正比例关系例1
正比例的意义
两种相关联的量， 相关联 一种量变化，另一种量也随着变化， 能变化 如果这两种量中相对应的两个数的比值 （也就是商）一定， 商一定
这两种量就叫做成正比例的量，它们的 关系叫做正比例关系。
判定两个量是不是成正比例：
一看是不是（ 相关联 ） 二看是不是（ 能变化 ）
三看是不是（ 商一定 ）
一、探究新知
14
数量/m
(2) 不计算,根据图像判断,如果买7m彩带,总价应该是多少元? 31.5元能买多少米彩带 ? 3
总价/元
42
35 31.5 28 24.5 21 14 7 0
2
4
6 7 8 9 10
12
14
数量/m
一、探究新知
（二）正比例图象
你能举出生活中正比 例关系的例子吗？
如果汽车行驶速度 一定，路程与时间 成正比例关系。
一、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
总价/ 元
1 3.5
2 7
3 10.5
4 14
5 17.5
6 21
7 24.5
8 28
…
…
从上表可以看出，总价与数量是两种相关联的量，总价是随着数量的
变化而变化的，而且总价与相应数量的比值总是一定的。
一、探究新知
（一）例1
我学会了！
正比例
相同点
反比例
都是两种相关联的量， 一种量随着另一种量变化。
不同点
1.变化的方向相同， 一种量扩大或缩小， 另一种量也扩大或 缩小。
2.相对应的每两个数 的比值是一定的。
1.变化的方向相反， 一种量扩大或缩小， 另一种量反而缩小 或扩大。 2.相对应的每两个数 的乘积是一定的。 3.关系式： x × y = k（一定）
正比例和反比例判断方法(一)
正比例和反比例判断方法(一)正比例和反比例判断引言正比例和反比例是数学中常见的关系，用来描述两个变量之间的关系。
在实际生活中，我们常常需要判断两个变量之间的关系，以便进行进一步的分析和决策。
本文将详细说明正比例和反比例的判断方法，并给出示例说明。
正比例关系判断方法正比例关系是指两个变量之间的比值保持不变，即一个变量增加（或减少），另一个变量也随之增加（或减少）。
以下是正比例关系判断的方法：1.绘制散点图：将两个变量的取值绘制在坐标系中，并观察散点的分布情况。
如果散点呈现出一条直线，并且斜率大于零，则可以初步判断为正比例关系。
2.计算相关系数：利用统计学知识，可以计算两个变量之间的相关系数。
如果相关系数接近于1，则表明两个变量具有强正相关关系，可以认为是正比例关系。
3.验证比值是否保持不变：选择不同的取值，计算两个变量之间的比值，并观察比值是否保持不变。
如果比值相对稳定，则可以确定为正比例关系。
反比例关系判断方法反比例关系是指两个变量之间的乘积恒定，即一个变量增加（或减少），另一个变量随之减少（或增加）。
以下是反比例关系判断的方法：1.绘制散点图：同样的，将两个变量的取值绘制在坐标系中，并观察散点的分布情况。
如果散点呈现出一条曲线，并且通过原点，则可以初步判断为反比例关系。
2.计算乘积：计算两个变量的乘积，并观察乘积是否保持不变。
如果乘积相对稳定，则可以确定为反比例关系。
3.验证比例是否为常数：在反比例关系中，两个变量的比例应当为常数。
通过选择不同的取值，计算两个变量之间的比例，并观察比例是否保持不变。
如果比例相对稳定，则可以确定为反比例关系。
示例说明以下是几个示例，用以说明正比例和反比例的判断方法：示例 1：正比例关系变量A 变量B2 4变量A 变量B4 86 128 16根据给定的数据，我们可以通过绘制散点图观察到散点呈现一条直线，并且斜率大于零，初步判断为正比例关系。
我们还可以计算相关系数，得到相关系数接近1，进一步确认为正比例关系。
正比例和反比例的概念举例说明
正比例和反比例的概念举例说明标题，正比例与反比例，看似相反却又相互关联的数学概念。
正比例和反比例是数学中常见的概念，它们在现实生活中也有
着丰富的应用。
正比例指的是两个变量之间的关系，当一个变量增
加时，另一个变量也随之增加；而反比例则是指一个变量的增加导
致另一个变量的减少。
下面将通过具体例子来说明这两个概念。
首先，我们来看正比例的例子。
假设一辆汽车在匀速行驶，我
们知道速度和时间是正比例的关系。
即当时间增加时，汽车行驶的
距离也随之增加，速度和时间的比值保持不变。
另外，购买商品的
价格和数量也是正比例的关系。
如果一种商品的价格是每件10美元，那么购买的数量越多，支付的总金额也就越多，价格和数量之间的
比值保持不变。
接下来，我们来看反比例的例子。
一个常见的例子是工人的生
产效率和工作时间的关系。
通常情况下，工人的生产效率与工作时
间呈反比例关系，即工作时间越长，生产效率越低。
另外，水龙头
的出水量和关阀时间也是反比例的关系。
当关阀时间减少时，水龙
头的出水量会增加，反之亦然。
通过以上例子，我们可以看到正比例和反比例在现实生活中的广泛应用。
这些概念不仅在数学中有着重要的意义，也帮助我们更好地理解和应用于日常生活中。
正比例和反比例的关系，让我们更加深入地认识到数学与生活的密切联系。
19.2.1 正比例函数(1)【课件】
