2017届甘肃省庆阳市九年级(上)期末数学试卷(解析版)

甘肃省庆阳市2017届九年级（上）期末数学试卷(解析版)一、选择题1．下列事件中是必然发生的事件是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．射击运动员射击一次，命中十环C．在地球上，抛出的篮球会下落D．明天会下雨2．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n ﹣1）=﹣6，则a的值为（）A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．103．已知P（x，y）在第三象限，且|x|=1，|y|=7，则点P关于x轴对称的点的坐标是（）A．（﹣1.7）B．（1，﹣7）C．（﹣1，﹣7）D．（1，7）4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．5．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．6．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率C．抛一枚硬币，出现正面的概率D．任意写一个整数，它能被2整除的概率7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=3158．二次函数y=x2+4x+3的图象可以由二次函数y=x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位9．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°10．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论：①OC∥AE；②EC=BC；③∠DAE=∠ABE；④AC⊥OE，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=．12．若（m﹣2）﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为．13．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于cm．14．如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是．15．将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是．16．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．17．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论是．三、解答题（共78分）18．（6分）计算：（3﹣π）0﹣+（﹣1）2011．19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣3x+2=0．20．（7分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．21．（7分）如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（﹣6，12），B（﹣6，0），C（0，6），D（﹣6，6）．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°．（1）画出旋转后的小旗A′C′D′B′；（2）写出点A′，C′，D′的坐标；（3）求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．22．（8分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去，否则小亮去．（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．23．（8分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？24．（8分）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）26．（9分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，AN为△ABC 的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E，线段DE交AC于点F．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论．27．（14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B 两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？2016-2017学年甘肃省庆阳市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列事件中是必然发生的事件是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．射击运动员射击一次，命中十环C．在地球上，抛出的篮球会下落D．明天会下雨【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：A、抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上是随机事件，故A错误；B、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故B错误；C、在地球上，抛出的篮球会下落是必然事件，故C正确；D、明天会下雨是随机事件，故D错误；故选：C．【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n ﹣1）=﹣6，则a的值为（）A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n与mn的值代入即可求出a的值．【解答】解：根据题意得：m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6，∴a﹣3+1=﹣6，解得：a=﹣4．故选C【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．3．已知P（x，y）在第三象限，且|x|=1，|y|=7，则点P关于x轴对称的点的坐标是（）A．（﹣1.7）B．（1，﹣7）C．（﹣1，﹣7）D．（1，7）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】直接利用第三象限点的性质得出x，y的值，进而利用关于x轴对称点的性质得出是解题关键．【解答】解：∵P（x，y）在第三象限，且|x|=1，|y|=7，∴P（﹣1，﹣7），∴点P关于x轴对称的点的坐标是：（﹣1，7）．故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质以及第三象限点的坐标性质，正确记忆各象限内点的坐标性质是解题关键．4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；轴对称图形．【分析】由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5=．故选C．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义．5．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．6．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率C．抛一枚硬币，出现正面的概率D．任意写一个整数，它能被2整除的概率【考点】利用频率估计概率．【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误；B、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：=≈0.33；故此选项正确；C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项错误．故选：B．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．8．二次函数y=x2+4x+3的图象可以由二次函数y=x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】把二次函数y=x2+4x+3化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数y=x2的图象平移而得到．【解答】解：根据题意y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y=x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．故选B．【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．9．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【分析】作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．【解答】解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°，又OA=OB，∴∠CBA=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．10．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论：①OC∥AE；②EC=BC；③∠DAE=∠ABE；④AC⊥OE，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】切线的性质；垂径定理．【分析】由C为弧EB中点，利用垂径定理的逆定理得到OC垂直于BE，根据等弧对等弦得到BC=EC，再由AB为直角，利用圆周角定理得到AE垂直于BE，进而得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与AE平行，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到AB与DA垂直，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，根据E不一定为弧AC中点，可得出AC与OE不一定垂直，即可确定出结论成立的序号．