判断正项级数敛散性的一种方法
数项级数的敛散性判别法-数项级数敛散性判别法
1 2 n 1
,
显然收敛。
综上所述，原级数收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数判别法
必要条件 nl im un 0 满足
不满足 发 散
比值判别法
lim
n
un u
1 n
根值判别法 nl im nun
1
1
比较判别法
1 不定 部分和极限
用它法判别 积分判别法
S2n 是单调递增有界数列, 故 n l i m S2nSu1 又 n l iS 2 m n 1 n l i(S m 2 n u 2 n 1 )nl im S2n S
故级数收敛于S, 且 S u1, Sn的余项: rnSSn ( u n 1 u n 2 ) r n u n 1 u n 2 un1
但 p1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数 nxn1 (x0) 的敛散性 .
n1
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
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(1) 当0 < l <∞时, 取l,由定理 2 可知 u n 与 v n
同时收敛或同时发散 ;
n 1 n 1
(2) 当l = 0时, 利 u n ( l用 ) v n ( n N ) 由定,理2 知
若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
n 1
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。
判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。
一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。
二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。
三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。
四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。
五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。
这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。
第2节 正项级数敛散性的判别(1)
例6 1 n2 n2 1
lim
n
1 n2
1
1 n2
1，
收敛
n 1
例7 n1 n2 1
n1
lim
n
n2
1
1 1， n
发散
例8
1
n1 ln(1 n2 )
1
lim
n
ln(1
n2
)
1 n2
1，收敛
12
例9
设常数
p
0
,试判别级数
n1
ln
np np
1
的敛散性.
解
lim
n
ln
n
p np
lim
n
n
1 a
n
1 1, n
故原级数发散.
15
例13 设正项级数 un与 vn均收敛, 试证：
n1
n1
n1
unvn 收敛，
n1
un 也收敛. n
证 un与 vn均收敛， (un vn ) 收敛 ,
n1
n1
n1
由基本不等式
unvn
1 2 (un
vn) ,
n1
unvn收敛 .
un
n
n1
所以{Sn} 也有上界 M， un收敛.
n1
2
比较判别法
定理 设 un和vn均为正项级数，且un vn (n 1, 2,),
n1
n1
则 (1) 若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
(2) 若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证明 (2)是(1)的等价命题.
注：定理的条件可放宽为：
n
正项级数敛散性的判别(5)
n
1
n
又
1 是调和级数, 它是发散的,
n1 n
故
原级数
n1
1 n2 a2
发散.
21
5. 比值判别法
利用级数本身 来进行判别.
设 un 为正项级数,
n1
极限 lim un1
n un
存在,
则
(1) < 1时, 级数收敛；
(2) > 1 ( 包括 = ) 时, 级数发散；
(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.
16
4.比较判别法的极限形式
设和为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
n1
n1
(2) 0 时, vn 收敛 un 收敛.
n1
n1
(3) 时, vn 发散 un 发散.
n1
故级数 un 收敛 .
n1
9
证 (2)
n
n
记 Sn uk , Gn vk ,
k 1
k 1
0 un vn (n = 1, 2, …)
0 Sn Gn
若 un 发散, 则部分和Sn 无界, 从而 vn
n1
n1
的部分和Gn 也无界, 故级数 vn 发散 .
n1
10
例2
判断级数
29
a 1,
1 n
当a
1时,
lim n
n
an 1 a2n
lim
n
n
a
1
1 a
2n
1 a
7.2正项级数敛散性的判别基础教学
ln n
lim n2
n 1
limln n
n
而
n1
1 n2
收敛,
n2
n1
lnn2n的敛散性依据该定理无法判别.
ln n
1
lim n2 n 1
3
n2
ln n
lim
n
1
n2
lim ln x x x
lim
x
x 1
lim 2 x
2x
1 0 x
而
1
3
收敛,
n n1 2
n1
lnn2n收敛.
5n1 n2
lim
n
1 5
n n
1
2
1 5
1
5n
级数
n1
n2 5n
收敛
,
从而
n1
n2
sin2 5n
n
5
收敛.