张鑫 忻州师院附中数学教师
中小学一级教师 忻州市教学能手
情景引入
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列 车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站 上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
行程y与运行时间t成正比例关系
情景引入
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列 车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（3）如果从函数的观点看，京沪高铁列车的行程 y （单位：km）是运行时间 t（单位：h）的函数吗？能写 出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？
y=300t (0≤t≤4.4)
些是函数、常数和自变量．
函数解析式 函数 常数 自变量 这些这函些数函解数析解式都
l =2πr l 2π
r
是常析数式与有自什变么量的 乘积共的同形点式？！
m =7.8V m 7.8 V h = 0.5n h 0.5 n
函数=常数×自变量
T = -2t T -2 t y ＝ k x
一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0）
m 7.8V
活动二：问题再现
（3）每个练习本的厚度为0.5cm， 一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随练习本的本数n的
变化而变化．
h 0.5n
（4）冷冻一个0°C的物体，使它每
分钟下降2°C，物体温度T（单位：°C）
随冷冻时间t（单位：min）的变化而变
化．
T 2t
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪
情景引入
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km．设列 车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
正比例函数1
问题： 1996 年，鸟类研究者在芬兰给一只 燕鸥（候鸟）套上标志环；4个月零1周后， 人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它。 （1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少 千米（精确到10千米）？(一个月按30天) 25600÷（30×4+7）≈200（km） （2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行的 时间x（单位：天）之间有什么关系？ （3）这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？ 当x=45时，y=200×45=9000
（4）y=2x （5）y=x2+1 （6）y=（a2+1）x-2
函数y=kx（k是不等于零的常数）叫做正比例函数，
k叫做比例系数. 练习1 判断下列各题中所指的两个量是否成正比例。 （是在括号内打“ ” ，不是在括号内打“ ”
（1）圆周长C与半径r（ ） c 2 r （2）圆面积S与半径r （ ） S r 2 （3）在匀速运动中的路 S=vt 程S与时间t （ ） （4）底面半径r为定长的圆锥的侧 面积S与母线长l（ ） s rl （5）已知y=3x-2，y与x （ ）
下图表示江山到礼贤主要停靠站之间路程的千米 数。一辆满载礼贤乘客的中巴车于上午8：00整从江山开 往礼贤，已知中巴车行驶的路程S（千米）与时间t（分） 成正比例（途中不停车），当t=4（分）时，S=2千米。 问： （1）正比例函数的解析式； （2）从8：30到8：40，该中巴车行驶在哪一段公路上； （3）从何时到何时，该车行使在淤头至礼贤这段公路上。
（2）当x=7时，求出y的值。 1 1 解： （1） y BC x 8 x 4 x 2 2 （2）当x=7时，y=4×7=28
例3 已知y与x－1成正比例，x=8时，y=6，写 出y与x之间函数关系式，并分别求出x=4和x=-3 时y的值。
19.2.1正比例函数(1)
已知y与x+2 成正比例，当x=4时，y=12， 那么当x=5时，y=______. 14
解： ∵ y与x+2 成正比例 ∴y=k(x+2) ∵当x=4时，y=12 ∴12=k(4+2) 解得：k=2 ∴y=2x+4 ∴当x=5时，y=14
作业
• .若y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函数，试求k的值，并指 出正比例系数. • .若y关于x-2成正比例函数，当x=３时，y=-4.试求出y与x
的函数关系式.
