【全国百强校】福建省莆田第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题
2016-2017学年福建省莆田第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2016-2017学年福建省莆田第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．若复数z 满足()i 11i z -=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 12i + 【答案】A【解析】由已知得iz=1+2i ，所以12i 2z i i+==-，选A.2．某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ， 2x ，…， 10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A. x ， 22s 100+B. 100x +， 22s 100+C. x ， 2sD. 100x +， 2s 【答案】D【解析】试题分析：均值为;方差为,故选D.【考点】数据样本的均值与方差.3．对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为和，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意两次射击相互独立，可运用对立事件的概率公式求解：因命中目标的概率分别是和，则两次都不命中的概率分别是和，故两次射击中至少有一次命中的概率是，应选答案C 。
点睛：求解本题时分别两次运用对立事件的概率公式，从而使得问题简捷获解。
其实也可以运用分类整合的数学思想直接求解：分三类：其一是两次都命中（两次射击互相独立）其概率为；其二是第一次命中，第二次未中，其概率是；其三是第一次未中，第二次命中，其概率是，最后整合以上三种情形可得所求事件的概率是。
4．已知双曲线过点()2,3，渐进线方程为y =±，则双曲线的标准方程是（ ）A.22711612x y-= B.22132yx-= C. 2213yx -= D.22312323yx-=【答案】C【解析】∵双曲线渐进线方程为y =，故可设双曲线方程为223yx λ-=，∵双曲线过点()2,3，则343λ-=，即1λ=，故双曲线的标准方程是2213yx -=，故选C.5．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。
福建省莆田市2017-2018学年高二下学期期中联考数学试卷(文科)Word版含解析
福建省莆田市2016-2017学年下学期期中联考试卷高二数学（文科）一、选择题（本题共12题，每题5分，共60分）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的3．设有一个回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时，则（）A．y平均增加2个单位B．y平均增加3个单位C．y平均减少2个单位D．y平均减少3个单位4．点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A．B．C．D．5．已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）A． B．，a≥e x，命题q：∃x∈R，使得x2+4x+a≤0．若命题“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，e）∪（4，+∞）12．设函数f（x）=ln（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件 B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件二．填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13．若复数（1+ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则复数1+ai的模是．14．在同一平面直角坐标系中，由曲线y=tanx变成曲线y′=3tan2x′的伸缩变换．15．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xoy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．16．已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．18．（12分）已知集合A={x|3＜x＜10}，B={x|x2﹣9x+14＜0}，C={x|5﹣m＜x＜2m}．（Ⅰ）求A∩B，（∁R A）∪B；（Ⅱ）若x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要条件，求实数的取值范围．19．（12分）某地区在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？20．（12分）过点P（）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于M，N两点，求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值．21．（12分）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．22．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．福建省莆田市2016-2017学年高二下学期期中联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12题，每题5分，共60分）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A．【点评】本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．3．设有一个回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时，则（）A．y平均增加2个单位B．y平均增加3个单位C．y平均减少2个单位D．y平均减少3个单位【考点】BP：回归分析．【分析】根据所给的线性回归方程，看出当自变量增加一个单位时，函数值增加3个单位，得到结果【解答】解：∵回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时变换为x+1，y1=2+3（x+1）∴y1﹣y=3，即平均增加3个单位，故选B．【点评】本题考查回归分析，本题是一个基础题，解题的关键是要说清楚y的值是平均增长3个单位．4．点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A．B．C．D．【考点】Q6：极坐标刻画点的位置．【分析】利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将点M的直角坐标是后化成极坐标即可．【解答】解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=，结合点在第二象限得：θ=，则点M的极坐标为．故选C．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．5．已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）A． B．，则M∩N=，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6．命题“三角形是最多只有一个角为钝角”的否定是（）A．有两个角为钝角B．有三个有为钝角C．至少有两个角为钝角D．没有一个角为钝角【考点】2J：命题的否定．【分析】根据命题否定即可得到结论．【解答】解：最多只有一个角为钝角的否定是：至少有两个角为钝角，故选：C【点评】本题主要考查命题的否定，注意量词之间的关系．7．将参数方程化为普通方程为（）A．y=x﹣2 B．y=x+2 C．y=x﹣2（2≤x≤3）D．y=x+2（0≤y≤1）【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】消去参数化普通方程为 y=x﹣2，再由 0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3，由此得到结论．【解答】解：将参数方程消去参数化普通方程为y=x﹣2，由 0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3．故选C．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，注意变量的取值范围，属于基础题．8．极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线C．一条直线和一个圆 D．一个圆【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论【解答】解：极坐标方程ρcosθ=2sin2θ可化为：ρcosθ=4sinθcosθ∴cosθ=0或ρ=4sinθ∴或x2+y2﹣4y=0∴极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为一条直线和一个圆故选C．【点评】研究极坐标问题，我们的解法是将极坐标方程化为直角坐标方程，再进行研究．9．已知命题p：x＜1；命题q：不等式x2+x﹣2＜0成立，则命题p的（）是命题q．A．充分而不必要条件 B．充要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于命题q：解出不等式，即可判断出关系．【解答】解：命题p：x＜1；命题q：不等式x2+x﹣2＜0成立，解得：﹣2＜x＜1．则命题p的充分不必要条件是命题q．故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定【考点】F9：分析法和综合法．【分析】本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子P=+，Q=+，很难找到由已知到未知的切入点，故我们可以用分析法来证明．【解答】解：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证：2a+7+2＜2a+7+2，只要证：a2+7a＜a2+7a+12，只要证：0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立．故选C【点评】分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．11．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＜0”D．已知命题p：∀x∈，a≥e x，命题q：∃x∈R，使得x2+4x+a≤0．若命题“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，e）∪（4，+∞）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】直接写出原命题的否定判断A；求出方程x2﹣5x﹣6=0的解结合充分必要条件的判断方法判断B；写出特称命题的否定判断C；求出p，q为真命题的a的范围，由补集思想求得命题“p∧q”是假命题的实数a的取值范围．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；由x2﹣5x﹣6=0，解得x=﹣1或x=6，∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故B错误；命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”，故C错误；由命题p：∀x∈，a≥e x为真命题，得a≥e，由命题q：∃x∈R，使得x2+4x+a≤0，得△=42﹣4a≥0，即a≤4．若命题“p∧q”是假命题，则p，q中至少一个为假命题，而满足p，q均为真命题的a的范围是，则满足“p∧q”是假命题的实数a的取值范围是（﹣∞，e）∪（4，+∞）．故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判断方法，考查了原命题、否命题及复合命题的真假判断，是中档题．12．设函数f（x）=ln（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件 B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题设条件知对于任意的实数a和b，a+b≥0⇒f（a）+f（b）≥0；f（a）+f（b）≥0⇒a+b≥0，从而判断出结论即可．【解答】解：显然，函数f（x）在R上是递增函数，而且是奇函数，于是，由a+b≥0，得a≥﹣b，有f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b），即f（a）+f（b）≥0．反过来，也成立．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，解题时要注意函数单调性的合理运用．二．填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13．若复数（1+ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则复数1+ai的模是．【考点】A8：复数求模．【分析】纯虚数是实部为0，虚部不为0，先求出代入模长计算公式即可．【解答】解：∵（1+ai）2=1﹣a2+2ai是纯虚数，∴1﹣a2=0且2a≠0，∴a=±1，∴1+ai=1±i，∴1+ai的模=故答案为．【点评】本题考查纯虚数的定义及模长计算公式，是一道基础题14．在同一平面直角坐标系中，由曲线y=tanx变成曲线y′=3tan2x′的伸缩变换．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把函数y′=3tan2x′化为=3tan2x′，由函数y=tanx变成函数=tan2x′，应满足，即得变换公式x′与y′的表达式．【解答】解：函数y′=3tan2x′即=tan2x′，将函数y=tanx变成函数y′=3tan2x′，即=tan2x′，故有，即伸缩变换是．故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象变换问题，解题时应熟知坐标变换公式，是基础题目．15．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xoy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）的直角坐标方程，曲线C表示以（，）为圆心，以R=1为半径的圆，最后利用直线和圆的相交关系中弦长公式求解即可．【解答】解：l的直角坐标方程为y=+，ρ=2cos（θ﹣）的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1，所以圆心（，）到直线l的距离d==，∴|AB|=2=2 =．…（10分）【点评】本题考查了极坐标、直角坐标方程及参数方程的互化，圆中弦长计算方法等．属于基础题．16．已知=2， =3， =4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= 41 ．【考点】F3：类比推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n个应该是，左边的式子，写出结果．【解答】解：观察下列等式=2， =3， =4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案为：41．【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）（2016•衡阳三模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得圆的直角坐标方程；（2）求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB 的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1 …（2）在直角坐标系中A（0，3），B（，）所以|AB|==3，直线AB的方程为：x+y=3所以圆心到直线AB的距离d==，又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为+1故△ABP面积的最大值为S==…（10分）【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线和圆方程的运用，注意运用圆上的点到直线的距离的最值，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．18．（12分）（2016春•福州期中）已知集合A={x|3＜x＜10}，B={x|x2﹣9x+14＜0}，C={x|5﹣m＜x＜2m}．（Ⅰ）求A∩B，（∁R A）∪B；（Ⅱ）若x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要条件，求实数的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；1H：交、并、补集的混合运算．【分析】（I）由x2﹣9x+14＜0，解得2＜x＜7，可得B，A∩B，由集合A={x|3＜x＜10}，可得∁R A={x|x≤3，或x≥10}，利用并集的运算性质可得：（∁R A）∪B．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A∩B={x|3＜x＜7}，由x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要条件，可得：C⊊（A∩B）．对C与∅的关系、对m分类讨论即可得出．【解答】解：（I）由x2﹣9x+14＜0，解得2＜x＜7，∴B={x|2＜x＜7}．∴A∩B={x|3＜x＜7}，∵集合A={x|3＜x＜10}，∴∁R A={x|x≤3，或x≥10}，∴（∁R A）∪B={x|x＜7，或x≥10}．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A∩B={x|3＜x＜7}，∵x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要条件，∴C⊊（A∩B）．①当C=∅时，满足C⊊（A∩B），此时5﹣m≥2m，解得；②当C≠∅时，要使C⊊（A∩B），当且仅当，解得．综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，2]．【点评】本题考查了集合的运算性质、分类讨论方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016春•湖北期中）某地区在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动． （1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）根据题意，建立2×2列联表即可； （2）计算观测值K 2，对照数表即可得出概率结论． 【解答】解：（1）根据题意，建立2×2列联表，如下；（2）计算观测值；所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下， 没有找到充足证据证明“性别与休闲方式有关系”．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，解题的关键是正确计算出数据的观测值，理解临界值对应的概率的意义．20．（12分）（2017春•晋江市校级期中）过点P （）作倾斜角为α的直线与曲线x 2+2y 2=1交于M ，N 两点，求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值． 【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用已知可得：直线的参数方程为（t为参数），0≤α＜π，把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2=1，整理得t的二次方程，由于直线与椭圆相交两点，可得△≥0，得出sinα的取值范围，再利用参数的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=即可．【解答】解：设直线MN的方程为（t为参数），0≤α＜π，代入椭圆的方程可得，t2（1+sin2α）+tcosα+=0，判别式△=10cos2α﹣6（1+sin2α）=4﹣16sin2α≥0，解得0≤sinα≤，即有|PM|•|PN|=|=|t1t2|=≥=，当且仅当sinα=，即α=或时取等号．∴当α=或时，|PM|•|PN|的最小值为．【点评】本题考查了直线的参数方程及其几何意义、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．21．（12分）（2017•泉州模拟）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据a，b，c全不相等，推断出全不相等，然后利用基本不等式求得＞2，＞2，＞2，三式相加整理求得＞3，原式得证．【解答】解：∵a，b，c全不相等，∴全不相等∴＞2，＞2，＞2三式相加得，＞6∴＞3即＞3【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则．22．（12分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【考点】F9：分析法和综合法；F1：归纳推理．【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得这个常数的值．（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣，化简可得结果．【解答】解：选择（2），计算如下：sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故这个常数为．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin2α=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．【点评】本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．。