高级教学
26
例 2 (1)n
n1
2n
解：
un
2 (1)n 2n
3 2n
,
而
n1
3 2n
收敛,
2 (1)n
n1
2n
收敛.
1
但
un1 un
2 (1)n1 2[2 (1)n]
-
级数
n1
1 的特例！ np
1
n1 n
1 5
n n1 4
高级教学
8
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 n (n2 1)
解：
n
1 (n2
1)
1 n2
且
n1
1 n2
收敛,
所以原级数收敛.
正项级数敛散性的判别(2)
收敛
例7
n1 n1 n2 1
n1
lim
n
n2
1
1 1， n
发散
例8
1
n1 ln(1 n2 )
1
lim
n
ln(1
n2
)
1 n2
1，收敛
10
*例9
设常数
p
0
,试判别级数
n1
ln
np np
1
的敛散性.
解
lim
n
ln
n
p np
1
1 np
1
所以原级数当 p 1 时收敛，当 0 p 1 时发散.
从某项起,恒有un kvn ,(k 0) .
3
例1
判断级数
1
n1 sin 2n
的收敛性.
解
因为
0
s
in
1 2n
1 2n
,
而 1 收敛,
2n
n1
所以原级数收敛.
4
例2
讨论 p-级数
1 的收敛性(p 0 ).
np
n1
解
当
p 1 时,
1 np
1， n
y
而调和级数
1 发散,
n1 n
故原级数发散；
例10
(1 cos )
n1
n
解
lim(1 cos )
n
n
1 lim 1 ( )2
n2 n 2 n
1 2 n2 2 ,
收敛.
11
例11
1 n1 3n n
lim
n
3n
1
n
1 3n
1，
而 1 收敛, 所以原级数收敛. 3n n1
7.2正项级数敛散性的判别
∞
1 lim ln n = ∞ 而∑ 2 收敛, n →∞ n =1 n
∞
∞
ln n ∴ ∑ 2 的敛散性依据该定理无法判别. n =1 n
1 ln n n2 = lim ln n = lim ln x = lim x = lim 2 1 = 0 lim 1 n →∞ x →+∞ x →+∞ n →∞ 1 x x x →+∞ 1 2 n 3 2 x 2 n
3 2
n2 1 = lim 2 = n →∞ 3n − 1 3
而级 数 ∑
n =1 ∞
1 n
3 2
n 收敛 , ∴ 级 数 ∑ 2 收敛. n =1 3n − 1
∞
1 的敛散性 . 例 判定级数 ∑ n n =1 3 − n 1
∞
3 n = lim 1 ∵ lim 3 − n = lim = 1, 解 n n→ ∞ n→ ∞ 1 n n→ ∞ 3 − n 1−
当q < 1时, 收敛 n 1 ∑aq 敛散性 、 当q ≥ 1时, 发散 n=0
∞
1 2、调和级数 、 ∑n发散. n=1
∞
§7.2 正项级数敛散性的判别
• • • • 一、正项级数的概念 二、比较判别法 三、比值判别法 四、*根值判别法 根值判别法
一、正项级数
称为正项级数 正项级数. 定义 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0, 这种级数 称为正项级数.
n=1 n =1 n =1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
判 断 ∑ u n的 敛 散 性 .
n=1
∞
对欲求级数进行 缩小应缩小为发 发 散级数. 散级数
c n ≤ un ≤ v n
放大， 放大，缩小的方向
关于正项级数收敛性的判别法
关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive terms摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。
正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。
正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。
关键词：级数；正项级数；收敛；发散。
AbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.目录摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)目录 (IV)引言 (1)1 基础知识 (2)1.1无穷级数的定义 (2)1.2无穷级数的部分和 (2)1.3无穷级数收敛的定义 (2)2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)2.1柯西收敛原理[1] (3)2.2基本定理 (3)2.3比较判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5柯西判别法 (4)2.6积分判别法 (5)2.7阿贝尔判别法 (5)2.8狄利克雷判别法 (5)3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)3.1定理1（比较判别法的推广） (6)3.2定理2（等价判别法） (6)3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)3.6定理6（对数判别法）[4] (9)3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)5 应用举例 (16)6 总结与展望 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。
正项级数敛散性的判别
(1 an )
1
1
1
1
(1 a1 ) (1 a1 ) (1 a1 )(1 a2 )
1
1
(1 a1 )(1 a2 ) (1 an1 ) (1 a1 )(1 a2 )
(1 an )
1 1
(1 a1 )(1 a2 )
(1 an ) 1 {Sn }有界.