3.如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数， 4 则k=_________.
4.已知一个正比例函数的比例系数是-5，
则它的解析式为： y=-5x
5.已知：y=(k+1)x+k-1是正比例函数， 则k= 1
2 m 6.若y=(m-1)x 是关于
x的正比例函
数，则m=
-1
活动七： 运用概念 1.已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=-15，求k 的值． k=-5 2.若y关于x成正比例函数，当x=4时，y=-2. y= -0.5x （1）求出y与x的关系式； （2）当x=6时，求出对应的函数值y. y= -3
正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0） 的函数，叫做正比例函数，其中k叫比例系数。
比例系数 y= k x （k是常数，k≠0）
Attention ：1、k是常数，k≠0； 你能举出一些正比例函数的例子吗？ 2、形式是单项式，自变量的次数为1； 3、自变量的取值范围一般为全体实数， 提问：一般情况下正比例函数自变量的取值范围为什么？ 但在特殊情况下自变量取值范围会有所不同 4、y与x成正比例函数 y=kx(常数k≠0)
行程问题2.1丨比例关系1(秒杀思维,收藏好文)
行程问题2.1丨比例关系1（秒杀思维，收藏好文)比例关系S=VT，S表示路程,V表示速度，T表示时间。
当S固定时，V与T成反比例；当V固定时，S与T成正比例；当T固定时，S与V成正比例；2006年江苏B79.某人骑自行车从甲地到乙地，用20分钟行完全程的40%。
然后每分钟比原来多行60米，15分钟的行程和前面的行程一样。
甲、乙两地相距多少千米？A.12B.10.8C.10D.9【解析】D。
20V=15(V+60)，得知V=180,故而20分钟行走3.6千米，占总路程40%故而总路程为9。
2006年广东9.甲、乙、丙三人，甲每分钟走50 米，乙每分钟走40 米，丙每分钟走35 米，甲、乙从A 地，丙从B地同时出发，相向而行，丙遇到甲2 分钟后遇到乙，那么，A、B 两地相距多少米？( )A.250 米B.500 米C.750 米D.1275 米【解析】D。
多种解题思路。
(1)比例法：甲丙和为：85，乙丙和为：75. 两者的相遇时间之比为：75：85差量为10，现在10为2分钟，得知：时间分别为：15，17.因此为：85×15（2）整除思维：假设甲丙相遇时间为T，则有：S=（50+35）T=(40+35)（T+2）得知路程为85及75倍数，结合选项，得知仅D选项符合。
（3）方程思维：同上，T=15，S=1275。
2008年浙江卷20.甲、乙两人沿直线从A地步行至B地，丙从B地步行至A地。
已知甲、乙、丙三个同时出发，甲和丙相遇后5分钟，乙与丙相遇。
如果甲、乙、丙三人的速度分别为85米/分钟、75米/分钟、65米/分钟。
问AB两地距离为多少米？A.8000米B.8500米C.10000米D.10500米【解析】D。
两种思维方式：（1）甲丙先相遇，乙丙后相遇，设甲丙相遇X分钟，则乙丙相遇X+5分钟；得知：最简单的方程：150X=140(X+5)得知X=70。
因此总路程10500。
（2）150X是15的倍数。
正比例反比例讲解
正比例反比例讲解
正比例和反比例是数学中常见的两个概念,它们描述了两个变量之间的关系。
理解这两个概念对于解决实际问题非常重要。
正比例:
当两个变量的值随着彼此的变化而同步增加或减少时,我们说它们成正比例关系。
换句话说,如果一个变量增加或减少了一定数量,另一个变量也会按相同的比例增加或减少,那么这两个变量就成正比例。
例如:
- 如果一个人的工资与工作时间成正比例,那么工作时间增加10%,工资也会增加10%。
- 如果一辆汽车的行驶距离与油箱中汽油量成正比例,那么油箱中汽油量增加20%,行驶距离也会增加20%。
数学上,如果y = kx,其中k是一个非零常数,那么y与x成正比例关系。
反比例:
当一个变量的值增加时,另一个变量的值减少,反之亦然,我们说它们成反比例关系。
也就是说,如果一个变量增加了一定数量,另一个变量会按相同的比例减少,那么这两个变量就成反比例关系。
例如:
- 如果一个人完成一项工作所需的时间与工人数量成反比例,那么工人数量增加25%,完成工作所需时间会减少25%。
- 如果一个圆的面积与半径的平方成反比例,那么半径增加10%,面积会减少19%(因为面积与半径的平方成反比)。
数学上,如果y = k/x,其中k是一个非零常数,那么y与x成反比例关系。
理解正比例和反比例关系对于解决许多实际问题非常有帮助,如计算工资、距离、面积等。
掌握这些概念有助于我们更好地分析和解决现实生活中的问题。
19.2.1 正比例函数(1)
h=0.5n
（4）冷冻一个0 ℃ 的物体，使它每分下降2 ℃，物
体的温度 T（单位：℃）随冷冻时间 t（单位：min）
的变化而变化．
T=-2t
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪 些是函数、常量和自变量．