【解答】解：∵C为的中点，即，∴OC⊥BE，BC=EC，选项②正确；∴∠BFO=90°，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，即∠BEA=90°，∴∠BFO=∠BEA，∴OC∥AE，选项①正确；∵AD为圆的切线，∴∠DAB=90°，即∠DAE+∠EAB=90°，∵∠EAB+∠ABE=90°，∴∠DAE=∠ABE，选项③正确；点E不一定为中点，故E不一定是中点，选项④错误，则结论成立的是①②③，故选C【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．二、填空题11．圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=110°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=70°，∴∠C=110°，故答案为110°【点评】本题考查圆内接四边形的性质，记住圆内接四边形对角互补是解题的关键．12．若（m﹣2）﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为﹣2．【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：根据题意得：，解得：m=﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．13．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于7cm．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等【解答】解：由折叠的性质知，AE=CE，∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm．故答案为：7．【点评】本题考查了翻折变换的知识，利用了折叠的性质．14．如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是6．【考点】圆锥的计算．【分析】根据弧长求得圆锥的底面半径和扇形的半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．【解答】解：∵弧长为6π，∴底面半径为6π÷2π=3，∵圆心角为120°，∴=6π，解得：R=9，∴圆锥的高为=6，故答案为：6．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够利用圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，难度一般．15．将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是y=﹣2（x﹣3）2﹣2，．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据抛物线解析式间的关系，可得顶点式解析式，根据绕它的顶点旋转180°，可得顶点相同，开口方向相反，可得答案．【解答】解：y=2x2﹣12x+16，顶点式y=2（x﹣3）2﹣2，抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是y=﹣2（x ﹣3）2﹣2，故答案为：y=﹣2（x﹣3）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了绕定点旋转的规律．16．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．【考点】垂径定理；坐标与图形性质．【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC=2，∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=2+．故答案为：2+．【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．17．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论是①④．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据抛物线与x轴交点个数可判断；②根据抛物线对称轴可判断；③根据抛物线与x轴的另一个交点坐标可判断；④根据B、C两点离对称轴的距离的大小，可判断．【解答】解：由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0即b2＞4ac，故①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，即2a﹣b=0，故②错误；∵抛物线与x轴的交点A坐标为（﹣3，0）且对称轴为x=﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），∴将（1，0）代入解析式可得，a+b+c=0，故③错误；由|﹣+1|＞|﹣+1|，可知点B离对称轴距离较远，∴y1＜y2，故④正确；综上，正确的结论是：①④，故答案为①④．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c 的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣3对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．三、解答题（共78分）18．计算：（3﹣π）0﹣+（﹣1）2011．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．【分析】先利用零指数幂的意义和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．【解答】解：原式=1﹣（﹣）﹣1=1﹣（2﹣）﹣1=1﹣2+﹣1=﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．19．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣3x+2=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；分式的化简求值．【分析】本题要对分式进行化简，可对分式中的分子分母进行因式分解，将可进行约分的式子约掉．然后根据方程x2﹣3x+2=0解出x的值，代入已化简的分式中．【解答】解：原式=，∵x2﹣3x+2=0，∴（x﹣2）（x﹣1）=0，∴x=1或x=2，当x=1时，（x﹣1）2=0，分式无意义．∴x=2，原式=2．【点评】本题考查了分式的化简和一元二次方程的解法，在解题时学生往往会忽略x的不可取问题．分式中分母不为0，因此x≠±1．20．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．21．如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（﹣6，12），B（﹣6，0），C（0，6），D（﹣6，6）．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°．（1）画出旋转后的小旗A′C′D′B′；（2）写出点A′，C′，D′的坐标；（3）求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．【分析】（1）根据平面直角坐标系找出A′、C′、D′、B′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据旋转的性质分别写出点A′，C′，D′的坐标即可；（3）先求出AB的长，再利用扇形面积公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）小旗A′C′D′B′如图所示；（2）点A′（6，0），C′（0，﹣6），D′（0，0）；（3）∵A（﹣6，12），B（﹣6，0），∴AB=12，∴线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积==36π．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积计算，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．22．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去，否则小亮去．（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能性结果，再找出其中数字之和小于4的结果数，然后根据概率公式求解；（2）利用概率公式计算出P（和不小于4），则P（和小于4）≠P（和不小于4），于是可判断游戏不公平，改变游戏规则后使数字之和小于4和数字之和不小于4的结果数相等即可．【解答】解：（1）画树状图：共有12种等可能性结果，其中数字之和小于4的有3种情况，所以P（和小于4）==，即小颖参加比赛的概率为；（2）该游戏不公平．理由如下：因为P（和不小于4）=，所以P（和小于4）≠P（和不小于4），所以游戏不公平，可改为：若数字之和为偶数，则小颖去；若数字之和为奇数，则小亮去．【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．23．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．【解答】解：（1）S=y（x﹣40）=（x﹣40）（﹣10x+1200）=﹣10x2+1600x﹣48000；（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000=﹣10（x﹣80）2+16000，则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．24．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．【解答】解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB 上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．。