自旋相干态变换和自旋—玻色模型的基态解析解
第二讲 自旋玻璃
非磁性杂质 2, LaCe合金中的Ce在常压下为磁性，但在高压下失去磁
性 3, CuNi合金中的Ni含量小于25％时,Ni原子不具有磁性
用Anderson模型来解释以上现象
何为准束缚态？ (VBS)
（定域电子与巡游电子杂 化，杂化越强则 越大）
在时间坐标上有序
比较：顺磁系统在空间和时间上都无序
自旋玻璃的发现（20世纪70年代）
磁化率尖峰温度 为自旋冻结温度
与反铁磁相变的区别
磁化率尖峰被直流磁场抹低 冻结温度随频率增加而上升
自旋玻璃为什麽会“冻结” ？
无序－磁杂质无序分布 受挫－不能让所有磁矩都处于能量有利的状态 铁磁相互作用与反铁磁相互作用的竞争
lim
N
<Si(t0)•Si(t0+t)>
，
取 i从1到N的平均值
自旋玻璃的种类
• RKKY型自旋玻璃（有巡游电子） • 非金合金自旋玻璃（巡游电子局域化） • 半导体自旋玻璃（基本上没有巡游电子）
类自旋玻璃行为和复杂体系
神经系统 计算机原理
思考题续：
10，叙述自旋冻结的物理机制。 11，为什麽零磁场冷却和磁场中冷却的磁化率－温度
杂质周围的电子云“晕” 和 Friedel振 荡
类似形 成驻波
磁性杂质周围的Friedel 振荡
极化电子云
RKKY相互作用
局域磁矩之间通过极化电子云产生间接交换相互作用
RKKY相互作用的特点
交换常数的符号随着两磁矩的距离而周期振荡； 相互作用能大小与两磁矩距离的3次方成反比
自旋玻璃：
一种新的磁矩系统有序状态 在空间坐标上无序，
微腔中多体系统的新奇量子相变及其调控
微腔中多体系统的新奇量子相变及其调控【摘要】：研究多体系统的量子相变及其调控一直是凝聚态物理学的热门内容之一。
在早期的理论研究中,光学腔中的多原子系统具有正常—超辐射量子相变。
但是到目前为止,该量子相变还没有被观察到。
其主要原因是,由于每个原子都各自存在量子涨落,所有的原子不能与光子发生相同的相互作用。
最近的实验利用了玻色—爱因斯坦凝聚的奇特特性---低于某一特定温度时,所有粒子都聚集到动量空间中的最低能态上,并具有相同的物理特性,验证了超冷原子与光子能发生集体强耦合作用。
这是最高层次上研究物质与光的相互作用。
在该系统中光子不仅与原子发生近共振相互作用,而且还能充当数据线,并有效地耦合长程原子之间的相互作用。
这两个相互作用发生强烈竞争,将会导致新奇量子效应。
本文在当前的实验条件下着重研究腔中多原子体系的新奇量子相变及其调控,主要内容如下:(1)给出多原子与光子相互作用体系几何相位的一般公式(正比于平均光子数)。
而且证明该几何相位与量子相变有着重要的关系。
因此,它是一个在实验上可以探测量子相变的重要物理量。
(2)运用路径积分方法讨论有限原子数下Dicke模型在超辐射相时的量子隧穿。
指出量子混沌将协助隧穿并与纯量子隧穿会发生强烈的竞争,从而导致系统的量子隧穿减弱。
(3)提出控制超辐射量子相变的一种方案,即运用一个含时经典驱动外场的频率来代替原子的共振频率,从而取得满足发生超辐射量子相变的条件。
最后,该方案在宏观超导量子电路中与腔相互作用的体系中实现。
(4)引入含有长程原子相互作用的Dicke模型,运用相干态路径积分方法得出当原子数为有限奇数时,该模型有绝对简并的基态和很大的能级间距,而且这个间距随着原子数的增加而增大。
因此,在绝对简并的基态子空间中适当控制相关参数,可以实现容错量子计算,克服量子退相干。
(5)在超导结与纳米力学共振器的相互作用系统中实现Dicke 模型,而且在周期调控下实现单向量子计算机所需的cluster态。
自旋玻璃态的自由能帕里西公式
自旋玻璃态的自由能帕里西公式一、自旋玻璃态简介。
1. 定义与概念。
- 自旋玻璃态是一种特殊的物质状态，它出现在某些磁性系统中。
在这些系统里，存在着自旋（磁矩）之间复杂的相互作用。
与普通的铁磁体或顺磁体不同，自旋玻璃态中的自旋相互作用是无序的且包含竞争关系。
- 例如，在一些合金系统中，如铜 - 锰合金，锰原子的自旋之间既有铁磁相互作用的倾向，又有反铁磁相互作用的倾向，这种相互作用的竞争导致了自旋玻璃态的形成。
2. 物理特性。
- 自旋玻璃态在低温下表现出独特的磁性行为。
它没有长程磁有序，但是在短距离内自旋之间存在一定的关联。
- 从热力学角度看，其比热、磁化率等热力学量表现出与普通磁性材料不同的温度依赖关系。
二、自由能概念。
1. 热力学中的自由能。
- 在热力学中，自由能是一个非常重要的概念。
对于一个系统，自由能（F）定义为F = U - TS，其中U是内能，T是温度，S是熵。
- 自由能可以看作是在等温过程中系统可对外做的最大有用功。
在平衡态时，系统的自由能达到最小值。
2. 自旋玻璃态中的自由能。
- 在自旋玻璃态中，自由能的计算和理解变得更加复杂。
由于自旋之间复杂的相互作用，不能简单地用传统的方法来计算其自由能。
三、帕里西公式的推导。
1. 基本假设与出发点。
- 帕里西公式的推导基于一些假设。
其中一个重要假设是关于自旋玻璃态中自旋相互作用的层次结构。
- 假设自旋之间的相互作用可以按照一定的层次进行划分，这种层次结构反映了系统的无序性和复杂性。
2. 推导过程中的关键步骤。
- 推导过程涉及到复杂的统计物理方法。
要对自旋系统的配分函数进行处理。
配分函数Z是统计物理中一个核心概念，它与系统的自由能通过F=-kTlnZ相关联（其中k是玻尔兹曼常数）。
- 在处理自旋玻璃态的配分函数时，需要考虑到自旋相互作用的随机性。
帕里西通过引入复制技巧（replica trick）来处理这种随机性。
复制技巧是一种数学上的处理方法，它假设存在多个相同的系统副本（replicas），然后通过对这些副本的平均来得到系统的物理量。
第五章 自旋波理论
1
相邻格点自旋的交换作用用等效场Heff替代
2A H eff ( S n1 S n1 )......( 5)
dS n （5）代入（3）： S n H eff dt 2A S n ( S n 1 S n 1 )......(6)
自旋波作为磁性固体中一种重要的元激发（如格 波-晶格振动），是由局域自旋之间存在交换作用而 引起。自旋波理论从体系整体激发的概念出发，很好 的解释了自发磁化在低温下的行为。在低温下，体系 能量处于较低的激发态，自旋波数较少，自旋波相互
作用可以忽略，每一个自旋波可以看作是相互独立的， 系统能量等于各个自旋波能量简单求和。在这种近似 下，得到铁磁体自发磁化强度遵守T3/2定律，与实验 符合很好。
Z
即 S n 将围绕交换作用等效场 H eff 进动
σ
n
SZ
Sn
y
令 Sn S z n ，
x
在进动轴方向的投影矢量，且根据
其中，S z
为S n
前面的假设，不同格点处
n 为进动振幅矢量，其方向随时间变化。
相同，不随时间变化； Sz
∴
( S z n ) (2S z n 1 n 1 ) dt 如振幅很小，即 S z 时，略去二次以上项得线性 方程： d n 2 AS z ( n 1 2 n n 1 )......(7) dt
相当于体系中总有一个自旋翻转。而上式表明：同为一个
自旋翻转，由于自旋波波矢不同，则体系能量不同。因
此，（19）式也反应了自旋波的色散关系,并且很显然。
体系中允许两个以上自旋波具有相同的波矢k,因此，自旋
自旋玻璃模型简介和空腔法
自旋玻璃模型简介和空腔法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：自旋玻璃模型是一种用来描述自旋玻璃行为的理论模型，它在凝聚态物理领域有着重要的应用。
自旋玻璃是一种具有局域有序但整体无序的状态，它在很多强关联系统中都可以观察到，这种状态对于理解凝聚态物质的性质和行为具有重要意义。
自旋玻璃模型可以帮助我们理解自旋玻璃的产生机制以及其在物质性质中的作用。
自旋玻璃模型最早由波冲尔和安德森在1975年提出，在这个模型中，自旋系统中的自由度之间具有一种无序的相互作用，这种相互作用会导致自旋自发地形成局域的有序结构，但整体上呈现出无序状态。
这种局域有序的结构可以通过自旋玻璃模型来描述，而这种状态对于很多凝聚态系统的性质和行为具有重要的影响。
自旋玻璃模型在研究自旋液体、自旋玻璃等系统时起着至关重要的作用，它可以帮助我们理解物质在不同温度和磁场下的性质变化，以及局域对称性破缺和无序性等问题。
通过研究自旋玻璃模型，我们可以揭示强关联系统中的玻璃转变行为，为我们理解和探索凝聚态物理中的新现象和新物理提供重要参考。
空腔法是一种用来研究自旋玻璃现象的实验方法，它通过在腔中放置不同形状和尺寸的自旋液体样品来观察其自旋动力学行为。
在空腔法中，研究人员可以通过调控腔体和样品之间的相互作用来探索自旋玻璃的形成机制和性质。
空腔法可以提供一个高度可控的实验环境，使得研究人员可以精确地测量自旋玻璃的特性，并对其进行深入的研究。