函数解析式 l =2πr m =7.8V h = 0.5n T = -2t
函数 l m h T
是什么关系？
y与t成正比例关系
问题 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（3）如果从函数的观点看，京沪高铁列车的行程
y（单位：km）是运行时间 t（单位：h）的函数吗？
能写出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？
y=300t（0≤t≤4.4）
（2）铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量 m（单位：g） 随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化；
(2)m 7.8V
问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关
系吗？如果是，请写出函数解析式．
（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，练习本摞在一起
的总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 变化而变化；
这时列车尚未 到 达 距 始 发 站 1 100千米的南京站.
（1）这个问题中得到的函数解析式有什么特点？ （2）函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？
问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关 系吗？如果是，请写出函数解析式．
（1）圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；
(1)l 2πr
问题 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318 km．设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
行程问题之比例的应用 非常完整版 超详细解析+答案
行程问题之比例的应用【知识点总结】当速度一定时，时间和路程成正比例关系当时间一定时，速度和路程成正比例关系当路程一定时，时间和速度成反比例关系【例题讲解】例1一列客车和一列货车同时从甲乙两地同时相向而行，客车与货车的速度比是11∶8，甲乙两地相距380千米。
求相遇时，客车比货车多行了多少千米？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V客：V货=11:8S客：S货=11:8按比例分配：380÷（11+8）=20（千米）客车比火车多行的路程：20×（11-8）=60（千米）举一反三1、小军和小明同时从A、B两地相向而行，A、B两地相距600米，小军和小明的速度比是3∶2，相遇时，小明走了多少米？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V军：V明=3:2S军：S明=3:2按比例分配：600÷（3+2）=120（千米）小明走的路程：120×2=240（千米）2、哥哥和弟弟同时从家和学校相向而行，哥哥和弟弟的速度比是5∶3，相遇时哥哥比弟弟多走了200米，求家离学校有多少米？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V哥：V弟=5:3S哥：S弟=5:3按比例分配：200÷（5-3）=100（千米）总路程：100×（5+3）=800（千米）3、聪聪和明明的速度比是6∶5，聪聪在明明后面20米，他们同时同向出发，聪聪要走多少米就可以追上明明？解答：在时间相同时，速度与路程成正比例V聪：V明=6:5S聪：S明=6:5按比例分配：20÷（6-5）=20（千米）聪聪走的路程：20×6=120（米）例2一辆货车从甲城开往乙城，又立即按原路从乙城返回到甲城，一共用了9小时，去时每小时行40千米，返回时每小时行50千米。
甲乙两城相距多少千米？解答：去和返回所走的总路程相同，在路程相同前提下，速度和时间成反比例V去：V回=40:50=4:5t去：t回=5:4，总时间时9小时，按比例分配得：9÷（5+4）=1（小时）t去：1×5=5（小时）总路程：5×40=200（千米）举一反三1、一架侦查飞机最多能带飞行18小时的汽油，它从基地带满油到某地去侦察（中途没有加油站），去时顺风每小时飞行1500千米，回时逆风飞行每小时飞行1200千米。
19.2.1正比例函数(1)
（4）乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否 已经过了距始发站1 100 km 的南京南站？
当t=2.5时, y=750<1100
问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关 系吗？如果是，请写出函数解析式． （1）圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；
