(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)
高数下期中考试(10-11)试卷及解答
广东工业大学试卷用纸,共 5 页,第 1 页一、填空题(每题3分分).已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸,共 5 页,第 2 页广东工业大学试卷用纸,共 5 页,第 3 页解:两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题(每题7分,共28分)1.计算Dx ⎰⎰,其中D是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解2.计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{,其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D.解:曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ;x y x D 10,221:2≤≤≤≤;20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{=dxdy xy D ⎰⎰1+⎰⎰2D dxdy +⎰⎰3D dxdy=212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 =2ln 419+ 7分 3.设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域,求广东工业大学试卷用纸,共 5 页,第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。
解:Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成,在柱坐标系下 Ω:82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分=π31024五、设),(y x f 连续,且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(,其中D 是由0=y ,2xy =,1=x 所围成区域,求),(y x f (6分)五、解:设A dxdy y x f D=⎰⎰),(,则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ,求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。
高等代数(下)期终考试题及答案(C卷)
高等代数(下)期末考试试卷(C 卷)一. 选择题(每空2分,共12分) 1.( D )下列集合哪一个是R n 的子空间11 1 1 2 1 2 11 2 1(A) {(,0,....,0,)| , ,}(B){( ,,...,)| , 1,...,}(C){( ,,...,)| 1 , }(D){( ,,...,)|0, }n n n n i nn i i i n n i i i a a a a R a a a a a a Z i n a a a a a R a a a a a R ==∈≠∈==∈=∈∑∑2.( B ) 令ξ=(x 1,x 2,x 3)是R 3的任意向量.下列哪一个映射σ是R 3的线性变换31 2 3233231 2312(A) ( ) = , 0(B) ( ) = (2-+ , , -)(C) ( ) =(,, )(D) ( ) =( 1 ,,0)R x x x x x x x x x x x σξξαασξσξσξ+≠++其中是 的固定向量3. (C) 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 3V =, ()2dim 2V =,()12dim 1V V ?, 那么()12dim V V +为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. (C )若4阶方阵A 的初等因子为()23l +, +3, 2. 则 A 的不变因子是(A) 1,( +3),( +2),()23l +; (B) 1,1, ( +3) ( + 2) ,()()223l l ++; (C )1,1,( +3),()()223l l ++;(D) 1,1,( +2),()()223l l ++;5.( B )设矩阵A 的全部不同特征值为12,,...,s λλλ,则下列哪一说法与A 可对角化不等价(A ) A 有n 个线性无关的特征向量; (B ) ()(1,2,...)()i ii i R E A n i s n λλ-==其中为的重数;(C ) V dim (V )(1,2,...,)iii i i s λλλλ==的特征子空间的维数的重数 ;( D) A 的最小多项式均是数域P 上互素的一次因式的乘积;6.(D ) 在实数域R 中,由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W 的维数为(A) 10; (B )4; (C) 9; (D )6;.二. 填空题(每空2分,共18分)1、已知a 是数域P 上的一个固定的数,而2{(,,,),2,,}n i W a x x x P i n =∈=是1n P +的一个子空间,则a =_______, dim (W )=________. 2. 设,στ是2P 的两个线性变换,定义如下(,)(2,0)x y x y σ=-+, (,)(3,)x y y x y τ=-+ (,x y P ∀∈)则 (,)x y τσ=_________.3. 已知E A λ-的标准形为1000000(2)λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭,则A 的特征多项式2(2)E A λλλ-=-,A 的最小多项式为___________。
高等代数A(II)期中测验答案
(2) B,C W , k P , 则 AB 0, AC 0 ,于是 A(B C) AB AC 0 0 0 , B C W ,
A(kB) k( AB) k0 0 , kB W , 所以W 是 Pnn 的子空间.
1 2 3 = 1 2 3 A ,
2
3
4
=
1
0
0
A,
求出
A
0
1
0
1 4 3 1 1 1
1 0 1
0 1 0
4设
A
0
0
1
,
求所有与
A
可交换的矩阵构成子空间 C(A) B AB BA 的维数和一组基
2. 求 L(1,2 ) 与 L(1, 2 ) 交的维数及一组基,其中
12
(1,1, 0, 0) (0,1,1,1)
,
21
(0, 0,1,1) (1, 2, 2, 2)
答: 方法 1: L(1,2 ) L(1, 2 ) ,则有 x11 x22 y11 y22 , 即 x11 x22 y11 y22 0
可以看到 1,2,1 线性无关,构成两个 L(1,2 ) 与 L(1, 2 ) 和的一组基.