福建省莆田县高二数学下学期期中试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题
2016-2017学年某某省某某高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题1.已知集合，B={x|x2﹣2x﹣8≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣2≤x≤0} B．{x|2≤x≤4} C．{x|0≤x≤4} D．{x|x≤﹣2}2．已知函数f（x）=x+cosx，则f′（）=（）A．B．C．1﹣D．3．已知i是虚数单位，复数z满足z=i（i﹣1），则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i4．已知集合A={x|log2x＜1}，B={y|y=2x，x≥0}，则A∩B=（）A．∅B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|1＜x≤2}5．已知函数f（x）=x3在点P处的导数值为3，则P点的坐标为（）A．（﹣2，﹣8） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣2，﹣8）或（2，8）D．（﹣1，﹣1）或（1，1）6．函数f（x）=（2πx）2的导数是（）A．f′（x）=4πx B．f′（x）=4π2x C．f′（x）=8π2x D．f′（x）=16πx 7．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.98．函数的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．69．三次函数的图象在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，则f（x）在区间（1，3）上的最小值是（）A．B．C．D．10．若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|≤a2﹣2a﹣1在R上的解集为∅，则实数a的取值X围是（）A．a＜﹣1或a＞3 B．a＜0或a＞3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤311．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）12．函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（ln2）=2，则不等式f（x）＞e x的解是（）A．x＞1 B．0＜x＜1 C．x＞ln2 D．0＜x＜ln2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双语测试中，至少有一科得A才能通过测试，已知某同学语文得A的概率为0.8，英语得A的概率为0.9，两者互不影响，则该同学通过测试的概率为．14．已知复数i+（a∈R）为实数，则a=．15．为研究学生物理成绩与数学成绩是否相关，某中学老师将一次考试中五名学生的数学、物理成绩记录如下表所示：学生A1A2A3A4A5数学（x分）89 91 93 95 97物理（y分）87 89 t 92 93根据上表提供的数据，经检验物理成绩与数学成绩呈线性相关，且得到y关于x的线性回归方程=0.75+20.25，那么表中t的值为．16．设集合A={a|f（x）=8x3﹣3ax2+6x是（0，+∞）上的增函数}，B={y|y=，x∈}，则∁R（A∩B）=．三、解答题（6题共70分）17．（10分）已知复数z1=3﹣2i，z2=﹣2+3i．（1）求z1z2；（2）若复数z满足，求|z|．18．（12分）某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示（单位：人）．80及80分以下80分以上合计试验班35 15 50对照班15 m 50合计50 50 n（1）求m，n；（2）你有多大把握认为“教学方式与成绩有关系”？参考公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量．p（K2≥k）…0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 …k … 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 …19．（12分）设函数f（x）=x3+3ax2﹣9x+5，若f（x）在x=1处有极值．（1）某某数a的值；（2）求函数f（x）的极值．选修4-5：不等式选讲20．（12分）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，某某数t的最大值．选修4-5：不等式选讲21．（12分）已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=f（x）min，求证： ++≥3．22．（12分）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，某某数a的最大值．2016-2017学年某某省某某二十五中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1.已知集合，B={x|x2﹣2x﹣8≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣2≤x≤0} B．{x|2≤x≤4} C．{x|0≤x≤4} D．{x|x≤﹣2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合={x|x≥0}，B={x|x2﹣2x﹣8≤0}={x|﹣2≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x≤4}．故选：C．【点评】本题考查了解不等式与求交集的运算问题，是基础题．2．已知函数f（x）=x+cosx，则f′（）=（）A．B．C．1﹣D．【考点】63：导数的运算．【分析】求出函数的导数，直接代入即可进行求值．【解答】解：∵f（x）=x+cosx，∴f′（x）=1﹣sinx，即f′（）=1﹣sin=1﹣，故选：A．【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．3．已知i是虚数单位，复数z满足z=i（i﹣1），则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=i（i﹣1）=i2﹣i=﹣1﹣i，∴z的虚部是﹣1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．已知集合A={x|log2x＜1}，B={y|y=2x，x≥0}，则A∩B=（）A．∅B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|1＜x≤2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，B={y|y=2x，x≥0}={y|y≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．5．已知函数f（x）=x3在点P处的导数值为3，则P点的坐标为（）A．（﹣2，﹣8） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣2，﹣8）或（2，8）D．（﹣1，﹣1）或（1，1）【考点】63：导数的运算．【分析】求出f（x）的导数，令导数等于3，求出P的横坐标，代入f（x）求出P的纵坐标．【解答】解：∵f′（x）=3x2令3x2=3解得x=±1代入f（x）的解析式得P（1，1）或（﹣1，﹣1）故选D【点评】本题考查导数的运算法则、考查如何求函数的导函数值：先求出导函数，在将自变量的值代入．6．函数f（x）=（2πx）2的导数是（）A．f′（x）=4πx B．f′（x）=4π2x C．f′（x）=8π2x D．f′（x）=16πx 【考点】63：导数的运算．【分析】利用复合函数的求导法则：外函数的导数乘以内函数的导数，求出f′（x）．【解答】解：f′（x）=2（2πx）（2πx）′=8π2x故选C【点评】求函数的导数关键是判断出函数的形式，然后选择合适的求导法则．7．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.9【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可．【解答】解：由题意==2，==4.5．因为回归直线方程经过样本中心，所以4.5=0.95×2+a，所以a=2.6．故选：B．【点评】本题考查回归直线方程的应用，回归直线方程经过样本中心是解题的关键．8．函数的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由已知中的函数的解析式，易画出函数的图象，结合函数图象可得答案．【解答】解：函数的图象如下图所示：由图可得函数的最大值是4故选B【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，利用数形结合的方法，可快速准确的求出答案．9．三次函数的图象在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，则f（x）在区间（1，3）上的最小值是（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a，再求f（x）在区间（1，3）上的最小值．【解答】解：f′（x）=3ax2﹣3x+2，由图象在（1，f（1））处的切线平行于x轴，可得f′（1）=3a﹣3+2=0，解得a=，∴f′（x）=（x﹣1）（x﹣2），函数在（1，2）上单调递减，（2，3）上单调递增，∴x=2时，f（x）在区间（1，3）上的最小值是．故选D．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，函数的单调性与最值，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于中档题．10．若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|≤a2﹣2a﹣1在R上的解集为∅，则实数a的取值X围是（）A．a＜﹣1或a＞3 B．a＜0或a＞3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】|x﹣1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值等于2，再由a2﹣2a﹣1＜2，解得a的取值X围．【解答】解：|x﹣1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值等于2，由题意|x﹣1|+|x﹣3|≤a2﹣2a﹣1的解集为空集，可得|x﹣1|+|x﹣3|＞a2﹣2a﹣1恒成立，故有2＞a2﹣2a﹣1，解得﹣1＜a＜3，故选：C．【点评】本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得到2＞a2﹣2a﹣1，是解题的关键，属于中档题．11．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．【点评】解决此类问题的关键是熟悉函数的单调性与导数的关系，以及掌握读图与识图的技巧再结合不等式的解法即可得到答案．12．函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（ln2）=2，则不等式f（x）＞e x的解是（）A．x＞1 B．0＜x＜1 C．x＞ln2 D．0＜x＜ln2【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案．【解答】解：∵∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，∵不等式f（x）＞e x，∴g（x）＞1，∵f（ln2）=2，∴g（ln2）=1，∴x＞ln2，故选：C．【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双语测试中，至少有一科得A才能通过测试，已知某同学语文得A的概率为0.8，英语得A的概率为0.9，两者互不影响，则该同学通过测试的概率为0.97 ．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】该同学通过测试的对立事件是语文和英语同时没有得A，由此能求出该同学通过测试的概率．【解答】解：∵双语测试中，至少有一科得A才能通过测试，∴该同学通过测试的对立事件是语文和英语同时没有得A，∵某同学语文得A的概率为0.8，英语得A的概率为0.9，两者互不影响，∴该同学通过测试的概率：p=1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）=0.97．故答案为：0.97．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式的合理运用．14．已知复数i+（a∈R）为实数，则a= 2 ．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解．【解答】解：∵i+=i+=i+=为实数，∴1﹣，得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．15．为研究学生物理成绩与数学成绩是否相关，某中学老师将一次考试中五名学生的数学、物理成绩记录如下表所示：学生A1A2A3A4A5数学（x分）89 91 93 95 97物理（y分）87 89 t 92 93根据上表提供的数据，经检验物理成绩与数学成绩呈线性相关，且得到y关于x的线性回归方程=0.75+20.25，那么表中t的值为89 ．【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据题中数据求出平均数，带入线性回归方程=0.75x+20.25，可得，即可求解．【解答】解：由题中数据，平均数=．由=0.75x+20.25，即=0.75×93+20.25=90．∴==90．解得：t=89．故答案为：89．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．16．设集合A={a|f（x）=8x3﹣3ax2+6x是（0，+∞）上的增函数}，B={y|y=，x∈}，则∁R（A∩B）= （﹣∞，1）∪（2，+∞）．【考点】3F：函数单调性的性质；1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先对已知函数求导，然后由f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立可求a的X围，即可求解A由y=在上的单调性可求B，进而可求A∩B，即可求解C R（A∩B）【解答】解：∵若f（x）=8x3﹣3ax2+6x在（0，+∞）上的增函数，则f′（x）=24x2﹣6ax+6≥0即a≤=4x+在（0，+∞）上恒成立∵=4x+≥4∴a≤4∴A={a|f（x）=8x3﹣3ax+6x（0，+∞）上的增函数}=（﹣∞，4]∵的图象由的图象左移两个单位得到故在上函数为减函数∴=，∴A∩B=则C R（A∩B）=（﹣∞，1）∪（4，+∞）故答案为：（﹣∞，1）∪（4，+∞）【点评】本题以集合的基本运算为载体，主要考查了导数在函数的单调性的性中的应用及函数的图象的平移、及函数的单调性在求解值域中的应用，试题具有一定的综合性三、解答题（6题共70分）17．（10分）（2017春•秀屿区校级期中）已知复数z1=3﹣2i，z2=﹣2+3i．（1）求z1z2；（2）若复数z满足，求|z|．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）根据复数的乘法即可求出，（2）根据复数的混合运算即可求出z，再求出其模即可/【解答】解：（1）∵z1=3﹣2i，z2=﹣2+3i，∴z1•z2=（3﹣2i）（﹣2+3i）=﹣6﹣6i2+9i+4i=13i；（2）==，∴z====+i，∴|z|==【点评】本题考查了复数的混合运算和复数的模，属于基础题．18．（12分）（2017春•秀屿区校级期中）某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示（单位：人）．80及80分以下80分以上合计试验班35 15 50对照班15 m 50合计50 50 n（1）求m，n；（2）你有多大把握认为“教学方式与成绩有关系”？参考公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量．p（K2≥k）…0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 …k … 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 …【考点】BL：独立性检验．【分析】（1）根据列联表中的数据，求出m、n的值；（2）计算观测值K2，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）根据如2×2列联表知，m=50﹣15=35，n=50+50=100；（2）计算观测值K2===16＞10.828，所以有99.9%的把握认为“教学方式与成绩有关系”．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19．（12分）（2017春•秀屿区校级期中）设函数f（x）=x3+3ax2﹣9x+5，若f（x）在x=1处有极值．（1）某某数a的值；（2）求函数f（x）的极值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用f（x）在x=1时取极值，则求出f′（x）得到f′（1）=0，解出求出a 即可．（2）利用函数的导数，判断函数的单调性求解函数的极值即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2+6ax﹣9，f（x）在x=1时取得极值，∴f′（1）=3+6a﹣9=0∴a=1．（2）由（1）可得f′（x）=3x2+6x﹣9=3（x﹣1）（x+3）．函数的极值点为x=1，x=﹣3，当x＜﹣3，或x＞1时，函数是增函数，x∈（﹣3，1）时，函数是减函数，x=﹣3函数取得极大值，极大值为：f（﹣3）=32，x=1时，函数取得极小值，极小值为：f（1）=0．【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查学生的计算能力，是中档题．选修4-5：不等式选讲20．（12分）（2017•某某三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，某某数t的最大值．【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的X围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．选修4-5：不等式选讲21．（12分）（2017春•秀屿区校级期中）已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=f（x）min，求证： ++≥3．【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）对x的X围进行讨论，去掉绝对值符号解出不等式；（2）化简f（x），判断单调性得出f（x）的最小值，利用基本不等式证明结论．【解答】解：（1）∵f（x）≤6，即2|x+1|+|x﹣2|≤6，当x≤﹣1时，不等式为﹣2x﹣2+2﹣x≤6，解得x≥﹣2，∴﹣2≤x≤﹣1；当﹣1＜x＜2时，不等式为2x+2+2﹣x≤6，解得x≤2，∴﹣1＜x＜2；当x≥2时，不等式为2x+2+x﹣2≤6，解得x≤2，∴x=2．综上，f（x）≤6的解为．（2）f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（﹣1）=3．∴a+b+c=3．∴+a+b+c≥2+2+2=2a+2b+2c=6，∴≥6﹣a﹣b﹣c=3．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．22．（12分）（2017•石景山区一模）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，某某数a的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出斜率f'（1）=1，然后求解切线方程．（Ⅱ）化简=．求出，令，解得x=1．判断函数的单调性求出极小值，推出结果．（Ⅲ）设h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），依题意，对于任意x＞1，h（x）＞0恒成立．，a≤1时，a＞1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．【解答】解：（Ⅰ），f'（1）=1，又f（1）=0，所以切线方程为y=x﹣1；（Ⅱ）证明：由题意知x＞0，令=．令，解得x=1．易知当x＞1时，g'（x）＞0，易知当0＜x＜1时，g'（x）＜0．即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，所以g（x）min=g（1）=0，g（x）≥g（1）=0即，即x＞0时，；（Ⅲ）设h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），依题意，对于任意x＞1，h（x）＞0恒成立．，a≤1时，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，满足题意．a＞1时，随x变化，h'（x），h（x）的变化情况如下表：x （1，a） a （a，+∞）h'（x）﹣0 +h（x）↘极小值↗h（x）在（1，a）上单调递减，所以g（a）＜g（1）=0即当a＞1时，总存在g（a）＜0，不合题意．综上所述，实数a的最大值为1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
【全国百强校】福建省莆田第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试语文试题
绝密★启用前【全国百强校】福建省莆田第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试语文试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：0分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）试卷第2页，共11页第II 卷（非选择题）一、（题型注释）1、下列各句中，加点成语使用全部正确的一项是①浔阳江头琵琶女的琵琶声一会儿像花底下宛转流畅的鸟鸣声，一会儿又像水在冰下流动受阻艰涩低沉、呜咽断续的声音，真可谓是大音希声。