l = 2πr
（2）铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量 m（单位：g） 随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化；
人教版八年级数学下册
驶向胜利 的彼岸
第十九章 《一次函数》 § 19.2.1 正比例函数(1)
§ 19.2.1 正比例函数(1)
学习目标： 1．理解正比例函数的概念； 2．经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步 发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正 比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力． 学习重点： 正比例函数的概念．
认真观察这五个函数解析式，说说这些函数有什么 共同点． y=300t (0≤t≤4.4)
l = 2πr m=7.8V h=0.5n T =-2t
一般地，形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数， 叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．
思考:这里为什么强调k是常数，k≠0？
下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？ x 2 y = x y =y = 2 x （1） ； ； （2） ； （3） 3 2 y （x+1 ）． （4） =1.5 x ；（5）y =πx ； （6）y =7
1.
解：（1）（2）（5）表示y 是x 的正比例函数．
2.下列函数中哪些是正比例函数？
x 3 1 (1) y (2) y (3) y 1 3 x 2x
（4）y=2x （5）y=x2+1
19.2.1 正比例函数(1)
y=
（1）L=2πr （3）h=0.5n
（2）m=7.8V
（4）T= -2t
（5）y=200x
这些函数有什么共同点？
一般地，形如y= kx（k是常数，k≠0） 的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例 系数。 正比例函数y=kx的结构特征：
（1）表现为常数与自变量的乘积形式。 (2) k≠0 (3) 自变量的次数为1.
下列函数是否为正比例函数？（y是x的函数）
y= axm +b
当满足什么条件时，上面的函数才是正比例函数？
1、m=1 2、b=0 3、a≠0
一、应用新知
（1）若y=5x3m-2是正比例函数，则m= （2）若 y (m 2) x
m2 3
1
。 。
是正比例函数，则m= -2
2 （3）若函数y=x+2- 3b是正比例函数，则b的值是 3
x … -2 -1 0 1 y … -4 -2 0 2 2 … 4 …
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 1
y=2x
2. 描点
3. 连线
x
2 3
-3 -4
随堂练习
y 2 x
1 1 画出正比例函数 y x, y x , 2 2 的图象？
y
y=2x
5 4 3 2 1
比例系数 正比 例函数
y = k x (k≠0的常数)
自变量
你能举出一些正比例函数的例子吗？
下列函数是否为正比例函数？如果是，请指 出比例系数;若不是，请说明理由
（1）y =2πx
是
（2）y = x+2
不是
3 （ 4） y 是 不是 x 1 2 （5）y=x +1 不是 （6） y 1不是 2x （7）y= -4x 是 （8）y= 是 2x x （ 3） y 3
正比例和反比例的例子
正比例和反比例的例子正比例和反比例是数学中常见的关系类型。
以下是正比例和反比例的例子：
正比例：
1. 速度和时间：当一个物体以恒定速度运动时，它的速度与经过的时间成正比。
如果速度加倍，所需时间也将加倍。
2. 距离和时间：在匀速直线运动中，物体的位移与经过的时间成正比。
如果时间增加，物体的位移也会相应增加。
3. 面积和边长：在一个正方形中，边长的增加会导致面积的增加。
边长的两倍意味着面积的四倍。
反比例：
1. 速度和时间：在固定距离内，速度与所需时间成反比。
如果速度增加，所需时间将减少。
2. 流体流动速度和管道截面积：在一个管道中，流体流动的速度与管道的截面积成反比。
截面积越小，流速越大。
3. 人均工作时间和完成任务所需的人数：如果一个任务的要求不变，那么完成任务所需的人数与每人的工作时间成反比。
人数减少，每人的工作时间增加。
这些例子展示了正比例和反比例之间的关系。
在正比例中，两个变量的值随着彼此的增加而增加，而在反比例中，一个变量的值随着另一个变量的增加而减少。
1/ 1。
19-19.2.1正比例函数
() A.m<-1
B.m>-1
C.m≥-1
D.m≤-1
解析 ∵正比例函数y=(m+1)x中,y随x的增大而减小,∴m+1<0,解得m<-1. 故选A.