2 1 2 1 ,则 1 2 2 1 是 L(1,2 ) 与 L(1, 2 ) 交的一组基 1 2 (1, 2,1,1) , 维数等于 1.
u(x) f (x) v(x)g(x) ( f (x), g(x))
高等代数试题(附答案)
科目名称:《高等代数》姓名: 班级: 考试时间:120分钟 考试形式:闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题(每小题5分,共25分)1、 在[]X P 中,向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。
2、 向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ,一个最大无关组为 .。
3、 (维数公式)如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间,那么 。
4、 假设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=175131023A 的特征根是 ,特征向量分别为 。
5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题(每小题2分,共20分)1、如果r a a a ,,,21 线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。
( )2、在][x P 中,定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0,是一固定的数,那么变换A 是线性变换。
( )3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。
( )4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。
( )5、 令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量,那么δ是4R 到自身的线性变换。
其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。
( )6、 矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。
( )7、 若矩阵A 与B 相似,那么A 与B 等价。
( ) 8、 n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。
( )9、 在)(2R M 中,若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成,那么W 是)(2R M 的子空间。
( )10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。
高代期中考试题库及答案
高代期中考试题库及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设矩阵 \(A\) 为 \(3 \times 3\) 矩阵,且 \(\text{rank}(A) = 2\),则矩阵 \(A\) 的秩是:A. 1B. 2C. 3D. 无法确定答案:B2. 以下哪个选项不是线性代数中的基本概念?A. 向量空间B. 线性映射C. 矩阵D. 微分方程答案:D3. 设 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是两个向量,若 \(\alpha \cdot \beta = 0\),则 \(\alpha\) 和 \(\beta\):A. 正交B. 平行C. 垂直D. 斜交答案:A4. 如果一个矩阵 \(A\) 可以表示为 \(A = PDP^{-1}\),其中 \(P\) 是可逆矩阵,\(D\) 是对角矩阵,则矩阵 \(A\):A. 可对角化B. 正交C. 正定D. 单位答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 设 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 矩阵,若 \(A^2 = A\),则称\(A\) 为幂等矩阵。
若 \(A\) 是幂等矩阵,则 \(A\) 的特征值为______。
答案:0或12. 矩阵 \(A\) 的行列式表示为 \(\text{det}(A)\),若\(\text{det}(A) = 0\),则矩阵 \(A\) 的秩小于______。
答案:n3. 设 \(\lambda\) 是矩阵 \(A\) 的一个特征值,对应的特征向量为\(v\),则 \(A\) 与 \(\lambda\) 乘以单位矩阵 \(I\) 的差 \(A - \lambda I\) 的秩为______。
答案:04. 线性方程组 \(Ax = 0\) 的基础解系由 \(A\) 的零空间的一组基构成,若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵且 \(\text{rank}(A) = 2\),则 \(Ax = 0\) 的基础解系包含______个向量。
山东师范大学21年下半年高等代数考试题
一.单项选择题答题要求:1.A.B.C.两个子空间的并还是子空间D.两个维数相同的有限维空间同构.参考答案:C2.A.B.C.D.参考答案:B3.A.B.C.D.参考答案:C 4.A.B.C.D.0参考答案:C 5.A.B.C.D.参考答案:C 6.A.B.C.D.参考答案:D7.A.0B.1C.2D.3参考答案:C8.A.B.C.D.参考答案:B 9.A.B.C.D.参考答案:A 10.A.正定矩阵B.正交矩阵C.单位矩阵D.对称矩阵参考答案:C11.A.正定二次型B.半正定二次型C.半负定二次型D.不定二次型参考答案:A12.A.B.C.D.参考答案:B13.A.B.C.D.参考答案:C 14.A.B.C.D.参考答案:D15.A.A为对称矩阵B.P为实数域C.A 有n个线性无关的特征向量D.A是正交矩阵参考答案:C16.A.B.C.D.参考答案:C17.A.B.C.D.参考答案:D 18.A.B.C.D.参考答案:A 19.A.单位矩阵B.正定矩阵C.零矩阵D.对角矩阵参考答案:D20.A.B.C.D.参考答案:A21.