②我们不能拿一所学校美轮美奂的建筑来衡量这所学校是否优质，应该要看学校师生的生活质量，学校所培养出来的人才规格。
③在采取行动之前，保持谨慎态度是必要的，但因谨小慎微而丧失发展或取胜的机会就得不偿失了。
④假期返校，学生课内学习的状态无比糟糕，就像身处迷雾之中目无全牛，看不清自己的目标。
⑤和庖丁解牛的理念相同，郭橐驼种树时顺从着树木生长的自然规律，而其他种树的人没有明白这一道理，所以即使窥伺效慕也没法把树种好。
A ．①②③B ．②③⑤C ．①②④D ．③④⑤2、下列各句中，没有语病的一项是A ．小品《取钱》从故事到表演都算是春节档小品节目中的上乘之作，节目普及防电信诈骗常识的同时,也引发了人们对时下盛行的电信诈骗的广泛而热烈的讨论和思考。
B ．“儒”在中华传统文化中是人们德行修养的一个重要标志：以儒经商，称为儒商；以儒行医，称为儒医……人们之所以喜欢在职业名称前面加上一个儒字的原因是因为它不仅仅是知识渊博的代名词，更是德行高尚的同义语。
C ．《人民的名义》是题材与尺度的突破，也是电视剧语言的突破。
该剧敢于触碰敏感题材，说真话，说人话，讲能引发当下人感怀的道理，正是因为如此，网上一片沸腾的娱乐化解读，并不会消解剧作的严肃性。
2016-2017年福建省莆田一中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）设复数z满足z（1+i）=4，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i2．（5分）若椭圆+=1与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．23．（5分）已知a＞0，﹣1＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a＜ab＜ab2B．ab＜a＜ab2C．ab＜ab2＜a D．ab2＜a＜ab 4．（5分）如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4B．3.15C．4.5D．35．（5分）设函数，则函数f（x）能取得（）A．最小值为2B．最大值为2C．最小值为﹣2D．最大值为﹣2 6．（5分）若正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，则x+2y的最小值（）A．3B．4C．D．7．（5分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13B．25=9+16C．36=10+26D．49=21+28 8．（5分）在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语．乙是法国人，还会说日语．丙是英国人，还会说法语．丁是日本人，还会说汉语．戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为（）A．甲丙丁戊乙B．甲丁丙乙戊C．甲乙丙丁戊D．甲丙戊乙丁9．（5分）如图是一个算法的流程图，若输入x的值为4，则输出y的值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．010．（5分）函数y=x2﹣ln|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1B．y=f（x）•e x+1C．y=f（x）•e x﹣1D．y=f（﹣x）•e x+112．（5分）已知F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则的模等于．14．（5分）若关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则实数a的取值范围是．15．（5分）观察以下三个不等式：①（12+22+32）（32+42+52）≥（1×3+2×4+3×5）2；②（72+92+102）（62+82+112）≥（7×6+9×8+10×11）2；③（202+302+20172）（992+902+20162）≥（20×99+30×90+2017×2016）2；若2x+y+z=﹣7，x，y，z∈R时，则（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2的最小值为．16．（5分）已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里．三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求．18．（12分）已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）求不等式f（）＜6的解集；（2）若k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．19．（12分）随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表．（Ⅰ）若以“年龄”45岁为分界点，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）若从年龄在[25，35）和[55，65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55，65）的概率．参考数据如下：附临界值表：K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）20．（12分）已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF1的周长为8，且△AF1F2的面积的最大时，△AF1F2为正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：为定值．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1+ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）求证：e x﹣1≥x；（3）求证：当a≥﹣2时，∀x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）设复数z满足z（1+i）=4，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【解答】解：由z（1+i）=4，得z====2﹣2i，则复数z的虚部是﹣2，故选：B．2．（5分）若椭圆+=1与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．2【解答】解：由题意可知椭圆的半焦距c的平方为：c2=4﹣a2双曲线的半焦距c的平方为：c2=a+2；∴4﹣a2=a+2，解得：a=1．（负值舍去）故选：A．3．（5分）已知a＞0，﹣1＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a＜ab＜ab2B．ab＜a＜ab2C．ab＜ab2＜a D．ab2＜a＜ab 【解答】解：由a＞0，b＜0知，ab＜0，ab2＞0，又由﹣1＜b＜0知0＜b2＜1，所以ab2＜a，故选：C．4．（5分）如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）A．4B．3.15C．4.5D．3【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5，==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．5．（5分）设函数，则函数f（x）能取得（）A．最小值为2B．最大值为2C．最小值为﹣2D．最大值为﹣2【解答】解：由题意可知b＞0，由绝对值的几何意义可知f（x）表示数轴上x对应的点与﹣b及对应点的距离之和，显然f（x）无最大值，但有最小值，即当x对应的点位于﹣b及对应点之间（含端点）时，f（x）最小，此时f（x）min=+b≥2=2，当且仅当b=1时取等号，故选：A．6．（5分）若正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，则x+2y的最小值（）A．3B．4C．D．【解答】解：∵正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，∴x+2y+（）2﹣8≥0，设x+2y=t＞0，∴t+t2﹣8≥0，∴t2+4t﹣32≥0，即（t+8）（t﹣4）≥0，∴t≥4，故x+2y的最小值为4，故选：B．7．（5分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13B．25=9+16C．36=10+26D．49=21+28【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49．故选：D．8．（5分）在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语．乙是法国人，还会说日语．丙是英国人，还会说法语．丁是日本人，还会说汉语．戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为（）A．甲丙丁戊乙B．甲丁丙乙戊C．甲乙丙丁戊D．甲丙戊乙丁【解答】解：根据题干和答案综合考虑，运用排除法来解决，首先，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，B，C不成立，乙不能和甲交流，A错误，因此，D正确．9．（5分）如图是一个算法的流程图，若输入x的值为4，则输出y的值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：模拟程序的运行，可得x=4，y=1，不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=2，y=0；不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=0，y=﹣1；不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=﹣2，y=﹣2；满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣2．故选：B．10．（5分）函数y=x2﹣ln|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由函数y=x2﹣ln|x知x≠0，排除B、C．当x＞0时，y=x2﹣lnx，，知当时，函数y=x2﹣lnx取得极小值，故选：A．11．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1B．y=f（x）•e x+1C．y=f（x）•e x﹣1D．y=f（﹣x）•e x+1【解答】解：根据题意，x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则有f（x0）=，依次分析选项：对于A、y=f（﹣x）•e﹣x﹣1，将x=﹣x0代入可得：y=f（x0）﹣1≠0，不符合题意；对于B、y=f（x）•e x+1，将x=﹣x0代入可得：y=f（﹣x0）+1=﹣•+1=0，即﹣x0一定是其零点，符合题意，对于C、y=f（x）•e x﹣1，将x=﹣x0代入可得：y=f（﹣x0）﹣1=﹣•﹣1≠0，不符合题意；对于D、y=f（﹣x）•e x+1，将x=﹣x0代入可得：y=f（x0）+1=•+1≠0，不符合题意；故选：B．12．（5分）已知F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，可得直线l为AB的垂直平分线，AB的中点为（，），AB的斜率为﹣，可得直线l的方程为y﹣=（x﹣），令y=0，可得x=a﹣，由题意可得﹣c=a﹣，即有a（a+2c）=b2=c2﹣a2，由e=，可得e2﹣2e﹣2=0，解得e=1+（1﹣舍去），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则的模等于1．【解答】解：复数z===﹣i，∴=i，则||=1．故答案为：1．14．（5分）若关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则实数a的取值范围是[45，80）．【解答】解：关于x的不等式5x2﹣a≤0的正整数解是1，2，3，∴a＞0，解不等式得x2≤，∴﹣≤x≤，∴3≤＜4，∴9≤＜16，即45≤a＜80，∴实数a的取值范围是[45，80）．故答案为：[45，80）．15．（5分）观察以下三个不等式：①（12+22+32）（32+42+52）≥（1×3+2×4+3×5）2；②（72+92+102）（62+82+112）≥（7×6+9×8+10×11）2；③（202+302+20172）（992+902+20162）≥（20×99+30×90+2017×2016）2；若2x+y+z=﹣7，x，y，z∈R时，则（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2的最小值为．【解答】解：由题意，[（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2]（22+12+12）≥（2x+2+y+2+z+1）2，2x+y+z=﹣7，∴（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2≥，∴（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2的最小值为，故答案为．16．（5分）已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠900公里．【解答】解：因为要求最远，所以3人同去耗水和食物，即只一人去，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回．则甲有的食物：36﹣12+12+12=48（天）甲再走：（48﹣12）÷2=18（天）30×（12+18）=900公里．故答案为900．三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0直线C2的方程为y=，极坐标方程为tanθ=；（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，∴+==．18．（12分）已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）求不等式f（）＜6的解集；（2）若k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．【解答】解：（1）x≤0，不等式可化为﹣x﹣x+3＜6，∴x＞﹣3，∴﹣3＜x≤0；0＜x＜6，不等式可化为x﹣x+3＜6，成立；x≥6，不等式可化为x+x﹣3＜6，∴x＜9，∴6≤x＜9；综上所述，不等式的解集为{x|﹣3＜x＜9}；（2）f（x）=|x|+|x﹣3|．由题意作图如下，k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，由直线过（0，3）可得k=，由直线过（3，3）可得k=，∴．19．（12分）随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表．（Ⅰ）若以“年龄”45岁为分界点，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）若从年龄在[25，35）和[55，65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55，65）的概率．参考数据如下：附临界值表：K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）【解答】（Ⅰ）解：根据条件得2×2列联表：…（3分）根据列联表所给的数据代入公式得到：…（5分）所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；…（6分）（Ⅱ）解：按照分层抽样方法可知：[55，65）抽取：（人）；[25，35）抽取：（人）…（8分）在上述抽取的6人中，年龄在[55，65）有2人，年龄[25，35）有4人．年龄在[55，65）记为（A，B）；年龄在[25，35）记为（a，b，c，d），则从6人中任取3名的所有情况为：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）（a，b，d）（a，c，d）（b，c，d）共20种情况，…（9分）其中至少有一人年龄在[55，65）岁情况有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．…（10分）记至少有一人年龄在[55，65）岁为事件A，则…（11分）∴至少有一人年龄在[55，65）岁之间的概率为．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，（2分）所以f（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增（4分）于是f（x）有极小值f（1）=0，无极大值（6分）（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解（8分）即或f′（1）≤0（10分）解得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）（12分）21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF1的周长为8，且△AF1F2的面积的最大时，△AF1F2为正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：为定值．【解答】解：（1）由已知A，B在椭圆上，可得|AF1|+|AF2|=|BF1|=|BF2|=2a，又△ABF1的周长为8，所以|AF1|+|AF2|+|BF1|=|BF2|=4a=8，即a=2，由椭圆的对称性可得，△AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点，则a=2c，即c=1，b2=a2﹣c2=3，则椭圆C的方程为+=1；（2）证明：若直线l的斜率不存在，即l：x=1，求得|AB|=3，|MN|=2，可得=4；若直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），代入椭圆方程+=1，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，有x1+x2=，x1x2=，|AB|=•=，由y=kx代入椭圆方程，可得x=±，|MN|=2•=4，即有=4．综上可得为定值4．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1+ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）求证：e x﹣1≥x；（3）求证：当a≥﹣2时，∀x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．【解答】解：（1）f'（x）=e x﹣1+a，当a≥0时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在R上单调递增，当a＜0时，令f'（x）=0，即x=ln（﹣a）+1，f'（x）＞0，得x＞ln（﹣a）+1；f'（x）＜0，得x＜ln（﹣a）+1，所以，当a≥0时．函数f（x）在R上单调递增，当a＜0时，f（x）的增区间是（ln（﹣a）+1，+∞）单调递减区间是（﹣∞，ln（﹣a）+1），（2）证明：令a=﹣1，由（1）得f（x）的增区间是（+1，+∞）单调递减区间是（﹣∞，1），函数f（x）=e x﹣1﹣x的最小值为f（1）=0，∴e x﹣1﹣x≥0即e x﹣1≥x；（3）证明：f（x）+lnx≥a+1恒成立⇔f（x）+lnx﹣a﹣1≥0恒成立．令g（x）=f（x）+lnx﹣a﹣1=e x﹣1+a（x﹣1）+lnx﹣1，则g′（x）=e x﹣1++a．当a≥﹣2时，g′（x）=e x﹣1++a≥x++a≥2=2+a≥0，∴x∈[1，+∞）时，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（1）=0，即当a≥﹣2时，∀x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．。