答案 A
19.2.1 正比例函数
知识点三 正比例函数的解析式
栏目索引
步骤
①设出含有未知系数的函数解析式为y=kx(k≠0);②把已知条件(自变量与 函数的对应值)代入解析式,得到关于未知系数k的方程;③解方程,求出未 知系数k;④将求得的未知系数k的值代入所设的解析式
y= 1 x;y=- 1 x.
2
2
分析 先确定函数自变量的取值范围,然后依次列表、取点、描点、连线,
即可得到函数图象,再进行比较.
解析 列表:
x
…
-4
-2
0
2
4
…
y= 1 x
…
-2
-1
0
1
2
…
2
y=- 1 x
…
2
1
0
-1
-2
…
2
19.2.1 正比例函数
描点、连线,如图19-2-1-1所示.
栏目索引
例1 若函数y=(2-m)xm2-3 是关于x的正比例函数,则常数m的值为 ( )
A.±2
B.-2
C.± 3
D.- 3
解析 根据题意得m2-3=1且2-m≠0,解得m=±2且m≠2,所以m=-2.故选B.
答案 B
19.2.1 正比例函数
题型二 根据性质和图象比较比例系数的大小
栏目索引
例2 如图19-2-1-2所示,在同一直角坐标系中,一次函数y=k1x、y=k2x、 y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4,则下列关系中正确的是 ( )
4.2.1【教学设计】《正比例》(人教版)
《正比例》教学设计正比例。
例1：正比例。
教材将实验教材中的标题“成正比例的量”改为“正比例”，更加突出量与量之间的“关系”，充分体现函数思想。
改编了正比例的素材，着重探讨总价与数量两个量之间的关系。
主要是基于以下考虑：单价、数量、总价之间的数量关系是学生最为熟悉的。
这样的引入方式既符合学生的认知经验，又揭示了正比例与日常生活的联系。
教材通过表格中的数据和三个问题，在小精灵提问“你能发现什么”的启示下，使学生认识了成正比例关系量的关系要点：有两个量，且是相关联的量，一个量随着另一个量的变化而变化；两个量之间的比值不变。
在此基础上，揭示成什么是正比例的量（总价与数量），什么是正比例关系（总价与数量的关系）。
最后，教材利用数学化的字母符号来表征这一变化规律，使学生体会抽象与模型的数学思想。
在理解正比例关系的意义之后，教材安排了让学生认识正比例关系图象，并要求学生利用图象解决简单的问题。
让学生体会正比例图象的特点和作用，加深对正比例的认识。
同时，也充分体现了函数思想和数形结合的思想。
最后，教材让学生找一找生活中成正比例的量，找到变化的量与不变的量，使学生加深对正比例关系的理解。
【知识与技能】利用正比例解决一些简单的生活问题，感受正比例关系在生活中的广泛应用。
【过程与方法】能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
【情感态度与价值观】结合丰富的事例，认识正比例。
【教学重点】正比例的意义。
【教学难点】正确判断两种量是否成正比例。
一、探究新知1．观察图，文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系。
2．填完表以后思考：（1）表中有哪两种量？（2）总价是怎样随着数量的变化而变化的？（3）相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？说说从数据中发现了什么？3．小结：从上表可以看出，总价与数量是两种相关联的量，总价是随着数量的变化而变化的，而且总价与相应数量的比值总是一定的。
像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
小学六年级数学下册第四单元比例-正比例关系
（1）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？
表中有时间和生产量两种量，它们是相关联的量。
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比， 求出比值，并比较比值的大小．
70 1
＝70
140 2
＝70
比值相等
210纸厂的生产情况如下表，根据表回答问题。
时间（天） 1 2 3 4 5 6 7 8 ．．． 生产量（吨） 70 140 210 280 350 420 490 560 ．．．
＝速度 （一定）
已知轮船行驶的速度一定，所以行驶的路程和时间成正比例。
判断下面各题中的两种量是否成正比例关系,并 说明理由。
（1）《小学生作文》的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。 订阅的费用与订阅的数量是两个相关联的量，因为订阅的费用÷订 阅的数量=单价（一定），所以订阅的费用与订阅的数量成正比例。
67
8…
总价/ 元
3.5