自旋玻璃模型是研究自旋系统中局域有序和整体无序状态的重要理论工具，而空腔法则是一种研究自旋玻璃现象的实验方法。
通过结合理论模型和实验方法，我们可以更全面地了解自旋玻璃的产生机制和性质，为我们理解和探索凝聚态物理中的新现象和新物理提供重要的参考。
希望未来能够进一步深入研究自旋玻璃领域，为我们揭示未知的物质世界带来新的突破和发现。
第二篇示例：自旋玻璃模型简介和空腔法是两种常用于研究材料性质的方法。
自旋玻璃模型是一种数学模型，用来描述当温度趋近绝对零度时的自旋玻璃材料的行为。
非常规自旋轨道耦合玻色凝聚的拓扑激发
分类号：0469密级：无单位代码：10118研究生学位论文年月日论文题目（中文）非常规自旋轨道耦合玻色凝聚的拓扑激发论文题目（外文）Topological Excitations in Unconventional Spin-Orbit-Coupled Bose Condensates 研究生姓名岳虹霞学科物理学专业凝聚态物理学位类别硕士培养类型全日制导师姓名、职称刘永恺副教授培养单位物理与信息工程学院学位授予单位山西师范大学学位授予日期年月答辩委员会主席张东海教授评阅人非常规自旋轨道耦合玻色凝聚的拓扑激发中文摘要玻色-爱因斯坦凝聚（BEC ）的实现为研究多种形式的拓扑激发和新奇量子相变提供了一个很好的研究平台。
尤其是人工合成自旋轨道耦合的实现极大的丰富了冷原子系统的研究，探索自旋轨道耦合BEC 中的新奇拓扑态成为冷原子物理和其他原子交叉领域的研究热点。
人们发现自旋轨道耦合不仅可以稳定各种各样的拓扑激发还可以产生新奇的量子相。
NIST 和Rashba 型自旋轨道耦合得到了人们的广泛研究。
之后人们提出了多种多样的规范场耦合模型，虽然由于实验条件许多模型尚未实现，但是依然是理论和实验工作者研究的动力源泉。
受这些研究结果的启发，本论文研究了在两组分BEC 中耦合其他形式自旋矢量和线动量的二维拓扑激发以及在spin-1BEC 中耦合SU （3）自旋轨道耦合的一维孤子激发。
揭示了不同种类的耦合形式会产生不同的新奇拓扑激发，并阐述了不同拓扑激发背后的物理机制。
我们的工作主要分为以下两个部分：（1）SU （3）自旋轨道耦合模型中一维拓扑激发利用数值模拟求解含SU （3）自旋轨道耦合项的spin -1BEC Gross-Pitaevskii 方程，通过和常规SU （2）自旋轨道耦合数值结果比较，我们发现SU （3）这种新型自旋轨道耦合，可以得到一种新奇孤子激发—多节点复合孤子。
我们详细的研究了这种新奇孤子激发的性质，以及产生的物理机制。
量子调控中的自旋与相干态
量子调控中的自旋与相干态近年来，量子调控技术的发展引起了广泛的关注。
在这个领域中，自旋与相干态的研究成为了热点问题。
自旋作为一种微观粒子的性质，具有重要的量子特性，而相干态则是量子系统中重要的一种特殊态。
本文将从理论和实验两个方面，探讨量子调控中自旋与相干态的相关内容。
一、自旋的量子特性自旋是微观粒子的固有属性，与粒子的自转运动有关。
和传统的经典自转不同，自旋具有量子特性。
根据量子力学的理论，自旋可以同时处于多个态之间，表现出量子叠加的特征。
同时，自旋在测量时只能处于上下两个本征态中的一种，这种离散性也是量子特性的体现。
在量子调控中，自旋被广泛应用于信息处理、量子通信等领域。
自旋的叠加态可以用于储存和传输量子信息，而自旋的离散性则可以用于量子比特的构建。
自旋的量子特性为量子系统的精确控制提供了强有力的基础。
二、相干态的特点与应用相干态是量子力学中的一种特殊状态，其具有幅度和相位的固定关系。
在相干态中，粒子的波函数表现出清晰的干涉条纹。
与混合态不同，相干态的量子纠缠程度较高，更易受到外界干扰的影响。
相干态在量子调控中具有重要意义。
首先，相干态可以用于量子精密测量，如激光测距、磁场测量等。
其次，相干态可用于构建量子计算机中的量子比特，提高计算效率和容错性。
此外，相干态还可用于量子通信和量子隐形传态等领域。
三、自旋与相干态的耦合与研究方法自旋与相干态的耦合是量子调控中的关键问题。
研究人员通过物理手段将自旋与相干态相互耦合，以实现对自旋态的有效操控。
在实验上，常用的方法包括磁共振、光场调控等。
磁共振技术是量子自旋态研究的重要工具之一。
通过在外加磁场的作用下，自旋与相干态的耦合得以实现。
这种耦合关系可以通过实验测量磁共振信号来表征。
磁共振技术在医学、材料科学等领域有着广泛应用。
光场调控是另一种常用的自旋与相干态耦合方法。
利用激光或微波场对自旋进行调控，可以实现对自旋态的精确读出和操控。
通过调控光场的幅度、相位等参数，可以实现对自旋态的旋转、翻转等操作。
自旋玻璃
材料
最早被研究的自旋玻璃材料是一些稀磁合金，即将少量磁性金属掺杂到非磁性金属中得到的合金，比如铜掺 锰合金Cu1-xMnx与金掺铁合金Au1-xFex。其中是表示掺杂金属的比例。
物理特性
自旋冻结 亚稳态
阻挫 磁化弛豫
相互作用产生有序，热运动产生无序。当物质的温度升高时，原子自身的热运动逐渐超过原子之间的相互作 用，于是物质宏观上变为顺磁性。而当温度重新降低时，物质将恢复独自的磁性特质。铁磁体材料在高温状态下 的磁性特征遵从居里-外斯定律。而当温度降至一定水平（称为相变温度或居里点）后，将快速回复铁磁性性质。 而自旋玻璃材料在高温时虽然也呈现顺磁性，但当温度下降时，复杂的相互作用使得长程有序状态无法形成，各 个磁矩被随机地冻结在某个方向，最后呈现无规则的长程无序状态。而这个转变过程是缓和的，就磁化率（测量 宏观上磁性到底有多大的量）来说，自旋玻璃材料在温度下降时磁化率先缓慢增高，经过一个峰值后再缓慢下降。 达到峰值时的温度也称为“冻结温度”（表示之后开始“冻结”）。
铁磁性材料和反铁磁性材料的磁矩在相变温度以下只有一种排列状态。比如铁磁性材料在低温时所有的磁矩 都按着同一个方向排列。这个状态下系统的能量是最低的。要改变这种状态需要较大的能量。而自旋玻璃材料在 低温时可能出现很多种不同的状态，这些状态下系统的能量都差不多（差距极微小），被称为亚稳态。这种情况 的出现是由于所谓的“阻挫现象”（frustrat的原子或小原子集团构成的，它们的磁矩之间相互作用，构成了宏观上的磁 性现象。这样的相互作用基本有两类。一类是铁磁相互作用：两个相邻的磁矩排成同一个方向。另一类是反铁磁 相互作用：相邻的磁矩排成相反的方向。如果材料的内部只有铁磁相互作用，所有的磁矩排成了同一个方向，那 么材料具有像磁铁一样的性质。如果只有反铁磁相互作用，那么磁矩的方向总是正反相间，相互抵消，磁化率为0。 宏观上，材料“没有磁性”。而当材料内部随机存在着铁磁相互作用和反铁磁相互作用时，就会形成自旋玻 璃。
深光晶格中自旋轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体的局域化现象与自旋动力学
深光晶格中自旋轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体的局域化现象与自旋动力学深光晶格中自旋轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体的局域化现象与自旋动力学自旋轨道耦合是量子力学中一个重要的现象，它描述了自旋与粒子运动轨道之间的相互作用。
在冷原子物理学中，我们可以利用激光与冷原子相互作用，产生人工光晶格，从而观察自旋轨道耦合效应。
而当玻色-爱因斯坦凝聚体处于这样的深光晶格中时，便可以观察到一些有趣的局域化现象和自旋动力学行为。
在深光晶格中，冷原子被束缚在周期性势阱中，形成了一个晶格结构。
当冷原子达到玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度以下时，它们的波函数会发生重叠，使得整个凝聚体表现出与单个原子不同的性质。
而深光晶格中的自旋轨道耦合效应能够影响原子的自旋和动量，从而带来很多有趣的现象。
首先，深光晶格中的自旋轨道耦合导致了凝聚体的局域化现象。
在深光晶格中，凝聚体的能带结构变得非常复杂，我们可以将其视为多个能带的叠加。
自旋轨道耦合会导致不同能带之间的耦合，从而使得能带之间出现交叉点和间隙。
这些能带结构的变化导致了凝聚体波函数的局域化现象，即凝聚体的波函数在晶格中的一部分区域内几乎为零，而在其他区域内则保持较大的值。
这种局域化现象使得凝聚体的性质可以在不同的区域之间有所差异，从而为实现量子逻辑门等应用提供了潜在的可能性。
其次，深光晶格中的自旋轨道耦合使得凝聚体的自旋动力学变得非常丰富。
自旋在凝聚体中的演化由哈密顿量描述，这个哈密顿量包含了自旋和动量的耦合。
在深光晶格中，自旋轨道耦合导致了自旋演化的非平凡性。
通过适当设计光晶格势阱的参数，我们可以控制自旋之间的相互作用，并实现自旋的旋转和翻转。
这些自旋动力学的特点使得深光晶格中的原子可以作为量子比特，用于量子计算等新颖的应用中。