同一线性变换在不同基下的矩阵( ).A.相等B.合同C.等价D.相似参考答案:D22.A.1B.2C.3D.不确定参考答案:C23.A.B.C.D.参考答案:D24.A.B.C.D.参考答案:A25.对于线性变换,下列叙述正确的是 ( ).A.线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组B. 若两个线性变换的乘积为零变换,则必有其中一个线性变换是零变换 C.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组 D.以上都不对参考答案:C26.欧氏空间的度量矩阵为()A.正定矩阵B.负定矩阵C.半正定矩阵D.半负定矩阵参考答案:A27.A.B.C.D.参考答案:A28.A.B.C.D.参考答案:D29.A.正定矩阵B.正交矩阵C.单位矩阵D.对称矩阵参考答案:C30.A.B.C.D.参考答案:C 31.A.B.C.D.参考答案:B 32.A.A是单射B.A的秩为nC.A是双射D.参考答案:D33.A.B.C.D.参考答案:C34.A.4B.C.D.8参考答案:C35.设数字矩阵A和B相似,则下列说法不正确的是()A.矩阵A和B有相同的特征多项式B.矩阵A和B有相同的不变因子C.D.参考答案:C36.A.零矩阵B.负定矩阵C.单位矩阵D.参考答案:D37.A.1B.2C.5D.9参考答案:A38.下列论断正确的是( ).A.两两正交的向量组必线性无关B.C.由单个非零向量构成的向量组不是正交向量组D.参考答案:D39.A.B.C. 它的特征根一定是整数D.属于不同特征根的特征向量必定线性无关,但不一定正交参考答案:B40.A.B.C.D.参考答案:D二.多选题答题要求:41.(2分)正确错误参考答案:错误42.(2分)正确错误参考答案:错误43.(2分)相似的矩阵其特征值和特征向量相同.( ) 正确错误参考答案:错误44.(2分)正交变换的乘积仍是正交变换. ( ) 正确错误参考答案:正确45.(2分)正确错误参考答案:错误46.(2分)两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同.( ) 正确错误参考答案:正确47.(2分)若两个矩阵相似,则它们的秩相等,反之亦然. ( ) 正确错误参考答案:错误48.(2分)n维线性空间的线性变换在某组基下的矩阵是对角阵的充分必要条件是它有n个不同的特征值. ( )正确错误参考答案:错误49.(2分)可以用非退化线性替换将任意二次型化为标准形,且标准形是唯一的. ( )正确错误参考答案:错误50.(2分)若维V=n,则V中任何n个线性无关的向量都是V的基..( ) 正确错误参考答案:正确51.(2分)正确错误参考答案:错误52.(2分)正确错误参考答案:错误53.(2分)保持向量的长度不变的变换一定保持向量的内积不变.( ) 正确错误参考答案:错误54.(2分)正确错误参考答案:正确55.(2分)若矩阵A,B正定,则AB也正定.( ) 正确错误参考答案:错误56.(2分)两个矩阵的秩相同,则它们必等价. ( )正确错误参考答案:错误57.(2分)正确错误参考答案:正确58.(2分)可逆的正交变换的逆变换仍是正交变换. ( ) 正确错误参考答案:正确59.(2分)任意一个线性变换都有特征根和特征向量。
厦门大学10-11学年第二学期《高等代数》半期考试卷参考答案
a ¹ 0 。必
2
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
3) 设 f ( x ) = x + 4 x + 5 x + 3 , 则____是以 f ( x ) 的根的倒数为根的四次多项式。 3 x + 5 x + 4 x + 1 (不唯一,可相差非零常数倍)
且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ,证明: p( x) | f ( x ) 且 p( x) | g ( x ) 。 证明:因 p( x ) 是数域 K 上的不可约多项式且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ,所以 p( x) | f ( x ) 或者 p( x) | g ( x ) 。若
① x 2 + p (其中 p 是素数) ; A) 3,1; C) 2,1; 3)
设 f ( x ) 是数域 K 上的非零多项式, p( x ) 是 K 上不可约多项式。如果存在复数 c ,使得
f (c ) = p (c) = 0 ,则____。B
A) f ( x) | p ( x ) ; C) f ( x) = p( x) ; 4) B) p( x) | f ( x ) ; D) f ( x) = ap( x )( a ¹ 0) 。
厦门大学《高等代数》课程试卷
数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
主考教师:杜妮、林鹭 试卷类型: (A 卷)
2011.3.31
一、 单选题(32 分. 共 8 题, 每题 4 分)
1) 设 ( f ( x ), g ( x )) = 1 , ( f ( x ), h( x )) = 1 ,则____未必互素。D B) f ( x ) 与 f ( x ) + g 2 ( x ) ; D) f ( x ) 与 g ( x ) + h( x) 。
高代题库试题与答案
高等代数(下)试题(10)一 填空题 (每小题三分共15分)1 A ,B 为n 阶可逆矩阵, C=⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ,则C 1-=________。
2 A 为n 阶矩阵, A =21,则*1)3(A A --=_______ 3 设f 是一个n 元负定的二次型,则二次型f 的秩等于______________。
4 设n ααα,...,21线性无关,W=L (n ααα,...,21),则W 的维数为______________ 。
5 数量矩阵A=aE 的 特征根 为 _______________。
二 单项选择题(每小题三分共15分)1 设A 是m n ⨯矩阵, B 是n ⨯m 矩阵,则( ) (A) 当m 〉n 时,必有行列式AB ≠0 (B )当m 〉n 时,必有行列式AB =0 (C )当n 〉m 时,必有行列式AB ≠0 (D)当n 〉m 时,必有行列式AB =02设A ,B ,C 均为n 阶矩阵,且秩A=秩B ,则 ( )(A) AB 的秩与AC 的秩不一定相等。