2016-2017学年福建省莆田第一中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2016-2017学年福建省莆田第一中学高一下学期期中考试数学试题一、选择题1．圆()2225x y ++=关于直线y x =对称的圆的方程为( ) A. ()2225x y -+= B. ()2225x y +-= C. ()()22225x y +++= D. ()2225x y ++=【答案】D【解析】()2225x y ++=圆心为（-2,0）关于y=x 对称则对称圆的圆心为（0，-2）半径不变，故选D2．如图，正方形////O A B C 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）A.2B. 1C.D. 【答案】C【解析】由图可知''B O 故原图的长为 ''1A O =在x 轴上所以原图长度不变，由题图可得原图为平行四边形且''A O ⊥''B O ,所以原图面积为： 1⨯3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB 与CD 的位置关系为（ ）A. 平行B. 相交成60°角C. 异面成60°角D. 异面且垂直 【答案】C 【解析】由图可知还原立体图像为：所以可知AB ，CD 异面，因为CE 平行AB ，所以∠DCE 为所求角，因为三角形CDE 为等边三角形，故∠DCE=60°选C 4．若直线1:210l x y -+=与2:220l x ay +-=平行，则1l 与2l 的距离为（ ）A.5 B. 5C. 15D. 25【答案】B【解析】根据平行线可得4a =，所以2:210l x y +-=根据距离公式可得：5 5．某几何体的三视图如下图所示，则其侧面积为（ ）A ．32+．22C ．62．32+【答案】A【解析】试题分析：由题意得，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1，四个侧面都是直角梯形，其中三角形PBC 的高为PB =，其侧面积为PABS SSSS ∆∆∆∆=+++11122=⨯11326121222+⨯⨯+⨯⨯=．【考点】几何体的三视图及四棱锥的侧面积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图可知原几何体为底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1，四个侧面都是直角梯形的四棱锥，即可求解该几何体的侧面积．6．已知m , n 是两条不同的直线， ,αβ是两个不同的平面，下列说法中： ①若,m m αβ⊥⊥，则α∥β ②若m ∥α,α∥β,则m ∥β③若,m α⊥ m ∥β，则αβ⊥ ④若m ∥α， n m ⊥，则n α⊥ 所有正确说法的序号是（ ）A. ②③④B. ①③C. ①②D. ①③④ 【答案】B【解析】①若,m m αβ⊥⊥，则α∥β，显然一条直线垂直两不同平面，则这两个平面平行，所以正确，②若m ∥α,α∥β,则m ∥β，这种情况要排除m 不在面β内，所以错误，③若,m α⊥ m ∥β，则αβ⊥，显然成立，④若m ∥α， n m ⊥，则n α⊥，此种情况n 可以和α平行或相交故错误，故选B7．直线230x y --=与圆()()22239x y -++=交于,E F 两点，则EOF ∆（O 是原点）的面积为（ ） A.32B.C. D. 34 【答案】B【解析】试题分析：圆()()22239x y -++=的圆心为，∴到直线230x y --=的距离，原点到直线的距离，∴面积为142⨯．【考点】1、点到直线的距离公式；2、直线与圆的位置关系．8．设0ω>，函数()2cos f x x ω=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么ω的值可以是（ ） A.12B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】由题可知()2cos fx x ω=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 2[0,]3x πωω∈则23πωπ≤所以32ω≤，故选A 9．圆224x y +=，过点()4,0A 作圆的割线ABC ，则弦BC 的中点的轨迹方程为（ ）A. ()2214x y -+= B. ()2214x y -+= (01)x ≤< C. ()2224x y -+= D. ()2224x y -+= (01)x ≤<【答案】D【解析】如图：，设中点为（x,y ）,过A 的斜率为k ，割线ABC 的方程为: (4)y k x =-,中点与圆心得连线与割线垂直，方程为： 0x ky +=，因为交点就是弦的中点，他在这两条直线上，故BC 的中点的轨迹方程为：()2224(01)x y x -+=≤<，所以选D10．已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点,M N 分别是圆1C ，圆2C 上的动点， P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）A. 7B. 4C. 9D. 2 【答案】C【解析】圆1C 的圆心为E(1,-1),半径为1，圆2C 的圆心为F(4,5)，半径为3，要使PN PM -的最大需PN 最大，PM 最小，PN 最大为PF+3，PM 最小为PE-1,故|PN PM -的最大值是PF+3-(PE-1)=PF-PE+4,F的对称点为()'4,5F -,PN-PM=''5PF PE EF -≤==,故|PN PM -的最大值是5+4=911．已知直线0(0)x y m m +-=>和圆224x y +=交于不同的两点A 、B ， O 为原点， 且有3OA OB AB +≥，则m 的取值范围为（ ）A.)+∞ B. )+∞ C. D.【答案】C【解析】设AB的中点为D ，则OD ⊥AB ，因为3223OA OB OD AB AB OD +=≥⇒≤,22214,14OD AB OD +=∴≥,由直线0x y m +-= (0)m >和圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，所以2214OD k ⎛-≤=<< 点睛：设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，再结合已知条件推出21OD ≥，接下来结合直线与圆相交，可得结轮12．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段1111,A B A D 上，且11A P AQ x ==， 01x <<，设面MEF ⋂面MPQ= l ，则下列结论中不成立的是( )A. //l 面ABCDB. l ⊥ACC. 面MEF 与面MPQ 垂直D. 当x 变化时， l 是定直线 【答案】C【解析】连接BD,11,A D A B ,显然平面1//MEF A DB 平面,而11,A B MP H A D QM G ⋂=⋂=,连接HG ,则//,//,l HG HG ABCD 又平面所以//,l A B C D 平面AC⊥BD,又HG//L//BD,故AC ⊥l ，只有当12x =时，平面MEF ⊥平面MPQ,无论x 怎么变化， l 定是直线故选C点睛：考察立体几何中线面得关系，要熟悉线面，面面之间关系得判定定理，然后再逐一分析即可二、填空题13．若()1,2,3a b a b b ==+⋅=，则b 与a 的夹角为______． 【答案】23π 【解析】()212cos 43cos 23a b b a b b a b πθθθ+⋅=⋅+=+=⇒=-⇒= 14．已知3sin 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2x = ． 【答案】【解析】试题解析：][216sin2sin 2cos 21sin 424425x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【考点】本题考查诱导公式 倍角公式点评：解决本题的关键是用已知角表示未知角15．若曲线1:1C y =与曲线()()2:120C yy kx k -⋅--=有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】13,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题可知曲线221:1(1)(1)1(1)C y x y y =⇒-+-=≥表示上半圆，曲线()()2:120C y y kx k -⋅--=表示y=1和y=k(x+2),显然y=1与半圆有两个交点，则只需y=k(x+2)与半圆有两个交点即可，当过（-2，0）的直线与圆相切时为一个临界值，此时d=r 314k=⇒=，当直线过（0,1）时为临界值此时k=12，所以k 的范围为13,24⎛⎫⎪⎝⎭点睛：首先明白曲线曲线1:1C y =表示是上半圆是解题关键，然后曲线()()2:120C y y kx k -⋅--=表示y=1和y=k(x+2),显然y=1与半圆有两个交点，则只需y=k(x+2)与半圆有两个交点即可，再找出与之两个交点临界值求解即可16．已知等边三角形ABC 的边长为,M N 分别为,AB AC 的中点，沿MN 将ABC ∆折成直二面角，则四棱锥A MNCB -的外接球的表面积为 . 【答案】52π【解析】试题分析：设外接球的球心为O ,四边形MNCB 的外接圆的圆心为1O ,点到平面MNCB 的距离为d ,即d OO =1,设等边三角形的高与MN 的交点为P ,则⊥PA 平面MNCB ,且3=AP ,1//OO AP ,如图,故9)3(22+-=d R ,又因四边形MNCB 的外接圆的圆心1O 是BC 的中点,则1222+=d R ,联立9)3(22+-=d R 与1222+=d R 可得13,1==R d ,所以四棱锥的外接球的面积ππ52134=⨯=S .1AP【考点】多面体的几何性质与外接球面积的计算．【易错点晴】多面体的外接球的体积面积问题一直以来都是教与学的难点.解答这类问题的关键是求半径,也是解答这类问题的难点值所在.本题在解答时充分借助题设条件,先搞清楚了四边形MNCB 的外接圆的圆心1O 的位置,再求出外接圆的半径.再结合球心与截面圆的半径之间的关系,建立了方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=129)3(2222d R d R ,求出了外接球的半径13=R 最后运用球的面积公式求出了外接球的面积为π52.三、解答题17．已知圆C ： 22+220x y x y +-=的圆心为C ， ()4,0A ， ()0,2B -（Ⅰ）在ABC ∆中，求AB 边上的高CD 所在的直线方程；（Ⅱ）求与圆C 相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 【答案】（1）210x y +-=（2） y x= 0x y -=或20x y +-=或20x y ++=【解析】试题分析：（1）先求出AB 的斜率，然后直线AB 与CD 垂直，斜率之积为-1得出CD 的斜率（2）截距相等要考虑两种情况，当截距都为0时和截距不为0时当两截距均为0时，设直线方程为y kx =则圆心C =k ，当两截距均不为0时，设直线方程为xy a +=则圆心C =，解出a 即可得出方程试题解析：解：（Ⅰ）依题意得，圆心为()1,1C -，半径r =()021402AB k --==-，、 ∴直线CD 的斜率为： 12CD ABk k -==- ∴直线CD 的方程为： ()121y x -=-+，即210x y +-=（Ⅱ）当两截距均为0时，设直线方程为y kx = 则圆心C=1k =，得直线为y x =当两截距均不为0时，设直线方程为x y a += 则圆心C=，解得2a =±，得直线为2x y +=或2x y +=-综上所述，直线方程为0x y -=或20x y +-=或20x y ++= 18．已知函数()cos 2cos 22sin cos 166f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若函数()()g x f x m =-在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）)1,3 【解析】试题分析：（1）先将原式化简为2sin 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的周期公式及单调增区间算法求解即可（2）先求出函数()f x 的值域，然后根据()f x m -在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，可知()f x m =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个相异的实根，即()y f x =图像与y m =的图像有两个不同的交点结合图像可得结果 试题解析：解：依题意得， ()11sin2sin2sin2122f x x x x x x =-++++sin212sin 213x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ∴函数()f x 单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）03x π≤≤∴233x πππ≤+≤ ∴ 0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ ∴ ()13f x ≤≤由函数()()g x f x m =-在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，可知()f x m =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个相异的实根，即()y f x =图像与y m =的图像有两个不同的交点13m ≤<时，两图像有两个不同的交点∴实数m 的取值范围是)1,3点睛：先将三角函数化简然后再由周期公式可求周期，然后令化简得括号整体放入函数增区间求解即可，对于零点问题可转化为图形交点个数问题，先求出f （x ）的值域然后由图形可得m 取值范围达到满足题意，此种问题注意多结合数形结合做题 19．已知向量()()sin ,2a x ωϕ=+， ()()1,cos b x ωϕ=+， (0,0)4πωϕ><<，函数()()()f x a b a b =+-，已知()y f x =的图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点71,2M ⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅰ）求函数()f x 的解析式（Ⅱ）先将函数()y f x =图像上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，再向右 平移(0)m m >个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数()y g x =的图像， 若函数()g x 的图像关于原点对称，求实数m 的最小值. 【答案】（1）()cos 326f x x ππ⎛⎫=-++⎪⎝⎭（2）43π 【解析】试题分析：（1）先化简函数表达式为()cos 223x ωϕ-++，再由图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点71,2M ⎛⎫⎪⎝⎭求出未知量得解析式（2）先根据题意平移伸缩变化得11cos 226x m π⎛⎫--+⎪⎝⎭，再由图像关于原点对称得()223m k k Z ππ=--∈取适当m 值求解 试题解析：解（Ⅰ）()()()22f x a ba b ab =+-=- ()()22sin 41cos x x ωϕωϕ=++--+()cos 223x ωϕ=-++由题可知，14T =， ∴ 4T = ∴由242T πω==得4πω= 又函数()f x 经过点71,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴ 7cos 12322πϕ⎛⎫-⋅++= ⎪⎝⎭ ∴ 1cos 222πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭04πϕ<< ∴ 2223ππϕ+=即12πϕ= ∴函数()f x 的解析式为()f x cos 326x ππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（Ⅱ）依题意知， ()()1cos 26g x x m π⎛⎫=--+⎪⎝⎭ 11cos 226x m π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭函数()g x 关于原点对称 ∴函数()g x 为奇函数，即()1262m k k Z πππ-+=+∈ ∴ ()223m k k Z ππ=--∈ 0m > ∴当1k =-时， m 的最小值为43π∴综上所述，实数m 的最小值为43π 20．如图，四棱锥，底面为直角梯形，，底面，为的中点，为棱的中点.（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）已知，求点到平面的距离.【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（I ）连接AC 交BQ 于N ，连接MN ，可知N 为AC 的中点，利用三角形中位线性质可得MN ∥PA ，利用直线与平面平行的判定定理可得平面．（Ⅱ）由（I ）可知， PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，计算得13P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---===，BMQ S ∆=P 到平面BMQ的距离3P BMQ BMQV d S -∆==. 试题解析：（I ）证明连接AC 交BQ 于N ，连接MN ，因为090ADC ∠=， Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点，又M 为PC 的中点，故MN ∥PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以PA ∥平面BMQ.（II ）解由（1）可知， PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，取CD 的中点K ，连接MK ，所以MK ∥PD ， 112MK PD ==. 又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD . 又112BC AD ==， 2PD DC ==，所以1,2AQ BQ ==，1MQ NQ ==，所以13P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---===，BMQ S ∆=则点P 到平面BMQ的距离3P BMQ BMQV d S -∆==【考点】直线与平面平行的判定定理；点到平面的距离．21．如图， ABC ∆中， O 是BC 的中点， AB AC =， 22AO OC ==．将BAO ∆沿AO 折起，使B 点与图中点重合． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段上是否存在一点，使CP 与平面B OA '所成的角的正弦值为？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）AB AC O BC =且是中点，AO BC ∴⊥即AO OB AO OC '⊥⊥，，又∵；（Ⅱ）13；（Ⅲ）存在，且为线段AB '的中点 证明如下:设，又平面B OA '的法向量()0,1,0n =，依题意得2·22203211033CPn CPnλλ=⇒=⇒-+= 解得舍去）.【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证，需证明垂直平面内两条直线，在三角形ABC 中，因为AB AC =， O 是BC 的中点，所以；又因为在折叠的过程中，保持不变，即，，所以结论成立；（Ⅱ）在平面B OC '内，作B D OC '⊥于点D ，则由（1）及已知可得当D 与O 重合时，三棱锥B AOC '-的体积最大，并过O 点作OH B C ⊥'于点H ，连AH ，则为.A B C O -'-二面角的平面角在中，易得的值，即为所求；（Ⅲ）根据图形及已知条件分析可得，存在线段上中点，使CP 与平面B OA '所成的角的正弦值为，求出平面B OA '的法向量()0,1,0n =，根据CP 与平面B OA '所成的角的正弦值为建立等式关系，即可求得结论.试题解析：（Ⅰ）AB AC O BC =且是中点，AO BC ∴⊥即AO OB AO OC '⊥⊥，，又∵；（Ⅱ）在平面B OC '内，作B D OC '⊥于点D ，则由（Ⅰ）可知B D OC '⊥ 又OC OA O ⋂=， B D OAC '∴⊥平面，即B D '是三棱锥B AOC '-的高， 又B D B O '≤'，所以当D 与O 重合时，三棱锥B AOC '-的体积最大， 过O 点作OH B C ⊥'于点H ，连AH ，由（Ⅰ）知， B C B OC B C AO ⊆⊥'∴''又平面，AO OH O B C AOH B C AH ⋂=∴⊥⊥'∴'，平面， AHO ∴∠即为.A B C O -'-二面角的平面角2AOH Rt AO OH AH ∆==∴=中，，， 1cos 3OH AHO AH ∴∠== 113A B C O --故二面角的余弦值为（Ⅲ）存在，且为线段AB '的中点证明如下：设，又平面B OA '的法向量()0,1,0n =，依题意得2·22203211033CP n CP nλλ=⇒=⇒-+= 解得舍去）.【考点】线面垂直；二面角的求法；空间向量在立体几何中的应用.22．已知圆C ： ()2244x y +-=，直线l ： ()()31140m x m y ++--=（Ⅰ）求直线l 所过定点A 的坐标；（Ⅱ）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点()3,4M -，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数。
福建省莆田市高二数学下学期期中试卷 理(含解析)