在实验上，深光晶格中自旋轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体的研究已经取得了一系列重要进展。
例如，通过调节光晶格的强度和周期性，实验观察到了自旋和动量之间的耦合行为，并观察到了局域化现象和自旋动力学效应。
自旋波及其模式杂化的非互易研究
自旋波及其模式杂化的非互易研究自旋波及其模式杂化的非互易研究自旋波是一种在固体中传播的磁激发波动。
它是磁性材料中自旋排列的集体震动，类似于声波中的压力波。
与光子不同，自旋波的能量依赖于材料的磁矩状态和其耦合的自旋交换相互作用。
自旋波的研究对于理解固体材料磁性行为的内在机制及其在信息存储和处理等领域的应用具有重要意义。
在传统的自旋波研究中，通常假设自旋波的行为是线性和互易的，即自旋波的传播和相互作用不受时间和空间反演对称性的影响。
然而，最近的研究表明，自旋波的行为可以具有非互易性，即其传播和相互作用在时间和/或空间上不再对称。
非互易性自旋波的研究涉及到自旋波的模式杂化，即不同波的耦合和交叉。
在传统的自旋波研究中，通常研究的是单一模式的自旋波，而非互易性自旋波的研究则考虑了多个模式之间的相互作用。
这种模式杂化的非互易性行为在磁性材料中可以导致丰富多样的现象，如自旋波的非均匀传播、非线性动力学行为和自旋波的模式转换等。
非互易性自旋波的研究可以通过多种实验手段进行。
其中之一是使用光学技术进行自旋波的观测和激发。
通过激光脉冲的照射，可以激发自旋波并测量其传播特性。
另外，通过在自旋波材料中引入外加磁场或应变等外界条件，可以调控和研究自旋波的非互易性行为。
非互易性自旋波的研究也可以通过理论计算进行。
利用材料的晶体结构和自旋交换参数，可以通过数值方法模拟自旋波的传播和相互作用。
同时，根据非互易性自旋波的实验观测结果，可以建立理论模型来解释其行为。
非互易性自旋波的研究对于开发新型磁性材料和磁性器件具有潜在应用价值。
例如，非互易性自旋波的非线性动力学行为可以实现光学控制的磁存储器件，或者用于开发自旋逻辑门等磁性量子计算器件。
此外，非互易性自旋波的模式转换现象也有可能应用于信息编码和传输等方面。
在总结中，非互易性自旋波及其模式杂化的研究已经成为固体物理学和磁性材料领域的热点研究方向。
通过观测和调控非互易性自旋波的行为，我们可以更好地理解磁性材料的基本性质，并有助于开发新型的磁性器件和应用。
有限温量子自旋-玻色模型的动力学研究
㊀第４０卷第３期杭州电子科技大学学报(自然科学版)V o l ．４０N o ．３㊀㊀２０２０年５月J o u r n a l o f H a n g z h o u D i a n z i U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e s )M a y ２０２０㊀D O I :１０．１３９５４/j．c n k i ．h d u ．２０２０．０３．０１３有限温量子自旋玻色模型的动力学研究胡王军,孙科伟(杭州电子科技大学理学院,浙江杭州３１００１８)收稿日期:２０１９Ｇ０６Ｇ０３基金项目:浙江省自然科学基金资助项目(L Y １８A ０４０００５)作者简介:胡王军(１９９２－),男,研究方向:系统动力学.E Ｇm a i l :h u w a n g ju n ＠h d u ．e d u ．c n .通信作者:孙科伟,副教授,研究方向:凝聚态物理.E Ｇm a i l :s k w ７９７２４＠h d u ．e d u ．c n.摘要:利用D a v y d o v ＧA n s a t z e 试探波函数研究有限温量子自旋玻色模型的动力学问题,提出一种基于D i r a c ＧF r e n k e l 含时变分并结合正则系综的统计采样技术,可较精确㊁高效地求解分子聚集体或集光复合物中的激子及电荷转移的动力学问题.在不同谱密度耦合强度㊁不同电子耦合常数等参数下,演算系统布居数(P o p u l a t i o n )的动力学演化过程,结果表明:系统在低温的欧姆或亚欧姆环境下,采用试探波函数法得到的结果和采用准绝热传播路径积分法相比,两者具有较好的吻合度.关键词:自旋玻色模型;D a v y d o v ＧA n s a t z e ;D i r a c ＧF r e n k e l 含时变分中图分类号:O ４１３㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀文章编号:１００１Ｇ９１４６(２０２０)０３Ｇ００７３Ｇ０６０㊀引㊀言自旋玻色模型(耗散二能级系统)的研究在量子物理中有着悠久的历史,是开放体系中最典型的模型,是对分子体系激发过程的高度概括,已发展出许多不同的相关模型,基于这些不同模型还发展出相应的超快非线性光谱理论及实验技术,如飞秒受激拉曼光谱和二维电子振动光谱可直接用于监测原子核在基态或激发电子态的时间演化.因此,研究多体自旋玻色系统的动力学问题对充分理解非线性光谱信号有重要的作用.但是,精确描述量子耗散动力学仍是一个具有挑战性的问题,涵盖了广泛的领域,形成了独特的自旋玻色物理[１].近年来,研究人员主要通过构建２种不同的模型对耗散环境展开研究.一种是具有连续谱密度的谐振子系统,另一种是有限模式的谐振子系统[２].处理量子耗散的主要方案之一是约化密度矩阵方法,约化密度矩阵是通过对整个系统的密度矩阵取其中一子系统的偏迹数得到的.二阶时间非局域量子主方程方法[３]和路径积分方法中准绝热传播子路径积分(Q u a s i a d i a b a t i cP r o p a g a t o r P a t h I n t e gr a l ,Q U A P I )[４]都是基于约化密度矩阵的非马尔可夫动力学方法.这些方法虽然可以用来研究不同系统热库耦合强度的情况,但是在较低温度下对量子耗散动力学的模拟变得非常困难.另一种方案是试探波函数方法,如多组态的含时哈特里方法(M u l t i c o n f i g u r a t i o n a lT i m e ＧD e pe n d e n t H a r t r e e ,M C T D H )方法[２]㊁多层M C T D H 方法[５]及D a v yd o v ＧA n s a t ze 方法[６]等,可以明确描述所有自由度波函数的含时演化,其运动方程由D i r a c ＧF r e n k e l 变分原理确定,能在非常低的温度下获得数值精确的量子动力学,并且可以进一步借助对热库初始条件的统计采样来研究有限温度效应.作为一个仅考虑有限模式热库的量子开放系统,它形成了一个孤立的系统,且能量守恒.根据P o i n c a r é递推定理[６],量子系统最终回到一个非常接近初始状态的状态.为了避免这种情况的发生,热库必须扩展到包含无限多的声子模.２０１２年,W uN．等[７]采用变分理论研究了亚欧姆自旋玻色模型的零温动力学性质,采用热库的连续谱密度的离散化方案,利用试探波函数研究自旋玻色模型的耗散动力学演化过程.这是一种简单但非常有效的方法,得到与量子蒙特卡罗模拟一致的结果.另一方面,２０１８年,M．W e r t h e r 等[８]在研究量子R a b i 模型问题时提出有限温试探波函数的处理方法,该方法基于D a v y d o v ＧA n s a t z e 基本理论并与谐振子初始密度矩阵的正则统计采样方案相结合,其结果与精确解非常吻合.在此基础上,本文将量子R a b i 模型(自旋单模谐振子系统)扩展到具有连续谱密度的自旋玻色模型,用试探波函数方法来研究自旋玻色模型的非零温动力学性质.１㊀模型哈密顿量自旋玻色模型是研究凝聚相系统中各种物理和化学现象的基本模型,是一个两能级系统,其哈密顿量包括系统㊁热库(b a t h)及系统热库之间的耦合作用,具体表示为:H ^＝H ^S ＋H ^B ＋H ^S B(１)式中,H ^S ＝ε２σz －Δ２σx ,H ^S B ＝σz ２ðlλl (b ＋l ＋b l ),H ^B ＝ðlωl b ＋l b l.其中,ε和Δ分别为能级差和２个电子状态之间的耦合常数,λl 为系统与第l 个声子模的耦合系数,b ^＋l (b ^l )为频率为ωl 的声子产生(湮没)算符,σi (i ＝x ,z )表示泡利算符,σx ＝|１›‹２|＋|２›‹１|和σz ＝|１›‹１|－|２›‹２|,|１›和|２›表示２个局域电子态.在W i c k 定理[９]的基础上,采用如下的谱函数:J (ω)＝ðlλ２l δ(ω－ωl )＝２αω１－s c ωs e －ω/ωc (２)式中,α为２个电子状态之间的耦合常数,ωc 为截止频率.其中０＜s ＜１,s ＝１,s ＞１分别对应亚欧姆㊁欧姆和超欧姆的谱密度.为了获得参数运动方程的数值解,将连续谱密度离散化.对数离散化方法比其它离散化方法在低频域采样更多,在低温度下能更好地刻画低频热库模.为此,本文参考在M L ＧM C T D H 方法中采用的谱密度离散化的方法[６].