(B) AB 的秩与AC 的秩一定相等. (C) AB 的秩与AC 的秩一定不相等。
(D ) AB 的秩一定不超过C 的秩.3 设向量空间V 中含有r 个向量,则下列结论成立的是 ( ) ( A) r=1; (B )r=2 ; (C ) r=m (有限数); (D ) r=1或∞4 数域F 上 n 维向量空间V 有( )个基( A ) 1; (B ) n; (C) n!; (D )无穷多.5 设向量空间W= {(a,2a,3a ) R a ∈},则W 的基为: ( )(A ) ( 1, 2, 3,) ; (B) (a , a ,a ); (C ) ( a , 2a 3a) ; (D) (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3) 三 (15分)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322X=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-417 求X 四 (15分) 把二此型f (,x 2,x 3)= x 1x 2+ x 1,x 3+ x 2x 3通过非退化线性替换化成平方和。
高等代数综合考试试题
高等代数综合考试试题一、选择题(每题3分,共20题,总分60分)1. 高等代数的基本概念中,下列哪个选项是正确的?A. 定理B. 命题C. 运算D. 推论2. 下列哪个不是线性代数的研究内容?A. 矩阵与行列式B. 向量空间与线性方程组C. 群论与环论D. 特征值与特征向量3. 设A是一个n阶方阵,若有2个不同的正整数p和q使得$A^p = A^q = I$,则矩阵A的阶数n最小可能是:A. 3B. 4C. 5D. 64. 对于线性方程组$AX=B$,若$A^{-1}$存在,则方程组的解为:A. $X=A^{-1}B$B. $X=AB^{-1}$C. $X=A^{-1}AB$D. $X=BA^{-1}B$5. 设矩阵A的特征值为-1和2,特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$,则矩阵A 的转置$A^T$的特征值和特征向量分别为:A. -1,2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$B. 1,-2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}$C. -1,2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$D. 1,-2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$6. 设A为n阶矩阵,若A的行列式$|A|=0$,则下列哪个选项是正确的?A. A是可逆矩阵B. A的逆矩阵不存在C. A的秩为n-1D. A的行向量线性相关...二、填空题(每空3分,共10题,总分30分)1. 设A为对称矩阵,若$A^2 = 4I$,则A的特征值为______。
高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)
高等代数(下)期末考试试卷及答案(B 卷)一.填空题(每小题3分,共21分)1. 223[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ,()f x 为任一多项式,则()f A 的全体特征值为 .3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A()-n P[x]=,的核(0)=1A A A4.已知3阶λ-矩阵A (λ)的标准形为21 0 00 00 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭,则A (λ)的不变因子________________________; 3阶行列式因子 D 3 =_______________.5. 若4阶方阵A 的初等因子是(λ-1)2,(λ-2),(λ-3),则A 的若当标准形J=6.在n 维欧氏空间V 中,向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ,那么(,)i ξη=7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 .二. 选择题( 每小题2分,共10 分)1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间, 则dim(V)为(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 42. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量; (B) A 的初等因子全是1次的;(C) A 的不变因子都没有重根; (D) A 有n 个不同的特征根;3.( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ,则=||A(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -3 4.( )设2121),2,1,2(),1,1,0(ααβαα+=-=-=k ,若β与2α正交,则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5.( )下列子集哪个不是R 3的子空间 (A) }1|),,{(233211=∈=x R x x x w (B) }0|),,{(333212=∈=x R x x x w(C)}|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=(D)}|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=三.判断题(对的打”√”,错的打”X ”,每小题2分,共12分)1.( )设n n V P ⨯=,则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.2.( )12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基,矩阵()ijn nA a ⨯=,其中(,)ij i j a εε=,则A 是正定矩阵.3.( ) 若n 维向量空间P n 含有一个非零向量,则它必含有无穷多个向量.4.( )在线性空间R 2中定义变换σ:(,)(1,)x y x y σ=+,则σ是R 2的一个线性变换. 5.( )设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且αβ=,则αβ+与αβ- 正交。