2016-2017学年福建省莆田高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．下列有关坐标系的说法，错误的是（）A．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆B．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程D．同一条曲线可以有不同的参数方程2．把函数y=sin2x的图象经过________变化，可以得到函数y=sinx的图象．（）A．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的3．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种4．若a＞b，x＞y，下列不等式正确的是（）A．a+x＞b+y B．y﹣a＜x﹣b C．|a|x≥|a|y D．（a﹣b）x＞（a﹣b）y5．某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）A．ab﹣a﹣b+1 B．1﹣a﹣b C．1﹣ab D．1﹣2ab6．（1+2x）5的展开式中，x2的系数等于（）A．80 B．40 C．20 D．107．已知X的分布列为：设Y=6X+1，则Y的数学期望E（Y）的值是（）A．0 B．C．1 D．8．小明家1～4月份用电量的一组数据如下：由散点图可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是═﹣7x+，则等于（ ）A ．105B ．51.5C ．52D ．52.59．若实数a ，b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）A ．18B ．6C ．2D ．210．经过点M （1，5）且倾斜角为的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如果（x 2﹣）n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是（ ）A ．0B ．256C ．64D ．12．极坐标方程的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．圆C的参数方程为（θ∈），则圆C的圆心坐标为．14．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，δ2），p（ξ≤3）=0.8413，则P（ξ≤1）= ．15．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）．16．点M（x，y）在椭圆+=1上，则点M到直线x+y﹣4=0的距离的最大值为．三、解答题（本大题共6个小题，共72分）17．已知x＞0，y＞0且x+y=4，要使不等式≥m恒成立，则实数m的取值范围是．18．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1．Q点在圆周上运动，O为极点．求圆C的极坐标方程．19．某市调研考试后，某校对甲乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的列联表（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”20．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m的值．21．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求椭圆方程；（2）当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为？2016-2017学年福建省莆田八中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．下列有关坐标系的说法，错误的是（）A．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆B．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程D．同一条曲线可以有不同的参数方程【考点】Q1：坐标系的作用．【分析】根据坐标系的解出知识判断即可．【解答】解：直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．故选：C．2．把函数y=sin2x的图象经过________变化，可以得到函数y=sinx的图象．（）A．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=sin2x的图象横坐标伸长为原来的2倍，可得y=sinx的图象，再把纵坐标缩短为原来倍，可以得到函数y=sinx的图象，故选：D．3．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【考点】D2：分步乘法计数原理．【分析】每位同学参加课外活动小组的方法数都是2种，5名同学，用分步计数原理求解．【解答】解：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种．故选D．4．若a＞b，x＞y，下列不等式正确的是（）A．a+x＞b+y B．y﹣a＜x﹣b C．|a|x≥|a|y D．（a﹣b）x＞（a﹣b）y【考点】71：不等关系与不等式．【分析】这考查有关不等式的四则运算的知识，主要是不要忽略了a等于零的情况．【解答】解：当a≠0时，|a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变．当a=0时，|a|x=|a|y，故|a|x≥|a|y．故选C．5．某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）A．ab﹣a﹣b+1 B．1﹣a﹣b C．1﹣ab D．1﹣2ab【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由题意，只有两道工序都合格，才能产出合格品，且这两道工序出废品是彼此无关的，故先求出每道工序出产品合格的概率，再求它们的乘积即可．【解答】解：由题意，两道工序出正品的概率分别是1﹣a，1﹣b，又这两道工序出废品是彼此无关的，故产品的合格率为为（1﹣a）（1﹣b）=ab﹣a﹣b+1故选A6．（1+2x）5的展开式中，x2的系数等于（）A．80 B．40 C．20 D．10【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2的系数．【解答】解：（1+2x）5的展开式的通项公式为T r+1=•2r•x r，令r=2，可得x2的系数等于×22=40，故选：B．7．已知X的分布列为：设Y=6X+1，则Y的数学期望E（Y）的值是（）A．0 B．C．1 D．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据所给的分布列和分布列的性质，写出关于a的等式，解出a的值，算出x的期望，根据x与Y之间期望的关系，写出出要求的期望值．【解答】解：由已知得++a=1，解得a=，则E（X）=﹣1×+0×+1×=﹣，由E（Y）=6E（X）+1，可得E（Y）=6×（﹣）+1=0．故选：A．8．小明家1～4月份用电量的一组数据如下：由散点图可知，用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是═﹣7x+，则等于（）A．105 B．51.5 C．52 D．52.5【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到样本中心点，根据所给的线性回归方程，把样本中心点代入，只有a一个变量，解方程得到结果．【解答】解：由题中表格数据得： =2.5， =35，∴=﹣=35﹣（﹣7）×2.5=52.5，故选：D9．若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．18 B．6 C．2D．2【考点】7F：基本不等式．【分析】先判断3a与3b的符号，利用基本不等式建立关系，结合a+b=2，可求出3a+3b的最小值【解答】解：由于3a＞0，3b＞0，所以3a+3b===6．当且仅当3a=3b，a=b，即a=1，b=1时取得最小值．故选B10．经过点M（1，5）且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是（）A．B．C．D．【考点】QJ：直线的参数方程．【分析】根据直线参数方程的定义可求．【解答】解：根据直线参数方程的定义，得，即，故参数方程为：，故选D．11．如果（x2﹣）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是（）A．0 B．256 C．64 D．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据题意先求出n的值，再利用特殊值，求出展开式中所有项的系数和即可．【解答】解：根据（x2﹣）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，得展开式中项数是2×4﹣1=7，∴n=7﹣1=6；令x=1，得展开式中的所有项的系数和是=．故选：D．12．极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】先将原极坐标方程中的三角函数式利用和角公式展开，再两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．【解答】解：将原极坐标方程，化为：ρ=sinθ+cosθρ2=ρsinθ+ρcosθ化成直角坐标方程为：x2+y2﹣y﹣x=0，它表示圆心在第一象限，半径为1的圆．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．圆C的参数方程为（θ∈），则圆C的圆心坐标为（0，2）．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出圆的普通方程，然后求解圆的圆心坐标即可，【解答】解：圆C的参数方程为（θ∈），它的普通方程为：x2+（y﹣2）2=4，圆的圆心坐标为：（0，2）．故答案为：（0，2）．14．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，δ2），p（ξ≤3）=0.8413，则P（ξ≤1）= 0.1587 ．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴ξ=2，根据正态曲线的特点，得到P（ξ≤1）=P（ξ＞3）=1﹣P（ξ≤3），得到结果．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，δ2），所以P（2≤ξ≤3）=P（1≤ξ≤2），P（ξ＞2）=P（ξ＜2），故P（ξ≤1）=P（ξ＞3）=1﹣P（ξ≤3）=1﹣0.8413=0.1587．故答案为：0.1587．15．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有252 种（用数字作答）．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意知3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，根据分步计数原理知共有A33A72，实际上是选出两个，再在两个位置上排列．【解答】解：∵3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，∴根据分步计数原理共有A33A72=3•2•1•7•6=252．故答案为：252．16．点M（x，y）在椭圆+=1上，则点M到直线x+y﹣4=0的距离的最大值为4．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】设P点坐标是（2cosα，2sinα），（0°≤α＜360°），点P到直线x+y﹣4=0的距离d公式，利用三角函数的有界性求出点P到直线x+y﹣4=0的距离的最大值．【解答】解：可设P点坐标是（2cosα，2sinα），（0°≤α＜360°）∴点P到直线x+y﹣4=0的距离d==，∴d max=4．当且仅当sin（）=﹣1时，取得最大值．故答案为：4．三、解答题（本大题共6个小题，共72分）17．已知x＞0，y＞0且x+y=4，要使不等式≥m恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=4，∴===，当且仅当y=2x=时取等号．∵不等式≥m恒成立，∴．∴实数m的取值范围是．故答案为：．18．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1．Q点在圆周上运动，O 为极点．求圆C的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】设M（ρ，θ）是圆C上任一点，根据|OC|=3，|OM|=ρ，|CM|=1，∠COM=|θ﹣|，能够进一步得出得出ρ，θ的关系．【解答】解：设M（ρ，θ）为圆C上任意一点，如图，在△OCM 中，|OC|=3，|OM|=ρ，|CM|=1，∠COM=|θ﹣|，根据余弦定理，得1=ρ2+9﹣2•ρ•3•cos |θ﹣|，化简整理， 得ρ2﹣6•ρcos （θ﹣）+8=0为圆C 的轨迹方程．19．某市调研考试后，某校对甲乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的列联表（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为，可得两个班优秀的人数，乙班优秀的人数=30﹣10=20，甲班非优秀的人数=110﹣（10+20+30）=50．即可完成表格．（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可得：K 2，和临界值表比对后即可得到答案． 【解答】解：（1）由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为．∴两个班优秀的人数=×110=30，∴乙班优秀的人数=30﹣10=20，甲班非优秀的人数=110﹣（10+20+30）=50．即可完成表格．（2）假设成绩与班级无关=则查表得相关的概率为99%，故没达到可靠性要求20．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，圆心到直线的距离d==，即可求实数m的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，所以ρ2=4ρcosθ，它的直角坐标方程是：x2+y2=4x，即：（x﹣2）2+y2=4，…直线l的参数方程是（t是参数），直线l的直角坐标方程为y=x﹣m…（2）由题意，圆心到直线的距离d==，∴=，∴m=1或m=3…21．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）X的可能取值有：3，4，5，6，求出相应的概率可得所求X的分布列；（2）利用X的数学期望公式，即可得到结论．【解答】解：（1）X的可能取值有：3，4，5，6．P（X=3）=；P（X=4）=； P（X=5）=；P（X=6）=．故所求X的分布列为（2）所求X的数学期望E（X）=3×+4×+5×+6×=22．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求椭圆方程；（2）当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为？【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出椭圆的方程，化简直线的参数方程与标准形式，代入椭圆方程利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解：椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，椭圆方程为+x2=1，化直线参数方程为（t′为参数）．代入椭圆方程得（m+t′）2+4（t′）2=4⇔8t′2+4mt′+5m2﹣20=0当△=80m2﹣160m2+640=640﹣80m2＞0，即﹣2＜m＜2．方程有两不等实根t′1，t′2，则弦长为|t′1﹣t′2|==依题意知==，解得m=±．。
【全国百强校】福建省莆田第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试生物试题
绝密★启用前【全国百强校】福建省莆田第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试生物试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：88分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、同学们分组各搭建—个DNA 双螺旋结构模型（提供材料数量不限），最终10个小组正确搭建出不同的DNA 分子模型，这些模型的差异可能在于 A ．碱基序列不同B ．磷酸与脱氧核糖的连接方式不同C ．多核苷酸链条数不同D ．碱基配对方式不同2、下列关于肺炎双球菌转化实验和艾弗里实验的叙述中，正确的是（ ） A ．加热杀死后的S 型细菌中DNA 已经全部断裂，失去活性B ．在转化过程中，加热杀死后的S 型细菌中的DNA 没有进入R 型活细菌的细胞中C ．艾弗里的实验中，加入S 型细菌的DNA 后，只有部分R 型细菌转化为了S 型细菌D ．加热杀死后的S 型细菌也能使小鼠的体细胞发生转化3、下列有关生物多样性与生物进化的叙述中，不正确的是试卷第2页，共16页A ．细菌在接触青霉素后会产生抗药性的突变个体，青霉素的选择作用使其生存B ．蜂鸟细长的喙与倒挂金钟的筒状花萼是它们长期共同进化形成的相互适应特征C ．新物种的形成通常要经过突变和基因重组、自然选择及隔离三个基本环节D ．自然选择能定向改变种群的基因频率，决定了生物进化的方向4、下列有关DNA 结构的说法，正确的是 A ．相邻的碱基被相邻的两个核糖连在一起 B ．每个磷酸基团上都连着两个五碳糖C ．碱基对排列顺序的千变万化构成了DNA 分子的特异性D ．只有嘌呤与嘧啶配对，才能保证DNA 两条长链之间的距离不变5、下列有关基因工程的叙述，正确的是( )A ．目的基因经土壤农杆菌导入植物受体细胞后，整合到受体细胞染色体上，因此一定能稳定遗传B ．DNA 连接酶的作用是将两个黏性末端的碱基连接起来C ．基因表达载体的构建是基因工程的核心，其上的启动子部位具有RNA 聚合酶的结合位点D ．常用的运载体有大肠杆菌、噬菌体和动植物病毒等6、下列关于DNA 复制的叙述，正确的是 A ．复制后的DNA 分子组成同源染色体B ．新形成的DNA 分子中含有原DNA 分子中的一条链C ．DNA 双螺旋结构全部解旋后，开始DNA 的复制D ．一个DNA 分子通过一次复制后产生四个DNA 分子7、一个双链均被32P 标记的DNA 由5000个碱基对组成，其中腺嘌呤占20%，将其置于只含31P 的环境中复制3次。
2016-2017年福建省莆田一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（60分）1．（5分）若复数z满足i（z﹣1）=1+i（i虚数单位），则z=（）A．2﹣i B．2+i C．1﹣2i D．1+2i2．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s23．（5分）对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（）A．0.35B．0.42C．0.85D．0.154．（5分）已知双曲线过点（2，3），渐进线方程为y=±x，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．5．（5分）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．6．（5分）我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．600B．400C．300D．2007．（5分）春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（）A．964B．1080C．1152D．12968．（5分）下面给出了四个类比推理：（1）由“若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）”类比推出“若，，为三个向量则（•）•=•（•）”；（2）“a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0”类比推出“z1，z2为复数，若z12+z22=0则z1=z2=0”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（5分）已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），则f（）=（）A．log27﹣log23B．log23﹣log27C．log23﹣2D．2﹣log2310．（5分）函数y=在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）使不等式恒成立，其中f'（x）是f（x）的导数，则（）A．B．f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2）C．D．f（2）＜2f（0）＜4f（﹣2）二、填空题（20分）13．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）14．（5分）若（1﹣ax）（1+2x）4的展开式中x2项的系数为4，则=．15．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l将抛物线C于A、B，若|AF|=4|BF|，则直线l的斜率是．16．（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．三、解答题17．（12分）已知函数（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图．（1）求图中x的值；（2）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名男同学，15名女同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如表：根据上表数据，由变量y 与x 的相关系数可知物理成绩y 与数学成绩x 之间具有较强的线性相关关系，现求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）．参考公式：回归直线的方程是：=bx +a ，其中对应的回归估计值b =，参考数据：，，≈1050，≈688，．20．（12分）已知两点，动点P 在y 轴上的投影是Q ，且． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过F （1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点．求证：直线E 1E 2恒过定点．21．（12分）函数，．（Ⅰ）讨论f （x ）的极值点的个数；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A、B两点．（1）求圆心的极坐标；（2）直线l与x轴的交点为P，求|P A|+|PB|．2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分）1．（5分）若复数z满足i（z﹣1）=1+i（i虚数单位），则z=（）A．2﹣i B．2+i C．1﹣2i D．1+2i【考点】A5：复数的运算．【解答】解：由i（z﹣1）=1+i，得z﹣1=，∴z=2﹣i．故选：A．2．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s2【考点】BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．【解答】解：由题意知y i=x i+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2=[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]=[（x﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．1故选：D．3．（5分）对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（）A．0.35B．0.42C．0.85D．0.15【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【解答】解：两次射击中都没有命中目标的概率是（1﹣0.5）（1﹣0.7）=0.15，故两次射击中至少有一次命中目标的概率是1﹣0.15=0.85，故选：C．4．（5分）已知双曲线过点（2，3），渐进线方程为y=±x，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：根据题意，双曲线的渐进线方程为y=±x，则可以设其方程为﹣x2=λ，（λ≠0）又由其过点（2，3），则有﹣22=λ，解可得：λ=﹣1，则双曲线的标准方程为：x2﹣=1；故选：C．