7
10.5 14 17.5 21 24.5 28
…
总价 ＝ 单价
数量
像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随
着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种 量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量 /m
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量 /m
12
34
5
67
8…
总价/ 元
3.5
7
10.5 14 17.5 21 24.5 28
…
从上表可以看出，总价与数量是两种相关联的量，总价 是随着数量的变化而变化的，而且总价与相应数量的比值总是 一定的。
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
正比例(一)
不成正比例。
1.判断下面每题中的两种量是不是成正比例。
（1）轮船行驶的速度一定，行驶的路程和时间。成正比例。 （2）每小时织布的米数一定，织布总米数和时间。 成正比例。 （3）每天看书的页数一定，看书的总页数和时间。 成正比例。 （4）小明跳高的高度和他的身高。 不成正比例。 （5）幼儿园的阿姨分给每个小朋友5块糖，小朋友的人 数和需要糖的总块数。 成正比例。
180 270 360 90, 90, 90, …… 2 3 4
90既是比值，又是速度。
注 意
用式子表示上面几个量的关系：
路程 速度（比值一定） 时间
在速度一定的情况下，路程和时间有什么关系？
在路程问题中，路程随着时间的变化而变化，时间扩大， 路程也就随着扩大；反之，时间缩小，路程也就随着缩小。
两种相关联的量，一种 量变化，另一种量也随 着变化，如果这两种量 概念要 背下来
中相对应的两个数的比
值一定，这两种量就叫 做成正比例的量。
判断下面每题中的两种量是不是成正比例。 （1）飞机飞行的速度不变，飞机的路程和时间。 成正比例。 （2）每千克苹果的价钱一定，付出的钱数和购买 苹果的数量。 成正比例。 （3）每月收入一定，每月支出的钱数和剩下的钱数。
路程和时间的比值一定 （速度一定），我们说 路程和时间这两种量成 正比例。
一支自动笔的单价为1.6元，计算并完成下表。 数量 （支） 总价 （元） 2 3.2 3 4.8 4 6.4 5 8.0 6 7 8
9.6 11.2 12.8
从上表中你发现了什么规律？
总价 单价（一定） 数量
花的钱数和买自动笔的数量这两种量成正比例吗？ 为什么？
2. 每箱葡萄12千克，葡萄的箱数和数量如下表。 箱数 （箱） 数量 （千克） 2 24 3
正比例
3.说一说其他相关联的量的例子。（路程和时间，长方形的面积和长或宽......）
1.小红每分钟走150米，她家到学校的距离是1500米，她从家到学校要走多长时间？
1500÷150=10（分）
2.王阿姨用56.25元钱买了15千克苹果，求苹果的单价是多少。
56.25÷15=3.75（元/千克）
6.学生自由举例。
3.判断下面各题中的两种量是否成正比例关系。
(1)每天加工零件的个数一定，加工零件的总数和加工的天数。(成正比例关系)
(2)汽车行驶的速度一定，行驶的路程与时间。(成正比例关系)
(3)一根绳子用去的长度和剩下的长度。 (不成正比例关系)
(4)《学习法》的单价一定，订《学习法》的本数与总钱数。(成正比例关系)
微课设计点
教师可围绕“正比例图像的特点”设计微课。
现在表格中有几种量？
哪些量是变化的量？哪种量是不变的量？
总价和数量这两种变化的量有什么特征？
（2）揭示课题：今天我们研究的总价和数量这两种量就是成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
4.引导学生思考：如果用字母x表示数量，用字母y表示总价，用字母k表示单价，那么怎样用字母表示两种相关联的量与不变量之间的关系？
5.总结判断成正比例关系的方法：两种量要有关联；一种量变化，另一种量也随着变化；相关联的两种量中相对应的两个数的比值一定。
6.组织学生举例说一说生活中还有哪些成正比例的量。
1.观察表格，发现：彩带的数量增加，总价就相应的增加；彩带的数量减少，总价就相应的减少。
2.独立计算彩带的单价，将表格填写完整。明确彩带的单价都是3.5元，就称为“单价一定”。
二、合作学习，探究成正比例的量。（15分钟）
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文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
1 3.5
2 7
3
10.5
4 14
5 17.5
6 21