引入在[０,ωm a x ]上定义的频率密度Ξ(ω),其中ωm a x 为频率的上界,并将连续的频率离散化:ʏωl ０dωΞ(ω)＝l ㊀㊀l ＝１,２, ,Nb(３)式中,N b 为离散热库模式数,且ωN b ＝ωm a x ＝８ωc .参数λl ,ωl 由λl ＝J (ω)/Ξ(ωl )可得.如果热库模式数足够多,系统的动力学演化就得到一个收敛的结果.Ξ(ω)的形式为:Ξ(ω)＝１Γωm a xJ (ω)ω(４)此时,Γωm a x＝１N bʏωm a x０d ωJ (ω)ω(５)式中,Γωm a x为一个因子,确保ʏωm a x ０dωΞ(ω)＝N b .对于欧姆谱(s ＝１),ωl 可以解析地表示为ωl ＝－ωcl n (１－l Γωm a x/ωc ).对于亚欧姆谱(s ＜１),ωl 只有隐含的表达式(只有数值解,没有解析解).２㊀研究方法在本文研究中,采用单个D １ＧA n s a t z e 的实验状态来研究自旋玻色模型的动力学性质,单个D １ＧA n s a t z e 含时试探波函数表达式可以写成:|D １(t )›＝|１›A (t )e x p(ðlf l(t )b ^＋l－ðlf ∗l(t )b ^l )|n l ›＋|２›B (t )e x p (ðlg l(t )b ＋l－ðlg ∗l(t )b ^l )|n l ›(６)标准化激发态|n l ›＝１n l!(b ＋l)n l |０›(７)４７杭州电子科技大学学报(自然科学版)２０２０年式中,A (t )和B (t )为幅函数参数,fl (t )和g l (t )为第l 个声子模的位移参数.D i r a c ＧF r e n k e l 含时变分与试探波函数D １(t)相关的拉格朗日量为:L D １＝‹D １(t )i h ㊀２∂↔∂t －H ㊀^æèçöø÷D １(t )›(８)将试探波函数D １(t)代入拉格朗日量,得到自旋玻色模型的拉格朗日量:㊀L ＝i h ㊀２(A ∗A－A∗A ＋B ∗B－B∗B )＋i h ㊀２ðl[|A |２(f ∗l f l－f ∗lf l )＋|B |２(g ∗l g l ．－g ∗l ．g l )]－‹D １(t )|H ㊀^|D １(t )›(９)式中,㊀㊀‹D １(t )|H ㊀^|D １(t )›＝ðlh㊀ωl[|A |２(|f l|２＋n l )＋|Β|２(|g l|２＋n l)]－Δ２Α∗B e －１２ðl (|f l |２＋|g l |２)e ðl f ∗l g l ᵑlL n l (|g l －f l |２)－Δ２Β∗A e －１２ðl(|f l |２＋|g l|２)e ðlg ∗l f lᵑlL n l(|g l －f l|２)＋ðlλl２[|Α|２(f l＋f ∗l)－|Β|２(g l＋g ∗l)](１０)再由D i r a c ＧF r e n k e l 含时变分原理得出参数的运动方程:d d t ∂L ∂u ㊀ ∗n æèçöø÷－∂L ∂u ∗n＝０(１１)式中,u n 为时变参数,分别表示为A l (t ),B l (t ),f l (t ),g l (t ).u ∗n 表示u n 的复共轭.运动方程具体表达式为(假定h ㊀＝１):㊀㊀０＝i Α＋i A ２ðl (f ㊀ l f ∗l －f l f ∗l ㊀)＋Δ２B e －１２ðl (|f l |２＋|g l |２)＋ðl f ∗l g ᵑlL n l (|g l －f l |２)－Α２ðlλl (f l＋f ∗l)－Αðlωl (|f l|２＋n l)(１２)㊀㊀０＝i B ＋i B ２ðl(glg ∗l－g lg∗l)＋Δ２Βe －１２ðl(|f l |２＋|g l|２)＋ðlg ∗l f lᵑlL n l(|g l －f l|２)－B ２ðlλl (g l＋g ∗l)－B ðlωl (|g l|２＋n l)(１３)０＝i h ㊀|Α|２f ㊀l＋Δ２Α∗Β(g l －f l)[e －１２ðl(|f l |２＋|g l|２)e ðl ᶄf ∗l ᶄg l ᶄᵑl ᶄʂlL n l ᶄ(|g l ᶄ－f l ᶄ|２)][L n l(|g l －f l|２)－L ᶄn l(|g l －f l|２)]＋Δ２Β∗Α(g l －f l)[e －１２ðl(|f l |２＋|g l|２)e ðl ᶄf ∗l ᶄg l ᶄᵑl ᶄʂlL n l ᶄ(|g l ᶄ－f l ᶄ|２)][－L ᶄn l(|g l－f l|２)]－h ㊀ωl|Α|２f l－λl２|Α|２(１４)０＝i h ㊀|Β|２f ㊀l＋Δ２Β∗Α(f l －g l)[e －１２ðl(|f l |２＋|g l|２)e ðl ᶄg ∗l ᶄf l ᶄᵑl ᶄʂlL n l ᶄ(|g l ᶄ－f l ᶄ|２)][L n l(|g l －f l|２)－L ᶄn l(|g l －f l|２)]＋Δ２Α∗Β(f l －g l)[e －１２ðl(|f l |２＋|g l|２)e ðl ᶄg ∗l ᶄf l ᶄᵑl ᶄʂlL n l ᶄ(|g l ᶄ－f l ᶄ|２)][－Lᶄn l(|g l－fl |２)]－h ㊀ωl|Β|２g l＋λl２|Β|２(１５)式(１２)到(１５)是４个含隐式变量的常微分方程,分别用于推导４个时变参数.其中广义拉盖尔多项式表示为:L kn(x )＝ðni ＝０１i !k ＋n n －i æèçöø÷(－x )i＝ðni ＝０(－１)i C k ＋n n －i x ii !(n ,k ɪΝ,x ɪC )(１６)５７第３期胡王军,等:有限温量子自旋玻色模型的动力学研究６７杭州电子科技大学学报(自然科学版)２０２０年当k＝０时,广义的拉盖尔多项式退化为标准拉盖尔多项式[８].由式(１２)和式(１３)可以推出:dd t(|Α|２＋|Β|２)＝d d t(‹D１(t)|D１(t)›)＝０(１７) |Α|２和|Β|２的和是守恒的,这是根据D１(t)中f l(t)和g l(t)的初始赋值得出的.因此,|Α|２＋|Β|２可以进行归一化,|Α|２＋|Β|２＝１(１８)因此,在计算这４个微分方程时,可以使用龙格库塔方法求解.对变量设置初始条件,初始条件可以设置为:A l(０)＝１,B l(０)＝０,f l(０)＝０,g l(０)＝０.３㊀动力学结果与分析量子动力学模拟在原子和分子物理㊁量子光学㊁固态物理㊁化学物理和量子信息科学等领域发挥着重要作用.由于实际系统一般不能完全与周围环境隔离,要准确描述量子系统的状态,有必要考虑其环境的影响,这已被证明在其动力学行为中起着至关重要的作用.在环境中,通常要考虑到温度,尤其在生物和化学领域,对于动力学的温度讨论一般在非常低的温度下进行的,而本文着重研究在较低温度下的量子动力学.本文基于D i r a cＧF r e n k e l含时变分并将正则系综的统计采样方法的结果与Q U A P I方法的结果进行了比较,以验证本文方法在求解多体玻色子电子系统的动力学中的有效性.使用波耳兹曼统计平均的方法将量子R a b i模型(自旋单模谐振子系统)扩展到具有连续谱密度的自旋玻色模型中.表达式为:P B z(t)＝ðM l＝１ðN b n l＝０e－βE n l Q[|A n l(t)|２－|B n l(t)|２](１９)式中,Q(β)＝ðɕn l＝０e－βΕn l＝(１－e－βðl h㊀ωl)－１为配分函数;Εn l＝ðl n l h㊀ωl为谐振子的特征值(这里忽略了零点能量h㊀ωl/２的贡献,因为它不会改变系统动力学行为);β＝１/k B T是与玻尔兹曼常数和温度相关的系数.首先,简单介绍Q U A P I的数值收敛性,其基本思想是考虑整个哈密顿量的短时传播子的T r o t t e r 分解,一方面取决于系统的哈密顿量,另一方面则涉及到热库和系统热库耦合项[４].短时密度矩阵传播子描述了时间间隔Δt上的时间演化.这种分解在极限Δtң０下是精确的.而热库自由度在F e y n m a nＧV e r n o n影响函数中产生热库关联.对于任何有限的温度,这些热库关联函数都会随着退相干时间(ω－１c)衰减,因此应定义一个记忆时间窗τ＝k m a xΔt,以处理超过一定时间跨度的热库关联函数的相关截断.所有的含时关联都包含在τ的有限记忆时间内.为了达到收敛,可以通过增加k m a x来扩大记忆时间窗口,以便考虑到所需的精度.然而当记忆时间过长时,Q U A P I的计算效率将大大降低,从而无法操作.在本文中,时间间隔和记忆窗口的大小被分别设置为Δt＝０．１和k m a x＝７.在理论探究中,本文选择零能级差(ε＝０),电子耦合常数和光谱密度的耦合强度通常分别设置为Δ＝－０．０１２４e V和α＝０．０５(无量纲参数).离散热库模式的数量取N b＝１００,以确保结果达到收敛.在实际的数值计算中,假设参考能量h㊀ωF＝０．１２４e V为一个能量单位,截止频率h㊀ωc＝h㊀ωF＝０．１２４e V.