1.3.2奇偶性

(1) f(x) = 5x.
解：（1）对于函数f(x)=5x，其定义域为 （-∞，+ ∞ ） 对于定义域中的每一个x，都有
f(-x) = -5x = -f(x)
所以函数f(x)=5x为奇函数.
(2)f(x) = (x -1)2 .
（2）对于函数 f(x) = (x -1)2的定义域为:
（-∞，+ ∞ ）
2、两个性质：
它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数
3.判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义域是否关于原点对称， 然后在找f(x)与f(-x)间的关系． 4.奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规 律： 奇+奇=奇 偶+偶=偶
奇X奇=偶
偶X偶=偶
-2 -1
3 2 1
-2 -1
o1 2 3
2
o1 2 3
f(x) = x
f(x) = x
相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？
x
-3
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
f(x)=x2 9
x
-3
-2 2
-1 1
0 0
1 1
2 2
3 3
f(x) = x 3
从函数值对应表可以看到互为相反数的点的 纵坐标有什么关系？ 由此得到f(-x)=(-x)2=x2 ，即f(-x)=f(x) 由此得到 f(-x) = -x = f(x) ，即f(-x)=f(x) 即相应两个函数值相同 对于R内任意的一个x，都有f(-x)=(-x)2=x2 =f(x)，这时我们称函数f(x)=x2 为偶函数.
f(-x) = (-x) - 2(-x) = -(x - 2x) = -f(x),
所以此函数为奇函数.
3
3
x2 + 1 （3）函数 f(x) = 的定义域为{x∣x≠0}，因为 x 对于定义域中的每一个x，都有
(-x) + 1 x +1 f(-x) = == -f(x) -x x
所以此函数为奇函．
y
o
x
4.已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 求证：f(x)=0 证明：因为 f(x)既是奇函数又是偶函数 所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x) 所以f(x)= -f(x) 所以2f(x)=0 这样的函数有 即f(x)=0. 多少个呢？
有无数个，因为f(x)只是解析式的特征，若 改变其函数的定义域，显然函数就不同了，例如： f(x)=0,x∈[-3,3]，与f(x)=0,x ∈[-1,1]. 5.判断函数f(x)=kx+b的奇偶性 解：当b=0时，f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数； 当b≠0时，f(x) ≠-f(x)且f(-x)≠f(x)］ 所以说f(x)不是奇函数也不是偶函数.
课题导入
观察它们有什么样的特征？
鹦鹉螺壳
我们发现上面几个图形和函数图象都具有对称 性，有的关于直线对称，有的关于点呈中心对称， 有的有特殊的对称性，那么在我们数学领域里，我
们会研究函数图象的某对称性！
教学目标
知识与技能
理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函 数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇 偶性.
过程与方法
通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、 归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．
情感态度与价值观
通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一 般的概括归纳问题的能力．
教学重难点
重点
函数的奇偶性及其几何意义.
难点
判断函数的奇偶性的方法与格式.
观察下图图像有什么共同的特征呢？
这两个函数的图像 都关于y轴对称 3 2 1
注 意
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 函数的奇偶性是函数的整体性质.
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性 的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则 －x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于 原点对称）．
f(x) = x
3 2 1 -2 -1 o1 2 3
2
-2 -1 3 2 1 -2 -1
(6)f(-x) = -3x - 2,f(-x) f(x)且f(-x) -f(x)
故函数没有奇偶性.
知识要 点
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1) 先求定义域，看是否关于原点对称. (2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
例3：判定下列函数是否为偶函数或奇函数.
2 - (-x)2 = f(x) ，所以f(x)是偶函数.
(4)f(x) = -x (x [-3,1]);
2
(5) f(x) = 9 - x2 + (x - 3)0 ;
(6)f(x) = 3x - 2.
定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的 必要但不充分条件。
解：（4）当x=-3时，由于 3 [-3,1] ，故f(3)不存在， 所以就谈不上与f(-3)相等了，由于任意性受破坏。 所以它没有奇偶性. （5）函数的定义域为[-3,3),故f(3)不存在，同上可知 函数没有奇偶性.