高等代数(下)_厦门大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
高等代数(下)_厦门大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设f(x),g(x)是有理系数多项式,且在复数域上g(x)| f(x),则在有理数域上,也必有g(x)| f(x)。
参考答案:正确2.在F[x]中, (2, 6)=2。
参考答案:错误3.设f(x), g(x), u(x), v(x), d(x)是F上多项式,f(x)u(x)+g(x) v(x)=d(x)且d(x)首项系数为1,则(f(x), g(x))=d(x)。
参考答案:错误4.设f(x), g(x)是数域F上多项式,且f(x), g(x)在F上互素,则f(x), g(x)在复数域上一定互素。
参考答案:正确5.下列关于整除的命题中,正确的是______。
参考答案:若f(x)|g(x)+h(x),且f(x)|g(x),则f(x)|h(x)6.若A是负定矩阵,则A的任意k阶顺序主子式全小于零。
参考答案:错误7.两个相似的实对称矩阵一定正交相似。
参考答案:正确8.设V是有限维欧氏空间. 下列过渡矩阵的命题中,____是错误的。
参考答案:V的不同基下的过渡矩阵是正交矩阵9.设A,B是n阶方阵。
若A是反对称矩阵,且A合同于B,则B也是反对称矩阵。
参考答案:正确10.若f(x)g(x)=f(x)h(x),则g(x)=h(x)。
参考答案:错误11.n阶复对称方阵A和B合同的充分必要条件是____。
参考答案:A和B的秩相同12.若g(x)|f(x),则(f(x), g(x))= g(x)。
参考答案:错误13.设A是10阶实对称矩阵,且负惯性指数和符号差分别是5和-2,则A的0特征值有____个参考答案:214.若(f(x),g(x),h(x))=1,则f(x), g(x),h(x)两两互素。
参考答案:错误15.本原多项式和本原多项式之积必为本原多项式。
参考答案:正确16.任意非常数的有理系数多项式可以改写为一个有理数和一个本原多项式的乘积。
高数期中考试(下)(A)参考答案
y
2 14
,
1 14
,
6 14
) 即为所求点
f y ( x, y ) = λe y sin x + 2 cos x sin 2 y = 0
π
8
(也可以用柱坐标)
广东工业大学试卷用纸,共
页,第
页
五、
∫∫ x[1 + yf (x
D
2
+ y 2 dxdy = ∫∫ xdxdy + ∫∫ xyf ( x 2 + y 2 )dxdy
D
1 1
)]
D
1 1 1 xdx ∫ 3 f ( x 2 + y 2 )d ( x 2 + y 2 ) x 2 ∫−1
D −1
)]
2 dy = − (本题也可以用挖补法求解) 5
六、设曲面上点 ( x, y , z ) 到平面的距离为 d ,则 d =
x − 2 y + 3z − 1 14
14d 2 = ( x − 2 y + 3 z − 1) 2 ,且 z = 2 + x 2 + 4 y 2
令 F = ( x − 2 y + 3 z − 1) + λ ( 2 + x + 4 y − z )
3. (用球坐标) Ω : 0 ≤ θ ≤ 2π 由对称性
π
4
0 ≤ r ≤1
∫∫∫ (x + z )dV = ∫∫∫ zdxdydz
Ω Ω
2020.11高一数学B期中答案
高一数学答案(B)第 4 页(共 4 页)
(1)因为 f (x) ≥ 0 ,
即关于 x 的不等式 x2 − (m +1)x + m +1 ≥ 0 恒成立,
所以 ∆ = (m +1)2 − 4(m +1) ≤ 0 ;………………2 分
解得 −1 ≤ m ≤ 3 ;………………4 分 (2)原不等式转化为 f (x) −1 < 0 ,
即 x2 − (m +1)x + m = (x − m)(x −1) < 0 ,………………6 分
x 8x
x
因为 x > 0 ,
x2 + 8x + 800 = x + 800 + 1 ≥ 2 x × 800 + 1 = 21 ,……………10 分
8x x 8 x
8x
当且仅当 x = 800 ,即 x = 80 时取得;………………………………………11 分 8x
所以当每批生产 80 件时,平均费用最小为 21 元. …………………12 分 20.解:
当 A = Ø 时, 2a + 1 > 3a + 5 ,得 a < −4 ;……………………7 分
当 A ≠ Ø 时,
2a
+ห้องสมุดไป่ตู้
1
≤
3a
+
5,
或
2a
+
1
≤
3a
+
5,
……………………10
分
3a + 5 ≤ −2, 2a +1 ≥ 5,
得 −4 ≤ a ≤ 7 或 a ≥ 2 ,.……………………………11 分 3
(完整word版)高等代数期中考试题
高等代数期中考试题答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、全体正实数的集合+R ,对加法和数量乘法ab b a =⊕, k a a k = 构成实数域R 上的向量空间,则该空间的零元为______,+∈R a 的负元为______2、设321,,ααα是线性空间V 的一个线性无关的向量组,则L (321,,ααα)的维数为______.3、若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为1003002401050000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭, 那么向量组1234,,,αααα的一个极大无关组是_____________ 其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为 ______4、若把同构的子空间看成一类,则n 维向量空间的子空间共分成___类5、设A 是数域F 上的n s ⨯矩阵且秩r A =)(,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21. 若方程组0=AX 有非零解,则它的基础解系所含解的个数为_______个.二、单选题(每小题3分,共15分)1、按照数的加法和乘法,下列集合( )构成实数域R 上的向量空间.A .整数集;B .有理数集;C .正实数集;D .实数集2、下列子集( )作成向量空间n R 的子空间。