由此可以经过能量单位换算和计算得到文中需要的一些实际中的数据值:最大频率h㊀ωm a x＝８h㊀ωc＝０．９９２e V.由一个声子周期τF＝２πωFʈ３３．３f s,可得表示一个时间单位为１２πˑτF＝ω－１Fʈ５．３f s(需要说明的是在下文图中每一个时间t的变化为５．３f s).许多光谱实验都是在低温下进行的,计算得到的温度T＝１４．３K在生物化学领域具有一定的现实意义[１０].图１㊀欧姆环境下,D １ＧA n s a t z e 与Q U A P I ㊀㊀方法的P z (t )演化曲线㊀㊀D １ＧA n s a t z e 方法和Q U A P I 方法在欧姆环境中系统的布居数P z (t )(P o p u l a t i o n )随时间演化的动力学行为如图１所示,其中N b ＝１００,α＝０．０５,Δ＝－０．０１２４e V ,T ＝１４．３K .通过图１可以看到:D １ＧA n s a t z e 方法与数值精确的Q U A P I 方法结果符合得较好,其动力学曲线趋势一致,从而验证了D １ＧA n s a t z e 方法的有效性及正确性.布居数P z (t )随系统与环境之间不同耦合强度的动力学关系如图２所示,其中N b ＝１００,Δ＝－０．０１２４e V ,T ＝１４．３K .通过图２可以看出:当图２㊀欧姆环境下(s ＝１),不同耦合值α之间㊀２种方法对比的P z (t )的演化曲线耦合系数α增大时(至中等耦合强度),２种方法的动力学差异趋势并未明显增大,表明D １ＧA n s a t z e 方法也可以适用于较强系统环境耦合的情况;在中等耦合强度时,由于系统的退位相也相应变强,布居数的振荡行为被逐渐抑制.不同环境下(谱密度指数s 不同),系统的相干动力学性质如图３所示,其中N b ＝１００,Δ＝－０．０１２４e V ,α＝０．０５,T ＝１４．３K .通过图３可以看出:随着s 增大,２种方法得到的布居数P z (t )振幅随之增大,表明亚欧姆环境(s ＜１),不利于系统的相干动力学演化.值得一提的是,在不同环境下,２种方法的图３㊀欧姆(亚欧姆)环境下,２种方法㊀㊀的P z (t )的演化曲线结果仍然比较吻合.欧姆环境下,不同电子耦合常数Δ的变化如图４所示,其中N b ＝１００,α＝０．０５,T ＝１４．３K .随着Δ的增加,系统的振荡周期明显减小,意味着振幅到达极值点的时间逐渐缩短.值得注意的是,在单模的拉比(R a b i )模型中D １ＧA n s a t z e 方法在Δ较大时会产生较大误差.因此,在自旋玻色模型中也同样会有这样的结果.４㊀结束语图４㊀欧姆环境下(s ＝１),不同电子耦合㊀常数Δ之间的P z (t)的演化曲线本文采用D a v yd o v ＧA n s a t ze 试探波函数的方法,研究有限温量子自旋玻色模型的动力学问题,分析不同参数下的动力学演化过程,并与准绝热传播路径积分(Q U A P I )方法的结果进行比较,两者吻合较好.本文只研究低温下系统的动力学演化,D a v yd o v ＧA n s a t ze 方法还可以利用G P U 并行计算的方法研究温度相对高的系统.此外,还可以利用多重D １ＧA n s a t z e 试探波函数的叠加方法显著提高系统的动力学精度,得到吻合度更好的动力学结果.７７第３期胡王军,等:有限温量子自旋玻色模型的动力学研究８７杭州电子科技大学学报(自然科学版)２０２０年参考文献[１]I S H I Z A K IA,T A N I MU R A Y．Q u a n t u m d y n a m i c so fs y s t e ms t r o n g l y c o u p l e dt ol o wＧt e m p e r a t u r ec o l o r e dn o i s eb a t h:R e d uc ed h ie r a r c h y e q u a t i o n sa p p r o a c h[J]．J o u r n a lo ft h e P h y s i c a lS o c i e t y o fJ a p a n,２００５,７４(１２):３１３１Ｇ３１３４．[２]M E Y E R H D,MA N T H E U,C E D E R B A UM LS．T h em u l t iＧc o n f i g u r a t i o n a l t i m eＧd e p e n d e n tH a r t r e e a p p r o a c h[J]．T h e J o u r n a l o fP h y s i c a l C h e m i s t r y L e t t e r s,１９９０,１６５(１):７３Ｇ７８．[３]MA K R IN,MA K A R O VDE．T e n s o r p r o p a g a t o r f o r i t e r a t i v e q u a n t u mt i m e e v o l u t i o n o f r e d u c e d d e n s i t y m a t r i c e s．I．T h e o r y[J]．T h e J o u r n a l o fC h e m i c a 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h i n a)A b s t r a c t:I n t h i s p a p e r,t h e d y n a m i c s o f t h e f i n i t eＧt e m p e r a t u r e q u a n t u mS p i nＧb o s em o d e l i s s t u d i e d b y u s i n g D a v y d o vＧA n s a t z e w a v ef u n c t i o n m e t h o d．I ti s b a s e d o nt h e D i r a cＧF r e n k e lt i m eＧd e p e n d e n t v a r i a t i o n a l p r i n c i p l ea n dt h es t a t i s t i c a l s a m p l i n g o fc a n o n i c a l e n s e m b l e．I tc a nb eu s e dt os o l v et h e e x c i t o na n dc h a r g et r a n s f e rd y n a m i c s i nt h e m o l e c u l a ra g g r e g a t e so rt h el i g h tＧc o l l e c t i n g c o m p l e x e s a c c u r a t e l y a n de f f i c i e n t l y．U n d e r t h e p a r a m e t e r so fd i f f e r e n ts p e c t r a ld e n s i t y c o u p l i n g s t r e n g t ha n d d i f f e r e n te l e c t r o n i cc o u p l i n g c o n s t a n t s,t h ed y n a m i ce v o l u t i o n p r o c e s s e so ft h e p o p u l a t i o n o ft h e s y s t e m w e r ec a l c u l a t e d．T h er e s u l t ss h o w t h a tt h e m e t h o do ft h et r i a lw a v ef u n c t i o ni si n g o o d a g r e e m e n tw i t hQ U A P I a t t h e l o wt e m p e r a t u r e f o r t h eO h m i c o r t h e s u bＧO h m i c e n v i r o n m e n t．K e y w o r d s:S p i nＧB o s em o d e l;D a v y d o vＧA n s a t z e;D i r a cＧF r e n k e l t i m eＧd e p e n d e n t v a r i a t i o n。
自旋相干态变换和自旋—玻色模型的基态解析解
自旋相干态变换和自旋—玻色模型的基态解析解【摘要】：腔量子电动力学(CavityQuantumelectrodynamics)主要是研究在一定限制区域空间内物质与电磁场之间的相互作用的学科,其中最基本的模型就是单个二能级原子与腔场相互作用的Jaynes-Cummings(简称J-C)模型。
