将有理化后的分子和原始的分母进行合并，得到一个简化的表达式。
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浅谈两个重要极限的应用型教学
作者：孙芳菲
来源：《山西农经》2017年第08期
摘要：两个重要极限在高等数学中占着非常重要的位置，不仅是函数求极限的一种方法，而且它的应用思想——凑形式，在以后的教学中将会被广泛应用。
本文主要讲述这两个重要极限的推广型与应用性，对于第一个极限的应用（型）在凑形式时要保证变量的一致性和变量趋于零，对于第二个极限的应用（1∞型）在凑形式时要抓两点：“1+”和“互倒”。
关键词：重要极限；凑形式；型；1∞型
文章编号：1004-7026（2017）08-0114-02 中国图书分类号：O13； G642 文献标志码：A
1 第一个重要极限[1，2] =1
此极限公式的推导依据是应用极限存在第一准则——夹逼准则，各类高等数学教材上对于此推导过程都有详细的讲解[1]，故此处不再详述。
不过，在此推导过程中出现的相对重要的几个性质应不容忽视。
分别是：
性质1[3] 当|x|< 时，有cosx<
性质2[3] cosx=1
而在本篇文章里，主要是详细解说一下此极限公式的推广与应用。
首先分析一下的类型，通过前面的学习，不难看出 x=0， sinx=0，，因此，此为型未定式，而且相比上节所学的极限四则运算，很明显并非有理函数形式，而且此形式中还含有三角函数。
因此，此类型可归纳为含有三角函数形式的型。
1.1 形式的推广
例1 求极限 .
解令u=x2，则x→0时u→0
原式 = =1.
从上例中不难看出，如果分子中三角函数sin后面的变量形式u（x）与分母的变量形式一致且u（x）→0，可采用变量代换思想转化为第一个重要极限从而求出其结果，即极限形式的推广形为：
= =1
上述推广形中一定要保证两点：u（x）的形式一致性、u（x）→0，尤其是最后一个，是一些学生容易忽略的。
1.2 形式的应用
例2 求极限
分析：型且含有三角函数，但需对分母做处理，凑形式使其与sin后一致。
解原式= ？棕 =？棕 =？棕.
例3 求极限
分析：x→0时x2→0，cosx→1，1-cosx→0，故为型且含有三角函数，因此不妨应用半角公式cosx=1-2sin2 转化为正弦类型，再凑推广形。
解原式= =2 = . · . =
综上，对于型且含有三角函数类型的极限，在应用第一个重要极限推广形时关键在于凑形式，且在此过程中要保证两点，一要保证正弦后的变量与分母的变量形式要一致，二要保证该变量一定趋于零。
2 第二个重要极限[1，2] （1+ ）x=e
同样，此极限的推导依据是极限存在准则——单调有界准则[1]，这里也同样不再详述，我们主要关注此极限公式的推广与应用。
2.1 形式的推广
首先，不难看出此极限类型：底数为1+无穷小量，幂次部分为无穷大量，简称1∞型。
且底数形式中有“1+”，“1+”后的变量与幂次变量“互倒”，抓住这三点，就不难得出其推广形式。
其推广形的抽象概括形式为：
（1+u（x）） =e或（1+ ）u（x）=e
或
在这里，学生易把此极限类型与其他相似型（如（1+无穷小量）？琢型）混淆，从而得出结果为1的错误答案，例如（1+x）？琢=1（？琢为任意常数）。
总之，对此类极限一定要注意其型，然后根据相应的型来解决。
2.2 形式的应用
例4 求极限（1- ）kx （为正整数）
分析：为1∞型，在构造推广形时抓两点：“1+”与“互倒”。
解原式= [（1+ ）-x]-k=[ [（1+ ）-x]-k=e-k.
例5 求极限（）2x
解原式= （1+ ）2x= [（1+ ）x]2=[ （1+ ）x]2=e2.
从上面两个例子中可以看出，一旦凑出底数的“1+”和幂次部分满足与底数“1+”后面部分互为倒数，那么此种形式的极限值一定存在，且为自然对数e。
而且不难发现，两个例子中最后凑出的最外部幂次部分为常数，利用极限的四则运算就可得到结果。
但是，在实际应用中，不乏会出现最外部幂次部分为函数的形式，此时应该怎么办呢？这里，由函数的连续性我们可得到如下定理：
定理[1]：对于形如u（x）v（x）（u（x）>0，u（x）≠1）的函数（通常称为幂指函数），在同一自变量变化过程中，如果有limu（x）=？琢>0，limv（x）=b，则有limu（x）v （x）=？琢b。
通俗来说，对幂指函数求极限，就是对底数和幂次分别求极限。
但要注意底数的极限值必须大于零。
例6 求极限（）x
解方法一：原式= （）x=
= =e5
方法二：原式= [（1+ ） ] =e =e5.
总之，无论什么样的形式，只要抓住三点，首先判定是1∞型，在应用第二个重要极限构造凑形式时一定要保证底数部分的“1+”以及幂次和“1+”后面量的“互倒”，然后应用幂指函数求极限或者幂次函数求极限，那么问题就迎刃而解了。
对于两个重要极限的应用，凑形式是很有用的方法，不仅在本文这里，在后面导数的求解、积分的求解中应用性都非常广泛。
对于型且含三角类型的，要保证变量一致性和变量趋于零，对于1∞型，要保证底数“1+”和底数和幂次变量“互倒”。