A .}0|),,,{(2121=a a a a a nB .},,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈C .}0|),,,{(121∑==n i i n a a a aD .}1|),,,{(121∑==ni i n a a a a3、下列向量组( )是线性无关的。
A .}0{B .},,0{βαC .1221},,,,{αααααk r =其中D .},,,{21r ααα ,其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合。
4、关于向量组极大无关组的结论, 下面有( )个正确.(Ⅰ) 任何向量组都有极大无关组; (Ⅱ) 任何有限个不全为零的向量组都有极大无关组; (Ⅲ) 若极大无关组存在则唯一; (Ⅳ) 极大无关组存在不唯一, 但彼此等价.(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.5、3F 的两个子空间{}02),,(3213211=+-=x x x x x x V ,{}0),,(313212=+=x x x x x V ,则子空间21V V 的维数为( )。
2019级高等代数(下)期中模拟卷(2)(1) 答案 (1)
1 1
3
0 1
0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 1 0 0
,
kk21 k
2k4 k4 3 0
取 k4 = 1得基础解系为 (2,1,0,1) ,相应的 2
L(1, 2 ) L(1, 2 ) L( 2 ) 是 1 维的, 2 为一组基。
又 L(1, 2 ) L(1, 2 ) L(1, 2 , 1, 2 )
因为 A 的秩=2,所以1,2 的秩=2,从而1,2 线性无关.
以1,2,1,2 为列向量并进行初等行变换可得
(2)将 1 2 3t t3,2 1 t 2t2 3t3 延拓成线性空间 P[t]4 的一组
基. 为此,取3 t2,4 t3 P[t]4 .
2 1 0 0
由于
(1
,2
,3
,4
)
(1,
t,
t
2
,
t
3
Hale Waihona Puke )A,其中
A
3 0
1 2
0 1
0 0
,
1 3 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 10
1 0 1
0 1 0
3 10
0 0 0
1 0 0
2 1 0
1 00
L(1, 2 ) L(1, 2 ) L(1, 2 , 1 ) 是 3 维的,1, 2 , 1 为一组基。
共3页 第1页
1. 设 A 为 n n 矩阵,若对任意 n 1矩阵 X 均有 X T AX 0 ,则 A 为( C ).
A 零矩阵 B 对称矩阵 C 反对称矩阵 D 负定矩阵
取
X
ei
(0,..., 0,1, 0,..., 0)T i
高等代数09-10(2)_期中试题答案
北 京 交 通 大 学2009-2010学年第二学期高等代数II 期中考试试卷答案一. 填空题(每题3分,共30分)1. 复数域C 看做实数域R 上的线性空间,其维数为 2 , 一组基可取为 1,i 。
2. 4R 中基 10001100,,,11101111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭到基10000100,,,00100001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵是 1111111⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭. 3. 设线性变换A 在基ε1, ε2, ⋯, εn 下的矩阵是A , 向量α在 此基下的坐标是(x 1, x 2, ⋯, x n )T , 则A (α)在此基下的坐标是 A (x 1, x 2, ⋯, x n )T .4. 设线性空间V 的线性变换A 在基ε1, ε2, ε3下的矩阵是123456789⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则A 关于基3ε2, 2ε3, ε1的矩阵为 454371292661⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.5. 设111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭是12533102a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的特征向量,则a = 2 .6. 设矩阵11100000A x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有3个线性无关的特征向量,则 x = 07.设D 是线性空间4[]P x 中定义的求微商的变换,则D 的值 域为 3[]P x .D 的核的维数为 1 . 8. 以下和12V V +是直和的有 ( A )(A) n n R ⨯的两个子空间12,V V ,其中1V 是全体n 阶实对称矩阵,2V 是全体n 阶实反对称矩阵;(B) 4[]P x 的两个子空间12,V V ,其中1V 是D 的值域, 2V 是D 的核,D 是4[]P x 上的微分变换,(C) n n R ⨯的两个子空间12,V V ,其中1V 是全体迹为0的n 阶实方阵,2V 是全体n 阶实上三角阵;(D) n R 的两个子空间 {}111(,...,)| 0n n n V x x R x x =∈++=,{}2111(,...,)| 0n n n V x x R x x -=∈++=。
2012-2013高代第二学期期中试卷答案