本论文主要通过研究自旋-玻色耦合系统,首次提出了一种求解自旋-玻色模型的基态能量解析解的普适变分法,这是一种新的变分方法,其主要思路是通过玻色子算符取平均场近似后,得到一等效的赝自旋哈密顿量,然后利用自旋相干态变换将其进行对角化,最后将求得的能量泛函对其经典场变量(复参数)进行变分并取其极小值,从而给出模型的基态能量精确解。
这是一种非常有效的基于变分法的自旋相干态变换方法,除运用了玻色子相干态和自旋相干态作为尝试波函数外没有做任何其它近似。
本论文的主要内容包括以下四个方面：第一章先简述了腔量子电动力学的发展历程,以及原子与腔相互作用的动力学过程。
第二章主要是简单介绍下自旋相干态的定义和一些相关性质。
第三章首先简要的介绍了自旋-玻色模型,然后最主要的是通过运用我们提出的自旋相干态变换方法得到J-C模型在旋波和非旋波近似下基态能量精确解,并将该方法得到的结果与数值对角化的结果做对比并进行了讨论。
最后发现光场与原子在弱耦合和强耦合区域都与数值结果吻合的非常好。
在第四章中,我们进而将原子数由一个扩展到任意个(N个),即计算了Dicke模型哈密顿量在旋波和非旋波近似下的基态能量解析解,同样也将得到的结果分别与数值对角化的结果进行了比较。
发现用此方法得到的结果要比数值对角化结果偏低,且随着对角化时截断玻色子数目的增多,其结果会越来越靠近自旋相干态变换的结果,然而通常基于Holstein-Primakoff变换的变分方法,原则上只适用于原子数趋于无穷的热力学极限情形,由此可以充分的显示出这种方法的优越性。
在第五章,我们对整篇论文的内容进行了总结,阐述了自旋相干态变换方法在自旋-玻色模型中的应用价值,并期待有更多的研究。
自旋相干态法研究自旋轨道耦合BEC系统的基态性质
自旋相干态法研究自旋轨道耦合BEC系统的基态性质赵佳【摘要】文章采用自旋相干态的方法研究自旋轨道耦合玻色爱因斯坦凝聚(BEC)系统的基态性质,在自旋相干态表象下把系统的哈密顿量对角化,由变分法求出系统的基态能谱、原子布居数和光子数,从而得到系统的量子相变,与Holstein-Primakoff 方法所得的结果一致.【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(014)004【总页数】4页(P4-7)【关键词】自旋相干态;自旋轨道耦合;能谱;原子布居数;光子数【作者】赵佳【作者单位】太原工业学院理学系,山西太原030008【正文语种】中文【中图分类】O175自旋轨道耦合(SOC)描述了粒子的自旋和轨道自由度之间的相互作用．在凝聚态物理中,电子的自旋轨道耦合不仅产生了一些重要的量子现象,例如自旋和反常霍尔效应、拓朴绝缘体和拓朴超导等,在实现自旋电子学和拓扑量子计算方面也发挥了重要的作用[1]．本文用自旋相干态方法研究自旋轨道耦合玻色爱因斯坦凝聚(BECs)系统的基态性质,主要思路:首先由玻色子算符取平均场近似后,得出等效赝自旋哈密顿算符,然后应用自旋相干态变换将其对角化[2],最后将能量泛函对复参数求变分并取极小值,从而得出基态能量和原子布居数的精确解．图1展示了NIST在囚禁BEC中用87Rb原子实现等效Rashba和Dresselhaus 自旋轨道耦合的实验装置[3]．在此实验中,由于在Z方向有频率为ωz的强囚禁势,因此BEC就被囚禁在xy平面中．一对Rabi频率分别为Ω1和Ω2的Raman激光与x轴成角入射,等效Rashba和Dresselhaus自旋轨道耦合被实现．一维Rashba和Dresselhaus自旋轨道耦合项可以由缀饰态基失〉=exp(ik1·r)|↑〉和〉=exp(ik1·r)|↓〉构建,其中k1和k2分别为两束激光的波矢．在激发态失谐Δ很大时,两个超精细基态|F=1,mF=-1〉和|F=1,mF=0〉分别代表两个有效自旋向上和向下组分．若激发态失谐Δ很大,在Raman激光的作用下,两个超精细基态|F=1,mF=-1〉和|F=1,mF=0〉之间就会形成对动量敏感的耦合作用．此系统的动力学服从如下的Gross-Pitaevskii方程[3]:在缀饰态表象中,归一化波函数是 y2)是谐振子囚禁势,其中m为超冷原子的质量、ωx和ωy分别为x和y方向的囚禁频率．自旋轨道耦合项为其中是自旋轨道耦合强度,λ是Raman激光波长,是有效Rabi频率,Ω1和Ω2分别是Raman激光Rabi频率,σz和σx是Pauli矩阵．平均场原子碰撞相互作用为其中和分别是相同和不同自旋组分之间的相互作用常数,c0和c2是s波散射长度,ωz是z方向的囚禁频率,,N是原子数．既然s波散射长度在实验可以测量:c0=100.86aB和c2=-0.46aB[3],其中aB是玻尔半径,那么可以得到g↑↑=g↑↓≈g↓↓,这说明囚禁BEC表现出原子间碰撞的强相互作用,而在这种强相互作用下,所有超冷原子都被限制在相同的基态上,每个原子的动量都完全一样．引入两个玻色算符通过计算可以得到自旋轨道耦合驱动BEC系统的有效哈密顿量[4]其中和是集体自旋算符(ψ↑和ψ↓是不同自旋组分中的场算符)是有效原子相互作用,由于g↑↑=g↑↓≈g↓↓,所以有效自旋相互作用消失ν=0．在图1所示的系统中,玻色子模在y方向上与超冷原子间没有相互作用,所以该系统的性质可以用下面的单模Dicke模型哈密顿量来描述[5]其中ħ=1,a†,a是谐振子模,ω=Nωx是与原子数相关的囚禁频率,γ0是有效自旋轨道耦合强度．赝自旋Si(i=z,±)是集体原子算符,满足角动量对易关系:[S±,Sz]=∓S±,[S+,S-]=2Sz,自旋长度,〈Sz〉是实验可测的不同自旋组分间的原子布居数．在玻色场相干态表象中,计算方程(6)所对应哈密顿算符的期待值其中复数α=u+iυ是玻色子湮灭算符a的本征值,有a|α〉=α|α〉．系统波函数〉|α〉作为试探解,其中〉和|α〉分别是自旋相干态和玻色相干态,SU(2)自旋相干态为〉,其中为总的赝自旋,=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)为单位矢量．自旋投影算符的本征态〉是所谓的南北极规范下的自旋相干态,本征值为±s．自旋算符满足最小不确定关系,因此被称为宏观量子态[6]．自旋相干态可从最大Dicke态|s,±s〉(其中Sz|s,±s〉=±s|s,±s〉)中产生:,其中么正算符对自旋算符做么正变换),例如等．能量平均值为其中基态能量E-(α)是能量的最小值,只是南极规范的自旋相干态．由=0,可以得到u=0和υ=0或,则超辐射相的光子数．参数是相变临界点,与用HP方法得出的结果一样[7,8]．那么,基态能谱在热力学极限(N→∞)下,HP方法给出了同样的结果[9,10],而自旋相干态法对任意原子数都成立．从图2可以看出,基态能量一阶导在临界点附近连续在北极规范下,激发的宏观量子态能谱原子布居数参数ω=Ω=1,则有相变临界点λc=1．当λ<λc时,系统处于正常相;当λ>λc时,系统处于超辐射相．随着耦合参数λ2的增大,系统从正常相变化到超辐射相,发生了量子相变．基态能谱在相变临界点处的突然变化说明系统发生了量子相变,原子布居数和光子数在相变临界点处从零开始急剧增加．【相关文献】[1] LIAN Jinling,YU Lixian,LIANG J Q.Orbit-induced spin squeezing in a spin-orbit coupled Bose-Einstein condensate[J].Sci Rep,2013,3(1):3166-3166[2] LAI Y Z,LIANG J Q.Time-dependent quantum systems and the invariant Hermitian operator[J].Phys Rev A,1996,53:3691-3693[3] LIN Y J,GARCIA K J,SPIELMAN I B.Spin-orbit-coupled bose-einsteincondensates[J].Nature,2011,471:83-86[4] ZHANG Y,CHEN G, ZHANG C.Tunable spin-orbit coupling and quantumphase transition in a trapped Bose-Einstein condensate[J].Sci Rep,2013,3(1):1937-1937[5] DICKE R H.Coherence in spontaneous radiation processes[J].Phys.Rev,1954,93:99-110[6] LIAN Jinling,ZHANG Yuanwei,LIANG Jiuqing.Macroscopic quantum states and quantum phase transition