5．（5分）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】CM：条件概率与独立事件．【解答】解：事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球，∴取出的两个球颜色不同的概率为P（A）==．又∵取出不两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为P（AB）==，∴P（B|A）===．故选：B．6．（5分）我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．600B．400C．300D．200【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：∵我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，∴考试成绩在70分到110分之间的人数为1000×=600，则落在90分到110分之间的人数为300人，故数学考试成绩不低于110分的学生人数约为500﹣300=200．故选：D．7．（5分）春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（）A．964B．1080C．1152D．1296【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，男生甲和乙要求站在一起，将2人看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22种情况，将这个整体与其余5人全排列，有A66种情况，则甲和乙站在一起共有A22A66=1440种站法，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有A22A33A44=288种；则符合题意的站法共有1440﹣288=1152种；故选：C．8．（5分）下面给出了四个类比推理：（1）由“若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）”类比推出“若，，为三个向量则（•）•=•（•）”；（2）“a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0”类比推出“z1，z2为复数，若z12+z22=0则z1=z2=0”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】F3：类比推理．【解答】（1）由向量的运算可知为与向量共线的向量，而由向量的运算可知与向量共线的向量，方向不同，故错误．（2）在复数集C中，若z1，z2∈C，z12+z22=0，则可能z1=1且z2=i．故错误；（3）平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；故正确．（4）由圆的性质类比推理到球的性质由已知“平面内不共线的3个点确定一个圆”，我们可类比推理出空间不共面4个点确定一个球，故正确故选：B．9．（5分）已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），则f（）=（）A．log27﹣log23B．log23﹣log27C．log23﹣2D．2﹣log23【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3K：函数奇偶性的性质与判断；3Q：函数的周期性．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（4+x）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数；∴f（）=f（4）；又f（2﹣x）=f（x），∴f（﹣2）=f（4）=f（）；又当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=log23﹣2，∴f（）=log23﹣2．故选：C．10．（5分）函数y=在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：对于函数y=，故当x=2时，y=＞0，故排除A、D；当x＞0时，由于y′==，令y′=0，求得x=，在（0，）上，y′＞0，函数y单调递增；在（，+∞）上，y′＜0，函数y单调递减，故排除C，故选：B．11．（5分）已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：由于PF⊥x轴，则令x=﹣c，代入椭圆方程，解得，y2=b2（1﹣）=，y=，又|PF|=|AF|，即=（a+c），即有4（a2﹣c2）=a2+ac，即有（3a﹣4c）（a+c）=0，则e=．故选：B．12．（5分）定义在R上的函数f（x）使不等式恒成立，其中f'（x）是f（x）的导数，则（）A．B．f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2）C．D．f（2）＜2f（0）＜4f（﹣2）【考点】63：导数的运算．【解答】解：构造函数g（x）=∴g′（x）=，∵恒成立，∴2f′（2x）＞ln2f（2x）恒成立，∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上为增函数，∴g（1）＞g（0）＞g（﹣1），∴＞＞，∴f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2），故选：B．二、填空题（20分）13．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是36．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故答案为：36．14．（5分）若（1﹣ax）（1+2x）4的展开式中x2项的系数为4，则=ln5﹣1．【考点】67：定积分、微积分基本定理；DA：二项式定理．【解答】解：（1﹣ax）（1+2x）4=（1﹣ax）（1+4×2x++…），∵x2项的系数为4，∴﹣8a=4，解得a=．则==ln5﹣1．故答案为：ln5﹣1．15．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l将抛物线C于A、B，若|AF|=4|BF|，则直线l的斜率是．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1），由，消去x得y2﹣y﹣k=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．∵|AF|=4|BF|，∴y1+4y2=0，可得y1=﹣4y2，代入①得﹣3y2=，且﹣4y22=﹣4，解得y2=±1，解，得k=±．故答案为：．16．（5分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：∵f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+4），f（x）是以4为周期的函数，若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出函数函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，如图示：，由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：m∈，故答案为：．三、解答题17．（12分）已知函数（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）因为f′（x）=x2﹣2ax+b，由f′（0）=f′（2）=1即，得，则f（x）的解析式为，即有f（3）=3，f′（3）=4所以所求切线方程为4x﹣y﹣9=0．（2）由（1）f（x）=x3﹣x2+x，∴，∴g′（x）=x2﹣2x﹣3，由g′（x）=x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，由g′（x）=x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，∵x∈[﹣3，2]，∴g（x）的单调增区间为[﹣3，﹣1]，减区间为（﹣1，2]，∵，∴g（x）的最小值为﹣9．18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图．（1）求图中x的值；（2）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解析：（1）由（0.005+0.021+0.035+0.030+x）×10=1，解得x=0.009；（2）满意度评分值在内有100×0.009×10=9人，其中男生6人，女生3人；则X的值可以为0，1，2，3；计算，，，；则X分布列如下：所以X的期望为．19．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名男同学，15名女同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如表：根据上表数据，由变量y与x的相关系数可知物理成绩y与数学成绩x之间具有较强的线性相关关系，现求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）．参考公式：回归直线的方程是：=bx+a，其中对应的回归估计值b=，参考数据：，，≈1050，≈688，．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：（1）从25名男同学中选=5位，从15名女同学中选=3位．可以得到×个不同的样本．（2）①从8为同学中恰有3为同学的数学与物理均为优秀，从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是，然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理可得：满足条件的种数是，这8位同学的物理分数和数学分数分布对应的种数共有种，故所求的概率P==．②设y与x的线性回归方程是=bx+a，根据所给数据，可以计算出，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是=0.66x+33.73．20．（12分）已知两点，动点P在y轴上的投影是Q，且．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过F（1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）设点P坐标为（x，y）∴点Q坐标为（0，y）．∵，∴∴点P的轨迹方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2），联立方程得，，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，∴△＞0恒成立；∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴GH中点E1坐标为同理，MN中点E2坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴∴的方程为，∴过点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当两直线的斜率分别为0和不存在时，的方程为y=0，也过点综上所述，过定点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）函数，．（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（Ⅰ），∵x＞0，∴f'（x）∈[a+2，+∞），①当a+2≥0，即a∈[﹣2，+∞）时，f'（x）≥0对∀x＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调增，f（x）没有极值点；②当a+2＜0，即a∈（﹣∞，﹣2）时，方程x2+ax+1=0有两个不等正数解x1，x2，不妨设0＜x1＜x2，则当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，f（x）增；x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）减；x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）增，所以x1，x2分别为f（x）极大值点和极小值点，f（x）有两个极值点．综上所述，当a∈[﹣2，+∞）时，f（x）没有极值点；当a∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）有两个极值点．（Ⅱ）f（x）≤g（x）⇔e x﹣lnx+x2≥ax，由x＞0，即对于∀x＞0恒成立，设，，∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）减，x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）增，∴φ（x）≥φ（1）=e+1，∴a≤e+1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为（t为参第21页（共21页）数），直线l 和圆C 交于A 、B 两点．（1）求圆心的极坐标；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，求|P A |+|PB |．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH ：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）由ρ=4sin θ，得ρ2=4ρsin θ，得x 2+y 2=4y ，故圆C 的普通方程为x 2+y 2﹣4y =0，所以圆心坐标为（0，2），圆心的极坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）把代入x 2+y 2﹣4y =0得t 2=4，所以点A 、B 对应的参数分别为t 1=2，t 2=﹣2 令得点P 对应的参数为t 0=﹣4所以|P A |+|PB |=|t 1﹣t 0|+|t 2﹣t 0|=|2+4|+|﹣2+4|=6+2=8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。
【全国百强校】福建省师范大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学理试题
绝密★启用前【全国百强校】福建省师范大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学理试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、=______．2、已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．3、已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，则在上的零点个数为( )A ．B ．C ．D ．4、已知 ()，，则的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．的大小与的取值有关5、当时，函数的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6、把一个周长为的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( ) A ．B ．C ．D ．7、已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则直线与侧面所成角的正弦值等于（）A ．B ．C ．D ．8、用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）A ．B ．C ．D ．9、设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是( )A ．B ．C ．D ．10、有一段“三段论”推理：对于可导函数，若在区间上是增函数，则对恒成立，因为函数在上是增函数，所以对恒成立．以上推理中( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．推理正确11、如图，在空间四边形中，，，．点在上，且，是的中点，则=( )A ．B ．C ．D ．12、函数在处取到极值，则的值为( )A ．B ．C ．D ．13、已知复数,()，是实数，则( )A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）14、观察下列等式：；；；；；，．可以推测，当 ()时，，，______，______．15、已知，，则的最大值为______．16、已知，，若，使得成立，则实数a 的取值范围是____________．17、函数在R 上不是单调递增函数，则的范围是三、解答题（题型注释）18、设实数，整数，．(1)证明：当且时，；(2)数列满足，，证明：.19、已知函数的最小值为，其中.(1)求的值； (2)若对任意的，有成立，求实数的范围；(3)证明：20、已知四棱锥，底面是边长为的菱形，，为的中点，，与平面所成角的正弦值为.(1)在棱上求一点，使平面；(2)求二面角的余弦值.21、已知函数的图象与直线相切于点．(1)求的值；(2)求函数的单调区间和极小值.．(1)求直线的参数方程；(2)若直线与圆相交于两点，求的值．参考答案1、；2、B3、D4、A5、B6、C7、A8、B9、D10、A11、B12、C13、A14、 015、416、17、或18、(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.19、(1)a=1；(2) ；(3)证明见解析.20、(1) 为中点；(2) .21、(1)；(2)答案见解析.22、(1) (为参数)；(2) .【解析】1、，而函数是奇函数，它在和的积分值大小相等，符号相反，故，而表示圆与轴围成的半圆的面积，即2、由题意可知，令，则对成立，在递减，；令，则对成立，在递增，；故时满足题意，故选B3、构造函数所以因为所以所以函数在时是增函数，又所以当x成立，因为对任意，所以，由于是奇函数，所以x＞0时即只有一个根就是0．故选D．【点睛】本题主要考查利用构造函数法判断函数零点的知识，合理的构造函数是解决问题的关键．4、当时，，，，选A5、由f(x)=0,解得x2−2ax=0，即x=0或x=2a，∵a>0,∴函数f(x)有两个零点，∴A，C不正确。
福建省莆田第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题
外………装……________姓名：___内………装……绝密★启用前福建省莆田第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设复数z 满足()14z i +=， i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．2 B ．-2 C ．2i D ．2i -2．已知a ＞0，﹣1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a ＜ab ＜ab 2B ．ab ＜a ＜ab 2C ．ab ＜ab 2＜aD ．ab 2＜a ＜ab3．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出关于的线性回归方程，则表中的值为( )3 2.54A ．B ．C ．D ．4．设函数()1(0)f x x b x b b=++->，则函数()f x 能取得（ ） A ．最小值为2, B ．最大值为2 C ．最小值为-2 D ．最大值为-2 5．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是………外…………○……………○…………线…………○※※请※※不※※※………内…………○……………○…………线…………○A ． 3 B ． 4 C.92 D ．1126．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 、15、… 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 、25、… 这样的数称为“正方形数”． 从下图中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（ ）4=1+3 9=3+6 16=6+10 A ．B ．C ．D ．7．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下： 甲是中国人，还会说英语． 乙是法国人，还会说日语． 丙是英国人，还会说法语． 丁是日本人，还会说汉语． 戊是法国人，还会说德语． 则这五位代表的座位顺序应为（ ） A ．甲丙丁戊乙 B ．甲丁丙乙戊 C ．甲乙丙丁戊 D ．甲丙戊乙丁8．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为4，则输出y 的值 是( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．09．函数y=x 2﹣ln|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）……线…………○…………线…………○……A ． B ．C ．D ．10．已知 为双曲线 ：（ ， ）的左焦点，直线 经过点 ，若点 ， 关于直线 对称，则双曲线 的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．……订………○…线※※内※※答※题※※……订………○…第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．已知复数z=，z是z的共轭复数，则z的模等于_______.12．若关于x的不等式250x a-≤的正整数解是1，2，3，则实数a的取值范围是__.13．观察以下三个不等式：①；②()()()22222227910681176981011++++≥⨯+⨯+⨯；③若时，则的最小值为_______。
【数学】福建省莆田第一中学2017-2018学年高二下学期期初考试(文)