7 24.5
8 28
… …
总价/ 元
观察上表，回答下面的问题。 你能发现什么？ （1）表中有哪两种量？ （2）总价是怎样随着数量的变化而变化的？ （3）相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？
一、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
总价/ 元
1 3.5
2 7
3
10.5 总价 数量
4 14
5 17.5
6 21
7 24.5
8 28
… …
＝ 单价
像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果
这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量， 它们的关系叫做正比例关系。
比例
正比例关系（例1）
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一、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
1
2
3
4
5
6
7
8
… …
总价/ 元
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3.5
7
10.5
14
17.5
21
24.5
28
一、探究新知
一、探究新知
（二）正比例图象
根据图象回答下面 的问题：
（1）从图中你发现了什么？ （2）把数对（10,35）和（12,42）所在的点描出来，并和上面的图象 连起来并延长，你还能发现什么？
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一、探究新知
（二）正比例图象
你能举出生活中正比 例关系的例子吗？
如果汽车行驶速度 一定，路程与时间 成正比例关系。
正方形的周长与边 长成正比例关系。
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三、布置作业
作业：第49页练习九，第1题。
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一、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
总价/ 元
1 3.5
2 7
3 10.5
4 14
5 17.5
6 21
7 24.5
8 28
… …
总价
数量 上表中，总价和数量是成正比例的量，总价与数量成正比例关系。 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定）， 正比例关系可以用下面的式子表示： y x
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一、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
总价/ 元
1
3.5
2
7
3
4
5
17.5
6
21
7
24.5
8
28
…
…
10.5 14
例如：
10.5 3.5 7 ＝ ＝ ＝… ＝ 3.5 3 1 2
比值3.5，实际就是彩带的单价。用式子表它们的关系就是： 总价 数量 ＝ 单价
一、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
总价/ 元
1
3.5
2
7Hale Waihona Puke 34517.5
6
21
7
24.5
8
28
…
…
10.5 14
例如：
10.5 3.5 7 ＝ ＝ ＝… ＝ 3.5 3 1 2
比值3.5，实际就是彩带的单价。用式子表它们的关系就是： 总价 数量 ＝ 单价
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＝ 单价
＝ k
一、探究新知
（二）正比例图象
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支 总价/ 元
1 3.5
2 7
3 10.5
4 14
5 17.5
6 21
7 24.5
8 28
…
…
上面表格中的数据还 可以用图象表示。
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一、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
总价/ 元
1 3.5
2 7
3 10.5
4 14
5 17.5
6 21
7 24.5
8 28
…
…
从上表可以看出，总价与数量是两种相关联的量，总价是随着数量的
变化而变化的，而且总价与相应数量的比值总是一定的。