北 京 交 通 大 学2012 -2013学年第二学期《高等代数II 》期中考试试卷参考答案及评分标准一.填空题(本题满分30分,共10道小题,每道小题3分)1.已知R 3的两组基:I: )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα; II: )0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ;那么由I 到II 的过渡矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011110101 。
2. 在22⨯P 中,已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01001A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00012A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00103A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004A 是22⨯P 的基,那么,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4523A 在该基下的坐标为 (5,3,2,4) 。
3. 设1W 是方程组04321=+++x x x x 解空间,2W 是方程组⎩⎨⎧=+-+=-++0043214321x x x x x x x x 的解空间,那么1W ∩2W 是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+-+=-++000332143214321x x x x x x x x x x x x 的解空间。
4. 设()()()()()()3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121L W L W ==, 则()=+21dim W W 3 。
5. 设1W 、2W 都是V 的子空间,且1W +2W 为直和,那么()=⋂21dim W W 0 。
6. 设线性变换A 在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011,线性变换B 在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101,那么A+B 在基21,εε下的矩阵为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002 . 7.设3阶矩阵A 的特征为1,2,3,那么A -1的特征值为 1,1/2,1/3 。
8.设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x 10100001与矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10000001y 相似,那么y x ,的值分别是 0,1 。
2020级高等数学(下)期中试卷含答案
2020级高等数学(下)期中试卷一、 单项选择题在以下级数或反常积分后的括号内填入适当的字母,各字母的含义是: (A )绝对收敛;(B )条件收敛;(C )发散;(D )可能收敛,可能发散。
1.∑∞=-2ln )1(n n nn ( ); 2.设∑∞=1n n u 条件收敛,则∑∞=12n n u ( );3.3sin 313π∑∞=n n n n ( ); 4.设为任意实数 P ,则⎰∞+0p x dx( )。
二、单项选择题(6144'=⨯')1.设π 平面:01472=-++z y x 及1L 直线:32 ,1 ,3-=+==t z t y t x ,2L :332111--=+=--z y x ,则( ) (A )π∥1L ; (B )1L ⊥π; (C )π∥2L ; (D )2L ⊥π。
2.曲线12222=+by ax ,0=z 绕轴旋转而成 x 的曲面方程为( )(A )122222=++bz y ax ;(B )122222=++by az x ;(C )2222by ax z +=;(D )12222-+=by ax z 。
3.设}1 ,2 ,1{--=a ,}2 ,1 ,1{-=b ,}5 ,4 ,3{-=c,则( )(A )b a ⊥; (B )c b ⊥; (C )a c⊥; (D )共面 , ,c b a 。
4.两非零向量γ'β'α'γβα , , , , 及的方向角分别为及b a ,则=) ,cos(b a( )(A )γ'β'α'+γβαcos cos cos cos cos cos ; (B )γ'γ+β'β+α'αcos cos cos cos cos cos ;(C ))cos()cos()cos(γ'+γ+β'+β+α'+α;(D ))cos()cos()cos(γ'-γ+β'-β+α'-α。
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高等代数(下)期末考试试卷及答案(B 卷)
一.填空题(每小题3分,共21分)
1. 22
3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为
2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ,()f x 为任一多项式,则()f A 的
全体特征值为 .
3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A
()-n P[x]=
,的核(0)=
1A A A
4.已知3阶λ-矩阵A (λ)的标准形为21 0 00 00 0λλλ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪+⎝⎭
,则A (λ)的不变
因子________________________; 3阶行列式因子 D 3 =_______________.
5. 若4阶方阵A 的初等因子是(λ-1)2,(λ-2),(λ-3),则A 的若当标准形
J=
6.在n 维欧氏空间V 中,向量ξ在标准正交基12,,
,n ηηη下的坐标是
12(,,
,)n x x x ,那么(,)i ξη=
7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 .