n1 n (n2 1)
解：
n
1 (n2
1)
1 n2
且
n1
1 n2
收敛
,
所以原级数收敛.
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 ln(n 1)
解：
1 1
ln(n 1) n 1
且
1 发散,
n1 n 1
所以原级数发散.
例
判断级数
n1
n 2n
1
n
的敛散性.
解：
n n 2n 1
1 2
n
且
n1
1 2
n
收敛,
所以原级数收敛.
例 判断级数
n4 1- n4 1 的敛散性.
解：
n1
n4 1- n4 1
2 n4 1
n4 1
2
1
解
lim 3n n n 1
3n
3n
lim
n
3n
n
1
lim
7.2 正项级数敛散性的判别-1
n! ∑ n 的敛散性 例3. 判别级数 n=1 4 n! ( n + 1)! un+1 n + 1 解： un = n , un+1 = , = n+1 un 4 4 4 un+1 n+1 ∞ n! lim = lim = ∞ 故级数 ∑ 发散. 发散 n n→ ∞ u n→ ∞ 4 n =1 4 n ∞ n! 的敛散性(典型例题 典型例题) 例4. 判别级数 ∑ n 的敛散性(典型例题) n =1 n n! ( n + 1)! , un+1 = ( n ) n 解：u n = n , un+1 = un n+1 n ( n + 1) n+1 un+1 1 lim = lim = 1 / e <1 n n→ ∞ u n→ ∞ (1 + 1 / n ) n ∞ n! 由比值判别法可知： 收敛. 由比值判别法可知：级数 ∑ n 收敛 n =1 n
∞
y
1 y= p x
x 1 1 1 n dx + p + ... + p < ∫1 p 0 1 2 3 ... n − 1 n p 2 3 n x ∞ 1 dx x 1− p n 1 n ⇒ ∑ p 收敛 S n < 1 + ∫1 p = 1 + |1 < 1 + n =1 n 1− p 1− p x
1 我们称级数 ∑ p 为 p 级数 n =1 n
到目前为止，我们已知两类敛散性确定的级数： 到目前为止，我们已知两类敛散性确定的级数：
∞
q 1 )几何级数 ∑ aq n=1 q ∞ 1 p 2 ) P − 级数 ∑ p n=1n p
∞ n −1
§6.2 正项级数的敛散性判别法
(1)r < 1 , un收敛;(1)r > 1 , un发散; 时 ∑ 收敛; 时 ∑ 发散;
n=1 n=1
∞
∞
注 级数中含有n!,an,nn时一般选用此法较好,运用 级数中含有 , 时一般选用此法较好, 时 若发现极限结果为r=1,则说明不能用此法,需改用其他方法. 若发现极限结果为 ,则说明不能用此法,需改用其他方法.
n=1 n=1 n=1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
1 例 证明 < 1 ∑ p 发散. p 时 发散. n=1 n
∞
第六章 离散经济变量的无限求和
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退 出
2010年6月26日星期六 年 月 日星期六
4
推论 若∑un, vn为正项级数,且 N > 0 使 n > N, ∑ 为正项级数, ,
∞
1 (3)∑(1 cos ) n n→ 1
∞
3n (4)∑ )! n=1 (2n +1
答案 ⑷收敛
(5)∑
n=1
∞
n + sin n n3 + n 1
⑵发散 ⑶收敛
⑴收敛 ⑸发散
第六章 离散经济变量的无限求和
返 回
上一张
下一张
退 出
�
n=1 n=1
∞
∞
0 ≤ un ≤ Avn,其中 为常数,则 A为常数,
(1)∑vn收敛 ∑un收敛; 收敛; (2)∑un发散 ∑vn发散. 发散.