福建省莆田第一中学2017-2018学年高二下学期期初考试（文）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线2228x y -=的实轴长是( )A. B. 2C. D. 4 2．下列命题中，真命题是（ ） A ．,sin 1x R x ∀∈< B ．,20xx R ∃∈<C ．若a b >，则ac bc >D ．若1x >且2y >，则3x y +>3.若函数3/21()(1)3f x x f x x =--g ，则/(1)f 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．1- 4．命题0,:22≥++∈∀a ax x R x p ；命题2cos sin ,:=+∈∃x x R x q ， 则下列命题中为真命题的是（ ）A ．q p ∨B ．q p ∧C ．q p ∨⌝)(D ．)()(q p ⌝∧⌝ 5．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果1210x x +=， 那么||AB = （ ）A ．11B ．12C ．13D ．146．设条件:|2|3p x -<，条件:0q x a <<，其中a 为正常数，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,5]B ．(0,5)C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞7．设a R ∈，若函数xy e ax =+有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．1a >- C ．1a e -< D ．1a e->8．已知1F ，2F 分别是椭圆2213620x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是1F P 的中点，2OM =，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A. 4B. 6C. 8D. 109．已知函数()sin f x x x =在0x x =处取得极值，则020(1)(1cos2)x x ++的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．210．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有/2()()0xf x f x x->恒成立，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．(,2)(2,)-∞-+∞UB ．(2,0)(0,2)-UC ．(2,0)(2,)-+∞UD ．(,2)(0,2)-∞-U11．设过曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围为（ ）A.[)∞+，1B.[)∞+，1C. (]3-∞-，D. ()3-∞-，12．在研究直线(3)y k x =-与双曲线22127x y m -=是否有公共点的过程中，某学生做了如下演算：由方程组22(3)127y k x x y m =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到形如20Ax Bx C ++=的方程，当0A =时，方程恒有一解；当0A ≠时，240B AC ∆=-≥恒成立。
福建省莆田一中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题1．若复数z满足i（z﹣1）=1+i（i虚数单位），则z=（）A．2﹣i B．2+i C．1﹣2i D．1+2i2．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B． +100，s2+1002C．，s2D． +100，s23．对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（）A．0.35 B．0.42 C．0.85 D．0.154．已知双曲线过点（2，3），渐进线方程为y=±x，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．5．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则P （B|A）=（）A．B．C．D．6．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．600 B．400 C．300 D．2007．春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（）A．964 B．1080 C．1152 D．12968．下面给出了四个类比推理：（1）由“若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）”类比推出“若a，b，c为三个向量则（•）•=•（•）”；（2）“a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0”类比推出“z1，z2为复数，若”；（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），则f（）=（）A．log27﹣log23 B．log23﹣log27 C．log23﹣2 D．2﹣log2310．函数y=在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）使不等式恒成立，其中f'（x）是f（x）的导数，则（）A．B．f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2）C．D．f（2）＜2f（0）＜4f（﹣2）二、填空题13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）14．若（1﹣ax）（1+2x）4的展开式中x2项的系数为4，则=．15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l将抛物线C于A、B，若|AF|=4|BF|，则直线l的斜率是．16．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m 恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．三、解答题17．已知函数（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．18．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图．（1）求图中x的值；（2）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名男同学，15名女同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如表：根据上表数据，由变量y与x的相关系数可知物理成绩y与数学成绩x之间具有较强的线性相关关系，现求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）．参考公式：回归直线的方程是：=bx+a，其中对应的回归估计值b=，参考数据：，，≈1050，≈688，．20．已知两点，动点P在y轴上的投影是Q，且．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过F（1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点．21．函数，．（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A、B两点．（1）求圆心的极坐标；（2）直线l与x轴的交点为P，求|PA|+|PB|．2016-2017学年福建省莆田一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若复数z满足i（z﹣1）=1+i（i虚数单位），则z=（）A．2﹣i B．2+i C．1﹣2i D．1+2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i（z﹣1）=1+i，得z﹣1=，∴z=2﹣i．故选：A．2．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B． +100，s2+1002C．，s2D． +100，s2【考点】BC：极差、方差与标准差；BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．【解答】解：由题意知y i=x i+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2= [（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]= [（x﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．1故选：D．3．对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（ ）A ．0.35B ．0.42C ．0.85D ．0.15【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】先求得两次射击中都没有命中目标的概率是 （1﹣0.5）（1﹣0.7），再用1减去此概率，即得所求．【解答】解：两次射击中都没有命中目标的概率是 （1﹣0.5）（1﹣0.7）=0.15，故两次射击中至少有一次命中目标的概率是1﹣0.15=0.85，故选C ．4．已知双曲线过点（2，3），渐进线方程为y=±x ，则双曲线的标准方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为﹣x 2=λ，将点（2，3）代入其中可得﹣22=λ，解可得λ的值，变形即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的渐进线方程为y=±x ，则可以设其方程为﹣x 2=λ，（λ≠0）又由其过点（2，3），则有﹣22=λ， 解可得：λ=﹣1，则双曲线的标准方程为：x 2﹣=1；故选：C ．5．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则P （B|A）=（）A．B．C．D．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A发生的概率P（A）和事件A、B同时发生的概率P（AB），再利用条件概率公式加以计算，即可得到P（B|A）的值．【解答】解：事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球，∴取出的两个球颜色不同的概率为P（A）==．又∵取出不两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为P（AB）==，∴P（B|A）===．故选：B6．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．600 B．400 C．300 D．200【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】由已恬得考试成绩在70分到110分之间的人数为600，落在90分到110分之间的人数为300人，由此能求出数学考试成绩不低于110分的学生人数．【解答】解：∵我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N （90，a3）（a＞0），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，∴考试成绩在70分到110分之间的人数为1000×=600，则落在90分到110分之间的人数为300人，故数学考试成绩不低于110分的学生人数约为500﹣300=200．故选：D．7．春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（）A．964 B．1080 C．1152 D．1296【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先用捆绑法分析“甲和乙站在一起”的情况数目，再其中求出“甲和乙站在一起且女生全站在一起”的情况数目，用“甲和乙站在一起”的情况数目减去“甲和乙站在一起且女生全站在一起”的情况数目即可得答案．【解答】解：根据题意，男生甲和乙要求站在一起，将2人看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22种情况，将这个整体与其余5人全排列，有A66种情况，则甲和乙站在一起共有A22A66=1440种站法，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有A22A33A44=288种；则符合题意的站法共有1440﹣288=1152种；故选：C．8．下面给出了四个类比推理：（1）由“若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）”类比推出“若a，b，c为三个向量则（•）•=•（•）”；（2）“a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0”类比推出“z1，z2为复数，若”；（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】F3：类比推理．【分析】逐个验证：（1）向量要考虑方向．（2）数集有些性质以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，（3，4）由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由圆的性质类比推理到球的性质．【解答】（1）由向量的运算可知为与向量共线的向量，而由向量的运算可知与向量共线的向量，方向不同，故错误．（2）在复数集C 中，若z 1，z 2∈C ，z 12+z 22=0，则可能z 1=1且z 2=i ．故错误； （3）平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；故正确．（4）由圆的性质类比推理到球的性质由已知“平面内不共线的3个点确定一个圆”，我们可类比推理出空间不共面4个点确定一个球，故正确故选：B ．9．已知已知f （x ）是奇函数，且f （2﹣x ）=f （x ），当x ∈[2，3]时，f （x ）=log 2（x ﹣1），则f （）=（ ）A ．log 27﹣log 23B ．log 23﹣log 27C ．log 23﹣2D ．2﹣log 23【考点】3Q ：函数的周期性；3L ：函数奇偶性的性质；3O ：函数的图象．【分析】由f （x ）是奇函数，且f （2﹣x ）=f （x ），可知f （4+x ）=f （x ），于是f（）=f （4）=﹣f （2）=log 23﹣2，从而可得答案．【解答】解：∵f （x ）是奇函数，且f （2﹣x ）=f （x ），∴f （2+x ）=f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （4+x ）=f （x ），即f （x ）是以4为周期的函数；∴f（）=f（4）；又f（2﹣x）=f（x），∴f（﹣2）=f（4）=f（）；又当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=log23﹣2，∴f（）=log23﹣2．故选C．10．函数y=在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据当x=2时，y=＞0，故排除A、D．当x＞0时，利用导数求得函数在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，从而得出结论．【解答】解：对于函数y=，故当x=2时，y=＞0，故排除A、D；当x＞0时，由于y′==，令y′=0，求得x=，在（0，）上，y′＞0，函数y单调递增；在（，+∞）上，y′＜0，函数y单调递减，故排除C，故选：B．11．已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】令x=﹣c，代入椭圆方程，解得|PF|，再由|AF|=a+c，列出方程，再由离心率公式，即可得到．【解答】解：由于PF⊥x轴，则令x=﹣c，代入椭圆方程，解得，y2=b2（1﹣）=，y=，又|PF|=|AF|，即=（a+c），即有4（a2﹣c2）=a2+ac，即有（3a﹣4c）（a+c）=0，则e=．故选B．12．定义在R上的函数f（x）使不等式恒成立，其中f'（x）是f（x）的导数，则（）A．B．f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2）C．D．f（2）＜2f（0）＜4f（﹣2）【考点】63：导数的运算．【分析】构造函数g（x）=，求出函数的单调性，从而求出函数值的大小即可．【解答】解：构造函数g（x）=∴g′（x）=，∵恒成立，∴2f′（2x）＞ln2f（2x）恒成立，∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上为增函数，∴g（1）＞g（0）＞g（﹣1），∴＞＞，∴f（2）＞2f（0）＞4f（﹣2），故选：B二、填空题13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是36．（用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故答案为：36．14．若（1﹣ax）（1+2x）4的展开式中x2项的系数为4，则=ln5﹣1．【考点】DC：二项式定理的应用；67：定积分．【分析】（1﹣ax）（1+2x）4=（1﹣ax）（1+4×2x++…），根据x2项的系数为4，可得﹣8a=4，解得a．再利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：（1﹣ax）（1+2x）4=（1﹣ax）（1+4×2x++…），∵x2项的系数为4，∴﹣8a=4，解得a=．则==ln5﹣1．故答案为：ln5﹣1．15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l将抛物线C于A、B，若|AF|=4|BF|，则直线l的斜率是．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l的方程，和抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1），由，消去x得y2﹣y﹣k=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．∵|AF|=4|BF|，∴y1+4y2=0，可得y1=﹣4y2，代入①得﹣3y2=，且﹣4y22=﹣4，解得y2=±1，解，得k=±．故答案为：．16．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】求出f（x）的周期，问题转化为f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出m的范围即可．【解答】解：∵f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+4），f（x）是以4为周期的函数，若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出函数函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，如图示：，由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：m∈，故答案为：．三、解答题17．已知函数（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（0）=f′（2）=1，得到关于a，b的方程组，解出即可求出f（x）的解析式，从而求出切线方程即可；（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）因为f′（x）=x2﹣2ax+b，由f′（0）=f′（2）=1即，得，则f（x）的解析式为，即有f（3）=3，f′（3）=4所以所求切线方程为4x﹣y﹣9=0．（2）由（1）f（x）=x3﹣x2+x，∴，∴g′（x）=x2﹣2x﹣3，由g′（x）=x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，由g′（x）=x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，∵x∈[﹣3，2]，∴g（x）的单调增区间为[﹣3，﹣1]，减区间为（﹣1，2]，∵，∴g（x）的最小值为﹣9．18．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图．（1）求图中x的值；（2）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）频率和为1列出方程求得x的值；（2）计算满意度评分值在内的人数，写出X的值可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．【解答】解析：（1）由（0.005+0.021+0.035+0.030+x）×10=1，解得x=0.009；（2）满意度评分值在内有100×0.009×10=9人，其中男生6人，女生3人；则X的值可以为0，1，2，3；计算，，，；则X分布列如下：所以X的期望为．19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名男同学，15名女同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不 必计算出结果）（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均 为优秀的概率；②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如表：根据上表数据，由变量y 与x 的相关系数可知物理成绩y 与数学成绩x 之间具有较强的线性相关关系，现求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）． 参考公式：回归直线的方程是：=bx +a ，其中对应的回归估计值b=，参考数据：，，≈1050，≈688，．【考点】BK ：线性回归方程． 【分析】（1）从25名男同学中选位，从15名女同学中选位，即可得出样本的种数．（2）①从8为同学中恰有3为同学的数学与物理均为优秀，从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是，然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理可得满足条件的种数，这8位同学的物理分数和数学分数分布对应的种数共有种，即可得出所求的概率．