3 2 1 o1 2 3
f(x) = x
-2 -1
3 2 1 o1 2 3 -2
-3
f(x) = x
3
o1 2 3 1 f(x)=x 2
知识要 点
奇偶函数图象的性质:
⑴ 奇函数的图象关于原点对称.
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,
那么这个函数为奇函数.
⑵ 偶函数的图象关于y轴对称.
反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数.
结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数.
若n为奇数，则它为奇函数.
例2 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x) = -3x ;
3
(2) f(x) = x +1;
2
(3) f(x) = 2 - x .
判断奇偶性，只需验证 f(x)与f(-x)之间的关系.
解：(1) 因为 f(-x) = -3(-x)3 = 3x3 = -f(x) 所以f(x)是 奇函数. (2)因为 f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以f(x)是偶函数. (3)因为 f(-x) =
5.已知函数性质，求其它区间上函数的解析式．
课堂练习
1.判断函数 f(x) = 3 x 的奇偶性. 解: 定义域为R ∵ f(-x) = -x = - x = -f(x) ∴f(x)为奇函数.
3 3
4 - x2 2.判断函数 f(x) = 的奇偶性 x + 2 -1
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性． 4-x2≥0 解(1) |x+2|≠1 2≤x ≤2且x ≠-1 ∴定义域为[-2,-1) ∪(-1,2]
由此得到f(-x)=- x3 =-f(x),即f(-x)=-f(x). 当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是 一对相反数. 对于R内任意的一个x，都有f(-x)=-x=-f(x)，这 时我们称函数f(x)=x为奇函数.
知识要 点
函数的奇偶性的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称 函数y=f(x)奇函数.
f(x) = -x3 + ax2是否具有奇偶性？ 例4 判断函数
解：当a=0时， = x3 ,f(-x) = -x3 = f(x) 此时函数f(x) f(x) 为奇函数.
当a≠0时， f(x) = x3 + ax2 ,f(-x) = -x3 + ax2
此时f(x)=f(-x),f(x)=-f(x)都不能在定义域内恒成立， 即函数 f(x) = x3 + ax2 (a 0) 既不是奇函数也不是偶 函数.
注 意
奇偶函数图象的性质可用于： ① 判断函数的奇偶性. ② 简化函数图象的画法.
（1）判断函数 f(x) = x 3 + x 的奇偶性. （2）如图是函数 f(x) = x 3 + x 图像的一部分，能 否根据f(x)的奇偶性画出它在y 轴左边的图像吗？
y
0
x
（1）奇函数 （2）根据奇函数的图 像关于原点对称
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
奇函数
偶函数
既奇又偶函数 非奇非偶函数
课后思考一下，做一做吧！
1.一次函数y=kx+b是奇函数吗？ 2.反比例函数是奇函数吗？ 3.二次函数一定是定义在R上的偶函数吗？ 4.函数的定义域对函数有没有影响？ 5.有没有函数既不是奇函数也不是偶函数，请举出 一例？ 6.有没有一个函数既是奇函数也是偶函数，也请举 出一例？
f(x) = x
3
相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？
x f(x)=x -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 4 3 9
x
-3
-2 -8
-1 -1
0 0
1 1
2 8
3 27
f(x)=x3 -27
从函数值对应表可以看到互为相反数的点的 纵坐标有什么关系？
由此得到f(-x)=-x=-f(x) ，即f(-x)=-f(x).
(4)f(x) = 3.
（4）对于函数f(x)=3的定义域为（-∞，+ ∞ ） 对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=3=f(x)， 所以函数f(x)=3是偶函数.
（5）f(x)=0. （5）对于函数f(x)=0的定义域为（-∞，+ ∞ ）
对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=0=f(x)=-f(x)， 所以函数f(x)=0既是偶函数也是奇函数.