n=1 n=1 n=1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
利用比较判别法, 利用比较判别法,关键是要选择合适的级数与已知级 进行比较.一般需要对已知级数的通项进行放缩; 进行比较.一般需要对已知级数的通项进行放缩;而
级数敛散性的判别
正项级数敛散性的判别刘 兵 军无穷级数是数学分析的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。
本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。
一． 常数项级数的概念所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。
对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式+++++n u u u u 321叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n n u ，即+++++=∑∞=n n nu u u u u 3211， (1)其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。
级数(1)的前n 项的和构成的数列n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n(2)称为级数(1)的部分和数列。
根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。
定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞→n n s lim s ，则称级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。
级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。
二． 正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。
比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。
比较审敛法 如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞=1n n u 收敛；如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞=1n n u 发散；比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。
几何级数∑∞=-11n n aq和p-级数∑∞=11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。
例１ 证明级数∑∞=+1221n n 是收敛的。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。
在采用更加精细的级数作为比较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。
关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法引言随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。
此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。
如何判断一列序列求和是有限的还是发散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。
本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。
一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法，从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。
而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。
1.比较判别法和比值判别法当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。
为了下文的行文的简单性，我们用符号来表示[2]。
定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有：（1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛;（2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。
为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法.推论1设级数和均为正项级数令则有：（1）如果收斂，且，那么也收敛;（2）如果发散，且，那么也发散。