in the dicke model[J].Chin Phys Lett,2012,29(1):060302-060302 [7] EMARY Clive, BRANDES Tobias.Quantum chaos triggered by precursors of a quantum phase transition: The Dicke model[J].Phys Rev Lett,2003,90:044101-044104[8] EMARY Clive, BRANDES Tobias.Chaos and the quantum phase transition in the Dicke model[J].Phys Rev E,2003,67(1):066203-066203[9] CASTAFLOS O,ACHAR E N, HIRSCH J G.No singularities in observables at the phase transition in the Dicke model[J].Phys Rev A,2011,83(1):05160-05160[10] EMARY Clive, BRANDES Tobias.Phase transitions in generalized spin-boson (Dicke)models[J].Phys Rev A,2004,69(1):053804-053804。
第五章 自旋波理论
Z
1 1 [( NZ Z ) Z ] | l 2 4
1 1 Sl | 0 | l 2 2
Z 1 15) ∴ H | l ZA( N 4) | l A | l ......( 4
m / 4 AS z a
如 a～10-10米，A～500K, Sz=1/2，则
m* 1028 Kg
大约比电子质量大2个数量级。
§5.3自旋波的量子力学处理
方法：用交换作用Hamilton量，求解薛定谔方程本征
解，从而得出自旋波色散关系。
设自旋增加算符S+=Sx+iSy，自旋减少算符S-=Sx-iSy
考虑一简单的一维无穷链，每个格点有相同的自旋 S ,相
邻格点之间存在交换作用（A>0），则第n个格点交换作用
dS S H ......(3) dt
Hamilton:
1 H n 2 ASn Sn
2 ASn [Sn1 Sn1 ]......( 4)
§5.2自旋波的半经典理论
自旋S在磁场H中的Hamilton为：
如
H // Z 轴，即 H (0,0, H z ) 则
H H S H ( 1 )
H S Z H Z ( : 旋磁比） ( ２ )
无阻尼时自旋在磁场H作用下的运动方程为：
由度。
d.自旋波的能量
,动量 k（由于自旋波自旋只
是原地翻转故又称准动量）其行为常如同一个真实
的粒子，故又名“磁激子”或“铁磁子”。
e.描述波性质的关系仍是色散关系，即频率ω 和波矢
自旋_玻色子模型单模情况下的数值研究
Байду номын сангаас
n 只能取有限值。不过， 我们也可以想象得到， 当n 增大到一定数值后， 再增加对隧穿的影响就几乎没 “收敛现象 ” 。 对应到在数值计 有了， 我们这里称之 就是 n 增大到某数值的时候， 数值计算的方 算当中， 与 n 无关， 并记这个数值为对应的收 程解不再变化， 敛 NL 。 下面， 我们 先 从 数 值 上 验 证“收 敛 现 象 ” 的存 进行一下数值计算 在； 然后在确保收敛的前提下， 和相关的物理分析与讨论。 0〉 数值计算中设系统的初态都处于 | － ， 即
［1 ］
。 根据影响泛函数理
论， 整个声子库对系统隧穿的影响可以表示成每个 单模情况下的简单乘积； 因此本文主要从数值计算 的角度研究单模情形下的自旋 － 玻色子模型即一 个谐振子与一个两能级系统相耦合的系统的隧穿 在此 基 础 上 再 推 测 多 模 情 况 下 的 相 关 隧 穿 性质，
2010 年 10 月 27 日收到
〈－， 2|
…
{
ak （ 0） = 1， k = n + 1； ak （ 0） = 0， k ≠ n + 1。
2． 1
收敛现象 通过分析 a （ n + 1） （ τ） 的实部、 虚部与时间 τ 的变
设 Fock | N〉 的个数为 n， 那么式（ 2 ） 表示的矩阵即为 2 n × 2 n， 记为 H2n × 2n 。 该系统的状态波函数 ψ（ t） 可以写成
檲檲檲檲檲檲殘
。
1
模型和计算方法
单模情况下自旋 － 玻色子模型的哈密顿量为
自旋F=1旋量玻色—爱因斯坦凝聚的基态和动力学性质
自旋F=1旋量玻色—爱因斯坦凝聚的基态和动力学性质【摘要】：自从MIT小组成功地实现用光阱束缚冷原子23Na以来,旋量玻色爱因斯坦凝聚(BEC)作为一门新兴学问在多个方面取得了突破性的进展：比如自旋磁畴,涡旋态,自旋组分相分离,破裂凝聚态,及自旋相干混合动力学等等。
本文研究了旋量混合物基态特性和非均匀外场中旋量BEC的动力学两方面内容。
首先,我们探讨了由两种不同的自旋都为1的原子组成的旋量凝聚体混合物的基态特性。
当两种不同类的玻色子发生碰撞时,由于玻色对称性的限制被打破,这导致两种F=1旋量凝聚体混合物(简称自旋1+1系统)会有种间耦合相互作用和种间配对相互作用。
首先,通过角动量耦合理论给出了简并内态近似(DIA)下系统所有可能的基态,另外,我们还研究了特殊相AA相中各个塞曼能级的粒子数分布和量子涨落,并发现在这种情况下系统基态是破裂凝聚体,粒子数涨落的分布与单原子破裂凝聚体有很大不同。
然后我们用精确对角化方法数值结果做了验证,严格符合。
用精确对角化方法可以数值地给出了更一般的存在单态配对项时的基态解,我们展示了两种配对机制之间的竞争,发现系统总自旋为零的情况下,体系仍然有不同的配对机制之间的竞争,由种间耦合项所决定。
其次,我们研究存在磁场梯度的弱磁场中旋量BEC的动力学性质。
因为磁场的非均匀性,磁场梯度使得原子自旋在1到-1之间反转,导致系统磁化强度不再守恒。
我们分别展示了在平均场理论下铁磁和反铁磁两种原子的磁化强度和mF=0塞曼能级上的粒子布居的动力学行为。
当初态是三个能级粒子数目非平衡分布时,我们发现磁化强度的动力学类似于双阱中的约瑟夫森振荡并伴随有自俘获现象,同时mF=0塞曼能级上的粒子布居数的动力学被充分抑制。
当初态是三个能级粒子数目均匀分布时,反铁磁原子凝聚体系统磁化强度出现拍频振荡。
【关键词】：旋量凝聚体BEC混合物破裂凝聚体单态配对自旋混合动力学【学位授予单位】：山西大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2011【分类号】：O469;O562【目录】：中文摘要10-11ABSTRACT11-13第一章绪论13-231.1引言13-211.1.1旋量玻色-爱因斯坦凝聚体15-161.1.2自旋交换相互作用16-181.1.3Feshbach共振和BEC混合物18-191.1.4旋量BEC自旋相干混合动力学19-201.1.5平均场与量子多体理论20-211.2我们的工作211.3本文内容21-23第二章旋量BEC的基态性质23-452.1多粒子系统的二次量子化23-242.2平均场方法24-322.2.1多分量耦合Gross-Pitaevskii方程组24-262.2.2旋量BEC基态问题的平均场处理26-322.3量子多体方法32-452.3.1单模近似下的有效哈密顿量32-332.3.2赝角动量算符与系统基态33-362.3.3破裂凝聚态36-422.3.4磁场梯度与自旋反转42-45第三章旋量BEC的动力学性质45-553.1平均场动力学45-523.1.1等效非刚性单摆模型45-493.1.2非刚性单摆模型的解49-503.1.3无磁场时的动力学50-523.2量子动力学52-55第四章旋量BEC混合物的基态特性55-794.1旋量BEC混合物的哈密顿量56-574.2平均场近似下的基态相图57-604.3DIA近似与角动量理论60-654.3.1量子多体基态61-634.3.2基态相图特性分析63-654.4AA相特性与粒子数涨落65-704.5γ≠0时的基态特性70-754.6c_1β_1=c_2β_2=c_(12)β/2时的基态特性75-774.7小结77-79第五章非均匀外场中的旋量BEC的动力学特性79-915.1有效哈密顿量80-845.2半经典模型84-855.3结果与讨论85-905.4小结90-91结论与展望91-93附录A93-99附录B99-105附录C105-107参考文献107-113攻读博士学位期间已发表的论文113-115致谢115-117个人简况及联系方式117-121 本论文购买请联系页眉网站。
自旋模型简述
自旋模型简述1、自旋的基本概念与表述自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。