二. 选择题( 每小题2分,共10 分)
1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间, 则dim(V)为
(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4
2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量; (B) A 的初等因子全是1次的; (C) A 的不变因子都没有重根; (D) A 有n 个不同的特征根; 3.( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ,则=||A
(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -3 4.( )设2121),2,1,2(),1,1,0(ααβαα+=-=-=k ,若β与2α正交,则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5.( )下列子集哪个不是R 3的子空间
(A) }1|),,{(233211=∈=x R x x x w (B) }0|),,{(333212=∈=x R x x x w (C) }|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈= (D) }|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=
三.判断题(对的打”√”,错的打”X ”,每小题2分,共12分)
1.( )设n n V P ⨯=,则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.
2.( )12,,
,n εεε是n 维欧氏空间的一组基,矩阵()
ij
n n
A a ⨯=,其中
(,)ij i j a εε=,则A 是正定矩阵.
3.( ) 若n 维向量空间P n 含有一个非零向量,则它必含有无穷多个向量. 4.( )在线性空间R 2中定义变换σ:(,)(1,)x y x y σ=+,则σ是R 2的一个线性变换. 5.( )设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且αβ=,则αβ+与αβ- 正交。
6. ( )λ-矩阵A(λ)可逆的充要条件是()0.A λ≠
四.计算题(3小题,共30分)
1.已知α关于基123,,βββ的坐标为(1,0,2),由基 123,,ααα 到基123,,βββ的
过渡矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛012001423, 求α关于基123,,ααα的坐标. (8分)
2. 设V 是数域P 上一个二维线性空间, 12,εε和12,ηη是V 的两组基, V 的线性
变换Α在基12,εε下的矩阵为 2110⎛⎫ ⎪-⎝⎭
,又从基12,εε到基 12,ηη的过渡矩阵为
1112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
, 求Α在基 12,ηη下的矩阵. (8分) 3. X TY T =用正交线性替换化下列二次型为标准型,并写出相应的正交矩阵:
222
123121323()22448f x x x x x x x x x x =---++ (14分)
五. 证明题 (每题9分,共27分)
1. 设V 为数域P 上的n 维线性空间,12,,
,n ααα为V 的一组基, 证明
V = L(11212,,,n αααααα+++
+) .
2.设n ααα,,,21 为n 维欧氏空间V 的一组基.证明:这组基是标准正交基的充分必要条件是,对V 中任意向量α都有
()n n αααααααααα,),(),(2211+++=
3. 设,στ都是数域P 上线性空间V 的线性变换, 且τσστ=, 证明 )Im(σ和
)(σKer 都是τ的不变子空间.
答案
幻灯片 1
,
,.
n λ全体特征值为幻灯片 2
幻灯片 3
维欧氏空间V 中,向量在标准正交基
ξ12,,(,,,)
n n x x x η下的坐标是(,)i ξη=
i
x 11......i i n n
x x x ηηη++++)()()
(11,...,...,i i i i n n x x x ηηηηηη=++++
幻灯片 4
幻灯片 5
幻灯片6
幻灯片7
,
,n ε是n ij a =,其中维向量空间则它必含有无穷多个向量。
0=⇒A +
幻灯片 8
幻灯片 9
幻灯片 10
1
2-⎝⎭()()()()()121212,,,P P
ηηεεεε==解:()()11212,,AP P AP
εεηη-==()(1
121
12111,1
21012ηηη---⎛⎫
⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
⎝⎭⎝⎭即求 在基下的矩阵为12
,ηη1101⎛⎫
⎪⎝⎭
幻灯片 11
幻灯片12
幻灯片 13
2,,,n
αα()
11212,,
,n L αααααα++++12()0n n k ααα+++++=222...)...)0n n n n k k k k ααα++++++=,,n α是V 的一组基,故线性无关,
122...0 ...0 0
n
n k k k k k ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩线性无关,
11212,,,n αααααα++++而此方程组只有零解,
V 的一组基,即()
11212,,,n V L αααααα=++++
幻灯片 14
2,,,n
αα的一组基,证明()
11212,,,n V L αααααα=+++
+12,
,n
ααα+++)()121
10
11,,,,,0
01n n A αααα⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
记作也是线性无关的,212,,n αααα++++的一组基,即()
11212,,,n V L αααααα=++++是可逆矩阵,而是线性无关组,12,,
,n ααα
11
幻灯片 15
这组基是标准正交基的充分必要条件是:对V 中任意
(,n αα+
+的一组标准正交基,
1122,n n
x x x ααααα=+++则对V 中任意向量有()()()()1122,,,,i i i n n i i x x x x αααααααα=+++=()(,)(,),n n
αααααααααα∴=+++任一向量
α
()2,n n
ααα++()1122,)(,),i i i n n ααααααααα+++[]()(,)1,i i i i n n αααααα+-++=n α的线性无关性,得(),(,)1
i i i j αα≠=是V 的一组标准正交基。
n α
幻灯片 16。