同样的，对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.定理2（比值判别法）假设级数和都是严格的正项级数，那么我们有：（1）如果收敛，且存在，使得，，那么也收敛;（2）如果发散，且存在，使得，，那么也发散。
正项级数达朗贝尔判别法的几点补充
正项级数达朗贝尔判别法的几点补充①陈实，石昌梅*，彭春源，何丁莉（贵州师范学院数学与大数据学院，贵州贵阳550018）［摘要］达朗贝尔判别法是判别正项级数敛散性一种非常方便和常用的方法，这种方法对某些级数敛散性的判别却是无效的.主要通过举例说明达朗贝尔判别法失效的两种情况，给出了判别这类级数敛散性的一些方法和思路.［关键词］正项级数；达朗贝尔判别法；敛散性；失效［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2020）32-0056-02无穷级数是数学分析中的一个重要组成部分，无穷级数又分为数值级数和函数项级数，数值级数是研究函数项级数的基础.函数项级数是用于表示函数的一个重要工具，特别是非初等函数的表示问题.对某些函数，利用幂级数可将其表示成无穷项多项式的和，同时通过选取有限项来近似计算时可以估计其误差等.所以，无穷级数对于研究函数起到非常重要的作用.对无穷级数最重要的问题是什么呢？对给定的级数，最核心的两个问题是：（1）判别所给级数是否收敛；（2）如果级数收敛，则级数的和为多少？所以，对一个级数而言，首当考虑的是其敛散性的判别问题.那么，如何判别一个级数的敛散性呢？有关级数敛散的判别法有很多，常用的方法有：（1）利用级数敛散的定义，将问题转化为求数列极限的问题，这种方法的前提是所给级数的前n项部分和要能够比较容易地计算出来，这对许多级数而言都是比较困难的，例如级数∞n=1∑sin1n；（2）利用级数敛散性的柯西收敛准则，这种方法是级数理论上的一个非常重要的结果，但对具体的级数而言，柯西收敛准则应用起来会比较麻烦，甚至会不易判别；（3）可以借助已知敛散性的级数，以及级数的运算性质来进行判别；（4）利用级数相关判别法，例如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等[1].正项级数作为数值级数的一类重要类型，其敛散性判别法常用的有比较判别法、柯西判别法和达朗贝尔判别法等，为了使判别法更精细、应用更广泛，学者们在已有的这些经典方法的基础上，进一步深入地研究和探讨正项级数敛散性的判别方法，例如有关推广判别法的研究，文献[2]对拉贝判别法和达朗贝尔判别法进行了进一步的研究，并考虑更精细的级数作为比较标准，从而将已有方法做了两个推广；又有将新的级数作为比较标准，得到比较判别法的新审敛法，由此总结出：当正项级数的通项含有ln（n）且较复杂时，可以考虑用此审敛法[3]；还有基于柯西积分判别法和比较原理，证明了某些正项级数的敛散性，并将这些结果推广到更一般的情形[4].关于正项级数的敛散性问题的研究还有很多，例如文献[5-11]，学者们从不同角度，利用不同的方法和工具对正项级数的敛散性进行探讨，例如文献[5]是利用函数的泰勒展开式以及极限的运算性质，再借助已知级数的敛散性，推导出判别正项级数敛散性的两种方法，并在此基础上得到了通项递减的正项级数敛散性的两种判别法.本文主要是在判别正项级数敛散性的达朗贝尔判别法的基础上，讨论该方法的应用问题，其中主要考虑达朗贝尔判别法失效的情形，通过举例说明达朗贝尔判别法失效的两种情况，并给出其中某些级数敛散性判别的一些方法.一、达朗贝尔判别法正项级数作为一类重要的级数，由于级数理论的复杂性和不确定性，我们看到并不能建立一种万能的判别方法，因为针对不同类型的级数可能需要应用不同的判别法，所以，这使级数敛散性的判别方法有很多.比较判别法是判别正项级数敛散性一种最基本和最常用的方法.在比较判别法中，当以几何级数∞n=1∑q n作为比较的标准级数时，得到了柯西（Cauchy）判别法和达朗贝尔（D’Alembert）判别法.柯西判别法和达朗贝尔判别法的极限形式叙述如下：定理1[1]（柯西判别法）设∞n=1∑a n为正项级数，且lim n→∞a n n√=l.则（1）当时l<1，级数∞n=1∑a n收敛；（2）当时l>1，级数∞n=1∑a n发散.定理2[1]（达朗贝尔判别法）设∞n=1∑a n为正项级数，其中a n≠0，n=1，2，…,且limn→∞an+1an=l.则（1）当时l<1，级数∞n=1∑a n收敛；（2）当时l>1，级数∞n=1∑a n发散.从定理2的叙述可以知道，达朗贝尔判别法是通过考察比值an+1an来判断级数的增长速率的，而且该判别法是具体级数判别问题中非常便利的一种方法.一般地，当级数通项中包含有n的阶层或n的次幂时，达朗贝尔判别法都是有效的，我们可以通过下面两个级数敛散性的判别看到.例1分别判断级数∞n=1∑n!n n和级数∞n=1∑4n n4的敛散性.解：（1）级数∞n=1∑n!n n：通过简单计算得，lim n→∞a n+1a n=1e<1.所以，由①基金项目：贵州师范学院科研基金项目（2018DXS092）；贵州省科技计划项目（黔科合基础〔2017〕1136）。
用同阶无穷小判定正项级数的敛散性