②设y与x的线性回归方程是=bx+a，根据所给数据，可以计算出，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，可得y与x的线性回归方程．【解答】解：（1）从25名男同学中选=5位，从15名女同学中选=3位．可以得到×个不同的样本．（2）①从8为同学中恰有3为同学的数学与物理均为优秀，从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是，然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理可得：满足条件的种数是，这8位同学的物理分数和数学分数分布对应的种数共有种，故所求的概率P==．②设y与x的线性回归方程是=bx+a，根据所给数据，可以计算出，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是=0.66x+33.73．20．已知两点，动点P在y轴上的投影是Q，且．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过F（1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设点P坐标为（x，y）∴点Q坐标为（x，0），利用，即可得出．（2）当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2），联立方程得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．【解答】解：（1）设点P坐标为（x，y）∴点Q坐标为（x，0）．∵，∴∴点P的轨迹方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2），联立方程得，，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，∴△＞0恒成立；∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴GH中点E1坐标为同理，MN中点E2坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴∴的方程为，∴过点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当两直线的斜率分别为0和不存在时，的方程为y=0，也过点综上所述，过定点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．函数，．（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，判断函数的极值点的个数即可；（Ⅱ）分离参数，问题转化为对于∀x＞0恒成立，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），∵x＞0，∴f'（x）∈[a+2，+∞），①当a+2≥0，即a∈[﹣2，+∞）时，f'（x）≥0对∀x＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调增，f（x）没有极值点；②当a+2＜0，即a∈（﹣∞，﹣2）时，方程x2+ax+1=0有两个不等正数解x1，x2，不妨设0＜x1＜x2，则当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，f（x）增；x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）减；x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）增，所以x1，x2分别为f（x）极大值点和极小值点，f（x）有两个极值点．综上所述，当a∈[﹣2，+∞）时，f（x）没有极值点；当a∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）有两个极值点．（Ⅱ）f（x）≤g（x）⇔e x﹣lnx+x2≥ax，由x＞0，即对于∀x＞0恒成立，设，，∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）减，x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）增，∴φ（x）≥φ（1）=e+1，∴a≤e+1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A、B两点．（1）求圆心的极坐标；（2）直线l与x轴的交点为P，求|PA|+|PB|．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出圆心的直角坐标，即可求圆心的极坐标；（2）直线l与x轴的交点为P，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，得x2+y2=4y，故圆C的普通方程为x2+y2﹣4y=0，所以圆心坐标为（0，2），圆心的极坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）把代入x2+y2﹣4y=0得t2=4，所以点A、B对应的参数分别为t1=2，t2=﹣2令得点P对应的参数为t0=﹣4所以|PA|+|PB|=|t1﹣t0|+|t2﹣t0|=|2+4|+|﹣2+4|=6+2=8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2017年6月12日。
福建省莆田第一中学2022-2023学年高二下学期第二学段(期中)考试数学(A卷)试题
福建省莆田第一中学2022-2023学年高二下学期第二学段（期中）考试数学（A 卷）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．E FB ．E F 2．在a 和b 两数之间插入n 个数，使它们与A ．1b an -+C ．2b a n -+3．已知某运动员每次射击击中目标的概率为射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527029371409857034743736947761042811417469803716233261680456011366195977424A ．104B ．108C ．548．设1F ，2F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点若112F A F B =，1125F B F A =，则椭圆C 的离心率为（A ．22B ．64C ．53二、多选题9．某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（）A ．乙同学体温的极差为0.4℃B ．乙同学的体温比甲同学的体温稳定C ．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数相等D ．甲同学体温的第70百分位数为36.510．设等比数列{n a }的公比为q ，其前671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的有（A ．01q <<C ．n S 的最大值为7S 11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，数，用y 表示绿色骰子的点数，用（x ，y 事件B =“xy 为奇数”，事件C =“3x >”，则下列结论正确的有（A ．A 与B 互斥但不对立C ．A 与C 相互独立12．已知抛物线:E 24y x =的焦点为F ，准线交的A ，B 两点，且(1)CA CB λλ=>，下列结论正确的有（A ．直线l 的斜率()()1,00,1k ∈- C ．若BF 平分AFC ∠，则4AF =三、填空题13．从5张分别写有1，2，3，4，5的卡片中不放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为___________.14．袋子中有6个大小质地相同的球，其中3个红球，3个黄球，从中不放回随机取出3个球，则概率大于0且与事件“至多取出一个黄球”互斥不对立的事件可以是__________.五、填空题16．一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为154cm，方差为30；从初二年级随机抽取了40人，计算得这40人的平均身高为167cm，方差为20；从初三年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为170cm，方差为10．依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高的方差，则全校学生身高方差的估计值为_________．六、解答题(1)求直方图中x的值和第60百分位数；(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断明理由.19．已知函数f（x）=2ln x+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a>0时，讨论函数g（x）20．在平面直角坐标系xOy中，动点之比为2，记N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中平行于OA的直线分别交直线OB，21．甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为经抽签，第一场比赛甲轮空.(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率；(3)求甲最终获胜的概率.2x(1)求AM 的最小值；(2)记直线,,EM EN EP 的斜率分别为（其中{}{}123,,1,2,3i i i =），使得1,i k k 并加以证明；若不存在，说明理由.。
高二数学下学期期中试题(A卷)(2021年整理)
福建省莆田市2016-2017学年高二数学下学期期中试题（A卷）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（福建省莆田市2016-2017学年高二数学下学期期中试题（A卷））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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福建省莆田第六中学016-2017学年高二数学下学期期中试题(A 卷）（时间120分钟，满分150分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）． 1．在复平面内，复数3(1)z i i =+对应的点位于( ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．以下关于独立性检验的说法中，错误的是( ) A ．独立性检验依赖小概率原理 B ．独立性检验得到的结论一定正确C ．样本不同,独立性检验的结论可能有差异D ．独立性检验不是判定两事物是否相关的惟一方法 3．曲线323y x x =-在1x =处的切线方程为（ ）A ．310x y +-=B ．310x y ++=C ．310x y --=D ．310x y -+= 4. 已知随机变量X ~N （μ，σ2)，则Y ＝aX ＋b 服从( D )A ．Y ～N （aμ,σ2） B ．Y ~N （0，1) C ．Y ～N （错误!，错误!) D ．Y ～N （aμ＋b ,a 2σ2)5。
某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel 软件计算得错误!＝0.577x －0.448(x 为人的年龄，y （单位：％）为人体脂肪含量）．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是（ C ）A ．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20。
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绝密★启用前【全国百强校】福建省莆田第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：67分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．600 B ．400 C ．300 D ．2002、下面给出了四个类比推理： （1）由“若则”类比推出“若为三个向量则”；（2）“a,b 为实数，则a=b=0”类比推出“为复数，若”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”． 上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、已知是奇函数，且，当时，，则 （ ） A ．B ．C ．D ．4、已知双曲线过点，渐进线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A ．B ．C ．D ．5、春天来了，某学校组织学生外出踏青，4位男生和3为女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的战法种数是（ ） A ．964 B ．1080 C ．1152 D ．12966、某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为（） A ．， B ．，C ．，D ．，7、已知是椭圆（）的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，轴，若，则该椭圆的离心率是. （ ）A ．B ．C ．D ．8、函数在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9、对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为和，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．10、若复数满足（为虚数单位），则（ ） A ．B ．C ．D ．11、篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”，则（ ）A ．B ．C ．D ．12、定义在上的函数使不等式恒成立，其中是的导数，则（ ）A ．，B ．C ．，D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、函数的定义域为实数集，对于任意的，，若在区间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是．14、若的展开式中项的系数为4，则________________15、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是__________．（用数字做答）16、过抛物线的焦点作直线交抛物线于.若，则直线的斜率是__________．三、解答题（题型注释）17、函数，．（Ⅰ）讨论的极值点的个数；（Ⅱ）若对于任意，总有成立，求实数的取值范围.18、已知两点，动点在轴上的投影是，且. （1）求动点的轨迹的方程；（2）过作互相垂直的两条直线交轨迹于，且分别是的中点.求证：直线恒过定点.19、在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于，两点.（1）求圆心的极坐标； （2）直线与轴的交点为，求.20、共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100] 分成5组，制成如图所示频率分直方图．(1) 求图中的值；(2) 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2:1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量，求的分布列和数学期望．21、班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班名男同学，名女同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析.（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（2）随机抽取位，他们的数学分数从小到大排序是：，物理分数从小到大排序是：.①若规定分以上（包括分）为优秀，求这位同学中恰有位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②若这位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：根据上表数据，由变量与的相关系数可知物理成绩与数学成绩之间具有较强的线性相关关系，现求与的线性回归方程（系数精确到）.参考公式：回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值，参考数据：，，，，，.22、已知函数（，），.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数，，求的单调区间和最小值.参考答案1、D2、B3、D4、C5、C6、D7、B8、C9、C10、A11、B12、B13、14、15、3616、17、（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.18、（1）；（2）过定点.19、（1）（2）820、（Ⅰ）（Ⅱ）21、（1）；（2）①；②线性回归方程是.22、（1）（2）最小值为.【解析】1、试题分析：因为成绩，所以其正态曲线关于直线对称，又因为成绩在分到分之间的人数约为总人数的，由对称性可知：成绩在分以上的人数约为总人数的，所以此次数学考试成绩不低于分的学生约有：人，故选D.考点：正态分布.2、试题分析：容易验证结论是错误的．事实上,若三个向量都是单位向量,其夹角不同则（1）不成立;若取,显然满足题设,即（2）不成立．其中（3）（4）是正确的证明过程略．故应选B．考点：类比推理及命题真假的判定．【易错点晴】类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的结论的推理方法．本题是一道合情推理中的类比推理题,问题中给出了几个类比的结论,要求判断其真伪的问题．解答时,综合运用所学知识逐一加以验证和推断,当然本题的解答要求对所学知识扎实掌握,只有这样才能做出正确的判断．3、因为是奇函数，且，所以，所以，又当时，，所以，所以，故选D.4、∵双曲线渐进线方程为，故可设双曲线方程为，∵双曲线过点，则，即，故双曲线的标准方程是，故选C.5、男生甲和乙要求站在一起共有种，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有种，∴符合题意的站法共有种.6、试题分析：均值为;方差为,故选D.考点：数据样本的均值与方差.7、由题设可知，又，所以由题设可得，应选答案B。
8、当时，，令，即在区间只有一个零点，故应排除答案A、B、D，应选答案C 。
9、由题意两次射击相互独立，可运用对立事件的概率公式求解：因命中目标的概率分别是和，则两次都不命中的概率分别是和，故两次射击中至少有一次命中的概率是，应选答案C 。
点睛：求解本题时分别两次运用对立事件的概率公式，从而使得问题简捷获解。
其实也可以运用分类整合的数学思想直接求解：分三类：其一是两次都命中（两次射击互相独立）其概率为；其二是第一次命中，第二次未中，其概率是；其三是第一次未中，第二次命中，其概率是，最后整合以上三种情形可得所求事件的概率是。
10、由已知得，所以，选A.11、试题分析：根据题意，有：,,,故选B．考点：条件概率．12、令，则，又因为，所以，即，所以函数在上单调递增，所以，即，所以,故选B.点睛：本题主要考查了抽象函数的单调性，根据已知条件构造符合题意的函数是解决本题的关键，一般构造函数的来源有两个：一是，利用已知条件转化为两个函数的乘积或商式的导数式；二是，根据选项，可以提示从结构上应该构造什么样的函数.13、试题分析：由题意得，任意的都有.∴函数的周期是，∵在区间上函数恰好有三个不同的零点，即函数与函数在区间上有三个不同的交点，在同一直角坐标系上画出两个函数的图象，得到即．考点：1.分段函数的应用；2.函数零点的判定定理；3.数形结合.【思路点睛】本题主要考查的是函数的性质,分段函数的应用，函数零点的判定定理，数形结合，属于中档题，此题由已知条件可得，的周期，根据周期性，将分段函数在区间上的图象画出来，根据零点的个数，画出函数在区间上的图像，由数形结合，可得出的极限情况，从而得出斜率的范围，进一步得到的范围，此类题目的关键之处就是要画出标准的图形，利用数形结合的思想去解决问题.14、由题意得项的系数为，所以点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15、解：由题意可知，分组方案为两名学生，一名学生，一名学生分别分到3个班，由排列组合的知识可得：不同的分法的总数是种.16、抛物线的方程为，可得它的焦点为，设直线的方程为，由，消去得，设，可得①. ，可得，代入①得，且，解得，解得，故答案为. 17、试题分析：（Ⅰ）求的导数，根据求出的值域，讨论的值得出的正负情况，判断的单调性和极值点问题；（Ⅱ）等价于，由，利用分离常数法求出的表达式，再构造函数求最值即可求出结果.试题解析：（Ⅰ）, ,①当，即时，对恒成立，在单调增，没有极值点；②当，即时，方程有两个不等正数解，不妨设，则当时，增；时，减；时，增，所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点.综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点.（Ⅱ），由，即对于恒成立，设，，，时，减，时，增，，．18、【试题分析】（1）依据题设条件，建构关于动点坐标的方程即可；（2）依据题设条件，借助两互相垂直的直线与抛物线之间的位置关系，建立直线的方程分析探求：（1）设点坐标为∴点坐标为∵∴∴点的轨迹方程为（2）当两直线的斜率都存在且不为0时，设联立方程得，，，∴恒成立∴，∴中点坐标为同理，中点坐标为∴∴的方程为，∴过点当两直线的斜率分别为0和不存在时，的方程为，也过点综上所述，过定点.点睛：抛物线是重要的圆锥曲线代表之一，也是中学数学中重要的知识点与高考重点考查的考点。
解答本题的第一问时，设动点坐标，再依据题设条件且建构关于动点坐标的方程从而使得问题获解；求解本题的第二问时，充分借助题设条件，先构设出两互相垂直的直线的方程，再与抛物线方程联立，借助坐标之间的关系求出直线的方程，通过分析探求出定点的坐标。