电子自旋的概念是由Uhlenbeck 和Goudsmit 为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman 效应而提出的。
他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为ħ/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即±ħ/2(也就是自旋向上和向下两个状态↑↓)，与自旋相对应的磁矩则是eħ/2mc 。
当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。
对于自旋这个自由度，我们一般用算符ŝ表示(这里的记号^表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。
因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即s ⨯s =iħs 。
在这里我们引入泡利算符s =σħ/2。
由于s 沿任何表象的投影都只能取±ħ/2两个值，即σ沿任何方向的投影只能取±1这两个值，所以泡利算符σ的每个分量都可以用2⨯2的矩阵来表示。
我们一般采用σz 分量对角化的表象，得到其矩阵表示：i i z y x ,1001,00,0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σσσ (1-1) 这样的表示就是著名的Pauli 矩阵。
2、自旋模型的形式2.1 物质的磁性与自旋模型由于原子核的磁矩很小，物质的磁矩可以看成其轨道磁矩和自旋磁矩之和。
电子的总磁矩(轨道磁矩+自旋磁矩)，直接体现为物质的宏观磁性。
而对于过渡金属的原子或离子，因为轨道角动量的冻结，其磁性主要来源于未配对电子的自旋磁矩。
对于物质的磁性，很早以来就有着广泛的研究，比如Langevin的顺磁理论，Wiess的分子场理论，Bloch的自旋波理论。
这些理论中，原子(离子)都具有磁矩，而磁矩之间存在着一定的相互作用。
自旋玻璃简介课件
10~10-12 —动态指数,不同体系其值在4~12
间
'(emu/mole)
log10(f)
2.5 2.0
f=51Hz f =502Hz f=1001Hz f=5002Hz f=9997Hz
1.5
1.0
4.0 3.5 x=0.15 3.0
=207.4
=30.26K
自旋玻璃的物理特性
磁化强度的特点
通过磁化强度的测量可以探知体系磁矩的分布情况 在不加外场的情况下，材料内部的磁矩混乱排列，磁矩取向是 无规则分布的,宏观磁化强度为零. 当材料处于外加磁场中时， 材料内部的磁矩受磁场的作用，影响磁矩的方向，使其在一定程 度上转向外场，出现宏观磁化强度. 对于铁磁体磁场强度达到一 定程度以后，磁化强度趋于饱和
当温度降至冻结温度Tf附近时，磁矩之间的相互作 用开始明显起来，它们之间的相对取向对系统的能量有影 响，导致系统不同的组态具有不同的自由能. 自由能图 出现高低不平的“丘陵”，温度越低，磁矩之间的相互作 用越强，“丘陵”变成“山峰”和“低谷”
当自旋玻璃系统从高温降到Tf以下，它可能随机 地落入某一个“低谷”，再升温后降温，又可能落入另一 个“低谷”. 刚开始落入“低谷”时一般不一定在能量 最低的组态上，因而随着时间的推移系统逐渐向更低能量 的组态靠近
自旋玻璃之受挫
受挫系统的特点:
它没有一个能量最低的稳定态，在低温下，它可能存 在于无数个亚稳的组态之中
相邻的两个组态在系统总能量上只有微小差别，甚至没 有差别
自旋玻璃系统自由能特征决定它在低温下只能处 于某种亚稳态
自旋玻璃之无序
07_相干态与变换
例如：粒子数态不能作为相干态，因为它的变量n是分立 的整数，不满足强连续性。
§7.1 相干态
一、相干态的定义和性质 二、相干态表象 三、相位算符与相位态 四、其它的物理相干态
粒子数态显然不行。从自由光场的展开式看，
[ ] Eˆ(rr,t) = i
hω 2ε 0V
ae + a e i(kr⋅rr−ωt)
满足上面变化的时间演化算符为：
U (t) = e e = e e e e −iωa+at −i(η*a+ +ηa)
−iωa + at
−iη *a +
−iηa
−1η 2 2
∫ = e e e e , −1 η 2 2
−iη *a+e−iωt
−iωa + at
−iηa
(η = t f (τ )e−iωτ dτ )
−iη *a+e−iωt
−iωa + at
−iηa
= e e −1 η 2 2
−iη *a+e−iωt
0
=
z(t)
,
(其中z(t) = −iη*e−iωt )
即：最后得到了一个相干态。
4）相干态的性质
i. 非正交性：相干态是非正交态
( ) z' z
= exp⎨⎧− 1
z 2 + z' 2
+
z
'*
z
⎫ ⎬
s
φ = lim(s +1)−1/2 ∑ exp(inφ) n
s→∞
n=0
其中s+1是单模光场粒子数态矢集{|n>}张开的Hilbert空间
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自旋相干态变换和自旋—玻色模型的基态解析解
【摘要】：腔量子电动力学(CavityQuantumelectrodynamics)主要是研究在一定限制区域空间内物质与电磁场之间的相互作用的学科,其中最基本的模型就是单个二能级原子与腔场相互作用的Jaynes-Cummings(简称J-C)模型。
本论文主要通过研究自旋-玻色耦合系统,首次提出了一种求解自旋-玻色模型的基态能量解析解的普适变分法,这是一种新的变分方法,其主要思路是通过玻色子算符取平均场近似后,得到一等效的赝自旋哈密顿量,然后利用自旋相干态变换将其进行对角化,最后将求得的能量泛函对其经典场变量(复参数)进行变分并取其极小值,从而给出模型的基态能量精确解。
这是一种非常有效的基于变分法的自旋相干态变换方法,除运用了玻色子相干态和自旋相干态作为尝试波函数外没有做任何其它近似。
本论文的主要内容包括以下四个方面：第一章先简述了腔量子电动力学的发展历程,以及原子与腔相互作用的动力学过程。
第二章主要是简单介绍下自旋相干态的定义和一些相关性质。
第三章首先简要的介绍了自旋-玻色模型,然后最主要的是通过运用我们提出的自旋相干态变换方法得到J-C模型在旋波和非旋波近似下基态能量精确解,并将该方法得到的结果与数值对角化的结果做对比并进行了讨论。
最后发现光场与原子在弱耦合和强耦合区域都与数值结果吻合的非常好。
在第四章中,我们进而将原子数由一个扩展到任意个(N个),即计算了Dicke模型哈密顿量在旋波和非旋波近似下的基态能量解析解,同样也将得到的结果
分别与数值对角化的结果进行了比较。
发现用此方法得到的结果要比数值对角化结果偏低,且随着对角化时截断玻色子数目的增多,其结果会越来越靠近自旋相干态变换的结果,然而通常基于Holstein-Primakoff变换的变分方法,原则上只适用于原子数趋于无穷的热力学极限情形,由此可以充分的显示出这种方法的优越性。
在第五章,我们对整篇论文的内容进行了总结,阐述了自旋相干态变换方法在自旋-玻色模型中的应用价值,并期待有更多的研究。
【关键词】：自旋相干态变分法Jaynes-Cummings模型Dicke模型
【学位授予单位】：山西大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2013
【分类号】：O469
【目录】：中文摘要8-9ABSTRACT9-11第一章腔量子电动力学的介绍11-191.1引言11-121.2原子与腔场的相互作用动力学12-191.2.1电磁场的量子化12-141.2.2单个二能级原子与单模腔场相互作用14-19第二章自旋相干态及其性质19-272.1自旋相干态的定义19-222.2自旋算符的Schwinger表示22-242.3自旋相干态的Dicke态表示242.4自旋相干态的超完备性24-252.5自旋相干态的非正交性252.6自旋相干态路径积分25-27第三章自旋-玻色模型的基态解析解27-373.1引
言27-283.2自旋-玻色模型(SBM)的简单介绍28-303.3自旋-玻色模型30-343.3.1Rabi模型的基态能量解析解31-343.3.2J-C模型的基态能量解析解343.4讨论34-37第四章N个二能级原子和玻色场的相互作用系统37-494.1Dicke模型37-464.1.1非旋波近似下Dicke模型的基态能量解析解38-434.1.2旋波近似下Dicke模型的基态能量解析解43-464.2讨论46-49第五章总结和展望49-515.1工作总结495.2展望49-51参考文献51-56攻读学位期间取得的研究成果56-57个人简况及联系方式57-58致谢58-60 本论文购买请联系页眉网站。