203用同阶无穷小判定正项级数的敛散性陈彦恒 贾松芳在高等数学课程级数内容的学习过程中，判断正项级数敛散性是学习的主要内容，正项级数的敛散性定理很多，比如，柯西收敛准则、比较审敛法、比较审敛法的极限形式、达朗贝尔判别法等。
应用比较审敛法的极限形式时，遇到最大的困难是要找到一个可以与所求级数进行比较的级数。
由级数收敛的必要条件我们知道，只要级数的一般项在n →∞时的极限不是0，即一般项不是n →∞的无穷小，级数必发散，因此我们所需处理是级数的一般项是n →∞的无穷小的情形。
对于此情形的正项级数，该文利用同阶无穷小给出了一种简单有效的求比较级数的方法，为利用比较审敛法的极限形式判定正项级数的敛散性提供了方便，同时也为快捷的判定一般级数收敛性提供了强有力的支持。
该文所使用数学符号与文献保持一致。
下面首先给出利用同阶无穷小判定正项级数的敛散性的定理.定理设正项级数1()n f n ∞=∑与1()n g n ∞=∑。
若)()(n g n f 和是n →∞的同阶无穷小，则1()n f n ∞=∑与1()n g n ∞=∑具有相同的敛散性。
证明 由题意，0)(lim )(lim ==∞→∞→n g n f n n ，且可设()lim 0()n f n l g n →∞=>，所以由比较审敛法的极限形式知，正项级数1()n f n ∞=∑与1()n g n ∞=∑具有相同的敛散性。
注：在文献中定理条件是)()(n g n f 和是n →∞的等价无穷小，因此本文定理可以看作文献中定理的推广。
从上述定理我们知道，在学习正项级数敛散性的过程中，合理地应用同阶无穷小量，将会为利用比较审敛法的极限形式判定正项级数的敛散性提供了方便.下面我们将通过具体例题来体现这一便利，这些例题都是节选自文献。
例1 判断下列正项级数的敛散性。
(1)2412312n n n n ∞=+++∑， (2)11ln 2nn e α∞-=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑解 (1) 令2423()12n n f n n ++=+，21()g n n =。
正项级数敛散性判别的一种新方法
该判别法和如下形式是等价的：
∞
对正项级数∑ a n ， 比值
n =1
an 可以写成下面形式： a n +1
an r = 1 + + o 1 ， a n +1 n n
∞ ∞
( )
（ 1 ） r ＞ 1 时， 级数∑ a n 收敛； （ 2 ） r ＜ 1 时， 级数∑ a n 发散．
n =1 n =1
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枣庄学院学报
2013 年第 5 期
u n +1 un
=
1
－
1 n +1
－
1 … n ln ( n + 1 )
－
1 n ln n … ln …ln ( n + 1 )
－
f( n) +
g( n) +
1 o ． n ln n … ln …ln ( n + 1 ) 且limn ln n … ln …ln ( n + 1 ) f ( n ) = r， 则有 n （ 1） 若 r ＞ 1， g( n) ≤ 0， g( n) ≥ 0， 则∑ u n 收敛； （ 2 ） 若 r ＜ 1 ， 则∑ u n 发散． 证明： 当 n → ∞ 时， 有 n ln n … ln …ln ( n + 1 ) f ( n ) － r = o ( 1 ) ． 且 u n +1 un = 1 － 1 n +1 － 1 … n ln ( n + 1 ) － 1 n ln n … ln …ln ( n + 1 ) － f( n) + g( n) +
进一步的改进， 可得两步改进方法： 定理 2 设∑ u n 为正项级数， 满足
敛散性蒙题技巧
敛散性蒙题技巧
方法一：
考纲中有两处提到敛散性的判断，分别是（1）反常积分敛散性的概念；（2）常数级数的敛散性。
此二处考点，均出现于历年真题之选择题中，其中（2）正项级数的敛散性的判断几乎每年必考。
因为专转本的高等数学的考核，主要在于计算方法的掌握，并不像考研那样更侧重于对概念定义的理解，故很多参加转本学习的学员并没有意识到正项级数和反常积分从定义上属于同源且能使用相同方法进行判断。
我们先来看常数级数的定义：
这是无穷个由通项决定的正数连加起来的，我们知道反常积分其实就是定积分，而定积分的定义不也是连加么？其实本质上无穷级数和反常积分是等价的。
这意味着，在判断反常积分敛散性时，我们可以用判断正项级数敛散性的方法来判断，因为正项级数敛散性的判断更简单。
方法二：
判断正项级数敛散性是考研数学中经常考察的知识点。
比值和根值判别法通常是判断正项级数敛散性的首选方法，它们使用的前提是所求的极限必须存在，且极限值不为1.用比较法判断正项级数的敛散性时，无论是不等式形式还是极限形式，都是比较两个级数一般项趋于零的速度，速度
越快的级数收敛的可能性越大，因此，当“慢”的级数收敛时，“快”的一定收敛；当“快”的级数发散时，“慢”一定发散；当它们趋于零的速度“差不多"时，即同阶，则两个级数同敛散。
通常以p-级数作为比较的参照。
判断正项级数的敛散性的方法：
（1）比值判别法；
（2）根值判别法；
（3）比较判别法；
（4）积分判别法。